Ondas Electromagnéticas

Texto completo

(1)

Cap´ıtulo 1

Ondas Electromagn´eticas

1.1.

Ondas Electromagn´eticas en el Vac´ıo

Figura 1.1: Luigi Galvani

Luigi Galvani (1737-1798) fue un f´ısico italiano que, alrededor de 1770, empez ´o a investigar la naturaleza y los efectos de lo que ´el concibi ´o como la electricidad en el tejido de los animales y de la estimulaci ´on muscular, por medios el´ectricos. En 1786, por ejemplo, obtuvo contracciones musculares en una rana tocando sus nervios con un par de tijeras durante una tormenta el´ectrica. Tambi´en caus ´o que un m ´usculo de rana se contrajera toc´andolo con un nervio de otra rana, lo que demuestra que existe bioelectricidad dentro del tejido vivo. En sus ´ultimos a ˜nos, Galvani se neg ´o a jurar lealtad a la Rep ´ublica Cisalpina establecido por Napole ´on y fue despedido de la Universidad de Bolonia. Afortunadamente, las autoridades cedieron y se le permiti ´o volver a su posici ´on sin prestar juramento.

1.1.1.

Las Ecuaciones de Onda para

~

E

y

~

B

En las regiones del espacio libres de cargas o corrientes (ρ=0 y~J=0), las ecuaciones de Maxwell son ~ ∇ ·~E=0 ~ ∇·~B=0 ~ ∇ ×~E=−~B t ~ ∇ ×~B=µoeo ~ E t (1.1)

´Estas son un conjunto de cuatro ecuaciones diferenciales lineales acopladas, para desacoplarlas se toma el rotacional de las dos ecuaciones de la derecha de (1.1).

(2)

Primero para ~E ~ ∇ ×(~∇ ×~E) =~∇ × −~B t ! Utilizando~∇ ×(~∇ ×~u) =∇~ (∇·~ ~u)− ∇2~u ~ ∇(∇·~ ~E)− ∇2~E=−∇2~E=−~∇ ×~B t =−eoµo 2~E t2 ∇2~E=eoµo2~E t2 (1.2) Ahora para ~B ~ ∇ ×(~∇ ×~B) =∇·~ (~∇·~B)− ∇2~B Entonces ~ ∇ ×(∇ ×~ ~B) =~∇ × eoµo ~ E t ! =eoµo~∇ × ~ E t =eoµo t ~ ∇ ×~E=eoµo t − ~B t ! =−eoµo 2~B t2 ~ ∇·(∇·~ ~B)− ∇2~B=−∇2~B ∇2~B=eoµo 2~B t2 (1.3)

Las ecuaciones (1.2) y (1.3) son dos ecuaciones separadas de segundo orden. En el vac´ıo, las componentes de~E y~B satisfacen las ecuaciones

∇2f = 1 v2 2f t2 con v= s 1 eoµo =c=3.00×108m s que es la velocidad de propagaci ´on de las ondas electromagn´eticas.

1.1.2.

Ondas Planas Monocrom´aticas

Supongamos que las ondas vayan en la direcci ´on ˆz y que no tienen dependencias ni de x ni de yy que solamente tienen una componente de la frecuencia

e

~E=~eEoei(kz−ωt) ~Be=~eBoei(kz−ωt) (1.4)

donde~Ee y~eBson las magnitudes complejas y los campos son Re~eEy Re~eBcon

v=ω

k dondeω es la fecuencia yk es el n ´umero de onda.

(3)

Aunque todos los campos que obedecen las ecuaciones de Maxwell son ondas, no todos los campos que representan ondas obedecen las ecuaciones de Maxwell ya que ´estas imponen condiciones adicionales. En particular,

~ ∇·~eE=0 e ~Eo z=0 ~ ∇·~eB=0 e ~Bo z=0 (1.5)

Los campos ~E y ~B no tienen componente en la direcci ´on de propagaci ´on y se llaman ondas electromagn´eticas transversas.

Ahora bien, si se considera la ley de Faraday:

~ ∇ ×~E=−~B t (1.6) zEx=−tBy k(Eeo)x=ω(Beo)y (Beo)y= k ω(Eeo)x −zEy=−tBx k(Eeo)y=−ω(Beo)x (Beo)x=− k ω(Eeo)y (1.7)

Ambos campos est´an en fase y son mutuamente perpendiculares, se puede expresar en forma compacta e ~Bo = k ω ˆ z×~eEo =1 c ˆ z×~E˜o

Sus amplitudes reales est´an relacionadas por Bo =1

cEo (1.8)

La otra ecuaci ´on de Maxwell ~∇ ×~B no produce informaci ´on adicional ya que reproduce

nuevamente las ecuaciones (1.7).

Ejercicio 1.1.1. Supongamos que~Eapuntan en la direcci ´on x y~B en la direcci ´ony

e ~E=Eeoei(kz−ωt)xˆ e ~B=Beoei(kz−ωt)yˆ (1.9) Haciendo Eeo =Eoeiδ y Beo=Boeiδ Re~eE=~E=E ocos(kz−ωt+δ)xˆ Re~eB=~B=Bocos(kz−ωt+δ)yˆ ~B=1 cEocos(kz−ωt+δ)yˆ

A esto se le llamapolarizaci´on en x y por convenci ´on se usa la direcci ´on de~E para especificar la polarizaci ´on.

(4)

Figura 1.2: Direcci ´on de propagaci ´on

Para generalizar la direcci ´on de propagaci ´on se introduce elvector de propagaci´on

~k=kkˆ (1.10)

por lo que ahora nos queda

e ~E=Eeoei(~k·~r−ωt)nˆ e ~B=Beoei(~k·~r−ωt)kˆ×nˆ = 1 cEeoei (~k·~r−ωt)kˆ×nˆ = 1 ckˆ×~Ee e ~E=Eeoei(~k·~r−ωt)nˆ ~eB= 1 ckˆ×~eE (1.11)

donde ˆn es la polarizaci ´on del vector. Como~Ees transverso ˆ

n·kˆ =0 (1.12)

y los campos reales correspondientes son

~E(~r,t) =Eocos(kzωt+δ)nˆ (1.13) ~B(~r,t) =Bocos(kzωt+δ)(kˆ×nˆ) (1.14)

1.1.3.

Energ´ıa y Momento en Ondas Electromagn´eticas

En general, la densidad de energ´ıa de los campos electromagn´eticos es u= 1 2 eoE2+ 1 µoB 2 (1.15) en el caso de una onda monocromatica plana con polarizaci ´on en x, la densidad de energ´ıa ser´a u= 1 2 eoE2ocos2(kz−ωt+δ) + 1 µo E2o c2 cos 2(kz ωt+δ) =eoE2ocos2(kz−ωt+δ)

(5)

el vector de Poynting ser´a

~

S= 1

µo

(~E×~B) =eocE2ocos2(kz−ωt+δ)zˆ=cuzˆ

la densidad de momento electromagn´etico (momento/volumen) ser´a

~℘=eoµo~S= 1 c2~S= eo c E 2 ocos2(kz−ωt+δ)zˆ= u czˆ

Para calcular el valor promedio temporal sobre un ciclo de la densidad de energ´ıa, el vector de Poynting y la densidad de momento electromagn´etico se debe recordar

cos2 kz−2π T t+δ = 1 T Z T 0 cos 2 kz−2π T t+δ dt= 1 2 resultando hui=1 2eoE 2 o (1.16) D ~SE=1 2eocE 2 ozˆ (1.17) h~℘i=1 2 eo c E 2 ozˆ (1.18) Ahora la intensidad I =Intensidad≡Potencia ´ Area = D ~ SE = 1 2ceoE 2 o

Supongamos que la luz incide en un medio en el cual se absorbe todo su momento I=Potencia ´ Area = Fd A∆t = Fc∆t A∆t =Pc P= I c = 1 2eoE 2 o (1.19)

donde Pes la presi ´on de radiaci ´on.

En un reflector perfecto es dos veces m´as grande que ´esta porque el momento s ´olo cambia de direcci ´on en lugar de ser absorbido.

El campo el´ectrico conduce cargas en la direcci ´on x y el campo magn´etico ejerce sobre ellas una fuerza q~v+~B en direcci ´on ˆz. La fuerza neta sobre todas las cargas es la que ejerce presi ´on sobre la superficie.

(6)

1.2.

Ondas Electromagn´eticas en Mater´ıa

Figura 1.3: Alessandro Giuseppe Antonio Anastasio Volta

Alessandro Giuseppe Antonio Anastasio Volta (1745-1827) fue profesor en la Universidad de Pav´ıa. Despu´es de Galvani descubri ´o que el contacto de dos metales diferentes con el m ´usculo de una rana daba lugar a una corriente el´ectrica, Volta comenz ´o a experimentar en 1794 con metales por s´ı solos y se encontr ´o que el tejido animal no era necesario para producir una corriente. Su invenci ´on y la demostraci ´on de la bater´ıa el´ectrica en 1800 present ´o la primera fuente de energ´ıa el´ectrica continua.

1.2.1.

Propagaci ´on en Medios Lineales y Homog´eneos

Analizaremos regiones libres de carga (ρf =0) y corrientes (~Jf =~0). Las ecuaciones de

Maxwell se convierten en ~ ∇·~D=0 ~ ∇·~B=0 ~ ∇ ×~E=−~B t ~ ∇ ×H~ = ~D t (1.20)

Ahora bien, si el medio es lineal

~ D=e~E ~H= 1 µ ~B (1.21) resultando que ~ ∇·~E=0 ~ ∇·~B=0 ~ ∇ ×~E=~B t ~ ∇ ×~B=µe∂ ~E t (1.22)

(7)

La situaci ´on es exactamente similar al vac´ıo, con el cambio deeoµo por y adem´as con v= √1 = c n (1.23) siendo n≡ r eoµo (1.24)

que es elindice de refracci´on del medio. Vale la pena decir que para la mayor´ıa de los metales, µµo por lo queµr=1 y n=

er.

Es f´acilmente demostrable que las f ´ormulas obtenidas antes, para el vac´ıo, siguen siendo v´alidas por la simple sustituci ´on de: µ−→µo, e−→eo y v−→c

Ahora bien, la densidad de energ´ıa, es u=1 2eE 2+ 1 µB 2 (1.25) y el vector de Poynting ~S= 1 µ( ~E×~B) (1.26)

Para ondas monocrom´aticas v= ω k Bo= 1 vEo I= 1 2evE 2 o

¿Qu´e pasa cuando una onda pasa de un medio a otro? En otras palabras, n1→n2. ¿Qu´e

sucede con la continuidad de~Ey la continuidad de~B?

Ecuaci ´on Implicaci ´on

~ ∇·~D=0 e1E1⊥=e2E⊥2 ~ ∇·~B=0 B1⊥=B⊥2 ~ ∇ ×~E=~B t E k 1 =E k 2 ~ ∇ ×~H= ~D t 1 µ1 B1k= 1 µ2 Bk2

(8)

En la tercera ecuaci ´on se est´a considerando el Teorema de Stokes E1k−Ek2 = l´ım S →0 d dt I S ~B·d~a=0 en otras palabras l´ım h→0h d~B dt =0

el flujo se tiene que desvanever. El mismo an´alisis se aplica para la ´ultima expresi ´on.

1.2.2.

Reflexi ´on y Transmisi ´on en Incidencia Normal

Figura 1.4: Incidencia Normal

Estudiemos el caso en el que el plano xyes la frontera entre dos medios lineales. Una onda plana, con frecuencia ω, viajando en la direcci ´on de z y polarizada en la direcci ´on de x se aproxima desde la izquierda; entonces, las ecuaciones quedan de la forma

(9)

Onda Incidente Onda Reflejada Onda Transmitida e ~ EI =Ee0Iei(k1z−ωt)xˆ ~eER =Ee0Rei(−k1z−ωt)xˆ ~EeT =Ee0Tei(k2z−ωt)xˆ e ~B I = e E0I v1 ei (k1z−ωt)yˆ ~eB R =− e E0R v1 ei (−k1z−ωt)yˆ ~eB T = e E0T v2 ei (k2z−ωt)yˆ

Ahora se considera las continuidad y las condiciones de frontera para z=0.

Se conoce Implica Resulta

e ~Ek 1 = e ~Ek 2 Ee1x =Ee2x Ee0I +Ee0R =Ee0T 1 µ1Be k 1 = 1 µ2Be k 2 1 µ1Be1y = 1 µ2Be2y 1 µ1Be0I − 1 µ1Be0R = 1 µ2Be0T

Sacando el primer resultando

e

E0I +Ee0R =Ee0T (1.27)

y trabajando un poco el segundo 1 µ1 e B0I − 1 µ1 e B0R = 1 µ1v1 h e E0I −Ee0R i = 1 µ2v2 e E0T por lo tanto e E0I −Ee0R = µ1v1 µ2v2 ˜ E0T =βEe0T (1.28) definiendo βµ1v1 µ2v2 = µ1n2 µ2n1 (1.29) SustituyendoEe0T de (1.27) en (1.28) e E0I +Ee0R = 1 β e E0I −Ee0R βEe0R+Ee0R =Ee0IβEe0I e E0R(1+β) =Ee0I(1−β) e E0R e E0I = 1−β 1+β

(10)

SustituyendoEe0R de (1.27) en (1.28) e E0I −hEe0T −Ee0I i =βEe0T 2Ee0I −Ee0T =βEe0T 2Ee0I =βEe0T +Ee0T e E0T(1−β) =2Ee0I e E0T e E0I = 2 1+β Suponiendo µ1 =µ2 =µ0 implica que β=

n2 n1 = v1 v2 e E0R = 1−v1 v2 1+v1 v2 e E0I = v2−v1 v1+v2Ee0I e E0T = 2 1+v1 v2 e E0I = 2 v2 +v1 v2 e E0I = 2v2 v1+v2 e E0I N ´ote que...

Siv2>v1 la onda incidente y la onda reflejada est´an en fase.

Siv2<v1 la onda incidente y la onda reflejada est´an en fase opuesta.

Las amplitudes reales de las ondas, est´an relacionadas por E0R = v2 −v1 v1 +v2 E0I E0T = 2v2 v1+v2E0I

con la intensidad dada por I= 1

2evE 2 0. Ahora, si µ1=µ2 R= IR II = n1−n2 n1+n2 2 T= IT II = e2v2 e1v1 E0T E0I 2 = v 2 1v2 v2 2v1 4v22 (v1+v2)2 = v1 v2 4v22 (v1+v2)2 =n2 n1 4v22 v22v21 v2 2 +2v1 v2 +1 = 4n2 n1 n2 2 n21 +2 n2 n1 +1 = 4n2 n1 n2 n1 +1 2 = 4n1n2 (n2+n1)2 donde se ha definido

(11)

R≡ coeficiente de reflexi ´on T≡ coeficiente de transmisi ´on

Ambos miden la fracci ´on de energ´ıa incidente que se refleja y transmite, respectivamente. En caso que R+T=(n1−n2) 2 (n1+n2)2 + 4n1n2 (n1+n2)2 =n 2 1−2n1n2+n22+4n1n2 (n1+n2)2 =n 2 1+2n1n2+n22 (n1+n2)2 =(n1+n2) 2 (n1+n2)2 =1 Como era de esperarse, se cumple la conservaci ´on de energ´ıa.

1.2.3.

Reflexi ´on y Transmisi ´on en Incidencia Oblicua

Asumiendo una onda plana monocrom´atica

Onda Incidente Onda Reflejada Onda Transmitida

e ~ EI =~eE 0Iei( ~kI·~rωt) e ~E R=~eE0Rei( ~kR·~rωt) e ~E T =~Ee0Tei( ~kT·~rωt) e ~B I = 1 v1 ˆ kI ×~EeI e ~B R= 1 v1 ˆ kR×~EeR e ~B T = 1 v2 ˆ kT×~EeT

las tres ondas tienen la misma frecuencia

ω=kIv1=kRv1=kTv2 por lo que kI =kR =v2 v1 kT= n1 n2 kT (1.30)

Combinando los campos en el medio 1~Ee

I +~eER y ~eBI +~BeR

y relacion´andolos con los campos del medio 2~eE

T +~BeT

, por las condiciones de frontera, observamos que van a tener la misma estructura, en z=0:

( )ei(~kI·~r−ωt) + ( )ei(~kR·~r−ωt) = ( )ei(~kT·~r−ωt)

Observaci ´on: la dependencia de x,yytest´a confinada a los exponenciales, debido a que las condiciones de frontera se mantienen en todos los puntos del plano y por todos los tiempos, estos factores exponenciales deben de ser iguales as´ı que, para los t´erminos espaciales, se cumple que

~kI·~r=~kR·~r=~kT·~r

en z=0, o bien

(12)

para todo x yy. Si en particular hacemos x=0, entonces

(kI)y= (kR)y= (kT)y (1.31)

Se puede orientar los ejes de tal forma que~kI se encuentre en el plano xz, implicando que

(kI)y=0= (kR)y= (kT)y.

Primera ley: los vectores de onda incidente, reflejado y transmitido forman un plano (llamado plano de incidencia), el cual incluye tambi´en a la normal a la superficie (el eje z en ´este caso).

Por otro lado, la ecuaci ´on (1.31) implica que:

kIsinθI =kRsinθR=kTsinθT

y comokI =kR entonces, sinθI =sinθR, quedando

θI =θR (1.32)

Segunda ley (ley de reflexi´on): El ´angulo de incidencia es igual al ´angulo de reflexi ´on.

Adem´as, kIsinθI =kTsinθT implicando que sinθT

sinθI

= kI

kT

=n1

n2.

Tercera ley (ley de refracci´on): m´as conocida como la ley de Snell

sinθT

sinθI

=n1

n2

(1.33)

´Estas son las tres leyes fundamentales de la ´optica geom´etrica y, como se pueden dar por deducidas directamente desde la electrodin´amica, tomando en cuenta que los factores exponenciales se cancelan, podemos usar las condiciones de frontera para escribir:

e1 e ~E 0I +~eE0R z =e2 e ~E 0T z e ~B 0I +~eB0R z = e ~B 0T z e ~E 0I +~eE0R xy = e ~E 0T xy 1 µ1 e ~ B0I +~eB0R xy = 1 µ2 e ~B 0T xy (1.34) donde~eB 0= 1 v~k× e ~

E0 para cada caso.

Supongamos que la polarizaci ´on de la onda incidente es paralela al plano de incidencia, se puede demostrar que la onda reflejada y transmitida tambi´en est´an polarizadas en ese plano. Es decir, se cumple lo que vemos en la figura y por lo tanto las ecuaciones (1.34) cambian a

(13)

Figura 1.5: Polarizaci ´on de la onda incidente paralela al plano de incidencia e1 h −Ee0IsinθI +Ee0RsinθR i =e2(−Ee0TsinθT) (1.35) 0=0 e

E0IcosθI +Ee0Rcosθ0R =Ee0TcosθT (1.36)

1 µ1v1 e E0I −Ee0R = 1 µ2v2Ee0T (1.37)

Utilizando las leyes de reflexi ´on y refracci ´on (1.32) y (1.36), se tiene que

e

E0IcosθI +Ee0RcosθR =Ee0TcosθT e E0I +Ee0R = cosθT cosθI e E0T e E0I +Ee0R =αEe0T (1.38) con α≡cosθT cosθI (1.39) Ahora, sumando (1.28) con (1.38)

e E0T e E0I = 2 α+β

(14)

y eliminando Ee0T queda e E0R e E0I = αβ α+β

Estas son lasEcuaciones de Fresnelpara el caso de la polarizaci ´on en el plano de incidencia. Hay dos ecuaciones de Fresnel para el caso de la polarizaci ´on perpendicular al plano de incidencia. Note que la onda incidente siempre est´a en fase con la onda transmitida. Las amplitudes de las ondas transmitida y reflejada dependen del ´angulo de incidencia, ya que α=α(θI), en

espec´ıfico: α= q 1−sinθT2 cosθI = s 1− n1 n2 sinθI 2 cosθI

En el caso de incidencia normal θI = 0 entonces α =1 y recuperamos las expresiones

anteriores. En el caso de incidencia paralela θI =π/2 y resulta que α diverge y la onda es

totalmente reflejada. l´ım α→+∞ e E0T e E0I =α→l´ım+∞ 2 α+β =0 l´ım α→+∞ e E0R e E0I =α→l´ım+∞ αβ α+β =1

De manera interesantres, existe un ´angulo intermiedio Angulo de Brewster´ θB en el cual

la onda reflejada es extinguida, de acuerdo con la primera ecuaci ´on de Fresnel, esto ocurre cuandoα=β β= s 1− n1 n2sinθI 2 cosθI β2= 1− n1 n2 2 sin2θI 1−sin2θI sin2θB= 1 −β2 n1 n2 2 −β2

ConsiderandoθI =θB, para medios ´opticos tales que µ1=µ2entonces β∼=

n2 n1 sin2θB = 1−β 2 1 β2 −β 2 = β 2 1+β2 tanββ 1 ∼ =β= n2 n1

(15)

Figura 1.6: Relaci ´on de β

La figura muestra una gr´afica de las componentes reflejadas y transmitidas como funci ´on del ´angulo de incidencia para las incidencias de aire (n1=1) a vidrio (n2=1.5). El n ´umero

negativo en la gr´afica indica que la onda est´aπ fuera de lugar en el rayo incidente. La potencia por unidad de ´area golpeando la superficie ~S·zˆ para la onda incidente es

II =1 2e1v1E 2 0IcosθI IR =1 2e1v1E 2 0RcosθR IT =1 2e2v2E 2 0TcosθT

Los cosenos se deben a que estamos hablando de potencia por unidad de ´area en la interfase y la interfase est´a a un ´angulo de los vectores de onda.

Los coeficientes de reflexi ´on y transmisi ´on de las ondas polarizadas paralelas al plano de incidencia son: R= IR II = E0R E0I 2 = αβ α+β T= IT II = e2v2 e1v1 E0T E0I 2 α=αβ 2 α+β 2

La figura muestra a R y T como funci ´on del ´angulo de incidencia para la interfase aire-vidrio. R es la fracci ´on de energ´ıa incidente que es reflejada y naturalmente desciende a cero al ´angulo de Brewster; T es la fracci ´on transmitida. Note queR+T=1.

(16)

1.3.

Absorci ´on y Dispersi ´on

Figura 1.7: Pierre-Simon Laplace

Pierre-Simon Laplace (1749-1827) era el hijo de un campesino. Mostr ´o su capacidad matem´atica temprana y a los dieciocho a ˜nos se traslad ´o a Par´ıs para hacer su camino en la matem´atica. Una carta de los principios de la mec´anica escrita a d’Alembert le gan ´o una c´atedra en la ´Ecole Militaire. Su descubrimiento de que la fuerza de atracci ´on de una masa sobre una part´ıcula podr´ıa ser obtenido directamente mediante la diferenciaci ´on de una sola funci ´on potencial sent ´o las bases para el an´alisis matem´atico de calor, el magnetismo y la electricidad. Porque ´el era apol´ıtico escap ´o de prisi ´on y la guillotina durante la Revoluci ´on. M´as tarde, se convirti ´o en un marqu´es.

1.3.1.

Ondas Electromagn´eticas en Medios Conductores

Hasta aqu´ı hemos supuesto queρf =0 y~Jf =0, tal suposici ´on es razonable cuando estamos

tratando con ondas que se propagan en el vac´ıo o a trav´es de materiales aislantes tales como el vidrio o el aire; sin embargo, en el caso de los conductores~Jf 6=0, en general

~J=σ~E (1.40)

Por lo que las ecuaciones de Maxwell quedan de la forma

~ ∇ ·~E=ρ e ~ ∇·~B=0 ~ ∇ ×~E=~B t ~ ∇ ×~B=µσ~E+µe∂ ~E t (1.41)

Sin embargo, por la ecuaci ´on de continuidad∇·~Jf =−

∂ρf t ∂ρf t =−∇·σ ~E=σ∇·~E=σ f ρf =ρf(0)e−σ/et=ρf(0)e−t/τ

(17)

Para un buen conductor σ → ∞ entonces τ → 0 resultando en ρf = 0. Reescribiendo las ecuaciones de Maxwell: ~ ∇ ·~E=0 ~ ∇·~B=0 ~ ∇ ×~E=~B t ~ ∇ ×~B=eµ∂ ~E t +µσ ~E (1.42)

dondeµσ~Ees el t´ermino diferente a medios no conductores. Ahora tomando ~∇ ×(∇ ×~ ~E)por lo que ~ ∇ ×(∇ ×~ ~E) =− t ~ ∇ ×~B =− t " eµ∂ ~ E t +µσ ~ E # −∇2~E+~∇(~∇·~E) =−eµ∂ 2~E t2 −µσ ~E t ∇2~E=µe∂ 2~E t2 +µσ ~E t (1.43) similarmente ∇2~B=µe∂ 2~B t2 +µσ ~B t (1.44)

Las ecuaciones (1.43) y (1.44) admiten soluciones que sean ondas planas

e ~E=~Ee 0ei (kz˜ −ωt) e ~B=~Be 0ei (kz˜ −ωt) pero esta vez, ˜k es un n ´umero complejo

˜

k=µeω2+iµσω (1.45)

si hacemos

˜

k=k+iκ y usamos la identidad trigonom´etrica

√ a+ib= (r 1 2 p a2+b2+a+i r 1 2 p a2+b2a ) entonces k=ω r 2   s 1+ σ 2 +1   1/2 (1.46) κ=ω r 2   s 1+ σ 2 −1   1/2 (1.47)

(18)

La parte imaginaria de ˜k una atenuaci ´on de la onda (decaimiento de la amplitud conz) ~E(z,t) =~Ee 0e −κzei(kz−ωt) (1.48) ~B(z,t) =~Be 0e −κzei(kz−ωt) (1.49)

La distancia a la que la amplitud se reduce a 1/ede su amplitud inicial se llamaprofundidad de penetraci´ony es una medida de cuanto penetra la onda en el conductor.

A=A0e−κz 1 e =e −κd e−1=e−κd 1=κd d= 1 κ considerandoA= A0

e . La parte real de ˜kdetermina la longitud de la ondaλ= 2π

v , la velocidad de propagaci ´on v= ω

k y el ´ındice de refracci ´on n= ck ω.

Las ondas planas atenuadas ((1.48) y (1.49)), satisfacen la ecuaci ´on de onda modificadas ((1.43) y (1.44)) para cualquier campo ~eE y ~Be pero las ecuaciones de Maxwell imponen

restricciones que sirven para determinar: 1. las amplitudes relativas

2. las fases

3. la polarizaci ´on de~E y~B

Ecuaci ´on Implicaci ´on

~ ∇·~eE=0 E~ez=~eBz =0 ~ ∇ ×~E=~B t e ~ E⊥~eB

con polarizaci ´on en x

e ~E=~eE 0e −κzei(kz−ωt)xˆ e ~B=ωe −κz | {z } e B0 ei(kz−ωt)yˆ

(19)

Sea ˜k=Keiφ donde |k˜|=pk2+κ2=ω v u u t s 1+ σ 2 y φ=tan−1κ k considerando las amplitudes complejas

e B0 = k˜ ωEe0 B0eiδB = | ˜ k|eiφ ω E0ei δE = |k˜|E0 ω ei (φ+δE) Resulatndo que φ=δBδE (1.50)

¡El campo magn´etico va a la zaga del campo el´ectrico! Las amplitudes reales de los campos el´ectricos y magn´eticos est´an relacionadas por

B0 E0 =|k˜| ω v u u t s 1+ σ 2

y, finalmente, los campos el´ectricos y magn´eticos son

~E=~E0eκzcos(kz

ωt+δE)xˆ

~B=~B0eκzcos(kz

ωt+δE+φ)xˆ

1.3.2.

Reflexi ´on en una superficie conductora

Las condiciones de frontera que hemos utilizado hasta ahora no se mantienen en presencia de cargas libres y corrientes; en lugar de eso, tenemos las condiciones m´as generales para medios lineales e1~E1⊥−e2~E⊥2 =σf ~ B1⊥−~B⊥2 =0 ~Ek 1 −~E k 2 =0 1 µ1 ~Bk 1 − 1 µ2 ~Bk 2 =~Kf ×nˆ (1.51) donde ~

Kf ≡ corriente por unidad de longitud en la superficie ˆ

n≡ vector normal a la superficie

Para conductores ´ohmicos~Jf =σf~E no puede haber corriente libre en la superficie ya que esto supondr´ıa un campo el´ectrico infinito en la vecindad.

Supongamos que el plano xy constituye la frontera entre un medio no conductor lineal 1 y un medio conductor 2, tambien suponga que una onda monocrom´atica, viajando en la direcci ´on zy polarizada en la direcci ´on xaproxim´andose por la izquierda.

(20)

Figura 1.8: Reflexi ´on en una superficie conductora

Figura 1.9: Reflexi ´on en una superficie conductora

Onda Incidente Onda Reflejada Onda Transmitida

e ~ EI(z,t) =Ee0Iei(k1z−ωt)xˆ ~eER(z,t) =Ee0Rei(−k1z−ωt)xˆ ~eET(z,t) =Ee0Tei(k2z−ωt)xˆ e ~B I(z,t) =Be0Iei (k1z−ωt)yˆ ~eB R(z,t) =Be0Rei (−k1z−ωt)yˆ ~Be T(z,t) =Be0Tei (k2z−ωt)yˆ con Be0I = e E0I ~v1 yBe0T = ˜ k2 ω e

(21)

Ecuaci ´on Implicaci ´on ~E⊥ 1 −~E ⊥ 2 =0 σf =0 ~B⊥ 1 =~B ⊥ 2 =0 σ=0 entonces ~Ek 1 =~E k 2 =⇒Ee0I +Ee0R=Ee0T (1.52) Con~Kf =0 1 µ1 e E0I v1 − 1 µ1 e E0R v1 = ek2 ωµ2 e E0T e E0I −Ee0R = µ1v1 µ2ω ˜ k2E0T =β˜Ee0T (1.53)

Relacionando (1.52) con (1.53) obtenemos

e E0R = 1−β˜ 1+β˜ e E0I e E0T = 2 1+β˜ e E0I

Relaciones exactamente iguales para un medio no conductor, solo que se cambia el n ´umero real βpor el n ´umero complejo ˜β

Para un conductor perfecto σ−→+∞

(+)k (−)κ=ω r 2   s 1+ σ 2 ±1   1/2 =∞=⇒k=∞ ∧ κ=∞ =⇒ |k˜2|=∞ =⇒ |β˜|=∞ l´ım |β˜|→+∞ e EOR e E0I =−1 |β˜|→l´ım+∞ e EOT e E0I =0

En ´este caso, la onda es reflejada completamente con un corrimiento de fase de π, ´esta es la raz ´on por la cual los conductores son usados para hacer buenos espejos.

(22)

1.4.

Ondas Guiadas

Figura 1.10: Sim´eon-Denis Poisson

Sim´eon-Denis Poisson (1781-1849) se vio obligado al estudio de la medicina por su familia, pero lo abandon ´o por las matem´aticas. En Par´ıs, en la ´Ecole Polytechnique, Laplace y Lagrange fueron sus instructores, y m´as tarde sus amigos de toda la vida. La obra m´as importante de Poisson es la aplicaci ´on de las matem´aticas a la electricidad y el magnetismo, y otras ´areas de la f´ısica. En 1812 public ´o un art´ıculo que conten´ıa muchas de las leyes m´as ´utiles de la electrost´atica y su teor´ıa de que la electricidad se compone de dos fluidos, en los que los imilares se atraen y los opuestos se repelen entre s´ı.

1.4.1.

Gu´ıa de Ondas

Hasta el momento, hemos tratado con ondas electromagn´eticas en una extensi ´on infina, ahora consideraremos ondas electromagn´eticas confinadas al interiror de un tubo hueco o gu´ıa de ondas.

Asumiremos que la gu´ıa de ondas es un conductor perfecto, as´ı que dentro del material por lo tanto~E=0,=⇒~B

t =0=⇒

~B=0. Por lo tanto, las condiciones de frontera en el interior

de la pared son~Ek=0 y~B⊥=0. Estamos interesados en ondas monocrom´aticas propag´andose por el tubo, entonces~Ey~B tienen la misma forma generica

e ~E=~eE 0(x,y)ei (kz−ωt) e ~B=~eB 0(x,y)ei (kz−ωt)

(23)

donde, kes real.~eEy~eBsatisfacen las ecuaciones de Maxwell en el vac´ıo ~ ∇·~E=0 ~ ∇·~B=0 ~ ∇ ×~E=~B t ~ ∇ ×~B= 1 c2 ~E t

Para fijar las condiciones de frontera debemos incluir las componentes longitudinales

(Ez,Bz) e ~E 0 =Exxˆ+Eyyˆ+Ezzˆ e ~B 0 =Bxxˆ+Byyˆ+Bzzˆ ∇ ×~E=−~B t : Ey x − Ey y =− Bz t =⇒iωBz (1.54) Ez y − Ey z =− Bx t =⇒ Ez y −ikEy=iωBx (1.55) Ex z − Ez x =− By t =⇒ikEx− Ez x =iωBy (1.56) ∇ ×~B= 1 c2 ~E t : By x − Bx y = 1 c2 Ez t =⇒ By x − Bx y =− iω c2Ez (1.57) Bz y − By z = 1 c2 Ex t =⇒ Bz y −ikBy=− iω c2Ex (1.58) Bx z − Bz x = 1 c2 Ey t =⇒ikBx− Bz x =− iω c2Ey (1.59)

Las ecuaciones (1.55), (1.56), (1.58) y (1.59) pueden ser resueltos por Ex,Ey,Bx,By

                               i. Ex= ω i c2 2 −k2 kEz x −ω Bz y ii. Ey= ω i c2 2 −k2 kEz y −ω Bz x iii. Bx= ω i c2 2 −k2 kBz x − ω c2Eyz iv. By= ω i c2 2 −k2 kBz y + ω c2Exz (1.60)

por lo tanto, basta con determinar Ez y Bz. Si conocemos ´estas dos f´acilmente se pueden

(24)

Aplicando las ecuaciones de Maxwell i. yii. a (1.60) ∇·~E=0 i ω c2 2 −k2 k 2E z x2 +ω 2Bz xy + k 2E z y2 −ω 2Bz yx +ikEz=0 k 2E z dx2 +k 2Ez dy2 =−kEz ω c2 2 −k2 2 x2 + 2 y2 + ω c2 2 −k2 Ez=0 Similarmente ∇·~B=0 2 x2 + 2 y2 + ω c2 2 −k2 Bz=0

Se pueden considerar diferenctes casos: 1. Ez=0 (transversal el´ectrico TE)

2. Bz =0 (transversal magn´eticoTM)

3. (Ez=0∧Bz=0) (transversal electromagn´eticoTEM)

En una gu´ıa de onda hueca no se puede dar el caso TEM.

1.4.2.

Ondas TE en una Gu´ıa de Forma Rectangular

La ecuaci ´on a resolver es

2 x2 + 2 y2 + ω c2 2 −k2 Bz=0 (1.61)

sujeto a la condici ´on de frontera

B⊥

x=0=0

Resolviendo por separaci ´on de variables a la ecuaci ´on diferencial Bz(x,y) =X(x)Y(y)

Yd 2X dx2 +X d2Y dy2 + ω c −k 2XY=0 dividiendo entre XY 1 X d2X dx2 + 1 Y d2Y dy2 + ω c 2 −k2 =0 −kx2−ky2+ ω c 2 −k2 =0

(25)

Figura 1.11: Ondas TE en una Gu´ıa de Forma Rectangular 1. 1 X d2X dx2 =−kx 2

La soluci ´on m´as general es

X(x) =Asinkxx+Bcoskxx

con su respectiva derivada dX dx =Akxcoskx−Bkxsinkx=0 Bx x=0=0 ∧ Ez=0=⇒iii.Bx= 1 ω c2 2 −k2 kBz x − ω c2 Ez y =⇒ Bz x x=0=0

Por otro lado Bx x=a=0 ∧ Ez x=a=0=⇒ X x x=a=0 =⇒sinkxa=0 −Bsinkxa=0 kx= mπ a m={0, 1, . . .} 2. 1 Y d2Y dy2 =−ky 2

(26)

Similarmente paraY kyb=nπ=⇒ky= nπ

b n={0, 1, 2, . . .} Con soluci ´on Bz=B0cos

mπx a cos

nπy a

´Esta soluci´on es llamada modo TEmn. El primer ´ındice convencionalmente es asignado a la

dimensi ´on larga y el segundo a la corta, as´ı que asumimos que a>b. A prop ´osito; al menos uno de los ´ındices tiene que que ser distinto de cero.

k2=−k2x−k2y+ω c2 2 k= s ω c 2 −π2 m a 2 +n b 2 Si ω<cπ r m a 2 +n b 2 =ωmn

El n ´umero de onda es imaginario y en lugar de tener una onda viajera tenemos campos atenuados exponencialmente, por la raz ´on ωmn es llamada frecuencia de corte para el medio

en cuesti ´on.

La frecuencia de corte m´as baja ocurre en el modo TE10 con ω10 =

cπ

a , a frecuencias m´as bajas ´esta onda no se propaga en absoluto.

El n ´umero de onda puede escribirse de manera m´as simple en t´erminos de la frecuencia de corte k=1 c q ω2−ω2mn La velocidad de la onda es v= ω c = c r 1−ωmn ω 2 >c

La cual es mayor que c, sin embargo lo que es importante para calcular el flujo de energ´ıa es la velocidad de grupo vg = dω dk = 1 dk dω =c r 1−ωmn ω 2 >c

(27)

´Indice general

1. Ondas Electromagn´eticas 1

1.1. Ondas Electromagn´eticas en el Vac´ıo . . . 1

1.1.1. Las Ecuaciones de Onda para~Ey~B . . . 1

1.1.2. Ondas Planas Monocrom´aticas . . . 2

1.1.3. Energ´ıa y Momento en Ondas Electromagn´eticas . . . 4

1.2. Ondas Electromagn´eticas en Mater´ıa . . . 6

1.2.1. Propagaci ´on en Medios Lineales y Homog´eneos . . . 6

1.2.2. Reflexi ´on y Transmisi ´on en Incidencia Normal . . . 8

1.2.3. Reflexi ´on y Transmisi ´on en Incidencia Oblicua . . . 11

1.3. Absorci ´on y Dispersi ´on . . . 16

1.3.1. Ondas Electromagn´eticas en Medios Conductores . . . 16

1.3.2. Reflexi ´on en una superficie conductora . . . 19

1.4. Ondas Guiadas . . . 22

1.4.1. Gu´ıa de Ondas . . . 22

(28)

´Indice de figuras

1.1. Luigi Galvani . . . 1

1.2. Direcci ´on de propagaci ´on . . . 4

1.3. Alessandro Giuseppe Antonio Anastasio Volta . . . 6

1.4. Incidencia Normal . . . 8

1.5. Polarizaci ´on de la onda incidente paralela al plano de incidencia . . . 13

1.6. Relaci ´on de β . . . 15

1.7. Pierre-Simon Laplace . . . 16

1.8. Reflexi ´on en una superficie conductora . . . 20

1.9. Reflexi ´on en una superficie conductora . . . 20

1.10. Sim´eon-Denis Poisson . . . 22

(29)

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

Related subjects :