1. Una partícula se mueve en el plano xy de modo que las componentes cartesianas de su aceleración vienen dadas por ax = -9x y ay = -9y (S. I.) a) ¿Qué tipo de movimiento se produce sobre cada eje ? b) Determinar los vectores de posición y de velocidad de la partícula sabiendo que en el instante inicial el punto pasa por el origen de coordenadas con una velocidad: v0 = i + 2j (S. I.) c) Determinar la trayectoria del punto y el máximo alejamiento del origen de coordenadas.
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a) Las ecuaciones que describen el movimiento de la partícula sobre los ejes x e y son:
sen(3 ) sen(3 ) x A t t B α β = + + 9 9 0 9 0 x x y y y y → + = → = − → + = → 9 x x y ⎧ = − ⎪⎪ ⎨⎪ = ⎪⎩ 0
ya que, por ser de la forma, , representan sendos m.a.s. simples en direcciones perpendiculares, con la misma frecuencia angular . 2 0 x+ω x= 3 rad/s ω=
b) Imponemos las condiciones iniciales a las soluciones de
sen( ) 0 0 sen 3 sen( ) 0 0 sen 3 x A x A t t y B y B α α β β ⎧ = = → = ⎧ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = ⎨⎪ ⇒ ⎨⎪ = = → = = ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ A B x y v0 t = =
Derivando con respecto al tiempo, obtenemos las componentes de la velocidad, a las que imponemos las condiciones iniciales:
3 cos3 3 1 1/ 3 m 0 3 cos3 3 2 2 / 3 m x A t x A A t y B t y B B ⎧ = ⎧ = = → ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ = ⎪ ⎨ ⎨ ⎪ = ⎪ = = → ⎪ ⎪ ⎩ ⎩
de modo que podemos escribir 1 3 2 3
sen 3 cos3 3sen 3
2cos3 6sen 3 sen 3 x t x t x t y t y t y t ⎧⎪⎪ = ⎪ ⎧⎪ = ⎧⎪ = − ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎨ ⎨ ⎪ ⎪⎪⎩ = ⎪⎪⎩ = − ⎪ = ⎪⎪⎪⎩
c) Se trata de dos m.a.s. de la misma frecuencia, en fase y en direcciones perpendiculares, de modo que la trayectoria de la partícula es rectilínea, como resulta fácil comprobar eliminando el tiempo entre la ecuaciones paramétricas de la misma. Esto es,
1 3 2 3 sen 3 1/ 3 1 2 / 3 2 se 3n x t x y y t 2 y= x ⎧⎪⎪ = ⎪⎪⎪ → = = → ⎨⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ = ⎪
El máximo alejamiento del origen será: 2 2 1 4 9
5 3 9
2. Una esfera uniforme de radio R y masa M, se mantiene en reposo sobre un plano inclinado de ángulo θ mediante una cuerda horizontal como se muestra en la figura, siendo el coeficiente de rozamiento entre las superficies μ . Determinar: a) La tensión de la cuerda. b) La fuerza normal ejercida sobre la esfera por el plano inclinado. c) La fuerza de rozamiento que actúa sobre la esfera. Aplicación numérica: M = 3 kg, θ = 30º y μ =
0.5. θ
Aplicamos las ecuaciones cardinales de la estática, tomando momentos con respecto a un eje en O:
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Revisión: 04/04/2008 - Impresión:04/04/2008 O Σ 0 [1] Σ 0 [2] Σ 0 [3] x y F T F N M T = ⇒ = ⇒ = ⇒ cos sen cos sen f Mg Mg T R f R T f θ θ θ θ + = = = → = +
θ
y
x
T
Mg
f
N
A
θ
θ
O
de modo que disponemos de 3 ecuaciones con 3 incógnitas (T, N y f ).
Rescribimos la ec. [1] con T = f :
sen 1 co (1 cos ) sen s T θ Mg θ T θ θ = + + = → Mg y de la ec. [2] se sigue: 2 2 2 sen cos sen cos
1 cos cos cos sen 1 cos
1 cos 1 cos N Mg T Mg Mg Mg θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ = + =⎜⎜⎜ + ⎟⎟ + ⎝ ⎠ + + + = = + + Mg = = de modo que sen sen 1 cos 1 cos T θ Mg N Mg f θ Mg θ θ = = = + + y sustituyendo valores 0.8 s 0 en 4 k 30º 3 1 cos 30º g 3 kg 0.804 kg T= × = N= = + f
Como la magnitud del la fuerza de rozamiento es tal que
max 0.5 3 1.5 kg
f ≤ f =μN= × = efectivamente hay equilibrio.
3. Desde lo alto de una torre de 30 m de altura se lanza un cuerpo con una velocidad de 20 m/s y una inclinación de 45º (en elevación) con respecto a la horizontal. a) ¿Con qué velocidad (módulo) llegará al suelo? b) ¿Se conseguirá que llegue al suelo con más velocidad si lanzamos el objeto con otro ángulo de inclinación ? ¿Con cuál? a) Conservación de la energía: 2 2 2 2 0 f f 0 1 1 2 20 2 9.8 30 31.43 m 2 2 mgH+ mv = mv → v = v + gH = + × × = /s
b) En el planteamiento y resultado del apartado anterior no interviene el ángulo de lanzamiento. Por consiguiente, no se conseguirá ni más ni menos velocidad para otros ángulos.
H=30 m
v0 =20 m/s
vf =31 m/s θ0=45º
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4. Una onda sonora disminuye su nivel de intensidad en 30 dB cuando avanza 50 m. Determínese el coeficiente de absorción de dicha onda en el medio en el que se propaga en los siguientes supuestos: a) SE trata de una onda plana. b) Se trata de una onda esférica a 100 m de su foco.
Sea βel nivel de intensidad de la onda sonora definido por
0
10lg I I
β= , siendo I la intensidad e I0 la intensidad umbral de referencia. Determinamos la relación existente entre la variaciones del
nivel de intensidad y los cocientes de intensidades:
Δ /10 30/10 3 2 2 2 1 1 1 Δ 10 lg I I 10 10 10 I I β β=β − =β → = = − = − a) Onda plana:I =I0 e−αx 1 2 1 2 1 0 2 ( ) Δ 1 2 1 2 0 1 ln Δ e e x x x x x I I e I I I e I x I I α α α α α − − − − − = − ⎫⎪ = ⎪ ⇒ = = → ⎬⎪ = ⎪⎭ y sustituyendo valores 3 1 -1 2 1 1 ln ln10 Δ 50 0.138 m I x I α= = = b) Onda esférica: 2 1 2 2 - ( ) - Δ 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 e e 1 ln Δ r r r r I r 2 1 I I I r r r r r I I α − α α= − = → = → I1 r1 =100 m I2 r2 y sustituyendo valores
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Revisión: 04/04/2008 - Impresión:04/04/2008 2 3 1 150 ln 10 50 100 0.122 m α= − ⎡⎢ − ⎛⎜ ⎞⎟⎟ ⎤⎥= -1 ⎜ ⎢ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
5. En un pulverizador de pesticida se sopla aire sobre el extremo superior de un tubito abierto por sus dos extremos, estando el extremo inferior sumergido en un recipiente que contiene líquido de densidad 0.92 g/cm3. ¿Cuál deberá ser la velocidad mínima del aire que pueda elevar el líquido 10 cm para ser dispersado? (Densidad del aire, 1.25 g/L). líquido A B 1 2 aire
Aplicamos la ecuación de Bernoulli entre A y B, a lo largo de la corriente de aire 2 A aire 1 2 atm p + ρ v = p (1)
Aplicamos la ecuación fundamental de la estática de fluidos entre los puntos 1 y 2 (en el líquido)
atm 2 liq
p =p +ρ gh (2)
Sumamos miembro a miembro (1) y (2) y tenemos en cuenta que pA= p2,
2 aire liq 1 2ρ v =ρ gh de modo que liq aire 2 2 920 9.8 0.1 1.25 38 m/s gh v ρ ρ × × × = = =
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6. A presión constante, se suministran 500 J en forma de calor a 2 moles de un gas ideal biatómico.Calcular:
a) El incremento de temperatura. b) El trabajo realizado por el gas. c) El cociente entre el volumen final y el inicial del gas si la temperatura inicial es 20 ºC. d) La variación de entropía. Dato:R = 8.31451 J/mol K.
Por tratarse de un gas biatómico, serán 5 20.786 J/ mol K 2 7 29.101J/ mol K 2 V V p p C R C C R C ⎧⎪⎪ = ⇒ = ⋅ ⎪⎪ ⎨⎪ ⎪ = ⇒ = ⋅ ⎪⎪⎩
a) Se trata de un proceso de expansión isobárico, por lo que Q = n CpΔT 500 Δ 8.59 K 2 29.101 Δ 8.6 p Q T nC T = = = ⇒ = × K
b) Calculamos la variación de la energía interna:
ΔU=nC TVΔ = ×2 20.786 8.59× ⇒ ΔU =357 J 500 357 143 J W = −Q ΔU= − = c) 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 293. 1.03 15 8.59 301.74 293.15 293.15 pV pV V T T T V T T V T T V Δ + + = → = = → = = =
d) Calculamos la variación de entropía para un proceso isóbaro
2 1 2 1 d d 301.59 Δ ln 2 29.101 ln 293.1 J 1.67
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Revisión: 04/04/2008 - Impresión:04/04/2008 K 5 T p p p T Q nC T T S nC T T T =
∫
=∫
= = × × =Departamento de Física Aplicada Universidad de Córdoba Revisión: 04/04/2008 - Impresión:04/04/2008
7. Expresar en función del tiempo la carga acumulada y la d.d.p. en bornes de cada uno de los condensadores C1, C2 y C3 de la figura considerando t = 0 en el instante en que se cierra el interruptor. Y que los condensadores están inicialmente descargados.
En el proceso de carga de un condensador a través de una
resistencia, la carga que adquiere el mismo y la d.d.p. entre bornes son funciones del tiempo y vienen dadas por las expresiones:
12V R=1000 Ω C1=3μ F C2=6μ F C3=4μ F ( ) (1 e-t / RC) ( ) / (1 e-t / RC) q t =EC − v t =q C=E − Determinamos la capacidad del condensador equivalente entre A y B :
A B R Ceq
ε
1 2 eq 1 2 3 6 2μF 2 4 6μF 3 6 C C C C × = = = = + = + + 12 C C 12 V 1000 C RC E de modo que 6μF = Ω 6 72 μF C 0.006 s = 6 ms = μ = × = ×La carga del condensador equivalente y la diferencia de potencial entre los puntos A y B vienen dada por
(
)
(
)
eq /0.006 eq /0.006 AB 1 72 1 μC 1 12 1 t t RC t RC t q e e v e e − − − − ⎛ ⎞⎟ ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ = ⎜⎜ − ⎟⎟= − = ⎜⎜ − ⎟⎟= − ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ EC E VLos condensadores C12 (C1 +C2 en serie) y C3 soportan la misma tensión:
(
/0.006)
(
/0.006)
3 μC 12 1 V t t e− ⎧⎪⎪v e− ⎪ − = − =(
)
(
)
(
)
3 3 3 12 12 /0.006 /0.006 12 3 2 4 12 24 1 μ 12 48 1 C 12 1 V t t q q q q C C q e v e q − − ⎧⎪⎪ ⎪ = → = → ⎨⎪ → ⎨⎪ = − = − ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎩⎪Los condensadores C1 y C2 en serie adquieren la mima carga:
(
)
(
)
/0.006 1 1 1 /0.006 1 2 /0.006 2 2 2 8 1 V 24 1 μC 4 1 V t t t q v e C q q e q v e C − − − = = − = = − → = = − 12 q ⎧⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ = ⎨⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎩8. Un disco aislante de radio R está cargado eléctricamente con una carga +Q repartida uniformemente por su superficie. Calcúlese el campo magnético B que se origina en su centro al girar alrededor de su eje de simetría con velocidad angular ω.
La densidad de carga superficial es
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Revisión: 04/04/2008 - Impresión:04/04/2008 2 Q R σ π = r
Consideramos una corona circular r y espesor dr, cuya superficie diferencial esd 2 y que posee una carga eléctrica infinitesimal
d S= πr 2 2 2 2 d d Q Q r r r r R R σ π = dq dS π = = r
ω
r dr
r
drv=
ω
×
r
e
rB
Esta carga se mueve con una velocidad v, por lo que crea un campo magnético dado por la ley de Biot-Savart: 0 2 d d 4 r q r μ π × = v e B con ( ) ( ) r r r r r r r r r = × = − × → × = − × × = × × = + v ω r ω e v e ω e e e ω e ω
por lo que el campo elemental creado por la rotación ωde la corona es:
0 0 0 2 2 2 2 2 d d d 4 4 2 Q r Q r q r r r R r R μ μ μ π π π = ω= ω= B ωdr
Integrando la expresión anterior, dado que todas las coronas circulares contribuyen en la misma dirección, obtenemos 0 0 2 0 d 2 2 2 R Q QR r 0 2 Q R R R μ μ π π = = = μ π
∫
B ω ω ωAsí, el campo magnético en el centro del disco tiene la mima dirección que ω y viene dado por la expresión: 0 2 Q R μ π = B ω
9. Cuando se conecta un circuito RLC serie a una línea de 120 V eficaces y 60 Hz de frecuencia, circula una corriente eficaz de 11 A, adelantada 45º respecto de la tensión. a) Hallar la potencia suministrada al circuito y la resistencia óhmica del mismo. b) Si la autoinducción es L = 0.05 H, hallar la capacidad C presente en el circuito.
c) ¿Qué capacidad o autoinducción deberán añadirse para que el factor de potencia sea 1?
2 2 60 120 rad/s ω= πν= π× = π L R C 120 V 60 Hz B A Lcorr 0 45º 45º 120 10.9 Ω =(7.71-7.71j) Ω 11 − =V = = Z I
de modo que el circuito RCL es capacitativo.
a) La resistencia óhmica es la parte real de la impedancia:
(capacitativo)
7.71Ω 7.71Ω = -45º
R = X = − φ
La potencia suministrada al circuito es P V I= ⋅ ⋅cosφ=120 11 cos× × 45=933.4 W
b) Calculamos la capacidad pedida:
120 0.05 18.85 Ω
18.85 ( 7.71) 26.
99.9 μ
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Revisión: 04/04/2008 - Impresión:04/04/2008 F 56 Ω 1 1 1 120 26.56 L L C C L C C X L X X X X X X X C C X ω π ω ω π = = × = = − → = − = − − = = → = = = ×
c) Para corregir completamente el factor de potencia necesitamos colocar una autoinducción en paralelo con la carga total:
I Iact Icorr Ireact 45º react corr corr sen 120 0.041 H sen 120 11 sen 45º 41 mH V I I L V L I φ ω ω φ π = = → = = = = × ×