Facultad Regional Rosario Universidad Tecnológica Nacional

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1

PRÁCTICA

DE FÍSICA I

Facultad Regional Rosario

Universidad Tecnológica Nacional

UDB Física Cátedra FÍSICA I

(2)

INDICE:

1

RA

PARTE

PRACTICA TEMA PAGINA

1 VECTORES 1

2 MOVIMIENTO EN LÍNEA RECTA 7

3 MOVIMIENTO EN DOS O TRES DIMENSIONES 11

RESPUESTAS PROBLEMAS IMPARES 15

2

DA

PARTE

PRACTICA TEMA PAGINA

4 LEYES DE NEWTON 17

5 TRABAJO, ENERGIA Y POTENCIA 24

6 IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO 29

3

RA

PARTE

PRACTICA TEMA PAGINA

7 ROTACION DE CUERPOS RIGIDOS 37

8 DINAMICA DEL MOVIMIENTO ROTACIONAL 41

9 EQUILIBRIO Y ELASTICIDAD 47

4

TA

PARTE

PRACTICA TEMA PAGINA

10 MOVIMIENTO PERIODICO 50

11 HIDROSTATICA 53

12 HIDRODINAMICA 56

RESPUESTAS PROBLEMAS PARES E IMPARES 59

(3)

1

rraa

P

A

R

T

E

V

E

C

T

O

R

E

S

Algunas cantidades físicas, como el tiempo, la temperatura, la masa y la densidad, se pueden describir plenamente con un número y una unidad, pero existen otras cantidades importantes, como el desplazamiento, la velocidad, la aceleración y la fuerza que están asociadas a una dirección y no pueden describirse con un solo número y una unidad. Un ejemplo sencillo es el movimiento de un automóvil: para describirlo plenamente, debemos indicar no sólo qué tan rápidamente se mueve, sino también hacia dónde va. Para ir de la ciudad de Rosario a la de Victoria, debe ir al este, no al sur. La rapidez del automóvil combinada con su dirección y sentido constituye una cantidad llamada velocidad. Por lo tanto si una cantidad física se describe con un solo número, decimos que es una cantidad escalar. En cambio, una cantidad vectorial tiene módulo, dirección y sentido. Los cálculos con escalares usan las operaciones aritméticas ordinarias. Por ejemplo, 6 kg + 3 kg = 9 kg, ó 4 x 2 s = 8 s. Combinar vectores requiere de operaciones distintas.

Un vector se representa gráficamente por una flecha cuya dirección es la misma que la del vector y cuya longitud es proporcional al módulo del vector. Cuando se expresa el módulo de un vector, debe venir acompañado de sus unidades. Así, el módulo del vector velocidad se expresa en metros por segundo.

Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Gráficamente esto significa que tienen la misma longitud y son paralelos el uno al otro.

Vector desplazamiento

Para entender mejor los vectores y su combinación, comencemos con la cantidad vectorial más simple, el desplazamiento, que es un cambio en la posición de un punto.

La Figura 1-1 muestra la trayectoria de una partícula que se

mueve desde el punto P1 hasta un segundo punto P2 y luego a un tercer

punto P3. El desplazamiento de P1 a P2 viene representado por el vector A

y el desplazamiento de P2 a P3 Por B. Obsérvese que el vector

desplazamiento depende sólo de los puntos extremos y no de la trayectoria real de la partícula; no se relaciona directamente con la distancia total recorrida. Si la partícula volviera a P1, el desplazamiento

total sería cero.

Vamos a representar a los vectores como por ejemplo los desplazamientos de la Figura 1-1 con letras negritas, mayúsculas y cursivas (A, B, C)

Para representar el módulo de una cantidad vectorial (su longitud, en el caso de un vector de desplazamiento) con la misma letra que usamos para el vector pero sin negritas: A, o una notación alterna es el símbolo vectorial encerrado en barras verticales: |A|

Módulo de A: A ó |A|

Al dibujar diagramas con vectores, debemos usar una escala adecuada, en la que la distancia en el diagrama sea proporcional al módulo del vector. Por ejemplo, un desplazamiento de 5 km podría representarse con un vector de 1 cm en el diagrama y lo anotaríamos como ESC. Desplazamiento = 5 km/1cm

Al trabajar con cantidades vectoriales distintas a los desplazamientos, como por ejemplo fuerzas, también debemos adoptar una escala. En un diagrama de vectores de fuerza podríamos representar una fuerza de 4 N con un vector de 1 cm. Entonces, un vector de 5 cm representaría una fuerza de 20 N y lo anotaríamos como ESC. Fuerza = 4 N/1cm

U UU U U U U

UNNNNNNNNIIIIIIIIVVVVVVVVEEEEEEEERRRRRRRRSSSSSSSSIIIIIIIIDDDDDDDDAAAAAAAADDDDDDDD TTTTTTTTEEEEEEEECCCCCCCCNNNNNNNNOOOOOOOOLLLLLLLLÓÓÓÓÓÓÓÓGGGGGGGGIIIIIIIICCCCCCCCAAAAAAAA NNNNNNNNAAAAAAAACCCCCCCCIIIIIIIIOOOOOOOONNNNNNNNAAAAAAAALLLLLLLL

F FF F F F F

Faaaaaaaaccccccccuuuuuuuullllllllttttttttaaaaaaaadddddddd RRRRRRRReeeeeeeeggggggggiiiiiiiioooooooonnnnnnnnaaaaaaaallllllll RRRRRRRRoooooooossssssssaaaaaaaarrrrrrrriiiiiiiioooooooo

U U U U U UU UDDDDDDDDBBBBBBBB FFFFFFFFííííííííssssssssiiiiiiiiccccccccaaaa aaaa

CCCCCCCCáááááááátttttttteeeeeeeeddddddddrrrrrrrraaaaaaaa FFFFFFFFÍÍÍÍÍÍÍÍSSSSSSSSIIIIIIIICCCCCCCCAAAAAAAA IIIIIIII

P1 A B P3 P2 C Figura 1-1

(4)

Suma de vectores

En la Figura 1-1 el desplazamiento resultante de P1 a P3, llamado C, es la suma de los dos

desplazamientos sucesivos A y B: C=A+B

El resultado final es el mismo que si la partícula hubiera partido del punto P1 y hubiera sufrido un

solo desplazamiento hasta P3. Llamamos a C como vector sumatoria, o resultante de los

desplazamientos.

Dos vectores desplazamiento se suman gráficamente situando el origen de uno en el extremo del otro (Figura 1-2). El vector resultante se extiende desde el origen del primer vector al extremo final del segundo.

Una forma equivalente de sumar vectores es el llamado método del paralelogramo, que consiste en desplazar Bhasta que coincida su origen con el de A. La diagonal del paralelogramo formado por A y

B es igual a C. Como puede verse en la Figura 1-3, no existe diferencia en el orden en que sumemos los vectores; es decir A+B=B+A.

Si necesitamos sumar más de dos vectores, podemos sumar primero dos cualesquiera y luego sumar la resultante al tercero y así sucesivamente.

Resta de vectores

Para restar el vector B del vector A basta sumarle-B. El resultado es C = A+ (-B)=A -B. Así, el vector -B tiene el mismo módulo queB, pero apunta en dirección opuesta, de modo que B + (-B) = 0.

Producto de un vector por un escalar

Un vector A multiplicado por un escalar k es el vector B = k . A, que tiene módulo k . A y es paralelo a A, si k es positivo, y opuesto a A si k es negativo. Las dimensiones de k . A son las de k

multiplicadas por las de A.

Componentes de los vectores

Hasta ahora sumamos vectores utilizando métodos gráficos, adoptando escalas y realizando los diagramas, pero la exactitud de las mediciones es muy limitada. Necesitamos un método simple pero general para sumar vectores: el método analítico de componentes.

Para definir las componentes de un vector partimos de un sistema rectangular de ejes coordenadas (cartesiano) (Figura 1-4) y dibujamos el vector en cuestión con su origen en O. Podemos representar cualquier vector en el plano xy como la suma de un vector paralelo al eje x y uno paralelo al eje y. Rotulamos esos vectores y en la figura; son los vectores componentes del vector y su suma vectorial es igual a:

A = Ax + Ay

Por definición, cada vector componente tiene la dirección de un eje de coordenadas, por lo que sólo necesitamos un número para describirlo. Si el vector componente de Ax apunta hacia la dirección x

positiva, definimos el número Ax como positivo y si Ax apunta en la dirección x negativa, es igual al

negativo de dicho módulo, teniendo presente que el módulo en sí de un vector nunca es negativa. Definimos el número Ay del mismo modo. Ax y Ay son las componentes deA.

Las componentes Ax y Ayde un vector son sólo números que pueden ser positivos o negativos, no

son vectores. Por ello las simbolizamos con letras delgadas, en vez de las letras negritas cursivas que

A B C= A +B Figura 1-2 A B C Figura 1-3 C= A + B = B+ A x A Figura 1-4 θ y Ax Ay O

(5)

están reservadas para los vectores.

Podemos calcular las componentes de A si conocemos su módulo, dirección y sentido. Describimos la dirección y sentido de un vector con el ángulo de referencia θ (la letra griega “theta”) que se mide en un sistema de ejes ortogonales x-y, en giro antihorario

(

)

desde la semi-recta positiva del eje x hasta la recta de dirección del vector.

Si medimos de esta manera θ, por la definición de las funciones trigonométricas: cos θ =Ax /|A|

Ax = |A| . cos θ (1)

sen θ =Ay / |A|

Ay = |A| . sen θ (2)

En la Figura 1-4 Ax y Ay son positivos porque su dirección está en el primer cuadrante (entre 0° y

90°). Esto es congruente con las ecuaciones (1) y (2) pues tanto el coseno como el seno del ángulo son positivos en este cuadrante. En cambio, en la Figura 1-5a, la componente Bxes negativa; su dirección es

opuesta a la del eje +x. Esto también es congruente con las ecuaciones (1); el coseno de un ángulo en el segundo cuadrante es negativo. La componente By es positiva (sen θ es positivo en el segundo cuadrante), en la Figura 1-5b, tanto Cxcomo Cyson negativas (cos θ y sen θ son negativos en el tercer cuadrante), en la Figura 1-5c, la componente Dy es negativa; Esto también es congruente con las

ecuaciones (2); el seno de un ángulo en el cuarto cuadrante es negativo.

Podemos describir un vector plenamente dando su módulo, dirección y sentido o bien sus componentes x e y. Las ecuaciones (1) y (2) indican cómo obtener las componentes si conocemos la magnitud y la dirección. También podemos invertir el proceso y obtener el módulo, dirección y sentido a partir de las componentes. Aplicando el teorema de Pitágoras a la Figura 1-4, vemos que el módulo de un vector es:

Donde siempre tomamos la raíz positiva. La ecuación (3) es válida para cualesquier ejes x e y, en tanto sean perpendiculares. La expresión para la dirección vectorial proviene de la definición de la tangente de un ángulo. Si medimos θ desde el eje +x, y un ángulo positivo se mide hacia el eje +y, entonces:

En el uso de la ecuación (4) hay una pequeña complicación, cuando alguna de las componentes sea negativa, es conveniente calcular θ´ (Figura 1-5) pero con las componentes con signo positivo.

Para el vector B de la Figura 1-5a:

|A| = Ax2 + Ay2 (3) tg θ = Ay Ax y θ = arctg Ay Ax (4) y θB= 180° - θ´ θ´ = arctg By Bx x B (a) (b) (c) Figura 1-5 θB y Bx (-) By (+) θ´ x C θC y Cx (-) Cy (-) θ´ x D θD y Dx (+) Dy (-) θ´

(6)

Para el vector C de la Figura 1-5b:

Para el vector D de la Figura 1-5c:

Suma de vectores utilizando componentes

Veamos cómo usar componentes para calcular la resultante de dos o más vectores. La Figura 1-6 muestra dos vectores, A y B y su suma R junto con las componentes x e y de los vectores. Es evidente que la componente Rx es la resultante de la suma (Ax +

Bx) de las componentes x de los vectores sumados. Lo mismo sucede con las componentes y. En símbolos:

Rx = Ax + Bx Ry = Ay + By (5) (Componentes de R = A + B)

Si conocemos las componentes de dos vectores

cualesquiera, y tal vez usando las ecuaciones (1) y (2), podemos calcular las componentes de la resultante. Entonces, si necesitamos el módulo, dirección y sentido podremos obtenerlas de las ecuaciones (3) y (4), cambiando las Apor R. Es fácil extender este procedimiento a cualquier cantidad de vectores, las componentes de son:

Rx = Ax + Bx + Cx + Dx + ….

Ry= Ay + By + Cy + Dy + ….

Por último, aunque nuestro análisis de la suma de vectores se centró en combinar vectores de desplazamiento, el método se puede aplicar igualmente a todas las demás cantidades vectoriales. Al estudiar el concepto de fuerza veremos que las fuerzas son vectores que obedecen las mismas reglas de suma vectorial que usamos con el desplazamiento.

Vectores unitarios

Un vector unitario es un vector con módulo 1, sin unidades. Su único fin es direccionar, o sea, describir una dirección en el espacio. Los vectores unitarios son una notación cómoda para muchas expresiones que incluyen componentes de vectores.

En un sistema de coordenadas x-y podemos definir un vector unitario que apunte en la dirección del eje +x y un vector unitario que apunte en la dirección +y. Así, podemos expresar la relación entre vectores componentes y componentes, como sigue:

Ax = Axi

Ay = Ayj (6)

Asimismo, podemos escribir un vector en términos de sus componentes como: A = Axi+ Ayj (7)

Las ecuaciones (6) y (7) son vectoriales; cada término, como es un vector (Figura 1-7). Los signos igual y más indican igualdad y suma de vectores. Cuando representamos dos vectores y en términos de sus componentes, podemos expresar la resultante usando vectores unitarios como sigue:

A = Axi+ Ayj B = Bxi+ Byj R = A + B R = (Axi + Ayj) + (Bxi+ Byj) R = (Ax + Bx )i + (Ay+ By)j (8) R = Rx i+ Ry j y θ C= 180° + θ´ θ´ = arctg D_Dy x y θ D= 360° - θ´ y A B x R Figura 1-6 Bx By Ay Ax Ry Rx y x A Figura 1-7 j i _A_x_i Ayj θ´ = arctg Cy Cx

(7)

(12 m) (15 m) y x 30° (6 m) 36,9° 60° B C A Figura 1-10

La ecuación (8) plantea el contenido de las ecuaciones (5) en forma de una sola ecuación vectorial en lugar de dos ecuaciones de componentes.

Si todos los vectores no están en el plano xy, necesitaremos una tercera componente. Introducimos un tercer vector unitario k que apunta en la dirección del eje +z. Las formas generalizadas de las ecuaciones (7) y (8) son: A = Ax i+ Ay j+ Az k

R = (Ax + Bx ) i+ (Ay+ By)j + (Az+ Bz)k

R = Rx i + Ry j + Rz k

P

R

Á

C

T

I

C

A

N

º

1

1 :

:

V

E

C

T

O

R

E

S

1.1- Un empleado postal conduce su camión por la ruta de la Figura 1-8. Calcular el módulo, dirección y

sentido del desplazamiento resultante en un diagrama en escala.

1.2- Verificar con un ejemplo la siguiente suma vectorial:

A + B + C = B + C + A

1.3- Dados los vectores A y B de la Figura 1-9, use un dibujo en escala para obtener el módulo,

dirección y sentido de:

a) La sumaA + B

b) La diferencia A - B

1.4 - En base a las respuestas a) y b) del problema 1.3 (Figura 1-9), calcular el módulo, dirección y

sentido de:

a) - A - B

b) B - A

1.5- Calcule las componentes x e y de los vectores de la Figura 1-10.

(12 m) (9 m) y x 30° B A Figura 1-9 45° INICIO FIN

*

4 km 2 k m Figura 1-8 0 E N S

(8)

1.6- Verificar los resultados obtenidos en el problema 1.5- gráficamente.

1.7- Sea el ángulo θ el que forma el vector A con el eje +x, medido en sentido antihorario a partir de ese

eje. Calcular el ángulo θ para un vector que tiene estas componentes:

a)Ax = 2,00 m, Ay = - 1,00 m;

b) Ax = 2,00 m, Ay = 1,00 m,

c) Ax = - 2,00 m, Ay = 1,00 m,

d)Ax = - 2,00 m, Ay = - 1,00 m.

1.8- Utilizando el método de componentes, verificar el módulo, dirección y sentido del desplazamiento

resultante del empleado postal que conduce el camión por la ruta de la Figura 1-8.

1.9- Para los vectores A y B de la Figura 1-9, use el método de componentes para obtener el módulo,

dirección y sentido de:

a) A + B;

b) la diferencia vectorial A -B

1.10- El vector A tiene componentes Ax = 2,70 cm, Ay = 2,25 cm; el vector B tiene componentes Bx =

0,30 cm, By = 1,75 cm.

a) Calcular las componentes de la resultante A + B

b) Calcular el módulo, dirección y sentido de A + B

c) Calcular las componentes del vector diferencia A - B

d) Calcular l el módulo, dirección y sentido de A - B

1.11- Un automovilista conduce 3,25 km al norte, 4 km al oeste y 1,5 km al sur. Calcular el módulo,

dirección y sentido del desplazamiento resultante utilizando el método de componentes.

1.12- En un diagrama de suma de vectores (en escala), muestre que el desplazamiento resultante

obtenido en el problema 1.11- coincide cuantitativamente con el obtenido con el método de componentes.

1.13- Escribir los vectores de la Figura 1-9 en términos de los vectores unitarios i y j

1.14- Escribir los vectores de la Figura 1-10 en términos de los vectores unitarios i y j

1.15- De la Figura 1-9:

a) Utilizandovectores unitarios calcular el vector C, donde C = 3 . A - 2 . B

b) Calcular el módulo, dirección y sentido de C

1.16- ¿Qué obtenemos si multiplicamos un vector por un escalar igual -1?

1.17- Dados dos vectores:

A = 4,00 m i + 3,00 m j

B = 5,00 m i - 2,00 m j

a) Calcular el módulo de cada vector.

b) Calcular A - B usando vectores unitarios.

c) Obtener el módulo, dirección y sentido de A - B

d) Dibujar un diagrama vectorial que muestre y demuestre que coincide con su respuesta a la parte (c).

(9)

P

R

Á

C

T

I

C

A

N

º

2

2 :

:

M

O

V

I

M

I

E

N

T

O

E

N

L

Í

N

E

A

R

E

C

T

A

2.1- Un móvil recorre con movimiento rectilíneo 900 km en 4 horas. Determinar la magnitud de la

velocidad media y expresarla en m/s y cm/s.

2.2- Completar el siguiente cuadro:

Magnitud de la Velocidad V (m/s) V (cm/s) V (km/h) caracol 10-3 Hombre caminando 1,1 Galgo corriendo 16 automóvil 330 Sonido en el aire 340 Luz en el vacío 3. 108 Avión en vuelo 900 Avión aterrizando 240 Cohete espacial 2. 104

Tierra alrededor Sol 2,4 . 103

2.3- ¿Cuál es el desplazamiento de un coche que viajó con una rapidez media de 60 km/h durante 23

minutos?

2.4- ¿El desplazamiento de un móvil debe coincidir, necesariamente, con la distancia recorrida? Si no es

así, dar un ejemplo.

2.5- En un tramo de una carretera un automóvil lleva una rapidez uniforme de 90 km/h. Detrás de éste y

a 50 km de distancia otro automóvil avanza con rapidez uniforme de 110 km/h. ¿En cuanto tiempo alcanzará éste al primero, suponiendo que mantienen el movimiento rectilíneo y uniforme? Además de encontrar el resultado analítico realizar los gráficos posición-tiempo de ambos móviles.

2.6- ¿Qué significa decir que la velocidad de un móvil que se mueve con movimiento rectilíneo es de 10 m/s? ¿y – 10 m/s?

2.7- El gráfico de la Figura 2-1 representa el movimiento de dos vehículos A y B, que se desplazan por la misma recta.

a) ¿A qué distancia de la posición inicial de B se cruzan?

b) ¿Cuál es la velocidad de cada uno en ese momento? Indicar los sentidos de ambas velocidades.

2.8- Un ciclista que viaja en una trayectoria rectilínea recorre la mitad de su camino con velocidad uniforme v, y la otra mitad también con velocidad uniforme igual a 2v. Despreciando el tiempo empleado en variar la velocidad:

a) Calcular el valor de la velocidad media.

b) Trazar los gráficos posición y velocidad en función del tiempo.

2.9- Un automóvil acelera de 18 km/h a 72 km/h en 10 s. Calcular:

U UU U U U U

F FF F F F F

U U U U U UU UDDDDDDDDBBBBBBBB FFFFFFFFííííííííssssssssiiiiiiiiccccccccaaaa aaaa

CCCCCCCCáááááááátttttttteeeeeeeeddddddddrrrrrrrraaaaaaaa FFFFFFFFÍÍÍÍÍÍÍÍSSSSSSSSIIIIIIIICCCCCCCCAAAAAAAA IIIIIIII

Figura 2-1 4 t (h) x (km) 200 50 1 A B

(10)

a) La magnitud de la aceleración en m/s2.

b) La distancia recorrida en ese tiempo, suponiendo que la aceleración sea constante.

2.10- ¿Cuáles de las gráficas de la Figura 2-2 pueden representar la posición de un móvil en función del

tiempo?

2.11- Cada uno de los siguientes cambios de velocidad tiene lugar en un intervalo de tiempo de 10 s y

mientras la partícula en movimiento se desplaza sobre un eje horizontal.

Determinar la dirección, el sentido y el valor de la aceleración media para cada intervalo. Recuerda que se trata de un vector. Determina para cada caso si el movimiento es acelerado o desacelerado.

a) Al comienzo del intervalo se mueve hacia la derecha con velocidad inicial vi=150 m/s y al final

del mismo la velocidad final vf=600 m/s hacia la derecha.

b) Al comienzo se mueve hacia la derecha con vi=600 m/s y al final hacia la derecha con vf = 150

m/s.

c) Al comienzo hacia la izquierda con vi=600 m/s y al final hacia la izquierda con vf = 150 m/s.

d) Al comienzo hacia la izquierda con vi=150 m/s y al final hacia la izquierda con vf = 600 m/s

e) Al comienzo hacia la izquierda con vi=600 m/s y al final hacia la derecha con vf = 150 m/s.

NOTA: Utilizar como sistema de referencia el sentido positivo hacia la derecha

2.12- Las partes (a), (b) y (c) de la Figura 2-3representan tres gráficas de las velocidades de diferentes

móviles que se mueven en trayectos rectos en función del tiempo. Las posibles aceleraciones de cada móvil como función del tiempo se muestran en las partes (d), (e) y (f) de la Figura 3. Relacionar cada gráfica de velocidad-tiempo con la gráfica de aceleración-tiempo que mejor describa el movimiento.

2.13- Un móvil x t t x x t Figura 2-2 v t (a) Figura 2-3 v t (b) v t (c) a t (d) a t (e) a t (f)

(11)

v (m/s) 0 1 3 4 5 6 t (s) 25 10 A B C D E Figura 2-5

que se mueve en línea parte del reposo en el tiempo cero y se determinaron las velocidades en distintos instantes a partir del mismo resultando:

t(s) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 v(m/s) 0 0 2 5 10 15 20 24 24

a) Calcular la aceleración media para cada intervalo de 2 s. ¿Es constante la aceleración?

b) Realizar en escala la gráfica velocidad-tiempo.

c) ¿Cuál es el desplazamiento en los primeros 8 s?

2.14- Una gran velocidad ¿implica una gran aceleración?

2.15- Un automóvil parte del reposo, se mueve con una aceleración constante y tarda 2 segundos en

pasar por dos puntos distantes ente sí 24 m. Su velocidad cuando pasa por el segundo punto es de 14,4 m/s. Calcular:

a) La velocidad media en el intervalo de 2 s.

b) La velocidad cuando pasó por el primer punto.

c) Su aceleración.

d) La distancia desde el punto de partida hasta el primer punto de referencia.

2.16- La gráfica de posición en función del tiempo de la Figura 2-4 representa el movimiento de una

partícula que se mueve en línea recta.

a) Describa las características del movimiento de la partícula en cada tramo.

b) Graficar la velocidad de la partícula en función del tiempo.

2.17- El gráfico de la Figura 2-5 representa el movimiento realizado por el un móvil en trayectoria recta,

en el que para t=0, X0=0. Determinar las ecuaciones de la posición en función del tiempo interpretando

el movimiento que tiene en cada caso.

2.18- Un tren parte del reposo de una estación y acelera durante 1 minuto con una aceleración

constante a1. Después marcha a velocidad constante durante 4 minutos y luego desacelera con una

aceleración constante a2 hasta que se detiene en la estación siguiente en 2 minutos.

Siendo: a1 = 4 . a

a2 = 2 . a

a) Calcular la distancia total recorrida por el tren en función de a.

b) Trazar los gráficos posición, velocidad y aceleración en función del tiempo.

2.19- El tiempo de reacción de una persona (intervalo de tiempo que transcurre entre que se percibe

una señal y el momento en que se responde) es, término medio, de 0,35 s. Suponiendo que un automóvil experimenta una desaceleración máxima de 5 m/s2; calcular la distancia total recorrida antes de detenerse, una vez percibida la señal, si la velocidad que lleva el automóvil es igual a 90 km/h.

x t Figura 2-4 O A B C D

(12)

2.20- Dos cuerpos A y B situados a una distancia d salen simultáneamente en la misma dirección y sentido, ambos con movimiento uniformemente acelerado, siendo a la aceleración del más lento, el B. Deben encontrarse a 3. d de distancia del punto de partida del cuerpo B. Determinar en función de d y a.

a) El tiempo que invertirán en encontrarse.

b) La aceleración de A.

c) Las velocidades de los dos en el momento de encontrarse.

T

I

R

O

V

E

R

T

I

C

A

L

Y

C

A

I

D

A

L

I

B

R

E

:

ACLARACION: En los problemas que están a continuación de esta práctica se desprecia el efecto de la resistencia del aire.

2.21- Se suelta un cuerpo desde 44,1 metros de altura y cae verticalmente.

a) Calcular el tiempo que tarda en llegar al suelo.

b) Calcular la velocidad cuando llega al suelo.

c) Graficar posición, velocidad y aceleración en función del tiempo.

2.22- Comparar el tiempo de ascenso de un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba con el tiempo de

descenso en el movimiento de caída libre. ¿Son iguales la velocidad inicial del ascenso y la velocidad final del descenso?

2.23- Desde el balcón situado a 14,1 m sobre el nivel de la vereda, lanzamos un cuerpo verticalmente hacia

arriba con una velocidad de 10 m/s. Calcular el tiempo que tardará en llegar a la vereda.

2.24- Dos proyectiles se lanzan verticalmente de abajo hacia arriba el primero con una velocidad inicial igual

a 2 v y el segundo con la velocidad inicial de v. ¿Qué intervalo de tiempo tiene que haber entre los dos lanzamientos para que los dos lleguen simultáneamente al suelo?

2.25- Se dispara un cohete verticalmente que sube con una aceleración constante vertical de 19,6 m/s2,

durante un minuto. En ese momento se agota su combustible y el cohete continúa libremente su ascenso.

a) ¿Cuál es la máxima altura que alcanza el cohete?

b) ¿Cuál es el tiempo total transcurrido desde que despega hasta que llega al suelo?

2.26- Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo con una rapidez inicial de 10 m/s, en el

mismo instante se deja caer otro cuerpo desde una altura h con respecto al suelo. Calcular esta altura si los cuerpos se encuentran en la mitad de la altura h.

2.27- Un hombre lanza verticalmente hacia arriba una pelota pequeña, imprimiéndole una rapidez de 10

m/s. supongamos que en el instante de ser lanzada la pelota está a 1,50 m del piso y que el hombre no la recoja de vuelta, sino que la deja caer. Establecemos nuestro sistema de referencia con el origen a ras del suelo y el eje “y” orientado hacia arriba, en la dirección en que fue lanzada la pelota:

a) Obtener analíticamente la ecuación de la posición en función del tiempo.

b) Obtener analíticamente la ecuación velocidad de la pelota en función del tiempo.

c) Calcular la altura máxima alcanzada por la pelota.

d) Calcular la velocidad de la pelota un instante antes de llegar al suelo.

e) ¿Cuál es la velocidad media de la pelota desde que sale hasta que alcanza el punto de máxima elevación?

f) ¿Cuál es la velocidad media de la pelota desde que sale hasta que toca el suelo?

g) Graficar posición y velocidad en función del tiempo.

2.28- Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo, y un estudiante que mira desde la

ventana la ve pasar por delante de él a la velocidad de 4 m/seg. La ventana está a una altura de 8 m.

a) ¿Qué altura alcanzó la pelota sobre el suelo?

b) ¿Qué tiempo empleó en subir desde la ventana a su punto más alto?

c) Calcular su velocidad y aceleración medio segundo después de ser lanzada desde el suelo.

(13)

Figura 3-2 vo θ vo θ h d

P

PR

RÁ

ÁC

CT

TI

IC

C

A

N

Nº

º

3 3:

:

M

MO

OV

VI

IM

MI

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EN

NT

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O

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N

D

DO

OS

S

Y

T

TR

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ES

S

D

IM

I

ME

EN

NS

S

IO

I

ON

NE

ES

S

a) CUERPO LANZADO HORIZONTALMENTE Y TIRO OBLICO:

ACLARACION: En los problemas que están a continuación de esta práctica se desprecia el efecto de la resistencia del aire.

3.1-Un avión vuela a 15 km de altura con velocidad horizontal de 252 km/h y deja caer una bomba.

a) ¿Cuánto tarda en llegar al suelo?

b) ¿A que distancia horizontal se encuentra cuando llega al suelo respecto del punto que se la soltó?

3.2- Una bola que rueda sobre una mesa

horizontal de altura y cae tocando el suelo a una distancia horizontal x del borde de la mesa como muestra la Figura 3-1. Determinar la velocidad v

en función de x e y.

3.3- Un avión que vuela horizontalmente a 300 m de altura con una velocidad de 70 m/s deja caer una bomba para hacer blanco sobre un barco que navega en su misma dirección y sentido a una velocidad constante de 2,4 m/s. Determinar en qué posición debe soltar la bomba para hacer blanco.

3.4- El alcance de un proyectil disparado horizontalmente desde lo alto de un edificio es igual a la altura

de este. ¿Cuál es la dirección del vector velocidad cuando el proyectil choca contra el suelo?

3.5- Un mortero de trinchera dispara un proyectil bajo un ángulo de tiro de 53,13° y una velocidad inicial

de 49 m/s. Un tanque avanza dirigiéndose hacia el mortero con una rapidez constante de 5 m/s, sobre terreno horizontal. ¿Cuál debe ser la distancia entre el tanque y el mortero en el instante de efectuar éste su disparo para hacer blanco sobre el tanque?

3.6- Un cazador apunta a un mono que se encuentra en la rama de un árbol (Figura3- 2). En el momento que él impulsa su dardo el mono se deja caer de la rama. Demostrar que el mono no debió moverse si quería evitar ser impactado.

x y v Figura 3-1 U U U U U U U

F F F F F F F

U U U U U UU UDDDDDDDDBBBBBBBB FFFFFFFFííííííííssssssssiiiiiiiiccccccccaaaaaaaa

(14)

θ

vo

Figura 3-3

3-7- Un jugador de básquet lanza un tiro al aro como muestra la Figura 3-3. La distancia horizontal es

igual a 6 metros, el ángulo θ es 53,13° con respecto a la horizontal y la distancia entre el aro y la pelota es igual a 1,2 metros. ¿Con qué velocidad inicial debe tirar que la pelota ingrese en el aro?

3.8- Analizar el movimiento de un proyectil de un rifle. Suponga que el proyectil parte con una velocidad

v, forma un ángulo θθθθ con respecto a la horizontal y que el que el rifle está en el suelo. Verificar que la altura que alcanza cuanto el tiempo es igual a la mitad del tiempo que alcanza la altura máxima es:

3 . vo2 sen2θ 8 . g

3.9-Se dispara un proyectil en la forma indicada en la Figura 3-4 con una velocidad inicial vo y formando un ángulo de tiro de 36,9° por

encima de la horizontal. El disparo se hace desde un punto a 192 m del borde de un precipicio de 160 m. El proyectil salva justamente dicho borde,

a) Calcular la velocidad inicial vo.

b) Calcular la distancia x que separa el impacto del pie del precipicio.

3.10-El ganador del balón de oro 2009, Lionel Messi patea un penal y la pelota sale perpendicular a la

línea de gol con una velocidad de 20 m/s y una elevación de 18° respecto a la horizontal. El punto penal se encuentra a 11 m de la línea de gol y la altura del travesaño es de 2,4 m. En el momento en que la pelota es pateada el arquero se tira hacia un costado y queda imposibilitado de alcanzar la misma. Determine qué tiempo demora la pelota en pasar por la línea de gol y a qué altura pasará. ¿Será gol?

3-11. Una roca descansa sobre un barranco 600 metros por

encima de una casa, tal como se muestra en la Figura 3-5. En tal posición que si rodase, saldría disparada con una rapidez de 50 m/seg. Existe un lago de 200 metros de diámetro. Con uno de sus bordes a 100 metros del borde del barranco. La casa esta junto a la laguna en el otro borde.

a) Si la roca se desprendiera del barranco ¿Cuanto tiempo permanecería en el aire antes de caer al suelo?

b) ¿Caerá la roca en la laguna?

c) Calcular la rapidez de la roca al llegar al suelo

1 6 0 m 36,9° 192 m X vo Figura 3-4 VO 6 0 0 m 100 m 200 m 30° Figura 3-5

(15)

3.12- El tenista argentino, ganador del US Open 2009 Juan Martín Del Potro golpea la pelota desde el borde de la cancha a 1,7 m del suelo y le imprime una velocidad de 50 m/s en una dirección perpendicular a la red y 2° por debajo de la horizontal. La cancha tiene un largo total de 24 m y la red tiene una altura de 90 cm. Determine si la pelota pega en la red, si se va larga o si cae dentro de la cancha.

3.13- Un bloque comienza a descender por una

pendiente inclinada α = 36,9° respecto de la horizontal hasta el vértice O en el que deja de tener contacto con el plano con una rapidez de 12,5 m/s (Figura 3-6)

a) Hallar el punto de impacto de la esfera en el plano inclinado 45°, situado 2 m por debajo de O, tal como se indica en la figura.

b) Hallar el tiempo desde que abandona el plano inclinado hasta el punto de impacto.

c) Hallar las componentes de la velocidad en ese instante.

3.14- Una piedra se lanza horizontalmente desde lo alto

de un monte que forma que forma un ángulo θ con respecto a la horizontal. Si la velocidad inicial es vo verificar que la distancia que caerá sobre el monte vale:

2 . vo2. tg θ g . cos θ

b) MOVIMIENTO CIRCULAR:

3.15- En un viejo disco de 45 rpm, la pista inicial está a 8 cm del centro, y la final, a 5 cm del centro.

Calcular la velocidad angular y la velocidad tangencial a estas distancias cuando el disco está girando a 45 rpm.

3.16- Un disco compacto (CD) gira en un reproductor con velocidad angular constante. Determinar la

frecuencia y el período de revolución en función de ω.

3.17- Un cilindro de 15 cm de diámetro gira en un torno a 750 rpm.

a) ¿Cuál es la velocidad tangencial de la superficie del cilindro?

b) La velocidad tangencial adecuada para trabajar el hierro fundido es 60 cm/seg, aproxima-damente. ¿A cuántas revoluciones por minuto debe girar en un torno, una pieza de 5 cm de diámetro?

3.18- Una persona mueve un bloque atado a una cuerda en un circulo

horizontal con rapidez constante. La Figura 3-7 representa la trayectoria visto desde arriba.

a) ¿Cuál de los vectores de la figura representa la velocidad del bloque?

b) ¿Cuál representa la aceleración?

3.19- Un automóvil, cuyo velocímetro indica en todo instante 72 km/h, recorre el perímetro de una pista

circular en un minuto. Determinar el radio de ésta. Si el automóvil tiene aceleración en algún instante, determinar su módulo. α 2 m O 45° Figura 3-6 A B C D E Figura 3-7

(16)

3.20- En los dibujos de la Figura 3-8 los cuerpos se mueven en sentido horario (a)y sentido antihorario

(b), en los dos casos con velocidad angular constante. Dibujar los vectores: velocidad tangencial, velocidad angular y aceleración radial para cada caso.

3.21- Un CD acelera uniformemente desde el reposo hasta su rapidez operativa de 500 rpm en 3,5

segundos.

a) Calcular la aceleración angular del CD durante ese lapso.

b) Si el CD se detiene uniformemente en 4,5 segundos ¿Qué aceleración angular tendrá entonces?

3.22- a) Distinguir claramente entre aceleración tangencial y normal.

Un volante gira con velocidad angular constante:

b) ¿Tiene un punto de su borde aceleración tangencial?;

c) ¿Tiene aceleración normal?

Un volante gira con aceleración angular constante:

d) ¿Tiene un punto de su borde aceleración tangencial?;

e) ¿Tiene aceleración normal?;

f) ¿Es constante el valor numérico de estas aceleraciones?

3.23- Un horno de microondas tiene un plato giratorio de 30 cm de diámetro para que la cocción sea

uniforme. El plato acelera uniformemente desde el reposo a razón de 1 rad/s2 durante 0,5 s, antes de llegar a su rapidez operativa constante.

a) ¿Cuántas revoluciones da el plato antes de alcanzar su rapidez operativa?

b) Calcular la rapidez angular operativa del plato y la rapidez tangencial operativa en su borde.

c) Cuando se apaga el horno, el plato efectúa media revolución antes de parar, calcular la aceleración angular del plato durante ese lapso.

3.24- Una rueda de 10 cm de radio posee movimiento de rotación alrededor de su eje, su velocidad

angular inicial es igual a π RAD/s y su aceleración angular constante es igual a 2 . π RAD/s2

a) Verificar que la rueda gira un ángulo de 6 π RAD al cabo de 2 segundos

b) Verificar que la velocidad tangencial en un punto de la periferia de la rueda en el instante t = 2 segundos es π/2 m/s

3.25- Una rueda que posee movimiento de rotación alrededor de su eje parte del reposo y se acelera

uniformemente hasta alcanzar una velocidad angular de 900 rpm en 20 seg.

a) Calcular la posición, al cabo de un segundo, de un punto que se encontraba inicialmente en la parte más alta de la rueda.

b) Calcular y representar la magnitud y dirección de las componentes tangencial y normal de la aceleración en este instante. La distancia del punto al eje es 10 cm.

3.26- En los dibujos de la Figura 3-9 los cuerpos se mueven en sentido horario, el caso (a) con

movimiento circular uniformemente acelerado y el caso (b) uniformemente desacelerado, en los dos casos con aceleración angular constante. Dibujar los vectores: velocidad tangencial, velocidad angular, aceleración radial, aceleración tangencial y aceleración angular para cada caso

(a) (b) Figura 3-8

(17)

3.27- Un automóvil parte del reposo y comienza a moverse por una vía circular de 400 m de radio. Durante los primeros 50 segundos aumenta su rapidez uniformemente hasta alcanzar 72 km/h y a partir de ese momento la mantiene constante.

a) Calcular las magnitudes de las aceleraciones tangencial y angular durante la primera etapa del movimiento.

b) Calcular la distancia recorrida durante los primeros 40 s.

c) Calcular la magnitud de la velocidad angular a los 40 s.

d) Calcular la aceleración normal a los 40 s.

e) Calcular la magnitud de la aceleración a los 40 s.

f) Calcular el tiempo que tardará el automóvil en dar cien vueltas al circuito.

c) VELOCIDAD RELATIVA:

3.28- Un pasajero que viaja en el último coche de un tren que avanza a 15 m/s en relación con la tierra,

lanza una pelota con una rapidez de 15 m/s en la dirección opuesta al movimiento del tren. ¿Cuál es la velocidad de la pelota en relación con la tierra?

3.29- Un bote se dirige al norte cuando cruza un río ancho con una velocidad de 10 km/h con relación al

agua. El rió tiene una velocidad uniforme de 5 km/h en dirección al este. Calcular la velocidad del bote con respecto a un observador que esta en la orilla

3.30- Si el bote del problema anterior se mueve con la misma rapidez de 10 km/h con relación al agua,

pero ahora se mueve al norte. ¿En qué dirección debe moverse en relación al agua?

R

E

S

P

U

E

S

T

A

S

D

E

L

O

S

P

R

O

B

L

E

M

A

S

I

M

P

A

R

E

S

1.1- 7,4 km y 34° 1.3- a) 6,3 m y 76° b) 20,1 m y 197° 1.5- Ax = 6 m ; Ay = 10,39 m ; Bx = - 3 m ; By = - 5,2 m ; Cx = 12 m ;Cy = - 9 m 1.7- a) 333,43° b) 26,57° c) 153,43° d) 206,57° 1.9- a) 6,16m y 76,9° b)20,5 m y 197,2° 1.11- 4,36 km y 156,37° 1.13- A= - 9 mi B= 10,4 m i + 6 m j 1.15- a) - 47,8 m i- 12 m j b) 49,28 m y 194,1° 1.17- a)A= 5 m; B = 5,38 m b) A - B = -1 m i+ 5 m j c) A - B= 5,1 m y θ = 101,3° 2.1- 62,5 m/s y 6250 cm/s 2.3- 23 Km 2.5- 2,5 hs 2.7- a) 100 Km del primero b) vA= -50 km/h vB = 100 km/h 2.9- a) 1,5 m/s2 b)125 km

2.11- a) 45 m/s2 ACEL. b) -45 m/s2 DESAC. c) 45 m/s2 DESAC . d) -45 m/s2 ACEL.

e) 75 m/s2 DESAC.

2.13- a)[ 0; 1; 1,5; 2,5; 2,5; 2,5; 2; 0] m/s2 d) 24 m

2.15- a) 12 m/s b) 9,6 m/s c) 2,4 m/s2 d) 19,2 m

(a) (b) Figura 3-9

(18)

2.

17-

TRAMO OA:

x = ½ . 10 m/s2 . t2

TRAMO AB:

x = 5 m + 10 m/s . (t - 1 s)

TRAMO BC:

x = 25 m + 10 m/s (t - 3 s) + ½ . 15 m/s2 . (t - 3 s)2

TRAMO CD:

x = 42,5 m + 25 m/s . (t - 4 s)

TRAMO DE:

x = 67,5 m + 25 m/s (t- 5 s) - ½ . 25 m/s2 . (t - 5 s)2 2.19- 71,25 m 2-21- a) 3 seg. b) -29,4 m/s 2.23- 3 seg. 2.25- a) 105.840 m b) 326,96 seg. 2.27- c) 6,6 m d) - 11,375 m/s e) 5 m/s y 0,68 m/s 3.1- a) 39,12 s b) 3873 m 3.3- 528,95 m 3.5- 275,2 m 3-7- 8,49 m/s 3.9- a) 44,27 m/s b) 127,8 m

3-11. a) b8,8 s b) b381 m NO CAE DENTRO DE LA LAGUNA c) 119,37 m/s

3.13- a) 11,55 m b) 1,15 s c) vx = 10 m/s vy = - 18,77 m/s

3.15- 4,71 rad/s 0,376 m/s 0,236 m/s

3.17- a) 5,89 m/s b) 229,2 rpm

3.19- 191 m 2,09 m/s²

3.21- a) 14,96 rad/s2 b) - 11,63 rad/s2

3.23- a) 0, 02 rev b) 0,5 rad/s 0,075 m/s c) 0,04 rad/s2

3.25- a) 1,5 π rad/s2 0,75 rad = 135° b) 2,27 m/s2 y 78,02°

3.27- a) 1 x 10-3 rad/s2 0,4 m/s2 b) 320 m c) 0,04 rad/s d) 0,64 m/s2 e) - 0,755 m/s2 f) 1221 s