EJERCICIOS RESUELTOS DE: Ecuaciones Diferenciales

EJERCICIOS RESUELTOS DE:

Ecuaciones Diferenciales

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

ESCUELA DE INGENIERÍA EN COMPUTACIÓN Y ELECTRÓNICA UNIVERSIDAD DE LA SALLE BAJIO

ECUACIONES DIFERENCIALES

CAPITULO 6

19.- Seleccionar entre las siguientes ecuaciones las que son lineales, establecer la variable dependiente y resolverlas.

a) x x Ce x y e I F y Sol x y dx dy − + = + = + 2 ., . ; . 2 2 / b) ϑ ϑ _ρ ρ ρ θ ρ 3 3 2 3 ., . ; . 2 3 / − + = = + Ce e I F Sol d d c) Lineal es No Sol xy y dx dy . / − = 2 d) 2 2 / 1 ., . ; . ) 2 ( 2 Cx e y x I F y Sol dx e x ydx xdy x x + = − = − e) y t Ce t t sen i e I F i Sol − − _{=− + +} = ) 2 cos 2 3 ( 2 / 1 ., . . 10sen2t 6i -dt di 6 f) Lineal es No Sol e y y df dy x . / + = 2 g) y y Ce y xy ye I F x Sol dy y y xy ydx − + − = = − + + ) 1 ( 3 ., . ; . 0 ) 3 ( h) Lineal es No Sol dt t se ds e s t t . ) 2 cos ( 2 ) 2 ( − 2 = 2 − i) Lineal es No Sol dx y x ydx xdy . 6 3 = +

j) C sen rsen sen I F r Sol d sen ctg r dr = + = + + θ θ θ θ θ θ 4 2 2 2 ., . ; . 0 ) 2 2 ( k) C y y x y y I F x Sol dy xy dx y y + + = + + − = + 2 2 2 2 2 2 2 ln 2 ) 1 ( ) 1 ( ., . ; . ) 2 1 ( 2 ) 1 ( l) Lineal es No Sol x xy yy . 0 '− 2 + = m) Lineal es No Sol dy y x x ydx xdy . 2 2− = − n)

∫

∫

∫

∫

= + = + C dt t dt t t t dt t t dt t I F x Sol t x dt dx t e xe e ( ) / ( ) ) ( 1 ) ( / ) ( ; ) ( / ) ( ., . ; . 1 ) ( / ) ( 1 2 1 1 2 1 2 2 1 φ φ φ φ φ φ φ φ φ o) Lineal es No Sol y x y x dy dx . 0 cos / / 2 − + 3 = p) x Cx x x y xcox I F y Sol x x xtgx y xy cos cos 1 ., . ; . cos ) 1 ( ' 2 2 + = + − = q) 2 2 2 3 2 2 2 2 / 1 ., . ; . 0 ) 2 ( ) 2 ( y C y x y I F x Sol dy y y xy dx y + + + = + = + + − + r) y tg arc arctgy Ce y tg arc x e I F x Sol dy x y tg arc dx y − + − = − = + 1 ., . ; . ) ( ) 1 ( 2

s) Lineal es No Sol xdy dx y xy . 0 2 ) 2 ( 5− + = t) C y tgy y x tgy y I F x Sol dy tgy y x y y dx seny + = + + + − = + 2 ) (sec ; sec ., . ; . )] (sec cos 2 [ ) 1 (

20.- De las ecuaciones que queden del problema 19 resolver las que pertenecen al tipo Bernoulli. c) x Ce c y y Sol xy y dx dy − − _{= = − +} = − 1 / 1 ; . / 1 2 υ f) 0 1 ) ( ; . / 1 2 = + + = = + − x x ye x C y Sol e y y df dy υ i) 3 5 5 5 6 3 5 / 2 ; . x Cx y y Sol dx y x ydx xdy + = = = + − _υ l) 2 1 ; . 0 ' 2 2 2 x Ce y y Sol x xy yy + = = = + − υ o) C yseny y y x x Sol y x y x dy dx + + = = = + − − − cos ; . 0 cos / / 2 2 2 3 υ s) 4 3 2 4 5 ) 4 ( 3 ; . 0 2 ) 2 ( y C x x y Sol xdy dx y xy + = = = + − − _υ

21.- Resolver las ecuaciones h) y m) que son las que quedan del problema 19

h) m) C t sen se s Sol dt t se ds e s t t t = + − − = − 2 . ) 2 cos ( 2 ) 2 ( 2 2 2 2 ) ( . 2 2 C y xsen y Sol dy y x x ydx xdy + = − = − 22.Resolver:

a) 2 ) ( 2 3 3 3 ' ) ( 2 ) ( 0 1 2 2 2 2 x e x x x p dx e x x y dx dy x e x x y dx dy e x y dx dy x e x y xy dx x p x x x x − = = = = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + = + = + = ∫ μ Solución: y=x2(ex−e) b)

( )

( )

L t E L t ERsen e x L t Esen X f L Ri X p dt L t Esen L Ri di L Ri L t Esen dt di t Esen Ri dt di L dx x p 2 2 cos2 ) ( 2 0 2 2 2 2 ) ( = − = = = = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₋ − = = + ∫ μ

donde L,R,E son constantes, con la condición i=0 para t=0.

Solución: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− +} + = _{Rsen t t Le}−RtL L R E i 2 2cos2 2 4 2 2 23. Resolver a) 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 cos 2 z y sen empleando , 1 2 cos 2 z x xz dz dx x z dx dy z x xz dx dy xz dx dy z x xz dx dy y x xseny dx dy y x − = + = − = − = − = = − = .

b)

(

) (

)

y x z xz dz dx x z dx dy y x z xz dx dy z xz dx dy y x y y x yy x 2 3 2 3 3 2 2 2 ' 2 4 2 3 4 2 3 2 3 4 z. 2 3y2 empleando 2 3 2 2 3 3 4 + = + = + = + = = + + + + = c)

(

)

(

)

(

)

(

( ) 3

)

0 0 3 ) ( ) ( vx y empleando , 0 3 2 2 2 3 2 2 3 3 = + − − = + − − = = + − − dy y dx xe v vx x dy xy dx e x vx vx x dy xy dx e x y xy x x x d)

(

)

(

)

dv v xv v x dx x v xv v x dx dv x xv v x dx dy v x xv dx dy y x x y x x dx dy 1 1 1 1 1 1 . 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 − − − = − − − = − − = − = + − + = + + sol a) = 3xseny=Cx3+1 sol b) = 4x9 =

(

C−3x8

)(

3y2+2

)

2 sol c) = 2y3ex =xe2x+Cx sol d) = 1

(

x+y

)

2 =x2+1+Cex2 CAPITULO 8

22.-Un muchacho se mueve en una linea recta de modo que su velocidad excede en 2 a su distancia respecto de un punto fijo de la recta si r=5 cuando t =0 hallar la ecuación de movimiento

Sol. x=5et −2

23.-halla el tiempo necesario para que una cantidad de dinero aumente al doble al 5% por año interes compuesto continuo sugerencia:

x dt

dx/ }=0.05 donde x es la suma al cabo de taños Sol. 13.9años

24.-el radio se descompone a una velocidad proporcional a la cantidad presente. Si la otra mitad de la cantidad original desaparece en 1600 años hallar el porcentaje de perdida de 100años

25.- en un cultivo de levadura la cantidad de fermento activo crece a una velocidad

proporcional a la cantidad presente. Si se duplica la cantidad en 1 hora cuantas veces puede esperarse que se tenga la cantidad original desaparece en 1600 años hallar el porcentaje de perdida en 100años

Sol. 6.73veces

26.-si cuando la temperatura de aire es 20 ° C se enfría una sustancia desde 100 ° C hasta 60 ° C en 10 minutos hallar la temperatura depuse de 40minutos

Sol. 25 °C

27.-

Un tanque contiene100dl de salmuera obtenida disolviendo 60kg de sal en agua .se introduce en el tanque a una velocidad de 2dl/min agua que contiene 1kg de sal por decalitro y la mezcla conservada homogenea mediante agitación sale a una velocidad de 3dl/min halla la cantidad de sal en el tanque al cabo de una hora sugerenciadx/dt2−3x/

(

100−t

)

Sol. 37.4

28.- Hallar el tiempo que se necesita para vaciar un tanque de seccion cuadrada de 6 cm y 9

dm de profundidad, a travez de un agujerocircular de 12

1

dm de radio practicando en el

fondo. (supongase, como en el problema 9,

seg dm h

v=4.8 ) sol. 137 min. 29.- Una pared de ladrillo ( k = 0.0012) tiene un espesor de 30 cm. Si el parámetro interior esta a 20° C y el exterior a 0°C, hallar la temperatura en la pared como una funcion de la distancia del parámetro exterior y la perdida de calor por dia a travez de un metro cuadrado.

Sol. T x ;691.000cal 3

2 =

30.- Un hombre y su embarcación pesan 320 lb. Si la fuerza ejercida remando en la direccion del movimiento es de 16 lb y si la resistencia (en lb) al movimiento es el doble de la velocidad (pies/seg), hallar la velocidad 15 seg después de que la embarcación haya empezado a moverse. Sol. 7,6 pies/seg = 2.32 m/seg

34.- Hallar el tiempo que se necesita para vaciar un tanque cilíndrico de radio 8dm y altura 10dm a través de un orificio redondo de radio 1/12dm situado en el fondo del tanque, sabiendo que por un orificio de este tipo sale el agua a una velocidad aproximada

seg dm h

v=4.8 , donde h es la altura del agua en el tanque,

Se puede asimilar el volumen de agua que sale por segundo a un cilindro de radio dm 12

1 _y

altura v. Por lo tanto, el volumen que sale al cabo de “dt” segundos es

dt h dt h (4.8 ) 144 ) 8 . 4 ( ) 12 1 ( 2 = Π Π

Designando por dh la correspondiente caída de nivel de agua en el tanque, el volumen de agua que sale también se puede dar por 64Π. Luego

dh dt h =− Π Π 64 ) 8 . 4 ( 144 de donde 4.8 1920 . ) 144 ( 64 h dh h dh dt =− =− Integrando Entre t = 0, h = 10 y t = t, h = 0.

∫

∫

=− 0 10 0 , 1920 h dh dt t y t=−3840 h =3840 10seg =3h22min

35.- Según la ley de Newton de enfriamiento, la velocidad a que se enfría una sustancia al aire libre es proporcional a la diferencia entre la temperatura de la sustancia y la del aire. Si la temperatura del aire es 30° y la sustancia se enfría de 100 a 70° en 15 minutos. ¿Cuándo será 40° la temperatura de la sustancia?

T es la temperatura de la sustancia a t minutos

) 30 ( − − = k T dt dT kdt T dT − = −30

∫

=− − 70 100 15 0 , 30 k dt T dT

∫

In 40 – In 70 = - 15k = In 4/7 y 15k = In 7/4 = 0.56

∫

=−

∫

− 40 100 30 0 t dt k T dT In10−In70=−kt, 15kt=15In7, 52min 56 . 0 7 15 = = In t

36.- Bajo ciertas condiciones la cantidad constante Q calorías/segundo de calor que pasa a través de una pared está dada por

dx dT kA Q=−

Donde k es la conductividad del material, A (cm2) es la superficie de una cara se la pared perpendicular a la dirección del flujo y T es la temperatura a x(cm.) de esa cara, de forma que T disminuye cuando x aumenta. Hallar el numero de calorías por hora del calor que pasa a través de 1 m2 de la pared de una habitación frigorífica de 125 cm. de espesor y k = 0,0025, si la temperatura de la cara interior es de -5° C.

Sea x la distancia a que está de la cara exterior un punto interior de la pared.

∫

∫

=− − 125 0 5 75 , dx kA Q dT 80 (125), kA Q = y = = = 125 ) 100 )( 0025 , 0 ( 80 125 80kA 2 Q 16 . seg cal

CAPITULO 9 17. ) 3 )( 2 ( ) 3 )( 2 ( 2 6 2 ... 6 2 ... 0 3 6 3 0 6 2 2 2 2 2 2 2 2 y xC y xC y xp y xp y xp y yxp y yxp yxp x y xyp x y xp y xyp p x + − + − − + + − − − − − + + = − + 18. ) )( 2 ( 0 ) 1 ( ) 1 ( 2 2 2 2 2 C x xy C x y C x xy p x p yp xp y x p x y xp + − + − = − − − − + = − − − − + 19. 2 2 2 2 2 4 2 4 2 4 4 2 0 4 2 C x Cy x py p x C x py p x x py xp x py xp x yp xp + = − − = − − = − = − = = + − 20.- 2 3 2 2 2 2 2 2 2 6 3 0 ) 2 )( 6 1 ( 12 6 1 3 6 3 0 6 3 C Cx y C py dy dp y p y p py dy dp y dy dp p y p p py p y x y y p px + = = = + + − − − = − = = − +

21.- 4 3 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 3 2 2 2 8 0 16 0 ) 16 ( ) 16 ( 16 16 2 8 2 0 2 8 x K y x K x Kx p x dx p dp x p dx dp x p x x p p dx dp p x p x dx dp x p p p x px y x p y p x − + = = = + = + − + + − + = − = = − + 22.- Cx C y x p x p y px x p y C xp p C x C p C y p C x C xp dx dp x p x p dx dp x p dx dp x p x p p dx dp x p x p px y y x p px 4 ) ( 4 ) ( 2 , 2 , 0 2 0 ) 2 1 )( 2 ( 4 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 2 2 2 2 3 2 3 4 2 4 2 4 = − = − = − = = + = = = = + = + + + + + = + = = − + 23.- p2 - xp + y = 0 Y = xp - p2 Y = Cx – C2 24.- 16y3p2 – 4xp + y = 0

(y = - 16y3p2 + 4xp)( y4) Y5 = - 16y7p2 + 4 y4xp Y5 = u , 16y7p2 = dv/dx u = x du/dx + 7/16 (dv/dx)2 y 4 = Cx – C2 y 4 = C(x – C) 25.- xp5 – yp4 + (x2 + 1)p3 – 2xyp2 + (x + y2)p – y = 0 (y – px – p3) (p2x – py + 1 ) y = px + p3 , p2x= py - 1 (y – Cx – C3) (C2x – Cy + 1 ) = 0 26. xp2 - yp - y = 0 27. y = 2px +

y

2

p

3

c

y

c

p

p

y

p

y

y

cx cp y c x c x dx dp x p p dx dp x p dx dp p p dx dp x p 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 0 ) 2 1 )( 2 ( 4 2 2 2 + = + = = = = + = + + + + + =

28.

p

2−xp− y=0

∫

∫

+ − + − = − = − − = − − − = − + = + + − = + + − − − = − = − = c p dp p y p p p dp p p y dx dy y dp dy p dy dp y p dx dp dy dp y p p p p y x xp y

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

1 ln( 1 1 1 ) ( 1 0 ) ( 0 ) ( 1 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 1 1 ln 1 1 1 ) 1 ln( 1 2 2 2 2 2 2 − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ −} − − − = − + − + − − =

p

p

p

p

p

p

c p p x c p p y 29.- Y = (1 + p)x + p2 Derivando respecto x. P = 1 + p + (x + 2p) dp dx xe1/2p = -ƒ pe1/2pdp = -2pe1/2p + 4e1/2p + C Sol. X = 2(1- p) + Ce-p, y =2 – p2 + C(1 + p)e-p 30.- Y = 2p + 1 + p2 y = 2p + (( 1 + p2 ))1/2 y = 2 ln p + ln (p + 1 + p2) + C y = 2p + 1 + p2

Sol. X = 2 ln p + ln (p + 1 + p2) + C, y = 2p + 1 + p2 31.- Yp2 – xp + 3y = 0 Derivamos respecto a x, 1 = 1p dp - p + 3 ( 1 – y dp) = ( p – y dp) (2y2 – p2) = 0, p x dx x p p2 dx dx Integrando( p – y dp) = 0 Dx Cp½ (p2 + 3)(p2 + 2)-1/3+4/4 = Cp1/2+2/2(p2 + 2)-1/3+4/4 Sol. X = Cp1/2 (p2 + 3)(p2 + 2)-5/4 , y Cp3/2 (p2 + 2)-5/4

CAPITULO 10

Investigar las soluciones singulares y los lugares Geométricos extraños. 10.- y= px−2p2

La solución es la siguiente:

Para sacar la primitiva en este caso se sustituye en la Ecuación de Clairaut. Por lo que el resultado es el siguiente: 2

2C Cx

y = −

La Solución Singular es la siguiente:

( )

2 2 2 8 4 2 2 c cx y c cx y c cx y − = − = − =

( )

( )

x F c y x F c cx y 2 2 8 8 − = − = 2 2 8 8 x y x c c y = = = 11.- y2p2 +3xp−y=0

En este caso para poder sacar la primitiva se hizo el siguiente procedimiento.

0 3 0 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 3 3 * 3 0 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 4 3 2 2 2 2 2 = − − = − − + = + = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = + = + = = − + cx c y kx k y kx k y xk k v dx dv x dx dv v dx dv p y dx dv p y dx dv p y p xy p y y y xp p y y y xp p y k dx dv pdx y dv v y = = = 2 3 3 2 2 9 1 3 1 k c k c = =

La solución singular es la siguiente:

( )

( )

2 2 3 2 2 2 2 2 3 9 3 9 3 0 3 y x y p y x y x F p p y x y x F p p y xp p y − = − = + − = + = − + 0 10 4 3 9 0 3 9 2 2 2 2 = − + − − = − = = x y y x x y y x y x x p 12) xp2 −2yp+4x=0 2 2 4 2 p x y=− 0 ) 2 )( 1 ( − 2 2 + = dx dp x p p x 0 2 + = dx dp x p −x2p2 =c 1 Sol. Prim.,= c2x2 −cy+1=0 0 4 2 2 2 _{− + =} x yc xc S.S.,=−4x2 + y2 =0 13) xp2 −2yp+x+2y =0. x yp xp y= − + −2 2 2 2 2 2 − + − = xp yp x y Resolviendo x yp xp y= 2 −2 + (2) ) 2 ( 4 2 2 x dy dp y xp y= − +

Sol. Prim. = 2x2 +2c(x− y)+C2 =0 0 ) ( 2 2x2 + c x−y +c2 = 0 2 ) ( 2 2 2 = + − + c x y c x S.S.,= x2 +2xy−y2 =0 14.-

(

3y−1

)

2p2 =4y 4y= -(3y-1) p 2 2 = p y 4 ( 12 2 3 x - 2 1 _x12_{) / p} y=3cx-c 2 p + =0 dy dp y 15.- y = -xp+x p 4 2 y = - xp xp + 1 (1-x2p2)(4p+x dx dp ) = 0 xy= C+C2x 16.- 2y= p2 +4xp Solucion Prim.,( 4x3 +3xy+C)2 =2(2x2 +y)3 = ninguna; l.p. retroceso, 2x2 + y=0

17.- y(3−4y)2p2 =4(1−y) Solucion

Prim.,( (x−C)2 = y3(1−y);s.s.,y=1 = 1; l.p. retroceso, y=0; l. de ch., y=3/4

3 4 3

18.-P – 4 x p + 8 x y = 0

3 4 3

F(x,y,p) = P – 4 x p + 8 x y = 0

∂f / ∂p = 3p - 16 x + 24x = 0 3 4 3 f - p ∂f / ∂p = 3p -12xp+24 x y 2 3 Sol y = C x – C 2 2 2 19.- (p + 1) (x - 4) = (x + y p) 2 2 2 (p + 1) (x-y) - (x +y p) = 0 2 p( x y + y + p)=0 1 p = ________ 2 x y + y + p 2 2 2 Sol: (X -C ) + (y-C) = C