Un estudio sobre la recta tangente en puntos de inflexión desde la articulación de saberes

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ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

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Resumen.Algunosdelosresultadospreviamenteestudiadosconelmismométododelcálculo delarectatangente,fueronobtenidossóloparafuncionescóncavasocuandolapendientem esigualacero.Ahoraseproponeunageneralizacióndelmétodoparaelcálculodelarecta tangentedediferentestiposdefuncioneselementalesenpuntosdeinflexión,ycuando

0

z

m _._El_{procedimiento}_se_basa_en_ideas_de_simetría_para_poder_construir_una_función auxiliarcóncavaquetienelamismapendientedelafunciónoriginalalaqueseleaplicael esquemaanteriormenteseñalado.Estemétodo ayudaarelacionarconceptualmentela derivadadeunafunciónenunpuntodado,conelcálculodelospuntosmínimos,máximosy deinflexión,sinaplicarmétodosdederivación.

Palabrasclave:tangente,inflexión,pendiente,articulación

Antecedentes

Entrabajosanteriores(Rondero,Karelin&Tarasenko,2004),(Karelin,Rondero,&Tarasenko, 2005)sepropusounmétodoalternativoenlabúsquedadelarectatangenteparagráficasde funcioneselementalescóncavassinelusodeladerivada.

Laideagenerales:sialagráficadeunafunción, y f(x)cóncavaselerestalagráficadela rectatangente y mxbenunpunto(x₀, f(x₀)),entoncesenelpuntox x₀,lafunción auxiliarF(x) f(x)[mxb]tendráunpuntomáximoómínimolocal.

Pormediodetalfunciónseidentificanrelacionesentrelospuntosextremosdelamismaylos puntosdetangenciadelafunciónoriginalf(x).

Enestostrabajosprevios,sehananalizadofuncionescóncavasysedistinguendoscasos: a)Cuandolafunciónauxiliar ( ) ( ) [ ]

0 0 x x x b m x f x

F enelpuntox x₀tieneunpunto mínimo,entoncessecumpleladesigualdad,

(*)F(x)tF(x₀)

UNESTUDIOSOBRELARECTATANGENTEENPUNTOSDEINFLEXIÓNDESDELA

ARTICULACIÓNDESABERES

AnnaTarasenko,CarlosRonderoGuerrero,OleksandrKarelin,JuanAlbertoAcostaHernández UniversidadAutónomadelEstadodeHidalgo México

anataras@uaeh.reduaeh.mx,rondero@uaeh.reduaeh.mx,skarelin@uaeh.reduaeh.mx acostah@uaeh.reduaeh.mx

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368 ó ( ) [ ] ( ) [ ] 0 0 0 0 x 0 x 0 x x b f x m x b mx x f t

b)Sienelpuntox x₀hayunpuntomáximoparalafunción,entoncessecumpleladesigualdad, (**)F(x)dF(x0) ó ( ) [ ] ( ) [ ] 0 0 0 0 x 0 x 0 x x x b f x m x b m x f d

Dedondesedesprendeelresultadogeneral:Larecta

0 0 : ) , (x0 y0 y mx x bx R estangenteen elpunto(x₀,y₀)paray f(x),siysólosi,unadelasdesigualdades(*)ó(**)secumple. Paraconstruirlarectatangente

0 0 : ) , (x0 y0 y mx x bx R esnecesariohallar 0 x m de(*)ode (**)ycalcular 0 x

b ,pormediodelaexpresión, ₀ ₀

0

0 f(x ) m x

bx x .

Sinembargo,esnecesarioaclararqueelmétodopropuestofuncionaparatodoslospuntos exceptoparalospuntosdeinflexión.

Entrabajosposteriores,(Karelin,Rondero,Tarasenko,2007)seestudióelcasodelasfunciones

) (x f

y quetienenunpuntodeinflexiónen(0,0)yconlapendientem 0.Paraellousando simetría,seconstruyólafuncióntransformada

¯ ® t 0 ), ( 0 ), ( ) ( ~ ), ( ~ x x f x x f x f x f y ,

queescóncavayportantolarectay 0,serálarectatangenteparalafuncióny f(x)enel puntodeinflexión(0,0).Enestecaso,paraestafuncióntransformadaredefinidadeestemodose puedeaplicarelmétodomencionadoen(Rondero,Karelin,Tarasenko,2004),(Karelin,Rondero, Tarasenko,2005),medianteelcualambasrectastangentesparalafuncióninicialylafunción transformadacoinciden.

Métodopropuestoparafuncionesconpuntodeinflexión.Casogeneral.

Consideremoslasfunciones y f(x)con xD, D [a,b]paralascualesencadapunto 0 0

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369 0 0 : ) , (x0 y0 y mx x bx

R quepasaporelpunto(x0,y0)ynotieneotrospuntoscomunescon

lagráficaLenunavecindaddelpunto(x₀,y₀).

Seay f(x)unafunciónconunpuntodeinflexiónen(0,0).

Silafunciónauxiliar,y F x( ), F x( ) f x( )mxparaunnúmeromtieneen(0,0)larecta tangentey 0,entonceslarectay mxrecibeelnombrederectatangenteparalafunción

) (x f

y enelpunto(0,0).

Seay f(x)unafunciónconunpuntodeinflexiónen(0,0). Silafuncióntransformaday F x( )paralafunciónauxiliar

mx x f x F x F y ( ), ( ) ( ) ,es ¯ ® t 0 ), ( 0 ), ( ) ( ~ ), ( ~ x x F x x F x F x F y

paraunnúmerom(escóncava)ytieneen(0,0)larectatangentey 0,entonceslarecta mx

y recibeelnombrelarectatangenteparalafuncióny f(x)enelpunto(0,0). Subrayamoslaunicidaddelarectatangente.

Ejemplo

Construirlarectatangenteparalagráficadelafunción x x x x f x f y 3 2 5 ) ( ), ( enelorigen(0,0). Lafunciónauxiliares mx x x x mx x f x F x F y 3 2 5 ) ( ) ( ), ( .

Ylafuncióntransformadaparalafunciónauxiliares,

¯ ® t 0 ), ( 0 ), ( ) ( ~ ), ( ~ x x F x x F x F x F y °¯ ° ® t 0 , 5 0 , 5 2 3 2 3 x mx x x x x mx x x x .

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370

Esnecesarioahoraencontrarelnúmerom,talquelafuncióny F~(x)seacóncavaytengala funcióny 0comosurectatangente.

Paraelcasoenquem 1,setienequelafuncióntransformadadelafunciónauxiliary F~(x)

tieneforma °¯ ° ® t °¯ ° ® t 0 , 5 0 , 5 0 , 5 0 , 5 ) ( ~ 2 3 2 3 2 3 2 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x F .

Mostramosquey F~(x)escóncavaconlapendientep 0enelpunto(0,0)..

Segúnnuestroesquemaformamoslafunciónauxiliarparalafuncióntransformadadelafunción auxiliardelafuncióninicialy f(x)

px x F y ~( ) °¯ ° ® t 0 , 5 0 , 5 2 3 2 3 x px x x x px x x . Sisecumpleladesigualdad, F~(x)pxt0 obien, °¯ ° ® t t t 0 , 0 5 0 , 0 5 2 3 2 3 x px x x x px x x

parap 0alrededordelorigenx 0.Enrealidad,sifactorizamosx,setiene,

°¯ ° ® t t t 0 , 0 5 0 , 0 5 2 3 2 3 x x x x x x , °¯ ° ® t t t 0 , 0 ) 5 ( 0 , 0 ) 5 ( 2 2 x x x x x x

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371 Enelcasom 1,lasgráficascorrespondientesdelasfuncionesinvolucradassondelaforma

siguiente,

y f(x) y F(x) y F~(x)

Cuandopz0estadesigualdadnosecumplealrededordelorigenx 0.Enrealidadsecumplen estasotrasdesigualdades,

°¯ ° ® t t t 0 , 0 5 0 , 0 5 2 3 2 3 x px x x x px x x , °¯ ° ® t t t 0 , 0 ) 5 ( 0 , 0 ) 5 ( 2 2 x p x x x x p x x x

Ahorainvestigamoselcasoenquemz1.

¯ ® t 0 ), ( 0 ), ( ) ( ~ ), ( ~ x x F x x F x F x F y °¯ ° ® t 0 , 5 0 , 5 2 3 2 3 x mx x x x x mx x x x

Mostramosquelafuncióny F~(x)notienelarectatangenteenelorigen.

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372 ) (x f y y F(x) y F~(x)

Siahoraaplicamoselmétododereducciónalabsurdo,esdecirconsideramosquey pxesla rectatangenteparay F~(x),entoncessetienelafunciónauxiliar,

y F~(x)px °¯ ° ® t 0 , 5 0 , 5 2 3 2 3 x px mx x x x x px mx x x x

Segúnladefiniciónsecumpleunadelasdosdesigualdades,

0 ) ( ~ _x _px_d F òF~(x) pxt0(*) Sifactorizamosxobtenemos, °¯ ° ® t 0 ), 1 5 ( 0 ), 1 5 ( 2 2 x p m x x x x p m x x x

Mostramosquesiladesigualdad(*)secumpleparap l

°¯ ° ® t t t 0 , ) 1 5 ( 0 , 0 ) 1 5 ( 2 2 x l m x x x x l m x x x ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § °¯ ° ® d t d 0 , ) 1 5 ( 0 , 0 ) 1 5 ( 2 2 x l m x x x x l m x x x

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373 Entoncesladesigualdadsecumpleyparaotrop s, szl

°¯ ° ® t t t 0 , 0 ) 1 5 ( 0 , 0 ) 1 5 ( 2 2 x s m x x x x s m x x x ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § °¯ ° ® d t d 0 , 0 ) 1 5 ( 0 , 0 ) 1 5 ( 2 2 x s m x x x x s m x x x

Ladesigualdad(*)secumplecuando

Entoncesessuficienteescogerunnúmeros, szldelintervalo

) 1 , 1

( m m .

(1m,1m)

.

Obtenemosunacontradicciónrespectodelaunicidaddeladefinicióndelarectatangente. Sinembargo,sinperdergeneralidadsepuedepasardeunpuntoarbitrario(x0,y0)alorigen

) 0 , 0

( . Sea y f(x) una función con el punto de inflexión en (x0,y0). Si la función

0 0) ( ) ( ), (z u z f z x y u

u tieneenelpunto(0,0)larectatangenteu mz,entoncesla recta y mxb, donde b f(x₀) recibe el nombre la rectatangente para lafunción

) (x f y enelpunto(x₀,y₀). Conclusiones

Esderesaltarselaversatilidaddelmétododelcálculodelarectatangenteparaeltratamientode funcioneselementales.

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374 Hemosvenidomostrandolaevolucióndenuestrométodoenlosdiferentestrabajosprevios,

desdecasosmuyparticulareshastaelcasogeneraldefuncionessuaves,esdecirquetienen derivadas.

Hayunaclaraarticulaciónconceptualenestemétodoconeltratamientodedesigualdadesy ademásentrelosconceptosprincipalesdelcálculoelemental,comopuntosextremos,concavidad ypuntosdeinflexión,entreotros.

Referenciasbibliográficas

Boyer,C.yMerzbach,U.(1989).AHistoryofMathematics.NewYork:JohnWiley.

Edwards,C.H.(1979).TheHistoricaldevelopmentoftheCalculus.NewYork:SpringerͲVerlag. Rondero,C.,Karelin,O.yTarasenko,A.(2004).Métodosalternativosenlabúsquedadepuntos críticosyderivadasdealgunasfunciones.EnJ.Lezama,M.SánchezyJ.Molina(Eds.),Acta LatinoamericanadeMatemáticaEducativa18(pp.821Ͳ828).México:ComitéLatinoamericanode MatemáticaEducativaAC.

Karelin,O.,Rondero,C.yTarasenko,A.(2005).Propuestadidácticasobrelaconstruccióndela rectatangentesinelusodeladerivada.EnJ.Lezama,M.SánchezyJ.Molina(Eds.),Acta LatinoamericanadeMatemáticaEducativa18(pp.386Ͳ392).México:ComitéLatinoamericanode MatemáticaEducativaAC.

Karelin,O.,Rondero,C.yTarasenko,A.(2007).Laconstruccióndelarectatangenteenpuntosde inflexión:unmétodoalternativoenlaarticulacióndesaberes.EnC.CrespoCrespo(Ed),Acta LatinoamericanadeMatemáticaEducativa20(pp.198Ͳ203).México:ComitéLatinoamericanode MatemáticaEducativaAC.