Caracterización de conjuntos omega-límites singulares-hiperbólicos que son órbitas cerradas / Characterizing of the singular-hyperbolic omega-limit set which are closed orbits

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Caracterizaci´

on de conjuntos

omega-l´ımites singulares-hiperb´

olicos

que son ´

orbitas cerradas

Yeison Alexander S´

anchez Rubio

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de ciencias, Departamento de matem´aticas Bogot´a, Colombia

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Caracterizaci´

on de conjuntos

omega-l´ımites singulares-hiperb´

olicos

que son ´

orbitas cerradas

Yeison Alexander S´

anchez Rubio

Trabajo final presentado como requisito parcial para optar al t´ıtulo de: Magister en Ciencias - Matem´aticas

Director:

Prof. Seraf´ın Bautista D´ıaz

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de ciencias, Departamento de matem´aticas Bogot´a, Colombia

(4)

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Dedicado a

La memoria de mi madre Luz Marina Rubio

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Agradecimientos

Agradezco a Dios por acompa˜narme y guiarme a lo largo de mi vida, sobre todo en estos ´

ultimos dos a˜nos, a mi familia y amigos por su apoyo y confianza incondicional, en especial a July quien ha sido mi compa˜nera y fortaleza en los momentos de debilidad.

También quiero agradecer a la Universidad Nacional de Colombia, por darme la oportunidad de recorrer sus aulas y llenarme de aprendizaje, a todos los profesores que contribuyeron a mi formación durante mis estudios de maestr´ıa les agradezco su confianza apoyo y dedicación de tiempo, en especial al profesor Seraf´ın Bautista por su completa disposición para aportar en la cualificación de este documento y en mi formación tanto profesional como personal. Por último quisiera agradecer a mis compañeros de maestr´ıa quienes participaron de una u otra manera en la realización de este trabajo.

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ix

Caracterización de Conjuntos omega-l´ımites singulares-hiperbólicos que son órbitas cerradas

Resumen

Sea X un campo vectorial en una n-variedad cerrada M, diremos que un punto q ∈ M

satisface la propiedad (P)Σ si existe un subconjunto cerrado Σ de la variedad y un intervalo

abiertoI con qcomo punto frontera, tales que la clausura de la órbita positiva deq no inter-seca a Σ, pero toda órbita positiva deI interseca a Σ. Los puntosqde la variedad que tienen un conjunto omega-l´ımite hiperbólico tipo silla ω(q), tal que ω(q) es una órbita cerrada, satisfacen la propiedad (P)Σ para algún subconjunto cerrado Σ. El rec´ıproco es cierto para

n = 2 pero falso para n ≥ 4. En este trabajo probaremos que es cierto para el caso n = 3 incluso en un ambiente m´as amplio el de los conjuntos singulares-hiperb´olicos.

Palabras clave: ´Orbitas cerradas. Conjuntos singulares-hiperb´olicos. Conjuntos omega-l´ımites.

Characterizing of the singular-hyperbolic omega-limit set which are closed orbits

Abstract

Let X a vector field in an closed n-manifold M, we say that q ∈ M satisfies the property (P)Σ if there is a closed subset Σ of manifold and an open interval I with q as boundary

point such that the closure of the positive orbit q does not intersect Σ, but all positive orbit trough I intersects Σ. The points q of the manifold that having saddle-type omega-limit set

ω(q), such that ω(q) is a closed orbit satisfies the property (P)Σ for some closed subset Σ.

The converse is true for n = 2 but false for n ≥ 4, in this document prove that is true for

n = 3 even in a broader context of singular-hyperbolic sets.

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Contenido

Agradecimientos VII Resumen IX 1. Introducción 1 2. Preliminares 3 2.1. Conceptos básicos . . . 3 2.2. Conjuntos Hiperbólicos . . . 4 2.3. Conjuntos Singulares-Hiperbólicos . . . 6 2.3.1. Descomposición dominada . . . 6

2.3.2. Parcialmente hiperb´olicos y singulares-hiperb´olicos . . . 8

3. La propiedad (P)Σ 9 3.1. La propiedad (P)Σ en dimensi´on dos. . . 9

3.2. Formulaci´on del teorema principal . . . 10

3.2.1. La herradura de Smale . . . 11

3.2.2. Suspensi´on de un difeomorfismo . . . 13

3.2.3. Ensamble de toros solidos . . . 14

3.2.4. Contraejemplo en dimensi´on cuatro . . . 16

4. Partici´on singular 17 4.1. Partici´on singular . . . 17

4.2. Partici´on singular de un conjunto omega-l´ımite . . . 20

5. Existencia de la partici´on singular 25 5.1. Foliaci´on de secciones Transversales . . . 25

5.1.1. Rect´angulos . . . 26

5.1.2. Proyecci´on de la Wss _{. . . .} ₂₉

5.2. Algunas propiedades de singulares-hiperb´olicos . . . 32

5.3. Existencia de la partici´on singular . . . 37

6. Demostraci´on del teorema principal 41 6.1. La propiedad (P)Σ en una vecindadU de ω(q) . . . 41

(12)

6.2. Demostraci´on del teorema 1 . . . 46

7. Conclusiones 50

7.1. Conclusiones . . . 50

Bibliograf´ıa 51

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1 Introducci´

on

En el estudio cualitativo de las ecuaciones diferenciales (introducido por Henrrie Poincaré), es muy importante determinar el comportamiento a futuro de las órbitas dadas por un cam-po vectorial sobre una variedad cerrada, esto es, el conjunto omega-l´ımite el cual puede ser interpretado como el conjunto donde finalmente va a morir una órbita. Esta es la razón por la cual el estudio de estos conjuntos es crucial en los sistemas dinámicos. Para el caso de una 2-variedad, el Teorema de Poincaré-Bendixson caracteriza muy bien los conjuntos omega-l´ımites en el plano o S2_{, pero estos conjuntos no están caracterizados completamente}

en dimensiones mayores a dos.

Si establecemos condiciones sobre los conjuntos omega-l´ımites, tales como ser hiperb´olicos o singulares-hiperb´olicos1_{, podemos estudiar sus propiedades y posiblemente lograr una}

carac-terizaci´on de los mismos. En este trabajo nos centraremos en estudiar la propiedad (P)Σ y

su relaci´on con los conjuntos omega-l´ımite que son ´orbitas cerradas; diremos que un puntoq

de la variedad cumple la propiedad (P)Σ si existe un subconjunto cerrado Σ de la variedad y

un intervalo abierto I con q como punto frontera, tales que la clausura de la ´orbita positiva de q no interseca a Σ, pero toda ´orbita positiva de I interseca a Σ.

A primera vista la propiedad (P)Σ parece un poco extra˜na, pero esta motivado en el

compor-tamiento que se presenta en los conjuntos omega-l´ımites hiperbólicos tipo silla en dimensión dos, los cuales siempre resultan ser órbitas cerradas; entonces es natural preguntarse si esto se sigue presentando en dimensiones superiores a dos. La idea central de este trabajo es pro-bar que en dimensión tres bajo el contexto de los conjuntos omega-l´ımite hiperbólicos tipo silla, estas dos propiedades resultan ser equivalentes, e incluso demostraremos que lo siguen siendo, en un ambiente más general, cuando el conjunto omega-l´ımite es singular-hiperbólico; logrando una caracterización de los conjuntos omega-l´ımites singulares-hiperbólicos que son órbitas cerradas a partir de la propiedad (P)Σ.

El objetivo principal de este trabajo es estudiar, reescribir, desglosar, interpretar geométri-camente y complementar el resultado presentado en [BM08]. La estructura que se presenta en el trabajo es la siguiente: en el cap´ıtulo dos se darán las notaciones, conceptos básicos 1_{La teor´ıa de los conjuntos hiperb´}_{olicos introducidos por} _{S. Smale} _{en los a˜}_{nos 60 y la de los conjuntos}

singulares-hiperbólicos (en el caso de 3-variedades) introducidos en 1998 por Morales-Pacifico-Pujals, han sido los principales objetos de estudio de los últimos años en sistemas dinámicos.

(14)

y algunos resultados importantes sobre conjuntos hiperbólicos y singulares hiperbólicos, en el cap´ıtulo tres se formalizará la propiedad (P)Σ y se formulará el teorema principal, en el

cap´ıtulo cuatro definiremos las particiones singulares y su relación con los conjuntos omega-l´ımites singulares-hiperbólicos que son órbitas cerradas, en el cap´ıtulo cinco estableceremos la existencia de las particiones singulares y finalmente en el cap´ıtulo seis realizaremos la demostración del teorema principal.

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2 Preliminares

2.1. Conceptos b´

asicos

De aqu´ı en adelante M denota una 3-variedad cerrada (compacta sin borde), yX un campo vectorial en M de clase Cr _sobre _M _con _r _≥_{1. Vamos a denotar por} _X

t con t ∈ R el flujo

generado por X. Recordemos que este flujo es una aplicaci´on X : R× M → M,tal que

X0 =idM y Xt◦Xs =Xt+s para todo t, s∈R.

Una ´orbita de X es el conjunto O(q) = OX(q) = {Xt(q) : t ∈ R} para alg´un q ∈ M. La

´orbita positiva de un punto q ∈ M es el conjunto O+₍_q_{) =} _{_X

t(q) : t ∈ R+}. La ´orbita

negativa de un punto q ∈M es el conjunto O−₍_q_{) =}_{_X

t(q) :t∈R−}.

Una singularidad de X, es un punto σ ∈ M tal que X(σ) = 0 (lo que es equivalente a O(σ) = {σ}). Un punto regular de X es un punto p ∈ M que no sea una singularidad, en tal caso diremos que O(p) es regular.

Unaórbita periódicadeX es una órbitaγ =O(p) tal queXT(p) =ppara algún número real

T > 0 y O(p)6={p}. Una órbita cerradadeX es una singularidad o una órbita periódica de

X.

Denotaremos por:

Sing(X) ={σ ∈M|σ es una singularidad de X} y

P er(X) ={p∈M|γ =O(p) es una ´orbita peri´odica de X}.

El conjunto omega-l´ımite de un punto p∈M es el conjunto dado por:

ω(p) =ωX(p) ={x∈M :x= l´ım

n→∞Xtn(p) , para alguna sucesi´on tn→ ∞}. El conjunto alpha-l´ımite de un punto p∈M es el conjunto dado por:

α(p) = αX(p) ={x∈M :x= l´ım

(16)

Un conjunto compacto Λ⊂M es:

Invariante, si Xt(Λ) = Λ,∀t ∈R;

Transitivo, si Λ =ω(p) para alg´un p∈M;

No trivial, si Λ no es una ´orbita cerrada de X;

Aislado, si existe una vecindad compacta U de Λ tal que:

Λ =\

t∈R

Xt(U)

U es llamado un bloque aislante;

Attracting, si Λ es aislado y tiene un bloque aislante positivamente invariante, es decir:

Xt(U)⊂(U) ∀t > 0;

Atractor, si Λ es un attracting transitivo;

Repelling, si Λ es attracting para el campo de tiempo invertido −X;

Repeller, si Λ es un repelling transitivo.

2.2. Conjuntos Hiperb´

olicos

Definición 1 Un conjunto compacto e invarianteΛ⊂M es hiperbólico si existen constan-tes positivas K, λ y una descomposición continua y DXt-invariante del fibrado tangente de

M sobre Λ de la forma TΛM =EΛs ⊕EΛX ⊕EΛu, tal que para todo p∈Λ:

(1) DXt(p)/Es p

≤Ke−λt_, _∀_{t >}₀ _(e.d, _Es

Λ es el subfribrado estable o contractor);

(2) DX−t(p)/Eu p

≤Ke−λt_, _∀_{t >}₀ _(e.d, _Eu

Λ es el subfribrado inestable o expansor);

(3) EX

Λ =hXi (e.d, EΛX es la direcci´on del campo).

Si adem´as Es

p 6= 0 y Epu 6= 0 para todo p∈Λ, entonces decimos que Λ es tipo silla.

Observaci´on 1 En la definici´on anterior tenemos que:

Las constantes depende de la m´etrica y estas son las mismas para cualquier punto sobre la variedad;

(17)

2.2 Conjuntos Hiperb´olicos 5

La derivada se esta evaluando sobre Λ;

DXt-invariante significa que para todo x ∈ Λ se tiene que DXt(x)Exs = EXst(x) y

DXt(x)Exu =EXut(x). DXt x Eu x Es x Eu Xt(x) Es Xt(x) Xt(x) TXt(x)M TxM Figura 2-1: Hiperbolicidad.

Una órbita cerrada es hiperbólica si esta es hiperbólica como conjunto invariante.

La teor´ıa de variedades invariantes (ver [HPS77]), afirma que si H ⊂ M es un conjunto hiperb´olico de X y p∈H, entonces los conjuntos topol´ogicos

Wss(p) = {q∈M : l´ım

t→∞d(Xt(q), Xt(p)) = 0} y

Wuu₍_p_{) =}_{_q _∈_M _{: l´ım}

t→−∞d(Xt(q), Xt(p)) = 0}

son variedades inmersas biun´ıvocamente deM de clase Cr _{tangentes en}_p_a_Es

p y Epu

respec-tivamente. Estas variedades se llaman variedades estable e inestable fuerte y son conjuntos invariantes. Las variedades locales de tama˜no ǫ son definidas como

Wss

ǫ (p) ={q ∈M|d(Xt(q), Xt(p))≤ǫ,∀t ≥0}

y

Wuu

(18)

Otra forma de obtener las variedades estable e inestable fuertes es la siguiente: Wss(p) =[ t≥0 X−t(Wǫss(Xt(p))) y Wuu(p) = [ t≥0 Xt(Wǫuu(X−t(p))).

Si p, p′ _∈ _H_{, tenemos que} _Wss₍_{p, X}_{) y} _Wss₍_p′_{) o son iguales o son disjuntas (de forma} si-milar para Wuu_{). La aplicaci´on} _p _∈ _H _→ _Wss₍_p_{) y} _p _∈ _H _→ _Wuu₍_p_{) son continuas sobre}

subconjuntos compactos. Para todo p∈H definimos:

Ws(p) = [ t∈R Wss(Xt(p)) y Wu(p) = [ t∈R Wuu(Xt(p))

las variedades estables e inestables de la ´orbita de un punto. En general Ws₍_p_{) y} _Wu₍_p₎

son tangentes en p a Es

p ⊕EpX y Epu ⊕EpX, respectivamente y estas variedades dependen

continuamente de p. Dado que M es una 3-variedad los dos conjuntos Ws₍_p_{) y} _Wu₍_p_{) son}

bidimensionales, siempre que H sea un conjunto hiperb´olico tipo silla y X(p)6= 0.

2.3. Conjuntos Singulares-Hiperb´

olicos

Dado un operador lineal L en un espacio vectorialV se define la co-norma del ´ınfimo de L

por:

m(L) = ´ınf

||v||=1||L(v)||.

Usaremos esta co-norma para modificar la condición dos y tres de conjuntos hiperbólicos para introducir los conjuntos parcialmente hiperbólicos.

2.3.1. Descomposici´

on dominada

Definición 2 Sea Λ ⊂ M un conjunto compacto invariante de X. Una descomposición continúa y DXt-invariante del fibrado tangente de M sobre Λ de la forma

TΛM =EΛs ⊕EΛc,

es unadescomposici´on dominada, si existen constantes positivasK, λ y una m´etrica rieman-niana en M tales que

kDXt(x)/Es xk

m(DXt(x)/Ec x)

≤Ke−λt, ∀x∈Λ,∀t >0. (2-1)

Observaci´on 2 Asumiremos que una descomposici´on dominada, de los dos subfibrados Es

Λ

e Ec

(19)

2.3 Conjuntos Singulares-Hiperbólicos 7 Interpretemos geométricamente la descomposición dominada, recordando que la norma de un operador lineal L esta dada por:

||L||=supv6=0 ||Lv|| ||v|| luego m(L)≤ ||Lv|| ||v|| ≤ ||L|| (2-2)

dado unx∈Λ denotamos porvc

xyvxslas componentes del vectorvx ∈TΛM en los subfibrados

central y estable respectivamente, entonces por (2-2)

m(DXt(x)/Ec x)≤ kDXt(x)vcx k kvc x k ≤kDXt(x)/Ec x k kvc x k kDXt(x)vxc k ≤ 1 m(DXt(x)/Ec x) 1 kDXt(x)vcx k kvc xk ≤ 1 m(DXt(x)/Ec x) (2-3) adem´as kDXt(x)vxs k kvs xk ≤kDXt(x)/Es x k (2-4) de (2-1), (2-3) y (2-4) tenemos que kDXt(x)vxs k kvs x k kDXt(x)vxc k kvc x k ≤ kDXt(x)/Exs k m(DXt(x)/Ec x) ≤ke−λt luego kDXt(x)vxs k kDXt(x)vxc k ≤ kv s x k kvc x k ke−λt

De lo anterior podemos concluir que el vector vx es empujado porDXt hacia el subfibrado

(20)

DXt x E_xc E_Xc t(x) Xt(x) TXt(x)M E_Xs t(x) E_xs TxM

Figura 2-2: Descomposici´on dominada.

2.3.2. Parcialmente hiperb´

olicos y singulares-hiperb´

olicos

Definición 3 Un conjunto compacto invarianteΛ deX es parcialmente hiperbólico, si este exhibe una descomposición dominada

TΛM =EΛs ⊕E

c

Λ,

tal que Es

Λ es uniformemente contractor, e.d.,

kDXt(x)/Exsk ≤Ke− λt

, ∀x∈Λ,∀t >0;

el subfibrado Ec

Λ es llamado el central.

Denotamos por Det(L) el Jacobiano de L y diremos que el subfibrado central Ec

Λ de una

descomposici´on dominadaTΛM =EΛs ⊕EΛc sobre Λ expande volumen si

||Det(DXt(x)/EXc )|| ≥K−1e λt

, ∀t >0,∀x∈Λ.

Definici´on 4 Un conjunto Λ compacto invariante de Xt es singular-hiperb´olico por Xt si

Λ es parcialmente hiperb´olico, expande volumen en el subfibrado central y toda singularidad en Λ es hiperb´olica.

El ejemplo más representativo de un conjunto singular-hiperbólico es el atractor geométrico de Lorenz, también tenemos que todo conjuntoH hiperbólico tipo silla es singular-hiperbóli-co basta singular-hiperbóli-con hacer Ec

(21)

3 La propiedad

(

P

)

_Σ

En este cap´ıtulo vamos a formalizar la definici´on de la propiedad (P)Σ, formularemos el

teorema principal y mostraremos que este no puede ser extendido a dimensiones mayores a tres.

3.1. La propiedad

(P

)

Σ

en dimensi´

on dos.

Cuando trabajamos en dimensión dos, y consideramos los conjuntos hiperbólicos tipo silla, de manera casi inmediata concluimos que estos solo pueden ser una singularidad σ, ya que por ser tipo silla dim(Eu_{) = 1 =}_dim₍_Es_{) y por tal razón} _dim₍_Ex_{) = 0; gracias al teorema}

de Hartman-Grobman (Ver [Sot79] pág. 226), conocemos muy bien la dinámica local de una singularidad tipo silla hiperbólica.

Σ

q

σ I

Figura 3-1: Propiedad (P)Σ en dimensi´on dos.

Esta gr´afica, es la motivaci´on para establecer la propiedad (P)Σ, observemos que si tomamos

un punto q en espacio estable tenemos que ω(q) =σ y adem´as cualquier intervalo I con q

como punto frontera que no este contenido en la parte estable no muere en la singularidad si no que escapa acercándose a su parte inestable, luego si tomamos un intervalo Σ transversal al espacio inestable, la órbita positiva de cualquier punto p∈ I lo interseca, esta condición es precisamente la que determina la propiedad (P)Σ.

(22)

Definici´on 5 Sean M una n-variedad cerrada y X un campo vectorial Cr _con _r _≥₁ _sobre

M. Diremos que un punto q ∈ M, satisface la propiedad (P)Σ, si existe un subconjunto

cerrado Σ de M tal que:

(1) CL(O+₍_q₎₎_∩_{Σ =} _∅_;

(2) Existe un arco abierto I tal que q∈∂I yO+₍_p₎_∩_Σ₆₌_∅ _{para todo} _p_∈_I.

3.2. Formulaci´

on del teorema principal

Por lo que hemos mencionado es claro que en una 2-variedad, siω(q) es un conjunto hiperbóli-co tipo silla, entonces q satisface esta propiedad, pero cuando trabajamos en una variedad de dimensión mayor a dos, nos encontramos con que los conjuntos hiperbólicos tipo silla no son siempre triviales, es decir que podemos encontrar conjuntos hiperbólicos tipo silla que no son órbitas cerradas; por lo que podemos preguntarnos si al igual que en dimensión dos, si tenemos que para un punto q de la variedad su ω(q) es un conjunto hiperbólico tipo silla, ¿q satisface la propiedad (P)Σ?

Para dar respuesta a este interrogante, lo único que sabemos con seguridad es queqesta en la variedad estable deω(q), pero esta variedad no es sencilla de caracterizar por lo general salvo cuando los conjuntos son órbitas cerradas, por esto podr´ıamos reformular la pregunta de la siguiente manera, siω(q) es un conjunto hiperbólico tipo silla y una órbita cerrada, entonces ¿q cumple la propiedad (P)Σ?, la respuesta es afirmativa (el esquema para la demostración

lo veremos en el cap´ıtulo seis).

Ahora dado que la respuesta anterior es afirmativa nos podemos cuestionar, si el rec´ıproco es cierto, es decir, si ω(q) es un conjunto hiperb´olico tipo silla y q satisface la propiedad (P)Σ

¿Esω(q) una órbita cerrada?, en este caso la respuesta es negativa para dimensiones mayores o iguales a cuatro pero es cierta para dimensión tres, precisamente, centraremos este trabajo en demostrar que si estamos en una 3-variedad cerrada y ω(q) es un conjunto hiperbólico tipo silla, entonces q cumple la propiedad (P)Σ si y solo si ω(q) es una órbita cerrada; pero

como mencionamos en la introducción trabajaremos en un ambiente más amplio el de los conjuntos singulares-hiperbólicos1_{; lo que nos lleva a la formulación del teorema principal.}

Teorema 1 (Teorema principal) Sea X un campo Cr _con _r _≥ ₁ _{en una} ₃_-variedad

cerrada M. Si q∈M tiene un conjunto omega-l´ımite singular-hiperb´olico ω(q), entonces las siguientes proposiciones son equivalentes:

(23)

3.2 Formulaci´on del teorema principal 11 (1) ω(q) es una ´orbita cerrada.

(2) q satisface (P)Σ para alg´un subconjunto cerrado Σ.

Antes de empezar a trabajar en la demostración del teorema principal, mostraremos que este teorema no puede ser extendido a dimensiones mayores a tres ya que como mencionamos existen conjuntos hiperbólicos tipo silla que satisfacen la propiedad (P)Σ, pero no son órbitas

cerradas. Para ello primero debemos construir un conjunto omega-l´ımite hiperb´olico tipo silla no trivial en S3_{, a partir del ensamble de dos toros solidos y la suspensi´on de la herradura}

de Smale, describamos un poco esta construcci´on.

3.2.1. La herradura de Smale

Uno de los ejemplos más conocidos de un difeomorfismo que presentan un conjunto omega-l´ımite hiperbólico no trivial, es la herradura de Smale, miremos una forma de construirlo. Consideremos en R2 _{el rectángulo} _Q_{= [0}_,_1]_×_[0_,_{1] y} _g _: _Q_→ _R2 _{que act´}_{ua sobre} _Q _{de la}

siguiente manera: contrae a Q en la direcci´on horizontal un factor λ donde 0 < λ < 1 2 y lo

expande en la dirección vertical por un factorµcon µ >2; luego dobla Qcolocándolo de tal manera que g(Q) interseca a Q en dos rectángulos verticales. Ver la figura 3-2.

V0 V1 f(Q) 0 H1 H0 Q g 1−1 µ 1 1 µ 0 λ 1−λ 1

Figura 3-2: Construcci´on de la herradura de smale.

Realmente la din´amica importante de este difeomorfismo es que al ser aplicado interseca nuevamente el conjunto en dos componentes conexas V0 y V1, observemos que la aplicaci´on

es lineal para los rect´angulos H0 y H1 en la figura, describamos g directamente en estos

(24)

Tenemos que H0 = [0,1]×[0, 1 µ] y H1 = [0,1]×[1− 1 µ,1], adem´as g(H0) =V0 = [0, λ]×[0,1] y g(H1) = [1−λ,1]×[0,1]. Por lo tanto, g|H0 = (λx, µy) y g|H1 = (1−λx, µ−µy).

Podemos observar que Q∩g(Q)∩g2₍_Q_{) =} _g₍_g₍_Q₎_∩_H

0)∪g(g(Q)∩H1), adem´as se tiene

queTn_i₌₀gi₍_Q_{) ser´an 2}n _{franjas verticales.}

g

g(Q)

Q

Figura 3-3: Q∩g(Q)∩g2₍_Q_{) =}_g₍_g₍_Q₎_∩_H

0)∪g(g(Q)∩H1).

An´alogamente Tn_i₌₀g−i₍_Q_{) ser´an 2}n _{franjas horizontales, por lo tanto si consideramos todas}

la iteraciones de Q por g tanto a pasado como a futuro obtenemos un conjunto invariante Λ =T_n_∈_Zgn₍_Q_{) =}_C_×_C_{, donde}_C _{denota un conjunto de cantor.}

Λ

(25)

3.2 Formulación del teorema principal 13 El conjunto compacto invariante Λ, resulta ser topológicamente conjugado con el shift de dos s´ımbolos2 _{(Ver [Sma67] pág 771.), por lo tanto, resulta ser un conjunto hiperbólico, en el}

que existen puntos peri´odicos de cualquier orden y podemos encontrar puntos cuyas ´orbitas son densas en Λ, es decir que existe un q∈Λ tal que ω(q) = Λ.

Por último podemos considerar la herradura en un rectángulo más pequeño Q ⊂ D2 y extender g a un difeomorfismo f :D2 _→_D2 _{(Ver [Sma67] pág. 772), como se muestra en la}

figura 3-5. La función f aplicaGen G′ _y_F _en _F′_{; luego hay un punto fijo atractor en} _G′ _ya quef actúa como una contracción enG; finalmente observemos que existen puntos cercanos a Λ en Q que se dirigen al punto fijo de G, entonces ω(q) = Λ es un conjunto hiperbólico tipo silla no trivial3_.

G Q D2 G′ f(Q) f(D2) F F′ f

Figura 3-5: Herradura de Smale en D2_.

3.2.2. Suspensi´

on de un difeomorfismo

La suspensión de un difeomorfismo, es el proceso que usamos para la construcción de un campo a partir de un difeomorfismo. Sean N una variedad y f : N →N un difeomorfismo de clase Cr _con _r _≥_{2. En}_N _×_R _{consideramos la relación de equivalencia (}_{p, s}₎_∼₍_{q, t}_{) si y}

solo si s−t =n ∈Z y q=fn₍_p_{) para alg´}_{un entero} _n_{. Sea} _M ₌_N _×_R_/_∼_{con la topolog´ıa}

cociente, es decir, A es abierto en M si π−1₍_A_{) es abierto en} _N _×_R _donde _π_:_N _×_R_→_M

es la proyección canónica; podemos probar queM es una variedad diferenciable (Ver [MP82] pág. 112). Ahora si consideramos en M la aplicación X(π(p, t)) = Dπ(p, t)·(∂

∂t(p, t)) se

puede comprobar fácilmente que X(π(p, t)) = X(π(f(p), t−1)), esto prueba que X es un 2_{La definición de topol´}_{ogicamente equivalente se puede ver en [Sot79] p´}_{ag 220 y la dinámica del shift de}

dos s´ımbolos en [Rui01].

(26)

campo Cr−1 _{bien definido en}_M_.

Como un caso particular al suspender un difeomorfismo enN =D2_{, entonces obtenemos un}

campo vectorial X en el toro solido T S=D2_×_S1_.

0 1

N=D2

Identificando porf

π

Figura 3-6: Suspension de difeomorfismos en D2_.

Ahora podemos considerar enST el campo vectorialX que obtenemos al suspender el difeo-morfismof de la herradura de Smale enD2_{. Si consideramos Λ}

0 =π(Λ×[0,1]) yq0 =π(q,0),

tenemos que ω(q0) = Λ0 y este es un conjunto hiperb´olico tipo silla. Los puntos peri´odicos

de Λ se convierten en órbitas periódicas de X, y los puntos densos en órbitas densas. Observemos que hemos construido un ejemplo deun conjunto omega-l´ımite hiperbólico tipo silla no trivial, pero ST no es una variedad cerrada ya que tiene frontera, en este caso el campo es transversal a∂ST y apunta hacia dentro, es decir que la órbita de cualquier punto de∂ST a futuro esta en el interior de ST.

3.2.3. Ensamble de toros solidos

Para poder construir un ejemplo de un conjunto omega-l´ımite hiperb´olico tipo silla en una variedad cerrada, vamos a descomponer S3 _{en dos toros solidos.}

Una manera de ver la descomposici´on de S3 _{es la que se presenta en [CN79]. Consideremos}

(27)

inter-3.2 Formulaci´on del teorema principal 15 secci´on con el planox4 = 0 de la recta que contiene a P y a x. Comoπ es un difeomorfismo,

S3 _{puede ser considerada como una uni´on de} _R3 _con _P _{como infinito.}

Consideremos ahora el plano x1x3 como las regiones S1 limitada por los c´ırculos de radio 1

centrados en p = (2,0), q = (−2,0) y S2 =R2 −S1. Al girar esta figura en R3 en torno al

eje x3 la regi´on S1 genera un toro solido S1′. Sea S2′ =R3−S1′ y mostremos que π−1(S2′)∪P

es tambi´en un toro solido. Consideremos los c´ırculos en el plano x1x3 con centro en el eje

x3 y que pasan por los puntos p y q. Sea ℓa la componente conexa de uno de estos c´ırculos

en S2 que interseca al eje x3 en un punto a. Siendo ℓ∞ ={(x1,0)|x21 ≥ 9}, obtenemos una

folicaci´on de S2 cuyas hojas son las curvas ℓa con a∈R∪ {∞}.

S1 S1 p q a x1 x3 ℓ∞ ℓ∞ ℓa S2 Figura 3-7: Foliaci´on de S2_.

Al girar el plano x1x3 en torno al eje x3, las curvas ℓa con a ∈ R generan un disco Da y

ℓ∞ genera una arandela D∞. Para cada Da con a ∈ R∪ {∞}, su frontera coincide con un

paralelo de ∂S′

1.

Es claro ahora que si agregamos a R3 _, _{∞}_{via la proyecci´on estereogr´afica, el eje} _x

3 junto

con {∞} define el eje de un toro solido T2 que esta foliado por los discos π−1(Da), a ∈ R

m´as un disco Dp =π−1(D∞)∪P.

Si denotamos porT1 el toro solidoπ−1(S1′) obtenemos queS3 =T1∪T2 tales que los paralelos

(28)

Si consideramos el campo X asociado a la suspensi´on de la herradura de Smale en el toro solido ST = T1 y el campo Y = −X en el toro solido T2 (realmente puede ser cualquier

campo en el toro solido que sea transversal a la frontera hacia afuera), como la uni´on es disjunta salvo en la frontera podemos definir un campo X0 _en _S3 ₌ _T

1∪T2 de la siguiente manera: X0 t(x) =            Xt(x) si x∈Int(T1) Yt(x) si x∈Int(T2) Xt(x) si x∈∂T1 =∂T2 y t >0 Yt(x) si x∈∂T1 =∂T2 y t <0

Hemos construido un campoX0 _en _S3_{, observemos que} _q

0 ∈T1 yω(q0) = Λ0 (claro esta que

se le ha aplicado la proyección estereográfica), sigue siendo un conjunto hiperbólico tipo silla no trivial, solo que en esta ocasión estamos en una 3-variedad cerrada.

3.2.4. Contraejemplo en dimensi´

on cuatro

A partir del campo que construimos para S3_{, tenemos las condiciones necesarias para}

obte-ner un ejemplo de un conjunto omega-l´ımite hiperb´olico tipo silla que cumple la propiedad (P)Σ pero no es una ´orbita cerrada, en una 4-variedad cerrada.

Definimos el campo vectorial X1 _en _S3_×_[₋₁_,_{1] dado por} _X1₍_{x, y}_{) = (}_X0₍_x₎_,₂_y_{) para todo}

(x, y)∈S3_×_[₋₁_,_{1], es decir, al flujo en} _S3 _{le agregamos una dimensi´on expansora. Fijemos}

q1 = (q0,0), entonces ω(q1) = Λ1 = Λ0 × {0} es hiperb´olico tipo silla y no es una ´orbita

cerrada, sin embargo si tomamos a Σ = S3_{× {}₁_} _y _I ₌_{₍_q

0, y) ∈S3 ×[−1,1]|0 < y ≤ 1₂}

tenemos queq1 ∈∂I y para todop∈I,O+(p)∩Σ6=∅y por lo tantoq1 cumple la propiedad

(P)Σ.

(29)

4 Partici´

on singular

En este cap´ıtulo definiremos las particiones singulares asociadas a conjuntos invariantes y mostraremos algunas de sus propiedades, luego las relacionaremos con los conjuntos omega-l´ımites y la propiedad (P)Σ.

4.1. Partici´

on singular

Definición 6 Unasección transversal deX es una subvariedadS deM con dimensión n−1

transversal a X.

Diremos que una secci´on transversal S de X es una secci´on transversal de tiempo ǫ si

S∩X[−ǫ,ǫ](y) = {y} para todoy∈S.

Notamos el interior y la frontera (como subvariedad) de una secci´on transversalS porInt(S) y ∂S respectivamente.

Sea R ={S1, S2, ...Sk} una colecci´on finita de secciones transversales, entonces definimos:

R′ = k [ i=1 Si , ∂R= k [ i=1 ∂Si , Int(R) = k [ i=1 Int(Si).

El di´ametro de R esta dado por la suma de los di´ametros de sus elementos, y diremos que es de tiempo ǫ si R′_∩_X

[−ǫ,ǫ](y) ={y} para todoy∈ R′.

Definición 7 Una partición singular de un conjunto compacto invariante H de X es una colección disjunta y finita de secciones transversales R de X de tiempo no nulo, tal que:

(1) H∩∂R′ ₌_∅_;

(2) Sing(X)∩H ={y∈H :Xt(y)∈ R/ ′,∀t ∈R}.

De las condiciones (1) y (2) en la definici´on 7 podemos deducir de manera inmediata los siguientes dos lemas.

(30)

Lema 1 Si R es una partici´on singular deH y x∈H∩ R′_{, entonces existe} _S

j ∈ R y ǫ >0

tal que Bǫ(x)⊂Sj. 1

Lema 2 Si R es una partici´on singular de H, entonces R′ _{interseca a toda ´orbita regular} de H y no contienen ninguna de las singularidades de H.

Dado un conjunto invarianteH definimos:

Fs₍_H_{) =} _{_x_∈_M _:_ω₍_x₎_⊂_H_} _y _Fu₍_H_{) =}_{_x_∈_M _:_α₍_x₎_⊂_H_}_.

Lema 3 Si σ∈Sing(x) es hiperb´olica, entonces Fs₍_{_σ_}_{) =}_Ws₍_σ₎_.

Este lema se deduce f´acilmente como una consecuencia del teorema de Hartman-Grobman (ver [Sot79] p´ag. 220).

Lema 4 Si x∈Fs₍_Sing₍_X₎_∩_H₎_{, existe} _σ

x ∈Sing(X)∩H tal que x∈Fs({σx}).

Demostraci´on. Si x ∈ Fs₍_Sing₍_X₎_∩_H_{), entonces} _ω₍_x₎ _⊂ ₍_Sing₍_X₎_∩_H_{) es decir que}

ω(x) esta formado por singularidades, pero como las singularidades son aisladas, ω(x) no puede contener dos singularidades sin contener una ´orbita regular, entonces existe alg´un

σx ∈(Sing(X)∩H) tal que ω(x)⊂ {σx}.

Para simplificar denotaremos Fs₍_{_σ

x}) por Fs(σx).

Lema 5 Si R es una partici´on singular de H, entonces Fs₍_Sing₍_X₎_∩_H_{) =} [

σ∈Sing(X)∩H

Fs₍_σ₎_.

Demostraci´on.Six∈S_σ_∈_Sing₍_X₎_∩_HFs₍_σ_{), entonces} _x_∈_Fs₍_σ_{) para}_σ _∈_Sing₍_X₎_∩_H_{. Por}

lo tanto ω(x) ⊂ {σ} ⊂ Sing(X)∩H luego x ∈ Fs₍_Sing₍_X₎_∩_H_{). La otra contenencia se}

obtiene del lema 4.

Dada una partici´on singular R de un conjunto H en un campo X definimos la funci´on de retornoasociada:

ΠR :Dom(ΠR)⊂ R′ → R′ con

Dom(ΠR) ={x∈ R′ :Xt(x)∈ R′ para alg´un t >0}

dada por

ΠR(x) =Xt(x)(x),

dondet(x) es el tiempo de retorno, es decir, el primer t >0 que satisface que Xt(x)∈ R′. 1_{La bola es considerada en la subvariedad y claramente el di´ametro de esta no puede superar el di´ametro}

(31)

4.1 Partici´on singular 19

Lema 6 Si R es una partici´on singular de un conjunto compacto invariante H de X, en-tonces se tienen las siguientes propiedades:

(1) (H∩ R′₎_∩_Dom_(Π

R)⊂Int(Dom(ΠR)) yΠR es C1 en una vecindad deH∩ R′ en R′; (2) (H∩ R′₎_\_Dom_(Π

R)⊂Fs(Sing(X)∩H). Definimos H0 ₌_H_{∩ R}′ _{y por simplicidad notemos Π}

R solamente como Π.

Demostraci´on.

(1) Sea x ∈H0_∩_Dom_{(Π), entonces tenemos que} _x_∈_H0 _{y por el lema 1, existen} _S

j ∈ R

y ǫ > 0 tal que Bǫ(x) ⊂ Sj ⊂ R′; por otro lado Xt(x)(x) ∈ R′ para alg´un t(x) > 0 y

como H es invariante tenemos que Xt(x)(x) ∈ H0. Nuevamente aplicando el lema 1,

existen Si ∈ R y β > 0 tal que Bβ(x) ⊂ Si; por la dependencia continua y teniendo

en cuenta que la partici´on singular es transversal al flujo tenemos que existe δ >0 tal que

si d(x, y)< δ, entoncesd(Xt(x)(x), Xt(x)(y))< β,

donde d denota la distancia en la variedad M. Tomando αx =min(δ, ǫ) tenemos que

Bαx(x)⊂Dom(Π) y por lo tanto x∈Int(Dom(Π)).

X_t₍_x₎(x) x Bαx(x) Sj Si Bβ(x) Figura 4-1: Bαx(x)⊂Dom(Π). Ahora definimos U = [ x∈H0_∩_Dom_(Π) Bαx(x)

(32)

(2) Sea p∈H0_\_Dom_{(Π), luego} _O+₍_p₎_{∩ R}′ ₌_∅_{. Supongamos que existe un punto regular} r ∈ω(p)⊂H, entonces por el lema 2 existe t0 ∈R tal que Xto(r) ∈ R y por el lema

1, se tiene queXt0(r)∈Int(Sj) para alg´un Sj ∈ R.

Dado queXt0(r)∈ω(p) existe una sucesi´on tn → ∞ tal que Xtn(p)→Xt0(r) y como Sj es transversal al flujo tenemos queO+(p)∩Sj 6=∅lo que es una contradicci´on. Por

lo tanto ω(p)⊂ Sing(X)∩H y p∈Fs₍_Sing₍_X₎_∩_H_).

Como se tienen (1) y (2) el lema queda demostrado

4.2. Partici´

on singular de un conjunto omega-l´ımite

Ahora miraremos que otras propiedades podemos deducir de una partici´on singular cuando est´a asociada a un conjunto omega-l´ımite.

Lema 7 Dado q∈M siω(q)no es una singularidad y R es una partici´on singular deω(q), entonces se tiene que O+₍_q₎_{∩ R}′ ₌_{_q

1, q2, ...} es una sucesi´on infinita ordenada de tal

ma-nera que Π(qn) =qn+1.

Demostraci´on.Ya que las singularidades son aisladas yω(q) no es una singularidad, enton-ces ω(q) contiene ´orbitas regulares y por el lema 2, ω(q)∩ R′ ₌₆ _∅_{. Dado} _x_∈_ω₍_q₎_{∩ R}′_{, por} el lema 1 tenemos que x∈Sj ∈ R y como Sj es transversal al flujo y O+(q) debe acumular

a x existe una sucesi´on {q_bn}n∈N que llamaremos Suc(x) tal que qbn ∈ O+(q)∩Sj y qbn →x.

As´ı tenemos que

[

x∈ω(q)∩R′

Suc(x)⊂ O+(q)∩ R′,

luegoO+₍_q₎_∩R′ _{es un conjunto infinito y como las secciones transversales en}_R_{son disjuntas} y transversales al flujo, entonces O+₍_p₎_{∩ R}′ _{es un conjunto contable.}

Lema 8 Dadoq∈M tal que toda singularidadσ ∈ω(q)es hiperb´olica con variedad inestable unidimensionalWu₍_σ₎_{y si} _R_{es una partici´on singular de} _ω₍_q₎_con _R′_{∩ O}+₍_q_{) =}_{_q

1, q2, ...}

y Π(qn−1) = qn, entonces existe δ >0 y N ∈ N tal que si n ≥ N se cumple una de las dos

opciones siguientes:

(A) Bδ(qn)⊂Dom(Π) y Π|Bδ(qn) es C1, o

(B) Existe una curva cn ⊂ Ws(Sing(X)∩ω(q))∩ Bδ(qn) tal que B_δ+(qn) ⊂ Dom(Π) y

Π|_B+

δ(qn) es C

1_{, donde} _B+

(33)

4.2 Partici´on singular de un conjunto omega-l´ımite 21

Demostraci´on. Por hip´otesis siσ ∈Sing(X)∩ω(q), entoncesσ tiene Wu₍_σ₎

unidimensio-nal. Por lo tanto Ws₍_σ_{) es una variedad bidimensional. Adem´as} _O+₍_q₎_∩_Ws₍_σ

x) = ∅.

Siω(q)∩ R′ _⊂_Dom_{(Π), entonces por el lema 6 obtenemos que se cumple (}_A_{). Supongamos} entonces que ω(q)∩ R′ _6⊂_Dom_(Π).

Sea x ∈ ω(q)∩ R′_\_Dom_{(Π). Por el lema 6,} _x _∈ _Fs₍_Sing₍_X₎_∩_ω₍_q_{)), por el lema 4 existe}

σx ∈ω(q)∩Sing(x) tal quex∈Fs(σx), y por el lema 3Fs(σx) = Ws(σx).

Por otra parte, por el lema 1 existe β > 0 y Sj ∈ R tal que Bβ(x) ⊂ Sj. Observemos que

Sj y Ws(σx) son bidimensionales y x ∈ Ws(σx)∩Sj. Como Ws(σx) es invariante y Sj es

transversal al flujo, entonces existe una curva cx tal que cx=Sj ∩Ws(σx).

ComoWu₍_σ

x) es unidimensional, entoncesWu(σx)\{σx}se divide en dos componentes

cone-xasW+_y _W−_{. Adem´as como} _O+₍_q₎_∩_Ws₍_σ

x), entoncesO+(q) debe acumular por lo menos

una componente conexa. Por lo tanto se cumple una de las siguientes opciones:

i. W+ _⊂_ω₍_q_{) y}_W− _⊂_ω₍_q_); ii. W+ _⊂_ω₍_q_{) y}_W− _*_ω₍_q_); iii. W+ _*_ω₍_q_{) y}_W− _⊂_ω₍_q_). σx O+₍_q₎ W+ W− Sj x Bβ(x) qi Es₍_σ_x) qi+1 Sk Si Ws₍_σ x)

(34)

Si se cumple la opci´on (I), entoncesW+ _⊂_ω₍_q_{) y} _W− _⊂_ω₍_q_{). Como}_W+ _y _W− _{son ´orbitas} regulares, por el lema 2 tenemos queW+_∩_Int₍_R′₎₆₌_∅ _y _W−_∩_Int₍_R′₎₆₌_∅_{. Por el lema 1} existen Si, Sk ∈ R tal que W+∩Int(Si)6=∅ y W−∩Int(Sk)6=∅.

Por otro lado si consideramosBδx(x) enSj conδx peque˜no, tenemos quey /∈W

s₍_σ

x) para

to-doy∈Bδx(x)\cx. Por lo tantoO

+₍_y_{) se aproxima a}_Wu₍_σ

x) y comoSi ySkson transversales

al flujo, entoncesO+₍_y₎_{∩ R}′ ₆₌_∅_{. Luego}

Bδx(x)\cx ⊂Dom(Π) y por el lema 6 Π|B_δx(x)−cx es C

1_. _(4-1)

Si se cumple la opci´on (II), entonces W+ _⊂ _ω₍_q_{) y} _W− _* _ω₍_q_{). Por los lemas 1 y 2 existe} Si ∈ R tal que W+∩Int(Si)6=∅. Adem´as O+(q) no se acumula enW−.

Ahora, si consideramos Bδx(x) en Sj, con δx peque˜no, tenemos que y /∈ W

s₍_σ

x) para todo

y∈Bδx(x)\cx, entonces O

+₍_y_{) se aproxima a} _Wu₍_σ

x). Observemos que Bδx(x)\cx se divide

en dos componentes conexasB_δ+_x(x) yB_δ−_x(x) tales queB_δ+_x(x) se aproxima aW+_y_B−

δx(x) se

aproxima a W−. ComoSi es transversal al flujo tenemos que O+(y)∩ R′ 6=∅para todo y∈

B_δ+_x(x). Adem´as, si tomamos aδxlo suficientemente peque˜no tenemos queBδ−x(x)∩O

+₍_q_{) =} _∅_. Ws(σx) σx W+ W− Sj x Es₍_σx₎ B+_δ x(x) Si

Figura 4-3: Opci´on (II).

Luego

B_δ+_x(x)\cx ⊂Dom(Π) , Π|B_δx+(x) es C

(35)

4.2 Partici´on singular de un conjunto omega-l´ımite 23

Si se cumple la opci´on (III) simplemente consideramos B_δ+_x(x) como la componente que se aproxima a W− _{y de manera an´aloga se tiene (4-2).}

Tenemos que ω(q)∩ R′\Dom(Π)⊂ [ xi∈ω(q)∩R′\Dom(Π) Bδxi 2 (xi),

y como ω(q)∩ R′_\_Dom_{(Π) es compacto entonces} ω(q)∩ R′\Dom(Π)⊂ l [ i=1 Bδxi 2 (xi) =A. Definimos H1 ₌_ω₍_q₎_{∩ R}′_\ l [ i=1 Bδ_xi(xi),

observemos que H1 ⊂ω(q)∩ R′∩Dom(Π). Por lo tanto

H1 ⊂ [ y∈ω(q)∩R′_∩_Dom_(Π) Bβyj 2 (yj),

con yj suficientemente peque˜no. Como H1 es compacto, entonces

H1 ⊂ r [ j=1 Bβyi 2 (yi) = B.

Adem´as, como ω(q)∩ R′ _⊂_H1_∪₍_ω₍_q₎_{∩ R}′_\_Dom_{(Π)), entonces} ω(q)∩ R′ _⊂_A_∪_B,

por lo tanto (A∪B) es un recubrimiento abierto de ω(q)∩ R′_. Ahora, por hip´otesis tenemos que O+₍_q₎_{∩ R}′ ₌ _{_q

1, q2, ...}. Como se observa en la

demos-traci´on del lema 7, {qn}n∈N se acumula en ω(q) ∩ R′. Por lo tanto existe un N ∈ N lo

suficientemente grande tal que para todo n > N, se tiene que

qn ∈Bδxi 2 (xi) para algún 1≤i≤l ó qn ∈Bδyj 2 (yj) para algún 1≤j ≤r. Tomemos δ=min{δxi 8 , δyj

8 |1≤i≤l,1≤j ≤r}, entonces se presentan dos casos

(36)

a. Si Bδ(qn)⊂Bδ_yj(yj) entonces por el lema 6 tenemos que

Bδ(qn)⊂Dom(Π) y Π|Bδ(qn) es C1

en este caso obtenemos (A). b. Si Bδ(qn)⊂Bδi(xi), definimos

cn=cxi∩Bδ(qn).

Claramenteqn∈/ cnporque de lo contrarioω(q) ser´ıa una singularidad. Por lo tanto

te-nemos queqn∈Bδ(qn)\cn. DefinimosBδ+(qn) como la componente conexa deBδ(qn)\cn

que contiene a qn.

Aqu´ı se nos presentan dos subcasos dependiendo si se cumple (4-1) o (4-2). SiBδ_xi(xi)\cxi ⊂Dom(Π) y Π|B_δxi(xi)\c_xi es C 1_{, adem´as}_B+ δ (qn)\cn ⊂Bδ_xi(xi)\cxi. Por lo tanto Bδ+(qn)⊂Dom(Π) y Π|B_δ+(qn) esC1. SiBδ+_xi(xi)\cxi ⊂Dom(Π) y Π|B+ δxi(xi)\cxi es C 1_{, adem´as como}_q n ∈ O+(q),

enton-ces qn ∈Bδ+_xi(xi), de donde Bδ+(qn)⊂Bδ+_xi(xi). Por lo tanto

B_δ+(qn)⊂Dom(Π) y Π|B_δ+(qn) esC 1_.

Luego para ambos subcasos obtenemos (B).

(37)

5 Existencia de la partici´

on singular

En este cap´ıtulo el objetivo principal es demostrar que si tenemos un conjunto omega-l´ımite singular-hiperb´olico que satisface la propiedad (P)Σ, entonces le podemos asociar una

partición singular de diámetro arbitrariamente pequeño, para ello primero introduciremos la noción de rectángulo, su foliación y algunas propiedades de esta última, para finalmente demostrar la existencia de dicha partición.

5.1. Foliaci´

on de secciones Transversales

Observemos que la dinámica sobre la parte estable de un conjunto singular-hiperbólico, es análoga a la parte estable de un conjunto hiperbólico, por lo que la teor´ıa de variedades inva-riantes (ver [HPS77]) también aplica para la parte estable de conjuntos singulares-hiperbóli-cos. En efecto, todo conjunto singular-hiperbólico Λ esta equipado con una foliación estable

Wss_{(Λ) tangente a} _Es

Λ. Denotamos por Wss(p) la hoja de Wss(Λ) que contiene a p ∈ Λ,

esta es una subvariedad unidimensional suave inmersa e inyectiva que llamamos la variedad estable fuerte y es invariante, es decir que Xt(Wss(p)) = Wss(Xt(p) para todo t∈R.

Al igual que en el caso hiperb´olico Wss₍_p_{) puede ser caracterizado de la siguiente manera,}

y ∈Wss₍_p_{) si y solo si} _d₍_X

t(y), Xt(p)) se hace exponencialmente cero cuando t → ∞. Para

todo p, p′ _∈_{Λ nosotros tenemos que} _Wss₍_p_{) y} _Wss₍_p′_{) coinciden o son disjuntos. La} aplica-ci´on p∈Λ→Wss₍_p_{) es continua.}

Para todo punto regular p ∈ Λ, definimos su variedad estable Ws₍_p_{) =} S

t∈RWss(Xt(p))

la cual es una subvariedad bidimensional. Nuevamente tenemos que dos variedades estables coinciden o son disjuntas y la aplicaci´on p→Ws₍_p_{) es continua.}

Ahora, si consideramos una secci´on transversal S que interseque a Λ. Todo x ∈ S es un punto regular, luego Ws₍_p_{) es bidimensional para todo} _p _∈ _S_∩_{Λ. Si} _p _∈ _S_∩_{Λ definimos}

la hoja estable de p con respecto a S, Fs₍_{p, S}_{) como la componente conexa de} _Ws₍_p₎_∩_S

que contiene a p. La continuidad de Ws₍_p_{) sobre puntos regulares implica que la aplicaci´on}

p∈S∩Λ→ Fs₍_{p, S}_{) es continua y dado que las variedades estables son dos a dos disjuntas,}

entonces tenemos que la familia {Fs₍_{p, S}₎_|_p_∈_S_∩_Λ_}₌_Fs

(38)

5.1.1. Rect´

angulos

Definición 8 Una sección transversalDdeXes llamada unrectángulosi este es difeomorfo al rectángulo [0,1]×[0,1].

En este caso ∂D es una subvariedad de M formada por cuatro curvas Dt

h (horizontal

su-perior),Db

h (horizontal inferior), Dvl (vertical izquierda), Drv (vertical derecha). Asumiremos

siempre que ID la imagen de 0×[0,1] es una curva tangente a la direcci´on central T D∩Ec

dondeT D es el espacio tangente de D.

Curva vertical Curva horizontal Dr v TyD∩Eyc Dt h TyD D Ec y Db h ID Dl v y Figura 5-1: Rect´angulo.

Se define una curva horizontal enDsi es la gr´afica de un mapaFs₍_{p, D}₎_→_I

D transversal a

∂v_D_{. De manera similar nosotros llamaremos una curva vertical en} _D _{si es la gr´afica de un}

mapaID → Fs(p, D) transversal a ∂hD. Ver [MP03].

Lema 9 Sea ω(q) un conjunto singular-hiperbólico. Para todo z ∈ ω(q)\Sing(X) existe un rectángulo Rz cerrado de z con diámetro arbitrariamente pequeño que cumple las siguientes

propiedades:

(1) z ∈Int(Rz);

(2) Si x∈ω(q)∩Rz, entonces Fs(z, Rz) es una curva horizontal en Rz.

Demostraci´on. Sea z ∈ M un punto regular, entonces podemos encontrar V y W tales que {V, W, X(z)} sean una base para R3_{. Para un} _{β >} _{0 suficientemente peque˜}_no

(39)

5.1 Foliaci´on de secciones Transversales 27

f([−β, β]×[−β, β]) resulta ser una sección transversal D de X tal que z ∈ Int(D). Ob-servemos que podemos tomar a V y W ortogonales a X(z) para que la sección sea lo más perpendicular posible al flujo, también podemos escoger la norma de V y W tan pequeño como queramos y determinar el ángulo que forman V y W, gracias a esto podemos lograr que D sea un rectángulo y disminuir su diámetro tanto como sea necesario. Además como

Wss₍_z_{) es una curva suave,} _Fs₍_{z, D}_{) resulta una curva horizontal.}

Ahora observemos que Fs₍_{z, D}_{) divide a} _D _{en dos subrect´angulos,} _D+ _y _D−_{, para probar} (2) tenemos cuatro posibles casos.

a. Si z es aislado en ω(q)∩D, entonces existe una vecindad V de z en ω(q)∩D tal que

V ∩ω(q) = {z}. Podemos reducir D a D′ _{de tal manera que} _D′ _⊂ _V _{y en tal caso} haciendo D′ ₌_R z se tiene el resultado. V Rz z Fs₍_{z, D}₎ D Figura 5-2: Caso (a).

b. Si ω(q)∩D ⊂ Fs₍_{z, D}₎_∪_∂D_{, entonces basta reducir} _D _a _D′ _{lo suficiente para que} D′_∩_∂D ₌_∅ _{y haciendo} _R z =D′ se obtiene el resultado. z D Fs₍_{z, D}₎ Rz Figura 5-3: Caso (b).

c. Si ω(q)∩Int(D+_{) =} _∅ _´o _ω₍_q₎_∩_Int₍_D−_{) =} _∅_{. Supongamos que} _ω₍_q₎_∩_Int₍_D+₎ ₆₌ _∅

(40)

de tal manera que D′ _∩ _∂D ₌ _∅_{. Por lo tanto} _D′ _∩₍_D− _∩ _ω₍_q₎₎ _{⊂ F}s₍_{z, D}_{). Si} _z

es aislado en D+ _∩_ω₍_q_{) nos remitimos al caso (}_a_{), de lo contrario existe un punto}

w ∈ Int(D+₎_∩_ω₍_q_{) cercano a} _z _{y como la aplicaci´on} _x _{→ F}s₍_{x, D}_{) es continua en}

puntos regulares, entonces Fs₍_{w, D}_{) es casi paralelo a} _Fs₍_{z, D}_{). Por lo tanto, como} Fs₍_{z, D}_{) es una curva horizontal tambi´en lo es} _Fs₍_{w, D}_{). Si definimos} _R

z = D′\R

donde R es la region de D delimitada por Fs₍_{w, D}_{) y} _∂Dt

h, entonces obtenemos el resultado. z D Fs₍_{z, D}₎ D− D+ Fs₍_{w, D}₎ Rz Figura 5-4: Caso (c).

d. Siω(q)∩Int(D+₎₆₌_∅_y_ω₍_q₎_∩_Int₍_D−₎₆₌_∅_{. Si}_z_{es aislado en}_D_∩_ω₍_q_{) procedemos como} en el caso (a). Si z no es aislado, peroz es aislado en D−_∩_ω₍_q_{) ´o} _D+_∩_ω₍_q_{), entonces}

reducimos D a D′ _{tal que} _D′_∩₍_ω₍_q₎_∩_Int₍_D−_{)) =} _∅ _´o _D′ _∩₍_ω₍_q₎_∩_Int₍_D+_{)) =} _∅_,

entonces procedemos como en el caso (c). Si z no es aislado en D−_∩_ω₍_q_{) ni tampoco} en D+_∩_ω₍_q_{) existen} _y _y _w _en _D− _y _D+ _{lo suficientemente cerca de} _z _{de tal manera}

quey, w∈ω(q) y Fs₍_{w, D}_),_Fs₍_{y, D}_{) y}_Fs₍_{z, D}_{) son paralelos. Reducimos} _D _a _D′ _de tal manera queD′_∩_∂D₌_∅_{. Por ´}_{ultimo si definimos} _R

z =D′\R1∪R2 dondeR1 es la

regi´on de D comprendida entre ∂Dt

h y Fs(w, D) y R1 es la regi´on de D comprendida

entre ∂Db

h y Fs(y, D), entonces obtenemos el resultado.

D D− D+ Fs₍_{w, D}₎ Fs₍_{z, D}₎ Fs₍_{y, D}₎ Rz z Figura 5-5: Caso (d).

(41)

5.1 Foliaci´on de secciones Transversales 29

5.1.2. Proyecci´

on de la

W

ss

En el cap´ıtulo anterior definimos que una secci´on transversal S deX es de tiempoǫ > 0 si

S∩X[−ǫ,ǫ](y) = {y} para todoy∈S, en este caso podemos definir:

PS :X[−ǫ,ǫ](S)→S, comoPS(Xt(y)) =y para todoy∈S y t∈[−ǫ, ǫ].

Definición 9 SiS es una sección transversal de tiempoǫde un conjunto singular-hiperbólico

Λ, para todo y ∈ Λ∩Int(S) definimos la variedad estable de y con respecto a S como la componente conexa deWss₍_y₎_∩_X

[−ǫ,ǫ](S)que contiene ayla cual denotaremos porWss(y, S).

S y

Wss₍_y₎

X[−ǫ,ǫ](S)

Figura 5-6: Wss₍_{y, S}_).

Como tenemos que Wss₍_{y, S}₎_⊂_X

[−ǫ,ǫ](S), le podemos aplicar la proyecci´on PS.

y

Fs₍_{y, S}₎

Ws₍_{y, S}₎

S

Figura 5-7: PS(Wss(y, S)).

Lema 10 Si S es una secci´on transversal de tiempo ǫ de un conjunto singular-hiperb´olico

(42)

Demostraci´on.Seax∈Ps(Wss(y, S)) cony∈S∩Λ, luegox=Xt(y′) para alg´unt ∈[−ǫ, ǫ]

y y′ _∈_Wss₍_{y, S}_{). Por lo tanto} _x_∈ _Ws₍_y′_{) pero como}_y′ _∈ _Wss₍_{y, S}_{), entonces tenemos que}

Ws₍_y′_{) =} _Ws₍_y_{), de donde} _x _∈_Ws₍_y_{). Adem´as como} _x_∈ _S_{, entonces} _x _{∈ F}s₍_{y, S}_{), por lo}

tanto Ps(Wss(y, S))⊂ Fs(y, S).

Ahora es posible pensar que esta contenencia es estricta como se muestra en la siguiente figura. S Wss₍_{y, S}₎ Wss(y) X[−ǫ,ǫ](S) PS(Wss(y, S)) Fs₍_{y, s}₎ _y Figura 5-8: Fs₍_{y, S}₎₆₌_P S(Wss(y, S).

Si escogemos la secci´on transversal perpendicular a X (ver la demostraci´on del lema 9) y teniendo en cuenta que Wss _{es una variedad suave que es tangente a} _Es

Λ, dif´ıcilmente se

presentar´ıa la situación que se muestra en la figura 5-8 y en caso de hacerlo, reducimos el diámetro de la sección de tal manera queFs₍_{y, S}_{) =}_P

S(Wss(y, S)) para todo y∈S∩ω(q).

De aqu´ı en adelante trabajaremos con secciones transversales en las que tengamos la igualdad y usaremos esta caracterización para probar el siguiente lema que será de vital importancia en la demostración de nuestro teorema principal.

Lema 11 1 _Sean _H _{un conjunto singular-hiperbólico y un punto} _y _∈_H_∩_Int₍_S₎_{, donde} _S es una sección transversal de tiempoǫ y diámetro pequeño. Suponga que existe una secuencia tn > 0, acotada lejos de 0 y q0 ∈ Fs(y, S) tal que qn = Xtn(qn−1)∈ F

s₍_{y, S}₎ _{para todo} _n _y

qn →y cuando n → ∞. Entonces, existe γ ∈ P er(X)∩H tal que y, qn ∈Ws(γ) para todo

n.

Demostraci´on.Sean H, qn, y y S que satisfacen las condiciones del lema, entonces

defini-mos:

(43)

5.1 Foliaci´on de secciones Transversales 31 Tn= n X i=1 ti luego qn=XTn(q0).

Dado que tn>0 es acotada lejos de cero, Tn→ ∞ cuando n → ∞.

Como q0 ∈ Fs(y, S) existe un q′0 ∈ Wss(y, S) tal que q0 = PS(q0′). Dado que PS es una

proyección a través del flujo, entonces tenemos que existe t0 ∈ R tal que q0 = Xt0(q ′ 0). Definimos: Tn′ =Tn+t0 luego qn =XT′ n(q ′ 0) además T′ n→ ∞ si n→ ∞.

Ahora sabemos que Wss₍_{y, S}_{) =} _Wss₍_q′

0, S) y adem´as como la variedad estable fuerte se

contrae a futuro l(XT′ n(W

ss₍_q′

0, S))) → 0 cuando n → ∞, donde l denota longitud. Esto

implica que para un N lo suficientemente grande, se tiene que XT′ n(W

ss₍_q′

0, S))⊂X[−ǫ,ǫ](S)

para todo n≥N, y tiene sentido hablar de PS(XT′ n(W ss₍_q′ 0, S))). Sea x∈ Fs₍_{y, S}_{), entonces} _P−1 S (x)∈Wss(y, S) =Wss(q0′, S) y observemos que XT′ n(W ss (q₀′, S))⊂Wss(qn, S), luego XT′ n(P −1 S (x))∈W ss₍_q n, S). Por lo tanto PS(XT′ n(P −1 S (x)))∈ F s₍_q n, S),

pero como qn ∈ FS(y, S) yFSs es una foliaci´on, entonces

PS(XT′ n(P

−1

S (x))) ∈ F

s₍_{y, S}₎_.

Luego tenemos que:

F =PS◦XT′ n◦P

−1

S :F

s₍_{y, S}₎_{→ F}s₍_{y, S}₎

es una contracci´on paran ≥N. Por el teorema del punto fijo de Banach, tenemos que existe un ptal que F(p) = PS(XT′ n(P −1 S (p))) =p, de donde XT′ n(P −1 S (p)) =PS−1(p). Por lo tanto p∈P er(X)∩H y adem´as PS(XkTn(P −1 S (x))) =F

k₍_x₎_→_p_cuando _k_{→ ∞} _{para todo} _x_{∈ F}s₍_{y, S}_{), entonces} Fs₍_{y, S}₎_⊂_Ws₍_γ_{) con}_γ ₌_O+₍_p_{). Por lo tanto} _{y, q}

(44)

5.2. Algunas propiedades de singulares-hiperb´

olicos

En esta sección enunciaremos algunas propiedades que presenta ω(q) gracias a su estructu-ra de singular-hiperbólico y nuestro interés principal es mostestructu-rar que toda variedad estable fuerte tiene interior vac´ıo en ω(q).

Fijemos un conjunto Λ singular-hiperbólico. De forma análoga a los conjuntos hiperbólicos podemos definir la variedad estable fuerte local asociada a un punto p∈Λ regular:

Wǫss(p) ={x∈M|d(Xt(x), Xt(p))≤ǫ,∀t≥0}.

Observemos que si tomamos en Wss₍_p_{) la bola con centro en} _p _{y radio} _ǫ_{, esta coincide con}

la variedad estable fuerte local2_.

Lema 12 Si x∈ Λ\Sing(X), entonces X(x)∈/ Es x.

Demostraci´on. Supongamos que existe x0 ∈ Λ\Sing(X) tal que X(x0) ∈ Exs0. Como E

s

Λ

es invariante, entonces X(x) ∈ Es

x para todo x ∈ O(x0). Adem´as por la continuidad de la

descomposici´on se tiene queX(x)∈Es

x para todox ∈α(x0). Luego||Xt(x)|| →0 sit → ∞.

Por lo tanto ω(x) es una singularidad para todo x∈α(x0). Ahora como α(x0) es compacto

invariante, entonces existe una singularidad σ en α(x0).

Sabemos que σ es singularidad hiperb´olica tipo silla, entonces se presentan dos casos. a. Siα(x0) = {σ}.En este casox0 ∈Wu(σ), entonces para todot∈Rdefinimos el vector

unitario: vt ₌ DXt(x0)(X(x0)) ||DXt(x0)(X(x0))|| , luego vt _∈_T Xt(x0)W u₍_σ₎_∩_Es Xt(x0), ∀t∈R.

Tomamos una sucesi´on tn → ∞, entonces la sucesi´on v−tn converge a un vector que

denotaremos por v∞_{. Claramente} _v∞ _{es un vector unitario. Puesto que}_X

−tn(x0)→σ

y Es _{es continuo tenemos que}

v∞ ∈TσWu(σ)∩Eσs.

Por lo tanto v∞ _{es un vector unitario que es simult´aneamente expandido y contra´ıdo} porDXt(σ) lo que es una contradicci´on.

2_{Una de las contenencias se tiene cuando} _t _{= 0 y la otra porque la variedad estable fuerte se contrae a}

(45)

5.2 Algunas propiedades de singulares-hiperb´olicos 33 b. Si α(x0) 6= {σ}. Como σ es tipo silla, entonces existe x1 ∈ (Wu(σ)∩ α(x0))\{σ}.

Como X(x1)∈Exs1, entonces podemos definir un vector unitario w

t _{de manera similar}

a vt _reemplazando _x

0 por x1. De manera an´aloga tenemos que los wt convergen a un

vector w∞ _{que es simult´aneamente contra´ıdo y expandido por} _DX

t(σ) lo que es una

contradicci´on.

Como en ambos casos obtuvimos una contradicci´on, entonces queda demostrado el lema.

Lema 13 Si σ ∈Λ∩Sing(X), entonces Λ∩Wss₍_σ_{) =}_{_σ_}_.

Demostraci´on. Observemos que Es

x = TxWss(σ) para todo x ∈ Wss(σ). Sin embargo

Wss₍_σ_{) es una variedad invariante luego} _X₍_x₎_∈_T

xWss(σ) para todox∈Wss(σ). Entonces

queX(x)∈Es

xpara todox∈Wss(σ). Por el lema 12 si x∈Λ\Sing(x), entoncesX(x)∈/ Exs

lo que es una contradicci´on. Luego Λ∩Wss₍_σ_{) esta formado por singularidades. Como la}

´

unica singularidad de Wss₍_σ_{) es} _σ_{, entonces obtenemos el resultado.}

Lema 14 Si x∈Λ, entonces X(x)∈Ec x.

Demostraci´on.El resultado se tiene six∈Sing(X), entonces asumamos quex∈Λ\Sing(X). Se presentan dos casos.

a. Siα(x) tiene un punto regulary. Tomemos una sucesi´ontn → ∞tal queX−tn(x)→y.

Por el lema 12 tenemos que X(y) ∈/ Es

y. Luego el ´angulo entre X(y) y Eys es distinto

de cero. Por otro lado X(X−tn(x)) → X(y) y E

s

X−tn(x) → E

s

y, entonces por

continui-dad tenemos que el ´angulo entre X(X−tn(x)) y E

s

X−tn(x) esta acotado lejos de 0 para

n lo suficientemente grande. Ahora, como X(X−tn(x)) ∈/ E

s

X−tn(x) para n grande y

la descomposici´on es dominada, entonces DXt empuja a X(X−tn(x)) hacia E

c

Λ (ver

figura 2-2), es decir, que el ´angulo entre DXtn(X−tn)(X(X−tn(x))) y DXtn(E

c X−tn)

converge a cero cuando n → ∞. Sin embargo DXtn(X−tn)(X(X−tn(x))) = X(x) y

DXtn(E

c

X−tn) =E

c

x, entonces X(x)∈Exc.

b. Siα(x) ={σ}conσ ∈Sing(X), entoncesx∈Wu₍_σ_{) y}_T

σWu(σ)∩Eσs ={0}. Luego por

la descomposici´on del plano tangente tenemos que TσWu(σ)⊂Eσc. Por la continuidad

tenemos que TxWu(σ)⊂Exc y como X(x)∈TxWu(σ), entonces X(x)∈Exc.

Como en ambos casos obtuvimos el resultado el lema queda demostrado.

Lema 15 (Lema Hiperbólico) Todo compacto invariante sin singularidades de un singular-hiperbólico es singular-hiperbólico tipo silla.

La demostraci´on se encuentra en [BM11] p´ag 29.

Con los resultados anteriores probaremos que las variedades estables fuertes tienen interior vac´ıo en conjuntos omega-l´ımites.

(46)

Lema 16 Sea q ∈ M un punto tal que ω(q) es un conjunto singular hiperb´olico de X. Si ω(q) tiene singularidades, entonces Wss₍_z₎_∩_ω₍_q₎ _{tiene interior vac´ıo en} _Wss₍_z₎ _{para todo}

z ∈ω(q).

Demostraci´on.Sea z ∈ω(q). Si z es una singularidad el resultado se tiene por el lema 13. Si z ∈ ω(q)\Sing(X), razonaremos por contradicci´on. Supongamos que Wss₍_z₎_∩_ω₍_q_{) no}

tiene interior vac´ıo en Wss₍_z_{), luego} _ω₍_q_{) contiene un intervalo abierto en} _Wss₍_z_{). Sea} _x∗ que pertenezca a este intervalo, entonces tenemos que existe ǫ >0 tal que

Wǫss(x∗)⊂ω(q).

Observemos que si 0 < β < ǫ, entonces Wss

β (x∗) ⊂ Wǫss(x∗) ⊂ ω(q). Adem´as podemos

encontrarδ >0 que cumpla que para todo p∈Wss

β (x∗) se tenga que Wδss(p)⊂W ss ǫ (x∗)⊂ω(q). (5-1) p x∗ x Wβss(x∗) Wǫss(x) Wδss(p) Figura 5-9: Wss δ (p)⊂ω(q). Definimos H ={y= l´ım

n→∞Xtn(zn) para alguna sucesi´on tn→ −∞ y zn ∈W

ss β (x∗)},

el cual puede ser interpretado como el α-l´ımite de Wss

β (x∗). Claramente H es compacto e

invariante. Ahora como Wss

β (x∗) ⊂ ω(q) y ω(q) es tambi´en compacto e invariante tenemos

queH ⊂ω(q). Tenemos entonces dos casos: que H tenga o no tenga singularidades.

a. Supongamos queH contiene singularidades. Seaσ ∈H∩Sing(X), entonces existe una sucesi´on tn → −∞ y zn∈Wβss(x∗) tal que

σ = l´ım

n→∞Xtn(zn). Por (5-1) tenemos que