Propiedades de la Transformada de Fourier

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Propiedades de la Transformada de Fourier

Lecci´on 06.2

Dr. Pablo Alvarado Moya

CE5201 Procesamiento y An´alisis de Im´agenes Digitales ´

Area de Ingenier´ıa en Computadores Tecnol´ogico de Costa Rica

(2)

Contenido

1 Propiedades de la (D)FT-2D

Linealidad y simetr´ıas Similitud y desplazamiento Convoluci´on y derivaci´on Incertidumbre y corte central

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Linealidad

La TF y DFT son operadores lineales: i1(x) I1(ω)

i2(x) I2(ω)

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Simetr´ıas en DFT

Caso unidimensional

An´alisis de DFT en 1D usa simetr´ıa circular:

0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 -1 -2 0 1 2 3 4 5 -1 -2 0 1 2 3 4 5 -1 -2 0 1 2 3 4 5 -1 -2 0 1 2 3 4 5 -1 -2 0 1 2 3 4 5 -1 -2

(5)

Simetr´ıas en DFT

Caso bidimensional

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Simetr´ıas

En m´ultiples dimensiones Par i (−x)= i (x) Impar i (−x)= −i (x) Herm´ıtica i (−x)= i∗(x) Anti-herm´ıtica i (−x)=−i∗(x)

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Simetr´ıas

Correspondencias

Se˜nal espacial Espectro

real herm´ıtico imaginaria anti-herm´ıtico herm´ıtica real anti-herm´ıtica imaginario par par impar impar

realypar realy par

reale impar imaginario e impar

imaginariaypar imaginario ypar imaginaria e impar reale impar

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Memoria necesaria para almacenar espectro (2D)

Imagen real → espectro tiene simetr´ıa herm´ıtica

Si imagen tiene tama˜no R × C , con almacenar R × C2 + 1

muestras del espectro es suficiente

Espectro es complejo → cada muestra usa 2 componentes reales

Memoria utilizada en ambos dominios es la misma (Por simetr´ıas, la primera y ´ultima columna son reales)

(9)

Similitud

Transformaciones lineales

En caso 1D solo era posible escalar eje: x0= ax

Con m´ultiples dimensiones se transforma sistema coordinado:

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Similitud

Tres casos

Sean a ∈ IR

A una matriz real invertible

R una matriz ortonormal (i.e. R−1 = RT, det R = 1)

Se cumple para la TF en n dimensiones:

Escalamiento i (ax) |a|1nI



Ω a



Transformaci´on af´ın i (Ax) det A1 I AT−1Ω

Rotaci´on i (Rx) I (RΩ)

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Desplazamiento

En el tiempo Si i (x) I (ω) entonces i (x − x0) e−jxT0ωI (ω)

Desplazamiento no altera amplitud espectral

(12)

Desplazamiento

En la frecuencia Si i (x) I (ω) entonces ej ωT0xi (x) I (ω − ω 0)

Desplazamiento no altera amplitud de la se˜nal espacial Fase cambia linealmente con el desplazamiento seg´un ωT0x Base de modulaci´on:

1 2 h e−jωT0x+ ej ωT0x i i (x) 1 2(I (ω + ω0) + I (ω − ω0)) cos  ωT0x  i (x) 1 2(I (ω + ω0) + I (ω − ω0))

(13)

Convoluci´

on

En el caso continuo i (x) ∗ h(x) = Z ∞ −∞ i (ξ)h(x − ξ) dnξ I (Ω)H(Ω) En el caso discreto i (x) ∗ h(x) =X k i (k)h(x − k) I (ω)H(ω)

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Precauciones con la convoluci´

on

Im´agenes son finitas R × C

Convoluci´on con m´ascara de M × N produce resultado de

(R + M − 1) × (C + N − 1)

Aliasing espacial debe evitarse rellenando con ceros hasta el tama˜no del resultado.

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Filtrado en la frecuencia

Sea R × C el tama˜no de la imagen i (x) y M × N el tama˜no del

kernel k(x)

1 Defina Ro = R + M − 1 y Co = C + N − 1

2 Rellene con ceros la m´ascara para alcanzar tama˜no Ro× Co.

Precauci´on: Considere simetr´ıa toroidal para colocar kernel.

3 Calcule la DFT del kernel k(x) K (ω)

Nota: K (ω) almacena para m´ultiples aplicaciones

4 Rellene con ceros i (x, y ) para alcanzar Ro × Co

5 Calcule la DFT de la imagen I (ω)

6 Calcule resultado en dominio frecuencial F (ω) = K (ω)X (ω)

7 Calcule la iDFT de F (ω) f (x)

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Eficiencia de filtrado en frecuencia

Convoluci´on en el espacio: O(N2M2) con N2 el n´umero de p´ıxeles de la imagen y M2 el n´umero de p´ıxeles de la m´ascara. Convoluci´on en la frecuencia: O(N2log N)

A este proceso se le denomina convoluci´on r´apida

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Derivaci´

on

En tiempo continuo se cumple ∂i(x) ∂xi jωiI (ω) Observe que ∂ i(x) ∗ h(x) ∂xi jωi(I (ω)H(ω)) = I (ω) (jωiH(ω)) i(x)∗ ∂h(x) ∂xi

(18)

Relaci´

on de incertidumbre

Media en el espacio con respecto a la energ´ıa

Media ¯x es “centro de energ´ıa”

Con densidad de energ´ıa |i (x )|2, se calcula:

¯ x = E (x ) = Z ∞ −∞ x |i (x )|2dx Z ∞ −∞ |i (x)|2dx

(19)

Relaci´

on de incertidumbre

Varianza en el espacio con respecto a la energ´ıa

Varianza indica “dispersi´on” de la energ´ıa alrededor de ¯x : (∆x )2= E ((x − ¯x )2) = E (x2− 2¯x x + ¯x2) = E (x2) − 2¯x E (x ) + ¯x2 = E (x2) − ¯x2 = Z ∞ −∞ x2|i (x)|2dx Z ∞ −∞ |i (x)|2dx −     Z ∞ −∞ x |i (x )|2dx Z ∞ −∞ |i (x)|2dx     2

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Relaci´

on de incertidumbre

Media en la frecuencia con respecto a la energ´ıa

Media es “centro de energ´ıa”

Con densidad de energ´ıa |I (ω)|2, se calcula:

¯ ω = E (ω) = Z ∞ −∞ ω|I (ω)|2dω Z ∞ −∞ |I (ω)|2dω

(21)

Relaci´

on de incertidumbre

Varianza en la frecuencia con respecto a la energ´ıa

Varianza indica “dispersi´on” de la energ´ıa alrededor de ¯ω: (∆ω)2= E ((ω − ¯ω)2) = E (ω2− 2¯ωω + ¯ω2) = E (ω2) − 2¯ωE (ω) + ¯ω2 = E (ω2) − ¯ω2 = Z ∞ −∞ ω2|I (ω)|2dω Z ∞ −∞ |I (ω)|2dω −     Z ∞ −∞ ω|I (ω)|2dω Z ∞ −∞ |I (ω)|2dω     2

(22)

Relaci´

on de incertidumbre

Producto de varianzas espacio-frecuencia:

∆x ∆ω ≥ 1

4

Caso de igualdad lo cumplen las funciones de Gabor: g (x, σ, ω0, φ) = e− xT x 2σ2ej ω0v T φx  G (ω, σ, ω0, φ) = 2πσ2e− (ω−ω0vφ)T (ω−ω0vφ)σ2 2 con vT

φ el vector unitario en la direcci´on a filtrar.

(23)

Gabor

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 x y z -4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4 0 0.25 0.5 0.75 1 x y z Espacio Espectro

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Teorema del corte central

Projection Slice Theorem

I (ωx, ωy) = R−1 X y =0 C −1 X x =0 i (x, y )e−j(ωx xC + ωy y R ) I (ωx, 0) = R−1 X y =0 C −1 X x =0 i (x, y )e−j(ωx xC ) = C −1 X x =0   R−1 X y =0 i (x, y )  e −j(ωx x C ) =F    R−1 X y =0 i (x, y )   

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Resumen

1 Propiedades de la (D)FT-2D

Linealidad y simetr´ıas Similitud y desplazamiento Convoluci´on y derivaci´on Incertidumbre y corte central

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References