Propiedades de la Transformada de Fourier
Lecci´on 06.2Dr. Pablo Alvarado Moya
CE5201 Procesamiento y An´alisis de Im´agenes Digitales ´
Area de Ingenier´ıa en Computadores Tecnol´ogico de Costa Rica
Contenido
1 Propiedades de la (D)FT-2D
Linealidad y simetr´ıas Similitud y desplazamiento Convoluci´on y derivaci´on Incertidumbre y corte central
Linealidad
La TF y DFT son operadores lineales: i1(x) I1(ω)
i2(x) I2(ω)
Simetr´ıas en DFT
Caso unidimensional
An´alisis de DFT en 1D usa simetr´ıa circular:
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 -1 -2 0 1 2 3 4 5 -1 -2 0 1 2 3 4 5 -1 -2 0 1 2 3 4 5 -1 -2 0 1 2 3 4 5 -1 -2 0 1 2 3 4 5 -1 -2
Simetr´ıas en DFT
Caso bidimensional
Simetr´ıas
En m´ultiples dimensiones Par i (−x)= i (x) Impar i (−x)= −i (x) Herm´ıtica i (−x)= i∗(x) Anti-herm´ıtica i (−x)=−i∗(x)Simetr´ıas
Correspondencias
Se˜nal espacial Espectro
real herm´ıtico imaginaria anti-herm´ıtico herm´ıtica real anti-herm´ıtica imaginario par par impar impar
realypar realy par
reale impar imaginario e impar
imaginariaypar imaginario ypar imaginaria e impar reale impar
Memoria necesaria para almacenar espectro (2D)
Imagen real → espectro tiene simetr´ıa herm´ıtica
Si imagen tiene tama˜no R × C , con almacenar R × C2 + 1
muestras del espectro es suficiente
Espectro es complejo → cada muestra usa 2 componentes reales
Memoria utilizada en ambos dominios es la misma (Por simetr´ıas, la primera y ´ultima columna son reales)
Similitud
Transformaciones lineales
En caso 1D solo era posible escalar eje: x0= ax
Con m´ultiples dimensiones se transforma sistema coordinado:
Similitud
Tres casos
Sean a ∈ IR
A una matriz real invertible
R una matriz ortonormal (i.e. R−1 = RT, det R = 1)
Se cumple para la TF en n dimensiones:
Escalamiento i (ax) |a|1nI
Ω a
Transformaci´on af´ın i (Ax) det A1 I AT−1Ω
Rotaci´on i (Rx) I (RΩ)
Desplazamiento
En el tiempo Si i (x) I (ω) entonces i (x − x0) e−jxT0ωI (ω)Desplazamiento no altera amplitud espectral
Desplazamiento
En la frecuencia Si i (x) I (ω) entonces ej ωT0xi (x) I (ω − ω 0)Desplazamiento no altera amplitud de la se˜nal espacial Fase cambia linealmente con el desplazamiento seg´un ωT0x Base de modulaci´on:
1 2 h e−jωT0x+ ej ωT0x i i (x) 1 2(I (ω + ω0) + I (ω − ω0)) cos ωT0x i (x) 1 2(I (ω + ω0) + I (ω − ω0))
Convoluci´
on
En el caso continuo i (x) ∗ h(x) = Z ∞ −∞ i (ξ)h(x − ξ) dnξ I (Ω)H(Ω) En el caso discreto i (x) ∗ h(x) =X k i (k)h(x − k) I (ω)H(ω)Precauciones con la convoluci´
on
Im´agenes son finitas R × C
Convoluci´on con m´ascara de M × N produce resultado de
(R + M − 1) × (C + N − 1)
Aliasing espacial debe evitarse rellenando con ceros hasta el tama˜no del resultado.
Filtrado en la frecuencia
Sea R × C el tama˜no de la imagen i (x) y M × N el tama˜no del
kernel k(x)
1 Defina Ro = R + M − 1 y Co = C + N − 1
2 Rellene con ceros la m´ascara para alcanzar tama˜no Ro× Co.
Precauci´on: Considere simetr´ıa toroidal para colocar kernel.
3 Calcule la DFT del kernel k(x) K (ω)
Nota: K (ω) almacena para m´ultiples aplicaciones
4 Rellene con ceros i (x, y ) para alcanzar Ro × Co
5 Calcule la DFT de la imagen I (ω)
6 Calcule resultado en dominio frecuencial F (ω) = K (ω)X (ω)
7 Calcule la iDFT de F (ω) f (x)
Eficiencia de filtrado en frecuencia
Convoluci´on en el espacio: O(N2M2) con N2 el n´umero de p´ıxeles de la imagen y M2 el n´umero de p´ıxeles de la m´ascara. Convoluci´on en la frecuencia: O(N2log N)
A este proceso se le denomina convoluci´on r´apida
Derivaci´
on
En tiempo continuo se cumple ∂i(x) ∂xi jωiI (ω) Observe que ∂ i(x) ∗ h(x) ∂xi jωi(I (ω)H(ω)) = I (ω) (jωiH(ω)) i(x)∗ ∂h(x) ∂xi
Relaci´
on de incertidumbre
Media en el espacio con respecto a la energ´ıa
Media ¯x es “centro de energ´ıa”
Con densidad de energ´ıa |i (x )|2, se calcula:
¯ x = E (x ) = Z ∞ −∞ x |i (x )|2dx Z ∞ −∞ |i (x)|2dx
Relaci´
on de incertidumbre
Varianza en el espacio con respecto a la energ´ıa
Varianza indica “dispersi´on” de la energ´ıa alrededor de ¯x : (∆x )2= E ((x − ¯x )2) = E (x2− 2¯x x + ¯x2) = E (x2) − 2¯x E (x ) + ¯x2 = E (x2) − ¯x2 = Z ∞ −∞ x2|i (x)|2dx Z ∞ −∞ |i (x)|2dx − Z ∞ −∞ x |i (x )|2dx Z ∞ −∞ |i (x)|2dx 2
Relaci´
on de incertidumbre
Media en la frecuencia con respecto a la energ´ıa
Media es “centro de energ´ıa”
Con densidad de energ´ıa |I (ω)|2, se calcula:
¯ ω = E (ω) = Z ∞ −∞ ω|I (ω)|2dω Z ∞ −∞ |I (ω)|2dω
Relaci´
on de incertidumbre
Varianza en la frecuencia con respecto a la energ´ıa
Varianza indica “dispersi´on” de la energ´ıa alrededor de ¯ω: (∆ω)2= E ((ω − ¯ω)2) = E (ω2− 2¯ωω + ¯ω2) = E (ω2) − 2¯ωE (ω) + ¯ω2 = E (ω2) − ¯ω2 = Z ∞ −∞ ω2|I (ω)|2dω Z ∞ −∞ |I (ω)|2dω − Z ∞ −∞ ω|I (ω)|2dω Z ∞ −∞ |I (ω)|2dω 2
Relaci´
on de incertidumbre
Producto de varianzas espacio-frecuencia:
∆x ∆ω ≥ 1
4
Caso de igualdad lo cumplen las funciones de Gabor: g (x, σ, ω0, φ) = e− xT x 2σ2ej ω0v T φx G (ω, σ, ω0, φ) = 2πσ2e− (ω−ω0vφ)T (ω−ω0vφ)σ2 2 con vT
φ el vector unitario en la direcci´on a filtrar.
Gabor
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 x y z -4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4 0 0.25 0.5 0.75 1 x y z Espacio EspectroTeorema del corte central
Projection Slice Theorem
I (ωx, ωy) = R−1 X y =0 C −1 X x =0 i (x, y )e−j(ωx xC + ωy y R ) I (ωx, 0) = R−1 X y =0 C −1 X x =0 i (x, y )e−j(ωx xC ) = C −1 X x =0 R−1 X y =0 i (x, y ) e −j(ωx x C ) =F R−1 X y =0 i (x, y )
Resumen
1 Propiedades de la (D)FT-2D
Linealidad y simetr´ıas Similitud y desplazamiento Convoluci´on y derivaci´on Incertidumbre y corte central
Este documento ha sido elaborado con software libre incluyendo LATEX, Beamer, GNUPlot, GNU/Octave, XFig,
Inkscape, LTI-Lib-2, GNU-Make y Subversion en GNU/Linux
Este trabajo se encuentra bajo una Licencia Creative Commons Atribuci´on-NoComercial-LicenciarIgual 3.0 Unpor-ted. Para ver una copia de esta Licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ o env´ıe una carta a Creative Commons, 444 Castro Street, Suite 900, Mountain View, California, 94041, USA.
