Resumen. Tema B: Hidrología y Gestión del Agua

Caracterización del comportamiento estadístico de los

caudales máximos anuales y estacionales de los ríos de la

España peninsular. Análisis y propuesta de procedimientos

para su determinación

Antonio Jiménez Álvarez

Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos; Jefe del Área de Recursos Hídricos; Centro de

Estudios Hidrográficos del CEDEX

antonio.jimenez@cedex.es

Luis Mediero Orduña

Doctor Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos; Departamento de Ingeniería Civil:

Hidráulica y Energética, Universidad Politécnica de Madrid

luis.mediero@caminos.upm.es

Resumen

Se presentan en esta comunicación algunos de los resultados preliminares del trabajo de investigación que está desarrollando el Centro de Estudios Hidrográficos del CEDEX con objeto de establecer recomendaciones y metodologías para el cálculo de los caudales de avenida a emplear en el análisis de zonas inundables o en el diseño de infraestructuras. Los trabajos se están desarrollando en el marco de un Convenio de colaboración firmado entre el CEDEX y la Dirección General del Agua. La comunicación se centra en exponer los trabajos realizados y resultados alcanzados en relación al análisis estadístico de los caudales de avenida, en los que se ha abordado el problema de la estimación de caudales máximos de alto periodo de retorno, para lo que se cuenta, en general, con registros foronómicos de escasa longitud, así como, el de la determinación de los caudales máximos estacionales.

En primer lugar, se estudia el tipo de función de distribución más idónea para representar el comportamiento estadístico de los caudales máximos en las distintas cuencas de España, y su ajuste mediante el uso de información regional con objeto de reducir la incertidumbre de las estimaciones de los cuantiles de alto periodo de retorno. El estudio, llevado a cabo mediante la generación de series y regiones estadísticas sintéticas mediante técnicas de Monte Carlo, ha permitido analizar el comportamiento y la incertidumbre asociada a la determinación de los cuantiles con distintas funciones de distribución, distintos procedimientos de ajuste y diferente información histórica y regional.

Como resultado del trabajo se han definido 30 regiones dentro del ámbito de la España peninsular, con comportamiento estadístico homogéneo. Con carácter general, la función de distribución que ha demostrado tener un mejor comportamiento en el conjunto de España es la función de Valores Extremos Generalizada ajustada mediante el método de L-momentos. Como método de ajuste regional se propone asumir un valor regional para el coeficiente de sesgo, adoptando valores locales para el coeficiente de variación y la L-media. No obstante, de los análisis realizados se desprende que un esquema de ajuste basado en adoptar valores regionales para el L-coeficiente de variación y el L-coeficiente de sesgo, puede tener un mejor comportamiento, con la consiguiente reducción de la incertidumbre, cuando la serie de caudales máximos disponible es de longitud reducida, inferior a 15 o 20 datos.

Como excepción a lo anterior, en algunas regiones pertenecientes a la cuenca del Duero presenta un mejor comportamiento la función Gumbel. En ese mismo sentido, tienen una especial relevancia los resultados obtenidos para las cuencas situadas en las zonas costeras del levante y sureste peninsular, en las que la función de distribución más adecuada para representar el comportamiento de los caudales máximos de la zona es la función de Valores Extremos de Dos Componentes. Para determinar los parámetros de este tipo de función, dada la dificultad que presenta su ajuste si no se dispone de información sobre caudales de avenidas históricas, se ha desarrollado un procedimiento propio de ajuste basado en el establecimiento de determinadas relaciones regionales.

Junto con el análisis estadístico de los caudales máximos anuales se aborda también el análisis de los caudales máximos estacionales. Se estudia, mediante series de máximos sobre un umbral, la estructura intraanual de ocurrencia de los caudales máximos, para lo cual se determinan los patrones regionales de frecuencia de llegada de eventos de avenida en las distintas épocas del año, así como la magnitud de los caudales en cada una de ellas.

1

Introducción

La determinación de la ley de frecuencia de caudales máximos resulta imprescindible para el diseño de diferentes infraestructuras como presas y puentes, así como para el análisis de las zonas inundables. Su determinación en un punto con datos observados tiene asociada una gran incertidumbre, debida principalmente a posibles errores en la estimaciones de los caudales a partir de niveles en el río con una curva de gasto, al tipo de función de distribución utilizada, y a la representatividad de los datos utilizados en relación con la longitud de la serie de caudales observados, y si están presentes en el registro las avenidas de mayor magnitud. Con el objeto de reducir esta incertidumbre, normalmente se realiza un estudio de regionalización que trata de utilizar la información disponible en un conjunto de estaciones para mejorar el ajuste que se obtendría utilizando los datos observados en una única estación.

Existen diferentes funciones de distribución que permiten representar la ley de frecuencia de los caudales máximos anuales observados en una estación. La selección de la función de distribución que mejor representa el comportamiento de una región es complicada, ya que ésta debe ajustarse a los datos observados, representar las características estadísticas de la región y realizar una extrapolación robusta en los periodos de retorno más altos. El estudio de los caudales máximos de avenida puede realizarse a partir de los caudales máximos anuales, donde sólo se considera la avenida de mayor magnitud de cada año del registro. La ventaja de este enfoque es que normalmente se dispone de información de los caudales máximos instantáneos de estos máximos anuales, pero tiene el inconveniente de analizar series de datos de longitud reducida al número de años de registro. Un estudio de las avenidas sobre un umbral permite ampliar la longitud de la serie de caudales máximos, ya que se tienen en cuenta varias avenidas por año de registro, pero normalmente los datos de estas avenidas adicionales son caudales medios diarios. En cualquier caso este último estudio permite el análisis de la estacionalidad de las avenidas, pudiendo identificar los periodos del año con una mayor frecuencia de ocurrencia de avenidas y, por tanto, un mayor riesgo frente a las mismas, aspecto muy útil a la hora de diseñar los resguardos estacionales de un embalse.

Con objeto de mejorar el conocimiento de algunos de los aspectos expuestos para las características hidrológicas propias de la España peninsular y establecer procedimientos para la determinación de las leyes de frecuencia de caudales máximos, se han llevado a cabo diversos estudios por parte del Centro de Estudios Hidrográficos del CEDEX, en el marco de un Convenio firmado con la Dirección General del Agua. En la presente comunicación se presenta en primer lugar el estudio de regionalización realizado en la España peninsular, detallando los métodos propuestos para el ajuste de una ley de frecuencia a partir de los datos observados en una estación de aforo. En segundo lugar, se describe el análisis de avenidas mediante el método de picos sobre umbral, analizando la determinación de la estacionalidad en la frecuencia de ocurrencia de avenidas. Finalmente, se presentan las conclusiones del estudio y las recomendaciones preliminares propuestas.

2

Regionalización

La estimación de la magnitud de una avenida asociada a un periodo de retorno determinado (QT) en un punto

concreto resulta complicada. Normalmente la serie registrada de caudales máximos anuales en dicho punto es corta y no tiene una longitud suficiente para determinar con precisión el valor de caudal asociado a un periodo de retorno alto, ya que es probable que no dispongamos de una muestra completa de las avenidas que pueden ocurrir en la cuenca, faltando normalmente registros de las avenidas de mayor magnitud. En otros casos, simplemente no se dispone de ninguna información registrada.

Un análisis de regionalización permite estimar los cuantiles de avenida para cualquier punto localizado en la región a partir del análisis conjunto de los datos de avenidas registradas en todos los puntos aforados en la misma, incluyendo los datos disponibles en el propio punto en el que queremos hacer la estimación. La regionalización de caudales máximos anuales parte de la hipótesis de que todas las cuencas englobadas en una región homogénea tienen un comportamiento similar de ocurrencia de avenidas. A partir de esta hipótesis de homogeneidad, el resultado de un análisis de regionalización permite realizar estimaciones más fiables de la

magnitud de un cuantil de avenida que la realizada a partir, únicamente, de la información local registrada en el punto que se está estudiando (Cunnane, 1988).

La información regional permite mejorar la estimación local de los cuantiles, ya que completa la falta de información en un punto concreto mediante la utilización de la información disponible en toda la región con un comportamiento similar, desde el punto de vista hidrológico. Las magnitudes que suelen determinarse en base a la información regional normalmente se refieren a alguno de los estadísticos que describen el comportamiento de la población (coeficiente de variación, coeficiente de sesgo, kurtosis,...), de menor o mayor orden según la mayor o menor homogeneidad estadística de las cuencas englobadas en la región.

2.1

Métodos de estimación de funciones

Existen diferentes métodos para la estimación de los parámetros de la función que representa la distribución de los datos de caudales máximos diarios, de los cuales los más usados son los siguientes: Momentos (MOM), L-Momentos (LMOM) y Máxima Verosimilitud (ML). El método MOM se basa en la estimación de los estadísticos tradicionales, media, desviación típica y coeficiente de sesgo, y presenta un buen funcionamiento cuando la distribución es simétrica, como el caso de la distribución Normal. Cuando la muestra está sesgada, como las series registradas de avenidas, este método tiene un funcionamiento peor y el método LMOM tiene una mayor fiabilidad (Hosking y Wallis, 1997). El método ML requiere el uso de métodos de optimización numérica para minimizar el funcional de máxima verosimilitud y puede presentar problemas de convergencia sin llegar a una solución. El método LMOM presenta unos resultados similares o incluso mejores que el método ML para la estimación de la ley de frecuencia de una serie de caudales máximos anuales (Hosking et al., 1985).

El método LMOM calcula los parámetros de la función a partir de combinaciones lineales de los momentos ponderados probabilísticamente (PWM). El PWM de orden r, designado como br, se estima a partir de una

muestra ordenada en orden ascendente

(

x₁<x₂ <...<x_n

)

de tamaño n mediante la siguiente expresión (Landewehr et al., 1979):

∑

=       − = n i r i r n i x n b 1 35 . 0 1

Finalmente, los L-momentos (λi) son estimados mediante las siguientes expresiones:

0 1=b λ 0 1 2 =2b −b λ 0 1 2 3=6b −6b +b λ 0 1 2 3 4 =20b −30b +12b −b λ

Los coeficientes de L-momentos (τr), análogos a los momentos convencionales, son los siguientes: τ2 se

denomina el L-coeficiente de variación (L-CV) y cuantifica la dispersión de la muestra, τ₃ es el L-coeficiente de sesgo (L-CS) y cuantifica la simetría de la muestra y τ₄ es el L-coeficiente de Kurtosis (L-CK) y cuantifica la forma picuda o plana de la distribución de los datos de la muestra (Robson and Reed, 1999):

1 2 2 λ λ τ = 2 3 3 λ λ τ = 2 4 4 λ λ τ =

2.2

Identificación de regiones homogéneas

Los L-Momentos pueden ser utilizados para comprobar si los datos observados dentro de una región proceden de un mismo patrón regional, o de forma más general, si se puede asumir que determinados parámetros de la función de distribución relativos a los coeficientes de Kurtosis, sesgo y variación son constantes dentro de la región y ésta se puede considerar como homogénea.

Existen tres medidas de dispersión: V1, que cuantifica la dispersión regional del L-CV de cada serie observada,

V2, que cuantifica la dispersión de los L-CV y L-CS y V3, que cuantifica la dispersión de los L-CS y L-CK, de

tal forma, que se puede evaluar si los datos observados en diferentes estaciones provienen de una misma distribución de probabilidad regional (Hosking y Wallis, 1993):

( )

(

)

∑

∑

= = − = N i i i N i i t t n n V 1 2 1 1 1 ( )

(

)

(

( )

)

∑

∑

= =     − + − = N i i i i N i i t t t t n n V 1 2 1 2 3 3 2 1 2 1 ( )

(

)

(

( )

)

∑

∑

= =     − + − = N i i i i N i i t t t t n n V 1 2 1 2 4 4 2 3 3 1 3 1

Donde, t( )i es el valor del L-CV en la estación i; t es el valor medio del L-CV en la región homogénea; t₃( )i es el valor del L-CS en la estación i; t es el valor medio del L-CS en la región homogénea; ₃ t₄( )i es el valor del L-CK en la estación i; t es el valor medio del L-CK en la región homogénea. ₄

La homogeneidad se cuantifica a través de la realización de una simulación de Monte Carlo de regiones sintéticas, con las mismas características que las series observadas en la región considerada, a partir del ajuste de una función de distribución con los valores regionales de los estadísticos. Sobre estas regiones sintéticas se calcula el valor medio de la medida de dispersión, µ

( )

V , y su desviación estándar σ

( )

V . El grado de homogeneidad de una región se cuantifica mediante la medida H de heterogeneidad. Si H < 1 la región es aceptablemente homogénea, si 1 < H < 2 la región es probablemente heterogénea y si H > 2 la región es definitivamente heterogénea:

( )

[

]

( )

V V V H σ µ − =

Figura 1 Regiones con comportamiento estadístico homogéneo respecto a los caudales máximos anuales identificadas en la España peninsular

Aplicando el test de homogeneidad expuesto, y a partir de las características fisiográficas y climáticas de las cuencas, se han delimitado distintas regiones con comportamiento estadístico homogéneo respecto a los caudales máximos en el territorio de la España peninsular (Figura 1).

2.3

Selección de la función de distribución

Existen diversas funciones de distribución con aplicación a la estimación de la ley de frecuencia de caudales máximos, siendo las más usuales: Valores Extremos Generalizados (GEV), Gumbel (G), Log-Pearson Tipo III (LP-III), Log-Normal de 2 y 3 parámetros (LN-2 y LN-3) y Logística Generalizada (GLO). La selección de la ley de frecuencia que mejor representa el comportamiento hidrológico de una región no es sencilla. Por una parte, se debe analizar la capacidad descriptiva de la función, es decir la capacidad que tiene una función de distribución para representar las propiedades estadísticas de la región. Por otra, se debe analizar la capacidad de predicción, es decir, la robustez de la función para estimar los cuantiles asociados a los mayores periodos de retorno, en los que normalmente no se tiene información observada ya que no se dispone de series lo suficientemente largas.

La capacidad descriptiva de las funciones se ha evaluado mediante el ajuste local a las muestras de distintas funciones de distribución, y el cálculo de la desviación del ajuste respecto a los datos.

La capacidad de predicción de cada función se ha evaluado mediante la generación de regiones sintéticas, a través de una simulación de Monte Carlo, con el mismo número de estaciones y la misma longitud de las series de caudales máximos que las reales. Se ha ajustado una función Kappa, más general que las funciones consideradas, a las series observadas en cada una de las estaciones de aforos de la región. A partir de estas funciones se han generado las distintas series sintéticas que componen la región. Para comprobar la capacidad de las regiones sintéticas generadas para representar el comportamiento estadístico de las regiones reales se ha llevado a cabo la comparación de las distribuciones muestrales de los estadísticos observados en la región y los estadísticos de las regiones sintéticas (Figura 2). Se han analizado los siguientes estadísticos: CV, CS, L-CV, L-CS y máximo valor estandarizado.

Figura 2 Análisis de la capacidad de la regiones sintéticas para representar el comportamiento estadístico de las regiones reales mediante contraste de la distribución del estadístico L-CS para diferentes funciones de distribución

En cada estación de la región (i), y para cada periodo de retorno (T) se ha calculado el valor medio de los errores, entre el valor ajustado mediante la función utilizada y el cuantil dado mediante el ajuste con la función Kappa, es decir, el error medio o sesgo (MET,i), y la varianza de los mismos (VART,i), obteniendo el error cuadrático medio

(MSET,i) como la suma de ambos:

[

]

2 , , ,i Ti Ti T VAR ME MSE = +

Para comparar los resultados en las diferentes estaciones con diferentes valores de caudal, necesitamos estandarizar los errores. Para ello, primero se calcula la raíz cuadrada del MSE (RMSET,i), obteniendo un valor

del error con la misma unidad de medida que el caudal. En segundo lugar se divide por el cuantil sobre el que se ha realizado la comparación (QT,i) para obtener el error adimensional en el periodo de retorno, T, de cada

estación, i: i T i T MSE RMSE _, = _, i T i T i T Q RMSE e , , , =

El resultado del error del método regional sobre toda la región, para cada periodo de retorno, se obtiene como el valor medio de todas las estaciones (ET) sobre el número de estaciones (N) que componen la región (Figura 3):

∑

= = N i i T T e N E 1 , 1

De los resultados obtenidos a partir de los análisis realizados se desprende que la función de distribución que presenta un mejor comportamiento en las distintas regiones consideradas en la España peninsular es la función GEV ajustada mediante el método LMOM. Como excepciones aparecen las regiones situadas en la margen derecha del río Duero en las que la función de distribución más idónea es la Gumbel, caso particular de la función GEV cuando el sesgo es muy bajo, y las regiones costeras del levante y sureste peninsular, de las que se hablará en el apartado 2.5.

Figura 3 Análisis de la capacidad predictiva de las funciones. Valor del error de predicción en función del periodo de retorno para distintas funciones de distribución

2.4

Método regional

Una vez identificada la función de distribución que mejor representa el comportamiento hidrológico de la región, se debe seleccionar el método regional para realizar el ajuste de la función a partir de la serie de caudales máximos anuales observados.

Los parámetros de una función de distribución dependen de los valores de los coeficientes de L-Momentos, estimados a partir de la serie de datos observados. La estimación de estos coeficientes tiene una incertidumbre asociada, que será transmitida a los parámetros y finalmente a la estimación de los cuantiles. Esta incertidumbre será mayor cuanto mayor sea el orden del momento considerado. La utilización de un método regional para realizar el ajuste de la función permite reducir la incertidumbre la estimación.

Se ha evaluado la incertidumbre de la estimación de los coeficientes de L-Momentos en función de la longitud de la serie de datos observados, mediante una simulación de Monte Carlo asumiendo que los caudales máximos pueden ser representados mediante una función GEV (Figura 4a). El sesgo de la estimación se ha cuantificado mediante el Error Medio Absoluto (MAE), mientras que la variabilidad de la estimación se ha cuantificado mediante la medida adimensional del coeficiente de variación (VAR).

Figura 4 a) Incertidumbre en la estimación de los coeficientes de L-momentos para diferentes longitudes de serie. b) Incertidumbre en la estimación de cuantiles para una longitud de 40 años. La línea sólida representa el MAE, mientras

que la línea de trazos la suma de MAE más VAR

Se puede observar una gran incertidumbre en la estimación del L-CS a partir de la serie de caudales observados, principalmente para el caso de series cortas de datos. Esta incertidumbre se reduce según aumenta la longitud de la serie, pero sigue manteniendo valores altos del 25 % para una serie de 80 años. Esto implica que la estimación del L-CS puede ser bastante imprecisa incluso para las series más largas de caudales máximos registrados. La incertidumbre en la estimación del L-CV es considerablemente menor y bastante cercana a la de la media. En cualquier caso, lo más importante es la influencia que tiene la variabilidad de cada coeficiente de L-momentos en la variabilidad en la estimación de los cuantiles de caudal para diferentes periodos de retorno (Figura 4b). Se puede observar que la variabilidad en la estimación de los cuantiles de mayor periodo de retorno proviene principalmente de la variabilidad en la estimación del L-CS. Por tanto, la correcta estimación del L-CS es esencial para la correcta estimación de los cuantiles de mayor período de retorno, superiores a 100 años. El método regional adoptado consiste en la estimación de un valor regional del L-CS, constante para cada una de las regiones, y la estimación local, a partir únicamente de los datos observados en la estación de aforo considerada, del L-CV y la media. No obstante, un esquema de ajuste basado en adoptar valores regionales para el L-coeficiente de variación y el L-coeficiente de sesgo, puede tener un mejor comportamiento, con la consiguiente reducción de la incertidumbre, cuando la serie de caudales máximos disponible es de longitud reducida, inferior a 15 o 20 datos.

2.5

Leyes de frecuencia en las cuencas costeras del levante y sureste peninsular

En las cuencas situadas en el levante y sureste peninsular, existe una diferenciación muy marcada de dos tipos de mecanismos de generación de las avenidas, uno asociado a la presencia de sistemas frontales, que genera las avenidas más frecuentes de magnitud moderada, y otro como consecuencia de lluvias torrenciales de carácter convectivo, con mucha menor frecuencia de ocurrencia pero capaz de generar caudales de avenida de gran magnitud, muy superiores a los caudales ordinarios del río, e incluso a los de las avenidas más frecuentes. Debido al especial comportamiento hidrológico de estas zonas, no suele contarse en la serie de datos con información, al menos no en grado suficiente, sobre las grandes avenidas generadas por el segundo de los mecanismos expuestos, motivo por el que no es posible determinar con suficiente precisión la ley de frecuencia de caudales máximos sin incorporar en el análisis información sobre las grandes avenidas históricas.

Del estudio detallado de la distribución de caudales máximos en diversos puntos con información histórica se desprende un cambio de tendencia muy brusco en la ley de frecuencia entorno a periodos de retorno del orden de 25 o 50 años, diferenciando dos ramas muy marcadas con tendencia prácticamente lineal. Cada una de estas ramas corresponde a uno de los mecanismo de generación de avenidas descritos. El ajuste de este tipo de distribución de máximos mediante las funciones de distribución habituales sencillamente no es posible por requerir valores de los parámetros que se salen del rango de validez matemática de la función. Es necesario recurrir a la función de distribución de valores extremos de dos componentes (TCEV), desarrollada por Rossi et al. (1984) expresamente para describir el comportamiento estadístico de este tipo de cuencas propias de la zona mediterránea (Figura 5).

Figura 5 Ley de frecuencia de caudales máximos en el río Júcar, ajustada a partir de información histórica mediante una función de distribución TCEV

La función de distribución TCEV responde a la expresión:

( )

        − − = − − − − 2 2 1 1 α α u x u x e e exp x F

con parámetros u1, u2, α1 y α2, y se corresponde con el producto de dos funciones de distribución Gumbel. El

procedimiento propuesto por los creadores de esta función para su ajuste regional consiste en la estandarización de los datos mediante la expresión y=(x-u1)/α1, donde u1 y α1 son una estimación de los parámetros de una

función Gumbel a partir de la muestra de la que se han eliminado previamente los datos anómalamente altos, y formando una única muestra entre todos los datos disponibles según la hipótesis de estación-año.

Este procedimiento de ajuste no proporciona buenos resultados en el caso de las cuencas del levante y sureste peninsular, por lo que se ha desarrollado y propuesto un procedimiento de ajuste alternativo consistente en ajustar por separado las dos funciones Gumbel correspondientes a cada una de las ramas de la función TCEV, la primera a partir de los datos de la muestra, de los que se han eliminado previamente los datos anómalamente altos, mediante un ajuste local, y la segunda asumiendo un valor para el L-coeficiente de variación ((τ2)2) igual

para toda la región, y determinando el valor de la media ((λ1)2) en base también a información regional a través

de una correlación con la media (λ1) y el coeficiente de variación (τ2) de la primera rama de la función:

( )

a b c

t

₂ 1 2 1

10

λ

λ

=

−

3

Estacionalidad de los caudales máximos anuales

Debido a la climatología de la Península Ibérica y la sucesión de años húmedos y años secos, resulta de gran utilidad la realización de un estudio de Picos sobre Umbral (POT). Mediante este tipo de procedimiento ya no se estudia una única avenida por año, sino todas las avenidas que se producen en un punto aforado por encima de un umbral, de tal forma que en algunos años se tomarán varias avenidas y en otros ninguna. Este estudio permite la estimación de la ley de frecuencia a partir de una serie de datos más larga, ya que se suele tomar una media de 2 a 3 avenidas por año. No obstante, normalmente no se dispone de un registro continuo de caudales, ni se conoce el caudal punta de todos los hidrogramas de crecida ocurridos durante el año, si no únicamente los caudales medios diarios, por lo que no suele ser posible su utilización directa en la estimación de la ley de frecuencia de caudales punta. En cualquier caso, el análisis con caudales medios diarios sí permite el estudio de la estacionalidad, es decir, la frecuencia de ocurrencia de las avenidas de mayor magnitud en los distintos meses o estaciones del año.

3.1

Estudio pot

Un estudio POT tiene como principal dificultad la selección del umbral a partir del cual se tienen en cuenta las avenidas, de tal forma que se seleccione el mayor número de picos de crecida posibles y a la vez se garantice la independencia de los datos que componen la muestra. Este umbral será distinto para cada estación de la región, ya que la magnitud de los caudales será distinta en cada una de ellas. Se ha adoptado la determinación del umbral a partir del valor medio del caudal de todos los años registrados más un coeficiente (factor de frecuencia) que multiplica la desviación típica de los mismos (Madsen et al., 1997). Se ha identificado el coeficiente en cada región que lleva a un número medio de tres avenidas por año. En las regiones más áridas con avenidas más escasas se ha tomado un número medio de dos avenidas por año. Los valores de factor de frecuencia obtenidos oscilan entre 1,2 y 3,6 dependiendo de la región (Figura 6).

( )

Q Var K Q S = +

Una vez identificadas las series de caudales máximos sobre umbral en las estaciones de una región se ha llevado a cabo el ajuste de la ley de frecuencia que permite obtener los cuantiles de caudal. Se ha optado por una función de Pareto con valor regional del parámetro k, lo que equivale a un valor regional del L-CS. Se ha obtenido en cada región el valor regional del L-CS y el valor regional del parámetro k de la función POT. Se ha supuesto que el número de eventos por año sigue una distribución de Poisson.

Figura 6 Determinación de picos sobre un umbral a lo largo de un año hidrológico

3.2

Estudio de la estacionalidad

Las series de caudales máximos sobre umbral se han utilizado para analizar la estacionalidad de las avenidas en diferentes regiones, determinando las estaciones con mayor frecuencia de ocurrencia de avenidas y las estaciones con menor frecuencia de ocurrencia.

En primer lugar se utiliza un histograma de frecuencias relativas de ocurrencia de avenidas en cada mes del año, que nos permite observar el patrón de estacionalidad de las avenidas en la estación de aforos. Este histograma nos permite identificar los meses de mayor o menor incidencia de avenidas mediante un test que compara la variabilidad de las ocurrencias observadas con la variabilidad teórica de una muestra sin estacionalidad, en la que una avenida puede ocurrir con la misma probabilidad en cualquier día del año (Figura 7a). Si la frecuencia relativa observada en un mes a partir de una muestra se encuentra situada dentro del intervalo de confianza, que depende del número N de picos de la muestra, no habrá evidencia de estacionalidad, en caso contrario, sí. Si la frecuencia relativa de la muestra observada de un mes determinado supera el límite superior del intervalo de confianza, se tratará de un mes con aparición frecuente de avenidas. Si la frecuencia relativa de la muestra observada de un mes determinado supera el límite inferior del intervalo de confianza, se tratará de un mes con escasa incidencia de las avenidas (Cunderlik et al., 2004).

Figura 7 a) Histograma de frecuencias relativas de ocurrencia de avenidas por mes. La línea sólida es la probabilidad medio y las líneas de trazos el intervalo de confianza asociado a la longitud de la serie. b) Diagrama de frecuencia

acumulada de ocurrencia de avenidas

Puede ocurrir que la separación de una estación con mayor frecuencia de aparición de avenidas a una con baja incidencia de estos eventos se produzca en la mitad de un mes, por lo que el gráfico mensual de ocurrencias no serviría para diferenciar las estaciones. Para ello, la representación continua en el tiempo de las puntas sobre umbral, acumuladas sobre un eje horizontal que representa los días del año, permite diferenciar visualmente los períodos del año con mayor probabilidad de ocurrencia de avenidas de los de menor probabilidad de ocurrencia, mediante los cambios de pendiente de la curva representada (Ouarda et al., 2006) (Figura 7b).

El método de máximos sobre un umbral puede ser una herramienta idónea para el estudio de las leyes de frecuencia estacionales si se utilizan parámetros diferentes de la distribución de Poisson para cada una de las estaciones identificadas, lo que permitirá asignar una mayor frecuencia de ocurrencia de crecidas a unas épocas del año que a otras. No obstante, este procedimiento asume que la probabilidad de obtener una determinada magnitud de caudal punta, una vez superado el umbral, es la misma en cualquier época del año, lo que equivale a asumir que el mecanismo generador de las avenidas es el mismo a lo largo de todo el año. De esta forma, se ha llevado a cabo un análisis de la homogeneidad estadística en la distribución de las magnitudes de los caudales punta para las distintas estaciones identificadas en cada región, con el objetivo determinar si se verifica en la práctica la hipótesis anterior. Los resultados obtenidos parecen indicar que es razonable asumir una única distribución para la magnitud de los caudales en las distintas estaciones identificadas, salvo en algunas regiones con mecanismos de generación de las crecidas muy diferenciados a lo largo del año, como es el caso de las regiones del levante y sureste peninsular, o de algunas cuencas de montaña con un importante papel de la fusión de nieve en la formación de las crecidas de primavera.

4

Conclusiones

Con objeto de caracterizar el comportamiento estadístico de los caudales de avenida en el ámbito territorial de la España peninsular y establecer procedimientos de análisis que permitan realizar estimaciones más robustas y con menor incertidumbre, se ha llevado a cabo un análisis de las funciones de distribución más idóneas para ajustar las leyes de frecuencia de caudales máximos. La función de distribución que ha demostrado tener un mejor comportamiento en las distintas regiones consideradas en la España peninsular, y cuyo uso se recomienda, es la función GEV ajustada mediante el método LMOM. Como excepciones aparecen las regiones situadas en la margen derecha del río Duero en las que la función de distribución más idónea es la Gumbel, caso particular de la función GEV, y las regiones costeras del levante y sureste peninsular. Por otra parte, la incorporación de información regional en el ajuste permite reducir la incertidumbre en la estimación de los cuantiles, principalmente los de mayor periodo de retorno. Los resultados obtenidos han permitido dividir el territorio de la España peninsular en un conjunto de 30 regiones con comportamiento estadístico homogéneo respecto a los caudales máximos. El método regional que se propone consiste en el uso de un valor regional del L-CS, constante para cada una de las regiones, y la estimación local, a partir únicamente de los datos observados en la estación de aforo considerada, del L-CV y la media. No obstante, un esquema basado en adoptar valores regionales para el L-coeficiente de variación y el L-coeficiente de sesgo, puede tener un mejor comportamiento, cuando la serie de caudales máximos disponible es de longitud inferior a 15 o 20 datos. En las cuencas situadas

en el levante y sureste peninsular se recomienda utilizar una función TCEV para la cual se propone un procedimiento de ajuste basado en el uso de información regional.

Las series de picos sobre un umbral se han utilizado para analizar la estacionalidad de las avenidas en las diferentes regiones, determinando las estaciones con mayor frecuencia de ocurrencia de avenidas y las estaciones con una menor frecuencia. El método de máximos sobre un umbral puede ser una herramienta idónea para el estudio de las leyes de frecuencia estacionales, en la mayoría de las regiones, si se utilizan parámetros diferentes de la distribución de Poisson para cada una de las estaciones identificadas, lo que permite asignar una mayor frecuencia de ocurrencia de crecidas a unas épocas del año que a otras. Para facilitar la determinación del umbral se propone emplear el valor medio del caudal de todos los años registrados más un coeficiente (factor de frecuencia) que multiplica la desviación típica de los mismos. Se ha identificado el valor de dicho coeficiente en cada región, oscilando entre 1,2 y 3,6.

5

Referencias

Cunnane, C. (1988). Methods and merits of regional flood frequency analysis. Journal of Hydrology, 100, pp. 269-290.

Cunderlik, J.M., T.B.M.J. Ouarda y B. Bobée (2004). On the objective identification of flood seasons. Water Resources Research, 40, W01520.

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