Cuadratura Gaussiana

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Die

Diego

go F.

F. Ch´

Ch´ave

avez

z Hen

Henao

ao

diegocha@gmail.com diegocha@gmail.com

20 de enero de 2015 20 de enero de 2015

(2)

Cuadratura Gaussiana Cuadratura Gaussiana Polinomios de Legendre y Cuadratura Gaussiana Polinomios de Legendre y Cuadratura Gaussiana Programaci´

Programaci´on y eon y ejemplos jemplos del m´del m´etodetodo de co de cuadratuuadratura Gausra Gaussianasiana Cuadratura Gaussiana en un intervalo arbitrario Cuadratura Gaussiana en un intervalo arbitrario

Bi

Biblibliogograraff´´ıaıa

Problemas con los nodos equiespaciados Problemas con los nodos equiespaciados

Contenidos 

Contenidos 

1

1   Preliminares  Preliminares

Problemas con los nodos equiespaciados Problemas con los nodos equiespaciados 2

2   Cuadratura Gaussiana  Cuadratura Gaussiana

¿Qu´

¿Qu´e e hace hace la la CuadraCuadratura tura GaussiGaussiana?ana?

Ejemplo de Cuadratura gaussiana

Ejemplo de Cuadratura gaussiana

3

3 PoPolinomilinomios de Legendre y Cuadratuos de Legendre y Cuadratura Gaussianara Gaussiana

Polinomios de Legendre

Polinomios de Legendre

4

4   Programaci´  Programaci´on on y y ejemplos ejemplos del del m´m´etodo etodo de de cuadratura cuadratura GaussianaGaussiana

C´odigo odigo Matlab Matlab del del m´m´etoetodo do m´m´etoetodo do de de cuadrcuadratura atura GaussGaussianaiana

Ejemplo de aplicaci´

Ejemplo de aplicaci´on on del del m´m´etodo etodo de de cuadratura cuadratura GaussianaGaussiana

5

5 CuadraCuadratura Gaussiantura Gaussiana en a en un intervalo aun intervalo arbitrarbitrariorio

Traslaci´

Traslaci´on on del del m´m´etodo etodo de de cuadratura cuadratura GaussianaGaussiana

Ejemplo de cuadratura Gaussiana en el intervalo

Ejemplo de cuadratura Gaussiana en el intervalo

[1

[1

,,

3]

3]

6

(3)

Cuadratura Gaussiana Cuadratura Gaussiana Polinomios de Legendre y Cuadratura Gaussiana Polinomios de Legendre y Cuadratura Gaussiana Programaci´

Programaci´on y eon y ejemplos jemplos del m´del m´etodetodo de co de cuadratuuadratura Gausra Gaussianasiana Cuadratura Gaussiana en un intervalo arbitrario Cuadratura Gaussiana en un intervalo arbitrario

Bi

Biblibliogograraff´´ıaıa

Problemas con los nodos equiespaciados Problemas con los nodos equiespaciados

Contenidos 

Contenidos 

1

1   Preliminares  Preliminares

Problemas con los nodos equiespaciados Problemas con los nodos equiespaciados 2

2   Cuadratura Gaussiana  Cuadratura Gaussiana

¿Qu´

¿Qu´e e hace hace la la CuadraCuadratura tura GaussiGaussiana?ana?

Ejemplo de Cuadratura gaussiana

Ejemplo de Cuadratura gaussiana

3

3 PoPolinomilinomios de Legendre y Cuadratuos de Legendre y Cuadratura Gaussianara Gaussiana

Polinomios de Legendre

Polinomios de Legendre

4

4   Programaci´  Programaci´on on y y ejemplos ejemplos del del m´m´etodo etodo de de cuadratura cuadratura GaussianaGaussiana

C´odigo odigo Matlab Matlab del del m´m´etoetodo do m´m´etoetodo do de de cuadrcuadratura atura GaussGaussianaiana

Ejemplo de aplicaci´

Ejemplo de aplicaci´on on del del m´m´etodo etodo de de cuadratura cuadratura GaussianaGaussiana

5

5 CuadraCuadratura Gaussiantura Gaussiana en a en un intervalo aun intervalo arbitrarbitrariorio

Traslaci´

Traslaci´on on del del m´m´etodo etodo de de cuadratura cuadratura GaussianaGaussiana

Ejemplo de cuadratura Gaussiana en el intervalo

Ejemplo de cuadratura Gaussiana en el intervalo

[1

[1

,,

3]

3]

6

(4)

Cuadratura Gaussiana Cuadratura Gaussiana Polinomios de Legendre y Cuadratura Gaussiana Polinomios de Legendre y Cuadratura Gaussiana Programaci´

Programaci´on y eon y ejemplos jemplos del m´del m´etodetodo de co de cuadratuuadratura Gausra Gaussianasiana Cuadratura Gaussiana en un intervalo arbitrario Cuadratura Gaussiana en un intervalo arbitrario

Bi

Biblibliogograraff´´ıaıa

Problemas con los nodos equiespaciados

Problemas con los nodos equiespaciados

Problemas con los nodos equiespaciados 

Problemas con los nodos equiespaciados 

En todas las f´

En todas las f´ormulas de Newton-Cotes previas usan valores de laormulas de Newton-Cotes previas usan valores de la funci´

funci´on evaluados en puntos igualmente espaciados. Esta restricci´on evaluados en puntos igualmente espaciados. Esta restricci´onon es conveniente cuando las f´

es conveniente cuando las f´ormulas se combinan para formar reglasormulas se combinan para formar reglas compuestas, pero esto puede disminuir significativamente la precisi´ compuestas, pero esto puede disminuir significativamente la precisi´onon de la aproximaci´

de la aproximaci´on.on. Adem´

Adem´as, as, recordemorecordemos s que que en en las las f´f´ormulas compuestas se requiere elormulas compuestas se requiere el

uso de nodos equidistantes, pero esto no es adecuado cuando se

uso de nodos equidistantes, pero esto no es adecuado cuando se

integra una funci´

integra una funci´on en un intervalo que contiene regiones conon en un intervalo que contiene regiones con

variaci´

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Cuadratura Gaussiana en un intervalo arbitrario Bibliograf´ıa

Problemas con los nodos equiespaciados

Problemas con los nodos equiespaciados 

En todas las f´ormulas de Newton-Cotes previas usan valores de la funci´on evaluados en puntos igualmente espaciados. Esta restricci´on es conveniente cuando las f´ormulas se combinan para formar reglas compuestas, pero esto puede disminuir significativamente la precisi´on de la aproximaci´on.

Adem´as, recordemos que en las f´ormulas compuestas se requiere el uso de nodos equidistantes, pero esto no es adecuado cuando se integra una funci´on en un intervalo que contiene regiones con variaci´on funcional grande y peque˜na.

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Problemas con los nodos equiespaciados

Problemas con los nodos equiespaciados 

Por ejemplo, considere lo que sucede al aplicar la regla del Trapecio para determinar la integral de las funciones que se muestran en la figura 4. La regla Trapezoidal aproxima la integral de la funci´on al integrar la funci´on lineal que une los extremos de la gr´afica de la funci´on.

Figura 1: Ejemplo de una situaci´ on donde la integraci´ on con nodos  equidistantes puede ser inapropiada.

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Problemas con los nodos equiespaciados

Problemas con los nodos equiespaciados 

Por ejemplo, considere lo que sucede al aplicar la regla del Trapecio para determinar la integral de las funciones que se muestran en la figura 4. La regla Trapezoidal aproxima la integral de la funci´on al integrar la funci´on lineal que une los extremos de la gr´afica de la funci´on.

Figura 1: Ejemplo de una situaci´ on donde la integraci´ on con nodos  equidistantes puede ser inapropiada.

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Problemas con los nodos equiespaciados

Problemas con los nodos equiespaciados 

Sin duda la l´ınea que une los extremos no es la mejor l´ınea para aproximar la integral. Las l´ıneas que se muestran en la figura 5 seguramente produciran mejores aproximaciones.

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Problemas con los nodos equiespaciados

Problemas con los nodos equiespaciados 

Sin duda la l´ınea que une los extremos no es la mejor l´ınea para aproximar la integral. Las l´ıneas que se muestran en la figura 5 seguramente produciran mejores aproximaciones.

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¿Qu´e hace la Cuadratura Gaussiana? Ejemplo de Cuadratura gaussiana

Contenidos 

1   Preliminares

Problemas con los nodos equiespaciados 2   Cuadratura Gaussiana

¿Qu´e hace la Cuadratura Gaussiana? Ejemplo de Cuadratura gaussiana

3 Polinomios de Legendre y Cuadratura Gaussiana Polinomios de Legendre

4   Programaci´on y ejemplos del m´etodo de cuadratura Gaussiana C´odigo Matlab del m´etodo m´etodo de cuadratura Gaussiana Ejemplo de aplicaci´on del m´etodo de cuadratura Gaussiana 5 Cuadratura Gaussiana en un intervalo arbitrario

Traslaci´on del m´etodo de cuadratura Gaussiana

Ejemplo de cuadratura Gaussiana en el intervalo

[1

,

3]

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¿Qu´e hace la Cuadratura Gaussiana? Ejemplo de Cuadratura gaussiana

¿Qu´e hace la Cuadratura Gaussiana? 

La cuadratura gaussiana selecciona los puntos de la evaluaci´on de manera ´optima y no en una forma igualmente espaciada. Se escogen los nodos x1, x2, . . . , xn en el intervalo

[

a, b

]

 y los coeficientes

c1, c2, . . . , cn para reducir en lo posible el error esperado que se obtiene al efectuar la aproximaci´on

 

b a f 

(

x

)

dx

n

i=1 ci f 

(

xi

)

.

Tenemos

2

n par´ametros. Si los coeficientes de un polinomio se consideran par´ametros, la clase de polinomios de grado m´aximo

2

n

1

 tambi´en contiene

2

n par´ametros. Usaremos estos polinomios para mejorar la exactitud de la aproximaci´on.

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¿Qu´e hace la Cuadratura Gaussiana? Ejemplo de Cuadratura gaussiana

¿Qu´e hace la Cuadratura Gaussiana? 

La cuadratura gaussiana selecciona los puntos de la evaluaci´on de manera ´optima y no en una forma igualmente espaciada. Se escogen los nodos x1, x2, . . . , xn en el intervalo

[

a, b

]

 y los coeficientes

c1, c2, . . . , cn para reducir en lo posible el error esperado que se obtiene al efectuar la aproximaci´on

 

b a f 

(

x

)

dx

n

i=1 ci f 

(

xi

)

.

Tenemos

2

n par´ametros. Si los coeficientes de un polinomio se consideran par´ametros, la clase de polinomios de grado m´aximo

2

n

1

 tambi´en contiene

2

n par´ametros. Usaremos estos polinomios para mejorar la exactitud de la aproximaci´on.

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¿Qu´e hace la Cuadratura Gaussiana? Ejemplo de Cuadratura gaussiana

Ejemplo de Cuadratura gaussiana 

Ejemplo con un polinomio de grado 2.

Suponga que queremos determinar c1, c2, x1 y x2 de modo que la f´ormula de integraci´on

 

1

−1

(

x

)

dx

c1 f 

(

x1

) +

 c2 f 

(

x2

)

d´e el resultado exacto siempre que f 

(

x

)

 sea un polinomio de grado

2(2)

1 = 3

 o menor, es decir, cuando

(

x

) =

a0

 +

 a1x

 +

 a2x2

+

 a3x3, para alg´un conjunto de constantes a0, a1, a2 y a3.

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¿Qu´e hace la Cuadratura Gaussiana? Ejemplo de Cuadratura gaussiana

Ejemplo de Cuadratura gaussiana 

Ejemplo con un polinomio de grado 2.

Dado que

 

(

a0

+

a1x

+

a2x2

+

a3x3

)

dx

 =

a0

 

1

dx

+

a1

 

x dx

+

a2

 

x2 dx

+

a3

 

x3 d esto equivale a demostrar que la f´ormula produce resultados exactos

cuando f 

(

x

)

es

1

, x, x2 y x3. Por lo tanto, necesitamos c1, c2, x1 y x2 de modo que c1

·

1 +

 c2

·

1 =

 

1 −1

1

dx

 = 2

, c1

·

x1

 +

 c2

·

x2

=

 

1 −1 x dx

= 0

, c1

·

x21

 +

 c2

·

x22

=

 

1 −1 x2 dx

=

2

3

, y c1

·

x 3 1

 +

 c2

·

x32

=

 

1 −1 x3 dx

= 0

.

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¿Qu´e hace la Cuadratura Gaussiana? Ejemplo de Cuadratura gaussiana

Ejemplo de Cuadratura gaussiana 

Ejemplo con un polinomio de grado 2.

Con un poco de ´algebra se puede demostrar que este sistema de ecuaciones tiene soluci´on ´unica

c1

= 1

, c2

= 1

, x1

=

√ 

3

3

y x2

=

√ 

3

3

,

con lo que se obtiene la f´ormula de aproximaci´on

 

1 −1 f 

(

x

)

dx

√ 

3

3

 +

 f 

√ 

3

3

.

Esta f´ormula tiene un grado de precisi´on tres, esto es, produce el resultado exacto con cada polinomio de grado tres o menor.

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Polinomios de Legendre

Contenidos 

1   Preliminares

Problemas con los nodos equiespaciados 2   Cuadratura Gaussiana

¿Qu´e hace la Cuadratura Gaussiana? Ejemplo de Cuadratura gaussiana

3 Polinomios de Legendre y Cuadratura Gaussiana Polinomios de Legendre

4   Programaci´on y ejemplos del m´etodo de cuadratura Gaussiana C´odigo Matlab del m´etodo m´etodo de cuadratura Gaussiana Ejemplo de aplicaci´on del m´etodo de cuadratura Gaussiana 5 Cuadratura Gaussiana en un intervalo arbitrario

Traslaci´on del m´etodo de cuadratura Gaussiana

Ejemplo de cuadratura Gaussiana en el intervalo

[1

,

3]

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Cuadratura Gaussiana en un intervalo arbitrario Bibliograf´ıa

Polinomios de Legendre

Polinomios de Legendre 

1 Con la t´ecnica del ejemplo podr´ıamos determinar los nodos y

coeficientes de las f´ormulas que proporcionan resultados exactos con los polinomios de grado superior, pero tambi´en podemos aplicar un m´etodo alterno para obtenerlos m´as f´acilmente.

2   El conjunto

 {

0

(

x

)

, P 1

(

x

)

, . . . , P  n

(

x

)

, . . .

}

 es un conjunto de

polinomios ortogonales es tal que sus ra´ıces se encuentran en

(

1

,

1)

y son tales que los nodos x1, x2, . . . , xn necesarios para porducir una f´ormula de la aproximaci´on a la integral, que proporcione resultados exactos para cualquier polinomio de un grado a lo sumo

2

n

1

son las ra´ıces del polinomio de Legendre de grado n.

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Polinomios de Legendre

Polinomios de Legendre 

1 Con la t´ecnica del ejemplo podr´ıamos determinar los nodos y

coeficientes de las f´ormulas que proporcionan resultados exactos con los polinomios de grado superior, pero tambi´en podemos aplicar un m´etodo alterno para obtenerlos m´as f´acilmente.

2   El conjunto

 {

0

(

x

)

, P 1

(

x

)

, . . . , P  n

(

x

)

, . . .

}

 es un conjunto de

polinomios ortogonales es tal que sus ra´ıces se encuentran en

(

1

,

1)

y son tales que los nodos x1, x2, . . . , xn necesarios para porducir una f´ormula de la aproximaci´on a la integral, que proporcione resultados exactos para cualquier polinomio de un grado a lo sumo

2

n

1

son las ra´ıces del polinomio de Legendre de grado n.

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Polinomios de Legendre

Polinomios de Legendre 

Figura 3: Valores tabulados de los nodos x1 (ra´ıces de los polinomios de Legendre)

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C´odigo Matlab del m´etodo m´etodo de cuadratura Gaussiana Ejemplo de aplicaci´on del m´etodo de cuadratura Gaussiana

Contenidos 

1   Preliminares

Problemas con los nodos equiespaciados 2   Cuadratura Gaussiana

¿Qu´e hace la Cuadratura Gaussiana? Ejemplo de Cuadratura gaussiana

3 Polinomios de Legendre y Cuadratura Gaussiana Polinomios de Legendre

4   Programaci´on y ejemplos del m´etodo de cuadratura Gaussiana C´odigo Matlab del m´etodo m´etodo de cuadratura Gaussiana Ejemplo de aplicaci´on del m´etodo de cuadratura Gaussiana 5 Cuadratura Gaussiana en un intervalo arbitrario

Traslaci´on del m´etodo de cuadratura Gaussiana

Ejemplo de cuadratura Gaussiana en el intervalo

[1

,

3]

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C´odigo Matlab del m´etodo m´etodo de cuadratura Gaussiana Ejemplo de aplicaci´on del m´etodo de cuadratura Gaussiana

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Cuadratura Gaussiana en un intervalo arbitrario Bibliograf´ıa

C´odigo Matlab del m´etodo m´etodo de cuadratura Gaussiana Ejemplo de aplicaci´on del m´etodo de cuadratura Gaussiana

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C´odigo Matlab del m´etodo m´etodo de cuadratura Gaussiana Ejemplo de aplicaci´on del m´etodo de cuadratura Gaussiana

odigo Matlab (basado en el libro de Mathews y Fink [MF])

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C´odigo Matlab del m´etodo m´etodo de cuadratura Gaussiana Ejemplo de aplicaci´on del m´etodo de cuadratura Gaussiana

Enunciado

Aproxime la integral

 

1

−1 e

x

cos(

x

)

dx usando cuadratura Gaussiana

con N 

= 3

. La integraci´on por partes puede ser usada para mostrar que el valor real de la integral es 1.9334214. Compare este valor con el obtenido.

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Cuadratura Gaussiana en un intervalo arbitrario Bibliograf´ıa

C´odigo Matlab del m´etodo m´etodo de cuadratura Gaussiana Ejemplo de aplicaci´on del m´etodo de cuadratura Gaussiana

odigo Matlab usado para correr la funci´on gauss.m

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C´odigo Matlab del m´etodo m´etodo de cuadratura Gaussiana Ejemplo de aplicaci´on del m´etodo de cuadratura Gaussiana

Consola de Matlab con resultados

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Cuadratura Gaussiana en un intervalo arbitrario Bibliograf´ıa

Traslaci´on del m´etodo de cuadratura Gaussiana

Ejemplo de cuadratura Gaussiana en el intervalo [1, 3]

Contenidos 

1   Preliminares

Problemas con los nodos equiespaciados 2   Cuadratura Gaussiana

¿Qu´e hace la Cuadratura Gaussiana? Ejemplo de Cuadratura gaussiana

3 Polinomios de Legendre y Cuadratura Gaussiana Polinomios de Legendre

4   Programaci´on y ejemplos del m´etodo de cuadratura Gaussiana C´odigo Matlab del m´etodo m´etodo de cuadratura Gaussiana Ejemplo de aplicaci´on del m´etodo de cuadratura Gaussiana 5 Cuadratura Gaussiana en un intervalo arbitrario

Traslaci´on del m´etodo de cuadratura Gaussiana

Ejemplo de cuadratura Gaussiana en el intervalo

[1

,

3]

(28)

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Cuadratura Gaussiana en un intervalo arbitrario Bibliograf´ıa

Traslaci´on del m´etodo de cuadratura Gaussiana

Ejemplo de cuadratura Gaussiana en el intervalo [1, 3]

Traslaci´ 

on del m´

etodo de cuadratura Gaussiana 

1 Para aplicar la cuadratura Gaussiana en un intervalo

[

a, b

]

, se puede

usar el cambio de variable t

 =

2

x

a

b

b

a

x

=

(

b

a

)

t

 + (

b

 +

 a

)

2

,

con lo que tenemos

 

b a f 

(

x

)

dx

 =

 

1 −1 f 

(

b

a

)

t

 + (

b

 +

 a

)

2

b

a

2

dt .

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Cuadratura Gaussiana en un intervalo arbitrario Bibliograf´ıa

Traslaci´on del m´etodo de cuadratura Gaussiana

Ejemplo de cuadratura Gaussiana en el intervalo [1, 3]

Traslaci´ 

on del m´

etodo de cuadratura Gaussiana 

(30)

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Cuadratura Gaussiana en un intervalo arbitrario Bibliograf´ıa

Traslaci´on del m´etodo de cuadratura Gaussiana

Ejemplo de cuadratura Gaussiana en el intervalo [1, 3]

Enunciado

Aproxime la integral

 

13 x6

x2

sin(2

x

)

dx

 = 317

,

3442466

 usando cuadratura Gaussiana con N 

= 3

.

(31)

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Cuadratura Gaussiana en un intervalo arbitrario Bibliograf´ıa

Traslaci´on del m´etodo de cuadratura Gaussiana

Ejemplo de cuadratura Gaussiana en el intervalo [1, 3]

odigo Matlab usado para correr la funci´on gauss.m

(32)

Cuadratura Gaussiana Polinomios de Legendre y Cuadratura Gaussiana Programaci´on y ejemplos del m´etodo de cuadratura Gaussiana

Cuadratura Gaussiana en un intervalo arbitrario Bibliograf´ıa

Traslaci´on del m´etodo de cuadratura Gaussiana

Ejemplo de cuadratura Gaussiana en el intervalo [1, 3]

Consola de Matlab con resultados

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Cuadratura Gaussiana en un intervalo arbitrario Bibliograf´ıa

Contenidos 

1   Preliminares

Problemas con los nodos equiespaciados 2   Cuadratura Gaussiana

¿Qu´e hace la Cuadratura Gaussiana? Ejemplo de Cuadratura gaussiana

3 Polinomios de Legendre y Cuadratura Gaussiana Polinomios de Legendre

4   Programaci´on y ejemplos del m´etodo de cuadratura Gaussiana C´odigo Matlab del m´etodo m´etodo de cuadratura Gaussiana Ejemplo de aplicaci´on del m´etodo de cuadratura Gaussiana 5 Cuadratura Gaussiana en un intervalo arbitrario

Traslaci´on del m´etodo de cuadratura Gaussiana

Ejemplo de cuadratura Gaussiana en el intervalo

[1

,

3]

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