Cuadratura Gaussiana

(1)

Die

Diego

go F.

F. Ch´

Ch´ave

avez

z Hen

Henao

ao

diegocha@gmail.com diegocha@gmail.com

20 de enero de 2015 20 de enero de 2015

(2)

Cuadratura Gaussiana Cuadratura Gaussiana Polinomios de Legendre y Cuadratura Gaussiana Polinomios de Legendre y Cuadratura Gaussiana Programaci´

Programaci´on y eon y ejemplos jemplos del m´del m´etodetodo de co de cuadratuuadratura Gausra Gaussianasiana Cuadratura Gaussiana en un intervalo arbitrario Cuadratura Gaussiana en un intervalo arbitrario

Bi

Biblibliogograraff´´ıaıa

Problemas con los nodos equiespaciados Problemas con los nodos equiespaciados

Contenidos

1

1 Preliminares Preliminares

Problemas con los nodos equiespaciados Problemas con los nodos equiespaciados 2

2 Cuadratura Gaussiana Cuadratura Gaussiana

¿Qu´

¿Qu´e e hace hace la la CuadraCuadratura tura GaussiGaussiana?ana?

Ejemplo de Cuadratura gaussiana

3

3 PoPolinomilinomios de Legendre y Cuadratuos de Legendre y Cuadratura Gaussianara Gaussiana

Polinomios de Legendre

4

4 Programaci´ Programaci´on on y y ejemplos ejemplos del del m´m´etodo etodo de de cuadratura cuadratura GaussianaGaussiana

C´

Código odigo Matlab Matlab del del m´métoetodo do m´métoetodo do de de cuadrcuadratura atura GaussGaussianaiana

Ejemplo de aplicaci´

Ejemplo de aplicaci´on on del del m´m´etodo etodo de de cuadratura cuadratura GaussianaGaussiana

5

5 CuadraCuadratura Gaussiantura Gaussiana en a en un intervalo aun intervalo arbitrarbitrariorio

Traslaci´

Traslaci´on on del del m´m´etodo etodo de de cuadratura cuadratura GaussianaGaussiana

Ejemplo de cuadratura Gaussiana en el intervalo

[1

,,

3]

6

(3)

Bi

Problemas con los nodos equiespaciados Problemas con los nodos equiespaciados

Contenidos

1

1 Preliminares Preliminares

Problemas con los nodos equiespaciados Problemas con los nodos equiespaciados 2

2 Cuadratura Gaussiana Cuadratura Gaussiana

¿Qu´

¿Qu´e e hace hace la la CuadraCuadratura tura GaussiGaussiana?ana?

Ejemplo de Cuadratura gaussiana

3

3 PoPolinomilinomios de Legendre y Cuadratuos de Legendre y Cuadratura Gaussianara Gaussiana

4

4 Programaci´ Programaci´on on y y ejemplos ejemplos del del m´m´etodo etodo de de cuadratura cuadratura GaussianaGaussiana

C´

Código odigo Matlab Matlab del del m´métoetodo do m´métoetodo do de de cuadrcuadratura atura GaussGaussianaiana

Ejemplo de aplicaci´

Ejemplo de aplicaci´on on del del m´m´etodo etodo de de cuadratura cuadratura GaussianaGaussiana

5

5 CuadraCuadratura Gaussiantura Gaussiana en a en un intervalo aun intervalo arbitrarbitrariorio

Traslaci´

Traslaci´on on del del m´m´etodo etodo de de cuadratura cuadratura GaussianaGaussiana

[1

,,

3]

6

(4)

Bi

Problemas con los nodos equiespaciados

En todas las f´

En todas las f´ormulas de Newton-Cotes previas usan valores de laormulas de Newton-Cotes previas usan valores de la funci´

función evaluados en puntos igualmente espaciados. Esta restricción evaluados en puntos igualmente espaciados. Esta restricciónon es conveniente cuando las f´

es conveniente cuando las fórmulas se combinan para formar reglasormulas se combinan para formar reglas compuestas, pero esto puede disminuir significativamente la precisi´ compuestas, pero esto puede disminuir significativamente la precisiónon de la aproximaci´

de la aproximaci´on.on. Adem´

Adem´as, as, recordemorecordemos s que que en en las las f´f´ormulas compuestas se requiere elormulas compuestas se requiere el

uso de nodos equidistantes, pero esto no es adecuado cuando se

integra una funci´

integra una funci´on en un intervalo que contiene regiones conon en un intervalo que contiene regiones con

variaci´

(5)

Cuadratura Gaussiana Polinomios de Legendre y Cuadratura Gaussiana Programaci´on y ejemplos del m´etodo de cuadratura Gaussiana

Cuadratura Gaussiana en un intervalo arbitrario Bibliograf´ıa

Problemas con los nodos equiespaciados

En todas las fórmulas de Newton-Cotes previas usan valores de la función evaluados en puntos igualmente espaciados. Esta restricción es conveniente cuando las fórmulas se combinan para formar reglas compuestas, pero esto puede disminuir significativamente la precisión de la aproximación.

Además, recordemos que en las fórmulas compuestas se requiere el uso de nodos equidistantes, pero esto no es adecuado cuando se integra una función en un intervalo que contiene regiones con variación funcional grande y pequeña.

(6)

Problemas con los nodos equiespaciados

Por ejemplo, considere lo que sucede al aplicar la regla del Trapecio para determinar la integral de las funciones que se muestran en la figura 4. La regla Trapezoidal aproxima la integral de la función al integrar la función lineal que une los extremos de la gráfica de la función.

Figura 1: Ejemplo de una situaci´ on donde la integraci´ on con nodos equidistantes puede ser inapropiada.

(7)

Problemas con los nodos equiespaciados

Por ejemplo, considere lo que sucede al aplicar la regla del Trapecio para determinar la integral de las funciones que se muestran en la figura 4. La regla Trapezoidal aproxima la integral de la función al integrar la función lineal que une los extremos de la gráfica de la función.

Figura 1: Ejemplo de una situaci´ on donde la integraci´ on con nodos equidistantes puede ser inapropiada.

(8)

Problemas con los nodos equiespaciados

Sin duda la l´ınea que une los extremos no es la mejor l´ınea para aproximar la integral. Las l´ıneas que se muestran en la ﬁgura 5 seguramente produciran mejores aproximaciones.

(9)

Problemas con los nodos equiespaciados

Sin duda la l´ınea que une los extremos no es la mejor l´ınea para aproximar la integral. Las l´ıneas que se muestran en la ﬁgura 5 seguramente produciran mejores aproximaciones.

(10)

¿Qu´e hace la Cuadratura Gaussiana? Ejemplo de Cuadratura gaussiana

Contenidos

1 Preliminares

Problemas con los nodos equiespaciados 2 Cuadratura Gaussiana

3 Polinomios de Legendre y Cuadratura Gaussiana Polinomios de Legendre

4 Programación y ejemplos del método de cuadratura Gaussiana Código Matlab del método método de cuadratura Gaussiana Ejemplo de aplicación del método de cuadratura Gaussiana 5 Cuadratura Gaussiana en un intervalo arbitrario

Traslaci´on del m´etodo de cuadratura Gaussiana

[1

,

3]

(11)

¿Qu´e hace la Cuadratura Gaussiana?

La cuadratura gaussiana selecciona los puntos de la evaluaci´on de manera ´optima y no en una forma igualmente espaciada. Se escogen los nodos x₁, x₂, . . . , x_n en el intervalo

[

a, b

]

y los coeﬁcientes

c₁, c₂, . . . , c_n para reducir en lo posible el error esperado que se obtiene al efectuar la aproximaci´on



b a f

(

x

)

dx

_≈

n



i=1 c_i f

(

x_i

)

.

Tenemos

2

n parámetros. Si los coeficientes de un polinomio se consideran parámetros, la clase de polinomios de grado máximo

2

n

₋

1

tambi´en contiene

2

n par´ametros. Usaremos estos polinomios para mejorar la exactitud de la aproximaci´on.

(12)

¿Qu´e hace la Cuadratura Gaussiana?

La cuadratura gaussiana selecciona los puntos de la evaluaci´on de manera ´optima y no en una forma igualmente espaciada. Se escogen los nodos x₁, x₂, . . . , x_n en el intervalo

[

a, b

]

y los coeﬁcientes

c₁, c₂, . . . , c_n para reducir en lo posible el error esperado que se obtiene al efectuar la aproximaci´on



b a f

(

x

)

dx

_≈

n



i=1 c_i f

(

x_i

)

.

Tenemos

2

n parámetros. Si los coeficientes de un polinomio se consideran parámetros, la clase de polinomios de grado máximo

2

n

₋

1

tambi´en contiene

2

n par´ametros. Usaremos estos polinomios para mejorar la exactitud de la aproximaci´on.

(13)

Ejemplo de Cuadratura gaussiana

Ejemplo con un polinomio de grado 2.

Suponga que queremos determinar c₁, c₂, x₁ y x₂ de modo que la f´ormula de integraci´on



1

−1

f

(

x

)

dx

_≈

c₁ f

(

x₁

) +

c₂ f

(

x₂

)

d´e el resultado exacto siempre que f

(

x

)

sea un polinomio de grado

2(2)

₋

1 = 3

o menor, es decir, cuando

f

(

x

) =

a₀

+

a₁x

+

a₂x2

+

a₃x3, para alg´un conjunto de constantes a₀, a₁, a₂ y a₃.

(14)

Ejemplo de Cuadratura gaussiana

Ejemplo con un polinomio de grado 2.

Dado que



(

a₀

+

a₁x

+

a₂x2

+

a₃x3

)

dx

=

a₀



1

dx

+

a₁



x dx

+

a₂



x2 dx

+

a₃



x3 d esto equivale a demostrar que la f´ormula produce resultados exactos

cuando f

(

x

)

es

1

, x, x2 y x3. Por lo tanto, necesitamos c₁, c₂, x₁ y x₂ de modo que c₁

_·

1 +

c₂

_·

1 =



1 −1

1

dx

= 2

, c₁

_·

x₁

+

c₂

_·

x₂

=



1 −1 x dx

= 0

, c₁

_·

x2₁

+

c₂

_·

x2₂

=



1 −1 x2 dx

=

2

3

, y c1

·

x 3 1

+

c2

·

x32

=



1 −1 x3 dx

= 0

.

(15)

Ejemplo de Cuadratura gaussiana

Ejemplo con un polinomio de grado 2.

Con un poco de álgebra se puede demostrar que este sistema de ecuaciones tiene solución única

c₁

= 1

, c₂

= 1

, x₁

=

₋

√

₃

3

y x2

=

√

₃

3

,

con lo que se obtiene la f´ormula de aproximaci´on



1 −1 f

(

x

)

dx

_≈

f



₋

√

₃

3



+

f



√

₃

3



.

Esta f´ormula tiene un grado de precisi´on tres, esto es, produce el resultado exacto con cada polinomio de grado tres o menor.

(16)

Contenidos

1 Preliminares

[1

,

3]

(17)

Polinomios de Legendre

1 Con la t´ecnica del ejemplo podr´ıamos determinar los nodos y

coeficientes de las fórmulas que proporcionan resultados exactos con los polinomios de grado superior, pero también podemos aplicar un método alterno para obtenerlos más fácilmente.

2 El conjunto

{

P ₀

(

x

)

, P ₁

(

x

)

, . . . , P _n

(

x

)

, . . .

}

es un conjunto de

polinomios ortogonales es tal que sus ra´ıces se encuentran en

(

₋

1

,

1)

y son tales que los nodos x₁, x₂, . . . , x_n necesarios para porducir una f´ormula de la aproximaci´on a la integral, que proporcione resultados exactos para cualquier polinomio de un grado a lo sumo

2

n

₋

1

son las ra´ıces del polinomio de Legendre de grado n.

(18)

Polinomios de Legendre

1 Con la t´ecnica del ejemplo podr´ıamos determinar los nodos y

coeficientes de las fórmulas que proporcionan resultados exactos con los polinomios de grado superior, pero también podemos aplicar un método alterno para obtenerlos más fácilmente.

2 El conjunto

{

P ₀

(

x

)

, P ₁

(

x

)

, . . . , P _n

(

x

)

, . . .

}

es un conjunto de

polinomios ortogonales es tal que sus ra´ıces se encuentran en

(

₋

1

,

1)

y son tales que los nodos x₁, x₂, . . . , x_n necesarios para porducir una f´ormula de la aproximaci´on a la integral, que proporcione resultados exactos para cualquier polinomio de un grado a lo sumo

2

n

₋

1

son las ra´ıces del polinomio de Legendre de grado n.

(19)

Polinomios de Legendre

Figura 3: Valores tabulados de los nodos x1 (ra´ıces de los polinomios de Legendre)

(20)

Código Matlab del método método de cuadratura Gaussiana Ejemplo de aplicación del método de cuadratura Gaussiana

Contenidos

1 Preliminares

[1

,

3]

(21)

(22)

(23)

C´

odigo Matlab (basado en el libro de Mathews y Fink [MF])

(24)

Enunciado

Aproxime la integral



1

−1 e

x

_cos(

_x

₎

_{dx usando cuadratura Gaussiana}

con N

= 3

. La integraci´on por partes puede ser usada para mostrar que el valor real de la integral es 1.9334214. Compare este valor con el obtenido.

(25)

C´

odigo Matlab usado para correr la funci´on gauss.m

(26)

Consola de Matlab con resultados

(27)

Ejemplo de cuadratura Gaussiana en el intervalo [1, 3]

Contenidos

1 Preliminares

[1

,

3]

(28)

Traslaci´

on del m´

etodo de cuadratura Gaussiana

1 Para aplicar la cuadratura Gaussiana en un intervalo

[

a, b

]

, se puede

usar el cambio de variable t

=

2

x

−

a

−

b

₋

a

⇔

x

=

(

b

₋

a

)

t

+ (

b

+

a

)

2

,

con lo que tenemos



b a f

(

x

)

dx

=



1 −1 f



(

b

−

a

)

t

+ (

b

+

a

)

2



b

₋

a

2

dt .

(29)

Traslaci´

on del m´

etodo de cuadratura Gaussiana

(30)

Enunciado

Aproxime la integral



₁3 x6

₋

x2

sin(2

x

)

dx

= 317

,

3442466

usando cuadratura Gaussiana con N

= 3

.

(31)

C´

odigo Matlab usado para correr la funci´on gauss.m

(32)

Consola de Matlab con resultados

(33)

Contenidos

1 Preliminares

[1

,

3]