Notas de Clase de Dinamica Estructural

(1)

Conceptos básicos de dinámica

estructural

Fundamentos de dinámica de estructuras Septiembre de 2009

1

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Fundamentos de dinámica de estructuras 2

Conceptos básicos de dinámica

1. Introducción 2. Estructura simple 3. Grados de libertad 4. Sistemas elásticos 5. Amortiguamiento 6. Ecuación de movimiento 7. Excitación sísmica CONTENIDO

(3)

Introducción

• La Dinámica de Estructuras es un área del análisis mecánico de las construcciones que estudia el efecto de las acciones externas que producen vibraciones. Su desarrollo comienza en el siglo XIX con las investigaciones de Lord Rayleigh sobre los efectos del sonido en

cuerpos elásticos las cuales aun tienen validez. • Actualmente esta área de la Mecánica presenta

un estado avanzado de desarrollo pues se ha logrado establecer métodos de cálculo para estructuras lineales y no lineales sometidas a acciones deterministas o aleatorias.

(4)

Introducción

• El análisis dinámico de estructuras consiste en determinar la respuesta (desplazamientos,

velocidades y aceleraciones) de estructuras

sometidas a excitaciones (acciones dinámicas). • Los parámetros más significativos de la

respuesta son los desplazamientos relativos máximos y aceleraciones absolutas.

(5)

Introducción

• Este capítulo introductorio comienza con la definición de algunos términos básicos en la dinámica estructural.

• Se hace la deducción de las ecuaciones del

movimiento dinámico de un sistema sencillo es decir de un grado de libertad.

• Luego se describen brevemente las principales cargas dinámicas que actúan sobre las

estructuras y se discute la utilidad de los sistemas sencillos para representar el

(6)

Introducción

• Las principales acciones dinámicas que actúan sobre las estructuras son las siguientes:

– Motores y equipos mecánicos. – Terremotos.

– Vientos. – Oleaje. – Otras:

• Impacto.

• Paso de vehículos o personas. • Explosiones.

(7)

Estructura simple

• Una estructura simple es aquella que se puede idealizar como un sistema que está constituido por una masa

concentrada “en la parte superior” soportada por un elemento estructural que proporciona rigidez en la dirección considerada.

(8)

(9)

Grados de libertad

• El grado de libertad es definido como el número de

desplazamientos independientes requerido para definir las posiciones desplazadas de todas las masas relativas a sus posiciones originales.

(10)

Grados de libertad

• Un grado de libertad corresponde a cualquier

movimiento posible de los nodos de los elementos en una dirección no restringida.

(11)

Grados de libertad

• En el caso dinámico el modelo empleado aquí está

basado en la suposición de que la rigidez se concentra en un resorte que carece de masa mientras que la masa se ubica en un cuerpo rígido que no se deforma.

(12)

(13)

Grados de libertad

• Para un marco plano básico tenemos:

– Análisis estático: 3 DOF – Análisis dinámico: 1 DOF

(14)

Grados de libertad

• Obviamente, cualquier estructura posee un número infinito de grados de libertad debido a su continuidad pero el proceso de discretización en elementos supone un número finito aunque elevado de ellos.

• Discretización de una viga simple:

– Modelo continuo: ∞ DOF – Modelo discreto: 3 DOF

(15)

Sistemas elásticos

• Un material es elástico cuando recupera su forma

original después de retirar la carga aplicada si además existe una proporcionalidad entre fuerzas y

desplazamientos se dice que el material es lineal.

– Donde k es la rigidez lateral del sistema y su unidad es [fuerza/longitud].

(16)

Amortiguamiento

• El amortiguamiento es el proceso por el cual la vibración libre disminuye en amplitud; en este proceso la energía del sistema en vibración es disipada por varios

mecanismos los cuales pueden estar presentes simultáneamente.

• En sistemas simples la mayor parte de la disipación de la energía proviene de efectos térmicos causados por repetidos esfuerzos elásticos del material y de la fricción interna cuando el sólido es deformado.

(17)

Amortiguamiento

• En las estructuras actuales el amortiguamiento es representado de forma idealizada; para efectos prácticos el amortiguamiento actual en estructuras SDF puede ser idealizado satisfactoriamente por un amortiguamiento lineal viscoso.

– A diferencia de la rigidez, el coeficiente de amortiguamiento no puede ser calculado a partir de las dimensiones de la estructura y del tamaño de los elementos estructurales, debido a que no es factible el identificar todos los mecanismos disipadores de energía vibracional en las

(18)

Ecuación de movimiento

• Modelo matemático de un sistema SDF sujeto a la acción de una fuerza dinámica p(t) aplicada en la

dirección del desplazamiento u las cuales varían con el tiempo.

(19)

(20)

(21)

Excitación sísmica

• Si lo que se tiene es un movimiento inducido no por una fuerza aplicada sino por un movimiento aplicado en la base de la estructura.

(22)

(23)

Vibraciones libres de sistemas

con un grado de libertad

Fundamentos de dinámica de estructuras

Septiembre de 2009

(24)

Vibraciones libres

1. Introducción

2. Teoría general de vibraciones 3. Definición de vibración libre

4. Vibración libre no amortiguada 5. Vibración libre amortiguada

(25)

Introducción

• En los problemas de ingeniería no es siempre posible obtener soluciones matemáticas

rigurosas. En realidad solo en algunos casos simples puede obtenerse soluciones analíticas • Cuando los problemas implican propiedades de

materiales, distribución de cargas y condiciones de contorno complejas es necesario introducir simplificaciones, esto teniendo a la vista el

cumplimiento de los criterios de seguridad y economía.

(26)

Introducción

• El nexo entre el sistema físico y la posible

solución matemática se obtiene con el modelo matemático.

• El estudio de las vibraciones se refiere a los movimientos de los cuerpos y a las fuerzas asociadas con ellos.

• Todos los cuerpos que poseen masa y elasticidad, son capaces de vibrar

(27)

Teoría general de vibraciones

• Una vibración mecánica es el movimiento de una partícula o cuerpo que oscila alrededor de una posición de equilibrio.

• El sistema tiende a retornar a dicha posición,

bajo la acción de fuerzas de restitución elásticas o gravitacionales, moviéndose de un lado a otro hasta alcanzar su posición de equilibrio.

(28)

Teoría general de vibraciones

Vibraciones Libres Amortiguadas No amortiguadas Forzadas Amortiguadas No amortiguadas Tipos de vibraciones

(29)

Teoría general de vibraciones

• Periodo de vibración: Es el intervalo de tiempo necesario para que el sistema efectúe un ciclo completo de movimiento.

• Frecuencia: Es el número de ciclos por unidad de tiempo.

• Amplitud de vibración: Es el desplazamiento máximo del sistema desde su posición de

equilibrio.

Conceptos generales

(30)

Definición de vibración libre

• Una estructura está en vibración libre cuando es perturbada de su posición estática de equilibrio y

comienza a vibrar sin la excitación de fuerza externa alguna.

(31)

 Vibración libre no amortiguada

• El sistema de marco mostrado es sacado de su posición de equilibrio por la aplicación de una fuerza o un

desplazamiento, debido a las fuerzas de restitución el sistema entra en vibración.

• Este sistema puede reducirse a un solo grado de

libertad para el análisis dinámico, si se desprecian las deformaciones axiales y se supone una viga de gran rigidez.

(32)

Vibración libre no amortiguada

• La ecuación que representa el movimiento de un

sistema lineal SDF sin amortiguamiento y que no está sometido a la acción de una fuerza externa es:

• Donde por conveniencia ωn es la frecuencia natural o

frecuencia circular natural en vibración libre del sistema y es igual a:

• De acuerdo a la teoría de ecuaciones diferenciales la ecuación anterior es una EDH de segundo orden con coeficientes constantes y su solución es:

(33)

Vibración libre no amortiguada

• Donde A y B son constantes que se hallan a partir de las condiciones iniciales de desplazamiento y

velocidad:

(34)

Vibración libre no amortiguada

• El sistema presenta el siguiente comportamiento de desplazamiento contra tiempo:

(35)

Vibración libre no amortiguada

• A partir de estas figuras se observa que el tiempo

requerido de un sistema no amortiguado para completar un ciclo de vibración libre es denominado periodo natural de vibración:

• La frecuencia cíclica natural de vibración, es definida como el número de ciclos que se repiten en 1 segundo de tiempo y su valor es:

• Las propiedades de vibración natural, dependen de la masa y rigidez de la estructura.

(36)

Vibración libre no amortiguada

• Si se hace una representación vectorial del movimiento, puede obtenerse una ecuación alterna para la solución de la EDH:

(37)

Vibración libre no amortiguada

• Esta ecuación auxiliándose de un ángulo de fase o de desfase es:

(38)

 Vibración libre amortiguada

• Si en el sistema anterior consideramos la perdida de energía en el tiempo, lo que tenemos será un sistema con amortiguación viscosa:

(39)

Vibración libre amortiguada

• La ecuación de movimiento para un sistema lineal amortiguado en vibración libre es:

• Dividiendo la ecuación por la masa se obtiene:

• Además se ha introducido la razón de amortiguamiento crítico:

(40)

Vibración libre amortiguada

• Las soluciones de la ecuación diferencial anterior dependerá de los valores que tome la razón de amortiguamiento. Así tenemos:

– Sistema con amortiguamiento crítico ξ=1 (c=c_cr): El

sistema retorna a su posición inicial de equilibrio sin oscilar. – Sistema sobreamortiguado ξ >1 (c>c_cr): El sistema no

oscila pero retorna a su posición de equilibrio lentamente. – Sistema subamortiguado ξ <1 (c<c_cr): El sistema oscila

alrededor de la posición de equilibrio con una amplitud que decrece progresivamente.

(41)

Vibración libre amortiguada

• El coeficiente de amortiguamiento crítico, c_cr, es llamado así debido a que es un valor pequeño de c que inhibe completamente la oscilación y representa la línea de

división entre el movimiento oscilatorio y mono oscilatorio. • Las estructuras civiles poseen una relación de

amortiguamiento ξ <1 la cual las cataloga como sistemas subamortiguados.

• En mediciones experimentales se han identificado valores de ξ entre 0.02 y 0.05 para los materiales estructurales típicos.

(42)

Vibración libre amortiguada

• Los tipos de movimiento resultante en vibración amortiguada dependen de los parámetros de amortiguamiento:

(43)

Vibración libre amortiguada

• Para un sistema subamortiguado (con ξ <1) la solución de la ecuación diferencial es la siguiente:

• Donde ω_d es la frecuencia natural de la vibración amortiguada y vale:

• El valor del periodo natural de vibración amortiguado es:

Sistema

(44)

Vibración libre amortiguada

• La relación entre el periodo natural sin amortiguamiento y con amortiguamiento viene dada por:

• La relación entre dos desplazamientos pico en un

intervalo de tiempo T_D es constante, y el decremento

logarítmico está definido como el logaritmo natural de

esta cantidad y está dado por:

Sistema

(45)

Vibración libre amortiguada

• Y la relación entre dos desplazamientos cuales quiera es:

• El amortiguamiento tiene el efecto de reducir la

frecuencia natural de ω_n a ω_d y aumentar el periodo

natural de T_n a T_D este efecto es despreciable para una relación de amortiguamiento por debajo del 20%.

• Para la mayoría de las estructuras ingenieriles ω_d y T_D son aproximadamente iguales a ω_n y T_n.

Sistema

(46)

Vibración libre amortiguada

• El efecto del amortiguamiento en las vibraciones libres puede apreciarse en el siguiente esquema:

Sistema

(47)

Vibraciones forzadas armónicas

de sistemas con un grado de

libertad

Fundamentos de dinámica de estructuras

Octubre de 2009

(48)

Vibraciones libres

1. Introducción

2. Sistema no Amortiguado con Carga Armónica

• Ecuación de movimiento • Resonancia

3. Sistema Amortiguado con Carga Armónica

• Ecuación de movimiento • Resonancia

• Deformación Máxima

• Factores de Respuesta Dinámica

• Frecuencia Resonante y Respuesta Resonante

(49)

Introducción

• En vibraciones libres, las oscilaciones se inician por una perturbación que da lugar a un

desplazamiento inicial o una velocidad inicial o ambas cosas. Sin necesidad de fuerzas

externas al sistema durante el movimiento. • En vibración forzada, una fuente externa

sostenida es responsable de mantener la vibración.

(50)

Introducción

• Las vibraciones más importantes desde

el punto de vista de la ingeniería son las

vibraciones forzadas.

• Las vibraciones forzadas ocurren

cuando un sistema es sujeto a una

fuerza que cambia con el tiempo o un

desplazamiento que cambia con el

(51)

Introducción

• El estudio de la respuesta del sistema de un

solo grado de libertad (SDF) a la acción de una carga armónica establece bases para el

entendimiento de la respuesta de estructuras más complejas a excitaciones externas.

• Se estudiará primero el caso de fuerzas que tienen comportamiento periódico, es decir vibraciones forzadas armónicas.

(52)

Teoría general

• Un sistema bastante general puede ser representado de la siguiente manera.

• El sistema aunque posea amortiguamiento no puede regresar a su posición de equilibrio por la presencia de la fuerza externa que siempre esta presente en el sistema.

(53)

Teoría general

Vibraciones Libres Amortiguadas No amortiguadas Forzadas Amortiguadas No amortiguadas Tipos de vibraciones

(54)

 Sistema no Amortiguado Armónico

Ecuación de Movimiento

• Estableciendo p(t)=p_o·senωt en la ecuación diferencial general de movimiento se obtiene la siguiente ecuación por carga armónica para un sistema no amortiguado:

• Donde p_o es la amplitud o valor máximo de la fuerza y ω es la frecuencia de excitación.

(55)

Sistema no Amortiguado Armónico

• La ecuación anterior es una ecuación diferencial de segundo orden no homogénea y su solución esta compuesta por dos términos:

• El primer termino es la solución particular que hace referencia a la situación de estado permanente y el segundo es la solución complementaria que toma en cuenta el estado transitorio. Así tenemos:

(56)

Sistema no Amortiguado Armónico

• La solución total es la suma de ambas ecuaciones:

• Las constantes A y B son determinadas aplicando las condiciones iniciales:

• Para condiciones iniciales en reposo y partiendo del origen:

(57)

Sistema no Amortiguado Armónico

• Esta ecuación contiene dos componentes de vibración distintas:

 El término “senωt” para la oscilación en frecuencia de

excitación; representa el estado permanente de vibración

debido a que siempre está presente porque la fuerza aplicada no depende de las condiciones iniciales.

 Los términos “senω_nt” y “cosω_nt” para la oscilación en frecuencia natural del sistema; representan el estado

transitorio de vibración que depende de u₍₀₎ ú₍₀₎ el cual existe a pesar de que estos valores sean nulos. El término “estado transitorio de vibración” se debe a que el amortiguamiento, siempre presente en sistemas reales, hace que la vibración libre decrezca en el tiempo.

(58)

Sistema no Amortiguado Armónico

• El sistema presenta el siguiente comportamiento de desplazamiento contra tiempo:

(59)

Sistema no Amortiguado Armónico

Resonancia

• Ignorando el efecto dinámico de la aceleración se

obtiene como resultado la deformación estática en cada instante de tiempo:

• Donde el máximo valor de esta deformación es:.

• Por lo que la respuesta dinámica del estado permanente, puede ser expresada como:

(60)

Sistema no Amortiguado Armónico

• Graficando el factor entre corchetes de la ecuación anterior contra la relación de frecuencias, se tiene:

(61)

Sistema no Amortiguado Armónico

• De esta grafica se puede observar que:

 Para ω/ω_n < 1 ó ω < ω_n el factor es positivo indicando que u(t) y p(t) tienen el mismo signo, lo que significa que el

desplazamiento está en fase con la fuerza aplicada (el sistema está desplazado en la misma dirección de la fuerza).

 Para ω/ω_n > 1 ó ω > ω_n el factor es negativo indicando que u(t) y p(t) tienen signos opuestos, lo que significa que el sistema estará fuera de fase con la fuerza aplicada (el

(62)

Sistema no Amortiguado Armónico

• La ecuación anterior puede ser reescrita en términos de la amplitud u_o y el ángulo de fase ø :

• De donde:

• Donde el factor de deformación o amplificación R_d es la relación de amplitud de deformación vibratoria u_o y la deformación estática (u_st)_o debido a la fuerza p_o.

• Por lo que se define la frecuencia resonante como aquella frecuencia de excitación para la cual R_d es máximo.

(63)

Sistema no Amortiguado Armónico

• Para un sistema no amortiguado la frecuencia resonante es ω_n siendo R_d infinito para esta frecuencia y la

deformación vibratoria crece indefinidamente,

volviéndose infinita sólo después de un tiempo infinito. • Para esta condición (ω_n= ω) la solución particular falla y

habrá que buscar otra solución para la ecuación de

movimiento que para el caso la siguiente solución cumple su propósito:

(64)

Sistema no Amortiguado Armónico

• Para condiciones iniciales de reposo y partiendo del origen, se tiene:

(65)

Sistema no Amortiguado Armónico

• En cada ciclo el incremento de la amplitud está dado por:

• La interpretación de este resultado teórico para

estructuras reales es que a medida que la deformación se incrementa, el sistema en algún punto en el tiempo fallará si es frágil o cederá si es dúctil.

(66)

Sistema no Amortiguado Armónico

• Los dos tipos de comportamiento posibles a presentarse dependerán del valor de la frecuencia natural:

(67)

 Sistema Amortiguado Armónico

Ecuación de Movimiento

• Estableciendo p(t)=p_o·senωt en la ecuación diferencial general de movimiento se obtiene la siguiente ecuación por carga armónica para un sistema amortiguado:

• Donde p_o es la amplitud o valor máximo de la fuerza y ω es la frecuencia de excitación.

• Esta es la forma más completa de la ecuación de movimiento (en carga armónica).

(68)

Sistema Amortiguado Armónico

• Tenemos siempre una ecuación diferencial de segundo orden no homogénea y su solución nuevamente esta compuesta por dos términos:

• Una solución particular que hace referencia a la situación de estado permanente y una solución complementaria que toma en cuenta el estado transitorio. Así tenemos como soluciones:

(69)

Sistema Amortiguado Armónico

• Siendo la solución total:

• Las constantes A y B son determinadas aplicando las condiciones iniciales. De igual manera para C y D

(70)

Sistema Amortiguado Armónico

• El sistema presenta el siguiente comportamiento de desplazamiento contra tiempo.

(71)

Sistema Amortiguado Armónico

Resonancia

• Para ω=ω_n las constantes C y D son:

• Las constantes A y B se obtienen a partir de condiciones iniciales en reposo u_o=ú_o =0 y para ω=ω_n:

• Luego la respuesta para un sistema amortiguado sujeto a carga armónica para ω=ω_n:

(72)

Sistema Amortiguado Armónico

• Ecuación que para amortiguamientos pequeños toma la forma de:

• El incremento en amplitud u_j después de j ciclos de vibración es determinado por la siguiente expresión:

(73)

Sistema Amortiguado Armónico

• Para un sistema con factor de amortiguamiento del 5% en resonancia se tiene:

(74)

Sistema Amortiguado Armónico

• Los dos tipos de comportamiento posibles a presentarse dependerán nuevamente del valor de la frecuencia

(75)

Sistema Amortiguado Armónico

Deformación Máxima

• La deformación en el estado permanente del sistema debida a una carga armónica puede ser reescrita como:

• Donde: • Luego:

(76)

Sistema no Amortiguado Armónico

• Graficando valores de R_d en función de ω/ω_n :

(77)

Sistema no Amortiguado Armónico

• El amortiguamiento reduce a R_d y que tanto lo reduce depende de la frecuencia de excitación:

 Si ω/ω_n << 1. R_d es sólo levemente más grande que 1 y es esencialmente independiente del amortiguamiento (la

fuerza está variando lentamente).

 Si ω/ω_n >> 1. R_d tiende a cero y no es afectada por el amortiguamiento (la fuerza está variando rápidamente).

 Si ω/ω_n ≈ 1. R_d es sensible al amortiguamiento, implicando que la deformación dinámica puede ser más grande que la estática.

(78)

Sistema Amortiguado Armónico

Factores de Respuesta Dinámica

• Los factores de respuesta dinámica hacen referencia a las respuestas en deformación, velocidad y aceleración. • Ya hicimos referencia a la respuesta en deformación:

• Si derivamos dos veces esta expresión obtenemos la respuesta en velocidad y aceleración respectivamente:

(79)

Sistema no Amortiguado Armónico

(80)

Sistema Amortiguado Armónico

Frecuencia Resonante y Respuesta Resonante

• La frecuencia resonante está definida como la

frecuencia de excitación en la cual ocurre la amplitud máxima de respuesta.

• La frecuencia resonante es determinada estableciendo la primera derivada igual a cero en las respuestas

dinámicas respecto a la relación de frecuencias para un

(81)

Sistema Amortiguado Armónico

• Así tenemos las siguientes frecuencias resonantes: • Para desplazamiento:

• Para velocidad: • Para aceleración:

• Para un sistema no amortiguado las tres frecuencias son iguales a la frecuencia angular.

(82)

Respuesta a carga dinámica

general

Fundamentos de dinámica de estructuras Noviembre de 2009

4

(83)

Vibraciones libres

1. Introducción

2. Integral de Duhamel

3. Solución numérica de la integral de Duhamel 4. Método de la aceleración lineal

5. Espectros de respuesta

(84)

Introducción

• La vibración armónica es un caso muy especial de vibraciones forzadas, pero no es ni muy

cerca el tipo de vibración que encontramos con frecuencia en la realidad de los sistemas

estructurales.

• En los sistemas reales la fuente de excitación por lo general presenta un comportamiento caótico (caso sísmico) u otra forma que no es sinusoidal.

(85)

Introducción

• Se desarrollará un método de carácter

general para encontrar la respuesta de un

sistema dinámico ante una excitación

cualquiera.

• Para el desarrollo de este método es

necesario recordar el concepto de

impulso, que se relaciona con cargas

aplicadas en períodos de tiempo muy

cortos y que modifican la cantidad de

movimiento del sistema.

(86)

Integral de Duhamel

• En la figura se muestra la forma en como varia una fuerza en el tiempo.

• Si consideramos un impulso aplicado al sistema en el tiempo en un intervalo corto de tiempo d el sistema altera su cantidad de movimiento

(87)

Integral de Duhamel

• La cantidad de movimiento se relaciona con la fuerza por medio de la siguiente ecuación:

• Nótese que en esta ecuación de movimiento no aparece el termino ku, debido a que, como el impulso se aplica en un infinitesimal de tiempo la estructura no alcanza a reaccionar.

(88)

Integral de Duhamel

• El impulso aplicado genera una pequeña vibración libre considerada solo para esta excitación.

(89)

Integral de Duhamel

• En vista de que la carga desaparece en un

instante infinitesimal podemos considerar que se producen vibraciones libres por la aplicación de cada uno de los impulsos.

• Donde las condiciones iniciales pueden

obtenerse a partir del cambio de velocidad y posición del sistema.

(90)

Integral de Duhamel

• Tenemos la siguiente ecuación:

• En un sistema lineal podemos aplicar el concepto de superposición y obtener la respuesta completa sumando todos los impulsos:

• Esta solución se conoce con el nombre de Integral de Duhamel.

(91)

Integral de Duhamel

• En un caso general donde:

• La respuesta total del sistema sería sumar a la solución anterior (particular) la solución del

sistema homogéneo (complementaria):

• Que para un sistema amortiguado adquiere la forma:

(92)

Solución numérica de la integral de Duhamel

• En la practica pocas situaciones presentan un comportamiento que pueda permitir una

representación por medio de una expresión analítica explícita que facilite el cálculo de la integral de Duhamel.

• Por esto es necesario recurrir a métodos

numéricos para el cálculo indirecto de la integral que representan el impulso de las fuerzas.

• Los métodos de cálculos aproximados de integrales mas usados son el método de los trapecios y el método de Simpson.

(93)

Solución numérica de la integral de Duhamel

• El método del trapecio se basa en

interpolaciones lineales del comportamiento del sistema.

• El método de Simpson en cambio hace una aproximación cuadrática del comportamiento para calcular las integrales.

• Ambos métodos necesitan de una definición de pasos de tiempo muy cercanos para lograr

(94)

Solución numérica de la integral de Duhamel

• Si consideramos la parte de la solución a la

ecuación de movimiento que contiene la integral de Duhamel.

• Buscando desacoplar los términos en t y tenemos:

(95)

Solución numérica de la integral de Duhamel

• Escribiendo la ecuación anterior en forma compacta, tenemos:

Donde:

• Con lo que la solución de u(t) está ahora

supeditada a resolver c(t) y s(t) por medio de la obtención de las integrales planteadas, tarea que la podemos realizar por integración

(96)

Solución numérica de la integral de Duhamel

Integración numérica

• Para obtener una integral cualquiera por integración numérica:

• Se procede a discretizar el intervalo [0,t] en subintervalos [0, ₁], [ ₁, ₂], [ ₂, ₃], …, [ _n-1, _n], espaciados y siendo _n=t.

• Con esto podemos obtener la integral

(97)

Solución numérica de la integral de Duhamel

Integración numérica

• Método de los trapecios:

Donde f( _i) es el valor del integrando f( ) en el

tiempo t_i=i .

• Método de Simpson:

(98)

Solución numérica de la integral de Duhamel

• Dado que en dinámica estructural se necesita conocer la historia completa de la respuesta para todo tiempo t en un rango determinado, resulta conveniente plantear el cálculo de las integrales c(t) y s(t) en forma recurrente, lo que significa que la respuesta para t_i se expresa en función de la respuesta en t_i-1.

• Esto es con la intención de evitar el recálculo de sumas hechas en pasos anteriores.

(99)

Solución numérica de la integral de Duhamel

• Si llamamos c_i y s_i a el valor de las integrales c(t) y s(t) en el instante t_i ; f_i y g_i a el valor de los

integrandos p( )cos ω_a y p( )sen ω_a en t=i . Para ambos métodos las ecuaciones recurrentes se expresarían como:

(100)

Solución numérica de la integral de Duhamel

• Método de Simpson:

• Cabe mencionar que debido a la limitante de la regla de Simpson de que el número de intervalos debe ser par, es mas común hacer uso de la regla de los trapecios.

(101)

Solución numérica de la integral de Duhamel

• Progama en Matlab para resolver la integral de Duhamel por el método de los trapecios:

function [t,d]=dtrapez(p,m,w,xi,dt)

%---% [t,d]=dtrapez(p,m,w,xi,dt)

%---% Calcula la integral de Duhamel (como respuesta % de un sistema sencillo lineal) por la regla de % los trapecios.

% Entradas:

% p: vector de carga externa % m: masa del sistema

% w: frecuencia natural del sistema

% xi: fraccion de amortiguamiento viscoso % dt: paso de tiempo

% Salidas:

% t: vector de tiempo

% d: vector de desplazamientos de respuesta %---n=length(p);

tmax=dt*n;

(102)

Solución numérica de la integral de Duhamel

wa=w*sqrt(1-xi^2); f=p.*cos(wa*t); g=p.*sin(wa*t); f1=[0, f(1:n-1)]; g1=[0, g(1:n-1)]; pc=f1*exp(-xi*w*dt)+f; ps=g1*exp(-xi*w*dt)+g; pc=pc*dt/m/wa/2; ps=ps*dt/m/wa/2; for i=1:n if i==1 c(i,1)=pc(i,1); s(i,1)=ps(i,1); else c(i,1)=c(i-1,1)*exp(-xi*w*dt)+pc(i,1); s(i,1)=s(i-1,1)*exp(-xi*w*dt)+ps(i,1); end end d=c.*sin(wa*t)-s.*cos(wa*t); figure plot(t,d) xlabel('Tiempo') ylabel('Desplazamiento') %---% Fin

(103)

Solución numérica de la integral de Duhamel

Método de la aceleración lineal

• Además del método de integración desarrollado anteriormente, existen otras tecnicas para

evaluar la respuesta de sistemas dinámicos a excitaciones generales de carga, una de ellas es el método de la aceleración lineal, famoso or su simplicidad y presición.

• La premisa de partida es que la aceleración

tiene un comportamiento lineal entre dos puntos de análisis cualesquiera.

(104)

Solución numérica de la integral de Duhamel

• Partiendo de la ecuación de aceleración por integraciones sucesivas encontramos las

ecuaciones de velocidad y desplazamiento respectivamente.

• En estas ecuaciones las constantes de

integración pueden determinarse gráficamente como los interceptos en el eje de las ordenadas, para expresar estas en su forma explícita.

(105)

Solución numérica de la integral de Duhamel

(106)

Solución numérica de la integral de Duhamel

• Por último resolvemos estas ecuaciones por métodos numéricos obteniendo las siguientes expresiones.

• Sustituyendo estas expresiones en la ecuación de movimiento se obtiene:

(107)

Solución numérica de la integral de Duhamel

• Ecuación que puede expresarse en la forma: Donde:

(108)

Solución numérica de la integral de Duhamel

• El algoritmo en Matlab para su resolución es el siguiente:

function [t,d,v,a]=dmaclin(p,m,w,xi,dt)

%---% [t,d,v,a]=dmaclin(p,m,w,xi,dt)

%---% Calcula la respuesta de un sistema sencillo % lineal por el metodo de la aceleracion lineal % Entradas:

% p: vector de carga externa % m: masa del sistema

% w: frecuencia natural del sistema

% xi: fraccion de amortiguamiento viscoso % dt: paso de tiempo

% Salidas:

% t: vector de tiempo

% d: vector de desplazamientos de respuesta % v: vector de velocidad de respuesta

% a: vector de aceleracion de respuesta

%---n=length(p);

tmax=dt*n;

(109)

Solución numérica de la integral de Duhamel

d0=0; v0=0; a0=0; % k=m*w^2; c=2*m*w*xi; kbar=k+3*c/dt+6*m/(dt^2); ikbar=1/kbar; % for i=1:n p1=p(i,:); dp=m*(6*d0/dt^2+6*v0/dt+2*a0); dp=dp+c*(3*d0/dt+2*v0+dt*a0/2); pbar=p1+dp; d1=ikbar*pbar; v1=3*(d1-d0)/dt-2*v0-dt*a0; a1=6*(d1-d0)/dt^2-6*v0/dt-2*a0; d(i,1)=d1; v(i,1)=v1; a(i,1)=a1; d0=d1; v0=v1; a0=a1; end %

(110)

Solución numérica de la integral de Duhamel

figure plot(t,d) xlabel('Tiempo') ylabel('Desplazamiento'); figure plot(t,v) xlabel('Tiempo') ylabel('Velocidad'); figure plot(t,a) xlabel('Tiempo') ylabel('Aceleracion'); %---% Fin

(111)

Espectros de Respuesta

• De forma similar que en el análisis estático de estructuras, en dinámica estructural también

resulta de interés las respuestas máximas de los sistemas, dado que estas gobiernan los diseño

.

• Los espectros de respuesta son gráficos que

recogen las respuestas máximas de sistemas sencillos de un grado de libertad para diferentes períodos con igual fracción de amortiguamiento ante una excitación dada.

(112)

Espectros de Respuesta

• Aunque se deducen para sistemas sencillos la aplicación de los espectros de respuesta

transciende a sistemas de varios grados de libertad, pues en estos existen períodos

dominantes que pueden tomarse como base para lectura de la respuesta.

• Las respuestas que se grafican contra el

período (o ya sea contra la frecuencia) puede ser cualquier respuesta, aunque las mas

usuales son desplazamiento, velocidad y aceleración.

(113)

Espectros de Respuesta

• De acuerdo a lo expresado hasta aquí,

necesitamos varios SDOF con diferentes T a un mismo ξ.

(114)

Espectros de Respuesta

• Podemos definir los espectros de acuerdo a los parámetros de los cuales dependen así:

• Así tenemos que el espectro en desplazamiento por ejemplo es una función de ξ, T y p(t), y la

función se define como el máximo desplazamiento calculado.

(115)

Espectros de Respuesta

• Debe de tenerse el cuidado en el caso del

espectro de aceleración, que si calculamos el efecto sísmico en base a la aceleración del suelo, la aceleración utilizada debe ser la absoluta:

• A manera de ejemplo se muestran los espectros de desplazamiento, velocidad y aceleración para un sismo en Japón en la región de Tokachi-oki, con períodos comprendidos entre 0.05 y 3

(116)

(117)

(118)

(119)

(120)

Espectros de Respuesta

• Puede demostrarse que los espectros de respuesta sísmico cumplen las siguientes relaciones:

• Se muestra a continuación una función en Matlab para construir espectros de respuesta en función de la aceleración del terreno.

(121)

(122)

(123)

(124)

Espectros de Respuesta

• Además de todo esto debe mencionarse que existen espectros de respuesta suavizados llamados seuodo espectros y espectros de respuesta linealizados o paramétrizados

llamados espectros de diseño.

• La forma de crear estos espectros son temas

propios de la ingeniería sísmica, por lo que no se abordan aquí. Aunque si se puedan utilizar o

aplicar como datos de entrada en análisis sísmico en dinámica de estructuras.

(125)

(126)

Sistemas con varios grados de

libertad

Fundamentos de dinámica de estructuras Noviembre de 2009

5

(127)

Vibraciones libres

1. Introducción 2. Ecuación de movimiento 3. Respuesta dinámica 4. Método matricial 5. Método numérico 6. Método iterativo CONTENIDO

(128)

Introducción

• Un sistema de varios grados de libertad

es aquel en el cual su movimiento se

caracteriza por un numero finito de

puntos o nodos, con los cuales dicho

movimiento puede ser definido o

(129)

Introducción

• Se debe de diferenciar estos sistemas de múltiples grados de libertad de los sistemas continuos, que poseen infinitos grados de libertad.

(130)

Introducción

• Se examinarán las propiedades estructurales básicas, para sistemas de múltiples grados de libertad.

• Se planteará la ecuación de movimiento que nos obliga a un análisis de tipo matricial.

• Se obtendrán las matrices de masas y de rigidez relacionadas a sistemas que pueden ser

(131)

Ecuación de movimiento

• Sea el siguiente sistema de 2 grados de libertad:

(132)

Ecuación de movimiento

• Esto nos conduce al siguiente sistema de ecuaciones de movimiento:

• Ordenando estas ecuaciones tenemos:

(133)

Ecuación de movimiento

• Donde:

• Evidentemente no se ha incluido ningún tipo de amortiguamiento en el sistema.

(134)

Ecuación de movimiento

• Esta ecuación de movimiento puede escribirse de forma completa, de acuerdo a varias

(135)

Respuesta dinámica

Viga de Cortante

• El concepto de viga de cortante es muy

importante en dinámica de estructuras, dado que permite simplificar los modelos de una manera aceptable sin perdida sustancial de exactitud en el cálculo de su respuesta.

• Imaginemos que el siguiente marco puede

representarse por el modelo de dos grados de libertad que se muestra.

(136)

Respuesta dinámica

• Esta simplificación será posible siempre que existan ciertas condiciones en el marco, como por ejemplo, que posea diafragmas rígidos y que puedan despreciarse las deformaciones axiales en los elementos.

(137)

Respuesta dinámica

• Si para la matriz de rigidez

k

se define el

elemento k_ij como la fuerza aplicada en el grado de libertad i cuando en j tiene lugar un

desplazamiento unitario, siendo todos los demás desplazamientos iguales a cero.

k₁₁ k₂₁ k₁ k₂ 1 2

(138)

Respuesta dinámica

• De acuerdo a lo anterior, para provocar un

desplazamiento unitario en el piso 1 se requiere una fuerza en dicho piso igual a:

(139)

Respuesta dinámica

• De forma similar, para provocar un

desplazamiento unitario en el piso 2 se requiere una fuerza en dicho piso igual a:

(140)

Respuesta dinámica

• Resumiendo tenemos:

(141)

Respuesta dinámica

• Este modelo se denomina de cortante, debido a que si consideramos solo la condición estática, tenemos:

• La fuerza cortante acumulada por nivel, sería:

• Y el desplazamiento relativo de un nivel respecto al otro:

(142)

Respuesta dinámica

• Lo cual indica que la deriva de piso es igual a la fuerza cortante dividida por la rigidez.

• Ecuación guarda estrecha relación con la ecuación de esfuerzo cortante que da la resistencia de materiales:

(143)

Respuesta dinámica

• Generalizando para un sistema de varios grados de libertad tenemos:

(144)

Respuesta dinámica

Análisis modal

• Para determinar la respuesta dinámica de una estructura de varios grados de libertad se puede utilizar el procedimiento de análisis modal.

(145)

Respuesta dinámica

• El método consiste en obtener la respuesta máxima por separado para cada modo, modelando cada

uno como un sistema de simple grado de libertad. • Dado que los valores máximos no ocurren

simultáneamente, estos son combinados

estadísticamente para obtener la respuesta total (SRSS, CQC, etc.)

• El análisis modal puede ser enfocado mediante métodos matriciales, numéricos o métodos

(146)

Método matricial

• Como la respuesta dinámica de una estructura depende de la frecuencia o periodo de vibración y de la forma desplazada (forma modal), el

primer paso en un análisis de un sistema de varios grados de libertad es encontrar las

frecuencias y las formas modales de vibración libre.

• En este caso no existen fuerzas externas y no hay amortiguamiento, es decir, tenemos un

sistema de varios grados de libertad en vibración libre sin amortiguamiento.

(147)

Método matricial

• Cada grado de libertad dinámico provee una ecuación de equilibrio dinámico, la vibración

resultante del sistema consiste de n ecuaciones, por lo tanto tenemos:

• Esta ecuación se corresponde con la siguiente historia de desplazamientos:

(148)

Método matricial

• La vibración libre descrita gráficamente por las gráficos de u-t de un sistema no amortiguado en uno de sus modos de vibración natural puede describirse matemáticamente por:

• Donde



_n, es un vector con la configuración deformada o amplitud relativa de movimiento, que no varia con el tiempo; y la variación del desplazamiento con el tiempo esta descrita por una función armónica:

(149)

Método matricial

• Es decir que:

• En base a esto tenemos:

• O en forma alternativa:

• Esta expresión es una representación de la ecuación de autovalores; la cual tiene una

solución no trivial sólo si el determinante de los coeficientes es igual a cero.

(150)

Método matricial

• Es decir que las frecuencias naturales ω_n (escalar) y los modos



_n (vector) deben satisfacer la siguiente ecuación:

• El desarrollo del determinante conduce a un polinomio de grado n en (ω_n)2, las raíces del cual son los autovalores.

(151)

Método matricial

• Sustituyendo éstos autovalores en la ecuación previa a la del determinante, se obtienen los autovalores para cada modo. A partir de los

autovalores se obtienen los periodos naturales correspondientes y se pueden obtener las

aceleraciones espectrales a partir de una curva de respuesta apropiada.

(152)

Método matricial

 Matriz modal y espectral

• Los n autovalores y los n modos pueden ser acoplados en forma matricial.

• El modo natural o autovector



_n correspondiente a la frecuencia natural ω_n tiene elementos



_jn, donde j indica el DOF.

• De este modo los n autovectores pueden presentarse o disponerse en una matriz

(153)

Método matricial

• La siguiente es la llamada matriz modal [Φ] :

• Los n autovalores ω_n2 _{pueden ser acoplados en}

una matriz diagonal Ω2, la cual es conocida como matriz espectral.

(154)

Método matricial

• Cada autovalor y autovector satisfacen la ecuación de autovalores que puede ser reescrita como:

• Utilizando la matriz modal y espectral es posible reunir todas las ecuaciones (por cada autovalor) en una sola ecuación matricial simple:

(155)

Método matricial

 Ortogonalidad de los modos

• Los modos naturales correspondientes a

diferentes frecuencias naturales se muestran a continuación para satisfacer la siguiente

condición de ortogonalidad. Cuando ω_n≠ω_r • La demostración de esta propiedad es la

Método matricial

• Haciendo uso de la propiedad de simetría de la matriz de masa y rigidez. La transpuesta de la matriz en el lado izquierdo es igual a la

transpuesta de la matriz en el lado derecho de la primera ecuación; de esta forma:

• Restando las dos ecuaciones anteriores, tenemos:

(157)

Método matricial

• Se ha establecido la relación de ortogonalidad entre modos con distintas frecuencias. La

ortogonalidad de los modos naturales implica que las siguientes matrices cuadradas son diagonales:

(158)

Método matricial

 Normalización de los modos

• Usualmente se aplica factores de escala a los modos naturales para estandarizar sus

elementos asociándolos con sus amplitudes en varios grados de libertad. Este proceso es

llamado normalización.

• Algunas veces es conveniente normalizar cada modo de tal forma que el elemento mayor sea la unidad. Otras ocasionas se aplica una regla de normalización diferente.

(159)

Método matricial

• En teoría de dinámica estructural y programas computacionales es común normalizar los

modos de tal manera que m_n tenga valores unitarios:

• Los componentes de la matriz modal normalizada están dados por:

(160)

Método matricial

• Donde:

ø_jn= es el componente para el nudo j, de la forma modal normalizada asociada al modo n.

m_jj= masa concentrada en el nudo j.

u_jn= el componente, para el nudo j, del autovector asociado con el modo n.

(161)

Método matricial

 Factor de participación

• Las ecuaciones de movimiento para cada grado de libertad no dependen de los modos de

vibración y tienen forma similar a la ecuación de movimiento de un sistema de un solo grado de libertad.

• El factor de participación, para sistemas de

varios grados de libertad esta definido en forma matricial por:

(162)

Método matricial

• Donde:

[P]= vector de coeficientes de participación para todos

los modos considerados

{1}= vector unitario.

• La matriz de máximos desplazamientos esta definida por:

(163)

Método matricial

• Donde:

[D] = matriz diagonal de desplazamiento espectral. [V] = matriz diagonal de velocidad espectral.

[A] = matriz diagonal de aceleración espectral.

• La matriz de fuerzas laterales en cada nudo del sistema esta dada por:

• El vector de fuerzas cortantes en la base esta dado por:

(164)

Método numérico

• Para facilitar el procedimiento del análisis modal se puede utilizar métodos numéricos.

• Para un modo de vibración dado el factor de participación está definido por:

• Donde:

M_i = masa correspondiente al nivel i.

ø_i = componente de la forma modal para el nudo i para un modo dado.

(165)

Método numérico

• La masa efectiva está definida por:

• De forma similar el peso efectivo es definido por:

• La aceleración pico en el nudo está definida por: • El desplazamiento máximo en el nudo es:

(166)

Método numérico

• La fuerza lateral en el nudo está dada por la ley de Newton:

• La cortante basal y la fuerza lateral en cada nudo pueden determinarse de la manera

Método iterativo

• Para edificios de pocos niveles, que no excedan a cinco plantas, el análisis modal puede

limitarse al modo fundamental.

• El sistema estructural puede ser modelado

como un pórtico con losas de entre piso rígidas. • Los desplazamientos laterales de los nudos son

entonces el resultado de la flexión de las columnas sin incluir rotación en los nudos.

(168)

Método iterativo

• La rigidez de un nivel en particular esta dada por:

• La masa en cada nivel se asume concentrada en las losas de entre piso.

(169)

Método iterativo

• Se han desarrollado técnicas iterativas basadas en métodos propuestos por Rayleigh, Stodola y Holzer.

• A continuación se presenta una adaptación del método de Holzer.

• Cuando un nudo alcanza su desplazamiento lateral máximo ui_{, la velocidad es cero y la}

(170)

Método iterativo

• El incremento en la fuerza de corte en el nudo es producido por la fuerza de inercia en ese nivel.

• El incremento de la fuerza cortante esta dado por:

Donde:

k· = fuerza cortante total en el nivel i.

• Igualando la fuerza de inercia y el incremento de la fuerza cortante se tiene:

(171)

Método iterativo

• La solución de esta ecuación se puede obtener de la siguiente manera:

1. Asumiendo una forma modal inicial con un desplazamiento unitario en el nivel superior; a partir del cual se calcula la fuerza de inercia o el incremento de fuerza cortante en términos de la frecuencia

natural, en cada nivel.

2. Sumando el incremento de fuerza cortante a partir del nivel superior hacia abajo se tiene la fuerza cortante total en cada piso. Dividiendo este valor por la rigidez apropiada de cada nivel se obtiene el

desplazamiento (deriva) de cada piso.

3. Dividiendo estos desplazamientos por el desplazamiento en la parte superior de la estructura se obtiene la forma modal corregida.

4. Esta forma modal corregida puede ser usada como una nueva

forma modal inicial en el proceso de iteración hasta que coincidan la forma modal corregida con la inicial.