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DISTRIBUCION DE ESFUERZOS ALREDEDOR DE UNA EXCAVACION CIRCULAR PARA UNA CONSTANTE DE ESFUERZOS DE 1,15 INDICE Página Introducción 2 Resumen 3 1. Teoría 4 1.1 Esfuerzos inducidos 1.2 Factor de seguridad
1.3 Técnicas para determinar los esfuerzos inducidos
1.4 Método de las soluciones cerradas 5
1.5 Solución bidimensional de los esfuerzos alrededor de una
excavación circular 6 2. Metodología 8 3. Datos 9 4. Conclusiones 16 5. Recomendaciones 18 6. Bibliografía 19 7. Anexos
Grafico de la curva isovalórica del esfuerzo inducido mayor (σ1) .
Grafico de la curva isovalórica del esfuerzo inducido menor (σ3).
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INTRODUCCION
Muchos años atrás, era inentendible el porqué los macizo rocosos sufrían diferentes tipos de fenómenos geomecánicos como la caída de rocas, estallido de rocas, convergencias, derrumbamientos, otros; de hecho se tenía el concepto de que al perturbar algo estable, se podría producir inestabilidad, pero ese concepto tenía que ser cuantificado para así saber el comportamiento de un macizo rocoso al perturbarlo, ya sea por realizar excavaciones, por voladura, u otros tipos de afecciones que perturban al macizo rocoso.
Posteriormente aparecieron los diferentes métodos para el cálculo de aquellos nuevos estados de esfuerzos que eran producidos la perturbar un macizo rocoso, unos métodos más poderosos que otros, o tal vez unos métodos más simples que otros, pero con el fin de satisfacer la duda que muchos años intrigaron al hombre expuesto a trabajos sobre un macizo rocoso.
Joeger y Cook, en 1976, presentan las formulas para el cálculo de las componentes del esfuerzo inducido, basados en un método simple de soluciones cerradas, el cual toma el cilindro de pared gruesa como análogo a una excavación. Estas ecuaciones nos dan valores próximos a la realidad, por lo que su uso es válido y extendido.
Prueba de ello es la aparición de poderoso software como el Phase2 5.0 de Rockscience, el cual a partir de las formulas de Joeger y Cook, y del método de elementos finitos, nos proporciona simulaciones del comportamiento del macizo rocoso frente a las fuerzas que lo perturban. E incluso para excavaciones de cualquier forma y en cualquier estadio del avance de la excavación para la extracción de una masa mineral.
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RESUMEN
El presente informe intenta detallar la metodología a seguir para el cálculo manual de la distribución de los esfuerzos alrededor de una excavación circular, para una relación de esfuerzos “K” igual a 1,15. Se presenta la teoría básica para el objetivo dado, luego las formulas propuestas por Joeger y Cook para el cálculo de la distribución de esfuerzos alrededor de una excavación circular. Seguidamente se presenta la metodología usada, luego los datos obtenidos en el software Excel. Dándose la importancia debida al ángulo (°), radio (a), esfuerzo radial (σr), esfuerzo tangencial (σt), esfuerzo inducido mayor (σ1), esfuerzo inducido menor (σ3)
y al ángulo α. Se presentan los gráficos de: curvas isovaloricas de los esfuerzos inducidos mayores (σ1), así como las curvas isovaloricas de los esfuerzos inducidos menores (σ3), y del
grafico de la relación entre los esfuerzos inducidos principales y su orientación. Finalmente las conclusiones y recomendaciones respetivas.
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1. TEORIA
1.1 ESFUERZOS INDUCIDOS
Los esfuerzos inducidos son aquellos nuevos estados de esfuerzos producto de la redistribución de los esfuerzos in – situ. Esta redistribución de esfuerzos se produce debido a la perturbación del macizo rocoso, producto de una excavación hecha sobre este. Es decir al abrir una excavación, en las cercanías de la excavación se perturban los esfuerzos in situ, dándose nuevos estados de esfuerzo en el área perturbada, llamados esfuerzos inducidos.
El área perturbada, es decir hasta donde se da la redistribución de esfuerzos, varía en función de las características mecánicas del macizo rocoso, siendo generalmente una distancia no mayor de 4 veces más el radio de la excavación.
1.2 FACTOR DE SEGURIDAD
Es la relación que existe entre la resistencia del macizo rocoso y el esfuerzo que actúa en un punto del macizo rocoso.
Debido a que se producen nuevos estados de esfuerzos, por ende se producen nuevos factores de seguridad para cada punto del macizo rocoso.
1.3 TECNICAS PARA DETERMINAR LOS ESFUERZOS INDUCIDOS
Las técnicas para determinar los esfuerzos inducidos, es decir los métodos para calcular los esfuerzos inducidos son:
a) Método de las soluciones cerradas b) Métodos numéricos
i. Método de elementos finitos ii. Método de elementos de Borde iii. Método de elementos Distintos
c) Métodos físicos de escala reducida
Los más usados son los métodos numéricos, además de ser los más poderosos. Pero para su entendimiento es necesario los métodos de las soluciones cerradas.
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1.4 METODO DE LAS SOLUCIONES CERRADAS
Para simplificar y comprender el problema, este método usa matemática simple. Además solo se aplica a excavaciones circulares o elípticas; cualquier otra forma de excavación, se debe usar los métodos numéricos.
Este método se apoyo de los prototipos elásticos. Para ello usa el cilindro de pared grueso para el cálculo de los esfuerzos inducidos alrededor de una excavación circular.
Es decir se considera el techo de la excavación como si fuera la superficie interior de un cilindro de pared gruesa de radio exterior infinito.
Si tomamos un elemento de la pared gruesa (el cual representa a un punto del macizo rocoso en las cercanías de la excavación), se tendrán las componentes del esfuerzo inducido en ese punto, es decir su esfuerzo radial (σr) y su esfuerzo tangencial (σt).
Mecánica de Rocas aplicada a la Minería Página 6 Aplicando las ecuaciones de equilibrio en ese punto, las ecuaciones de deformación elástica, las ecuaciones de compatibilidad y las condiciones de contorno, se tiene las siguientes ecuaciones de las componentes del esfuerzo inducido en dicho punto.
( ) ( ) ( ) ( )
Ahora, en forma general para cualquier valor de la relación de esfuerzos (K). Además teniendo en cuenta que la presión interna (Pi) es igual a cero.
1.5 SOLUCION BIDIMENSIONAL DE LOS ESFUERZOS ALREDEDOR DE UNA EXCAVACIÓN CIRCULAR
Utilizando un sistema de coordenadas polares, podemos hallar las componentes (radial, tangencial y de corte) de los esfuerzos inducidos en un punto localizado a un radio “r” y un ángulo polar medido en sentido horario desde el techo de la excavación.
Mecánica de Rocas aplicada a la Minería Página 7 Por lo tanto la solución bidimensional del esfuerzo inducido alrededor de una excavación circular en un cuerpo elástico (como el macizo rocoso), dada por Joeger y Cook en 1976 es:
*( ) ( ) ( ) ( ) ( )+
*( ) ( ) ( ) ( ) ( )+
*( ) (
) ( )+
A partir de las componentes de esfuerzo en dicho punto (esfuerzo radia, esfuerzo tangencial y esfuerzo de corte), podemos hallar los esfuerzos principales inducidos.
Mecánica de Rocas aplicada a la Minería Página 8 Esfuerzo inducido mayor (σ1)
( ) [ ( ) ]
( ) [ ( ) ]
La inclinación del eje que contiene al esfuerzo inducido mayor en el plano principal es: (
)
2. METODOLOGIA
Siendo el objetivo el hallar la distribución de esfuerzos inducidos alrededor de una excavación circular, para una relación de esfuerzos (k) de 1,15; se tiene la siguiente metodología.
Metodología es el procedimiento lógico para alcanzar un objetivo. www.wikipedia.org. Procedimiento:
i. Determinación de la relación de esfuerzos: σv
σh
ii. Se toma el primer cuadrante, barriendo un ángulo de 0° – 90°, empezando desde la parte superior de la circunferencia (que representa la excavación), avanzando en sentido horario.
iii. Se divide al primer cuadrante cada 5°. Por lo tanto se tendrán 19 intervalos. 0 – 5°; 5 - 10°; 10 - 15°; … ; 85 – 90 °.
iv. La circunferencia, el cual representa a la excavación, tiene un radio igual a “a” metros. Entonces tanto en las ordenadas y en las abscisas se dividen cada 0,2 metros, lográndose así un total de 21 intervalos.
v. Se logra por lo tanto una gran cantidad de puntos en el primer cuadrante. En total son: 21 x 19 = 399 puntos. Cada punto representa un estado de esfuerzo inducido.
vi. Teniendo el ángulo “θ”, el radio hacia el punto, y el “K”, entonces hallamos las componentes del esfuerzo inducido 8esfuerzo radia, esfuerzo tangencial y esfuerzo de corte), de cada punto del primer cuadrante.
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vii. Teniendo los componentes del esfuerzo inducido en cada punto, hallamos el esfuerzo principales inducidos en cada punto.
viii. Hallamos también el ángulo (α) entre el eje que contiene al esfuerzo inducido mayor (σ1) y el eje que contiene al esfuerzo tangencial.
ix. Graficamos en cada punto su esfuerzo inducido mayor (σ1), y su esfuerzo inducido
menor (σ3).
x. Trazamos las curvas isovaloricas para el esfuerzo inducido mayor (σ1). xi. Trazamos las curvas isovaloricas del esfuerzo inducido menor (σ3).
xii. Trazamos las cruces que representan al esfuerzo inducido mayor (σ1) y al esfuerzo
inducido meno (σ3), ambas son perpendiculares entre sí. Además se debe tener en
cuenta el ángulo entre el eje que contiene al esfuerzo tangencial y el eje que contiene al esfuerzo inducido mayor (σ1). Nota: Si se toma el eje que contiene al esfuerzo radial
en un punto, el ángulo entre el eje radial y el eje que contiene al esfuerzo inducido mayor (σ1), será el complemento del ángulo α.
3. DATOS
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4. CONCLUSIONES
Los esfuerzos inducidos producto de una excavación son muchas veces las causas principales de diferentes problemas geomecánicos como derrumbamientos, convergencias, estallidos de rocas, caída de rocas, otros.
Un buen estudio y análisis de la resistencia del macizo rocoso y de los esfuerzos inducidos actuantes, nos dará un verdadero y real factor de seguridad.
Existen muchas técnicas para el cálculo de los esfuerzos inducidos, siendo los de métodos numéricos los más importantes, pero para su entendimiento se requiere el método de las soluciones cerradas.
El método de las soluciones cerradas se basa en la simplificación del cilindro de pared gruesa y solo se usa para excavaciones circulares y elípticas.
Las formulas propuestas por Joeger y Cook en 1976, son generales para el cálculo de los esfuerzos inducidos.
Para la relación de esfuerzos (k), igual a 1,15; se tiene tabulados un total de 399 puntos solo en el primer cuadrante.
En el contorno de la excavación solo se tiene esfuerzo tangencial.
En el techo y en la pared de la excavación, no se tiene esfuerzo de corte, por lo tanto los esfuerzo radial y tangencial, son los esfuerzos inducidos principales.
Debido a que el k es mayor a 1, el techo sufre más que las paredes, es decir hay mayor esfuerzo en el techo que en las paredes.
Los planos que contienen el esfuerzo inducido mayor (σ1 ) y el esfuerzo inducido
menor (σ3 ), están orientados en función del ángulo .
Si se toma en cuenta el eje tangencial en un punto, la dirección del eje que contiene al esfuerzo inducido mayor (σ1) será medido a partir del eje tangencial y en sentido anti
horario un ángulo.
Mecánica de Rocas aplicada a la Minería Página 17 A mayor distancia de la excavación, disminuye el esfuerzo inducido mayor σ1.
A mayor distancia de la excavación, aumenta el esfuerzo inducido menor σ3.
Hasta un radio 4 veces más al radio de la excavación circular, los esfuerzos inducidos mayores σ1 son mayores a 1,15.
Hasta un radio 4 veces más al radio de la excavación circular, los esfuerzos inducidos menor σ3 son menores a 1.
En el contorno de la excavación solo hay esfuerzos inducidos mayores σ1, ya que el esfuerzo inducido menor va disminuyendo hasta hacerse cero en el contorno de la excavación.
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5. RECOMENDACIONES
Si la excavación fuera diferente a una circular o elíptica (como sucede en la realidad), se debe usar el método de los métodos numéricos.
Realizar un estudio detallado para hallar la resistencia del macizo rocoso donde se va realizar la estructura rocosa.
Hacer una correcta medición de los esfuerzos in-situ para poder tener un valor real del “K”.
Realizar las graficas a mano para poder entender el comportamiento de los esfuerzos in situ en función del “K” obtenido.
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6. BIBLIOGRAFIA
Excavaciones subterráneas en roca E. Hoek – E.T Brown
Diapositivas del curso de Fundamentos de Mecánica de Roca Ing. David Córdova Rojas