Capítulo 1. Probabilidades
1.1 Modelos
matemáticos
La aplicación de las matemáticas para describir el universo es una práctica que ha dado muy buenos resultados durante siglos. Las matemáticas conforman un lenguaje completamente lógico que puede aplicarse a la descripción de la naturaleza porque los sucesos y los objetos de la naturaleza tie-nen propiedades que ofrecen un paralelo suficiente a las matemáticas. Aunque la descripción de la na-turaleza en términos matemáticos nunca es completamente exacta, hay suficiente concordancia entre las formas de la naturaleza y las de la expresión matemática para que la descripción sea aceptable. La aproximación es a menudo tan grande que una vez que se ha aplicado la descripción matemática, se puede proseguir con esa lógica matemática para hacer deducciones que también se apliquen a la natu-raleza.
1.1.1 Definiciones:
Se denomina experimento a la reproducción controlada de un fenómeno cualquiera que ocurre en la naturaleza.
Un modelo matemático se emplea para describir un fenómeno que ocurre en la naturaleza, y puede ser: determinístico o no determinístico.
Un modelo es determinístico cuando las condiciones bajo las cuales se verifica el experimento determinan su resultado. Por ejemplo: si se deja caer un cuerpo en el vacío, desde una altura h, hasta el piso, la velocidad que alcanza es:
gh v= 2
Este modelo determina la velocidad con que el cuerpo cae al piso todas las veces que se repita el experimento, si se repiten las mismas condiciones del experimento.
Un modelo es no determinístico o probabilístico cuando las condiciones bajo las cuales se veri-fica el experimento no determinan su resultado. Según el fenómeno que se estudie, es posible determi-nar un modelo. Por ejemplo: si se quiere saber cuántos autos llegan a una gasolinera entre las 7 y las 8 a.m.; con base en datos históricos se puede diseñar un modelo que dé un resultado aproximado con cierto grado de confiabilidad. La forma de diseñar este modelo se verá en el capítulo 4. Se sabrá, por ejemplo, qué tan probable es que no llegue ningún vehículo, que lleguen menos de 5 vehículos, que lleguen entre 6 y 10 vehículos, o que lleguen entre 11 y 15 vehículos, etc.
A diferencia del experimento anterior, no es posible mantener las mismas condiciones del expe-rimento, pues no están al alcance del que investiga.
1.1.2 Características de un fenómeno probabilístico:
• Sin cambiar las condiciones bajo las cuales se verifica el experimento, se pueden obtener dis-tintos resultados.
• Se puede describir el conjunto de todos los resultados posibles.
• Inicialmente los resultados parecen ocurrir en forma caprichosa; pero cuando el experimento se repite muchas veces, aparece un modelo definido de regularidad que hace posible la cons-trucción de un modelo matemático preciso, con el cual se puede analizar el fenómeno.
1.2 Permutaciones y combinaciones
Para calcular ciertas probabilidades es necesario calcular permutaciones y combinaciones. Para un mejor entendimiento de estas definiciones se emplean ejemplos sencillos, muchos de los cuales tie-nen relación con los juegos de azar, aunque puedan resultar poco útiles para efectos prácticos.
Una permutación es un arreglo, en un determinado orden, de un conjunto de elementos. Por ejemplo, con las letras del abecedario se pueden formar las siguientes permutaciones de dos letras: ab,
ba, ac, ca, bc, cb,..., xy, yx, yz, zy.
Una combinación es un arreglo, sin que importe el orden, de un conjunto de elementos. Por ejemplo, con las letras del abecedario se pueden formar las siguientes combinaciones de tres letras:
abc, abd, abe,..., bcd, bce, bcf,..., cde,..., xyz.
1.2.1 Teoremas relativos a permutaciones y combinaciones
TEOREMA 1: El número de permutaciones de r elementos que se pueden formar a partir de un
conjunto de N elementos diferentes, es:
)! ( ! ) , ( r N N r N P − =
Se demuestra este teorema de la siguiente manera: para escoger el primer elemento hay N posi-bilidades, para escoger el siguiente hay (N – 1) posiposi-bilidades, luego (N – 2) posiposi-bilidades, y así suce-sivamente. Se deduce que, para escoger el r-ésimo elemento hay N – (r – 1) posibilidades. El número de formas en que se pueden permutar estas posibilidades es: N (N – 1) (N – 2)...N – (r – 1), que es igual al cociente dado por el teorema.
Ejemplo 1:
¿Cuántos números de tres dígitos pueden formarse con los dígitos impares?
N = 5 (los dígitos impares son: 1, 3, 5, 7, 9) r = 3 )! 3 5 ( ! 5 ) , ( − = r N P = 60
Pueden formarse 60 números diferentes con los dígitos impares.
Ejemplo 2:
Se va a realizar una prueba de atletismo con 6 participantes. ¿De cuántas formas se pueden en-tregar las medallas para los tres primeros puestos?
N = 6 r = 3 )! 3 6 ( ! 6 ) , ( − = r N P = 120
Las medallas para los tres primeros puestos se pueden entregar de 120 formas diferentes.
COROLARIO 1: El número de permutaciones de N elementos que se pueden formar a partir de un conjunto de N elementos diferentes, es:
! ) , (N N N P = Ejemplo:
¿Cuántos números de cinco dígitos pueden formarse con los dígitos impares?
120 ! 5 ) , (N N = = P
Pueden formarse 120 números diferentes empleando los cinco dígitos impares.
COROLARIO 2: Dado un grupo de N elementos, conformado por k grupos diferentes, de tal forma que n1elementos iguales conforman el primer grupo, n2elementos iguales conforman el
segun-do grupo, ..., nkelementos iguales conforman el k-ésimo grupo, donde n1+ n2+ ... + nk = N ; el núme-ro de permutaciones que pueden formarse, tomando los N elementos a la vez, es:
! ..., ! ! ! ) ..., , , ; ( 2 1 2 1 k k n n n N n n n N P =
Este corolario puede comprobarse siguiendo el siguiente razonamiento: si los elementos del primer grupo fuesen diferentes, el número total de permutaciones que pueden formarse quedaría mul-tiplicado por n1!; y si los elementos del segundo grupo también fuesen diferentes, el total anterior
que-daría multiplicado por n2!; y si, al igual que los grupos anteriores, los elementos del k-ésimo grupo
también fuesen diferentes, el total también quedaría multiplicado por nk!; resultando finalmente que el número total de permutaciones con N elementos diferentes es N!, como era de esperarse.
Ejemplo:
¿Cuántos números pueden formarse con los siguientes dígitos: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, to-mando todos a la vez?
P(11; 4, 2, 1, 1, 3) = 11!/ 4! 2! 1! 1! 3! = 138 600
Pueden formarse 138 600 números diferentes.
TEOREMA 2: El número de permutaciones de r elementos que se pueden formar a partir de un conjunto de N elementos diferentes, si se admite repetición de los elementos, es:
r R N r N
P ( , )=
La demostración es similar a la del teorema 1, con la diferencia de que, para escoger cada uno de los r términos, hay siempre N posibilidades, resultando N × N × ... × N, (r veces), es decir, N r permu-taciones.
Ejemplo:
¿Cuántos números de tres cifras pueden formarse con los dígitos impares, si se admite repetición de cualquiera de los dígitos?
PR (5, 3) = 53 = 125 números
TEOREMA 3: El número de combinaciones de r elementos que se pueden formar a partir de un conjunto de N elementos diferentes, es:
)! ( ! ! ) , ( r N r N r N C − =
Se demuestra este teorema considerando que C(N, r) multiplicado por el número de permutacio-nes que se pueden formar con los r elementos, r!, debe ser igual a P(N, r), es decir, N! / (N – r)!
Ejemplo:
Un profesor quiere escoger 8 alumnos de un conjunto de 15. ¿De cuántas formas puede hacerlo? Resulta evidente que no importa el orden en que se escogen los 8 alumnos
)! 8 15 ( ! 8 ! 15 ) 8 , 15 ( − = C = 6 435
El profesor puede escoger 8 alumnos de 6 435 formas.
TEOREMA 4: El número de combinaciones de r elementos que se pueden formar a partir de un conjunto de N elementos diferentes, si se admite repetición de los elementos, es:
)! 1 ( ! )! 1 ( ) , ( − − + = N r r N r N CR
Se demuestra por inducción matemática:
Para un conjunto de N elementos, sea r = 2. Se podrán formar las siguientes combinaciones: (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), …, (1,N) ⇒ N (2,2), (2,3), (2,4), …, (2,N) ⇒ N – 1 (3,3), (3,4), …, (3,N) ⇒ N – 2 N +(N – 1)+(N – 2) + … + 1 = 2 ) 1 (N+ N = + 2 1 N … (N,N) ⇒ 1
Para r = 3 se podrán formar las siguientes combinaciones: Cuando el primer dígito es 1:
(1,1,1), (1,1,2), (1,1,3), (1,1,4), …, (1,1,N) (1,2,2), (1,2,3), (1,2,4), …, (1,2,N) (1,3,3), (1,3,4), …, (1,3,N) + 2 1 N … (1,N,N)
Cuando el primer dígito es 2: (2,2,2), (2,2,3), (2,2,4), …, (2,2,N) (2,3,3), (2,3,4), …, (2,3,N) (2,4,4), …, (2,4,N) 2 N … (2,N,N)
Cuando el primer dígito sea 3, resultará:
− 2 1 N
Y así, cuando el primer dígito sea N, resultará:
2 2 = 1
Considerando la siguiente propiedad:
k N = − − 1 1 k N + − − 1 2 k N + … + − − 1 1 k k
El número de combinaciones para r = 3 será:
+ 2 1 N + 2 N + − 2 1 N + … + 1 = + 3 2 N
Por inducción, el número de combinaciones, para r = 4 será: + 4 3 N
Y así, para r, el número de combinaciones será:
+ − r r N 1 = )! 1 ( ! )! 1 ( − − + N r r N Ejemplo:
Un club está conformado por ingenieros, administradores, médicos, contadores y economistas. Considerando estas profesiones, ¿de cuántas formas se puede formar un comité de tres profesio-nales? N = 5 r = 3 )! 3 7 ( ! 3 ! 7 ) 3 , 5 ( − = R C = 35 Problemas resueltos
1) Se extrae una “mano” de 5 cartas de una baraja completa. a) ¿Cuántas “manos” distintas se pueden obtener?
2598960 ! 5 ! 47 ! 52 ) 5 , 52 ( = = C
b) ¿En cuántas de estas “manos” habrán tres ases?
Se tiene que calcular el número de formas en que se pueden escoger 3 ases de un total de 4 y luego 2 cartas cualesquiera (sin considerar el as que queda) de las 48 restantes.
512 4 ! 2 ! 46 ! 48 ! 1 ! 3 ! 4 ) 2 , 48 ( ) 3 , 4 ( ×C = × = C
2) ¿De cuántas maneras se pueden sentar 6 personas en una banca, de tal manera que dos de ellas, Elena y Graciela, nunca estén juntas?
Para conseguir esto, conviene suponer que Elena y Graciela conforman un solo elemento, para calcular así el número de formas en que se pueden permutar 5 elementos, multiplicado por 2, pues Elena y Graciela pueden permutarse. Este resultado se resta del número de formas en que se pueden permutar 6 elementos.
480P(6,6)− P2 (5,5)=720−240=
3) ¿De cuántas maneras se puede elegir un comité de 4 personas de un grupo de 10 personas, de tal manera que esté el único abogado del grupo?
Primero se calculará el número de formas en que se puede escoger el único abogado y luego el número de formas en que se puede escoger las 3 personas restantes, de las 9 que quedan.
84C(1,1)×C(9,3)=
4) En un aula de 30 alumnos hay 20 deportistas, de los cuales 8 practican deportes individuales y 12 deportes colectivos.
a) ¿Cuántos grupos de 5 alumnos se pueden formar?
Como no importa si los 5 alumnos son o no deportistas, el número de grupos de 5 alumnos que se pueden formar es:
C(30, 5) = 142 506
b) ¿En cuántos grupos todos son deportistas?
Ahora hay que calcular el número de formas en que se pueden escoger 5 deportistas de un total de 20.
C(20, 5) = 15 504
Se pueden formar 15 504 grupos donde todos son deportistas. c) ¿En cuántos grupos hay 3 que practican deportes colectivos?
Como hay 12 alumnos que practican deportes colectivos y el resto no, hay que calcular el número de formas en que se puede escoger 3 de esos 12 alumnos, y luego 2 de los restantes 18.
C(12, 3) × C(18, 2) = 33 660
Se pueden formar 33 660 grupos donde haya tres alumnos que practican deportes colectivos. d) ¿En cuántos de los grupos donde todos son deportistas hay 3 que practican deportes
colecti-vos?
Considerando sólo los grupos donde todos los alumnos son deportistas, hay 12 alumnos que practican deportes colectivos y el resto, 8, deportes individuales; se calcula entonces el nú-mero de formas en que se puede escoger 3 de esos 12 alumnos y luego 2 de los 8 restantes.
C(12, 3) × C(8, 2) = 6 160
De los grupos donde todos son deportistas, hay 6 160 grupos donde 3 practican deportes co-lectivos
e) ¿En cuántos grupos hay al menos un alumno que no practica deportes individuales?
Resulta más práctico calcular el número de grupos donde no haya ningún alumno que no practique deportes individuales (todos practican deportes individuales) y restarlo del total de grupos que se pueden formar.
C(30, 5) – C(8, 5) = 142 450
Se pueden formar 142 450 grupos donde al menos un alumno no practica deportes indivi-duales
5) Las letras a, b, b, c, d, d, d se distribuyen al azar. a) ¿Cuántos arreglos distintos pueden hacerse?
Considerando los 4 subgrupos que hay:
P(7; 1, 2, 1, 3) = 420
Se pueden hacer 420 arreglos distintos.
b) ¿En cuántos de estos arreglos las 3 letras “d” quedan juntas?
Si las 3 letras “d” quedan juntas, pueden considerarse como un solo elemento:
P(5; 1, 2, 1, 1) = 60
En 60 arreglos las 3 letras “d” quedan juntas.
6) ¿Cuántos números de tres cifras pueden formarse con los dígitos 1, 2, si se admite repetición?
N = 2 r = 3
N r = 23 = 8
1.3 Experimentos y eventos
Como ya se ha definido, un experimento es la reproducción controlada de un fenómeno. En Es-tadística sólo se consideran experimentos que se pueden representar mediante modelos probabilísticos. A los resultados de los experimentos se les denomina eventos, los cuales pueden ser simples o
compuestos. Los eventos compuestos pueden contener dos o más eventos simples.
1.4 Espacio
muestra.
Es la representación de todos los eventos posibles de un experimento. Esta representación puede ser gráfica o analítica, como se ve en los siguientes ejemplos.
1.5 Variable
aleatoria.
Es una función definida sobre un espacio muestra S, donde a cada evento del espacio muestra le corresponde un número real:
X(ei) = xi Una variable aleatoria puede ser:
Discreta: si el número de eventos posibles es finito o numerablemente infinito. Continua: si el número de eventos posibles es infinito (no numerable).
Dado un espacio muestra, se pueden definir varias variables aleatorias, como se verá en los si-guientes ejemplos.
Problemas resueltos
1) Un experimento consiste en lanzar 2 monedas. La moneda puede mostrar cara (C) o sello (S). El espacio muestra, que consta de 4 eventos simples, será:
S = {CC, CS, SC, SS}
Gráficamente, este espacio muestra se puede representar de dos formas (figura 1.1):
Figura 1.1. Representaciones de espacio muestra del lanzamiento de dos monedas
Un evento compuesto puede ser, por ejemplo, el resultado “una cara y un sello”: E = {CS, SC} Para el espacio muestra S se podrían definir las siguientes variables aleatorias:
X = Número de caras Cara Sello Cara Sello Cara Sello Primer lanzamiento Segundo lanzamiento Primer lanzamiento Segundo lanzamiento Cara Sello Cara Sello
Y = Número de sellos
Z = Número de caras – Número de sellos
W = 2(Número de caras) + (Número de sellos)2 …
etc.
En todos estos casos la variable aleatoria es discreta.
2) Un experimento consiste en lanzar 2 dados (o lanzar un dado dos veces).
El espacio muestra será en este caso: S = {(1, 1),(1, 2),...,(1, 6), ...,(6, 6)}. En la figura 1.2 se re-presenta gráficamente este espacio muestra.
Figura 1.2. Representación de un espacio muestra
Cada intersección de la figura 1.2 representa un evento simple. Hay, por lo tanto, 36 eventos simples, es decir, 36 posibles resultados.
Para este espacio muestra, la variable aleatoria se podría definir de las siguientes formas: X = suma de lo que muestran los dos dados.
Y = (Número que muestra el dado 1) – (Número que muestra el dado 2). … etc.
En todos estos casos la variable aleatoria es discreta.
3) Un experimento consiste en pesar el contenido de café de una bolsa extraída al final de un pro-ceso de llenado automático.
El espacio muestra será: S = {0,...,700}, suponiendo que las bolsas nunca pueden llegar a pesar más de 700 gr.
Gráficamente, este espacio muestra se representa en la figura 1.3.
Primer lanzamiento Segundo lanzamiento 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1
Figura 1.3. Representación del espacio muestra de una variable aleatoria continua.
En este caso la variable aleatoria es continua.
1.6 Probabilidad
Se distinguen tres tipos de probabilidad: a priori, experimental y subjetiva.
1.6.1. Probabilidad a priori:
Si observamos algunos espacios muestra nos daremos cuenta de que, en la mayoría de los casos, todos los eventos simples tienen la misma posibilidad de ocurrencia. Si cuantificamos estas posibilida-des, llamándoles probabilidaposibilida-des, de tal forma que la suma de éstas sea la unidad, se puede entonces definir la probabilidad de que ocurra un evento simple de la siguiente manera:
P(ei) = Número no negativo asociado al evento ei del espacio muestra S, de tal manera que: ∑ P(ei) = 1 y S = e1 ∪ e2 ∪ ... ∪ eN
Entonces, si, por ejemplo:
A = e1 ∪ e2 ∪ ... ∪ ek se deduce que:
P(A) = P(e1) + P(e2) + ... + P(ek)
N k N N N A P( )= 1 + 1 +...+ 1 =
De esta forma, se puede decir que la probabilidad de que ocurra un evento cualquiera es posible calcularla empleando la siguiente fórmula:
total eventos de n éxito eventos de n N k P ° ° = = Problemas resueltos:
1) Se lanza un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 5?
P = 1/6
2) Se lanzan dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener suma 5?
P = 4/36 = 1/9
¿...de obtener suma menor que 5?
P = (1 + 2 + 3)/36 = 6/36 = 1/6
3) Se lanzan dos monedas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras? Eventos posibles: {CC, CS, SC, SS} Eventos éxito: {CC}
P = 1/4
¿Cuál es la probabilidad de obtener sólo una cara?
P = (1 + 1)/4 = 2/4 = 1/2
4) En un lote de 100 pernos hay 4 defectuosos. Si un comprador escoge 20 pernos aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que se lleve 2 pernos defectuosos?
Peso (gr) 700
El comprador se lleva 2 pernos defectuosos, de un total de 4, y 18 pernos no defectuosos, de un total de 96. Entonces: 1531 , 0 ) 20 , 100 ( ) 18 , 96 ( ) 2 , 4 ( = = C C C P
Ahora, el lector debe estar en condiciones de contestar la siguiente pregunta: ¿cuál es la proba-bilidad de que el comprador se lleve al menos dos pernos defectuosos?
5) De una baraja completa de 52 cartas, se extrae una "mano" de 5 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener:
a) dos espadas, dos corazones y un diamante?
Hay que determinar el número de formas en que se pueden escoger 2 espadas de un total de 13, y luego 2 corazones de un total de 13 y luego un diamante de un total de 13.
0304 , 0 ) 5 , 52 ( ) 1 , 13 ( ) 2 , 13 ( ) 2 , 13 ( = = C C C C P
b) un póker? (cuatro cartas con la misma numeración o letra)
4 10 4 , 2 ) 5 , 52 ( ) 1 , 48 ( ) 1 , 13 ( − × = = C C C P 1.6.2. Probabilidad experimental
En algunas ocasiones, los posibles resultados de un experimento no tienen la misma probabili-dad de ocurrencia, lo cual dificulta la predicción de estas probabiliprobabili-dades.
Si un experimento de esta naturaleza se repitiera muchas veces, podríamos ver la frecuencia con que ocurrirían los posibles resultados. Mientras más veces se repita el experimento, las frecuencias re-lativas se aproximarán cada vez más a las verdaderas probabilidades de ocurrencia de cada uno de di-chos resultados. Entonces:
N f erimento el repite se que veces de n resultado un ocurre que con frecuencia P = ° = exp
En la práctica, la mayoría de las probabilidades sólo pueden determinarse por la vía experimen-tal. Si, por ejemplo, se quiere saber cuál es la probabilidad de que un foco funcione por lo menos las horas que especifica el fabricante, se tendrá que tomar una muestra grande de focos (N) y ver cuántos de éstos cumplen con dicha especificación (f). Cuanto más grande sea N, el cociente f / N se aproxima-rá más a la probabilidad requerida. Como se ve, la única forma de calcular una probabilidad de este tipo es mediante la experimentación.
En muchas situaciones no hace falta experimentar pues se cuenta con datos históricos suficien-tes. Por ejemplo, ¿cómo calcularía un pastelero la probabilidad de que la demanda de sus pasteles de manzana en un día sea de 10 a 15 unidades? Necesitaría datos de la demanda de N días, para determi-nar en cuántas ocasiones (f) la demanda fue de 10 a 15 unidades. La probabilidad será f / N.
Una probabilidad que ha sido calculada "a priori" puede verificarse, con cierta aproximación, repitiendo el experimento. Por ejemplo, si queremos comprobar que la probabilidad de obtener dos ca-ras y un sello, al lanzar tres monedas, es igual a 0,375; tenemos que lanzar las tres monedas una gran cantidad de veces. A continuación se muestra la frecuencia con que se obtuvo dicho resultado, luego de N lanzamientos.
Número de lanzamientos (N) 10 20 100 200 500 1 000 10 000 Frecuencia observada (f) 5 9 34 76 162 367 3 738 Probabilidad (f /N) 0,5 0,45 0,35 0,385 0,352 0,365 0,3724
Se puede concluir entonces que, conforme N crece, la frecuencia relativa o probabilidad experi-mental tiende al verdadero valor de la probabilidad. Esta tendencia se visualiza mucho más en el gráfi-co de la figura 1.4, donde la línea horizontal representa la probabilidad real: 0,375.
Figura 1.4. Tendencia de una probabilidad experimental 1.6.3 Probabilidad subjetiva
En muchas ocasiones se necesita determinar la probabilidad de que ocurra un fenómeno que es imposible repetir, o cuya repetición no tiene significado.
Por ejemplo, si se va a construir un puente en cierto lugar, ¿cómo determinar la probabilidad de que, a 10 m. de profundidad el terreno no sea arenoso sino de arcilloso? En este caso, la probabilidad de que ocurra dicho suceso no puede ser más que una medida subjetiva del grado de confianza que tenga un especialista para predecirlo. Si él opina que dicha probabilidad es de 0,25; estará expresando un grado de credibilidad de su juicio; pues el terreno será arcilloso o no, pero no será arcilloso en el 25% de las observaciones que se haga.
La precisión de una probabilidad subjetiva depende de la habilidad o conocimiento que tenga una persona para juzgar una determinada situación.
La probabilidad subjetiva también puede aplicarse a fenómenos repetitivos. Por ejemplo, un ins-pector que está revisando unos lotes de artículos producidos en una jornada, puede hacer caso omiso a su experiencia previa, y decidir revisar más artículos, porque tiene el presentimiento de que este día hay más artículos defectuosos de lo habitual.
Ahora que se entiende claramente el concepto de probabilidad, se ve que es correcto afirmar que
una probabilidad se puede interpretar como una proporción, como una fracción o como un por-centaje. Por ejemplo, si, en un supermercado, la probabilidad de elegir aleatoriamente a un cliente con un consumo mayor de $20, es 0,16; se puede afirmar que el 16% de los clientes gasta más de $20, o que la proporción de clientes que gasta más de $20 es 0,16.
1.7 Teoremas de probabilidad.
En este apartado se verán una serie de teoremas que son útiles, y en algunos casos indispensa-bles para calcular ciertas probabilidades.
1.7.1 Suma de probabilidades:
Sean A y B dos eventos definidos en el espacio muestra S. La probabilidad de que ocurra el evento A o el evento B, o ambos, es:
) ( ) ( ) ( ) (A B P A P B P A B P ∪ = + − ∩ donde: 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 10 100 1000 10000 f/N N
A S
A ∩ B
B B ∩ A’
P(A) representa la probabilidad de ocurra A, P(B) representa la probabilidad de ocurra B,
P(A ∪ B) representa la probabilidad de ocurra A o B, o ambos, y P(A ∩ B) representa la probabilidad de ocurran A y B conjuntamente.
Cuando dos o más eventos están definidos de tal manera que la ocurrencia de uno imposibilita la ocurrencia de los demás, se dice que son mutuamente excluyentes, y la probabilidad de que ocurran conjuntamente es entonces igual a cero.
Se puede deducir que, para dos eventos mutuamente excluyentes, por ejemplo Q y R:
Q = {e1,e2,e3} ; R = {e4,e5} ;
Es evidente que:
P(Q) = P(e1) + P(e2) + P(e3) P(R) = P(e4) + P(e5)
y por lo tanto:
P(Q ∪ R) = P(e1) + P(e2) + P(e3)+ P(e4) + P(e5) = P(Q) + P(R)
Si dos eventos A y B no son mutuamente excluyentes, como se muestra en el diagrama de Venn de la figura 1.5, se puede deducir que:
Figura 1.5. Eventos A y B no excluyentes
P(A ∪ B) = P(A) + P(B ∩ A')
P(B) = P(A ∩ B) + P(B ∩ A')
Sustituyendo P(B ∩ A') de la segunda ecuación en la primera, resulta:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) con lo que queda demostrado el teorema.
Ejemplo:
Se lanzan dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que se obtenga una suma igual a 10 ó una dife-rencia igual a 1?
Sean los eventos: A: suma igual a 10
B: diferencia igual a 1
Dado que A y B son mutuamente excluyentes (es fácil darse cuenta), se puede emplear la
si-guiente fórmula:
En el gráfico de la figura 1.6 se aprecia que los dos eventos compuestos: el evento A, represen-tado por círculos, y el evento B, represenrepresen-tado por aspas, son mutuamente excluyentes.
Figura 1.6. Eventos A y B mutuamente excluyentes
¿Y cuál será la probabilidad de obtener una suma igual a 8 ó una diferencia igual a 2? Sean los eventos: C: suma igual a 8
D: diferencia igual a 2
En el gráfico de la figura 1.7 se aprecian estos dos eventos compuestos: el C, representado por círculos, y el D, por aspas. Se puede apreciar que hay dos eventos simples que pertenecen a am-bos eventos C y D; se concluye entonces que los eventos C y D no son excluyentes.
Figura 1.7. Eventos C y D no mutuamente excluyentes
Dado que C y D no son mutuamente excluyentes:
P(C ∪ D) = P(C) + P(D) – P(C ∩ D) = 5/36 + 8/36 – 2/36 = 11/36 Primer lanzamiento Segundo lanzamiento 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 Primer lanzamiento Segundo lanzamiento 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1
El teorema de la suma se puede generalizar de la siguiente manera: la probabilidad de que ocurra el evento E1, o el evento E2, ..., o el evento EN, es:
) ... ( ... ... ) ( ) ( ) ( ... ) ( ) ( ) ... ( 2 1 2 1 2 1 N k j i j i N N E E E P E E E P E E P E P E P E P E E E P ∩ ∩ ± − ∩ ∩ ∑ + ∩ ∑ − + + + = ∪ ∪ Ejemplo:
Suponga que, en la ciudad de Piura, el 25 % de la población adulta lee el diario El Tiempo, el 40% lee el diario Correo, el 10% lee el diario República y el 25% restante lee otros diarios. Además, se sabe que el 10% lee El Tiempo y Correo, el 5% lee El Tiempo y República, el 5% lee El Tiempo y otros, el 8% lee Correo y otros, y el 3% lee El Tiempo, Correo y otros. Si se se-lecciona aleatoriamente un poblador, ¿cuál es la probabilidad de que lea Correo, El Tiempo u otros?
Aunque el diagrama de Venn de la figura 8 es suficiente para visualizar y determinar esta proba-bilidad, a continuación se hace el cálculo aplicando el teorema generalizado de la suma:
P(Correo ∪ El T. ∪ otros) = P(Correo) + P(El T.) + P(otros) – P(Correo ∩ El T.)
– P(Correo ∩ otros) – P(El T. ∩ otros) + P(Correo ∩ El T. ∩ otros) = 0,40 + 0,25 + 0,25 – 0,10 – 0,08 – 0,05 + 0,03 = 0,70
Dicha probabilidad se puede corroborar elaborando un diagrama de Venn, como el de la figura 1.8, e incluso se pueden calcular otras probabilidades con suma facilidad.
Figura 1.8. Diagrama de Venn del problema de los diarios. 1.7.2 Probabilidad condicional y regla de la multiplicación:
Sean dos eventos A y B:
) ( ) ( ) \ ( B P B A P B A P = ∩
donde P(A \ B) representa la probabilidad de que ocurra el evento A, dado que ha ocurrido el evento B, y se le denomina probabilidad condicional.
Ejemplo:
Se lanzaron dos dados y se sabe que la suma resultó igual a 8. ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia sea igual a 2?
Sean los eventos: A: diferencia igual a 2 B: suma igual a 8
Si la suma es 8, entonces el espacio muestra queda restringido a: SB = {(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}
por lo tanto, si de los 5 eventos posibles, se tendría éxito en 2 de ellos, (3, 5) y (5, 3): P(A\B)=2/5
Como se ve en la figura 1.7, el numerador "2" representa el número de veces en que pueden ocurrir A y B conjuntamente, y el denominador "5" representa el número de veces en que puede ocurrir B.
Entonces se puede deducir:
) ( ) ( / ) ( / ) ( ) ( ) ( B) \ ( B P B A P N B N N B A N B N B A N A P = ∩ = ∩ = ∩
Aplicando esta fórmula al problema, se tiene el mismo resultado:
5 2 36 / 5 36 / 2 B) \ (A = = P
De la definición de probabilidad condicional se puede deducir que: P(A ∩ B) = P(B) × P(A \ B)
P(A ∩ B) = P(A) × P(B \ A)
Estas expresiones resultan muy útiles para determinar una probabilidad conjunta, que usualmen-te es más difícil de deusualmen-terminar que la probabilidad condicional.
Ejemplo:
Una caja contiene 4 canicas blancas y 6 negras. Si se extraen dos aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que:
a) las dos sean blancas? Sean los eventos:
1B: canica blanca en la primera extracción 2B: canica blanca en la segunda extracción
P(1B ∩ 2B) = P(1B) × P(2B\1B) = (4/10) × (3/9) = 2/15 b) la primera sea blanca y la segunda negra?
Sea el evento 2N: canica negra en la segunda extracción
P(1B y 2N) = P(1B) × P(2N\1B) = (4/10) × (6/9) = 4/15 c) una sea blanca y la otra negra?
Sea el evento 1N: canica negra en la primera extracción
Hay dos formas excluyentes de obtener una canica blanca y una negra:
P = P(1B) × P(2N\1B) + P(1N) × P(2B\1N) = 4/15 + 4/15 = 8/15
Sean los eventos E1, E2,..., EN ; se puede generalizar la regla de la multiplicación:
) ... \ ( ... ) \ ( ) E \ ( ) ( ) ... (E1∩E2∩ EN =P E1 ×P E2 1 ×P E3 E1∩E2 × ×P EN E1∩E2∩ EN−1 P
En el primer miembro se expresa la probabilidad de que ocurran conjuntamente los eventos E1, E2,..., EN. Si la probabilidad de que ocurran estos N eventos, en cualquier orden, es siempre la misma; entonces esa probabilidad se puede obtener multiplicando P(E1∩E2∩...EN) por el número de for-mas en que se pueden permutar los N eventos.
Ejemplo 1:
En un lote de 100 pernos hay 4 defectuosos. Si un comprador escoge 20 pernos aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que se lleve 2 pernos defectuosos? (Esta probabilidad a priori ya fue calculada en el ejemplo 4 del apartado 1.6.1).
Si el comprador se lleva 2 pernos defectuosos, de un total de 4; se llevará también 18 pernos no defectuosos, de un total de 96. 1531 , 0 ! 18 ! 2 ! 20 81 79 ... 96 94 97 95 98 96 99 3 100 4 × = × × × × × × = P Ejemplo 2:
De una baraja completa de 52 cartas, se extrae una "mano" de 5 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener: (Estas probabilidades ya fueron calculadas en el ejemplo 5 del apartado 1.6.1). a) dos espadas, dos corazones y un diamante?
0304 , 0 ! 1 ! 2 ! 2 ! 5 48 13 49 12 50 13 51 12 52 13 = × × × × × = P b) un póker? 00024 , 0 ! 1 ! 4 ! 5 48 48 49 1 50 2 51 3 52 52 = × × × × × = P 1.7.3 Eventos independientes
Se dice que dos eventos A y B son independientes, si la ocurrencia (o no ocurrencia) de uno de ellos no influye en la ocurrencia (o no ocurrencia) del otro. Es decir:
P(A \ B) = P(A) y P(B \ A) = P(B)
Si se cumple una de estas dos ecuaciones, también se verifica la otra. Por ejemplo, si:
P(A \ B) = P(A) Entonces: P(B) A) \ ( ) ( ) ( ) ( ) ( P A P B B P B A P A P = ∩ = × Por lo tanto:
P(B \ A) = P(B), tal como se quería demostrar.
Finalmente se concluye que, para que dos eventos sean mutuamente independientes, es condi-ción necesaria y suficiente que:
P(A ∩ B) = P(A) P(B)
Inversamente, si dos eventos A y B son mutuamente independientes, entonces es válida la ecua-ción anterior.
Generalizando, la probabilidad de que ocurran conjuntamente N eventos independientes es:
P(E1 ∩ E2 ∩ ... ∩ EN) = P(E1) P(E2)...P(EN)
Problemas resueltos:
1) Una fábrica elabora los productos A, B, C y D mediante cuatro procesos que son independientes entre sí. Usualmente son defectuosos el 3%, 5%, 5% y 4% de los productos A, B, C y D respec-tivamente. Si se extrae aleatoriamente un producto de cada tipo, ¿cuál es la probabilidad de que:
a) los cuatro sean defectuosos? 6 10 3 04 , 0 05 , 0 05 , 0 03 , 0 × × × = × − = P
b) A y B sean defectuosos, y C y D no lo sean?
3 10 368 , 1 96 , 0 95 , 0 05 , 0 03 , 0 × × × = × − = P
2) De una ciudad donde fuman el 30% de los ciudadanos mayores de edad, se toma una muestra de 6 de ellos. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de ellos fumen?
Se calcula la probabilidad de que los tres primeros fumen y los tres últimos no fumen, y se mul-tiplica por el número de formas en que se pueden ordenar tres fumadores y tres no fumadores.
1852 , 0 ! 3 ! 3 ! 6 7 , 0 7 , 0 7 , 0 3 , 0 3 , 0 3 , 0 × × × × × × = = P
3) Un sistema consta de seis relés que están conectados en serie y en paralelo, tal como se muestra en la siguiente figura 1.9.
Figura 1.9. Relés conectados en serie y paralelo
La probabilidad de que cada relé esté cerrado es 0,90. Si los relés funcionan independientemen-te, ¿cuál es la probabilidad de que pase la corriente de A a B?
Sea Ci el evento: cerrado el i-ésimo relé. Para que pase la corriente de A a B debe pasar por el relé 1, luego por el relé 2 ó por el relé 3, y luego por los relés 4 y 5 ó por el relé 6. Por lo tanto:
P = P[C1 ∩ (C2 ∪ C3) ∩ [(C4 ∩ C5) ∪ C6 ] ]
La probabilidad de que la corriente pase por 2 ó 3 (o por ambos) se puede calcular fácilmente como: 1 – P(no pase por 2 ni 3). De la misma forma se puede calcular la probabilidad de que pase por 4 y 5, o por 6, como se muestra a continuación:
P = (0,90)[1 – (0,10)(0,10)][1 – (1 – 0,90×0,90)(0,10)] = 0,874
4) Una persona lanza dos dados indefinidamente hasta obtener una suma igual a 2. ¿Cuál es la pro-babilidad de que sea necesario realizar un quinto lanzamiento?
Para que sea necesario realizar el quinto lanzamiento, en los 4 primeros no debe haber salido suma igual a 2. Por lo tanto:
P = (35/36)4 = 0,893
1.7.4 Teorema de suma y multiplicación: particiones
Sean los eventos E1, E2, E3 ... ,EN una partición del espacio muestra S, es decir, todos mutua-mente excluyentes, de tal forma que la unión de todos conformen el espacio muestral S. Sea además un evento E, perteneciente a S, como se muestra (sombreado) en la figura 1.10.
Entonces podemos decir:
P(E) = P(E ∩ S) = P [E ∩ (E1 ∪ E2 ∪ ... ∪ EN)] P(E) = P(E ∩ E1) ∪ P(E ∩ E2) ∪ ... ∪ P(E ∩ EN)
P(E) = P(E1)P(E \ E1) + P(E2)P(E \ E2) + ... + P(EN)P(E \ EN) P(E) = ∑ P(Ei)P(E \ Ei)
2 6 5 3 4 1 A B
Figura 1.10. Particiones de S. Ejemplo 1:
Una empresa produce un componente mecánico. De la experiencia adquirida se ha determinado que el 10% de la producción es defectuosa. La producción es sometida a un control de calidad que acepta con una precisión del 95% los componentes que realmente son buenos, y rechaza con una precisión del 85% los componentes que realmente son defectuosos. Determine la pro-babilidad de que un componente sea aceptado.
Sean:
P(B) = 0,90 = probabilidad de que un componente sea bueno P(D) = 0,10 = probabilidad de que un componente sea defectuoso P(A) = probabilidad de que un componente sea aceptado
P(R) = probabilidad de que un componente sea aceptado P(A \ B) = 0,95 ; P(R \ B) = 0,05
P(A \ D) = 0,15 ; P(R \ D) = 0,85
En la figura 1.11 se representa un diagrama de árbol donde se ve que un componente puede ser aceptado de dos formas (mutuamente excluyentes): siendo bueno o siendo defectuoso.
Figura 1.11. Diagrama de árbol del problema de los componentes mecánicos
En la figura 1.12 se representa el mismo problema mediante un diagrama de Venn. En este caso la probabilidades son representadas como porcentajes. El área sombreada representa el porcen-taje de componentes mecánicos que han sido aceptados en el control de calidad, ya sean com-ponentes buenos o defectuosos. Si el 95% de los comcom-ponentes buenos son aceptados, se deduce que el porcentaje de componentes aceptados y buenos será el 95% del 90%. Si el 15% de los componentes defectuosos son aceptados, se deduce que el porcentaje de componentes aceptados
Bueno Defectuoso Aceptado Aceptado Rechazado Rechazado 0,9 0,1 0,95 0,05 0,15 0,85
y defectuosos será el 15% del 10%. El porcentaje de componentes aceptados será entonces la suma de 95×90/100 + 15×10/100, es decir 87%.
Figura 1.12. Diagrama de Venn del problema de los componentes mecánicos
Aplicando el teorema de suma y multiplicación se llega a la misma respuesta:
P(A) = P(B)P(A \ B) + P(D)P(A \ D) P(A) = (0,90)(0,95) + (0,10)(0,15) = 0,87
Es decir, el 87% de los componentes mecánicos son aceptados por el control de calidad. Otra forma de visualizar este problema, expresando las probabilidades como porcentajes, se
muestra en la siguiente tabla, donde se resaltan los datos del problema.
Aceptado Rechazado Total
Bueno 0,95 × 90 = 85,5 0,05 × 90 = 4,5 90 Defectuoso 0,15 × 10 = 1,5 0,85 × 10 = 8,5 10 Total 85,5 + 1,5 = 87 4,5 + 8,5 = 13 100
La probabilidad de que el componente sea aceptado o de que sea rechazado puede calcularse sumando las columnas correspondientes.
Ejemplo 2:
Un método muy empleado por investigadores estadísticos para obtener información es el de efectuar encuestas personales. A menudo resulta importante investigar sobre temas muy perso-nales, que pondrían en aprietos al sujeto encuestado, ocasionando que dé respuestas falsas o que no conteste, deformando así los resultados de la encuesta. Para aminorar este problema, Warner ideó la "Técnica de la respuesta aleatoria", que permite que el encuestado escoja al azar una de dos preguntas: la pregunta personal, motivo de la encuesta, o una pregunta de control. Así, sólo él sabrá qué pregunta contestó en realidad, y se mantiene su privacidad. Por ejemplo, supóngase que se desea estimar el porcentaje de alumnos secundarios de una ciudad que no resuelven por su cuenta las tareas para la casa. Se hacen 1000 encuestas con las siguientes instrucciones: An-tes de conAn-testar lance una moneda: si sale cara conAn-teste la pregunta A, y si sale sello conAn-teste la pregunta B. Sólo conteste SÍ o NO.
A: ¿resuelve usted las tareas para la casa por su cuenta? B: ¿nació su padre en enero, febrero, marzo, abril o mayo?
Supóngase que, una vez efectuadas las encuestas, hay 455 respuestas afirmativas y 545 negati-vas. ¿Qué porcentaje de alumnos no resuelve por su cuenta las tareas para la casa? Esto equivale a calcular la probabilidad de que un alumno no resuelva por su cuenta las tareas para la casa.
Sean: P(NO) = probabilidad de contestar NO a cualquiera de las dos preguntas.
P(A) = probabilidad de que al alumno conteste la pregunta A (que obtenga cara). P(B) = probabilidad de que al alumno conteste la pregunta B (que obtenga sello).
Buenos 90% Defectuosos 10% Aceptados Rechazados 95% 15% 85% 5%
Considerando que se puede contestar NO de dos formas diferentes (a las dos preguntas), mu-tuamente excluyentes, se plantea:
P(NO) = P(A)P(NO \ A) + P(B)P(NO \ B)
0,545 = (0,5)P(NO \ A) + (0,5)(7/12)
P(NO \ A) = 0,5067
En la figura 1.13 se traza un diagrama de árbol que nos permite visualizar con suma facilidad el planteamiento anterior.
Figura 1.13. Diagrama de árbol del problema de las encuestas
Se concluye que, aproximadamente, el 50,67 % de los alumnos secundarios de la ciudad no re-suelve por su cuenta las tareas para la casa.
De la misma forma que con el problema anterior, se puede plantear la siguiente tabla:
SI NO Total
A 455 – 208,33 = 246,67 545 – 291,67 = 253,33 500 B 5/12 × 500 = 208,33 7/12 × 500 = 291,67 500
Total 455 545 1000
Como se ve, los datos de la primera fila pueden obtenerse restando los de la segunda fila del to-tal. Se deduce entonces que la probabilidad de contestar NO, dado que se trata de la pregunta A es: 253,33/500 = 0,5067. Esto equivale a decir que 50.67 % de los alumnos secundarios de la ciudad no resuelve por su cuenta las tareas para la casa
Ejemplo 3:
Supóngase que el 35% de los alumnos de una universidad que estudian una carrera de ciencias provienen de los estratos socioeconómicos A y B, y que el 55% de los que no estudian una ca-rrera de ciencias también provienen de los estratos socioeconómicos A y B. Si el 40% de los alumnos estudian una carrera de Ciencias, ¿qué porcentaje de alumnos provienen de los estratos socioeconómicos A y B?
Sean: P(A y B) = probabilidad de un alumno provenga de los estratos A y B.
P(C) = probabilidad de que un alumno estudie Ciencias.
P(N) = probabilidad de que un alumno no estudie Ciencias.
) \ ( ) ( ) \ ( ) ( ) (AyB P C P AyB C P N P AyB N P = × + × = 0,40 × 0,35 + 0,60 × 0,55 = 0,47
Por lo tanto, el 47% de los alumnos provienen de los estratos socioeconómicos A y B.
El lector estará ahora en condiciones de completar la siguiente tabla para calcular la probabili-dad o porcentaje requerido:
A B SI SI NO NO 0,5 0,5 ? ? 5/12 7/12
C N Total A y B
No A y B
Total 40 60 100
Aunque no haga falta para contestar la pregunta del problema, se podría completar también la segunda fila de la tabla. Como ya se ha calculado previamente, el porcentaje de alumnos que provienen de los estratos A y B debe resultar 47%.
1.7.5 Teorema de Bayes
Dada la misma partición conformada por los eventos E1, E2, ... ,EN; y el evento E, comentados en el teorema de suma y multiplicación, se puede deducir fácilmente:
) ( ) ( ) \ ( E P E E P E E P k k ∩ = ) \ ( ) ( ) \ ( ) ( ) \ ( i i k k k P E P E E E E P E P E E P Σ =
Se trata de una probabilidad condicional, que incluye las reglas de suma y multiplicación de probabilidades. Tiene mucha importancia pues ha servido para desarrollar la inferencia o estimación bayesiana, que, mediante el empleo de datos experimentales llega a estimar probabilidades subjetivas con buena precisión.
Ejemplo 1:
Suponga que el concesionario de la cafetería de la UDEP está tratando de reducir el número de clientes no pagan sus cuentas al final del año. Él está dispuesto a cancelarles el crédito a los clientes que se demoren más de una semana en los pagos que deben realizar a fin de cada mes. El concesionario ha visto en sus archivos que, de todos los clientes que finalmente no pagaron sus cuentas al final del año, el 95% se habían demorado más de una semana en sus pagos men-suales. Además, sabe que el 4% de los clientes que tienen crédito no pagan su cuenta, y que, de los que sí pagan su cuenta a fin de año, el 35% se ha demorado alguna vez más de una semana. Determine la probabilidad de que un cliente que se ha demorado alguna vez más de una semana en sus pagos mensuales, no pague su cuenta al final del año.
Los datos de este problema se pueden interpretar de la siguiente forma: P(No pague) = 0,04; P(Sí pague) = 0,96
P(Haya demorado \ No pagó) = 0,95 ; P(No haya demorado \ No pagó) = 0,05 P(Haya demorado \ Sí pagó) = 0,35 ; P(No haya demorado \ Sí pagó) = 0,65 La probabilidad de que un cliente no pague, dado que se demoró será:
= ∩ = ) ( ) ( ) / ( Demore P Demore pague No P Demoró pague No P ) \ ( ) ( ) \ ( ) ( ) \ ( ) ( pagó No Demore P pague No P pagó Sí Demore P pague Sí P pagó No Demore P pague No P + = 1016 , 0 374 , 0 038 , 0 95 , 0 04 , 0 35 , 0 96 , 0 95 , 0 04 , 0 = = × + × × =
La probabilidad de que un cliente que se ha demorado alguna vez más de una semana en sus pa-gos mensuales no pague su cuenta al final del año es 0,1016. O sea que el 10,16% de los moro-sos no pagan al final su cuenta.
Nuevamente, se puede plantear este problema mediante una tabla, como la que se completa a continuación:
Demore No demore Total Pague 0,35 × 96 = 33,6 0,65 × 96 = 62,4 96 No pague 0,95 × 4 = 3,8 0,05 × 4 = 0,2 4 Total 33,6 + 3,8 = 37,4 62,4 + 0,2 = 62,6 100
Por lo tanto, la probabilidad de que un cliente que se ha demorado alguna vez más de una sema-na en sus pagos no pague su cuenta al fisema-nal del año es: 3,8/37,4 = 0,1016.
Ejemplo 2:
Con los datos del ejemplo 1 del apartado 1.7.4, determine la probabilidad de que un componente que ha sido aceptado sea bueno.
9827 , 0 87 , 0 855 , 0 87 , 0 95 , 0 90 , 0 ) ( ) / ( ) ( ) / ( = = × = = A P B A P B P A B P
Antes del control de calidad se tenía una certeza del 90% de producir un componente no defec-tuoso. Después del control de calidad, se tiene una certeza del 98,27% de escoger un componen-te no defectuoso.
Este mismo resultado se puede obtener a partir de la tabla que se elaboró en el problema 1 del apartado 1.7.4. Verifique el lector este resultado.
Ejemplo 3:
Una persona tiene dos dados: uno normal que marca 1,2,3,4,5,6 en sus caras y otro anormal que marca 2,2,4,4,6,6 en sus caras. Si se escoge un dado al azar, se lanza dos veces y en las dos oca-siones se obtiene un número par, ¿cuál es la probabilidad de que el dado escogido sea el anor-mal? 0,8 1 5 , 0 25 , 0 5 , 0 1 5 , 0 ) , ( ) / , ( ) ( ) , / ( = × + × × = = par par P Anormal par par P Anormal P par par Anormal P
donde: P(par, par) = P(Anormal) P(par, par / Anormal) + P(Normal) P(par, par / Normal)
Como era de esperarse, en vista del resultado de los dos lanzamientos, es más probable que el dado escogido haya sido el dado anormal: 0,8 > 0,5.
Problemas propuestos.
1. Carmen y Mario lanzan 3 y 4 monedas, respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que Mario obtenga exactamente el doble de sellos que Carmen?
2. Un comerciante quiere comprar un lote de 25 piñas, y decide comprarlo solamente si al seleccio-nar 3 aleatoriamente, ninguna está malograda. Supóngase que realmente hay 4 piñas malogradas (el comerciante no lo sabe), ¿cuál es la probabilidad de que no compre el lote?
Respuesta: 0,4217
3. José, Bruno y Mónica lanzan sucesivamente una moneda. Si el primero en obtener cara gana el juego:
a) ¿Cuáles son las respectivas probabilidades de ganar el juego si cada uno lanza sólo una vez? Respuesta: P(gane José) = 1/2
P(gane Bruno) = 1/4 P(gane Mónica) = 1/8
b) ¿Cuáles son sus respectivas probabilidades de triunfo si, en caso sea necesario, el juego conti-núa hasta un máximo de dos lanzamientos para cada uno?
Respuesta: P(gane José) = 9/16 P(gane Bruno) = 9/32 P(gane Mónica) = 9/64
4. Supóngase que, en Piura, la probabilidad de que un día sea nublado es 1/18 en verano y 5/54 en cualquier otra estación. ¿Qué porcentaje de días del año se espera que sean nublados?
5. Se extraen aleatoriamente k boletos premiados de una urna que contiene n boletos enumerados 1, 2, ..., n. Determine la probabilidad de que:
a) El número premiado más alto sea el r.
b) El número premiado más alto sea el r y el más bajo sea el s.
AYUDA: Primero resuelva ambos apartados para n = 10; k = 5; r = 8; s = 2.
6. Suponga que hay tres semáforos entre la casa de Quique y la UDEP. Al llegar a cada uno de ellos, éstos pueden estar en rojo (R) o verde (V). Considérese que el ámbar dura un tiempo despreciable. Quique ha verificado que, en el primer semáforo, el rojo dura tanto como el verde; pero en el se-gundo, el rojo dura el doble que el verde; y en el tercero, el verde dura el doble que el rojo. ¿Cuál es la probabilidad de que en el siguiente viaje a la UDEP:
a) Tenga que parar por exactamente una luz roja? Respuesta: 7/18
b) Tenga que parar al menos por una luz roja? Respuesta: 8/9
7. Cuatro canicas A, B, C, D, se pueden colocar en cinco vasijas numeradas del 1 al 5. Por ejemplo, A1,B2,C3,D1 significa que A está en la vasija 1, B en la vasija 2, C en la 3 y D en la 1. ¿De cuán-tas formas se pueden colocar las 4 canicas en las 5 vasijas, si en cada una caben hasta:
a) 4 canicas? Respuesta: 625 b) 3 canicas? Respuesta: 620
8. Se eligen 5 cartas de una baraja completa de 52. La baraja está conformada por cuatro “palos” (co-razones, espadas, tréboles y cocos) y por trece denominaciones (1, 2, ..., 13). ¿Cuál es la probabi-lidad de que:
a) Todas las cartas sean del mismo palo? b) Haya dos “1” y tres “13”?
d) Todas las cartas sean de distintas denominaciones?
9. En el curso de Estadística hay 5 alumnos del IV ciclo, 34 del V, 21 del VI, 5 del VII y 2 del VIII. Si se eligiera un comité de 5 personas, ¿cuál es la probabilidad de que:
a) todos los ciclos estén representados en el comité? Respuesta: 0,00369
b) sólo el VI ciclo tenga miembros en el comité? Respuesta: 0,0021
10. Una familia tiene 5 hijos. Suponiendo que la probabilidad de que un hijo sea varón o mujer es la misma, determine la probabilidad de que:
a) Los 5 sean del mismo sexo. Respuesta: 1/16
b) Cuatro sean varones. Respuesta: 0,15625
11. Se extraen tres cartas de una baraja. Determine la probabilidad de que: a) Las tres sean de distinta figura.
Respuesta: 0,3976
b) Al menos dos números sean iguales. Respuesta: 0,171764
12. Una urna contiene canicas numeradas 1, 2, ..., n. Si se escogen dos canicas al azar, ¿cuál es la pro-babilidad de que los dos números sean consecutivos? Nota: Puede resolver este problema de dos formas: dividiendo eventos éxito entre eventos totales o aplicando algún teorema.
13. Se lanzan tres monedas, y, si se obtienen 2 caras y un sello, se extraen dos canicas, aleatoriamente, de una urna que contiene canicas numeradas del 1 al 100. Si las tres monedas muestran el mismo resultado (tres caras o tres sellos), se extraen dos canicas, de otra urna que contiene canicas nume-radas del 1 al 50. ¿Cuál es la probabilidad de que se extraigan dos canicas que muestren dos núme-ros consecutivos?
Respuesta: 7/400
14. Una persona elige 10 números de una lista de números del 1 al 80. Luego, de una urna donde hay 80 canicas enumeradas del 1 al 80, se extraen 20 canicas. ¿Cuál es la probabilidad de que en la se-gunda extracción no se extraiga ninguno de los 10 números elegidos al principio?
15. Una caja contiene nueve etiquetas numeradas consecutivamente del 1 al 9. Si se extraen dos de estas etiquetas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sumen 8?
16. Dos amigos compraron pasajes para viajar en un pequeño ómnibus. El ómnibus consta de 48 asientos, en filas de 4, con 24 asientos al lado izquierdo y 24 al lado derecho. Si los asientos fue-ron asignados aleatoriamente, determine la probabilidad de que los dos amigos,
a) Se sienten en el mismo lado. Respuesta: 0,48936 b) Se sienten en la misma fila. Respuesta: 0,06383
c) Se sienten juntos (uno al lado del otro o uno detrás del otro). Respuesta: 0,06028
17. Hay 8 amigos solteros y la probabilidad de que cualquiera de ellos se case en los próximos 15 años es 1/4. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno se case?
Respuesta: 0,8999
18. ¿De cuántos modos puede dividirse una tarea de 10 ejercicios, en dos tareas de 5 ejercicios cada una?
19. Una persona compra un boleto de la LOTTO todas las semanas. Siempre apuesta a los mismos 6 números, seleccionados entre los enteros del 1 al 36. Para ganar, los seis números seleccionados deben coincidir con los que se escogen al azar en una urna. Determine:
a) El tamaño del espacio muestra.
b) La probabilidad de que gane en una semana particular.
c) La probabilidad de que gane en cada una de las próximas tres semanas.
d) La probabilidad de que gane por lo menos una vez durante las próximas 52 semanas.
20. La empresa CRAG S.A. es demandada por supuesta violación de patente sobre el proceso de ma-nufactura de un producto. El asesor de la empresa, que es un ingeniero industrial que sabe de mé-todos cuantitativos para la toma de decisiones, ha hecho el diagnóstico de este problema emplean-do un árbol de decisiones. Dentro de su análisis estima que la probabilidad de ganar un juicio es X, y que la probabilidad de perder es 1 – X. Si CRAG S.A. gana el juicio, los demandantes pueden apelar o no, con probabilidades 0,90 y 0,10 respectivamente. Si pierde el juicio, estima que CRAG S.A. puede apelar o no, con probabilidades de 0,20 y 0,80 respectivamente. Además, estima que quien gana el juicio tiene 0,75 de probabilidad de ganar la apelación correspondiente.
a) Si la probabilidad de ganar el juicio (X) es 0,40, ¿Cuál es la probabilidad de ganar el litigio? Respuesta: 0,34
b) Si la probabilidad de ganar el litigio fuese 0,10, ¿Cuál sería entonces la probabilidad de ganar el juicio (X)?
Respuesta: 0,069
c) ¿Cuál es la máxima probabilidad de ganar el litigio? Respuesta: 0,775
21. Un estudiante de Ingeniería ha estimado que en 4 horas puede estudiar un tema para el examen del día siguiente. Comienza a estudiar a las 8 p.m. con el riesgo de que haya un "apagón" en cualquier momento. ¿Cuál es la probabilidad de que, como consecuencia de un "apagón", lo que le falte es-tudiar sea menos de la quinta parte de lo que haya estudiado? Asuma que el apagón puede ocurrir en cualquier instante debido a problemas con el generador.
Respuesta: 1/6
22. Los compradores de grandes volúmenes de mercancías utilizan el muestreo de aceptación para ca-lificar las mercancías que compran. Los lotes de mercancías son rechazados o aceptados con base en los resultados obtenidos al inspeccionar una muestra del lote. Suponga que un inspector de una planta procesadora de alimentos ha aceptado el 97% de los lotes que son de calidad “buena”, y ha rechazado, incorrectamente, 3% de lotes que eran de calidad “buena”. Además se sabe que el ins-pector acepta el 95% de todos los lotes y que sólo el 3% de los lotes son de “calidad mala”. En-cuentre la probabilidad de que:
a) un lote sea de calidad “buena” y que además sea aceptado. Respuesta: 0,9409
b) un lote sea de calidad “mala” y que sea aceptado. Respuesta: 0,0091
c) un lote de calidad “mala”sea aceptado. Respuesta: 0,3033
23. Una persona lanza un dado cuyas seis caras muestran: un "1", dos "2" y tres "3". Si obtiene "1" en el primer lanzamiento, gana el juego. Si no obtiene "1" puede seguir lanzando el dado y gana si repite el resultado del primer lanzamiento. Si obtiene "1" antes de repetir el resultado del primer lanzamiento, pierde el juego. ¿Cuál es la probabilidad de ganar? Nota: Puede ser útil la siguiente fórmula: 1 + x + x2 + x3 + ... = 1/(1 – x), si 0 < x < 1.
Respuesta: 0,76388.
24. Una caja contiene 9 etiquetas numeradas consecutivamente del 1 al 9. Si se extraen dos de estas etiquetas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sean consecutivas o sumen ocho?
25. En un conocido juego con dados (timba) el jugador participante lanza dos dados. Si obtiene suma siete, gana. Si no, debe seguir lanzando hasta obtener el mismo resultado del primer lanzamiento, antes de que salga siete. Si sale siete antes de conseguir el mismo resultado del primer lanzamien-to, pierde.
a) Si el jugador obtiene suma cuatro en el primer lanzamiento. ¿Qué probabilidad tiene de ganar? Respuesta: 1/3
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el jugador obtenga suma tres en el primer lanzamiento, y lue-go pierda el juelue-go?
Respuesta: 1/24
26. Una urna contiene cuatro canicas enumeradas del 1 al 4. Si se extraen sucesivamente las canicas, una por una, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de los números extraídos coincida con el orden de extracción de la canica? (Por ejemplo, que la tercera canica tenga el número 3) Respuesta: 15/24
27. En un examen de Estadística sólo hay que contestar verdadero (V) o falso (F), para cada una de las cinco preguntas
a) ¿De cuántas formas se puede contestar el examen?
b) Si contestase al azar, ¿cuál sería la probabilidad de contestar todas bien?
c) Si un alumno estima que la probabilidad de que conteste bien cada pregunta es 2/3, ¿cuál será la probabilidad de que conteste bien al menos cuatro preguntas?
28. Diga si se trata de una probabilidad a priori, experimental o subjetiva:
a) Probabilidad de que haya empate entre los dos candidatos a la presidencia de un comité. Respuesta: Subjetiva.
b) Probabilidad de que una lata de conservas de pescado contenga algún objeto extraño. Respuesta: Experimental.
c) Probabilidad de que dentro de tres años ocurra el fenómeno de El Niño. Respuesta: Subjetiva
d) Probabilidad de que encontremos un semáforo en rojo. Respuesta: A priori.
29. En una urna hay siete esferas, que tienen marcadas las siguientes letras: C, A, L, C, U, L, O. Si se extraen, una por una, las siete esferas, y se van colocando de izquierda a derecha, ¿cuál es la pro-babilidad de que se forme la palabra CALCULO?
Respuesta: 7,94 × 10–4
30. Un vendedor estima que la probabilidad de venderle a un cliente en su primera visita es 0,4, pero que aumenta a 0,55 en la segunda visita, si en la primera no efectuó la venta. Calcule la probabili-dad de que:
a) El vendedor venda a un cliente b) El cliente no compre
31. En una urna se colocan n esferas blancas numeradas 1, 2, ..., n; y n esferas rojas numeradas 1, 2, ..., n. Si se extraen luego dos esferas aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que:
a) Sean blancas y consecutivas? b) Sean blancas o consecutivas? c) Sean consecutivas de distinto color?
32. En una urna hay seis canicas blancas y seis negras. Se escogen nueve de éstas aleatoriamente y se colocan en tres filas. Determine la probabilidad de que:
a) en cada fila haya sólo un color.
33. Una tabla para jugar está conformada por 15 casilleros. En 11 de éstos se encuentran las letras de la palabra ESTADISTICA y los 4 restantes están en blanco. Un jugador debe escoger, descono-ciendo lo que hay en cada casillero, casillero por casillero, hasta que conforme la palabra ESTA-DISTICA, sin importar el orden. Por cada casillero en blanco que se escoja, al jugador se le quita $20 de los $60 que le dan inicialmente. ¿Cuál es la probabilidad de que el jugador:
a) Gane $60 Respuesta: 1/1365 b) Gane $40 Respuesta: 11/1365 c) Gane $20 Respuesta: 66/1365 d) No gane Respuesta: 286/1365 e) Pierda $20 Respuesta: 1001/1365
34. ¿De cuántas formas puede un sindicato elegir entre sus 30 miembros a: un presidente, un vicepre-sidente, un secretario y tres vocales?
Respuesta: de 71 253 000 formas
35. Se lanza una moneda cuya probabilidad de que el resultado sea cara es 2/3. Si aparece cara, se ex-trae una canica de una urna que contiene dos rojas y tres verdes. Si el resultado es sello, se exex-trae una canica de otra urna que contiene dos rojas y dos verdes. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una canica roja?
36. De una baraja completa de 52 cartas se extrae una mano de 5 cartas al azar. ¿Cuál es la probabili-dad de obtener una escalera? (5 números consecutivos).
37. Suponga que en una región se ha determinado que en un año lluvioso llueve aproximadamente el 50% de los días del año y en un año no lluvioso llueve aproximadamente el 25% de los días del año. Un agricultor quiere tomar las previsiones del caso y, transcurrida la primera semana del año, se percata de que ha llovido 2 días. ¿Cuál es la probabilidad de que se trate de un año no lluvioso? Supóngase que el 40% de los años son considerados lluviosos.
Respuesta: 0,7402
38. Se lanzan cinco monedas. Determine la probabilidad de que: a) El número de caras exceda al número de sellos en 2 ó más. b) Los 5 resultados sean iguales.
39. Suponga que se escribe aleatoriamente un número de 4 dígitos (se permiten dígitos repetidos). ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ningún dígito repetido?
40. En una urna hay 15 canicas blancas y seis negras. Se extrae una canica y luego otra hasta que ésta sea negra. Determine la probabilidad de que haya que realizar una cuarta extracción, si:
a) Las canicas se extraen sin sustitución. b) Las canicas se extraen con sustitución.
41. Se sabe que el veredicto dado por un jurado es un 90% confiable cuando el sospechoso es culpable y un 98% confiable cuando es inocente. En otras palabras, declara inocente al 10% de los culpa-bles y declara culpable al 2% de los inocentes. El sospechoso se selecciona entre un grupo de per-sonas, de las cuales sólo el 5% ha cometido un delito alguna vez. Si el jurado lo declara culpable, ¿cuál es la probabilidad de que esa persona sea inocente?
Respuesta: 0,2969
42. Una urna contiene 3 canicas blancas y 5 negras. Si se extraen canicas al azar, una por una, hasta que no quede ninguna, ¿cuál es la probabilidad de que las dos últimas canicas sean negras?
Respuesta: 0,357
43. Doce estudiantes se disponen a sentarse en una sola fila, al azar. Si dos de ellos son hermanos, ¿Cuál es la probabilidad de que no se sienten juntos?
Respuesta: 5/6
44. Una asociación consiste en 14 miembros. Seis de los miembros son varones y los otros ocho miembros son mujeres. Ellos desean seleccionar un comité de tres hombres y tres mujeres. ¿De cuántas maneras puede seleccionarse este comité si :
a) no hay restricciones?
b) dos de los hombres se rehúsan a estar juntos en el comité si el otro está?
c) uno de los hombres y una de las mujeres rehúsan estar juntos en el comité si el otro está? d) Ana sólo participará en el comité si Juana también participa?
e) el comité debe tener un presidente y un secretario y estos dos oficiales deben ser del mismo sexo?
45. ¿De cuántas maneras se puede formar un equipo de fulbito que debe estar compuesto por cuatro jugadores novatos y dos veteranos, a partir de un grupo de diez novatos y cinco veteranos, si todos ellos pueden jugar en cualquier posición?
46. Un jugador lanza un dado y gana un juego si obtiene 5 ó 6. Si lanza varias veces seguidas hasta que gane dos veces.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que necesite hacer un mínimo de 5 intentos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que gane al menos dos veces en más de 4 intentos?
47. Una compañía procesadora de alimentos está considerando implantar una nueva línea de almuer-zos instantáneos. Las estimaciones actuales indican una probabilidad de gran éxito de 0,1, una probabilidad de éxito moderado de 0,4 y una probabilidad de no tener éxito de 0,5. La compañía hace una prueba a nivel regional, antes de implantarla a nivel nacional y obtiene resultados signifi-cativos, aunque no concluyentes. La confiabilidad de tal prueba está dada por las probabilidades condicionales de la siguiente tabla:
La prueba indicó Dado que un producto fue
Gran éxito Éxito moderado Sin éxito
Muy aceptado 0,6 0,4 0
Medianamente aceptado 0,2 0,6 0,2
No aceptado 0,1 0,3 0,6
Construya una diagrama de árbol y calcule las probabilidades condicionales: a) P(muy aceptado \ prueba indica gran éxito)
b) P(muy aceptado \ prueba indica éxito moderado) c) P(muy aceptado \ prueba indica sin éxito)
d) P(medianamente aceptado \ prueba indica gran éxito); etc.
48. En una prueba de aptitud conformada por 25 preguntas, 4 son de cultura general. Si a cada alumno se le asignan 20 preguntas al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que:
a) no se le asigne ninguna pregunta de cultura general? Respuesta: 3,95 × 10–4
b) le asignen al menos 2 preguntas de cultura general? Respuesta: 0,98379
49. Tres amigos comienzan un juego de dados llamado “dudo”. Cada uno debe lanzar 5 dados sin que los demás vean su resultado (se cubre los dados con el vaso o “cacho”). Si a uno de ellos le toca el siguiente resultado: 5, 1, 5, 5, 3; ¿cuál es la probabilidad de que:
a) En total haya 3 cincos?