Diseño de Michell BAnki

8º CONGRESO IBEROAMERICANO DE INGENIERIA MECANICA

Cusco, 23 al 25 de Octubre de 2007

METODOLOGÍA DE DISEÑO HIDRÁULICO Y MECÁNICO DE UNA TURBINA

MICHELL-BANKI

Edgar Paz Pérez, Luiz R. Carrocci, Paulo Magalháes Filho, Carlos Romero Luna

Departamento de Energia

FEG - Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá UNESP - Universidade Estadual Paulista

Dr. Ariberto Pereira da Cunha, 333 - CEP 12516-410- Guaratinguetá, SP, Brasil Tel: (012) 5252800 Ramal: 1904 Fax.: (012)5252466

E-mail: edgarpape@yahoo.es, carrocci@feg.unesp.br, pfilho@ feg.unesp.br,c_romeroluna@yahoo.com

RESUMEN

Las turbinas Michell-Banki se adaptan muy bien para la generación en mini y micro centrales hidroeléctricas, son sencillas, tienen bajos costos de fabricación, de instalación y de mantenimiento, pueden ser utilizadas en amplios intervalos de caudal y altura sin disminuir de manera apreciable su eficiencia. Debido a esas ventajas, la turbina Michell-Banki se ha vuelto atractiva como objeto de estudio. El presente trabajo tiene por finalidad presentar una metodología de selección y cálculo para el diseño hidráulico y mecánico de las partes principales de una turbina Michell-Banki, así como también de los diversos elementos de esta máquina. Para ello se parte de los principios fundamentales de las turbinas hidráulicas, estudios anteriores realizados específicamente sobre turbinas Michell-Banki, información proporcionada por fabricantes de éstas máquinas, así como también, de conocimientos de resistencia de materiales, diseño de elementos de máquinas, materiales de construcción mecánica, entre otros.

GENERALIDADES

La turbina Michell-Banki, también conocida como: de Flujo cruzado, Michell, Ossbeger, es clasificada como una turbina de acción, entrada radial, de admisión parcial y flujo transversal. Los rangos de operación de esta turbina son los siguientes: Altura H: 1m ≤ H ≤ 100m

Caudal Q: 0,2 m3/s ≤ Q ≤ 7 m3/s Potencia P: P ≤ 1Mw

Velocidad específica ns: 30 ≤ ns ≤ 180

Las caraacteristicas mas importantes de la turbina Michell-Banki son:

• Tiene un amplio rango de aplicación, estando comprendida entre la turbina Pelton de doble inyector y las Francis rapidas. • Puede operar en amplios rangos de caudal y altura sin variar apreciablemente su eficiencia.

• Su construcción es sencilla, pudiendo ser fabricada en pequeños talleres.

• Debido a su simplicidad de construcción y funcionamiento, para bajas caidas, es la turbina que presenta los menores costos iniciales asi como de operación y mantenimiento.

• Es la turbina que mejor se adapta para ser usada en medios rurales.

En la Figura 1 se presentan las principales partes de una turbina turbina Michell-Banki 1. Pieza de transición

2. Inyector 3. Rotor 4. Paleta directiz 5. Carcasa

Figura. 1. Elementos principales de una turbina Michell-Banki

DISEÑO HIDRÁULICO

Selección del diámetro del rotor

Una turbina Michell-Banki opera en condiciones similares cuando el valor _{Q/ H} es constante, también se sabe que la eficiencia de estas turbinas no varia apreciablemente en amplios intervalos de valores de Q y H. utilizando estos criterios se selecciona el diámetro del rotor, de la siguiente manera: se calcula el valor: Q/ H y se selecciona el diámetro del rotor usando

la Tabla 1.

Tabla 1. Selección del diámetro del rotor

H /

Q Diámetro del rotor

(mm)

0,02236 - 0,04743 200 0,04743 - 0,07906 300 0,07906 - 0,11068 400 0,07906 – 0,15812 500

Diámetro interior del rotor De 66 , 0 Di= (1)

Velocidad nominal de rotación

De H 40

N= (2)

Selección del número de álabes del rotor

El número de álabes puede ser seleccionado usando la Tabla 2.

Tabla 2. Selección del número de álabes del rotor

Diámetro del rotor (mm) Número de álabes 200 22 300 24 400 26 500 28 Fuente: INE (1986)

Selección del espesor de los álabes del rotor

Para facilitar la construcción de los álabes, algunos fabricantes utilizan tuberías comerciales de acero al carbono. Éstas son cortadas formando un arco de circunferencia, como se muestra en la Figura 2. La Tabla 3 muestra los diámetros de tuberías recomendados.

Figura. 2. Sección transversal de un álabe del rotor.

Tabla 3. Selección del espesor de los álabes del rotor

Rotor Tubería Diámetro ( mm) Diámetro (pulg) espesor ( mm) peso (kgf/m) 200 2 1/2 5,16 8,62 300 4 6,02 16,07 400 5 6,55 21,78

500 6 7,11 28,26 Fuente INE (1986).

Ancho del inyector

El ancho del inyector puede calcularse aplicando la ley de conservación de la masa entre la salida del inyector y la entrada del rotor. ver Figura 3.

(

)

1 i sen gH 2 k . eZ De Q 360 B α δ − π = (3)

Figura. 3. Dimensiones características del inyector y rotor.

Ancho del rotor

Para que no exista pérdidas de caudal en la interfase entre el inyector y el rotor, el ancho de éste se construye 20 a 40 % mayor que el ancho del inyector. Para este caso usaremos el valor médio, ver Figura 3.

B 3 , 1 Br= i (4) Razón de aspecto

Esta relación expresa que proporción hay entre el ancho del rotor y el diámetro exterior del mismo, este valor debe estar comprendido entre 0,5 a 3,5.

De Br

R= (5)

Diámetro máximo del eje del rotor

El diámetro del eje del rotor debe tener un valor máximo de tal manera que no obstruya el paso del flujo a través de éste. El diámetro máximo puede calcularse mediante la siguiente relación:

De 33 , 0 demax= (6) DISEÑO MECÁNICO

Número de álabes que reciben el flujo de água

el número de álabes que reciben el flujo de água que ingresa al rotor puede calcularse con la siguiente fórmula:

Z 360 Zf

δ

Z Q Q f max a= (8) Peso de un álabe L . P P_a = _u (9)

Peso total del rotor

2 d a

tr Z.p 75,963.N .De

p = + (10)

Fuerza hidráulica sobre el álabe

Esta fuerza se debe al cambio de dirección que experimenta el água al pasar por las paletas del rotor. Esta fuerza puede calcularse aplicando la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento en um álabe, ver Figura 4.

Figura. 4. Ángulos de la velocidad absoluta, a la entrada y salida del álabe

(

°− φ

)

=429,38.Q H cos16 sen F_{hx a max} (11)

(

°+ φ

)

=429,38Q . H sen16 cos F_{hy a max} (12)

(

)

( )

2 hy F 2 hx F hr F = + (13)

Tabla 4. Ángulos característicos del álabe

Diámetro del rotor (mm) φ (°) θ (°) 200 15,5 74,5 300 20,0 70,0 400 17,0 73,0 500 14,6 75,4 Fuente INE (1986).

La fuerza centrífuga sobre el álabe puede calcularse con la siguiente formula: De H P 895 , 0 F_c= a max (14)

Fuerza total sobre el álabe

La fuerza total se calcula para el caso más desfavorable, en el cual la resultante de las fuerzas hidráulica y centrífuga es mayor, este caso se muestra en la siguiente figura, donde el ángulo λ es diferente para cada diámetro de rotor, como se muestra en la Tabla 5.

Figura 5. Composición de fuerzas sobre el álabe.

λ =F cos R_{x hr} (15) c hr y F sen F R = λ+ (16) 2 y 2 x T R R R = + (17)

Tabla 5. Ángulo entre la fuerza hidráulica sobre el álabe y el eje X.

Diámetro del rotor (mm) λ(°) 200 29,75 300 32,02 400 30,50 500 29,90 Fuente INE (1986).

Momento Flector Máximo sobre el álabe

12 B . R

M= T rc (18)

Esfuerzo máximo en el álabe

M . E =

Diámetro del rotor (mm) E (1/cm3) 200 510,88 300 250,32 400 162,92 500 111,91

Para el diseño se tomará un material con un límite de fluencia de 2400 Kg.f/cm2 y un factor de seguridad de 2. por lo tanto debe verificarse la relación 20, de no ser así debe usarse un disco de refuerzo en el centro del rotor, el cual será idéntico a los discos laterales.

fs 2400 ≤

σ (20)

Diseño del eje del rotor

Para el diseño del eje del rotor se hace uso del diagrama de fuerzas que actúan sobre este y el cual se muestra en la Figura 6.

Figura 6. Diagrama de fuerzas sobre el eje del rotor El diámetro mínimo del eje del rotor se calculo utilizando la fórmula de la ASME

(

) (

)

2 max T 2 max m 3 T K M K sd . 16 d + π = (21) Donde: N PT 974 Tmax = (22) 2 y 2 x max M M M = + (23) Siendo: 2 / a . Fr M_x= (24) 2 / a . Ptr M_y= (25) Donde: De . N PT 1948 Fr= (26)

Debe cumplirse que el diámetro máximo del eje (calculado con la Ecuación 6) debe ser mayor que el diámetro mínimo (calculado con la Ecuación 21).

d < de max (27)

Velocidad crítica de la turbina

Una vez determinado el diámetro del eje debe realizarse un chequeo de éste considerando la velocidad crítica de la turbina. Debiendo satisfacerse que la velocidad crítica de la turbina (Nc), debe ser mayor que la velocidad de embalamienmto (Ne), en un 40% o mas. De no cumplirse esta condición debe tomarse un diámetro del eje mayor que satisfaga las Ecuaciones 27 y 28.

Nc ≥ 1,4Ne (28) donde: Ne=1,8N (29) max Y 88 , 29 Nc= (30)

(

3B 2a

)

I . E 6 Wa Y _r r 2 max= + (31) 2 2 _Fr Ftr W= + (32) 64 d I 4 π = (33)

Selección de los rodamientos

El diseño de los rodamientos se realiza calculando la capacidad de base dinámica C.

P 6 10 Lh . N 60 Fr . X C _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = (34) Siendo: 2 Ft P Fra 2 2 tr+ = (35)

Fuerza total sobre la plancha del inyector

El diseño del inyector se realiza analizando la sección de entrada de éste, donde actúa la fuerza de presión del água, esta fuerza puede calcularse como:

Br

H

.

De

390

F

_ti

=

_max (36)

Momento máximo sobre la plancha del inyector

12 Br . F

Mi= ti (37)

Esfuerzo máximo sobre la plancha del inyector

i i i

W

M

=

σ

(38) Siendo:

6

Comprobación del espesor de la plancha del inyector

Debe comprobarse que el esfuerzo máximo en el inyector debe ser menor que el esfuerzo de fluencia dividido por 2, de no ser así debe asumirse un espesor de plancha mayor en la Ecuación 39.

2 f i σ ≤ σ (40) REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. Arter, A., and Meier, U., 1990, Hydraulics Engineering Manual, St Gallen-Switzerland, SKAT.

2. Bazo, 1983, Manual de Diseño, Estandarización y Fabricación De Equipos para Pequeñas Centrales Hidroeléctricas, Quito, OLADE.

3. Bran Richard, De Souza Zulcy, 1969, Máquinas de fluxo, Rio de Janeiro, Ao Libro Técnico S.A. 4. Ferdinand P. Beer, E. Russel Jhonston J.R., 1995, Resistencia dos Materiais, São Paulo, Makron Books. 5. INE, 1986, Estandarización de turbinas Tipo Michell-Banki, Quito, Instituto Nacional de Energía. 6. Macintyre, A.J., 1983, Máquinas Motrizes Hidráulicas, Rio de Janeiro, Guanabara Dois.

7. Mataix Claudio, 1985, Turbomáquinas Hidráulicas, Madrid, Editorial Icai.

8. Meier, U., 1994, Local Experience with Miccro-Hydrotechnology, St Gallen-Switzerland, SKAT. 9. Morales, L. R., 1985, Turbinas Pelton y Michell-Banki, Lima, ITINTEC.

10. Nakarmi, K., et al. 1993, Cross Flow Turbine Design and Equipment Engineering, St Gallen-Switzerland, SKAT. 11. Nieman, gG., 1971, Elemementos de Máquinas, São Paulo, Edgar Blucher.

12. Pfleiderer Carl, Petermann Hartwig, 1979, Máquinas de fluxo, Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A.

13. Tiago, Filho, G.L., 1987, Desenvolvimento Teórico e Experimental para Dimensionamento de Turbina Hidráulica Michell-Banki, Tese de mestrado em Ciências em engenharia Mecânica, Itajubá-MG.

14. Timoshenko, S.P., 1969, Resistência dos Materiais, Rio de Janeiro, Ao Libro Técnico S.A.

SIMBOLOGÍA

a : Distancia del disco del rotor a la chumacera (m). Bi : Ancho del inyector.(m).

Br : Ancho del rotor.(m). BrC : Ancho del rotor.(cm).

: Coeficiente:

1/3 para rodamiento de bolas 3/10 para rodamiento de rodillos d : Diámetro mínimo del eje del rotor (m). demax : Diámetro máximo del eje del rotor (m).

De : Diámetro exterior del rotor (m). Di : Diámetro interior del rotor (m). e : Espesor del álabe (m).

ei : Espesor de la plancha del inyector (m).

E : Factor de corrección. (1/cm3). Er : Modulo de elasticidad (kgf/m2)

Fc : Fuerza centrífuga sobre el álabe (Kgf).

Fhx : Fuerza hidráulica sobre el álabe en la dirección x. (Kgf).

Fhy : Fuerza hidráulica sobre el álabe en la dirección y. (Kgf).

Fhr : Fuerza hidráulica resultante sobre el álabe (Kgf).

Fr : Fuerza tangencial sobre el eje (Kgf). Fra : Carga radial sobre el rodamiento (Kgf). fs : Factor de seguridad.

g : Aceleración de la gravedad (m/s2). H : Altura disponible nominal (m). Hmax : Altura máxima (m).

I : Momento de inercia del eje (m4). k : Constante de velocidad absoluta (0,98).

Km : Factor de momento flector. (para carga estable 1,5).

Kt : Factor de momento torsor. (para carga estable 1,0).

L : Longitud del álabe (m).

Lh : Horas de funcionamiento, se consideran 200000 horas de funcionamiento. M : Momento flector sobre el álabe (Kgf-cm).

Mi : Momento máximo sobre el inyector (Kgf-m).

Mmax : Momento flector Máximo sobre el eje del rotor (Kgf-m).

N :Velocidad nominal de la turbina (rpm). Nc : Velocidad crítica de la turbina (rpm). Nd : Número de discos del rotor.

Ne : Velocidad de embalamiento de la turbina (rpm). Pa : Peso de un álabe (Kgf).

PT : Potencia de la turbina (Kw). Ptr : Peso total del rotor (Kgf).

Pu : Peso de un álabe por unidad de longitud (Kgf/m). Q : Caudal nominal (m3/s).

Qa : Caudal que ingresa en un álabe (m3/s).

Qmax : Caudal máximo (m3/s).

R : Razón de aspecto.

Rx : Fuerza resultante sobre el álabe en la dirección x (Kgf).

Ry : Fuerza resultante sobre el álabe en la dirección y (Kgf).

RT : Fuerza resultante total sobre el álabe (Kgf).

sd : Esfuerzo de diseño (Kgf/m2).

Tmax : Momento torsor Máximo sobre el eje (Kgf-m).

X : Coeficiente radial del rodamiento, considerado como 1. Ymax : Flecha máxima (m).

Z : Número de álabes del rotor.

Zf : Número de álabes que reciben el flujo de água.

α1 : Ángulo de la velocidad absoluta al ingreso del rotor.

δ : Ángulo de admisión del rotor (110°)

λ : Ángulo entre la fuerza hidráulica sobre el álabe y el eje X.

φ : Ángulo de la velocidad a la salida del álabe ver tabla n°4. rotor (16°) σ : Esfuerzo máximo en el álabe (Kgf/cm2).

σf: : Esfuerzo de fluencia del material (Kgf/m2).