Dinamica Cap 8 Fisica

(1)

__________________________________________________

______________________________________________________________________________________________ Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad de Tarapacá

Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad de Tarapacá

Ejercicio (8.1)

De una polea de masa De una polea de masa M M y radio y radio R R, cuelgan dos masas, cuelgan dos masas mm₁₁ yy mm₂₂. Hallar la. Hallar la aceleración angular de la polea y la tensiones en las cuerda (este dispositivo se denomina Máquina aceleración angular de la polea y la tensiones en las cuerda (este dispositivo se denomina Máquina de Atwood, y ya fue

de Atwood, y ya fue analizada cuando estudiamos dinámica de una partícula).analizada cuando estudiamos dinámica de una partícula).

Nota:

En En este este ejercicio, ejercicio, las las masasmasas mm₁₁ yy mm₂₂ sólo tienen movimiento de traslación, y la polea de sólo tienen movimiento de traslación, y la polea de masa

masa M M sólo tiene movimiento de rotación. En consecuencia, cuando analizamos las masas sólo tiene movimiento de rotación. En consecuencia, cuando analizamos las masas colgantes usamos la segunda ley de Newton:

colgantes usamos la segunda ley de Newton:

1 1 N N R R jj j j F F FF mmaa = =

=

∑

=

   __ (1) (1)

si la masa no cambia con el tiempo, es decir, si

si la masa no cambia con el tiempo, es decir, si dmdm

0

dt dt

=

.. Cuando analizamos la polea que rota o gira respecto a un

Cuando analizamos la polea que rota o gira respecto a un eje fijo en el espacio, eje fijo en el espacio, usamos la relaciónusamos la relación análoga a la segunda ley de Newton:

análoga a la segunda ley de Newton:

1 1 N N R R jj j j I I

τ

α

= =

=

∑

=

₍₂₎₍₂₎ donde

donde

α

es la aceleración angular de toda la polea. es la aceleración angular de toda la polea. I I representa el momento de inercia de la representa el momento de inercia de la polea respecto al eje d

polea respecto al eje de giro.e giro.

1 1 m m 2 2 m m M M R R Figura (8.1.1) Figura (8.1.1)

(2)

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(3)

Ejercicios Resueltos de Mecánica Clásica Ejercicios Resueltos de Mecánica Clásica

340

340 Solución.

Solución.

La Fig. (8.1.2) muestra el diagrama de cuerpo libre de las masas y de

La Fig. (8.1.2) muestra el diagrama de cuerpo libre de las masas y de la polea.la polea.

En la Fig. (8.1.2) no se ha dibujado el peso

En la Fig. (8.1.2) no se ha dibujado el peso Mg Mg de la polea, ni la normal de la polea, ni la normal N N ejercida por eje que ejercida por eje que sujeta a la polea, porque esas fuerzas no producen torque, ya que se aplican justo sobre el eje de sujeta a la polea, porque esas fuerzas no producen torque, ya que se aplican justo sobre el eje de giro, y por lo tanto su brazo es cero.

giro, y por lo tanto su brazo es cero.

Apliquemos la segunda ley de Newton (1) a cada una de las masas

Apliquemos la segunda ley de Newton (1) a cada una de las masas mm₁₁ y y mm₂₂.. Masa Masa mm₁₁:: 1 1 11 11 11 T T

−

mm gg

=

mm aa (3)(3) donde

donde aa₁₁ es la aceleración lineal de la masa es la aceleración lineal de la masa mm₁₁. Esta aceleración lineal es igual a la aceleración. Esta aceleración lineal es igual a la aceleración tangencial

tangencial aa_T_T de un punto del borde de la polea que está conectada a la masa de un punto del borde de la polea que está conectada a la masa mm₁₁ a través de la a través de la cuerda que transmite la tensión

cuerda que transmite la tensión T T ₁₁. Esto es. Esto es 1 1 T T a

a

=

aa (4)(4)

A su vez, la aceleración tangencial

A su vez, la aceleración tangencial aa_T_T está relacionada con la aceleración angular está relacionada con la aceleración angular

α

de toda la de toda la polea, a través de la siguiente relaci

polea, a través de la siguiente relación,ón,

T T a

a

=

α

r r (5)(5)

Donde

Donde r r es la distancia desde el punto donde está aplicada la acción de la cuerda sobre la polea en es la distancia desde el punto donde está aplicada la acción de la cuerda sobre la polea en forma tangencial al eje de giro. En este caso se cumple que

forma tangencial al eje de giro. En este caso se cumple que rr

=

RR, porque la tensión está aplicada, porque la tensión está aplicada en el borde de la polea. Por lo tanto, la a

en el borde de la polea. Por lo tanto, la a celeración tangencial quedaceleración tangencial queda T

T a

a

=

α

RR (6)(6)

Con este resultado, la relación (3),

Con este resultado, la relación (3), queda,queda,

Figura (8.1.2) Figura (8.1.2) 1 1 m m gg 1 1 T T 2 2 m m gg 2 2 T T R R 2 2 T T 1 1 T T R R

(4)

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(5)

Capítulo 8 Dinámica del Cuerpo Rígido

341

1 1 11 11 T T

−

m gmg

=

mm R

α

R (7)(7) Masa Masa mm₂₂:: 2 2 22 22 22 m m gg T

−

− =

T

=

mm aa (8)(8) Siguiendo el mismo razonamiento anterior, se cumple que,

Siguiendo el mismo razonamiento anterior, se cumple que, 2

2 T T a

a

=

aa

=

α

RR (9)(9)

Porque la cuerda actúa sobre la polea a la distancia

Porque la cuerda actúa sobre la polea a la distancia R R del eje de giro. Por lo tanto, (8) queda, del eje de giro. Por lo tanto, (8) queda, 2 2 22 22 m m g Tg T

−

− =

=

mm

α

RR (10)(10) Polea de masa Polea de masa M M ::

Aplicamos el análogo rotacional de la segunda ley de

Aplicamos el análogo rotacional de la segunda ley de Newton dado en relación (2).Newton dado en relación (2).

En primer lugar, calculemos el torque que produce cada tensión. Antes de calcular los torques En primer lugar, calculemos el torque que produce cada tensión. Antes de calcular los torques debemos elegir un origen de torques, y además debemos tener una convención para definir los debemos elegir un origen de torques, y además debemos tener una convención para definir los torques positivos y negativos. El origen de torques en este caso es el centro de la polea por donde torques positivos y negativos. El origen de torques en este caso es el centro de la polea por donde pasa

pasa el el eje eje de de giro. giro. El El convenio convenio de de signos signos es es el el siguiente: siguiente: consideramos consideramos positivos positivos los los torques torques dede aquellas fuerzas que tienden a hacer girar al cuerpo rígido en la dirección en que el cuerpo está aquellas fuerzas que tienden a hacer girar al cuerpo rígido en la dirección en que el cuerpo está girando, y negativos los torques que tienden a hacer girar al cuerpo en la dirección contraria de su girando, y negativos los torques que tienden a hacer girar al cuerpo en la dirección contraria de su verdadero movimiento. Este convenio es análogo al convenio usado para escribir las componentes verdadero movimiento. Este convenio es análogo al convenio usado para escribir las componentes de las fuerzas cuando aplicamos la

de las fuerzas cuando aplicamos la segunda ley de Newton en dinámica segunda ley de Newton en dinámica lineal.lineal. En la Fig. (8.1.2) se muestra claramente que el brazo de cada tensión vale

En la Fig. (8.1.2) se muestra claramente que el brazo de cada tensión vale R R, luego,, luego, Torque de Torque de T T ₁₁ 1 1 11 11 T T TT bbT T

τ

= −

(11)(11) 1 1 11 T T TT RR

τ

= −

(12)(12)

El torque es negativo porque esta fuerza tiende a hacer girar la polea en sentido contrario al cual El torque es negativo porque esta fuerza tiende a hacer girar la polea en sentido contrario al cual está girando. está girando. Torque de Torque de T T ₂₂ 2 2 22 22 T T TT bbT T

τ

= +

(13)(13) 2 2 22 T T TT RR

τ

=

(14)(14)

El torque es positivo porque esta fuerza tiende a hacer girar la polea en la misma dirección de El torque es positivo porque esta fuerza tiende a hacer girar la polea en la misma dirección de rotación.

rotación.

La condición de equilibrio rotacional (2), queda, La condición de equilibrio rotacional (2), queda,

(6)

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(7)

342

1 1 22 T T RR TT RR I I

α

−

+

=

₍₁₅₎₍₁₅₎ Dividiendo por

Dividiendo por R R esta relación, se tiene, esta relación, se tiene,

2 2 11 I I T T T T R R

α

−

− =

=

(16)(16)

En resumen, las relaciones (7),

En resumen, las relaciones (7), (10) y (16) permiten calcular las (10) y (16) permiten calcular las incógnitas del problemaincógnitas del problema 1 1 11 11 T T

−

m gmg

=

mm R

α

R (17)(17) 2 2 22 22 m m g Tg T

−

− =

=

mm

α

RR (18)(18) 2 2 11 I I T T T T R R

α

−

− =

=

(19)(19)

Sumándolas, se eliminan las tensiones y se

Sumándolas, se eliminan las tensiones y se obtiene la aceleración angular,obtiene la aceleración angular,

( (

22 11

))

1 1 22 22 m m mm g g I I R R mm mm R R

α

=

−

⎛

₊

⎞⎞

⎜

⎟⎟

⎝

⎠⎠

(20) (20) La aceleración tangencial

La aceleración tangencial aa_T_T

=

α

RR vale lo mismo que la aceleración lineal vale lo mismo que la aceleración lineal aa de cada masa, luego, de cada masa, luego, usando (20), escribimos, usando (20), escribimos,

( (

22 11

))

1 1 22 22 m m mm a a gg I I m m mm R R

−

=

⎛

₊

⎞⎞

⎜

⎟⎟

⎝

⎠⎠

(21) (21) Nótese

Nótese que que si si suponemos suponemos que que la la polea polea es es ideal, ideal, es es decir, decir, si si suponemos suponemos queque I I

→

0

, entonces se, entonces se recupera el valor de la aceleración lineal obtenido para la máquina de Atwood,

recupera el valor de la aceleración lineal obtenido para la máquina de Atwood, 2 2 11 1 1 22 m m mm a a gg m m mm

⎛

−

⎞⎞

=

= ⎜

⎜

⎟⎟

+

⎝

⎠⎠

(22)(22)

Ejercicio (8.2)

El sistema mostrado en la Fig. (8.2.1) está formado por dos bloques de masas El sistema mostrado en la Fig. (8.2.1) está formado por dos bloques de masas 1

1 1122(( )) m

m

=

kgkg yy mm₂₂

=

3838((kgkg)) que se mueven hacia la derecha. Los bloques están unidos por una que se mueven hacia la derecha. Los bloques están unidos por una cue

cuerda rda ideideal al que que paspasa a por por una una polpolea ea de de masmasa a M M

=

146146((kgkg)) y y rraaddiio o R R

=

00..7(7( ))mm . Los bloques se. Los bloques se mueven

mueven sobre sobre un un plano plano inclinado inclinado y y el el coeficiente coeficiente de de roce roce en en todas todas las las superficies superficies vale vale µ µ _k_k

=

0.170.17 .. Calcular:

(8)

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(9)

₃₄₃

a)

a) la aceleración tangencial de un punto del borde de la polea de radiola aceleración tangencial de un punto del borde de la polea de radio R R y masa y masa M M , cuyo, cuyo momento de Inercia con respecto a su eje de giro vale

momento de Inercia con respecto a su eje de giro vale

2 2 2 2 MR MR I I

=

,, b)

b) la aceleración lineal de cada masala aceleración lineal de cada masa c)

c) las tensiones en la cuerda.las tensiones en la cuerda.

Nota:

El sistema está formado por cuerpos con movimiento de traslación (las masas El sistema está formado por cuerpos con movimiento de traslación (las masas mm y₁₁ y mm ), para₂₂), para los cuales se cumple la segunda ley de Newton:

los cuales se cumple la segunda ley de Newton: FF_R_R

=

mama



 __

, y por cuerpos que rotan respecto a un eje , y por cuerpos que rotan respecto a un eje fijo (la polea de radio

fijo (la polea de radio R R y masa y masa M M ), para los cuales se cumple una relación análoga a la segunda), para los cuales se cumple una relación análoga a la segunda ley de Newton:

ley de Newton: τ τ _R_R

=

I I α α ,, dondedonde

ii

ii FF bii F bF τ

τ

=

es el torque o momento de la fuerza respecto al eje de es el torque o momento de la fuerza respecto al eje de giro, producido por la presencia de la fuerza externa

giro, producido por la presencia de la fuerza externa F F , cuyo brazo es_ii , cuyo brazo es

ii

F F b

b . En este caso, el origen. En este caso, el origen de torques es jus

de torques es justo el eje de giro de la pto el eje de giro de la polea. olea. I I es el momento de inercies el momento de inercia de la polea respa de la polea respecto al ejeecto al eje fijo o eje de giro, y

fijo o eje de giro, y α α es la aceleración angular de la es la aceleración angular de la polea que gira respecto a su polea que gira respecto a su eje.eje.

Solución:

La Fig. (8.2.2) muestra el diagrama de cuerpo libre para cada masa, incluida la polea. La Fig. (8.2.2) muestra el diagrama de cuerpo libre para cada masa, incluida la polea.

1 1 T T 2 2 T T Figura (8.2.2) Figura (8.2.2) 1 1 T T 1 1 N N 1 1 m m gg ,1 ,1 k k f f 2 2 m m gg θ θ θ θ 2 2 T T 2 2 N N ,2 ,2 k k f f 1 1 m m 2 2 m m R R M M 0 0 34 34 k k µ µ Figura (8.2.1) Figura (8.2.1)

(10)

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(11)

344

Apliquemos ahora la segunda ley de Newton a los bloques que se desplazan. En componentes, se Apliquemos ahora la segunda ley de Newton a los bloques que se desplazan. En componentes, se tiene, tiene, Bloque de masa Bloque de masa mm₁₁:: Eje Eje X X :: 1 1 k k 11 11 T T

−

µ µ NN

=

mm aa (1)(1) Eje

Eje Y Y ::

1 1 11 N

N

=

mm gg (2)(2)

Reemplazando

Reemplazando N N ₁₁ podemos escribir podemos escribir

1 1 k k 11 11 T T

−

µ µ mm gg

=

m ama (3)(3) Bloque de masa Bloque de masa mm₂₂:: Eje Eje X X :: 2 2 sinsin k k 22 22 22 m m gg θ θ µ

−

µ NN

− =

−

TT

=

m am a (4)(4) Eje

Eje Y Y ::

2

2 22 coscos N

N

=

mm gg θ θ (5)(5)

Reemplazando

Reemplazando N N en (4), podemos escribir₂₂ en (4), podemos escribir

( (

))

2

2 ssiinn k k ccooss 22 22 m

m gg θ µ θ

−

µ θ θ

− =

−

TT

=

m am a (6)(6)

Polea de masa

Polea de masa M M que gira respecto a un eje fijo. que gira respecto a un eje fijo.

Consideraremos positivos los torques que tienden a hacer rotar a la polea en la dirección de los Consideraremos positivos los torques que tienden a hacer rotar a la polea en la dirección de los punteros del reloj, que es j

punteros del reloj, que es justo el sentido de girusto el sentido de giro real de la polea.o real de la polea.

Torque de Torque de T T ₁₁:: 1 1 TT R11R τ τ

= −

(7)(7) donde

donde R R es el brazo de la tensión es el brazo de la tensión T T ₁₁. El torque es negativo porque tiende a hacer girar a la polea en. El torque es negativo porque tiende a hacer girar a la polea en dirección contraria al movimiento real.

dirección contraria al movimiento real.

Torque de Torque de T T ₂₂:: 2 2 TT R22R τ τ

=

(8)(8) donde

donde R R es el brazo de la tensión es el brazo de la tensión T T . El torque es positivo porque tiende a hacer girar a la polea en₂₂. El torque es positivo porque tiende a hacer girar a la polea en dirección al movimiento real.

dirección al movimiento real.

La ecuación análoga a la segunda ley de Newton para rotación respecto a un eje fijo, viene dada por La ecuación análoga a la segunda ley de Newton para rotación respecto a un eje fijo, viene dada por

1

1 22 I I τ

(12)

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(13)

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345

2 2 11 T

T RR T

−

T RR

=

I I α α (10)(10) Por otra parte, sabemos que la aceleración tangencial

Por otra parte, sabemos que la aceleración tangencial aa del borde de la polea de radio_T_T del borde de la polea de radio R R está está relacionada con la aceleración angular

relacionada con la aceleración angular α α de toda la polea, a través de la de toda la polea, a través de la siguiente ecuación:siguiente ecuación: T

T a

a

=

α α RR (11)(11)

Pero, la aceleración tangencial

Pero, la aceleración tangencial aa_T_T de un punto del borde de la polea es igual a la aceleración lineal de un punto del borde de la polea es igual a la aceleración lineal a

a de los bloques, es decir, de los bloques, es decir, aa_T_T

=

aa. Luego, la aceleración angular se puede expresar como,. Luego, la aceleración angular se puede expresar como, a a R R α α

=

(12)(12) El momento de inercia

El momento de inercia I I para la polea con respecto a su eje de giro vale, para la polea con respecto a su eje de giro vale,

2 2 2 2 MR MR I

I

=

. Reemplazando. Reemplazando I

I y y α α en (10), en (10), podemos escribir:podemos escribir:

( (

))

2 2 2 2 11 2 2 MR MR aa T T TT RR R R

⎛

_⎞⎞⎛

_{⎛ ⎞⎞}

−

=

_= ⎜

_⎜

_⎟⎟⎜

_{⎜ ⎟⎟}

⎝

⎝ ⎠⎠

⎝

⎠⎠

(13)(13) Simplificando, se tiene Simplificando, se tiene 2 2 11 2 2 M M T T

−

− =

TT

=

aa (14)(14)

En resumen, las ecuaciones que

En resumen, las ecuaciones que describen el movimiento del sistema, son:describen el movimiento del sistema, son:

( (

))

1 1 11 11 2 2 22 22 2 2 11

ssiinn ccooss 2 2 k k k k T T mm gg mm aa m m gg TT mm aa M M T T TT aa µ µ θ θ µ µ θ θ

−

=

−

− =

=

−

− =

=

(15) (15)

Usando los datos

Usando los datos mm₁₁

=

1122((kgkg)),, mm₂₂

=

3838((kgkg)), , M M

=

114466((kgkg)), , µ µ _k_k

=

0.170.17 y y

θ

=

34

00, estas ecuaciones, estas ecuaciones quedan, quedan, 1 1 1199..999922 1122 T T

−

=

aa (16)(16)

(14)

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(15)

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346

2 2 1 1..110044(( )) a a

=

mm ss (20)(20)

Cálculo de las tensiones

Cálculo de las tensiones T T yy₁₁ TT ::₂₂ De la relación (16) se

De la relación (16) se obtiene de inmediato la tensiónobtiene de inmediato la tensión T T ₁₁, usando la aceleración obtenida en , usando la aceleración obtenida en (20),(20), 1

1 3333, 2, 255(( )) T

T

=

N N (21)(21)

De la relación (17) y de resultado (20), se obtiene De la relación (17) y de resultado (20), se obtiene T T ::₂₂

2

2 111133..8811(( )) T

T

=

N N (22)(22)

Claramente las tensiones a cada lado de la polea no son iguales, a diferencia del caso de las poleas Claramente las tensiones a cada lado de la polea no son iguales, a diferencia del caso de las poleas ideales.

ideales.

Ejercicio (8.3)

El sistema de poleas acopladas tiene un momento de inercia El sistema de poleas acopladas tiene un momento de inercia I I

=

101000((kgkg mm22)) respecto a su eje de giro. Los radios son

respecto a su eje de giro. Los radios son R R₁₁

=

00..22(( ))mm yy R R₂₂

=

00..77(( ))mm . Calcular la diferencia de. Calcular la diferencia de tensiones

tensiones

∆

∆ ≡

TT

≡ −

TT₂₂

−

T T ₁₁ entre ambos lados de la cuerda cuando el bloque de masa entre ambos lados de la cuerda cuando el bloque de masa mm

=

505000((kgkg)) desciende con aceleración constante

desciende con aceleración constante

( (

22

))

1.8

1.8 a

a

=

mm ss ..

Nota:

El El sistema sistema está está formado por formado por cuerpos cuerpos con con movimiento de movimiento de traslación (la traslación (la masamasa mm ), para los), para los cuales se cumple la segunda ley de Newton:

cuales se cumple la segunda ley de Newton:FF_R_R

=

mama



 __

, y por cuerpos que rotan respecto a un eje fijo , y por cuerpos que rotan respecto a un eje fijo 2 2 T T 1 1 T T Figura (8.3.1) Figura (8.3.1) 1 1 R R 2 2 R R m m

(16)

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(17)

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347

347 Solución:

Solución:

La Fig. (8.3.2) muestra el diagrama de cuerpo libre para la polea y para

La Fig. (8.3.2) muestra el diagrama de cuerpo libre para la polea y para el bloque colgante.el bloque colgante.

Ahora apliquemos la segunda ley de

Ahora apliquemos la segunda ley de Newton a la masaNewton a la masa mm que desciende con aceleración que desciende con aceleración aa :: m

mgg

−

− =

TT

=

mmaa (1)(1) Calculemos ahora cada uno de los torques respecto al eje de giro de la polea. Consideraremos Calculemos ahora cada uno de los torques respecto al eje de giro de la polea. Consideraremos positivos

positivos los los torques torques que que tienden tienden a a hacer hacer girar girar a a la la polea polea en en la la dirección dirección del del movimiento movimiento de de loslos punteros del reloj.

punteros del reloj. Torque de Torque de TT ::₁₁ 1 1 11 11 T T TT bbT T τ τ

= −

(2)(2)

El torque es negativo porque tiende a hacer girar al cuerpo en dirección contraria al movimiento de El torque es negativo porque tiende a hacer girar al cuerpo en dirección contraria al movimiento de los punteros del reloj.

los punteros del reloj.

1 1

T T b

b es el brazo de la fuerza es el brazo de la fuerza T T ₁₁, es decir, es la distancia perpendicular desde la, es decir, es la distancia perpendicular desde la línea de acción de la fuerza al eje de giro.

línea de acción de la fuerza al eje de giro. En este casoEn este caso

1 1 22 T T b b

=

RR (3)(3) luego, luego, 1 1 11 22 T T TT RR τ τ

= −

(4)(4) Torque de Torque de T T :: Figura (8.3.2) Figura (8.3.2) mg mg T T 2 2 T T 1 1 T T 1 1 R R 2 2 R R T T

(18)

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348

2 2 22 22 T T TT RR τ τ

= +

(7)(7) Torque de Torque de T T :: T T TT bbT T τ τ

= +

(8)(8)

El torque es positivo porque tiende a hacer girar al cuerpo en dirección del movimiento de los El torque es positivo porque tiende a hacer girar al cuerpo en dirección del movimiento de los punteros del

punteros del reloj.reloj. bb_T_T es el brazo de la fuerza es el brazo de la fuerza T T ₂₂, es decir, es la distancia perpendicular desde la, es decir, es la distancia perpendicular desde la línea de acción de la fuerza al eje de giro.

línea de acción de la fuerza al eje de giro. En este casoEn este caso 1 1 T T b b

=

RR (9)(9) luego, luego, 1 1 T T TT RR τ τ

= +

(10)(10)

Usando los resultados de los torques dados por (2), (7) y (10), podemos escribir la ecuación Usando los resultados de los torques dados por (2), (7) y (10), podemos escribir la ecuación dinámica rotacional: dinámica rotacional: 1 1 22 22 22 11 T T RR TT RR TT RR I I α α

−

− +

+

+ =

=

₍₁₁₎₍₁₁₎ Reordenando, se tiene, Reordenando, se tiene,

( (

TT22

−

T RT11

))

R22

=

IIα α

−

T RT R11 (12)(12) Insertando la tensión

Insertando la tensión T T obtenida en la relación (1), la relación (12), queda, obtenida en la relación (1), la relación (12), queda,

(

)

(

))

11 2 2 11 2 2 22 R R I I T T TT mm gg aa R R α α RR

−

− =

=

−

₍₁₃₎₍₁₃₎

Por otra parte, sabemos que

Por otra parte, sabemos que la aceleración tangencialla aceleración tangencial aa_T_T está relacionada con la aceleración angular está relacionada con la aceleración angular α

α a través de la expresión a través de la expresión

T T a

a

=

α α RR (14)(14)

donde

donde R R es la distancia desde el eje de giro al punto del borde donde queremos medir la es la distancia desde el eje de giro al punto del borde donde queremos medir la aceleración tangencial. En nuestro caso, la aceleración tangencial de un punto del borde del resalte aceleración tangencial. En nuestro caso, la aceleración tangencial de un punto del borde del resalte de radio

(20)

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349

Numéricamente, la aceleración angul

Numéricamente, la aceleración angular vale,ar vale,

( (

22

))

2 2 1.8 1.8 9( 9( )) 0 0..22(( )) m m ss rraadd ss m m α α

=

(18)(18) Numéricamente,

Numéricamente, usando usando los los datosdatos R R₁₁

=

00..22(( ))mm ,, R R₂₂

=

00..77(( ))mm ,, I I

=

110000((kgkg mm22)),,aa

=

1.81.8

( (

mm ss22

))

y el y el resultado (18), en la relación (13), se tiene,

resultado (18), en la relación (13), se tiene,

( (

))

( (

))

( (

))

( (

))

2 2 2 2 22 2 2 11 100 100 ₀_0..2_{2(( ))} 9 9(( )) 550000(( )) 99..88 11..88 0 0..77(( )) 00..77(( )) kg kg mm _m_m T T TT rraadd ss kkgg mm ss m m mm

⎛

⎞⎞

−

=

×

−

×

−

×

_{× ⎜ ⎜}

_⎟⎟

⎝

⎠⎠

(19)(19)

( (

TT22

−

TT11

))

=

141422..8866(( ))N N (20)(20)

Ejercicio (8.4)

Dos poleas cuyos radios son Dos poleas cuyos radios son R R₁₁

=

0 0..3

3(( ))

mm yy R R₂₂

=

1 1..0

0(( ))

mm están pegadas entre sí, están pegadas entre sí, formando un bloque que gira alrededor de su eje horizontal. El momento de inercia de las dos formando un bloque que gira alrededor de su eje horizontal. El momento de inercia de las dos poleas

poleas pegadas pegadas valevale I I

=

1

10 0((

kg mkg m22

))

. De la polea pequeña de radio. De la polea pequeña de radio R R₁₁ cuelga verticalmente una cuelga verticalmente una masa

masa mm₁₁

=

1

10

00 0((

kgkg

))

. De la polea grande de radio. De la polea grande de radio R R₂₂ cuelga una masa cuelga una masa mm₂₂

=

2

20 0((

kgkg

))

que se apoya que se apoya en un plano inclinado fijo y con

en un plano inclinado fijo y con roce despreciable.roce despreciable.

Figura (8.4.1) Figura (8.4.1) 1 1 R R R R₂₂ 2 2 m m 1 1 m m 0 0

30

(22)

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350

350 Nota:

Nota:

El El sistema sistema está está formado formado por por cuerpos cuerpos con con movimiento movimiento de de traslación traslación (las (las masasmasas m m yy₁₁ mm )),,₂₂ para los

para los cuales se cuales se cumple la cumple la segunda ley segunda ley de Newton:de Newton:FF_R_R

=

mama



 __

, y

, y por cuerpos por cuerpos que rotan que rotan respecto arespecto a un eje fijo (la polea de radios

un eje fijo (la polea de radios R R yy₁₁ R R y momento de inercia₂₂ y momento de inercia I I ) para los cuales se cumple una) para los cuales se cumple una relación análoga a la segunda ley de Newton:

relación análoga a la segunda ley de Newton: τ τ _R_R

=

I I α α , donde , donde

ii

ii FF bii F bF τ

τ

=

es el torque o momento de es el torque o momento de la fuerza respecto al eje de giro, producido por la presencia de la fuerza externa

la fuerza respecto al eje de giro, producido por la presencia de la fuerza externa FF , cuyo b_ii, cuyo brazrazo eso es

ii

F F b

b . En est. En este casoe caso, el ori, el origen de tgen de torquorques es jues es justo el esto el eje de gije de giro de la ro de la poleapolea. . I I es el mes el momentomento deo de inercia de la polea respecto al eje fijo o eje de giro, y

inercia de la polea respecto al eje fijo o eje de giro, y α α es la aceleración angular de la polea que es la aceleración angular de la polea que gira respecto a su eje.

gira respecto a su eje.

Solución:

La Fig. (8.4.2) muestra el diagrama de cuerpo libre de cada bloque y de la polea. La Fig. (8.4.2) muestra el diagrama de cuerpo libre de cada bloque y de la polea.

2 2 m m gg 0 0

30

00

30

N N 2 2 T T T T ₂₂ R R22 R R11 1 1 T T 1 1 m m gg 1 1 T T

(24)

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₃₅₁

Donde

Donde aa₂₂ es la aceleración lineal con la cual sube por el plano inclinado el cuerpo de masa es la aceleración lineal con la cual sube por el plano inclinado el cuerpo de masa mm₂₂

..

Esta aceleración coincide con la aceleración tangencial de un punto del borde de la polea de radio Esta aceleración coincide con la aceleración tangencial de un punto del borde de la polea de radio

2 2 R

R , y está relacionada con , y está relacionada con la aceleración angularla aceleración angular α α de la poleas, en la forma: de la poleas, en la forma: 2

2 22,,ttaanngg 22 a

a

=

aa

=

α α RR (5)(5) Reemplazando este resultado en la relación

Reemplazando este resultado en la relación (4), tenemos:(4), tenemos: 2 2 22 sin30sin30 22 22 T T

−

mm gg 

=

mm RR α α (6) (6)

Calculemos ahora los torques que actúan sobre las poleas. En este caso, el origen de torques Calculemos ahora los torques que actúan sobre las poleas. En este caso, el origen de torques coincide con el eje de giro de las poleas. Por convención, consideramos positivos los torques que coincide con el eje de giro de las poleas. Por convención, consideramos positivos los torques que tienden a hacer girar las poleas en el sentido de giro de la polea.

tienden a hacer girar las poleas en el sentido de giro de la polea. Torque de Torque de TT ::₁₁ 1 1 11 11 T T TT bbT T τ τ

= +

(7)(7) El brazo de la fuerza

El brazo de la fuerza T T viene dado por₁₁ viene dado por

1 1 11 T T b b

=

RR (8)(8) luego, luego, 1 1 11 11 T T TT RR τ τ

= +

(9)(9)

Este torque es positivo porque tiende hacer girar al cuerpo en la dirección de nuestra convención Este torque es positivo porque tiende hacer girar al cuerpo en la dirección de nuestra convención

(26)

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352

Reemplazando en esta relación, los valores de

Reemplazando en esta relación, los valores de las tensiones obtenidos en (3) y las tensiones obtenidos en (3) y (6), se obtiene(6), se obtiene

( (

mm g11g

−

m Rm11R11α α

))

RR11

−

_{( (}

mm g22gsin30sin30

+

m Rm22R22α α

₎₎

RR22

=

IIα α

 

(15)

De esta relación despejamos la aceleración angular: De esta relación despejamos la aceleración angular:

1 1 11 22 22 2 2 22 1 1 11 22 22 sin30 sin30 m m ggRR m gm gRR m m RR mm RR I I α α

=

−

+

  (16) (16) Numéricamente,

Numéricamente, usando usando los los datos:datos: R R₁₁

=

0 0..3

3(( ))

mm ,, R R₂₂

=

1..0

1 0(( ))

mm ,, I I

=

1

10 0((

kgkg mm22

))

,, mm₁₁

=

1

10

00 0((

kgkg

))

yy 2 2

2

20 0((

))

m m

=

kgkg , se tiene,, se tiene,

(

( )

)

(

( )

) (

( ))

( ( ))

_{( ( ))}

( ( ))

_{( ( ))}

( (

))

2 2 2 2 22 22 22 1 10000 00..33 2200 11( )( ) 00..55 9.8 9.8 1 10000 00..33 2200 11 1100(( )) kkgg mm kkgg mm m m ss kkgg mm kkgg mm kkgg mm α α

=

×

−

×

+

×

+

(17)(17)

( (

22

))

5.03

rraadd ss

α

=

(18)(18)

Usando las relaciones (2) y (5)

Usando las relaciones (2) y (5) se obtienen las aceleraciones lineales:se obtienen las aceleraciones lineales:

(

)

22

)

(

))

22 1 1 11 55..0033 00..33(( )) 11..5511 a a

=

α α RR

=

rraadd ss

×

mm

=

m ssm (19)(19)

(

)

22

)

(

))

22 2 2 22 55..0033 11(( )) 55..0033 a a

=

α α RR

=

rraadd ss

×

mm

=

m ssm (20)(20) De las relaciones (3) y

De las relaciones (3) y (6), se obtienen las tensiones en (6), se obtienen las tensiones en las cuerdas:las cuerdas:

( (

))

( (

(

( )

22

) (

( ))

22

))

1

1 11 11 110000(( )) 99..88 11..5511 T

(28)

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353

b)

b) las tensiones en las cuerdas.las tensiones en las cuerdas.

Nota:

El El sistema sistema está está formado formado por por cuerpos cuerpos con con movimiento movimiento de de traslación traslación (las (las masasmasas m m yy₁₁ mm )),,₂₂ para los

para los cuales se cuales se cumple la cumple la segunda ley segunda ley de Newton:de Newton:FF_R_R

=

mama



 __

, y

, y por cuerpos por cuerpos que rotan que rotan respecto arespecto a un eje fijo (la polea izquierda de radios

un eje fijo (la polea izquierda de radios R R yy₁₁ R R y momento de inercia₂₂ y momento de inercia I I ₁₁ y la polea derecha de y la polea derecha de radio

radio R R y momento de inercia₃₃ y momento de inercia I I ₂₂), para los cuales se cumple una relación análoga a la segunda), para los cuales se cumple una relación análoga a la segunda ley de Newton:

ley de Newton: τ τ _R_R

=

I I α α , , dondedonde

ii

ii FF bii F bF τ

τ

=

es el torque o momento de la fuerza respecto al eje de es el torque o momento de la fuerza respecto al eje de giro, producido por la presencia de la fuerza externa

giro, producido por la presencia de la fuerza externa FF , cuy_ii, cuyo brao brazo eszo es

ii

F F b

b . En este caso, el origen. En este caso, el origen de torques es justo el eje

de torques es justo el eje de giro de cada polea.de giro de cada polea. 1 1 m m 2 2 m m 2 2 R R R R₁₁ 3 3 R R Figura (8.5.1) Figura (8.5.1)

(30)

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354

Masa Masa mm₁₁ 1 1 11 11 11 T T

−

mm gg

=

mm aa (1)(1) La aceleración lineal

La aceleración lineal aa₁₁ es igual a la aceleración tangencial de un punto del borde de la polea es igual a la aceleración tangencial de un punto del borde de la polea izquierda de radio

izquierda de radio R R₂₂ que gira con aceleración angular que gira con aceleración angular

α

₁₁,, 1 1 11 22 a a

=

α α RR (2)(2) luego, (1) queda, luego, (1) queda, 1 1 11 11 11 22 T T

−

m gmg

=

mmα α RR (3)(3) Masa Masa mm₂₂ 2 2 22 22 22 m m gg

−

− =

TT

=

mm aa (4)(4) La aceleración lineal

La aceleración lineal aa₂₂ es igual a la aceleración tangencial de un punto del borde de la polea es igual a la aceleración tangencial de un punto del borde de la polea derecha de radio

derecha de radio R R₃₃ que gira con aceleración angular que gira con aceleración angular

α

₂₂,, 2 2 22 33 a a

=

α α RR (5)(5) luego, (4) queda, luego, (4) queda, 2 2 22 22 22 33 m m gg

−

− =

TT

=

mmα α RR (6)(6) Ahora aplicamos el análogo de la segunda ley de

Ahora aplicamos el análogo de la segunda ley de Newton para el caso rotacional a las dos poleas. ElNewton para el caso rotacional a las dos poleas. El origen de torques de cada polea es el centro de la polea donde se encuentra el eje de giro. origen de torques de cada polea es el centro de la polea donde se encuentra el eje de giro.

(32)

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355

1

1 11 22 11 11 T

TRR

−

TT RR

=

I I α α (9)(9) donde

donde I I ₁₁ es el momento de inercia de la polea izquierda que gira con es el momento de inercia de la polea izquierda que gira con aceleración angularaceleración angular

α

₁₁

Polea derecha que gira

Polea derecha que gira con aceleración angularcon aceleración angular

α

₂₂.. Torque de Torque de T T ₂₂ 2 2 22 33 T T TT RR

τ

=

(10)(10)

Donde el brazo de esta fuerza vale Donde el brazo de esta fuerza vale

2 2 33

T T b

b

=

RR . Este torque es positivo porque tiende a hacer girar la. Este torque es positivo porque tiende a hacer girar la polea derecha en el sentido pos

polea derecha en el sentido positivo.itivo. Torque de Torque de T T 3 3 T T TRTR

τ

= −

(11)(11)

Donde el brazo de esta fuerza vale

(34)

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356

2 2 22 22 11 11 m m gg

−

− =

TT

=

mm RR α α (18)(18) 2 2 11 2 2 22 11 3 3 I I RR T T T T R R α α

−

− =

=

₍₁₉₎₍₁₉₎

Si sumamos las ecuaciones (16) y (17), se elimina

Si sumamos las ecuaciones (16) y (17), se elimina T T ₁₁ y se obtiene y se obtiene T T en función de en función de α α ::₁₁ 2 2 11 1 1 11 22 11 1 1 22 R R I I T T mm gg mm RR R R RR α α

⎡

⎛

⎞⎞

⎤⎤

=

_⎢

+

_⎜

+

_⎟⎟

_⎥⎥

⎝

⎠⎠

⎣

⎦⎦

(20)(20)

Si sumamos las ecuaciones (18) y(19),

Si sumamos las ecuaciones (18) y(19), se eliminase elimina T T ₂₂ y se obtiene y se obtiene T T en función de en función de α α ::₁₁ 2 2 11 2 2 22 11 22 11 3 3 I I RR T T mm gg mm RR R R α α

⎛

⎞⎞

=

−

_⎜

+

_⎟⎟

⎝

⎠⎠

(21)(21) Igualando (20) y (21), se tiene Igualando (20) y (21), se tiene

( (

mm RR mm RR g

))

g

(36)

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357

De la relación (18) se tiene De la relación (18) se tiene

( (

))

2 2 22 11 11 T T

=

mm gg

−

RR α α (30)(30)

( (

22

))

2 2 44..66(( )) 99..88 00..33(( )) 11..2211 22 rad rad T T kkgg mm ss mm ss

⎛

⎞⎞

=

×

_⎜

−

×

_⎜

_⎟⎟

⎝

⎠⎠

⎝

⎠⎠

(31)(31) 2 2 4433..44(( )) T T

=

N N (32)(32) De la relación (19) se tiene De la relación (19) se tiene 2 2 11 2 2 22 11 3 3 I I RR T T T T R R α α

=

= −

−

₍₃₃₎₍₃₃₎

( (

22

))

2 2 22 22 1 1..22 00..33(( )) 4 433..44(( )) 11..2211 0 0..2 (2 ( )) kkgg mm mm _rad_rad T T N N m m ss

×

_⎛

_⎞⎞

=

−

×

_⎜

_⎟⎟

⎝

⎠⎠

(34)(34) 3 322..66(( )) T T

=

N N (35)(35)

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358

358 Nota:

Nota:

El sistema está for El sistema está formado por cuerpos con movimado por cuerpos con movimiento de traslación (lmiento de traslación (la masas a masas mm ), para los), para los cuales se cumple la segunda ley de Newton:

cuales se cumple la segunda ley de Newton:FF_R_R

=

mama



 __

, y por cuerpos que rotan respecto a un eje fijo , y por cuerpos que rotan respecto a un eje fijo (la polea izquierda de radio

(la polea izquierda de radio R R y momento de inercia₁₁ y momento de inercia I I ₁₁ y la polea derecha de radio y la polea derecha de radio R R₂₂ yy momento de inercia

momento de inercia I I ₂₂), para los cuales se cumple una relación análoga a la segunda ley de), para los cuales se cumple una relación análoga a la segunda ley de Newton:

Newton: τ τ _R_R

=

I I α α , , dondedonde

ii

ii FF bii F bF τ

τ

=

es el torque o momento de la fuerza respecto al eje de giro, es el torque o momento de la fuerza respecto al eje de giro, producido por

producido por la presencia la presencia de de la la fuerza externafuerza externa FF , cuy_ii, cuyo bro brazo azo eses

ii

F F b

b . En e. En estste case caso, el o, el oriorigen gen dede torques es justo el eje de

torques es justo el eje de giro de cada polea.giro de cada polea.

Solución:

La Fig. (8.6.2) muestra el diagrama de cuerpo libre de las dos poleas y de la La Fig. (8.6.2) muestra el diagrama de cuerpo libre de las dos poleas y de la masa.masa.

(40)

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359

1 1 11 T T TT r r τ τ

=

(4)(4) r r f f f f r r r r τ τ

= −

(5)(5)

Aplicando la segunda ley de Newton rotacional, se tiene: Aplicando la segunda ley de Newton rotacional, se tiene:

( (

TT11

−

ff rr r

))

r

=

II11 α α 11 (6)(6) Polea de momento de inercia

Polea de momento de inercia I I₂₂ Los torques vienen dados por: Los torques vienen dados por:

1 1 11 T T TT RR τ τ

= −

(7)(7) 2 2 22 T T TT RR τ τ

=

(8)(8)

Aplicando la segunda ley de Newton rotacional, se tiene: Aplicando la segunda ley de Newton rotacional, se tiene:

(42)

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