DERIVACION NUMERICA
DERIVACION NUMERICA
1.
1. Introducción
Introducción
2.
2. Derivación numérica
Derivación numérica
3.
3. Métodos de diferencias finitas
Métodos de diferencias finitas
3.1. Formulas de diferencias finitas hacia adelante
3.1. Formulas de diferencias finitas hacia adelante
3.1.1. Primera diferencia
3.1.1. Primera diferencia
3.1.2. Segunda diferencia
3.1.2. Segunda diferencia
Ejemplo 1
Ejemplo 1
3.2.
3.2. Formulas de diferencias finitas hacia atrás
Formulas de diferencias finitas hacia atrás
3.2.1.
3.2.1. Primera diferencia
Primera diferencia
3.2.2.
3.2.2. Segunda diferencia
Segunda diferencia
Ejemplo 2
Ejemplo 2
3.3.
3.3. Formulas de diferencias centrales
Formulas de diferencias centrales
3.3.1.
3.3.1. Primera diferencia
Primera diferencia
3.3.2.
3.3.2. Segunda diferencia
Segunda diferencia
Ejemplo 3
Ejemplo 3
4.
4. Inestabilidad numérica de las formulas de
Inestabilidad numérica de las formulas de diferencias finitas
diferencias finitas
4.1. Diferencias centrales
4.1. Diferencias centrales
Derivación numérica por diferencia centrada de
Derivación numérica por diferencia centrada de orden
orden
(ℎ(ℎ
))
Fórmulas de las diferencias centradas de los tres
Fórmulas de las diferencias centradas de los tres puntos
puntos
Derivación numérica por diferencia centrada de
Derivación numérica por diferencia centrada de orden
orden
(ℎ(ℎ
))
Fórmula de los tres puntos
Fórmula de los tres puntos
Fórmula de los cinco puntos
Fórmula de los cinco puntos
Ejercicios resueltos
Ejercicios resueltos
Ejercicios de fijación
Ejercicios de fijación
CAPÍTULO 9
CAPÍTULO 9
La derivada es de uso común en la matemática y la ingeniería, sin embargo, en la práctica, La derivada es de uso común en la matemática y la ingeniería, sin embargo, en la práctica, de muchas funciones con las que
de muchas funciones con las que se trabaja, no se se trabaja, no se conoce su expresión analítica y solamenteconoce su expresión analítica y solamente se dispone de valores en un c
se dispone de valores en un conjunto de puntos.onjunto de puntos.
En algunos casos es necesario proceder a calcular el valor de alguna derivada de algunas En algunos casos es necesario proceder a calcular el valor de alguna derivada de algunas funciones en un punto concreto. En este
funciones en un punto concreto. En este tipo de situaciones no se puede utilizar el tipo de situaciones no se puede utilizar el conceptoconcepto riguroso de derivada por desconocimiento de la expresión de la función. De esta manera riguroso de derivada por desconocimiento de la expresión de la función. De esta manera surge la necesidad de diseñar métodos numéricos que permitan aproximar el valor de las surge la necesidad de diseñar métodos numéricos que permitan aproximar el valor de las derivadas de una función en algún punto a partir del conocimiento de los valores de la derivadas de una función en algún punto a partir del conocimiento de los valores de la función en un soporte dado.
función en un soporte dado.
Los métodos de derivación numérica desarrollados con el fin de aproximar algún valor Los métodos de derivación numérica desarrollados con el fin de aproximar algún valor buscado, muestran un buen comportamiento en numerosos casos. Es por ello que algunas buscado, muestran un buen comportamiento en numerosos casos. Es por ello que algunas veces, aun disponiendo de la expresión analítica de las funciones a derivar, se opta por veces, aun disponiendo de la expresión analítica de las funciones a derivar, se opta por aproximar los valores de las derivadas mediante fórmulas numéricas suficientemente aproximar los valores de las derivadas mediante fórmulas numéricas suficientemente precisas.
precisas.
La diferenciación numérica es muy útil en casos en los cuales se tiene una función cuya La diferenciación numérica es muy útil en casos en los cuales se tiene una función cuya derivada es difícil o complicada de hallar, o en casos en los cuales no se tiene una función derivada es difícil o complicada de hallar, o en casos en los cuales no se tiene una función explícita sino una serie de datos
explícita sino una serie de datos experimentales.experimentales.
El problema de la derivación numérica consiste en la evaluación de
El problema de la derivación numérica consiste en la evaluación de la derivada de la funciónla derivada de la función en un punto, cuando únicamente conoce
en un punto, cuando únicamente conocemos mos los valores de la función en una colección dlos valores de la función en una colección dee puntos x
puntos x00, x, x11,... x,... xnn..
Aunque, en apariencia se trata de un problema similar al de la Integración numérica; de Aunque, en apariencia se trata de un problema similar al de la Integración numérica; de hecho la derivación es más complicada ya que, en la integración los errores tienden a hecho la derivación es más complicada ya que, en la integración los errores tienden a cancelarse, y, como vimos, no necesitamos que la aproximación describa con fidelidad la cancelarse, y, como vimos, no necesitamos que la aproximación describa con fidelidad la función localmente.
función localmente.
Sin embargo, la derivad
Sin embargo, la derivada es una propiedad esenca es una propiedad esencialmente local, por lo ialmente local, por lo cuál deberemoscuál deberemos aproximar la función lo más fielmente posible en el
aproximar la función lo más fielmente posible en el entorno inmediato del punto en el queentorno inmediato del punto en el que la queramos calcular.
la queramos calcular.
Las fórmulas de derivación numérica aparecen en el desarrollo de algoritmos para la Las fórmulas de derivación numérica aparecen en el desarrollo de algoritmos para la solución de problemas de contorno en ecuaciones diferenciales ordinarias (y en solución de problemas de contorno en ecuaciones diferenciales ordinarias (y en ecuaciones en derivadas parciales). En general, podemos obtener aproximaciones ecuaciones en derivadas parciales). En general, podemos obtener aproximaciones numéricas de la derivada
numéricas de la derivada en un punto derivando alguna función interpolante, por ejemploen un punto derivando alguna función interpolante, por ejemplo un polinomio de Lagrange, algún trazador cúbico, etc. Sin embargo, en la práctica un polinomio de Lagrange, algún trazador cúbico, etc. Sin embargo, en la práctica pequeños errores
pequeños errores en los en los datos pueden datos pueden producir malos producir malos resultados resultados en laen las s derivadas. Aquíderivadas. Aquí vamos a experimentar con fórmulas que se obtienen derivando el polinomio interpolante vamos a experimentar con fórmulas que se obtienen derivando el polinomio interpolante de Lagrange. de Lagrange.
DERIVACIÓN NUMÉRICA
DERIVACIÓN NUMÉRICA
Introducción
Introducción
()
()
SecanteSecante(
(
ℎ)ℎ)
(
(
))
((
ℎℎ))
Por definición la derivada de una fuPor definición la derivada de una funciónnciónf f ((x x ) es:) es:
(())==
limlim
→
→
((ℎℎ))()
ℎℎ
()
Las posibles aproximacionLas posibles aproximaciones numéricas de la derivada en un punto es numéricas de la derivada en un punto que podrían calcularseque podrían calcularse tomando una sucesión
tomando una sucesión
{{ℎℎ
}}
, Tal que, Tal que{{ℎℎ
}}→→00
, se tienen las , se tienen las siguientes expresiones.siguientes expresiones.Diferencia
Diferencia hacia
hacia adelante:
adelante:
((
))≈≈ ((
ℎℎ))(
ℎℎ
(
))
Diferencia
Diferencia hacia
hacia atrás:
atrás:
((
))≈≈ (
(
))((
ℎℎ
ℎℎ))
La aproximación de la derivada por este método entrega resultados aceptables con un La aproximación de la derivada por este método entrega resultados aceptables con un determinado error. Para minimizar los errores se estima
determinado error. Para minimizar los errores se estima que el promedio de ambas entregaque el promedio de ambas entrega la mejor aproximación numérica al
la mejor aproximación numérica al problema dado.problema dado.
El método de diferencias finitas consiste en
El método de diferencias finitas consiste en aproximar la función por polinomios. Lasaproximar la función por polinomios. Las fórmulas resultantes pueden clasificarse de las siguientes maneras:
fórmulas resultantes pueden clasificarse de las siguientes maneras: a)
a) En base al orden de En base al orden de la derivada, obteniéndosela derivada, obteniéndose
((
)),,
((
)),,
((
)),…,
,…,
((
))
b)b) En base al orden de En base al orden de la diferencia, pueden ser primera, segunda, tercera, etc.la diferencia, pueden ser primera, segunda, tercera, etc. c)
c) En base a los puntos de apoyo de la formula en la tabla, es decir, si se empleanEn base a los puntos de apoyo de la formula en la tabla, es decir, si se emplean puntos antes, después o ambos lados de algún punto
puntos antes, después o ambos lados de algún punto de interés.de interés. Existen tres tipos y son:
Existen tres tipos y son: 1)
1) Diferencias hacia adelante, cuando se usan puntos anteriores Diferencias hacia adelante, cuando se usan puntos anteriores del punto dedel punto de interés.
interés. 2)
2) Diferencias hacia atrás, cuando se emplean puntos posteriores al Diferencias hacia atrás, cuando se emplean puntos posteriores al punto depunto de interés.
interés. Derivación numérica Derivación numérica
Método de Diferencias Finitas Método de Diferencias Finitas
3) Diferencias centrales. Cuando se usan puntos tanto antes como después del punto de interés.
Referencias para las fórmulas de diferencias finitas:
: Indica el punto de interés, de estudio o de análisis.ℎ
: Espaciamiento constante de la tabla.(
)
: Función evaluada en el punto de análisis.(
+
)=(
ℎ) y (
−
)=(
ℎ)
(
+
)=(
ℎ) y (
−
)=(
ℎ)
′(
)=
(
)
′′(
)=
2(
ℎ
+
)(
)
′′′(
)=
3(
+
)3(
ℎ
+
)(
)
(
)=
4(
+
)6(
ℎ
+
)4(
+
)(
)
′(
)=
4(
2ℎ
+
)3(
)
′′(
)=
4(
+
ℎ
)5(
+
)2(
)
′′′(
)=
14(
+
)24(
2ℎ
+
)18(
+
)5(
)
(
)=2(
+
)11(
+
)24(
+
ℎ
)26(
+
)14(
+
)3(
)
Sea la funciónln
, calcular las derivadas por métodos numéricos en el punto=5
, en base a la siguiente tabla, conℎ=0.1
, aplicando la formula de la primera diferencia finita hacia adelante.
4.7
4.8
4.9
5.0
5.1
5.2
5.3
()
1.54756 1.56862 1.58922 1.60944 1.62924 1.64866 1.6677
Fórmulas de diferencias finitas hacia adelantePrimera diferencia
(
+
)ℎ
(
+
)
(
+
)
(
+
)
Segunda diferencia(
+
)
(
+
)
3(
+
)
Ejemplo 9.1.Para
=
. El valor verdadero de
(5)=.
(5)=.
′(
)= (
+
)(
ℎ
)
= (5.1)(5)
0.1 =1.629241.60944
0.1
=.
=
=0.20.198
0.2 =0.01,
%
=|
×100%|=(0.01)×100%=1%
(
)= 2(
ℎ
+
)(
)
= (5.2)2(5.1)(5)
(0.1)
(
)=1.648662(1.62924)1.60944
0.01
=3.8×10
0.01 =.
−
=
=0.04(0.038)
0.04 =0.05,
%
=|
×100%|=(0.05)×100%=5%
Sea la funciónln
, calcular las derivadas por métodos numéricos en el punto=5
, en base a la siguiente tabla, conℎ=0.1
, aplicando la formula de la segunda diferencia finita hacia adelante.
4.7
4.8
4.9
5.0
5.1
5.2
5.3
()
1.54756 1.56862 1.58922 1.60944 1.62924 1.64866 1.6677
Para=
. El valor verdadero de
(5)=.
(5)=.
′(
)= 4(
2ℎ
+
)3(
)
=(5.2)4(5.1)3(5)
2(0.1)
′(
)=1.648664(1.62924)3(1.60944)
0.2
=1.648666.516964.82832
0.2
′(
)=0.03998
0.2 =.
=
=0.20.1999
0.2 =1×10
−
,
%
=|1×10
−
×100%|=0.01%
Solución:()
Segunda derivada(
+
)
Ejemplo 9.2. Solución:()
Primera derivada(
+
)
′′(
)= )4(
+
ℎ
)5(
+
)2(
)
′′(
)=(5.3)4(5.2)5(5.1)2(5)
(0.1)
′′(
)=1.66774(1.64866)5(1.62924)2(1.60944)
0.01
(
)
=1.66776.594648.14623.21888
0.01
=3.8×10
0.01 =.
−
=
=0.04(0.038)
0.04 =0.05,
%
=|0.05×100%|=%
La aproximación lograda presenta errores muy elevados, pues 1% para la primera derivada y 5% para la segunda derivada, en la primera diferencia hacia adelante es prácticamente intolerable en un cálculo de este tipo. En la segunda diferencia de este mismo método (diferencias finitas hacia adelante) presenta igualmente un error elevado del 0.01% para la primera derivada, que parecería un resultado bastante aceptable, sin embargo esto es debido a la inestabilidad del método, y para la segunda derivada el error es del 5%, valor igual obtenido con la aplicación de la primera diferencia.
Los resultados obtenidos por este método son engañosos, por la inestabilidad que presentan debido a la simplicidad de su forma y a los parámetros reducidos considerados para el cálculo. Si el resultado procurado necesita de cierta exactitud respecto del valor real, este método no es recomendable, ya que casi aleatoriamente puede presentar buena precisión en algunos casos, mientras que en otros producir errores muy grandes.
′(
)=
′′(
)=
)(
−
)
′′′(
)
3(
ℎ
−
)(
−
)
Segunda derivada(
+
Comentarios:Fórmulas de diferencias finitas hacia atrás Primera diferencia
(
)(
ℎ
−
)
(
)2(
ℎ
−
(
)= (
)4(
−
)6(
ℎ
−
)4(
−
)(
−
)
′(
)=3(
)4(
2ℎ
−
)(
−
)
′′(
)=2(
)5(
−
)4(
ℎ
−
)(
−
)
′′′(
)=5(
)18(
−
)24(
2ℎ
−
)14(
−
)3(
−
)
(
)=3(
)14(
−
)26(
−
)24(
ℎ
−
)11(
−
)2(
−
)
Sea la funciónln
, calcular las derivadas por métodos numéricos en el punto=5
, en base a la siguiente tabla, conℎ=0.1
, aplicando la formula de la primera diferencia finita hacia atrás.
4.7
4.8
4.9
5.0
5.1
5.2
5.3
()
1.54756 1.56862 1.58922 1.60944 1.62924 1.64866 1.6677
Para=
. El valor verdadero de
(5)=.
(5)=.
′(
)= (
)(
ℎ
−
)
= (5)(4.9)
0.1 =1.609441.58922
0.1
=.
=
=0.20.2022
0.2 =0.011,
%
=|
×100%|=(0.011)×100%=.%
′′(
)= (
)2(
ℎ
−
)(
−
)
= (5)2(4.9)(4.8)
(0.1)
′′(
)=1.609442(1.58922)1.56862
0.01
=3.8×10
0.01 =.
−
=
=0.04(0.038)
0.04 =0.05,
%
=|
×100%|=(0.05)×100%=%
Segunda diferencia Ejemplo 9.3. Solución:()
Diferencias finitas hacia atrás primera diferencia) Primera derivada
Sea la función
ln
, calcular las derivadas por métodos numéricos en el punto=5
, en base a la siguiente tabla, conℎ=0.1
, aplicando la formula de la segunda diferencia finita hacia atrás.
4.7
4.8
4.9
5.0
5.1
5.2
5.3
()
1.54756 1.56862 1.58922 1.60944 1.62924 1.64866 1.6677
Para=
. El valor verdadero de
(5)=.
(5)=.
′(
)= (
)4(
2ℎ
−
)(
−
)
=3(5)4(4.9)(4.8)
2(0.1)
(
)
=3(1.60944)4(1.58922)1.56862)
0.2
=0.04006
0.2 =.
=
=0.20.2003
0.2 =0.0015,
%
=|0.0015×100%|=.%
′′(
)=2(
)5(
−
)4(
ℎ
−
)(
−
)
=2(5)5(4.9)4(4.8)(4.7)
(0.1)
(
)
=2(1.60944)5(1.58922)4(1.56862)1.54756
0.01
=3×10
0.001 =.
−
=
=0.04(0.03)
0.04 =0.25,
%
=|0.25×100%|=%
La aproximación presentada por este método de diferencias hacia atrás presenta resultados muy parecidos al método de diferencias hacia adelante; sin embargo para la segunda derivada se nota que el error producido es del 25%, totalmente intolerable en un cálculo donde normalmente se pretende precisión y exactitud.
Los resultados obtenidos por este método son igualmente engañosos, debido también a la inestabilidad del método.
Ejemplo 9.4.
Solución:
()
3
Comentarios:
′(
)= (
+
)(
2ℎ
−
)
′′(
)= (
+
)2(
ℎ
)(
−
)
′′′(
)= (
+
)2(
+
)2(
2ℎ
−
)(
−
)
(
)= (
+
)4(
+
)6(
ℎ
)4(
−
)(
−
)
′(
)= 8(
+
12ℎ
)8(
−
)(
−
)
′′(
)=
16(
+
)30(
12ℎ
)16(
−
)(
−
)
′′′(
)=
8(
+
)12(
+
8ℎ
)12(
−
)8(
−
)(
−
)
(
)=(
+
)12(
+
)39(
+
)56(
6ℎ
)39(
−
)12(
−
)(
−
)
Sea la función
ln
, calcular las derivadas por métodos numéricos en el punto=5
, en base a la siguiente tabla, conℎ=0.1
, aplicando la formula de la primera diferencia finita central.
4.7
4.8
4.9
5.0
5.1
5.2
5.3
()
1.54756 1.56862 1.58922 1.60944 1.62924 1.64866 1.6677
Para=
. El valor verdadero de
(5)=.
(5)=.
′(
)= (
+
)(
2ℎ
−
)
= (5.1)(4.9)
2(0.1) =1.629241.58922
0.2
=0.04002
0.2 =0.2001
=
=0.20.2001
0.2 =5×10
−
,
%
=|
×100%|=.%
Primera diferencia Segunda diferencia(
+
)
(
+
)
(
+
)
Ejemplo 9. 5. Solución:()
Primera derivada′′(
)= (
+
)2(
ℎ
)(
−
)
= (5.1)2(5)(4.9)
(0.1)
(
)
=1.629242(1.60944)1.58922
0.01
=1.629243.218881.58922
0.01
=.
=
=0.04(0.042)
0.04 =0.05,
%
=|
×100%|=(0.05)×100%=%
Sea la funciónln
, calcular las derivadas por métodos numéricos en el punto=5
, en base a la siguiente tabla, conℎ=0.1
, aplicando la formula de la segunda diferencia finita central.′(
)=(
+
)8(
+
12ℎ
)8(
−
)(
−
)
′(
)=(5.2)8(5.1)8(4.9)(4.8)
12(0.1)
′(
)=1.6486613.0339212.713761.56862
1.2
=0.24012
1.2 =.
=
=0.20.2001
0.2 =5×10
−
,
%
=|5×10
−
×100%|=.%
) ′′(
)=(
+
)16(
+
)30(
12ℎ
)16(
−
)(
−
)
′′(
)=(5.2)16(5.1)30(5)16(4.9)(4.8)
12×(0.1)
′′(
)=1.6486616(1.62924)30(1.60944)16(1.58922)(1.56862)
0.12
Segunda derivada Ejemplo 9. 6. Primera derivada Segunda derivada′′(
)=1.6486626.0678448.277225.427521.56862
0.12
=8.8×10
0.12 =0.0073
−
=
=0.040.0073
0.04 =1.1825,
%
=|
×100%|=.%
b) Se buscará de nuevo la derivada segunda, pero con un valor de hmenor que el anterior, reduciendo dicha amplitud o peso de h a la mitad, o sea: de
ℎ=0.1 a ℎ=0.05
4.85
4.90
4.95
5.00
5.05
5.10
5.15
()
1.57897
9
1.58923
5
1.59938
8
1.6094
4
1.61938
8
1.6292
4
1.63899
7
′′(
)=(
+
)16(
+
)30(
12ℎ
)16(
−
)(
−
)
′′(
)=(5.1)16(5.05)30(5.00)16(4.95)(4.90)
12(0.05)
′′(
)=1.6292416(1.619388)30(1.60944)16(1.599388)(1.589235)
0.03
′′(
)=1.6292425.910248.283225.59021.589235
0.03
=
′′(
)=1.275×10
0.03 =0.0425
−
=
=0.04(0.0425)
0.04 =0.0625,
%
=|
×100%|=6.%
La primera diferencia de estas diferencias finitas centrales presenta resultados parecidos a los anteriores, sin embargo, la segunda derivada de la segunda diferencia de diferencias centrales presenta un error mucho mayor que el 100% (118,25%), razón por la cual ni siquiera necesita ser estudiado, no es que la fórmula empleada sea errónea, sino que la inestabilidad que produce este grupo de formulas no presenta garantías de buen
resultados en el cálculo de diferencias, agregándose a esto la amplitud de h , que en este caso particular parece ser muy elevado, que en vez de converger hacia el resultado exacto, diverge; sin embargo, al reducir el valor de h a la mitad, el resultado obrtenido se hacerca bastante al valor verdadero, pues el error porcentual producido es solamente del 6,25%, pero aun así, sigue siendo un error muy grande.
Por lo tanto, a modo de conclusión general respecto a estas formulas de diferencias finitas, cuando se desea precisión, estas formulas de diferencias finitas no son las recomendadas y se tomaran simplemente a modo didáctico.
Las formulas presentadas anteriormente como tablas, son inestables por naturaleza, debido a la operación de dividir entre números cercanos a 0. El problema aumenta para las fórmulas de mayor orden de derivación, debido a la división entre potencias de h cada vez mayores.
Estas fórmulas no son recomendadas en los procesos en que se desean resultados relativamente precisos, pues como se dijo, presentan inestabilidad inherente en la formula, por lo tanto, su uso no es recomendado, sin embargo, para fines didácticos son totalmente aceptables la presentación de esta tabla.
La precisión de la fórmula aumenta cuando mayor sea el orden de la diferencia, por otro lado, cuanto mayor sea el orden de la derivada la formula se vuelve menos confiable. Por último es bueno indicar que las formulas centrales presentan mayor confiabilidad que cualquiera de las otras dos.
La deducción de las fórmulas puede hacerse empleando las fórmulas de interpolación, o directamente la serie de Taylor.
DIFERENCIAS CENTRALES
Este método de aproximación numérica presenta la característica de que los valores de
(ℎ)
y(ℎ)
se sitúan a ambos lados de
tanto a la derecha como a la izquierda de
.(
)
Suponiendo que
ℎ ∈[,]
, entoncesAdemás existen
=()
(
)= (
ℎ)(
2ℎ
( ,ℎ)=ℎ
6
()
Este Teorema se presenta sin demostración:1
1 La demostración de este teorema se encuentra en: Velázquez Zapateiro, Jorge. (2007). Análisis
Numérico (pág. 162). Notas de clase. Edición Uninorte. Barranquilla. Colombia
Inestabilidad numérica de las fórmulas de diferencias finitas
Derivación numérica por diferencia centrada de orden
Teorema 9.1.
∈
[,],(
ℎ),(
)
(
)≈ (
ℎ)(
2ℎ
ℎ)
∈[,]
, tal que
ℎ)
(,ℎ)
(
)
Suponiendo que
∈
[,],(
2ℎ),(
ℎ),(
ℎ),(
2ℎ)∈[,]
, entonces:
()≈(
2ℎ)8(
ℎ)8(
12ℎ
ℎ)(
2ℎ)
Además existe=(
)∈[,]
, tal que
()≈(
2ℎ)8(
ℎ)8(
12ℎ
ℎ)(
2ℎ)
( ,ℎ),
con
( ,ℎ)=ℎ
30 =(ℎ
()
)
Este Teorema se presenta sin demostración:2
Si
(6)
, usando las fórmulas de las diferenciasa) Con La formula de diferencias centradas de orden
(ℎ
)
(
)= (
ℎ)(
2ℎ
ℎ)
(6)= (6.1)(5.9)
2(0.1) =0.9832680.927478
0.2
=0.005579
0.2 =.
El valor exacto de()=
, para(6)=0.2794154982
=
=0.2794150.27895
0.279415 =1.6642×10
−
,
%
=|
×100%|=.%
Si
(6)
, usando las fórmulas de las diferencias
()=(
2ℎ)8(
ℎ)8(
12ℎ
ℎ)(
2ℎ)
(6)=(6.2)8(6.1)8(5.9)(5.8)
12(0.1)
2 La demostración de este teorema se encuentra en: Velázquez Zapateiro, Jorge. (2007). Análisis
Numérico. Notas de clase. Edición Uninorte. Barranquilla. Colombia
Derivación numérica por diferencia centrada de orden Teorema 9.2.
Ejemplo 9.7.
()=
, calcular la aproximación de
centradas de orden(ℎ
)
conℎ=0.1
Solución
Ejemplo 9.8.
()=
, calcular la aproximación de
centradas de orden(ℎ
)
conℎ=0.1
(6)=0.9965428(0.983264)8(0.927478)0.885520
1.2
(6)=0.9965427.8661127.4198240.885520
1.2
=0.335266
1.2 =.
El valor exacto de()=
, para(6)=0.2794154982
=
=0.2794150.279388
0.279415 =2.7×10
0.279415=9.663×10
−
−
,
%
=|
×100%|=9.663×10
−
×100%=.%
A primera vista parecería ser que estas formulas de diferencias centrales se acercan bastante al valor verdadero de la derivada de la función buscada, ya que con las diferencias centradas de orden
(ℎ
)
el error producido en el ejemplo es de apenas 0.166%, error bastante pequeño; sin embargo en error producido con la formulas de diferencias centradas de orden(ℎ
)
es aun menor, tan solo de 0.0096%.De nuevo vale repetir que estas formulas de diferencias centradas parecen bastantes precisas.
La formula de diferencias centradas de orden
(ℎ
)
es una de las recomendadas para hallar la primera derivada de()
.
()= 12ℎ[ (
ℎ)(
ℎ)]ℎ
6
(
)
()= (
ℎ)(
2ℎ
ℎ)
ℎ
6
(
)
(.)
(
)= 12ℎ[3(
)4(
ℎ)(
2ℎ)]
(
3
)ℎ
(
)= 3(
)4(
2ℎ
ℎ)(
2ℎ)
(
3
)ℎ
(.)
Las ecuaciones (9.1) y (9.2) son las llamadas fórmulas de los tres puntos de derivación numérica, aun cuando la formula (9.1) solamente utiliza dos puntos y no aparece en ella el punto central
. El error presentado en la ecuación (9.1) es aproximadamente la mitad que en la ecuación (9.2), esta situación se debe a que en la ecuación (9.1) se usan datos que están Comentarios
desconoce el valor del otro lado que está fuera del intervalo.
La ventaja que presenta la ecuación (9.1) es su simplicidad, ya que
solamente se evalúa en dos puntos, mientras que la ecuación (9.2) necesita tres puntos.Aproximar el valor de la función
(3) si ()=
, utilizando la fórmula (9.1) de los tres puntos, conℎ=0.1
()= (ℎ)(ℎ)
2ℎ
= (3.1)(2.9)
0.2 =ln3.1×3.1ln2.9×2.9
0.2
=0.0470440.254731
0.2
El valor verdadero de la derivada de la función
()= es
(3)=.
=|
|=|1.040578 –(1.038437)|=2.141×10
−
=0.002141
=
=
0.002141
1.040578=2.0575×10
−
=0.0020575
%
=
×100%=0.0020575×100%=.%
La aproximación lograda es bastante buena, pues el error porcentual es solamente del 0.2%, y este valor es aceptable para cualquier cálculo promedio. Además, debe tenerse siempre en cuenta el tipo de cálculo que se realiza y la precisión que se requiera para estimar el error.
Aproximar el valor de la función
(3) si ()=
, utilizando la fórmula (9.2) de los tres puntos, conℎ=0.1
La solución inicia con la formula de los tres puntos (9.2)
(
)= 12ℎ[3(
)4(
ℎ)(
2ℎ)]
(3)= 10.2[3(3)4(30.1)(32×0.1)]= 10.2[3(3)4(3.1)(3.2)]
Ejemplo 9.9. Solución:Se parte de la fórmula:
(3)= (30.1)(30.1)
2(0.1)
(3)=1.131402×0.0415811.064712×0.239249
0.2
(3)=0.207687
0.2 =.
Estimación de error: Comentarios: Ejemplo 9.10. Solución:
(3)= 10.2[3(3×3)4(3.1×3.1)(3.2×3.2)]
(3)= 10.2[3(1.09861×0.14112)4(1.13140×0.04158) (1.16315×(0.05837)]
(3)= 10.2[3(0.155036)4(0.0470436)(0.067893)]
(3)= 10.2[0.4651080.18817440.067893]= 10.2[0.2090406]=.
El valor verdadero de la derivada de la función()= es
(3)=1.040578
=|
|=|1.040578 –(1.045203)|=4.625×10
−
=0.004625
=
=
0.004625
1.040578=4.4446×10
−
=0.0044446
%
=
×100%=0.0044446×100%=.%
En este caso, con la aplicación de la formula (9.2) de los tres puntos la aproximación lograda es de menor precisión que la de (9.1), aun así, sigue siendo bastante buena la aproximación lograda, pues el error porcentual es de 0.44%.
Comparando los dos ejercicios resueltos se nota claramente que la ecuación (9.1) presenta menor error, aproximadamente la mitad de error producido por (9.2), lo que se había ya indicado al definir las dos fórmulas de los tres puntos.
grande dependiendo siempre de la precisión que se desee al evaluar una determinada función.
ℎ)(
2ℎ)]
()
3ℎ
, ∈[
,
2ℎ]
(
)=
ℎ)]
()
3!ℎ
, ∈[
ℎ,
ℎ]
Aproximar el valor de la función
(3) si ()=
, utilizando la fórmula de los tres puntos, conℎ=0.1
La solución inicia con la formula de los tres puntos
(
)= 12ℎ[ (
ℎ)(
ℎ)]
Estimación de error:Comentarios:
Importante: Recodar siempre que el error puede ser pequeño o
Fórmula de los tres puntos
(
)= 12ℎ[3(
)4(
12ℎ[ (
ℎ)(
Ejemplo 9.11.Se parte de la fó rmula:
()= (ℎ)(ℎ)
2ℎ
(3)= 1
2×0.1[ (30.1)(30.1)]= 10.2[3(3)4(3.1)(3.2)]
(3)= 10.2[3(3×3)4(3.1×3.1)(3.2×3.2)]
(3)= 10.2[3(1.09861×0.14112)4(1.13140×0.04158) (1.16315×(0.05837)]
(3)= 10.2[3(0.155036)4(0.0470436)(0.067893)]
(3)= 10.2[0.4651080.18817440.067893]= 10.2[0.2090406]=1.045203
El valor verdadero de la derivada de la función()= es
(3)=1.040578
=|
|=|1.040578 –(1.045203)|=4.625×10
−
=0.004625
=
=
0.004625
1.040578=4.4446×10
−
=0.0044446
%
=
×100%=0.0044446×100%=0.44446%
En este caso, con la aplicación de la formula de los tres puntos la aproximación lograda es de menor precisión que la de las diferencias centradas, aun así, sigue siendo bastante buena la aproximación lograda, pues el error porcentual es de 0.44%, un poco mayor que la de las diferencias centradas de tan solo del 0.2%.
(
)= [25(
)48(
ℎ)36(
2ℎ)16(
3ℎ)3(
4ℎ)]
()
(
5 ,
)ℎ
.)
(
)= 112ℎ[3(
ℎ)10(
)18(
ℎ)6(
2ℎ)(
3ℎ)]
()
(
5 ,
)ℎ
(
)= 112ℎ[ (
2ℎ)8(
ℎ)8(
ℎ)(
2ℎ)]
()
30 ,
(
)ℎ
Estimación de error: Comentarios:Fórmula de los cinco puntos
(
)= 112ℎ[4(
3ℎ)6(
2ℎ)8(
ℎ)34(
)3(
ℎ)
34(
)]
()
(
30 ,
)ℎ
(
)= 112ℎ[ (
4ℎ)3(
3ℎ)4(
2ℎ)36(
ℎ)25(
)]
()
(
5 ,
)ℎ
Entre las distintas fórmulas de cinco puntos, las más utilizadas son:
(
)= 112ℎ[25(
)48(
ℎ)36(
2ℎ)16(
3ℎ)3(
4ℎ)]
()
(
5 ,
)ℎ
.)
(
)= 112ℎ[ (
2ℎ)8(
ℎ)8(
ℎ)(
2ℎ)]
()
30 , .
(
)ℎ
Aproximar el valor de la función
(3) si ()=
, utilizando la fórmula de los cinco puntos, conℎ=0.1
Se inicia el cálculo de la solución partiendo de la formula de los cinco puntos
(
)= 112ℎ[ (
2ℎ)8(
ℎ)8(
ℎ)(
2ℎ)]
(3)= 1
12×0.1[ (30.2)8(30.1)8(30.1)(30.2)]
(3)= 11.2[ (2.8)8(2.9)8(3.1)(3.2)]
(3)= 11.2[(2.8×2.8)8(2.91×2.9)8(3.1×3.1)(3.2
×3.2)]
Ejemplo 9.12. Solución:
(3)= 11.2[1.029619×(0.334988)8(1.06471×0.239249)8(1.1314×0.04158)
(1.16315×(0.058374)]
(3)= 11.2[(0.34491)8(0.25473)8(0.047044)(0.0678977)]
(3)= 11.2[(0.34491)2.037840.3763520.0678977]
(3)= 11.2[1.24868]=1.0405669
El valor verdadero de la derivada de la función
()= es
(3)=.
=|
|=|1.040578 –(1.0405669)|=1.111×10
−
=0.0001111
=
=
0.0001111
1.040578=1.06768×10
−
=0.000106768
%
=
×100%=0.000106768×100%=0.0106%
La aproximación lograda con la formula de los cinco puntos es excelente, puede notarse en este ejercicio que el error porcentual es de apenas 0.01%, y que la aproximación lograda puede considerarse un valor totalmente valido, demostrando que este método es el mejor que cualquiera de lo empleado anteriormente.
Estimación de error:
EJERCICIOS RESUELTOS
Para estudiar un determinado fenómeno físico, se registran los cambios producidos en él en la siguiente tabla. Aproxima el valor de la derivada a
(1.3)
utilizando la formula de derivación numérica por diferencia centrada de orden(ℎ
)
x
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
()
2.5 2.436851 2.372895 2.308785 2.245066 2.182179 2.120472
(
)= (
ℎ)(
2ℎ
ℎ)
(1.3)= (1.4)(1.2)
2(0.1) =2.2450662.372895
0.2
=0.127829
0.2 =.
El valor exacto de(1.3)=0.639962
=
=0.639962(0.639145)
0.639962
=8.17×10
0.639962 =1.277×10
−
−
,
%
=|
×100%|=|1.277×10
−
×100%|=.%
Para estudiar un determinado fenómeno físico, se registran los cambios producidos en él en la siguiente tabla. Aproxima el valor de la derivada a
(1.3)
utilizando la formula de derivación numérica por diferencia centrada de orden(ℎ
)
x
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
()
2.5 2.436851 2.372895 2.308785 2.245066 2.182179 2.120472
()=(
2ℎ)8(
ℎ)8(
12ℎ
ℎ)(
2ℎ)
Ejercicio resuelto 9.13. Solución Ejercicio resuelto 9.14. Solución
()=(1.5)8(1.4)8(1.2)(1.1)
12(0.1)
()=2.1821798(2.245066)8(2.372895)(2.436851)
1.2
()=2.18217917.96052818.983162.436851
1.2
=0.76796
1.2 =.
El valor exacto de(1.3)=0.639962
=
=0.639962(0.639967)
0.639962
= 5×10
0.639962=7.813×10
−
−
,
%
=|
×100%|=|1.813×10
−
×100%|=.%
Aproximar el valor de la función
(5.7) si ()=2
, utilizando la fórmula de los tres puntos (9.2), conℎ=0.1
(
)= 3(
)4(
2ℎ
ℎ)(
2ℎ)
(
3
)ℎ
5.7
5.8
5.9
()=2cos
9.515726 10.272026 10.944245
(5.7)= 3(5.7)4(5.8)(5.9)
2(0.1)
=3(9.515726)4(10.272026)(10.944245)
2(0.1)
(5.7)= ,28.54717841.08810410.944245
0.2
=1.596681
0.2 =.
El valor verdadero de la derivada de la función
()=2 es
(5.7)=7.947241
=
=
7.9472417.983405
7.947241 =4.55×10
−
=0.00455
%
=
×100%=0.00455×100%=.%
Aproximar a
()=ln
, utilizando la fórmula de los cinco puntos, conℎ=0.1
Ejercicio resuelto 9.15. Solución Estimación de error: Ejercicio resuelto 9.15.′(4.2)
la función
(
)= (
2ℎ)8(
ℎ)8(
12ℎ
ℎ)(
2ℎ)
()
(
30 ,
)ℎ
4.0
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
()
=
1.605081 2.008577 2.551264 3.334172 4.587527 6.974906
(4.2)= (4.0)8(4.1)8(4.3)(4.4)
12(0.1)
(4.2)=1.6050818(2.008577)8(3.334172)(4.587527)
1.2
(4.2)=1.60508116.06861626.6733764.587527
1.2
=7.622314
1.2 =.
El valor verdadero de la derivada de la función()= es
(4.2)=.
=
=
6.3939516.351928
6.393951 =6.5723×10
−
=0.0065723
%
=
×100%=0.0065723×100%=.%
Por el método de diferencia hacia adelante encontrar la derivada de la función f(x) para x=2, o sea encontrar f´(x). Para resolver este ejercicio utilize la siguiente tabla de x y f(x).
Ejercicio medio (Respuesta)
Derivación lineal de Newton
1. Dada la función , aproxima el valor de su derivada en el punto , con la fórmula de derivación lineal de Newton.
a).- Establece la fórmula de derivación lineal de Newton para este problema. b).- Calcula el valor de la derivada con incremento constante .
Solución
Nota: Para los cálculos utiliza hasta 6 cifras después del punto decimal.
Solución
a).- Para establecer la fórmula de derivación de Newton, se recurre a la fórmula de interpolación de Newton:
, En donde:
, es el incremento constante,
y la k -ésima diferencia en la posición i .
Derivando con respecto a x, por la regla de la cadena tenemos (expresión 5.8 del libro página
237):
Finalmente se llega a la fórmula de derivación lineal por Newton:
b).- Con base en la fórmula anterior se calcula el valor de la derivada con incremento
constante .
Evaluando la función en cada uno de los puntos:
y Luego:
La carga en un circuito eléctrico con base en el tiempo está dada por: t q 0.000 2.5000 0.002 2.5523 0.004 2.6087 0.006 2.6682 0.008 2.7299 0.010 2.7931
En donde t es el tiempo en segundos y q la carga en coulombios. Se sabe que la corriente instantánea es igual a la derivada de la carga en ese instante; determina por derivación lineal de Newton la corriente del circuito en t =0.005 segundos.
a) Establece la fórmula de derivación lineal de Newton para este problema. b) Calcula el valor de la derivada con incremento constante h =0.002 .
Nota: Para los cálculos utiliza hasta 4 cifras después del punto decimal.
Aplicación a la medicina
Para estudiar la tasa de crecimiento de una bacteria se hacen cultivos y se registran sus cambios periódicamente durante 7 días obteniéndose los valores de la siguiente tabla:
Tiempo en días Bacterias
0 35 1 52 2 95 3 140 4 198 5 266 6 342 7 465
Empleando los valores de la tabla anterior aproxima por derivación de Newton la tasa de crecimiento al cuarto día.
a) Establece la fórmula de derivación lineal de Newton para este problema. b) Calcula el valor de la derivada con incremento constante h 1.
Nota: Para los cálculos utiliza hasta 4 cifras después del punto decimal.
1. Dada la función 3.4 1 3.5 ( ) 2 2 0.25 x x x e f x x
, aproxima el valor de su derivada en el punto x 1.25, con
Ejercicio resuelto Nº 7
Ejercicio resuelto Nº 8
a) Establece la fórmula de derivación lineal de Newton para este problema. b) Calcula el valor de la derivada con incremento constante h 0.05.
c) Calcula el error absoluto de la aproximación, con el valor real de f (1.25)1.079616...
Nota: Para los cálculos utiliza hasta 6 cifras después del punto decimal.
2. Dada la siguiente tabla de valores obtenidos en observaciones en diferentes tiempos de un experimento: t y 0 38.20 0.20 35.25 0.50 30.45 0.60 27.80 0.85 24.90 1.10 22.75
Por medio de la diferenciación de Lagrange de segundo grado hacia delante aproxima el
valor de rapidez de decrecimiento del fenómeno en estudio en el tiempo t 0.55.
a) Establece la fórmula de la derivación de Lagrange de segundo grado para este problema.
b) Aproxima la derivada numérica en t0.55.
Nota: Para los cálculos utiliza hasta 3 cifras después del punto decimal.
1. La siguiente tabla contiene los datos de f(x) = senh(x) correctos hasta las
cifras dadas.
x 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
f(x) 1.5095 1.6984 1.9043 2.1293 2.3756
Calcular f 0(1.4) mediante las tres f´ormulas de 3 puntos. Comparar los
resultados
obtenidos con la soluci´on f 0(1.4) = 2.150898. Obtener tambi´en f 00(1.4) y
compararla con la real.
2. Con los datos
x 1 1.01 1.02
f i1.27 1.32 1.38
a) Aproximar f 0(1.005) y f 0(1.015)
b) Aproximar f 00(1.01) usando los resultados del apartado a).
c) Obtener f 00(1.01) con la f´ormula de la derivada segunda
3. La siguiente tabla contiene los valores de f(x) =1
_ R _ 0cos(xsen t)dt x 0 0.2 0.4 0.6 0.7 0.9 f i1 0.990025 0.960398 0.912005 0.881201 0.807524 Sabemos que f 2 C1(lR) y 8n 2 lN y __ f n)(x) __ _ 1 Ejercicio resuelto Nº 10
a) Mediante interpolaci´on con 3 puntos estimar f 0(0.5) y acotar el error
cometido.
b) Mediante interpolaci´on con cinco puntos estimar f 0(0.4) y acotar el error
cometido.
c) Mediante interpolaci´on con 3 puntos estimar f 00(0.2) y acotar el error
cometido.
d) Mediante interpolaci´on con 5 puntos estimar f 00(0.4) y acotar el error
cometido.
4. De cierta funci´on f 2 C1(lR) se conoce los datos
x 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
f i1.5095 1.6984 1.9043 2.1293 2.3756
y que para todo n´umero natural n y para todo x 2 [1, 2] se tiene que __ f n)(x) __ _ e2+ e−1 2 .
Aproximar f 0(1.4) y f 00(1.4) mediante f´ormulas de 5 puntos y estimar el error
cometido.
Ejercicio resuelto Nº 11
EJEMPLO. Consideremos la siguiente tabla de datos
0.00 1.00 0.01 1.010050167 0.02 1.02020134 0.03 1.030454534 0.04 1.040810774 0.05 1.051271096 0.06 1.061836547 0.07 1.072508181 0.08 1.083287068 0.09 1.094174284 Estimar y .
SOLUCIÓN. Para estimar se puede usar la fórmula de cinco puntos
mientras que para estimar podemos usar una fórmula de tres puntos,
para ser exactos, la fórmula apropiada es la fórmula para .
Ejercicio
EJERCICIOS 1. Considere la tabla 1.1 1.042236692 1.2 1.082222055 1.3 1.120140413 1.4 1.156156396 1.5 1.190417757 1.6 1.223057566 1.7 1.254195979 1.8 1.283941742i.) En Excel, estimar , y y comparar
con el valor real.
ii.) En Excel, estimar , y y comparar
con el valor real.
2. Implementar una hoja en Excel, con o sin macros, para que poder calcular la aproximación de cada una de las derivadas usando las cinco fórmulas vistas en la teoría.
EJERCICIOS DE FIJACIÓN 11) 12) 13) 14) 15)
Tenemos una funciónf (x ) y se quiere hallar la derivada en el punto a
Para calcular la derivada por definición se utiliza este método que consiste en los 5 siguientes pasos:
1- calcular
()
2. Calcular(ℎ)
3. Calcular
∆
que es(ℎ)()
Método de los 5 pasos4.Calcular ∆ℎ
5.Calcular
lim
→
∆ℎ
Calcular la derivada de f (x ) =x 3 en el punto a
1- calcular
()=
2. Calcular
(ℎ)=(ℎ)
=
3
ℎ3ℎ
ℎ
3. Calcular
∆=
3
ℎ3ℎ
ℎ
=3
ℎ3ℎ
ℎ
=ℎ(3
3ℎℎ
)
Se ha sacado el factor común h para que el siguiente paso sea fácil.4.Calcular: ∆ℎ=ℎ(3
3ℎℎ
ℎ
)
= 3
3ℎℎ
5.Calcular
lim
→
∆ℎ=
lim
→
(3
3ℎℎ
)=
Como cualquier tipo de operación numérica, la diferenciación numérica refiere a una función
∈
[,]
y un punto arbitrario
en[,]
. Se necesita un método para aproximar
(
)
, con
=x
h
para algúnℎ≠0
, lo suficientemente pequeña para asegurar que
∈[,]
, se calcula
,
()
. Usando la siguiente notación:Sea f(x) una función derivable en un cierto intervalo I de la recta real y sea x* un punto de dicho intervalo. Consideremos además un soporte de (n+1) puntos {x0, x1, ..., xn} del intervalo I en el que se suponen conocidos los valores de la función f(x). Por simplicidad supondremos además, en todo cuanto sigue, que los puntos del soporte son todos ellos distintos y están ordenados de menor a mayor es decir que: x0 < x1 < ... < xn.
Ejemplo
Diferenciación numérica
2. Fórmulas de derivación numérica
Siendo f(x) una función de la que se conocen sus valores en el soporte de (n+1) puntos {x0 , x1, ...., xn} del intervalo I, se denomina
expresión de la forma: f’(x*)
≈ '
* f= c0.f(x0) + c1.f(x1)+ …. + cn.f(xn) = n i i i 0 c .f(x )= Σ
donde c0, c1, …, cn son (n+1) escalares denominados
La fórmula de derivación que se acaba de definir puede decirse que es una fórmula lagrangiana pues en ella sólo intervienen valores de la función f en los puntos del soporte. Podrían considerarse fórmulas más generales, hermitianas,
en las que el valor de f’(x*) fuese aproximado a partir del valor de la función f y de algunas de sus derivadas en los puntos del soporte. No obstante, estas
últimas fórmulas tienen un uso mucho más esporádico que las de ti po
lagrangiano y es por ello que en este tema nos limitaremos a considerar como fórmulas de derivación numérica tan sólo a las que hacen intervenir los valores de la función en los puntos del soporte.
En general el valor aproximado '*
f y el valor exacto f’(x*) dif
erirán,cometiéndose un error en la aproximación de f’(x*). Es por ello que junto a la
definición de una fórmula numérica conviene precisar de forma rigurosa la definición del error que con ella se comete. En este sentido se introduce la siguiente definición:
Derivación Numérica Carlos Conde, Arturo Hidalgo, Alfredo López ETSI Minas de la Universidad Politécnica de Madrid
.
Siendo'
* fla aproximación de f’(x*) que se obtiene operando sin error de redondeo según la fórmula de derivación numérica:
f’(x*)
≈ '
* f= n i i i 0 c .f(x )= Σ
se denomina la función f al valor Rf(x*) = f’(x*) -' fórmula de derivación numérica para aproximar el valor de la primera derivadaf’(x) n l punto x* sobre el soporte de puntos considerado, a toda
coeficientes(o
pesos ) de la fórmula de derivación NOTA:
Definición 2.2.
