ECUACIONES DIFERENCIALES : PROBLEMAS GEOMÉTRICOS ELEMENTOS GRÁFICOS Sea la curva: F(x,y)=0 Donde: Tan α= y´p Τan δ= −Tan β =
La ecuación de la tangente a un punto P(x,y): Lt: y-yp = y´p (x-xp)
La ecuación de la normal a un punto P(x,y): Ln: y-yp = (x-xp)
Las coordenadas de la intersección de la tangente con el eje de abscisas:
Como y=0; en y-yp = y´p (x-xp)
A= ( , 0)
Y de la normal con el eje de abscisas: C= (xp+yp y´p , 0)
La proyección de la tangente sobre el eje de abscisas (sub-tangente): AB = xp –( )=
La proyección de la normal sobre el eje de abscisas (sub-normal): BC = xp+yp y´p - xp = yp y´p
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Hallar la curva en la que el área encerrada por dicha curva, los ejes y la proyección de la ordenada en un punto cualquiera; es igual al producto de las coordenadas de dicho punto.
Derivando y=y+x 0= x
x=0 =0 y=C
2. El triángulo formado por la tangente a una curva en un punto P(x,y), el segmento que lo une con el origen y el eje “y”: es isósceles; si tiene su base en dicho eje, hallar la curva que pasa por el punto
3 2 , 2 3 Solución:
Por propiedad de los triángulos isósceles, la altura lo divide en dos triángulos congruentes. Tan (η) = -y´= Entonces → Ln =Ln → c=yx
La curva que pasa por 3 2,
2 3
1=xy
3. Hallar la curva donde el producto de la abscisa de un punto P(x,y) con la abscisa del intercepto de la tangente con el eje “x”, es siempre el doble del cuadrado de la distancia del punto con el origen.
Del enunciado se tiene (d)(x)=2r2
Por Pitágoras se sabe
Además
→
Por lo que el problema queda
( )( )=
Dado que son homogeneas de grado 2 Se puede pensar y=zx
dy=xdz+zdx El problema queda
Eliminando Z
4. La intersección de la tangente a un punto P(x,y) de una curva con el eje de abscisas es siempre igual a la ordenada de dicho punto. Hallar la curva que pasa por el punto 0,1.
Solución:
Como se sabe (ver elementos geométricos), el intercepto de la tangente con el eje “x” es
Entonces
Dado que y x-y , son funciones homogeneas de grado 1 ; Sea y=zx
dy=xdz+zdx El problema queda
(x)(1-z) xdz+zdx-zxdx=0
Integrando
Ln =Ln + → Ln - Ln =
Ln = →Ln
La curva que pasa por 0, 1
5. Encontrar la familia de curvas en la que la porción de la tangente a un punto P(x,y), comprendida ente P y el eje “y” se divide en dos partes iguales por el eje “x”.
Solución:
Dado que la tangente se biseca en el eje “x”; se presentan 2 triángulos congruentes.
Entonces
= → = Integrando
Ln =2Ln → y= Cx2
6. Los ángulos formados por la tangente a un punto y el eje “x”, y el formado con el segmento que une al punto con el origen y dicho eje; son complementarios. Hallar la familia de curvas que cumplen dicha condición. Solución: Del enunciado γ+φ=90° Además Tan (γ) = Tan (φ) =
Por trigonometría se sabe
Como Tan (90°) → ∞, entonces
→ 1=
Integrando x2 – y2 =c
7. Encontrar la curva en la que la pendiente de la recta tangente a cualquier punto es igual al promedio aritmético de las coordenadas de dicho punto.
Solución:
Del enunciado se tiene =
Por conveniencia sea z= x+y Derivando con respecto a x
=1
Entonces el problema queda 2 - 2 = z → =
Integrando
2Ln =x+k → (Z+2)2= Cex
(x+y+2)2=cex
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Encontrar una curva en la que la sub-tangente siempre mida 1, y que pase por el punto 0,5.
Rpta: y=5ex
2. La normal en cada punto de una curva y el segmento que lo une al origen (0,0), forma un triángulo isósceles con base en el eje “x”. Hallar la familia de curvas que cumplen la condición, y aquella que pasa por el punto 1,0.
Rpta: x2 – y2 = c ; x2-y2=1
3. Qué curva cumple condición: la pendiente de la recta normal en un punto P(x,y) es numéricamente igual a la razón entre la abscisa y la ordenada de dicho punto.
Rpta: xy=c
4. Encontrar la curva, sabiendo que el área comprendida entre los ejes, la curva y la proyección de la ordenada en un punto cualquiera; es igual cuadrado de la ordenada de dicho punto
Rpta: y=
2 x
+c
5. Encontrar la curva en la que todas sus rectas normales pasan por el origen; comprobar que sus distancias al mismo son constantes.
Rpta: x2+y2=c
6. Hallar la curva en la que la tangente a cualquier punto siempre intercepta al eje de abscisas en el punto 1,0.
Rpta: y=c(x-1)
7. La proyección de la ordenada de un punto P(x,y), la recta tangente a P y el eje de abscisas forman un triángulo de área constante igual a
2u2. Hallar la familia de curvas que cumplen esta condición, y aquella que pasa por 1,-2.
Rpta: yx+cy=-4; yx+y=-4
8. Hallar la curva que pasa por el punto 0,7; donde la proyección de la tangente a un punto cualquiera sobre el eje “x”(sub-tangente), sea numéricamente igual a la suma de las coordenadas de dicho punto. Rpta: y= 7e^ y
x
9. Encontrar la familia de curvas en la que la porción de la tangente a un punto P(x,y), comprendida ente P y el eje “x” se divide en dos partes iguales por el eje“y”.
Rpta: x = cy2
10. Encontrar la curva que pasa por el punto 0,π; tal que la pendiente de la tangente a un punto cualquiera es igual a 4 veces la ordenada de ese punto.
Rpta: y= πe4x.
11. Hallar una curva donde la pendiente de la tangente a un punto P (x,y) es 5 veces la pendiente de la recta que pasa por P y el origen; cuando pasa por 2,64.
Rpta: y=2x5
12. Encontrar la familia de curvas donde la porción de la normal a un punto P(x,y), comprendido entre el eje de las “y” y dicho punto; se divide en dos partes iguales al cortar el eje “x”.
Rpta: 2y2 + x2 =c
13. Hallar la curva donde el producto de la abscisa de un punto P(x,y) con la abscisa del intercepto de la normal con el eje “x”, es siempre el doble del cuadrado de la distancia del punto con el origen.