Departamento de Ciencias Exactas Física Deber nº11.- Inercia
Jhonny Sánchez Nrc.-1332 PROBLEMA 1.
En la fig., el peso Wc=2g lb es movido hacia abajo con una velocidad de V=16 pies/s2. El momento de Inercia del tambor B es I=12 pie-lb-s2, el cual rota sin fricción. Si el coeficiente de rozamiento entre el freno A y el tambor es µ =0,40; cual será la fuerza P necesaria para detener el sistema en t=2s. Cuál es la reacción en D sobre la barra.
𝑎𝑡 = 𝑉 𝑟 = 16 2 = 8𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝑎𝑡 = 𝛼 ∗ 𝑟 −8 = 𝛼 + 1.25 𝛼 = −6.4 𝑎 = 𝛼 ∗ 𝑟 = −6.4 ∗ 1.25 = −8 𝑚/𝑠2 𝐹 = 𝑚 ∗ 𝑎 𝑚 ∗ 𝑔 − 𝑇 = 𝑚 ∗ 𝑎 28 − 𝑇 = 28 32.3 ∗ −8 𝑇 = 34.96 𝑁 𝜏 = 𝐼 ∗ 𝛼 𝐹𝐹𝑟 ∗ 𝑅 − 𝑇 ∗ 𝑟 = 𝐼 ∗ 𝛼 − 𝐹𝐹𝑟 ∗ 2 + 34.96 ∗ 1.25 = 12 ∗ −6.4 𝐹𝐹𝑟 = 60.25 𝑁 T m*g
𝑁 =𝐹 𝜇 = 60.25 0.4 = 150.62 𝑁 −𝑁 0.66 + 𝑃 2.66 + 𝐹𝑟 0.25 = 0 − 150.62 0.66 + 𝑃 2.66 + 60.25 0.25 = 0 𝑃 2.66 = 150.62 0.66 − 60.25 0.25 𝑃 2.66 = 85.85 𝑃 = 32.27 𝑁 𝐹𝑥 = 0 𝑁 − 𝑃 − 𝐷𝑥 = 0 150.62 − 32.27 = 𝐷𝑥 𝐷𝑥 = 116.9 𝐹𝑦 = 0 𝐷𝑦 − 𝐹𝑟 = 0 𝐹𝑟 = 𝐷𝑦 𝐷𝑦 = 60.25 PROBLEMA 2.
Determinar el momento de inercia del ensamble de la fig., que consta de dos barras delgadas y una placa circular, con respecto a su centro de masa.
Masa de las barras: 3kglm Placa delgada: L2kglmz R=0,3 m; r=0,1m 𝛿𝑏1 = 𝑚 𝐿 = 𝑚 1.5 3𝑘𝑔 𝑚 ∗ 1.5𝑚 = 𝑚 𝑚𝑏1 = 4.5𝑘𝑔 𝛿𝑏2 = 𝑚 𝐿 = 𝑚 0.8
3𝑘𝑔 𝑚 ∗ 0.8𝑚 = 𝑚𝑏2 𝑚𝑏2 = 2.4𝑘𝑔 𝛿𝑝 = 𝑚 𝐴 = 𝑚 𝜋𝑟2 𝑚𝑝 = 3.39𝑘𝑔 𝑟𝑐 = 𝑚1𝑟1+ 𝑚2𝑟2+ 𝑚3𝑟3 𝑚1+ 𝑚2+ 𝑚3 = 4.5 ∗ .75 + 3.39 ∗ 1.8 + 2.4 ∗ 0 4.5 + 3.39 + 2.4 = −0.92099𝑗 PROBLEMA 3.
En la fig. se muestran dos masas: m1 y m2 que están conectadas la una con la otra por una cuerda ligera que pasa por dos poleas idénticas, cada una con un momento de inercia I. Determinar la aceleración de cada masa y las tensiones T1, T2 y T3 en las cuerdas.
𝐹 = 𝑚 ∗ 𝑎 𝑚1∗ 𝑔 − 𝑇1 = 𝑚1∗ 𝑎 𝑇1 = 𝑚1 𝑔 − 𝑎 𝐹 = 𝑚 ∗ 𝑎 𝑇3− 𝑚2∗ 𝑔 = 𝑚2∗ 𝑎 𝑇3 = 𝑚2 𝑎 + 𝑔 𝑇1𝑅 − 𝑇3𝑅 = 𝐼 ∗ 𝛼 𝑚1 𝑔 − 𝑎 𝑅 − 𝑚2 𝑎 + 𝑔 𝑅 = 2 𝐼 ∗ 𝑎 𝑅 𝑚1 𝑔 − 𝑎 − 𝑚2 𝑎 + 𝑔 = 2 𝐼 ∗ 𝑎 𝑅 𝑚1∗ 𝑔 − 𝑚1∗ 𝑎 − 𝑚2∗ 𝑎 − 𝑚2∗ 𝑔 = 2 𝐼 ∗𝑎 𝑅 𝑚1∗ 𝑔 − 𝑚2∗ 𝑔 = 𝑎 2𝐼 𝑅2+ 𝑚1+ 𝑚2 𝑔 𝑚1− 𝑚2 = 𝑎 2𝐼 𝑅2+ 𝑚1+ 𝑚2 𝑎 = 2𝐼𝑔 𝑚1− 𝑚2 𝑅2+ 𝑚1+ 𝑚2
PROBLEMA 4.
Cuál es la aceleración angular de la polea de la figura. Datos:
I=12,2 slug-pie2
R=0,9 pies; Wa=20 lb; Ws=30Ib.
𝐹𝑦 = 𝑚 ∗ 𝑎 ; 𝑎 =∝∗ 𝑅 𝑊1− 𝑇1 = 𝑚1𝑎1 ; 𝑇1 = 20 − 0.62 ∝ 𝑅1 ; 𝑇1 = 20 − 0.55 ∝ 𝑊2− 𝑇2 = 𝑚2𝑎2 ; 𝑇2 = 30 − 0.93 ∝ 𝑅2 ; 𝑇2 = 30 − 0.83 ∝ 𝜏 = 𝐼 ∗ 𝑎 30 − 0.83 ∝ 0.9 + −20 − 0.55 0.9 = 12.2 ∝ 27 − 0.747 ∝ −18 − 0.5 ∝= 12.2 ∝ 9 = 13.45 ∝ ∝= 0.669𝑟𝑎𝑑/𝑠2 PROBLEMA 5.
Una cuerda pasa sobre una polea sin fricción y soporta un peso W1 y el otro extremo esta enrollado alrededor de un cilindro de peso W2, el cual rueda sobre un plano horizontal. Cuál es la aceleración del peso W1. 𝐹𝑦 = 𝑚𝑎 𝑤1 − 𝑇 = 𝑚1𝑎1 𝐹𝑥 = 𝑚. 𝑎𝑐 𝑇 + 𝐹 = 𝑚2. 𝑎2 𝑀 = 𝐼 𝛼 W1 T1 W1 W1 T1 W1
𝑇. 𝑟 − 𝐹. 𝑟 = 0,5. 𝑚2. 𝑟2. 𝛼 𝑇 − 𝐹 = 0,5. 𝑚2. 𝑟.𝑎𝑐 𝑟 𝑇 − 𝐹 = 0,5. 𝑚2. 𝑎2 𝑇 + 𝐹 = 𝑚2𝑎2 𝑇 − 𝐹 = 0,5. 𝑚2. 𝑎2 2𝑇 =3 2 𝑚2𝑎𝑐 𝑇 =3 4 𝑚2𝑎 Consideración 𝑎1 = 2𝑎2 𝑤1 − 𝑇 = 𝑚1𝑎1 𝑇 =3 4 𝑚2𝑎2 𝑤1 = 𝑚1𝑎1 +3 4𝑚2𝑎2 𝑤1 = 2𝑚1𝑎2 +3 4𝑚2𝑎2 Despejando 𝑤1 = 𝑎2 2𝑚1 +3 4𝑚2 𝑎2 = 𝑤1 2𝑤1 𝑔 + 3 4 𝑤2 𝑔 pero 𝑎1 = 2𝑎2 𝑎1 = 2𝑤1 2𝑤1 𝑔 + 3 4 𝑤2 𝑔 PROBLEMA 6.
Un cilindro Homogéneo rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal. Determinar la aceleración del C.M., la fuerza de rozamiento y la reacción del plano, peso del cilindro: Wc= 483lb.
a) 𝑀𝑜 = 𝐼 ∝ 𝐹1𝑟 − 𝐹2𝑟 = 1 2𝑚𝑟2∗ 𝑎 𝑟 200 − 250 𝑟 =1 2∗ 483 32.2𝑟𝑎
𝑎 = −6.667 𝑓𝑡/𝑠2 b) 𝐹𝑥 = 𝑚𝑎 𝐹1−𝐹2+ 𝑓𝑟 = 483 32.2∗ (−6.667) 200 − 250 + 𝑓𝑟 = 483 32.2∗ (−6.667) 𝑓𝑟 = 150 𝑙𝑏 c) 𝐹𝑦 = 0 𝑁 − 𝑊𝑐 = 0 𝑁 = 𝑊𝑐 𝑁 = 483 𝑙𝑏 PROBLEMA 7.
La carga B se conecta a una polea doble mediante uno de los cables mostrados en la fig. El cable C controla el movimiento de la polea, con una aceleración constante de ac=pies/s', y una velocidad inicial Vo=12 pulg/s, ambas dirigidas hacia la derecha. Determinar:
a) El numero de revoluciones realizadas por la polea en 2s.
b) La velocidad y el cambio de posición de la carga B después de 2s.
c) La aceleración del punto D localizado en el borde de la polea interna cuando t=0s..
𝑉0𝐷 = 𝑉0𝐶 = 12𝑝𝑖𝑒𝑠𝑠 ; 𝑎𝐷 = 𝑎𝐶 = 9 𝑝𝑖𝑒𝑠𝑠2 𝑉0𝐷 = 𝑟𝑤0 12 = 3𝑤𝑜 𝑤𝑜 = 4 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝑎𝐷 = 𝑟 ∝ 9 = 3 ∝ ∝= 3 𝑟𝑎𝑑/𝑠2 Para t=2s 𝑤 = 𝑤0+∝ 𝑡 𝑤 = 4 𝑟𝑎𝑑/𝑠 + (3 𝑟𝑎𝑑/𝑠2)(2 𝑠) 𝑤 = 10 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝜃 = 𝑤0𝑡 +1 2𝛼𝑡2 𝜃 = 4𝑟𝑎𝑑 𝑠 2𝑠 + 1 2( 3𝑟𝑎𝑑 𝑠2 )(2𝑠)2 𝜃 = 14 𝑟𝑎𝑑
a) 𝑛𝑟𝑒𝑣 = (14 𝑟𝑎𝑑)(1 𝑟𝑒𝑣 2𝜋𝑟𝑎𝑑) 𝑛𝑟𝑒𝑣 = 2.23 𝑟𝑒𝑣 b) 𝑣𝐵 = 𝑟𝑤 𝑣𝐵 = (5 𝑝𝑖𝑒𝑠)(10 𝑟𝑎𝑑 𝑠 ) 𝑣𝐵 = 50 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠 𝑌𝐵 = 𝑟𝜃 𝑌𝐵 = 5 𝑝𝑖𝑒𝑠 14𝑟𝑎𝑑 𝑌𝐵 = 70 𝑝𝑖𝑒𝑠 c) 𝑎𝐷 = 𝑎𝑐 = 9𝑟𝑎𝑑/𝑠2 𝑡 = 0𝑠 ; 𝑤0 = 4 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝑎𝐷 = 𝑟𝐷𝑤𝑜2 𝑎𝐷 = 3𝑝𝑖𝑒𝑠 4𝑟𝑎𝑑 𝑠2 𝑎𝐷 = 48 𝑟𝑎𝑑/𝑠2 PROBLEMA 8.
Determine el mínimo coeficiente de fricción estático para que el cilindro empiece a rodar. La polea carece de peso y sin fricción. Wcilindro=150 lb, ko=1.25 pies, R1=1,5 pies, R2=2,0 pies y W=75lb.
𝐼 = 𝐾2∗ 𝑚 𝐼 = 1.252∗ 150 32.2 𝐼 = 7.278 𝑙𝑏 − 𝑝𝑖𝑒𝑠2 𝐹𝑦 = 0 𝑁 − 𝑤𝑐𝑜𝑠30 = 0 𝑁 = 129.904 𝐹𝑥 = 𝑚 ∗ 𝑎 𝑇 − 𝑓𝑟 − 𝑊𝑐𝑠𝑒𝑛30 = 𝑚𝑐𝑎𝑐 𝑊 − 𝑇 = 𝑚 ∗ 𝑎 𝑀𝑜 = 𝐼 ∝ −𝑇𝑅1− 𝑓𝑟𝑅2 = 7.278 ∝ 𝑇 = 10.48𝑙𝑏 𝑓𝑟 = −44.502𝑙𝑏 1.5𝑇 − 2𝑓𝑟 = 7.25 ∝
𝑇 = 75 − 1.125 ∝ 1.5 75 − 1.165 ∝ − 2 10.481 ∝ = 7.278 ∝ ∝= −4.24𝑟𝑎𝑑 𝑠2 𝜇 =𝑓𝑟 𝑁 𝜇 = 44.502 129.904 𝜇 = 0.343 PROBLEMA 9.
Una varilla delgada de masa m=20 kg, gira en un plano vertical y en el instante mostrado en la fig., tiene una velocidad angular ω=5 rad/s. Determinar la aceleración angular de la varilla y las
componentes horizontal y vertical de la reacción del perno en ese instante.
𝑀 = 𝐼 𝛼 𝑚. 𝑔 ∗ 1.5 + 60 =𝑀𝐿2 3 ∗ 𝛼 20 ∗ 9.8 ∗ 1.5 + 60 =20 ∗ 3 2 3 ∗ 𝛼 𝛼 =354 60 𝛼 = 5.9 𝐹𝑛 = 𝑚 ∗ 𝑤2∗ 𝑟 𝑅𝑥 = 20 ∗ 52∗ 1.5 𝑅𝑥 = 750𝑁 𝐹𝑡 = 𝑚 ∗ 𝛼 ∗ 𝑟 𝑅𝑦 + 𝑤 = 20 ∗ 5.9 ∗ 1.5 𝑅𝑦 = 177 − 20 ∗ 9.8 𝑅𝑦 = 19𝑁 PROBLEMA 10.
Una polea de W=12lb y radio k=8pulg, esta conectada a dos bloques como muestra en la fig. Si se supone que no hay fricción en el eje, determinar la aceleración angular de la polea y la aceleración de cada bloque.R1=6pulg, R2=10pulg, Wa=5lb, Wb=10lb.
𝐼 = 𝑟2∗ 𝑚𝐼 = 8 12 2 ∗ 12 32.2 𝐼 = 0.165𝑠𝑙𝑢𝑔 − 𝑝𝑖𝑒𝑠2 𝐹𝑦 = 𝑚 ∗ 𝑎 ; 𝑎 =∝∗ 𝑅 𝑊1− 𝑇1 = 𝑚1𝑎1 ; 𝑇1 = 10 − 0.31 ∝ 𝑅1 ; 𝑇1 = 10 − 0.15 ∝ 𝑇2− 𝑊2 = 𝑚2𝑎2 ; 𝑇2 = 5 + 0.15 ∝ 𝑅2 ; 𝑇2 = 5 − 0.125 ∝ 𝜏 = 𝐼 ∗ 𝑎 − 𝑇2 ∗ 𝑅2+ 𝑇1∗ 𝑅1 = 0.165 ∗∝ − 5 + 0.125 ∝ 0.833 + 10 − 0.15 ∝ 0.5 = 0.165 ∝ −4.16 − 0.104 ∝ +5 − 0.07 ∝= 0.165 ∝ 0.84 = 0.355 ∝ ∝= 2.36 𝑟𝑎𝑑/𝑠2 𝑎𝐴 = 5 3𝑎𝐵 −4.16 − 0.125𝑎𝐵 + 5 − 0.15 ∗5 3𝑎𝐵 = 0.389 0.451 = 0.38𝑎𝐵 𝑎𝐵 = 1.186𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠2 𝑎𝐴 = 5 31.18 𝑎𝐴 = 1.966𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠2 W2 W1 T1 W1 T1 W2