GEOMETRIA DESCRIPTIVA

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SESION 1

GEOMETRIA PLANA

INTRODUCCIÓN

El conocimiento de hechos geométricos aislados se remonta a la prehistoria. Por cierto los primeros egipcios y babilonios (4000-3000 a. de C.) conocían muchas relaciones geométricas prácticas. La construcción de las pirámides requirió de un conocimiento considerable de la geometría práctica; pero fueron los antiguos griegos los que reunieron los hechos geométricos conocidos, los que descubrieron nuevos hechos y los ordenaron en un sistema lógico uniforme. La palabra geometría deriva de dos palabras griegas, "ge" que significa "tierra" y "metrei" que significa "medir" mostrando que originalmente se había pensado en ella como de "una medida de la tierra". Este proceso de organización y descubrimiento necesitó siglos para desarrollarse y ocupó la mente de numerosos hombres competentes. Los siglos antes, durante y después del período de mayor influencia política griega (siglos IV y V a. de C.) eran períodos de intensa actividad intelectual. Las mentes líderes estaban interesadas en todo tipo de ideas.

El más conocido de los geómetras de la Grecia antigua es Euclides, que escribió los Elementos, (cerca de 300 a. de C.). Este trabajo es el manual de más fama que jamás ha existido y fue utilizado en el mundo entero hasta bien entrado nuestro siglo; se compone de 13 libros; los seis primeros se refieren a la geometría plana, los otros a aritmética y geometría sólida. Los Elementos no solo fue ampliamente utilizado como escrito, sino que también sirvió de modelo para innumerables libros. Isaac Newton, el famoso matemático y físico Inglés escribió su gran libro Principia, en el "estilo geométrico" aunque a menudo este estilo interfería en el camino que emprendió en sus descubrimientos. La mayoría de los libros utilizados hoy en día en la enseñanza de la geometría son en alguna medida una versión simplificada de los Elementos de Euclides. Es asombroso y a la vez un gran tributo que se le rinde a Euclides, ver que su libro ha conservado su valor por más de 2000 años.

Poco se sabe acerca de la vida de Euclides, excepto que probablemente estudió sus matemáticas con discípulos de Platón y que posteriormente fundó su propia escuela en Alejandría. Sin duda él hizo pleno uso de los escritos anteriores, pero la organización de los Elementos es propia de él, así mismo que sus importantes perfeccionamientos.

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GEOMETRIA DESCRIPTIVA

ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 2 Muchos grandes matemáticos griegos siguieron a Euclides, entre ellos se cuentan Apolonio (III siglo a. de C.) y Arquímedes (III siglo a. de C). Arquímedes, una de las mentes más importantes de la época antigua, hizo interesantes trabajos en matemática, física e ingeniería. Fue contratado como consejero técnico en asuntos bélicos por el rey de Siracusa; fue muerto por un soldado en el sitio de esta ciudad en 212 a. de C.

OBJETIVOS

Entender los conceptos básicos de la geometría plana como son punto, línea recta, segmento, polígono, circunferencia, ángulo, etc. entre otros que serán básicos en el estudio y el ejercicio de la Ingeniería Civil, en las áreas de Análisis Estructural y Diseño Geométrico de Vías.

Identificar con facilidad los elementos que conforman un polígono, las clases y su denominación.

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ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 3

CONDUCTA DE ENTRADA

1. El diseño de obras de ingeniería civil, básicamente es el conjunto de elmentos geométricos simples, que se conjugan de cierta manera para crear las estrucutas conocidas por todos, en las construcciones de obras de infraestructura. En el municipio en el cual usted reside, identifique un paso elevado, puente vehicular, puente peatonal, puente caballar, metálico o de concreto e identifique las figuras geométricas básicas de las cuales está compuesto. Descríbalas mediante un plano y discuta sus observaciones con sus compañeros de grupo de estudio.

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1.1 DEFINICIONES

Antes de entrar a estudiar la geometría plana es necesario recordar algunos conceptos básicos que facilitarán su comprensión.

• Punto

Es un término no definido, pero lo podemos asociar con la marca hecha por un lápiz. Se denota mediante letras mayúsculas A, B, etc.

• Recta

Otro término no definido, un hilo tenso nos da en la práctica el concepto geométrico de recta. Las rectas se denotan por letras minúsculas l, m, n, etc. • Segmento

Se llama segmento a una porción de recta limitada por sus dos puntos extremos.

Figura 1.1 Segmento AB

1.2 ÁNGULOS

El ángulo es el espacio comprendido entre dos rectas unidas en un punto llamado vértice. Los ángulos se denominan mediante tres letras mayúsculas: dos de ellas situadas a los extremos y la otra, en el punto de unión. También se denominan mediante una letra minúscula cerca del vértice.

Figura 1.2 Ángulos Los siguientes son los principales tipos de ángulos:

• Ángulo recto: es aquel cuya medida es 90º (α en la figura 1.3) • Ángulo obtuso: su medida es superior a los 90º (β en la figura 1.3) • Ángulo agudo: su medida es inferior a los 90º (λ en la figura 1.3)

A B

A

B C

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ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 5 Figura 1.3 Tipos de ángulos

1.3 TRIÁNGULOS

Si A, B y C son tres puntos cualesquiera no colineales, entonces la unión de los segmentos AB, AC y BC se denomina triángulo.

Figura 1.4 Triángulo

Los triángulos se pueden clasificar según algunas características: a) Según la medida de sus lados.

La clasificación de los triángulos según la medida de sus lados o de sus ángulos es la siguiente:

• Escaleno, el triángulo que tiene los tres lados diferentes (ningún lado congruente). (Figura 1.5 a)

• Isósceles, el triángulo que tiene dos lados de igual longitud. (Figura 1.5 b) • Equilátero, el triángulo que tiene sus tres lados congruentes, es decir de

igual longitud. (Figura 1.5 c)

Figura 1.5 Clases de triángulos según sus lados b) Según la medida de sus ángulos.

• Acutángulo, el triángulo que tiene sus tres ángulos agudos (Figura 1.6 a).

A B

C

α β

λ

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ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 6 • Obtusángulo, el triángulo que tiene un ángulo obtuso (Figura 1.6 b).

• Rectángulo, el triángulo que tiene un ángulo recto (Figura 1.6 c).

Figura 1.6 Clases de triángulos según sus ángulos

1.4 RECTAS PARALELAS

Rectas paralelas son aquellas que en toda su extensión, mantienen una misma distancia (equidistantes) y por más que se prolonguen no llegan nunca a unirse. Figura 1.7.

Por ejemplo: los lados de una mesa cuadrada son paralelos, los bordes opuestos de una hoja rectangular, los rieles del ferrocarril, etc.

Figura 1.7 Rectas Paralelas

a b c

A

B

C

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1.5 POLÍGONOS

La figura 1.8 representa una línea poligonal cerrada. Está formada por segmentos que son AB, BC, CD, DE y EF.

Figura 1.8 Línea poligonal cerrada.

Se nombra por las letras que llevan sus vértices: Línea poligonal ABCDE.

Si a la línea poligonal ABCDE le añadimos la superficie que está dentro de ella, entonces tenemos un polígono.

Un polígono es la figura formada por una línea poligonal cerrada más su región interior.

Elementos de un polígono

En los polígonos podemos identificar una serie de elementos que nos facilitan su identificación, así como su clasificación (figura 1.9). Estos son:

• Lado, que es cada uno de los segmentos del polígono.

• Vértice, es el punto donde se unen dos segmentos consecutivos. • Ángulo, es el espacio comprendido entre dos lados consecutivos. • Diagonal, es el segmento que une dos vértices no consecutivos.

Figura 1.9 Elementos de un polígono

C E A D B DIAGONAL LADO ANGULO VERTICE

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ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 8 Clasificación de los polígonos:

• Polígono regular: es aquel que tiene todos sus lados y ángulos iguales. • Polígono irregular: es aquel que tiene sus lados y sus ángulos desiguales. • Polígono inscrito: es aquel polígono construido dentro de una circunferencia

y en el que los vértices de sus ángulos están en contacto con la misma. • Polígono circunscrito: es aquel cuyos lados son tangentes a la

circunferencia. Ángulos de un polígono

En un polígono se contemplan dos tipos de ángulos: los interiores y los exteriores. Los interiores son los formados por cada dos lados contiguos (α en la figura 1.10) y los exteriores (β en la figura 1.10) son sus suplementarios.

Figura 1.10 Ángulos de un polígono

Suma de ángulos interiores

Conocemos la suma de los ángulos de cualquier triángulo, que es 180º. Como cualquier polígono se puede dividir en triángulos se podrá calcular cuál es la suma total en cada caso.

Un cuadrilátero se puede dividir en 2 triángulos, un pentágono en 3, un hexágono en 4, etc.; siempre dos menos que el número de lados. En definitiva, un polígono de n lados se puede descomponer en n-2 triángulos y, por tanto, la suma de los ángulos interiores será: 180º·(n-2). Si el polígono es regular el valor de uno de los ángulos interiores es: 180º·(n-2)/n.

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ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 9 Suma de ángulos exteriores

La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es 360º. Teniendo en cuenta que el ángulo interior y el exterior suman 180º, en un polígono de n lados los interiores y los exteriores sumaran, en total, n·180º, como los interiores suman

180º·(n-2) la diferencia es n·180º

1.6 CIRCUNFERENCIA

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado centro. A esa distancia común se le llama radio de la circunferencia.

Figura 1.11 Circunferencia

Segmentos y líneas fundamentales de la circunferencia.

• Radio: se llama radio a una línea recta que saliendo del centro, toca cualquier punto de la circunferencia (OC, OD y OE en la figura 1.11).

• Diámetro: el diámetro es un segmento cuya longitud es dos veces el radio de la circunferencia (CD en la figura 1.11)

• Arco: el arco es una parte de la circunferencia, limitada por una cuerda. Porción de curva.

• Cuerda: es una línea recta que toca dos extremos de un arco. La cuerda mayor es el diámetro.

• Secante: es la recta que corta la circunferencia en dos puntos. Se prolonga por fuera de la circunferencia (AB en la figura 1.11).

• Tangente: es una recta que toca la circunferencia en un punto y es perpendicular al radio que pasa por el punto de contacto.

SECANTE A B DIAMETR O C D E O RA DIO TANGENTE CUER_DA ARCO

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1.6.1 ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

• Ángulo central es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella. (figura 1.12)

Figura 1.12Angulo central de una circunferencia La medida del arco AB es la del ángulo central AOB. Arco AB = Angulo AOB

Esta igualdad nos permite medir en función del ángulo central o arco el resto de ángulos que pueden definirse en la circunferencia.

• Angulo inscrito es aquel que tiene su vértice en la circunferencia. El ángulo semiinscrito, (uno de los segmentos secante y el otro tangente) es un caso particular, o caso límite (Figura 1.13). El ángulo inscrito mide la mitad que el arco que comprende.

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ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 11 • Angulo interior, tiene su centro en un punto interior del círculo.

La medida del ángulo interior es la semisuma de los arcos que comprenden él y su opuesto (Figura 1.14).

Figura 1.14 Angulo interior de una circunferencia

• Ángulo exterior es aquel que tiene su vértice en un punto exterior de la circunferencia, pudiendo ser sus lados, tangentes o secantes a la misma. La medida del ángulo exterior es la semidiferencia de los arcos que abarca (Figura 1.15)

Figura 1.15 Angulo exterior de una circunferencia

1.6.2 TANGENTES

La tangente a una circunferencia es cualquier recta que la toque en un punto, y sólo en uno (figura 1.16)

Propiedades:

• Toda tangente a la circunferencia es perpendicular al radio.

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ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 12 R R R A B C D E F

Figura 1.16 Tangentes de una circunferencia

1.7 POLÍGONOS REGULARES

Los polígonos regulares son aquellos que tienen sus lados y sus ángulos iguales, tal como los representados en la figura1.17

Figura 1.17 Polígonos Regulares Nombre de los polígonos

Los polígonos tienen distintos nombres dependiendo del número de lados que tengan:

Los polígonos de 3 lados se llaman triángulos. Los polígonos de 4 lados se llaman cuadrilátero. Los polígonos de 5 lados se llaman pentágono. Los polígonos de 6 lados se llaman hexágono. Los polígonos de 7 lados se llaman heptágono. Los polígonos de 8 lados se llaman octógono. Los polígonos de 9 lados se llaman eneágono. Los polígonos de 10 lados se llaman decágono. Los polígonos de 11 lados se llaman endecágonos. Los polígonos de 12 lados se llaman dodecágonos. Los polígonos de 15 lados se llaman pentadecágonos. Los polígonos de 20 lados se llaman icosígonos.

El polígono que tiene mayor número de lados es la circunferencia porque tiene infinitos lados.

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ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 13 Ángulo central en un polígono regular

Si pensamos en el polígono inscrito en una circunferencia el ángulo central se corresponde al que forman dos radios consecutivos del polígono. La medida de todos los ángulos centrales es de 360º, la misma que la de los ángulos exteriores.

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ACTIVIDADES PRELIMINARES

EVALUACION FINAL

1. Calcula los valores que faltan en la tabla, considerando que a, b y c son los lados de un triángulo cualquiera, y h la altura correspondiente al lado b.

a b c h perímetro área

5cm. 14cm 16cm. 8cm.

10m. 8m. 12m2

9cm. 12cm. 6cm. 31cm.

2. Completa la información de la siguiente tabla, según lo expuesto sobre polígonos

Figura Nombre Nº de lados _vérticesNº de _diagonalesNº de

Nº de ángulos interiores

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SESION 2

FIGURAS SEMEJANTES Y AREAS

INTRODUCCIÓN

En el estudio de la geometría plana es de suma importancia el conocimiento y dominio de los elementos básicos como son: la línea recta, el triángulo, el circulo, etc., y las diferentes relaciones que se pueden establecer entre otros de la misma naturaleza, pero de diferente tamaño, forma o posición. Es ahí donde se deben emplear los criterios de semejanza y proporcionalidad entre triángulos, poligonos y demás formás geométricas.

El cálculo del área de una región plana es bastante empleado en los diferentes campos de la ingeniería y particularmente en la ingeniería civil, es por ello que se deben afianzar las diferentes estrategías que se pueden emplear en la determinación del área de una región específica. Lo que se podría hacer para cualquier región es compararla con las formas sencillas y comunes como son: el triángulo, los cuadrilateros, los poligonos regulares, la circunferencia, etc., y a partir de allí descomponer o transformar dicha región en otras que sean más sencillas de analizar.

OBJETIVOS

Identificar las aplicaciones de los conceptos básicos de la geometría plana como son punto, línea recta, segmento, polígono, circunferencia, ángulo, entre otros, empleados en el estudio de figuras complejas como las áreas y la semejanza de polígonos.

Desarrollar la capacidad para encontrar el área de las diversas regiones planas, llevandolas a figuras geométricas sencillas como el triángulo, rectángulo, etc. Identificar cuando dos figuras geométricas son semejantes y de acuerdo con que criterios.

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1. Para facilitar el estudio de ésta sesión, el estudiante debe tener claridad en el significado de algunos términos, por ello se debe dar la definición o mejor aún lo que usted entiende por:

a) Proporción b) Semejanza c) Polígono d) Area e) División f) Transformación

2. A partir de su interpretación de la definición de polígono, cuales cree usted que son las clases de polígonos que se pueden identificar.

3. Mediante los elementos de dibujo que usted muy bien domina, a partir de un circulo de radio dado, circunscriba en él un pentágono. Realice el mismo ejercicio mediante un asistente de diseño por computador.

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2.1.1 LÍNEAS PROPORCIONALES

Segmentos conmensurables.

Dos segmentos son conmensurables si la razón que hay entre sus longitudes es un número racional. Esto es, si tenemos un segmento que se tome como unidad de medición, ese segmento cabe un número entero de veces en los dos segmentos (figura 2.1)

Figura 2.1 Segmentos conmensurables Segmentos proporcionales.

Dos segmentos son proporcionales si se puede formar una proporción con los números que representan las longitudes de sus partes. En la figura 2.1 el segmento CD tiene dos veces la longitud de AB, luego AB=1 y CD=2, y AB/CD=1/2

2.1.2 TRIÁNGULOS SEMEJANTES

Semejanza de triángulos.

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados correspondientes son proporcionales; sin embargo, para afirmar que dos triángulos son semejantes no es necesario probar que los tres ángulos correspondientes son congruentes y que los tres lados correspondientes son proporcionales, sino que bastará con que cumpla con tres de las seis condiciones, generándose tres casos o criterios de semejanza, mismos que se enuncian a continuación:

• Criterio AAA de semejanza.

Si dos triángulos tienen sus tres ángulos correspondientes congruentes, entonces los triángulos son semejantes. En la Figura 2.2 los ángulos α y γ, β y ϕ, y δ y λ son congruentes entre sí, por tanto el triángulo ABC es semejante al triángulo DEF.

• Criterio LAL de semejanza.

A B

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ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 18 Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo congruente comprendido entre lados proporcionales. En la figura 2.2 los ángulos β y ϕ son congruentes y además los lados BA y BC son proporcionales a los lados ED y EF respectivamente, luego el triángulo BAC y EDF son semejantes.

Figura 2.2 Triángulos semejantes • Criterio LLL de semejanza.

Si los lados correspondientes de dos triángulos son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes. En la figura 2.2, los segmentos AB y DE son proporcionales, así como los segmentos BC y CA con los segmentos EF y FD respectivamente, por tanto los triángulos CAB y FDE son semejantes.

2.1.3 POLÍGONOS SEMEJANTES

Dos polígonos son semejantes si tienen la misma forma pero distinto tamaño. Criterio de semejanza entre dos polígonos

Para que dos polígonos (con el mismo número de lados) sean semejantes se han de cumplir las dos condiciones siguientes:

• Los ángulos respectivos han de ser congruentes (iguales). • Los lados respectivos han de ser proporcionales:

Los vértices, lados y ángulos correspondientes a dos polígonos semejantes se llaman homólogos; y a la constante de proporcionalidad, la cual se obtiene dividiendo las longitudes de dos lados homólogos se llama razón de semejanza. En la figura 2.3 se muestran dos polígonos semejantes, de allí se puede establecer que los ángulos A, B, C, D y E son de igual magnitud con P, Q, R S y T. Así mismo los lados AB, BC, CD, DE y EA son proporcionales a los lados PQ, QR, RS, ST, TP respectivamente. A B C D E F α β δ γ ϕ λ

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ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 19 POLIGONO

IRREGULAR A POLIGONO_{IRREGULAR B}

A _B C D E P Q R S T

Figura 2.3 Polígonos semejantes

2.1.4 RELACIONES MÉTRICAS ENTRE LAS LÍNEAS DEL CÍRCULO

Las relaciones métricas entre las líneas del círculo son las siguientes:

• Relaciones entre los segmentos de la cuerda: Si dos cuerdas se cortan en un punto inferior de la circunferencia, entonces el producto de los segmentos de una cuerda es igual al de los segmentos de otra cuerda

• Relación entre los segmentos de dos secantes: Si trazamos dos secantes desde un punto exterior a una circunferencia, entonces el producto de una de las secantes por su segmento exterior es igual al producto de la otra secante por su segmento exterior.

• Relación entre una secante y una tangente: Si desde un punto exterior a una circunferencia trazamos una secante y una tangente, se cumple que la tangente al cuadrado es igual al producto de la secante por su segmento exterior

2.2 AREAS

Área es el número positivo que se le asigna a la superficie de una figura geométrica y hace referencia a su extensión.

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2.2.1 DETERMINACIÓN DE ÁREAS

Antes de determinar el área de cualquier figura geométrica es conveniente establecer los términos que se emplean frecuentemente:

• Polígono, figura plana de varios ángulos limitada por líneas rectas. • Radio, segmento trazado desde el centro del círculo a la circunferencia. • Vértice, punto donde concurren los dos lados de un ángulo.

• Apotema, perpendicular trazada del centro de un polígono regular a uno de sus lados.

• Area, superficie comprendida dentro de un perímetro.

• Cateto, cada lado del ángulo recto en un triángulo rectángulo.

• Diagonal, línea recta que va de un vértice a otro no inmediato en un polígono.

• Diámetro, línea recta que pasa por el centro del círculo y termina por ambos extremos en la circunferencia.

• Perímetro, línea que limita una figura plana.

2.2.1.1 TRIÁNGULO

El triángulo es un polígono formado por tres lados y tres ángulos. La suma de todos sus ángulos siempre es 180 grados. Para calcular el área se emplea la siguiente fórmula:

Área del triángulo = (base x altura) / 2 77,68 47 ,16 base al tu ra Figura 2.3 Triángulo

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2.2.1.2 RECTÁNGULO

El rectángulo es un polígono de cuatro lados, iguales dos a dos. Sus cuatro ángulos son de 90 grados cada uno.

El área de esta figura se calcula mediante la fórmula: Área del rectángulo = base x altura

71,21 35

base

altura

Figura 2.4 Rectángulo 2.2.1.3 ROMBO

El rombo es un polígono de cuatro lados iguales, pero sus cuatro ángulos son distintos de 90º.

El área de esta figura se calcula mediante la fórmula: Área del rombo = (diagonal mayor x diagonal menor) / 2

73 ,62 41,04 diagonal menor d ia g o n al m ay o r Figura 2.5 Rombo

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2.2.1.4 TRAPECIO

El trapecio es un polígono de cuatro lados, pero sus cuatro ángulos son distintos de 90º. El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:

Área del trapecio = [(base mayor + base menor) x altura] / 2

100,18 63,36 47 ,07 base menor base mayor al tu ra Figura 2.6 Trapecio 2.2.1.5 PARALELOGRAMO

El paralelogramo es un polígono de cuatro lados paralelos dos a dos. El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:

Área del paralelogramo = base x altura

base

al

tu

ra

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2.2.1.6 POLÍGONO REGULAR

Pentágono

El pentágono regular es un polígono de cinco lados iguales y cinco ángulos iguales. El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:

Área del pentágono = (perímetro x apotema) / 2

APOT

EMA

Figura 2.8 Pentágono Regular Hexágono

El hexágono regular es un polígono de seis lados iguales y seis ángulos iguales. Los triángulos formados, al unir el centro con todos los vértices, son equiláteros. El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:

Área del hexágono = (perímetro x apotema) / 2

APO_TE MA

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2.2.1.7 CIRCULO

El círculo es la región delimitada por una circunferencia, siendo ésta el lugar geométrico de los puntos que equidistan del centro.

El área de esta figura se calcula mediante la fórmula: Área del círculo = 3'1416 x (radio)²

Figura 2.10 Circulo

2.2.1.8 SECTOR CIRCULAR

Un sector circular es la región delimitada por un arco y dos radios. El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:

Área del sector circular = α x (radio)² / 2

Figura 2.11 Sector circular

Se debe aclarar que el ángulo se debe expresar en radianes, ya que el área es un número real y el ángulo en radianes también, mientras que si se expresa en grados no se tendrá un valor apropiado.

2.2.2 RELACIONES MÉTRICAS ENTRE LAS ÁREAS R

α

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ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 25 Las áreas de los polígonos regulares cumplen algunas relaciones entre sí de acuerdo con el teorema de Pitágoras.

2.2.3 TEOREMA DE PITÁGORAS

El gran matemático griego Pitágoras descubrió una situación muy especial que se produce en el triángulo rectángulo y que se relaciona con sus lados.

El teorema de Pitágoras establece que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los dos catetos.

El área del hexágono regular construido sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los otros dos hexágonos construidos sobre los catetos del triángulo. (Los lados de los hexágonos miden lo mismo que los lados a los que están unidos). Por lo anterior el área del hexágono C es igual a la suma de las áreas de los hexágonos A y B en la figura 2.12

El resultado es cierto utilizando cualquier otro polígono regular en lugar de hexágonos, y también si se construyen cualquier tipo de polígonos semejantes sobre los lados del triángulo rectángulo.

HEXAGONO A HEXAGONO B

HEXAGONO C

Figura 2.12 Teorema de Pitágoras

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ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 26 La zona sombreada representa un terreno (figura 2.13). ¿Cuál es la superficie del lote, si los terrenos que lo limitan son cuadrados y el área es la que se indica en la figura?

Area 144 Hm2

Area 169 Hm2

Figura 2.13 Terreno triangular

Como el lote tiene forma de triángulo rectángulo, bastará con aplicar el teorema de Pitágoras para calcular el área del lote que se ubica en el cateto del cual no se conoce el área.

Área lote = 169 – 144 = 25 Hm²

Ahora se debe calcular la longitud de los catetos, 12 Hm y 5 Hm respectivamente. Aplicamos la fórmula para el área del triángulo:

Área = 5x12/2 = 30 Hm².

2.2.5 POLÍGONOS REGULARES CIRCUNSCRITOS

Circunferencia circunscrita

Todos los polígonos regulares tienen una circunferencia circunscrita. El radio y el centro de dicha circunferencia son el radio y el centro del polígono regular.

Una forma de construcción de polígonos regulares es dividir la circunferencia en un número de arcos iguales y unir los puntos de la división obteniéndose el

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ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 27 correspondiente polígono inscrito regular. Cuanto mayor sea el radio de dicha circunferencia mayor será el polígono regular obtenido.

Apotema de un polígono regular

La apotema de un polígono regular es el segmento perpendicular a un lado desde el centro del polígono. Es básica para conocer el área del polígono ya que es la altura de cada uno de los triángulos formados por cada dos radios y el lado.

Área de un polígono regular

El área de cualquier polígono es el de la suma de las áreas de los triángulos en que se puede dividir. Si el polígono es regular el método se simplifica, ya que puede dividirse en triángulos iguales con un vértice en el centro del polígono y los otros dos en los extremos de cada lado.

Puesto que la apotema es la altura de cada uno de esos triángulos, su área es el producto del lado por la apotema partido por dos. Al multiplicar por el número de lados se obtiene al área del polígono regular: el perímetro por la mitad de la

apotema.

Figura 2.14 Polígonos regulares circunscritos

2.2.6 TRANSFORMACIÓN DE FIGURAS

La transformación de figuras es un método bastante efectivo para determinar el área de figuras geométricas complejas que no son equivalentes en forma global a ninguna de las figuras analizadas anteriormente, pero que se pueden transformar o descomponer en figuras como las estudiadas hasta ahora.

En la figura 2.19 se muestra una figura geométrica de la que se quiere calcular el área correspondiente.

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80 70 O 50 35 40 80 70 66 ° 53,3

Figura 2.15 Transformación de figuras

Como se puede apreciar en la figura 2.15, se ha transformado la figura geométrica inicial en la suma de varias regiones geométricas sencillas como el rectángulo, el triángulo y un sector circular, además como tiene un “hueco circular” , le debemos restar el área del circulo. De esta forma se puede determinar el área a partir de la transformación realizada, con cálculos más sencillos.

2.2.7 DIVISIÓN DE FIGURAS

La división de figuras es otro método bastante útil y práctico para determinar el área de algunas figuras geométricas, como los polígonos irregulares y que no se asemejan a ninguna de las figuras estudiadas anteriormente. En éste método la figura se debe dividir en triángulos cuyas dimensiones sean conocidas o que se facilite su cálculo a través de las herramientas que nos brinda la trigonometría.

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ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 29 En la figura 2.16 se muestra un poligono irregular, del cual se requiere determinar el área.

Como se puede apreciar en la figura es posible divirla mínimo en tres triángulos, al trazar diagonales desde los vértices, y el área del triángulo la podemos calcular de acuerdo con la fórmula A bh

2 1

= ; sin embargo se debe tener cierta habilidad para poder realizar una división apropiada que facilite el cálculo. En la primera alternativa propuesta se obtienen tres triángulos distintos, de los cuales se conocen las dimensiones de algunos lados y habrá que utilizar la trigonometría para poder determinar las dimensiones de los lados que no se conoce, o lo que es más critico aún, se debe tomar un lado como base y determinar la altura, para poder aplicar la fórmula.

En la segunda alternativa se realiza una división aprovechando la simetría de la figura, obteniendo tres triángulos, de los cuales dos son semejantes (mejor aún congruentes, es decir iguales, los triángulos 1 y 3) y el otro es isoceles (dos lados iguales) por ello los cálculos que se deben realizar se reducen significativamente.

Figura 2.16 División de figuras

50 30 40 30 50 119° 90_° 105° A B C D E 50 30 40 30 50 A B C D E 1 2 3 ₅₀ 30 40 30 50 A B C D E 1 2 3

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ACTIVIDADES PRELIMINARES

1. Si los segmentos m y n son proporcionales a los segmentos p y q, respectivamente. Además se tiene que m = 6 cm., n = 10 cm. y que p = 8 cm. Determina la medida del segmento q.

2. Dos segmentos m y n son proporcionales a los segmentos p y q, respectivamente. Si m = 6 cm., n = 8 cm. y p + q = 21 cm. ¿Cuales son las medidas de p y q?

3. Dos segmentos a y b son proporcionales a los segmentos c y d, respectivamente. Si a = 3 m., b = 4 m. y c + d = 28 m. ¿Cuales son las medidas de c y d?

4. Dos triángulos tienen sus lados proporcionales. Si el perímetro del primero es 45 m. y los lados del segundo triángulo miden 4 m., 5 m. y 6 m., respectivamente. Determina la medida de los lados del primer triángulo y la razón de proporcionalidad.

5. Dos triángulos tienen sus lados proporcionales. Si el perímetro del primero es 130 cm. y los lados del segundo triángulo miden 12 cm., 10 cm. y 4 cm., respectivamente. Determina la medida de los lados del primer triángulo y la razón de proporcionalidad.

6. Determina los lados de un triángulo sabiendo que su perímetro mide 180 cm. y que sus lados son proporcionales a 3, 5 y 10.

7. Si el triángulo ABC es semejante con el triángulo PQR entonces:

La razón entre los lados correspondientes es: _______ = _______ = _______ El ángulo CAB es congruente con el ángulo _______

El ángulo ABC es congruente con el ángulo _______ El ángulo ACB es congruente con el ángulo _______

8. Determina si son verdaderas las siguientes afirmaciones, justificando tu respuesta.

Todos los triángulos equiláteros son semejantes. Todos los triángulos isósceles son semejantes.

(31)

SESION 3

GEOMETRIA DEL ESPACIO

INTRODUCCIÓN

La geometría del espacio es el área de la geometría que se ocupa de las propiedades y medidas de figuras geométricas en el espacio tridimensional. Entre estas figuras, también llamadas sólidos, se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide, la esfera y el prisma. La geometría del espacio amplía y refuerza las proposiciones de la geometría plana, y es la base fundamental de la trigonometría esférica, la geometría analítica del espacio, la geometría descriptiva y otras ramas de las matemáticas. Se usa ampliamente en ingeniería y en ciencias naturales. Sin embargo aquí no se cubrirán todas las temáticas, pues el objetivo de la sesión es sentar las bases de la geometría descriptiva, la cual se desarrollará desde la sesión No 4.

También es preciso mencionar que las cónicas son las curvas más importantes que la geometría ofrece a la física. Por ejemplo, las propiedades de reflexión son de gran utilidad en la óptica. Pero sin duda lo que las hace más importantes en la física es el hecho de que las órbitas de los planetas alrededor del sol sean elipses y que, más aún, la trayectoria de cualquier cuerpo sometido a una fuerza gravitatoria es una curva cónica. El astrónomo alemán Johannes Kepler (1570-1630) descubrió que las órbitas de los planetas alrededor del sol son elipses que tienen al sol como uno de sus focos.

OBJETIVOS

Conocer los métodos para realizar una proyección sobre un plano.

Conocer las figuras en 3D para su posterior identificación y empleo en programas de diseño asistido por computador.

Conocer el origen geométrico de las curvas cónicas, sus constantes y sus aplicaciones.

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1. Para facilitar el desarrollo de ésta sesión, es conveniente que el estudiante realice una breve descripción de los diferentes tipos existentes de proyección sobre un plano.

2. Identifique en la figura general, las figuras parciales de las cuales está compuesta.

Figura P-2 3. En la figura calcule el área total.

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3.1 LÍNEAS RECTAS Y PLANOS

La línea es uno de los términos indefinidos de la geometría. Las líneas se extienden indefinidamente y no tienen ni espesor ni anchura. Las líneas son representadas con flechas en los extremos y se las nombra con letras minúsculas. A veces, una línea se la puede nombrar usando las flechas sobre las letras mayúsculas cuando esta representando dos puntos en la línea.

Figura 3.1 Línea recta

El plano es otro de los términos indefinidos de la geometría. Los planos se extienden indefinidamente en cualquier dirección y no tienen espesor. Un plano esta representado por una figura de mínimo tres lados y se lo nombra con una letra mayúscula o por tres puntos que no estén sobre la misma línea.

Figura 3.2 Plano

3.2 RECTAS Y PLANOS PERPENDICULARES

Si una recta es perpendicular a un plano, lo es a todas las rectas del plano, pasen o no por el punto de intersección. En la Figura 3.3a, la recta R es perpendicular a S, T, V, etc.

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3.2.1 TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES

Si dos rectas R y S son perpendiculares en el espacio, y una de ellas, la R por ejemplo, es paralela a un plano de proyección (Fig. 3.3b) o está contenida en él (Fig. 3.3c), ambas rectas se proyectan perpendiculares sobre dicho plano.

Considerando el plano proyectante definido por el haz de rectas perpendiculares a R en un punto, resulta que todas la rectas del haz se proyectan sobre su traza. Si la recta T, de dicho haz, es paralela al plano de proyección, el ángulo formado por R y T se proyecta sin deformación.

3.2.2 PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTA Y PLANO

Si una recta es perpendicular a un plano lo es a todas sus rectas, por tanto, si la recta R es perpendicular al plano (P), lo es a su traza P. Por el teorema de las tres perpendiculares, siendo R y P perpendiculares y estando contenida la traza P del plano en el plano de proyección, las proyecciones de R y P deben mostrarse ortogonales. De lo dicho deducimos que si una recta es perpendicular a un plano, sus proyecciones son perpendiculares a las trazas de dicho plano (Fig. 3.4).

Fig. 3.4 Perpendicularidad entre recta y plano

Para trazar por un punto M, una recta R perpendicular a un plano P dado, basta con trazar por las proyecciones del punto las proyecciones homónimas de la recta, perpendiculares a las trazas del plano. (Fig. 3.4)

El problema inverso podemos resolverlo con el auxilio de una recta horizontal que, pasando por el punto, tenga su proyección horizontal perpendicular a la traza horizontal del plano dado.

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Perpendicularidad entre planos: si una recta R es perpendicular a un plano (P),

cualquier plano (Q) que contenga a la recta R es perpendicular a (P).

Perpendicularidad entre rectas: para trazar una recta R perpendicular a otra S

dada, trazamos el plano (P) perpendicular a S, cualquier recta R contenida en el plano P es perpendicular a la recta S.

3.3 PARALELISMO DE RECTAS Y PLANOS PERPENDICULARES

3.3.1 PARALELISMO

Dos rectas son paralelas si tienen sus proyecciones homónimas paralelas. Las rectas de perfil pueden no ser paralelas en el espacio aún siéndolo sus proyecciones diédricas, en este caso es necesario que sus proyecciones de perfil también lo sean (Fig. 3.5).

Fig. 3.5 Rectas no paralelas

Una recta es paralela a un plano si lo es a una recta cualquiera contenida en el plano. Para trazar por un punto A una recta R paralela a un plano P dado, dibujamos una recta cualquiera S contenida en el plano y por el punto A dado, trazamos la paralela R a la recta S (Fig. 3.5).

El problema inverso, es decir, trazar por un punto un plano paralelo a una recta R dada, se resuelve trazando por el punto una recta S paralela a R. Cualquier plano que contenga a la recta S es paralelo a R.

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ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 36 Fig. 3.6 Rectas Paralelas

Las intersecciones de dos planos paralelos con un plano cualquiera son dos rectas paralelas, de aquí que los planos paralelos tengan sus trazas homónimas paralelas. Los planos proyectantes de perfil deben tener paralelas sus trazas de perfil para ser paralelos en el espacio (Fig. 3.6).

Para trazar por un punto un plano Q, paralelo a un plano P dado, podemos auxiliarnos de una recta horizontal o frontal. Si elegimos una recta horizontal, trazamos su proyección horizontal por la proyección horizontal del punto dado, paralela a la traza horizontal del plano P. Conteniendo la traza de la recta horizontal, trazamos Q', paralela a P', y por el origen del plano obtenido sobre la línea de tierra, la traza Q paralela a P. (Fig. 3.6).

3.4 PROYECCIONES SOBRE UN PLANO

La geometría descriptiva es la ciencia que estudia la representación de los elementos del espacio sobre el plano. Para ello utiliza algunos métodos, llamados sistemas de representación, que se basan en el concepto de proyección desde un

punto sobre el plano para reducir las tres dimensiones del espacio a las dos

dimensiones del plano.

Los sistemas de representación han de cumplir el principio de reversibilidad, es decir, que utilizando un sistema de representación podamos representar un cuerpo del espacio sobre el plano, y partiendo de dicha representación lo podamos reconstruir en el espacio.

Del concepto de proyección desde un punto sobre el plano, se derivan los tres tipos de proyecciones que utilizan los distintos sistemas de representación. Si el

(37)

ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 37 punto desde el que se proyectan los elementos del espacio sobre el plano es propio, el tipo de proyección es cónica, y cilíndrica, si es impropio. La proyección cilíndrica puede ser ortogonal u oblicua dependiendo de que el rayo proyectante sea perpendicular u oblicuo al plano de proyección.

Figura 3.7 Proyecciones sobre un plano

En el Sistema Diédrico se proyectan los elementos del espacio, utilizando la proyección cilíndrica ortogonal, sobre dos planos que se cortan perpendicularmente formando un diedro rectángulo. Para que las proyecciones de los elementos del espacio queden representadas sobre un único plano de proyección, que coincida con el plano del dibujo, se abate el plano Horizontal hasta hacerlo coincidir con el Vertical. De esta manera, tendremos representado el espacio tridimensional sobre un único plano

3.5 ÁNGULOS POLIEDROS

Si todos los puntos de un polígono convexo se unen con un punto exterior a su plano se obtienen diferentes semirectas, cuya unión recibe el nombre de ángulo

poliedro. Cuando el polígono es un triángulo se obtiene un triedro.

Los poliedros son los cuerpos (sólidos) limitados en su superficie por polígonos planos. Por lo que es necesario recordar los dos tipos de polígonos existentes:

Polígono convexo: Un polígono es convexo si y solamente si cualquier línea que

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ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 38 Figura 3.8 Polígono convexo

Polígono cóncavo: Un polígono es cóncavo si y solamente si no es un polígono

convexo.

Figura 3.9 Polígono convexo

3.6 CURVAS

3.6.1 NOCIONES PRELIMINARES

El matemático griego Menecmo (vivió sobre el 350 A.C.) descubrió estas curvas y fue el matemático griego Apolonio (262-190 A.C.) de Perga (antigua ciudad del Asia Menor), el primero en estudiar detalladamente las curvas cónicas y encontrar la propiedad plana que las definía. Apolonio descubrió que las cónicas se podían clasificar en tres tipos a los que dio el nombre de: elipses, hipérbolas y parábolas. Las elipses son las curvas que se obtiene cortando una superficie cónica con un plano que no es paralelo a ninguna de sus generatrices.

Las hipérbolas son las curvas que se obtiene al cortar una superficie cónica con un plano que es paralelo a dos de sus generatrices (Base y arista).

Las parábolas son las curvas que se obtienen al cortar una superficie cónica con un plano paralelo a una sola generatriz (Arista).

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ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 39 Figura 3.10 Forma de obtener una curva cónica

Otra forma de definir estas curvas (en vez de como secciones de un cono) es como la curva que describe un punto que se mueve en un plano de manera que el cociente entre las distancias de ese punto a un punto fijo (foco) y a una recta (directriz) es constante (excentricidad). Si esta constante está comprendida entre cero y uno, la curva es una elipse. Si es igual a uno, es una parábola y si es mayor que uno es una hipérbola.

3.6.2 ELIPSE

Se llama elipse al lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante. La línea que une los dos focos se llama eje principal de la elipse y la mediatriz de los mismos eje

secundario. Se llaman vértices de la elipse a los puntos donde ésta corta a sus

ejes. El punto medio de los dos focos se llama centro de la elipse y la distancia entre ellos se llama distancia focal.

Generalmente el eje principal se representa por 2a y la distancia focal por 2c. Los valores a y c se llaman semieje principal y semidistancia focal, respectivamente.

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ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 40 Figura 3.11 Elipse

3.6.3 PARÁBOLA

Se llama parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija llamada directriz. La distancia entre el foco y la directriz de una parábola recibe el nombre de parámetro de la parábola (suele denotarse por p).

Dada una parábola, se llama eje de la misma la recta que contiene al foco y es perpendicular a la directriz.

Se llama vértice de la parábola al punto donde ésta corta a su eje. Para simplificar la parábola, se supondrá que el vértice es el origen de coordenadas y que el foco se encuentra en el semieje positivo de abscisas.

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ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 41 Figura 3.12 Parábola

3.6.4 HIPÉRBOLA

Se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante (se representa por 2a). La recta que une los dos focos se llama eje real de la

hipérbola y la mediatriz se llama eje imaginario de la hipérbola. El punto donde se

cortan ambos ejes (que es, evidentemente, el punto medio de los focos) se llama

centro de la hipérbola.

Los puntos donde la hipérbola corta a los ejes (se verá que únicamente corta al eje real) se llaman vértices de la hipérbola.

Al igual que en la elipse, se llama distancia focal a la distancia entre los dos focos y a las distancias desde un punto cualquiera de la hipérbola a ambos focos se les llama radios vectores del punto.

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ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 42 Figura 3.13 Hipérbola

3.7 APLICACIONES 3.7.1 DE LA ELIPSE Propiedad Óptica

Consideremos un espejo que tenga forma de elipse. Si un rayo de luz que parta de uno de los focos choca contra el espejo, se reflejará hacia el otro foco.

Figura 3.14 Espejo elíptico

La propiedad óptica de la elipse se aplica en las “galerías de murmullos” como la que se encuentra en el Convento del Desierto de los Leones, cerca de la Ciudad de México, en la cual un orador colocado en un foco puede ser escuchado cuando

(43)

ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 43 murmura por un receptor que se encuentre en el otro foco, aún cuando su voz sea inaudible para otras personas del salón. Otra aplicación de la propiedad óptica de la elipse es la de ciertos hornos construidos en forma de elipsoides. Si en uno de sus focos se coloca la fuente de calor y en el otro se coloca el material que se quiere calentar, todo el calor emanado por la fuente de calor se concentrará en el otro foco.

Figura 3.15 Galería de los Murmullos

Astronomía

Una de las principales aplicaciones de la elipse se da en la astronomía. Johannes Kepler, estudiando los movimientos de Marte, al aplicar el modelo de Copérnico de órbitas circulares alrededor del sol, vio que los cálculos discrepaban ligeramente de la posición real del planeta en el firmamento. Así que intentó ajustar la órbita a otras curvas y finalmente encontró que la elipse se ajustaba maravillosamente a ella. Así encontró su primera ley del movimiento de los planetas. En realidad Kepler tuvo una suerte enorme, ya que Marte era el planeta conocido entonces cuya órbita era más excéntrica. Si en lugar de Marte hubiera decidido estudiar a Venus, cuya órbita es prácticamente circular, posiblemente nunca hubiera descubierto sus leyes del movimiento.

Figura 3.16 Orbita elíptica

Las tres leyes sobre el movimiento planetario de Kepler son:

(44)

ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 44 2. Los planetas barren áreas iguales en tiempos iguales. Es decir, en la figura , si

el tiempo que tarda el planeta en ir de A a B es igual que el que tarda en ir de C a D, entonces el área OAB es igual al área OCD.

3. El cuadrado del período de un planeta (el tiempo que tarda en dar una vuelta completa alrededor del sol) es proporcional al cubo de su distancia media (la longitud del semieje mayor de la elipse) al sol.

Kepler encontró sus leyes empíricamente, pero fue Newton, utilizando el Cálculo Diferencial que acababa de inventar, y su modelo de gravitación universal, quien probó dichas leyes.

3.7.2 DE LA PARÁBOLA

Propiedad óptica

Una propiedad geométrica simple de la parábola es la base de muchas aplicaciones importantes. Si F es el foco y P es un punto cualquiera de la parábola, la tangente en P forma ángulos iguales con FP y con GP, que es paralela al eje de la parábola. Un principio de la física dice que cuando un rayo de luz choca contra una superficie reflectora, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. Se sigue que si la parábola gira en torno a su eje para formar una concha reflectora hueca, todos los rayos de luz que partan del foco se reflejarán, después de chocar con la concha, paralelos al eje. Esta propiedad de la parábola se usa en el diseño de faros buscadores, en los que la fuente de luz se coloca en el foco. Recíprocamente, se usa en ciertos telescopios en los que los rayos paralelos provenientes de una estrella lejana que entran son enfocados hacia un solo punto.

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ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 45 Trayectoria parabólica de un proyectil

La trayectoria de un proyectil lanzado desde el nivel del suelo describe una parábola abierta hacia abajo. Esta propiedad fue descubierta por Galileo en el siglo XVI.

Figura 3.18 Trayectoria de un proyectil Puentes colgantes

El cable de suspensión de un puente uniformemente cargado toma la forma de una parábola.

Figura 3.19 Puente colgante

3.7.3 DE LA HIPÉRBOLA Propiedad óptica

Consideremos un espejo que tenga forma de hipérbola. Si un rayo de luz que parta de uno de los focos choca contra el espejo, se reflejará alejándose directamente del otro foco. La demostración es enteramente análoga a la propiedad óptica de la elipse.

Las propiedades ópticas de la parábola y de la hipérbola se combinan en el diseño del telescopio reflector del tipo Cassegrain. Los rayos paralelos de una estrella se enfocan finalmente en el ocular colocado en F.

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ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 46 Sistema de navegación LORAN

La propiedad de la definición de la hipérbola: la diferencia de las distancias de los puntos de la hipérbola a los focos es constante, se utiliza en la navegación. En el sistema de navegación LORAN (acrónimo de long range navigation), una estación radioemisora maestra y otra estación radioemisora secundaria emiten señales que pueden ser recibidas por un barco en altamar. Puesto que un barco que monitoree las dos señales estará probablemente más cerca de una de las estaciones, habrá una diferencia entre las distancias recorridas por las dos señales, lo cual se registrará como una pequeña diferencia de tiempo entre las señales, En tanto la diferencia de tiempo permanezca constante, la diferencia entre las dos distancias será también constante. Si el barco sigue la trayectoria correspondiente a una diferencia fija de tiempo, esta trayectoria será una hipérbola cuyos focos están localizados en las posiciones de las dos estaciones. Si se usan dos pares de transmisores, el barco deberá quedar en la intersección de las dos hipérbolas correspondientes.

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Astronomía (Trayectorias de cometas)

Un cuerpo celeste que provenga del exterior del sistema solar y sea atraído por el sol, describirá una órbita hiperbólica, teniendo como un foco al sol y saldrá nuevamente del sistema solar. Esto sucede con algunos cometas.

En la figura 3.18 se muestra cómo se pueden combinar las propiedades ópticas de la parábola y la hipérbola para construir un telescopio.

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1. Investigue sobre los poliedros regulares existentes, su denominación y características principales. Dibuje cada uno de ellos mostrando características. Realice el ejercicio con ayuda de un paquete de diseño. 2. De acuerdo con los tipos de curvas cónicas, identifique en qué área o

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SESION 4

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

INTRODUCCIÓN

Una de las formas de comunicación más empleadas a nivel mundial es la expresión gráfica, la cual se constituye en un lenguaje universal, en donde es posible transmitir cualquier sensación, idea, diseño, etc. y sobre todo para ésta última se constituye en un lenguaje obligatorio entre los ingenieros y arquitectos que centran su ejercicio profesional en el diseño de elementos por mencionar algo sencillo, hasta sistemas mucho más complejos que difícilmente se podrían comunicar de otra forma. Sin embargo se hace necesario representar fielmente los objetos de tres dimensiones (longitud, altura y profundidad), en superficies de dos dimensiones y esto se ha ido resolviendo con el paso del tiempo, dando origen a lo que hoy denominamos la geometría descriptiva, la que permite hacer la representación con exactitud y con sus más mínimos detalles de un objeto, una pieza mecánica, una estructura etc., para su correcta construcción; así como resolver complejos problemas de ingeniería o arquitectura gráficamente.

OBJETIVOS

Entender los conceptos básicos de la geometría descriptiva como son punto, línea recta y plano, entre otros que serán de gran utilidad durante el estudio y el ejercicio de la Ingeniería Civil.

Desarrollar la capacidad para encontrar las diversas proyecciones de un punto, línea o plano.

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1. La geometría descriptiva se fundamenta en coceptos básicos, por ello es necesario que el estudiante repase dichos conceptos y defina los siguientes términos: a) Geometría Descriptiva b) Plano de Proyección c) Proyección de un punto d) Proyectante e) Proyección Ortográfica

2. En la geometría descriptiva se emplean elementos básicos, a partir de los cuales se facilita el tratamiento de los sólidos para proyectarlos según las necesidades. Por lo anterior es fundamental tener claridad y solidez sobre la interpetación de dichos elementos. Indique lo que usted entiende por cada uno de ellos:

a) Punto b) Línea recta c) Plano

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4.1 PROYECCIONES

Los sólidos tienen tres dimensiones: longitud, altura y profundidad y en la figura 4.1 en la proyección mostrada sobre el plano vertical, solamente aparecen su longitud y su altura. Para que aparezca la tercera dimensión, o sea su profundidad, el ingeniero necesita proyectarlo sobre otro plano de proyección H como aparece ahí mismo.

Figura 4.1 Planos horizontal y vertical de proyección

Si los planos anteriores se trazan paralelamente a superficies fundamentales del sólido, las proyecciones representan la verdadera forma y magnitud de estas. Estos planos V y H se denominan plano vertical de proyección y plano horizontal

de proyección respectivamente, cuando cumplen con las siguientes definiciones:

a) Plano Horizontal de Proyección: Es aquél en donde todos los puntos que lo componen, están a igual altura del plano de comparación determinado por el nivel del mar. La proyección del sólido en este plano se llama proyección horizontal y las proyectantes que deben ser perpendiculares a él, son líneas verticales en el espacio.

b) Plano Vertical de Proyección: Es un plano perpendicular al Horizontal y la proyección del sólido sobre él se llama proyección vertical. Las proyectantes, que

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ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 52 deben ser también perpendiculares a dicho plano, son líneas horizontales en el espacio.

Son estos, los planos básicos de todo sistema de proyección. De acuerdo a esto para describir correctamente un sólido bastaría con proyectarlo en dichos planos, pues allí se dan sus tres dimensiones. Aunque esto es cierto para aquellas configuraciones sencillas; pero los sólidos con configuraciones más complejas requieren de una tercera proyección denominada Plano de Perfil o P (figura 4.2), que se puede definir así:

Plano de Perfil (lateral): Este plano es vertical también; pero con la particularidad

de ser perpendicular a los planos horizontal y vertical a la vez. Las proyectantes -de éste plano son líneas horizontales, perpendiculares a las proyectantes -del plano vertical. Se le denomina así para distinguirlo del plano vertical.

Figura 4.2 Plano de proyección de perfil

Para comprender mejor, se puede considerar que estos tres planos fundamentales formen el rincón de una caja de cartón; en tal ejemplo, el plano Horizontal H se asimilaría a la tapa superior, el plano Vertical V a la cara anterior y el de Perfil P a la cara lateral, tal como se aprecia en la figura 4.3.

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ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 53 Figura 4.3 Planos fundamentales de proyección

Si se coloca el sólido suspendido en el espacio interior de esta caja, en tal forma que la mayoría de sus caras sean paralelas a dichos planos (figura 4.4), y se le proyecta sobre ellos, se obtienen sus tres proyecciones: la proyección horizontal sobre el plano H, la proyección vertical sobre el plano V y la proyección de perfil sobre el plano P.

Figura 4.4 Sólido y proyecciones fundamentales en el espacio

Pero esta situación real del espacio, debe ser representada sobre superficies bidimensionales como lo es la hoja de papel o la pantalla del computador. Para lograrlo, es necesario abrir esta caja convencional llevando los planos horizontal y de perfil, junto con las proyecciones respectivas al mismo plano que el vertical, haciéndolos girar 90º. Así se obtiene la posibilidad de dibujar como se indica en la figura 4.5, las tres proyecciones fundamentales del sólido.

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ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 54 Figura 4.5 Sólido y proyecciones principales en el plano

Se han mencionado hasta ahora las proyecciones fundamentales de un sólido; pero, al asimilar los planos de proyección a las caras de una caja de forma rectangular (paralelepípedo rectangular), se observa que ésta no posee únicamente tres caras, sino seis y además son paralelos de dos en dos. Esto permite establecer los seis planos principales de proyección, los cuales reciben su nombre de acuerdo con las denominaciones dadas a las superficies del sólido y a su situación en el espacio, estas son: horizontal superior e inferior, vertical anterior y posterior, y perfil derecho e izquierdo.

Figura 4.6 Planos Principales de Proyección de un sólido

H o riz o n tal S up erior

H orizo nta l Inferior P erfil Izq uierd o

P erfil D ere ch o V e rtic a l A n terior

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4.1.1 PLANOS Y PROYECCIONES ADYACENTES

Al analizar la representación de los planos de proyección después de la rotación necesaria para ponerlos sobre la hoja de papel (figura 4.7), podemosapreciar que los planos horizontal inferior, horizontal superior, perfil derecho y perfil izquierdo rodean al vertical anterior. Esta ubicación nos indica que éstos planos son adyacentes al vertical anterior y que a su vez éste es adyacente a cada uno de ellos.

Figura 4.7 Planos principales de proyección en el plano (Sistema Americano)

Lo anterior permite establecer cuando un plano se denomina adyacente con relación a otros.

Las proyecciones situadas en estos planos, como es de esperarse, llevan las mismas denominaciones: Proyección adyacente horizontal, cuando está situada sobre un plano adyacente al Horizontal; Proyección adyacente vertical, cuando está situada sobre un plano adyacente al Vertical; etc.

4.1.2 LÍNEAS DE REFERENCIA

Las aristas de la caja convencional utilizada como medio de comparación son las líneas de referencia; las cuales son las intersecciones entre si de los planos de proyección.

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ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 56 Las líneas de referencia tienen como notación dos letras mayúsculas que corresponden a las iniciales de los planos que se intersectan. Así la línea de referencia entre los planos vertical y perfil se notará como V/P y entre los planos horizontal y vertical se denominará H/V.

Otras notaciones de líneas de referencia pueden ser la R/S o la X/Y, que se entienden como las intersecciones de los planos R y S, o del plano X con el Y. Se debe notar que las líneas de referencia, separan dos planos que en el espacio son perpendiculares entre sí, tal como se muestra en la siguiente figura.

Figura 4.8 Líneas de Referencia

Vale la pena anotar que las líneas de referencia representan a uno de los planos que se intersectan, visto como una línea o filo cuando el observador lanza visuales o proyectantes perpendiculares sobre el otro plano.

4.1.3 PROYECCIONES PRINCIPALES EN OTROS SISTEMAS

Existen dos sistemas para organizar las seis proyecciones principales de un sólido, en la figura 4.7 se representa el sistema americano o denominado también

proyección en el tercer cuadrante (ISO A), pero también existe otro sistema muy

similar al anterior, el europeo, también denominado proyección en el primer

cuadrante (ISO E).

En el sistema americano el plano vertical anterior es el que sirve de base para rotar los planos restantes 90º; colocándose entonces, el horizontal superior por encima de éste y el de perfil derecho a su derecha.

R S P lan o R P lan o S R S L in ea d e R eferen cia

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ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 57 En el sistema europeo es el plano vertical posterior el que sirve de base para ejecutar dicha rotación, es decir, en el sistema americano los planos de proyección se encuentran entre el observador y el objeto, mientras que en el europeo, el objeto se encuentra entre el observador y los planos de proyección. Las figuras 4.9a y 4.9b muestran la forma de proyectar y como se desdoblan o rotan los planos en el sistema europeo.

Figura 4.9a Proyección en el sistema europeo

Figura 4.9b Planos principales de proyección en el plano (Sistema Europeo)

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ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 58 para las proyecciones principales de un sólido, donde el concepto de vista es equivalente al de Proyección, como por ejemplo:

• vista frontal, elevación o alzado para referirse a la proyección vertical anterior

• vista superior o planta para referirse a la proyección horizontal superior

• vista lateral derecha, elevación o alzado lateral para referirse a la proyección de perfil derecho.

4.1.4 VISUALIZACIÓN

En las proyecciones fundamentales de un sólido se indican las tres dimensiones (figura 4.10), las cuales permiten elaborar un dibujo que represente la forma aproximada en el plano (hoja de papel). Para ello se deben trazar tres ejes, uno vertical, sobre el que se toma a la escala apropiada la altura; y otros dos formando ángulos de 30º con relación a una línea horizontal o perpendicular a la vertical trazada anteriormente, sobre estas se colocan, en el eje de la derecha la profundidad y en el eje de la izquierda la longitud.

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ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 59 Los ejes perpendiculares entre sí en el espacio son la base de la proyección

isométrica.

Sobre los ejes (figura 4.11) se determinan las tres dimensiones fundamentales del sólido, marcando los puntos correspondientes por donde se trazan líneas paralelas a los ejes y como resultado se obtendrá un paralelepípedo, el cual debe contener al sólido.

En la parte superior de dicho paralelepípedo se dibujan las líneas que conforman la vista superior, de igual manera se procede con la proyección vertical y de perfil en los planos respectivos. Se aprecia como el sólido representado en la figura 4.11 tiene la forma de una L y si se borran las partes sobrantes de los trazos iniciales se puede obtener el contorno general.

Figura 4.11 Proyección isométrica

Según lo anterior se establece que la Geometría Descriptiva es sencilla, ya que solo con observar detalladamente el sólido planteado y proyectar sobre los planos principales, en la forma ya expuesta sus puntos, líneas, superficies y contornos.

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ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES 60 Figura 4.12 Proyección isométrica del sólido en estudio

4.1.5 TALLER DE APLICACIÓN

Para la proyección isométrica del sólido representar las proyecciones principales en el sistema americano.