Apuntes Probabilidad Bloque III

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PROBABILIDAD Y ESTADISTICA II

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA II

VI SEMESTRE 2013-A VI SEMESTRE 2013-A BLOQUE III.

BLOQUE III. ANALIZAS LASANALIZAS LAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DEDISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS.

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS.

Variable: Termino que forma parte de una expresión matemática y puede tomar diferentes Variable: Termino que forma parte de una expresión matemática y puede tomar diferentes valores dentro de un conjunto dado.

valores dentro de un conjunto dado.

Variable aleatoria: Si los valores numéricos que toma una variable provienen de factores Variable aleatoria: Si los valores numéricos que toma una variable provienen de factores fortuitos o en ellos interviene al azar, entonces se le denomina variable aleatoria.

fortuitos o en ellos interviene al azar, entonces se le denomina variable aleatoria. Son ejemplos de variable aleatorias las siguientes:

Son ejemplos de variable aleatorias las siguientes: a)

a) Se lanzan cinco monedas observándose los resultados que se obtienen: una variable aleatoriaSe lanzan cinco monedas observándose los resultados que se obtienen: una variable aleatoria asociada a ese experimento, es el numero de caras obtenido, que puede tomar los valores 0, 1, 2, asociada a ese experimento, es el numero de caras obtenido, que puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, 5.

3, 4, 5.  b)

 b) Considere una variable aleatoria el número de llamadas telefónicas recibidas diariamente enConsidere una variable aleatoria el número de llamadas telefónicas recibidas diariamente en cierta compañía, esta variable aleatoria puede tomar valores enteros entre 0 y algún otro cierta compañía, esta variable aleatoria puede tomar valores enteros entre 0 y algún otro número.

número. c)

c) Una trabajadora social realiza un estudio sobre la composición familiar en cierta comunidad:Una trabajadora social realiza un estudio sobre la composición familiar en cierta comunidad: una variable aleatoria que se puede definir para este estudio es el número de hijos por familia y una variable aleatoria que se puede definir para este estudio es el número de hijos por familia y  puede tomar los valores 0, 1, 2, etc.

 puede tomar los valores 0, 1, 2, etc. Distribución de probabilidad:

Distribución de probabilidad:

Es semejante a la distribución de frecuencias, la cual asocia cada uno de los valores que toma una Es semejante a la distribución de frecuencias, la cual asocia cada uno de los valores que toma una variable aleatoria con su respectiva probabilidad. Por lo general se usa un formato de tabla para su variable aleatoria con su respectiva probabilidad. Por lo general se usa un formato de tabla para su  presentación, y se grafica utilizando diversas repr

 presentación, y se grafica utilizando diversas representaciones.esentaciones. Ej,. Sea el experimento lanzar al aire 3

Ej,. Sea el experimento lanzar al aire 3 monedas, y monedas, y a) la variable aleatoria el número de soles quea) la variable aleatoria el número de soles que aparecen, b) la variable aleatoria el número de águilas que aparecen. Realizar su distribución de aparecen, b) la variable aleatoria el número de águilas que aparecen. Realizar su distribución de  probabilidad.

 probabilidad.

aaa, saa, asa, aas, ssa, sas, ass, sssaaa, saa, asa, aas, ssa, sas, ass, sss S S A A P P (S) (S) P P (A)(A) 0 0 3 3 1/8 1/8 1/81/8 1 1 2 2 3/8 3/8 3/83/8 2 2 1 1 3/8 3/8 3/83/8 3 3 0 0 1/8 1/8 1/81/8 Función de probabilidad: Función de probabilidad:

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Ejemplo.- Se lanzan dos monedas al aire, donde la variable aleatoria es la cantidad de soles. Ejemplo.- Se lanzan dos monedas al aire, donde la variable aleatoria es la cantidad de soles. x

x = = 0, 1, 0, 1, 2.2. E =

E =aa, as, sa, ssaa, as, sa, ss

Se calculan las probabilidades para los elementos de la variable: Se calculan las probabilidades para los elementos de la variable: Distribución de probabilidad P (x), para x = 0, 1, 2

Distribución de probabilidad P (x), para x = 0, 1, 2

x x P (x)P (x) 0 0 ¼¼ 1 1 ½½ 2 2 ¼¼

La función de probabilidad está dada por: La función de probabilidad está dada por:

¼, para x = 0, 2 ¼, para x = 0, 2 P (x) = P (x) = ½, para x = 1 ½, para x = 1

Representación grafica de la distribución de probabilidad: Representación grafica de la distribución de probabilidad: Las distribuciones de probabilidad pueden

Las distribuciones de probabilidad pueden gráficamente por medio de lgráficamente por medio de líneas íneas o con un histograma.o con un histograma. A continuación se muestran las representaciones graficas del problema anterior.

A continuación se muestran las representaciones graficas del problema anterior.

 _   _  1.0 _  1.0 _  0.50 0.50 _ _ _ _  0.25 0.25 0 0 1 1 2 2 0 0 1 1 22

Ejemplo.-2.- Se lanzan tres monedas, donde la variable aleatoria es el número de soles. Determina 2.- Se lanzan tres monedas, donde la variable aleatoria es el número de soles. Determina a) Distribución de probabilidades a) Distribución de probabilidades  b) Función de probabilidad  b) Función de probabilidad c) Grafica c) Grafica x x P P (x)(x) 0 0 ¼¼ 1 1 ½½ 2 2 ¼¼

(3)

X = 0, 1, 2, 3

E ={AAA, AAS, ASA, ASS, SSA, SAS, SAA, SSS}

Solucion: a) b) Función de probabilidad: 1/8 para x = 0, 3 P (x) = 3/8 para x = 1, 2 c) Grafica 3/8 __ __   __ __   __ __   __ __   __ __  1/8 __ __   __ __   __ __  0 1 2 3 0 1 2 3

Media, varianza y desviación estándar de una variable aleatoria discreta. Media =  = ∑ ,  ( )-2  2 x P (x) 0 1/8 1 3/8 2 3/8 3 1/8

(4)

Desviación estándar = σ = √

Ejemplos:

1. Sea el experimento lanzar dos monedas, determinar: A) La media B) La varianza C) Desviación estándar  ∑,()-   ∑,()-   ∑,  ()-   x = ∑,  ()-   s2 = ∑,  ()-  * ∑ ,  ( ) - +2 = 1.5 - 12 = 05 s = √  = √  = 0.7071

2. Hallar la media, varianza y desviación estándar de lanzar tres monedas, donde la variable aleatoria es el número de soles. (ejemplo 2 del tema anterior)

   ∑  ()   ∑()()  ()   √  Xk  P(Xk ) Xk P(Xk ) (Xk )2 (Xk )2 P(Xk ) Media (Ẍ) = 1.5 Varianza(σ2) = 0 0.125 0 0 0 3 - (1.5)2 1 0.375 0.375 1 0.375 3 – 2.25 2 0.375 0.75 4 1.5 0.75 3 0.125 0.375 9 1.125 ∑ = 1.5 ∑ = 3 Desviación estándar (σ) = 0.86 Ejemplo 2: x P (x) x P (x) x P (x) 0 ¼ 0 0 1 ½ ½ ½ 2 ¼ ½ 1

(5)

Consideremos 12 fichas marcadas con los números 8, 8, 8, 13, 13, 13, 13, 20, 20, 20, 20, 20, sea el experimento elegir al azar una de las fichas y sea X la variable aleatoria

discreta que representa “el cuadrado del número de la ficha elegida”. Construir la

distribución de probabilidad, la función de probabilidad, la media, varianza y desviación estándar.    ∑  ()   ∑( )()  ()   √  Xk  P(Xk ) Xk P(Xk ) (Xk )2 (Xk )2 P(Xk ) Varianza  64 0.25 16 4096 1024 77649.13 – (239.77)2 169 0.33 55.77 28561 9425.13 20159.48  400 0.42 168 160000 67200 ∑ = 239.77  77649.13 Media = 239.77 Varianza = 20159.48 Desviación estándar = 141.98

Variable esperado de una variable aleatoria (esperanza matemática)

El concepto de esperanza matemática complementa las nociones de distribución de probabilidad y variable aleatoria. La esperanza matemática es un parámetro de estas variable y representa el valor   promedio que se espera suceda al repetir el experimento gran cantidad de veces. Se denota por E (x) y

se calcula por: n

E (x) =∑    xi P(xi) = x1 P(x1) + x2P (x2) + x3 P (x3) + ….. xn P(xn).

 Nota : Cuando la esperanza matemática se aplica en un juego de dinero, el valor esperado E se considera como el juego del jugador: si E es positivo, el juego es favorable; Si E es negativo resulta desfavorable y si E = 0, el juego es justo.

Ejemplo:

1. La producción diaria de una fábrica es de 12 artículos, de los cuales 2 salen defectuosos.

Después se toma una muestra de 3 artículos. Sea x la variable aleatoria que asigna el número de artículos defectuosos en la muestra.

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# elementos de A

P (A) = ____________________  Total

Se obtiene la probabilidad de uno y dos artículos defectuosos de la producción diaria, utilizando las técnicas de conteo. C2 ,1 X C10,2 2 X 45 = 90 90 P (x1) = _____________ = ____________ = _______  Total = C10,3 220 220 C2 ,2 X C10,0 1 X 10 = 10 10 P (x2) = _____________ = ____________ = ________  Total = C10,3 220 220 E (x) = 1 (90/220) + 2 (10/220) = 0.5

Se espera que de una muestra de 3 artículos 0.5 sea defectuoso.

Distribución de probabilidad binomial. Experimento de probabilidad binomial.

La distribución binomial se cita frecuentemente como distribución de Bernoulli en atención al matemático suizo Jacobo Bernoulli que la dedujo a fines del siglo XVII. Un experimento aleatorio se llama binomial o de Bernoulli, si cumple las condiciones que se señalan:

1. El experimento consta de un número finito de ensayos independientes. 2. Cada ensayo solo tiene dos resultados: Éxito y Fracaso.

3. La probabilidad de éxito en un ensayo se simboliza con “p” y la de fracaso con “q”, donde p+q = 1, estas probabilidades se mantienen constantes en cada ensayo.

4. El total de observaciones posibles (o población) es muy grande o infinita en relación con el número de observaciones (o muestra) que se realiza.

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Así, una variable aleatoria discreta asociada a ensayos de Bernoulli se dice que está

distribuida binomialmente, y si dicha variable representa al “éxito”, entonces se puede esperar que ocurran “x” en “n” ensayos.

La Probabilidad de “x” éxitos en “n” ensayos es:

(  )      ,  para k = 0, 1, 2, … , n

Ejemplo:

1. El 60% del personal de una empresa está sindicalizado: se toma una muestra (n) al azar de 10 obreros para determinar: a) La probabilidad de encontrar siete

empleados (k) sindicalizados. n = 10 k = 7 p = 0.60 q=0.40 (  )     ()  ()

 P(x = 7) = 120 x 0.028 x 0.064 = 0.215 = 21.5%

2. El vendedor de seguros vendió pólizas a cinco hombres (n) de la misma edad y con buena salud. De acuerdo con las tablas de la compañía de seguros, la

 probabilidad de que un hombre de esta edad viva 30 años más es del 67%.

Encontrar la probabilidad de que después de 30 años vivan los cinco hombres (k). n = 5 k = 5 p = 0.67 q=0.33

(  )     ()  ()

 P(x = 5) = 1x 0.135 x 1 = 0.135 = 13.5%

Función de probabilidad binomial. Media y desviación estándar.

La media, la varianza y la desviación estándar de la distribución binomial se calculan con las formulas que se presenta a continuación.

Media     

Varianza       

Desviación estándar    √ 

Ejemplo:

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1. El 60% del personal de una empresa está sindicalizado: se toma una muestra (n) al azar de 10 obreros para determinar: a) La probabilidad de encontrar siete

empleados (k) sindicalizados. n = 10 k = 7 p = 0.60 q=0.40

Media      = 10 x 0.60 = 6

Varianza        = 10 x 0.60 x 0.40 = 2.4

Desviación estándar    √  = 1.55

2. El vendedor de seguros vendió pólizas a cinco hombres (n) de la misma edad y con buena salud. De acuerdo con las tablas de la compañía de seguros, la

 probabilidad de que un hombre de esta edad viva 30 años más es del 67%.

Encontrar la probabilidad de que después de 30 años vivan los cinco hombres (k). n = 5 k = 5 p = 0.67 q=0.33

Media      = 5 x 0.67 = 3.35

Varianza        = 5 x 0.67 x 0.33 = 1.11

Desviación estándar    √  = 1.05 Ejercicios.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS  CONTI NUAS. 12 H rs.

3.1 Distri bución de probabilidad normal. - Var iable aleatoria conti núa.

Es aquella variable en donde dentro de un intervalo existente (a, b) de la recta real, toma

todos los valores entre a y b (los valores que toma son infinitos).

Ejemplo:

El peso de los recién nacidos.

La altura de los árboles de naranja de un año de edad.La duración de una batería alcalina tamaño AA.

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La tasa de inflación de un país.

El índice de desempleo de un estado.

- Pr opiedades de las distribuciones de probabilidad conti nuas.

Es importante tener presente que las variables aleatorias discretas provienen de conteos o enumeraciones, mientras que las variables aleatorias continuas son resultado de mediciones.

Ejercicios.

Escribe en el paréntesis de la izquierda la letra indicada, según se trate de una variable aleatoria discreta (D) ó continúa (C).

( ) El total de personas esperando atención médica en la sala de emergencias de un hospital.

( ) La cantidad de lluvia que cae en Mérida, Yucatán durante una semana. ( ) El número de goles anotados en un partido.

( ) El tiempo de reacción de un conductor automovilístico cuando se enfrenta a un peligro inminente.

( ) La cantidad de errores de impresión encontrados en un libro.

( ) La temperatura corporal de una persona enferma medida cada hora durante 24 horas.

L A DI STRI BUCI ÓN NORM AL

Es una distribución de probabilidad para variables aleatorias continuas, y que es considerada como la piedra angular de la teoría estadística moderna. Su estudio incluye los conceptos básicos relativos a ella, la presentación de su formula y ejercicios de aplicación.

Cuando los datos que origina una variable aleatoria continua son agrupados en una tabla de distribución de frecuencias, para posteriormente construir su correspondiente histograma y polígono de frecuencias, mientras más pequeña sea la amplitud de los intervalos de la tabla de distribución de frecuencias, se tendrá un número más grande de ellos, y los rectángulos del histograma serán más delgados y en mayor número, entonces el polígono de frecuencias que a su vez tendrá mayor número de segmentos de recta que lo conformen, se aproximará a tomar la forma continua (sin interrupción); tal efecto se muestra en la siguiente figura.

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f(x)=1/(sqrt(6.2832))*2.71828^(-x^2/2)

Graph Limited School Edition

A esta curva continua se le denomina distribución continua de probabilidad o densidad de probabilidad, dado que el área bajo la curva representa el porcentaje de la  probabilidad de que ocurra un evento dentro de un determinado intervalo [a, b].

f(x)=1/(sqrt(6.2832))*2.71828^(-x^2/2)

Graph Limited School Edition

Por lo tanto, los valores de una distribución continúa de probabilidad o densidad de  probabilidad no pueden ser negativos, y el área total debajo de la curva siempre es igual

a 1, o al 100% de probabilidad. Para las variables aleatorias

Muchas que aparecen en relación con mediciones experimentos u observaciones  prácticas, están distribuidas normalmente.

Algunas se pueden convertir en una variable con distribución normal por medio de una transformación sencilla.

Curva continua

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Ciertas distribuciones más complejas se pueden aproximar mediante la distribución normal, como por ejemplo la distribución binomial o de Bernoulli.

- Representación.

La distribución normal o Gaussiana es una función y se define por la siguiente ecuación matemática.  ()   √     Donde:      

σ  es la desviación estándar de la distribución.  μ es la media de la distribución.

x es una variable aleatoria continua distribuida normalmente.

e es igual a 2.71828 que es la constante base de los logaritmos naturales

π es valor pi igual a 3.1416

Para una distribución n ormal tipif icada o estándar la media es igual a cero y su

desviación estándar igual a uno, por lo que la función se transforma a

 ()  

√  



Que tiene por representación geométrica a la curva normal tipif icada.

f(x)=1/(sqrt(6.2832))*2.71828^(-x^2/2)

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La curva que representa f(x) se denomina también campana de Gauss, y tiene las siguientes características

La curva tiene forma de campana.

Se extiende indefinidamente en ambas direcciones, por lo que se dice que es

asintótica al eje X.

Esta totalmente especificada por su media μ y su desviación estándar σ.Es simétrica con respecto a la media aritmética μ, cuando z = 0

El área total bajo la curva se considera igual a 1 o 100 %.

El área debajo de la curva entre la media y cualquier otro punto en una función del

número de desviaciones estándar que es el punto que dista de la media.

- Área bajo la cur va de una distr ibución normal.

En la práctica. Las áreas situadas debajo de la curva normal se encuentra en tablas  previamente calculadas, pero como resulta imposible calcular tablas de áreas debajo de curvas normales para cada pareja o combinación de media y desviación estándar, estas

áreas se calcula en relación con la curva normal estándar que tiene μ = 0 y σ = 1.

Mediante una conversión de unidades, es decir, las unidades de medición son convertidas a unidades denominadas estándar o “z”, la cual mide la diferencia de cada valor de la variable aleatoria “x” con respecto a la media μ, en función de la desviación

estándar σ, por medio de la siguiente fórmula:

    

Las unidades z indican simplemente cuantas desviaciones estándar está el valor de la

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f(x)=1/(sqrt(6.2832))*2.71828^(-x^2/2)

Graph Limited School Edition

f(x)=1/(sqrt(6.2832))*2.71828^(-x^2/2)

Graph Limited School Edition

Una característica importante de la curva normal estándar es la forma en la cual está distribuida su probabilidad, ya que está repartida muy marcadamente con relación a sus desviaciones estándar, esto es:

Probabilidad aproximada del 68.3% entre z = +1 y z = -1.Probabilidad aproximada del 95.5% entre z = +2 y z = -2.Probabilidad aproximada del 99.7% entre z = +3 y z = -3.

La curva de la distribución normal estandarizada al ser simétrica con respecto a la media

μ = 0 y como el área total bajo la curva es la unidad (es decir 100%), entonces:

El área bajo la curva a cada lado de μ = 0 es igual a 0.50 o de 50%.

Para calcular el área debajo de la curva normal tipificada es necesario el uso de tablas:

Escala x Escala z

(14)

Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359 0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753 0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141 0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517 0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879 0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224 0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549 0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852 0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133 0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389 1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621 1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830 1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015 1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177 1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319 1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441 1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545 1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633 1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706 1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767 2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817 2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857 2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890 2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916 2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936 2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952 2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964 2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974 2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981 2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986 3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990 3.1 0.4990 0.4991 0.4991 0.4991 0.4992 0.4992 0.4992 0.4992 0.4993 0.4993 3.2 0.4993 0.4993 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4995 0.4995 0.4995 3.3 0.4995 0.4995 0.4995 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4997 3.4 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4998 3.5 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 3.6 0.4998 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 3.7 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 3.8 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 3.9 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000

(15)

Ejemplo: 

Calcular las áreas situadas debajo de la curva normal estándar para los siguientes casos:

a) entre z = 0 y z = 1.65; b) entre z = 0 y z = -2.1; c) entre z = -1.9 y z = +2.3; y, d) z = 0.35 y z = 2.4.

Solución: a) 

Como estamos encontrando el área bajo la curva desde z = 0 y z = 1.65, solo es necesario localizar en la tabla el área para z = 1.65. la tabla presenta una columna de valores para z ,y, varias columnas con los números del 0 al 9, que representan los centesimales. En esta columna de z localizamos el numero 1.6, luego localizamos la columna de 5, (que sería el numero 1.65), la fila que coincide con el 1.6 y la columna 5, nos da el valor de 0.4505, que es el área bajo la curva normal tipificada, y representa el 45.05 % de probabilidad.

f(x)=1/(sqrt(6.2832))*2.71828^(-x^2/2)

Graph Limited School Edition

Solución: b) 

Al igual que el caso anterior solo localizamos el área para z = -2.1, en la tabla localizamos en la columna de z el número 2.1 (no hay negativos) y coincidimos la fila de este número con la columna de 0, lo que nos da un valor de 0.4821.

0

(16)

f(x)=1/(sqrt(6.2832))*2.71828^(-x^2/2)

Graph Limited School Edition

Solución: c) 

Las áreas que nos da la tabla para los valores z = -1.9 y z = +2.3, son la áreas comprendidas entre z = 0 hasta z = -1.9 y el de z = 0 hasta z = 2.3, las áreas se suman. El área para z = -1.9 es de 0.4713 y el área para z = 2.3 es de 0.4893, sumando los dos valores tenemos 0.9608, que representa el 96.08 % de probabilidad.

f(x)=1/(sqrt(6.2832))*2.71828^(-x^2/2)

Graph Limited School Edition

Solución: d) 

Las áreas que nos da la tabla para los valores de z = 0.35 y z = 2.4, son las áreas de z = 0 hasta z = 0.35 y la de z = 0 hasta z = 2.4, como ambas áreas están del mismo lado de la z = 0, y queremos el área entre los dos valores, el área resultante es la diferencia de las dos áreas localizadas. El área para z = 0.35 es de 0.1368 y del área para z = 2.4 es de 0.4918, restando las áreas tenemos el área resultante de 0.3550, que representa el 35.5% de probabilidad.

0

Área = 0.4821 Probabil idad = 48.21 %

0

Área = 0.4713  Área = 0.4893  Área total = 0.9608 Probabilidad = 96.08 %

(17)

f(x)=1/(sqrt(6.2832))*2.71828^(-x^2/2)

Graph Limited School Edition

3.2 Distr ibución de probabilidad nor mal estandari zada. - Pr opiedades de la distri bución normal estandar izada 

La curva normal tipificada nunca llega a tocar el eje horizontal, lo que significa que para fines prácticos el área a la derecha del valor de z = 3.9 y el área a la izquierda de z = -3.9 se considera iguales a cero (aunque no es así, es muy cercano a 0).

PROBLE M AS DE APLI CACIÓN. Ej emplo 1 

Supóngase que las alturas de 800 estudiantes están normalmente distribuidas con media 66 pulgadas y desviación estándar 5 pulgadas. Calcular la probabilidad de que si un estudiante se selecciona al azar, tenga altura de 65 y 70 pulgadas.

Solución 

Para calcular la probabilidad es necesario saber los valores de z, como el valor de

  

 , el problema nos indica que es una distribución normal y la μ = 66 y σ = 5, x1 =

65 y x2 = 70, tenemos:

  = -0.2 (se consideran dos decimales únicamente por la tabla).   

 = 0.8 (se consideran dos decimales únicamente por la tabla).

0

Área = 0.1368  Área = 0.4918  Área total = 0.3550 Probabili dad = 35.50 %

(18)

El área para z = -0.2 es de0.0793 y para el de z = 0.8 es de 0.2881, el área total es la suma de estas dos áreas que es de 0.3674, por lo que la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar tenga una altura de 65 a 77 pulgadas es de P = 36.74%.

Ej emplo 2.

Las calificaciones de 600 estudiantes que sustentaron un examen final de Matemáticas se distribuyen normalmente con media 73 puntos y desviación estándar 7 puntos, ¿cuántos estudiantes deben tener calificación entre 76 y 81 puntos?

Solución 

Para este problema de distribución normal tenemos, μ = 73 y σ = 7, por tanto los valores

de z cuándo x es igual a 76 y 81 son:      = 0.43

  = 1.14

El área para estos dos valores son: par z = 0.43, de 0.1664 y para z = 1.14, de 0.3729, el área total o resultante es la diferencia entre estos dos valores (los valores de z están del mismo lado) y es de 0.2065, que es la probabilidad de tener un alumno con la calificación entre 76 y 81 puntos, como nos piden cuántos alumnos tienen esta calificación tenemos que multiplicar esta probabilidad por los 600 alumnos:

600 x 0.2065 = 123.9

Es decir la respuesta es R = 124 alumnos.

EJERCICIOS.

1. La variable aleatoria x “suma de puntos al lanzar tres dados”

a. Elabora la distribución de probabilidad.  b. Elabora el histograma de P(x).

c. Obtén la media y la desviación estándar de x.

2. Dada la distribución de probabilidad de la variable aleatoria x= “número de llamadas

que llegan a un conmutador durante un minuto”, determina lo que se pide:

a. La media y desviación estándar.  b. Elabora el grafico de rectas.

(19)

0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1

3. Un hombre desea invertir en una propiedad para venderla después. Las probabilidades de venta con ganancia, sin ganancia o pérdida son:

a) 22% de venderla con una ganancia de $ 25 000  b) 36% de venderla con una ganancia de $ 10 000

c) 28% no se obtendrá ganancia. d) 14% con una pérdida de $ 15 000

¿Qué beneficio espera el señor si se dedica a la compraventa de bienes raíces?

4. Un agricultor quiere asegurar su cosecha por $ 500 000. La compañía de seguros estima que la probabilidad de que se pierda la cosecha por factores climáticos es de 1/50. ¿Cuál será el valor de la prima de seguros si la compañía cobra una cantidad de $ 1000 y, además pretende una utilidad de 10% por la venta y paga a sus vendedores una comisión de 10%?

5. Una compañía que fabrica focos ahorradores de luz obtiene una ganancia de $10 por  cada foco no defectuoso, pero pierde $4 por cada uno de los defectuosos. El 2% de los focos son defectuosos. Calcula el beneficio promedio por foco.

6. Un jugador lanza 2 monedas corrientes. Si caen dos soles, gana $50, si cae un sol recibe $20 y le darán $10 si no cae sol. ¿Cuál es el precio justo que debe pagarse para  participar en el juego?

7. El gerente de un almacén construyó, la siguiente distribución de probabilidad de la demanda diaria (venta por día) de un aparato electrodoméstico. Calcula el valor  esperado.

X 0 1 2 3

P(x) 0.05 0.40 0.35 0.20

8. Un estudiante no se ha preparado para presentar un examen que contiene 10 preguntas de verdadero y falso. ¿Qué probabilidad existe de que repruebe si para lograrlo debe contestar correctamente 60% de las preguntas?

9. El 60% de los televidentes de una población sintoniza un programa específico. ¿Cuál es la probabilidad de que más de la mitad de las personas que forman una muestra de

(20)

10. En una urna hay 10 fichas: tres rojas y siete azules. Se extraen cuatro fichas, una tras otra, con sustitución. Calcula la probabilidad de que, al menos, dos sean azules.

11. El 10% de cierta población es formado por diabéticos. Si se seleccionan 20 personas al azar de esa población, ¿Cuál es la probabilidad de que al menos, dos de ellas padezcan diabetes?

12. La selección de básquetbol de un colegio tiene 40% de probabilidad de ganar. Si  juega seis veces, determina la probabilidad de que ganes más de la mitad de los partidos.

13. En una carretera pasan en promedio 27 automóviles por hora. Determina la media y la desviación estándar de la distribución de probabilidad resultante.

14. Encuentra el área bajo la curva normal tipificada entre los valores de z siguientes, escribe la probabilidad que representa y realiza su grafica:

z1 y z2 1. 0 2.68 2. -1.76 0 3. 1.16 2.40 4. -2.08 1.62 5. 0 2.19 6. -1.93 0 7. 1.62 2.84 8. -0.07 1.68 9. -3 -1.09 10. A la derecha de z = -1.74 11. A la izquierda de z = 2.62 12. A la izquierda de z = -2.33

15. Supóngase que los puntajes de un examen tienen distribución normal con media 76 y desviación estándar 15; si un estudiante es seleccionado al azar, calcular la  probabilidad de que su calificación este:

Entre 70 y 80 puntos.Entre 79 y 86 puntos.

Que sea mayor de 80 puntos.Que sea menor de 70 puntos.

(21)

16. Supóngase que las alturas de 500 deportistas se distribuyen normalmente con media 68 pulgadas y desviación estándar 7 pulgadas. Calcular cuántos deportistas deben tener  altura:

Entre 65 y 70 pulgadas.Mayor de 66 pulgadas.

17. El banco de Crédito Rural de Yucatán está interesado en comprar 750 cerdos de la raza Hampshire y está informado de que el peso de ellos a los 5 meses de nacidos tiene una distribución normal con media μ = 110 kg y desviación estándar σ = 10 kg. Cuántos de ellos es razonable esperar que:

Tengan un peso entre 105 y 132 kg.Tengan un peso mayor de 100 kg.

18. Una compañía que produce cinescopios para televisión considera que la vida útil de estos tiene distribución normal con media de μ = 9 000 horas y desviación estándar σ =

480 horas. Si un cinescopio es seleccionado al azar calcule la probabilidad de que su vida útil:

Este entre 8 000 y 13 000 horas.Sea mayor de 8 500 horas.

Sea menor de 8 000 horas.

19. El tiempo necesario para reparar la transmisión de un automóvil en un taller de

servicio tiene una distribución normal con media μ = 45 minutos y desviación estándar σ

= 8 minutos. En base a esto calcule el porcentaje de los trabajos de ese tipo por realizar  que deben tener una duración:

Entre 40 y 58 minutos.Mayor de 50 minutos.Entre 50 y 60 minutos.

20. Los resultados de una prueba nacional estándar para bachilleres recién egresados

tuvo una media de μ = 500 puntos con desviación estándar  de σ = 100 puntos. Si

suponemos una distribución normal, calcule la probabilidad de que un individuo escogido aleatoriamente tenga puntuación:

Entre 500 y 650 puntosEntre 450 y 600 puntos

21. Suponga que los ingresos mensuales en pesos de los empleados de una compañía

tiene una distribución normal, con media μ = 7 000 y desviación estándar de 4 600.

(22)

Menos de 4 000

Entre 8 000 y 10 000

22. En un proceso para enlatar cerveza, el contenido por lata tiene una distribución

normal con media μ = 12 onzas y desviación estándar σ = 0.46 onzas. Calcule el

 porcentaje de las latas cuyo contenido:

Sea menor de 11 onzas.Sea mayor de 11.65 onzas.Esté entre 11.5 y 12.7 onzas.

23. Un estudio de la DGT estima que el número de horas prácticas necesarias para la obtención del permiso de conducir sigue una distribución normal: μ = 24 y σ = 3. a) ¿Qué probabilidad hay de obtener el permiso de conducir con 20 horas de prácticas o menos?

24. En una granja modelo de la Provincia de Entre Ríos, en un momento determinado de su desarrollo, los cerdos que producen tienen en cuanto a su peso, una distribución  Normal con un promedio de 75 kg. y un desvío estándar de 6 kg. a) De 20 cerdos

elegidos aleatoriamente, ¿cuántos se esperan que pesen más de 81 kg.?

Para los sigui entes ejercici os es necesario encontrar prim ero la media y desviación  estándar: 

25. El Instituto Especializado Materno Perinatal desea conocer la probabilidad de que al hacer una prueba de hemoglobina en gestantes adolescentes que acuden a la institución en el tercer trimestre del embarazo, se obtenga un resultado menor a 11 mg / dl; para lo cual toma una muestra al azar de 30 gestantes menores de 19 años, cuya edad gestacional este comprendida entre 28 – 40 semanas.

26. Base de datos: Nivel de Hemoglobina (mg/dl) en gestaciones de adolescentes en el 3er. Trimestre del embarazo. n = 30

10.9 11.2 9.8 11.6 9.9 10.0 11.2 10.2 10.8 9.5 10.0 10.9 11.5 10.4 10.9 10.3 11.7 11.2 9.8 10.4 11.4 11.3 10.5 10.2 11.1 10.6 9.9 8.9 10.8 9.5

27. La siguiente tabla muestra la distribución de la carga máxima en toneladas cortas, (1 tonelada corta=2000 libras), que soportan ciertos cables producidos por una compañía. a) Determinar la probabilidad de que un cable se rompa al alcanzar una carga de 24 000 libras.

(23)

Máximo de carga

(toneladas cortas) Númerode cables

9.3 – 9.7 2 9.8 -10.2 5 10.3 – 10.7 12 10.8 -11.2 17 11.3 -11.7 14 11.8 -12.2 6 12.3 -12.7 3 12.8 -13.2 1 TOTAL 60

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