Planteo de Ecuaciones

(1)

TEMA:

PLANTEO DE ECUACIONES

OBJETIVO

Desarrollar y utilizar en forma adecuada la notación y el vocabulario para Desarrollar y utilizar en forma adecuada la notación y el vocabulario para poder representar acciones y resultados relacionados con el mundo real y l poder representar acciones y resultados relacionados con el mundo real y l a vidaa vida diaria y sus si

diaria y sus si tuaciones problemáticas.tuaciones problemáticas.

PROCEDIMIENTO

Para el correcto planteo de una ecuación es necesario tomar en cuenta los Para el correcto planteo de una ecuación es necesario tomar en cuenta los siguientes pasos:

siguientes pasos:

1.

Lectura detallada del enunciado.Lectura detallada del enunciado.

2.

Identicación de la(s iIdenticación de la(s i ncógnita(s y dados proporcionados.ncógnita(s y dados proporcionados.

3.

!e!elaclacionionar ar las incóglas incógnitnitas as y y los los datdatos" este os" este paspaso o serser#a #a el el plaplantenteo o de de lala ecuación.

ecuación.

4.

$erica$ericar los r los resultados.resultados.

Veces más ;veces mayor

Una vez mas

E

EN

NU

UN

NC

CIIA

AD

DO

O V

VE

ER

RB

BA

AL

L

F

FO

OR

RM

MA

A

SIMBÓLICA

Un número do

Un número dos veces más s veces más que otro numeroque otro numero Un numero es dos veces otro

Un numero es dos veces otro numeronumero Una cantidad aumentada en 20 Una cantidad aumentada en 20 Un número disminuido en 60 Un número disminuido en 60

El exceso de un número sobre 50 es 10 El exceso de un número sobre 50 es 10 “x” excede a “y” en 8

“x” excede a “y” en 8 El doble de un

El doble de un número aumentado en número aumentado en  El doble de un número! aumentado en  El doble de un número! aumentado en  “a” es cuadro veces “b”

“a” es cuadro veces “b”

"a relaci#n que $ay entre 2 números es 2 a 5 "a relaci#n que $ay entre 2 números es 2 a 5 "a suma de tres números consecutivos es 18 "a suma de tres números consecutivos es 18

"a suma de un numero im%ar con sus dos números %ares que le "a suma de un numero im%ar con sus dos números %ares que le

%receden %receden

&res números son %ro%orcionales a ! ' y 5

&res números son %ro%orcionales a ! ' y 5 res%ectivamenteres%ectivamente El doble del cuadrado de un

El doble del cuadrado de un númeronúmero El cuadrado del doble de un El cuadrado del doble de un númeronúmero "a

"a cucuararta ta %a%artrte e de de unun núm

númeroero! ! disdisminminuiduido o enen dos

dos

"a tercer %arte de un número

"a tercer %arte de un número sumada con su quinta %artesumada con su quinta %arte El a %or b de n excede a un número en 8

El a %or b de n excede a un número en 8

"o que me (alta %ara tener 8 es tanto como el doble de que me "o que me (alta %ara tener 8 es tanto como el doble de que me sobra %ara ser 2)

sobra %ara ser 2)

EJEMPLOS DE APLICACIÓN:

%allar un n&mero" sabiendo 'ue aumentado en ) e'uivale al

%allar un n&mero" sabiendo 'ue aumentado en ) e'uivale al triple de su valor.triple de su valor.

Resoluc!":

•

• *ea el n&mero: +*ea el n&mero: + + + , , ) ) - - ++ !esolviendo: !esolviendo: ) ) - - /+/+ 0 0 - - +.+. ∴ ∴ . . 1l n1l n&mero &mero es 0.es 0.

2.

1l e+ceso del doble de un n&mero sobre ) es igual al triple del n&mero1l e+ceso del doble de un n&mero sobre ) es igual al triple del n&mero disminuido en 2. 34uál es el n&mero5

disminuido en 2. 34uál es el n&mero5

Resoluc!":

•

• *ea 6+6 el n&mero*ea 6+6 el n&mero •

• 1l e+ceso del doble del n&mero sobre ) es: /+ 7 )1l e+ceso del doble del n&mero sobre ) es: /+ 7 ) •

• 1l triple del n&mero disminuido en 2 es: (+ 7 21l triple del n&mero disminuido en 2 es: (+ 7 2 •

• Luego" seg&n el enunciadoLuego" seg&n el enunciado /+ /+ 7 7 ) ) - - (+ (+ 7 7 22 !esolviendo: !esolviendo: /+ /+ 7 7 ) ) - - + + 7 7 22 / / - - +.+. ∴

∴ . . 1l n&1l n&mero mero es /es /..

3.

*e tienen dos n&meros" el mayor e+cede al menor en 8 unidades. *i al*e tienen dos n&meros" el mayor e+cede al menor en 8 unidades. *i al menor se le aumenta sus 9" resultar#a lo mismo 'ue la mitad del

menor se le aumenta sus 9" resultar#a lo mismo 'ue la mitad del mayormayor

Resoluc!":

!ecuerda !ecuerda 'ue:'ue: *i

*i ; ; e+cede e+cede a a < < en en 8" 8" entonces:entonces: . ;

. ; , , < < - - 8.8. •

• *ean los n&meros:*ean los n&meros: =

= >enor >enor - - ++ =

= >ayor >ayor - - + + , , 88 •

• *eg&n el enunciado*eg&n el enunciado

E

E#

#$

$%%e

es

s!

!"

" &

&e

e%%'

'(

(ll

R

Re

e$

$%%e

es

se

e"

"))(

(c

c!

!"

" M

M(

())e

e*

*+

+))c

c(

(

De ? del ? de los?

De ? del ? de los? vecesveces

Mul)$lc(c!"

P

Por or ? ? es es a a ? ? rarazózón n ? ? rerelalaciciónón?? proporc

proporcional" entre ional" entre sisi

D&s!"

1+cede? 1+ceso? mayor? menor.

Res)(

1 1n n ? ? ttaanntto o ? ? ccoommo o ? ? ees s @@?? e'uivalente. e'uivalente.

(2)

(3)

I,u(l-(-( I,u(l-(-( )) 2 2 15 15 4 4 3 3 2 2 # # 4 4 3 3 # #

+

=

+

=













+

x x x x x x mayor mayor sus sus menor menor                      !esolviendo !esolviendo + , + - /(+ , 8 + , + - /(+ , 8 A+ A+ - - /+ /+ , , 22 8+ 8+ - - 22 . . + + - - B.B. •

• Luego los n&mero son:Luego los n&mero son:

.. 21 21 15 15 6 6 6 6

=

+

=

# mayor # mayor # menor # menor

4.

%allar dos n&meros sabiendo 'ue uno e+cede al otro en ) unidades y%allar dos n&meros sabiendo 'ue uno e+cede al otro en ) unidades y 'ue el menor es 8 unidades menos 'ue el doble del mayor

'ue el menor es 8 unidades menos 'ue el doble del mayor

Resoluc!":

•

• 4omo nos dicen 'ue 4omo nos dicen 'ue uno de los n&meros e+cede al oto en uno de los n&meros e+cede al oto en )" entonces)" entonces =

= >enor >enor - - ++ =

= >ayor >ayor - - + + , , )) •

• Del enunciadoDel enunciado

( ( xx 88)) 3535 2 2 x x r r del # mayo del # mayo el doble el doble menos que menos que 35 35 # menor # menor − − + + = = = = __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __          !esolviendo: !esolviendo: + + - - /+ /+ , , B B 7 7 88 0 0 - - +.+.

Cinalmente los n&meros son Cinalmente los n&meros son

.. 27 27 19 19

=

# mayor # mayor # menor # menor

.

La suma de tres n&meros enteros consecutivos es A unidades más 'ue elLa suma de tres n&meros enteros consecutivos es A unidades más 'ue el n&mero menor

n&mero menor. %allar el . %allar el mayor de los tres n&meros.mayor de los tres n&meros.

Resoluc!":

•

• *ean los tres *ean los tres n&meros enteros consecutivos:n&meros enteros consecutivos: ( ( )) (( ))                              mayor mayor ermedio ermedio menor menor x x x x x x # # int int # # # # 2 2 ;; 1 1 ;; ++ ++ •

• Del acuerdo a los datos Del acuerdo a los datos del problemadel problema + + , , (+ (+ , ,   , , (+ (+ , , / /   + + , , AA !esolviendo: !esolviendo: + + , ,   - - + + , , AA /+ /+ - -  . + . + - - //.//. • • 1ntonces1ntonces = = >ayor >ayor - - // // , , / / - - /./.

/.

*i se multiplica el menor y el mayor de los tres n&meros pares consecutivos"*i se multiplica el menor y el mayor de los tres n&meros pares consecutivos" se obtiene un n&mero 'ue es 0B unidades menos 'ue el producto del mayor se obtiene un n&mero 'ue es 0B unidades menos 'ue el producto del mayor y el segundo de los

y el segundo de los tres mencionados. %alla dicos n&meros.tres mencionados. %alla dicos n&meros.

Resoluc!":

•

• 4omo los n&meros pares consecutivos se van generando de / en /" entonces4omo los n&meros pares consecutivos se van generando de / en /" entonces serán: serán:

(

 

)

      

(

   

))

         # # er er mayor mayor # # # # do do # # er er menor menor # # x x ; ; x x ; ; x x 3 3 2 2 1 1 4 4 2 2

+

Del acuerdo a los datos: Del acuerdo a los datos:

+ + (+ (+ , ,   - - (+ (+ , ,   (+ (+ , , / / 7 7 0B0B !esolviendo: !esolviendo: + +//_{, + - +}_{, + - +}//_{, B+ , ) 7 0B}_{, B+ , ) 7 0B} )) )) - - /+/+   - - +.+.

Luego dicos n&meros son Luego dicos n&meros son

? ? B B y y ).).

0.

*i al triple de la edad 'ue ten#a Eared ace 2 aFos" se le resta su edad*i al triple de la edad 'ue ten#a Eared ace 2 aFos" se le resta su edad actual" se obtiene la edad

actual" se obtiene la edad 'ue tendrá dentro de 8 aFos 34uál es 'ue tendrá dentro de 8 aFos 34uál es su edad5su edad5

Resoluc!":

*ea G+6 la edad actual

*ea G+6 la edad actual de Earedde Eared 1ntonces:

1ntonces:

*u edad ace 2 aFos era: (+ 7 2 *u edad ace 2 aFos era: (+ 7 2 *u edad dentro de 8 aFos será: (+ , 8 *u edad dentro de 8 aFos será: (+ , 8 *eg&n datos: *eg&n datos: (+ 7 2 7 + - + , (+ 7 2 7 + - + , 88 !esolviendo: !esolviendo: + 7 2 7 + - + + 7 2 7 + - + , 8, 8 + - 8. + - 8.

(4)

•

• Por lo tantoPor lo tanto •

• la edad actuala edad actual de Eared es l de Eared es 8 aFos 8 aFos ..

.

EesseH dice: EesseH dice: GastJ los /9A GastJ los /9A de lo de lo 'ue ten#a y 'ue ten#a y *9. /2 *9. /2 más" 'uedándome con más" 'uedándome con lala 'uinta parte de lo 'ue ten#a y *9. B más.6 34uánto ten#a >ilagros5

'uinta parte de lo 'ue ten#a y *9. B más.6 34uánto ten#a >ilagros5

Resoluc!":

•

• *ea G+6 el dinero 'ue ten#a EesseH*ea G+6 el dinero 'ue ten#a EesseH •

• *i gasta los /9A de lo 'ue ten#a y *i gasta los /9A de lo 'ue ten#a y *9. /2 más" le 'uedan:*9. /2 más" le 'uedan:

20 20 7 7 5 5 20 20 7 7 2 2 20 20 7 7 2 2

−

=

−

=













₊

−

x x x x x x xx x x ... (I ... (I •

• La 'uinta parte de lo 'ue ten#a y *9. B más es:La 'uinta parte de lo 'ue ten#a y *9. B más es:

16 16 5 5 1 1

+

x x ... (II ... (II •

• De De acuacuerderdo o al al enuenuncinciado del ado del prprobloblemaema" " las e+prlas e+presiesioneones s (I y (I y (II(II  sonson e'uivalentes" o sea: e'uivalentes" o sea: 16 16 5 5 1 1 20 20 7 7 5 5

+

=

−

xx x x !esolviendo: !esolviendo: /8+ /8+ 7 A7 A22 22 - - A+ A+ , , 8B28B2 )+ )+ - - /B2/B2 . . + + - - A2.A2. Luego Luego .

. EesseH tenEesseH ten#a A2 #a A2 soles.soles. 0.

0. Kn estuKn estudiantdiante lee B páge lee B página de la novina de la novela G4ela G4ien aFos dien aFos de soledae soledad6" y al d#ad6" y al d#a siguiente lee 9 de lo 'ue le falta? si todav#a le 'uedan por leer los 9A del siguiente lee 9 de lo 'ue le falta? si todav#a le 'uedan por leer los 9A del total de páginas" 34uántas páginas tiene dica

total de páginas" 34uántas páginas tiene dica novela5novela5

Resoluc!":

*ea G+6 el total de páginas. *ea G+6 el total de páginas. *eg&n datos:

*eg&n datos: 1l 

1l erer_{d#a lee B páginas" entonces le falta leer (+ }_{d#a lee B páginas" entonces le falta leer (+  B páginas}_{B páginas}

1l /

1l /dodo_{d#a lee}_{d#a lee} 3 3 64 64

−

x x páginas páginas

M todav#a le 'uedan por lee M todav#a le 'uedan por leerr

x x 7 7 4 4 páginas. páginas. *e deduce 'ue: *e deduce 'ue:

Lo 'ue lee el primer d#a" más lo 'ue lee el segundo y más lo 'ue le 'uedan Lo 'ue lee el primer d#a" más lo 'ue lee el segundo y más lo 'ue le 'uedan por leer" será igual al total de páginas. 1ntonces:

por leer" será igual al total de páginas. 1ntonces:

x x x x x x

=

+

−

+

7 7 4 4 3 3 64 64 64 64 !esolviendo: !esolviendo: >4> (? A - / >4> (? A - /   , A(+ 7 B , /+   , A(+ 7 B , /+ - /+- /+     , , A+ A+ 7 7 ) ) , , /+ /+ - - /+/+ )0B )0B - - /+/+ . . ) ) - - +.+. •

• Por lo tantoPor lo tanto

La novela tiene ) páginas. La novela tiene ) páginas.

PROBLEMAS PROPUESTOS

.

. La edaLa edad de Euan ad de Euan aumentumentada en ) eada en ) es /A 34uás /A 34uál es la edal es la edad de Euand de Euan55 !pta.

!pta.

*ea + su edad *ea + su edad /.

/. 1l dob1l doble de un n&le de un n&mero dmero disminuisminuido en A2 eido en A2 es ). 34us ). 34uál es el n&mál es el n&mero5ero5 !pta.

!pta.

.

. 1l trip1l triple de la sumle de la suma de un n&a de un n&mero cmero con B es ) 3on B es ) 34uál es e4uál es el n&merl n&mero5o5 !pta.

!pta.

.

. 1l n&me1l n&mero de oro de ombrembres es 8 veces es 8 veces el n&mes el n&mero de muro de muNereNeres" sis" si !pta.

!pta.

8.

8. 1l n&me1l n&mero de ombro de ombres es 8 veceres es 8 veces más 'ue el n&mes más 'ue el n&mero de muNero de muNeres" si en tores" si en totaltal ay / personas entre ombres y muNeres" 34uántos ombres ay5

ay / personas entre ombres y muNeres" 34uántos ombres ay5 !pta.

!pta.

B.

B. 1l e+ceso de 8 sob1l e+ceso de 8 sobre ) es igual al e+ceso de Gre ) es igual al e+ceso de G;;6 sobre /. 34uánto vale G6 sobre /. 34uánto vale G;;6565 !pta.

!pta.

A.

A. 1l diner1l dinero 'ue tengo 'ue tengo aumeno aumentado en su mittado en su mitad es 8 34uáad es 8 34uánto tennto tengo5go5 !pta.

!pta.

).

). ;l ;l reretitirararsrse e  pers persononas as de una de una rereununióión n se se obobseservrva a 'u'ue e JsJsta ta 'u'uededaa disminuida en sus /90

disminuida en sus /90 partes. 34uántas 'uedaron5partes. 34uántas 'uedaron5 !pta.

!pta. 0.

0. ; ildde; ildder le pregur le preguntan la orntan la ora y respona y responde: GOude: GOuedan deedan del d#a 0 oras menol d#a 0 oras menoss 'ue las ya transcurridas6. 3OuJ ora es5

(5)

!pta.

2. 3OuJ n&mero es a'uel cuyo e+ceso sobre A e'uivale a la diferencia entre los 98 del n&mero y se+ta parte del mismo5

!pta.

. 1l n&mero de ombres es 8 veces el n&mero de muNeres" si en total ay / personas" entre ombres y muNeres 34uántas muNeres ay5

!pta.

/. ;l retirarse  personas de una reunión se observa 'ue Jsta 'ueda

disminuida en sus

9

2

partes. 34uántas 'uedaron5 !pta.

. ; ildder le preguntan la ora y responde: GOuedan del d#a 0 oras menos 'ue las ya transcurridas6. 3OuJ ora es5

!pta.

. 3OuJ n&mero es a'uel cuyo e+ceso sobre A e'uivale a la diferencia entre los 5

3

del n&mero y se+ta parte del mismo5 !pta.

8. oventa soles se reparten entre tres ermanos proporcionalmente a sus edades 'ue son como 8"  y ? si se repartiera e'uitativamente" 34uánto más recibir#a el menor5

!pta.

B. Doce es e+cedido por ) en la misma medida 'ue el n&mero es e+cedido por su triple. %allar el e+ceso de /2 sobre el n&mero.

!pta.

A. Qen#a *9. )8" gastJ cierta suma y lo 'ue me 'ueda es el cuádruplo de lo 'ue gastJ 34uánto gastJ5

!pta.

). 1l martes ganJ el doble de lo 'ue ganJ el lunes" el miJrcoles el doble de lo 'ue ganJ el martes" el Nueves el doble de lo 'ue ganJ el miJrcoles? el viernes

*9. 2 menos 'ue el Nueves y el sábado *9. 2 más 'ue el viernes. *i en los B d#as e ganado *9. 0 34uánto ganJ el miJrcoles5

!pta.

0. oventa soles se reparten entre tres ermanos proporcionalmente a sus edades 'ue son como 8"  y ? si se repartiera e'uitativamente" 34uánto más recibir#a el menor5

!pta.

/2. *ubiendo la escalera de tres en tres" Rillary da B pasos más 'ue subiendo de cinco en cinco. 34uántos peldaFos tiene la escalera5

!pta.

/. 4omprJ el cuádruple del n&mero de caballos 'ue de vacas. *i ubiera comprado 8 caballos más y 8 vacas mas tendr#a el triple de n&mero de caballos 'ue el de vacas. 34uántos caballos y cuántas vacas comprJ5

!pta.

//. 4alcular cuatro n&meros consecutivos tales 'ue la tercera parte de la suma de los mayores sea 2 unidades menos 'ue la suma de los dos primeros. !pta.

/. ;l preguntar un padre a su iNo cuanto ab#a gastado de los 82 soles 'ue le dio" Jste respondió: G%e gastado las 9 partes de lo 'ue no gastJ6. 34uánto gastó5

!pta.

/. ;L comprar /2 naranNas" me sobra *9. )2" pero al ad'uirir / naranNas" me faltar#an

*9. /2 34uánto cuesta cada naranNa5 !pta.

(6)

“

El es)u-o -e l( ()e+)c( es co*o el Nlo

ue coe"( $o% l( o-es)( 5 )e%*"( $o% l(

*(,"6ce"c(7.

JIMM8. 9UEVARA JULCA

PROBLEMAS PARA LA CASA

. 8 $eces la suma de un n&mero con  es igual a 2. allar el n&mero.

a  b / c 

d  eA

/. 1l óctuplo de un n&mero" mas 8 es igual al 'u#ntuplo de la suma del n&mero con 2. %allar el n&mero.

a / b  c 2

d 8 eB

. 1l e+ceso del triple de un n&mero sobre / e'uivale al e+ceso de /)B sobre el n&mero. 34uál es el n&mero5

a / b // c )/

d B e 2

. %allar la medida de un ángulo" tal 'ue el e+ceso del triple de su suplemento sobre el doble de su complemento es igual a /2S

a /2S b 2S c 2S d

8S e B2S

8. %allar el mayor de cinco n&meros" enteros consecutivos? sabiendo 'ue el e+ceso de la suma de los tres menores sobre la suma de los dos mayores es /).

a B b  c / d

2 e /)

B. %allar el menor de tres n&meros consecutivos? si sabemos 'ue los 98 del mayor e+ceden a los 9 del intermedio" en una cantidad igual a la se+ta parte del menor disminuida en 98

a 8 b B c A d

) e 0

A. %allar dos n&meros cuya suma es 2B2 y su diferencia es /2.

a 2 b 82 c B2 d

A2 e )2

). 3; 'uJ ora las oras transcurridas es igual al dJcuplo de la midan de las 'ue faltan transcurrir5

a ) am b B am c ) pm d

8 pm e A am

0. Dos ermanos pesan Nuntos 8/ Tg y los A9) del peso del menor e+ceden en  Tg a los 9 del peso del otro 34uánto pesa cada uno5

a A2 y )2 b A/ y )2 c )2 y )/ d AB y

) e / y 22

2. *e a gastado U)" utilizando A/ billetes de U y U8 34uántos de U se utilizó5

a 8 b 8 c 88 d

8B e 8A

PROUNDI;A TUS CONOCIMIENTOS

. %allar un n&mero 'ue" aumentado en  e'uivale al triple del mismo n&mero !pta. A

/. La suma de dos n&meros consecutivos enteros es 8 34uáles son esos n&meros5

!pta. A y )

. %allar dos n&meros sabiendo 'ue uno e+cede en ) unidades al otro y 'ue el menor aumentado en su 98 es 8 unidades menos 'ue el mayor.

!pta.  y 8

. 1l triple de un n&mero aumentado en B e'uivale al e+ceso de B2 sobre el mismo n&mero. %allar dico n&mero

!pta. 

8. Kn n&mero más su mitad igual al e+ceso del doble del mismo sobre 0. %allar el doble de dico n&mero.

!pta. B

B. ; un alambre se le da dos cortes de manera 'ue la longitud del primer trozo es los /90 del total" y la del segundo B metros más 'ue el primero y la del tercero los 90 del total. 34uál es la longitud total del alambre5

1. E

2. D

3. C

4. B

.

A

/.

E

0. D

.

C

<.

B

1=.

A

(7)

!pta. 8 m

A. La edad de 1rnesto dentro de ) aFos será el doble de la edad 'ue tuvo ace 8 aFos. 34uál es su edad actual5

!pta. ) aFos

). %allar un n&mero cuyos A9) e+cedan a sus 9 en 8. !pta. 2

0. *i un n&mero aumentado en ) se multiplica por el mismo n&mero disminuido en " resulta el cuadrado del n&mero" más AB. 34uál es el n&mero5

!pta. /2

2. La suma de tres n&meros enteros consecutivos" es lo mismo 'ue el e+ceso de 0 sobre el menor de los n&meros. 34uál es el n&mero mayor5

!pta. 

. *i a un n&mero se le suma 8" se multiplica por la suma por " se le resta B del producto y se divide la diferencia por A" se obtiene un n&mero 'ue tiene 8 unidades menos 'ue el n&mero inicial. %allar el n&mero aumentado en . !pta. 

/. *i un n&mero aumentado en ) se multiplica por el mismo n&mero disminuido en " resulta el cuadrado del n&mero" más AB. 34uál es el n&mero5

!pta. /2

. La suma de tres n&meros enteros consecutivos" es lo mismo 'ue el e+ceso de 0 sobre el menor de los n&meros. 34uál es el n&mero mayor5

!pta. 

. *i a un n&mero se le suma 8" se multiplica por la suma por " se le resta B del producto y se divide la diferencia por A" se obtiene un n&mero 'ue tiene 8 unidades menos 'ue el n&mero inicial. %allar el n&mero aumentado en . !pta. 

8. ;ndrea tiene cierta suma de dinero. astó *9. 2 en libros y los 9 de lo 'ue le 'uedaba despuJs del gasto anterior" en ropa" si todav#a le 'uedan *9. 2 34uánto ten#a al principio5

!pta. *9. 82

B. 1n  d#as Ciorella ganó )8 soles. *i cada d#a ganó 9 de lo 'ue ganó el d#a anterior 34uánto ganó el primer d#a5

!pta. *9. )2

A. *i el duplo de un n&mero" aumentado en ) por  de la mitad de / es igual a //. %allar dico n&mero.

!pta.

). *i el duplo de un n&mero aumentado en ) por  de la mitad de / es //. %allar dico n&mero.

!pta.

0. 1l / por  del e+ceso de / sobre 2 e+cede a un n&mero " como Dico n&mero e+cede a /.

!pta.

/2. 1l e+ceso del doble de un n&mero sobre ) es Igual al triple del n&mero disminuido en 2. 34uál es el n&mero5

!pa.

/. Lo 'ue me falta para comprar un libro de B2 soles es a lo 'ue me sobra si tuviera una vez mas lo 'ue tengo como  es a  3allar cuánto dinero tenia5 !pta.

//. Tillary despuJs de acer compras" dice me falta para tener /B soles el doble de lo 'ue me falta para tener /2 soles 34uanto tengo5

!pta.

/. 1l e+ceso de cinco veces más un numero sobre 82 e'uivale al e+ceso de 82 sobre  veces el numero 34alcular dico numero5

!pta.

/. 34uál o cuáles de las siguientes proposiciones son ciertas" en relación con un n&mero G+65.



1l triple de las dos terceras partes del n&mero es /+.



1l e+ceso del n&mero sobre la 'uinta parte del mismo es +98.



Qres veces más 'ue un n&mero es +.

a *ólo I b *ólo II c *ólo III d I y II e Qodas.

/8. 34uál es el n&mero" tal 'ue el doble de su suma con " es el triple del e+ceso del n&mero sobre 85

a ) b ) c /

d 0 e /0

/B. 1l e+ceso del 'u#ntuplo de un n&mero sobre B e'uivale al e+ceso de B2 sobre  veces el n&mero. La tercera parte del n&mero es:

a/ b2 c d

8 e 2

/A. 1n un campeonato ; metió  goles más 'ue < pero 8 menos 'ue 4. Los goles de ; e+cedió en A a los de D y fue e+cedido por un gol al de 1. *i en total se metieron ) goles. 34uántos goles metió D5

a  b A c 2 d //

(8)

/). Kn n&mero e+cede al cuadrado más pró+imo en /0 unidades y es e+cedido por el siguiente cuadrado en ) unidades. %allar la suma de las cifras del n&mero.

a 2 b / c A

d  e )

/0. *i subo una escalera de  en  y doy B pasos más 'ue subiendo de  en . 34uántos escalones tiene la escalera5.

a 8/ b A/ c B2 d

) e /2

2. DespuJs de acer compras" Diana dice: G>e ace falta para tener /2 soles el triple de lo 'ue me falta para tener 2 soles. 34uánto tengo5

a *9./8 b *9.2 c *9.8 d *9.2

e *9.8

. 34uál o cuáles de las siguientes proposiciones son ciertas" en relación con un n&mero G+65



1l doble del cuadrado del n&mero es /+/



1l cuadrado del doble del n&mero es +/



/ veces más 'ue el cuadrado del n&mero es /+/

a *ólo I b *ólo II c *ólo III d I y II e Qodas

PLANTEO DE ECUACIONES CONCEPTO

Plantear una ecuación es representar en forma matemática (forma simbólica lo e+presado en un lenguaNe com&n (verbal

COMO PLANTEAR UNA ECUACIÓN

*e parte de: LenguaNe 4om&n. (enunciado Luego se:  Lee  Interpreta  *imboliza Para nalmente: Qransformar al lenguaNe matemático *olucionar la ecuación.

ECUACIONES DIOANTICAS

*on ecuaciones cuyas incógnitas aceptan &nicamente solución entera y se resuelve tomando divisibilidad respecto a cual'uier coeciente pero tambiJn en forma práctica se resuelve tanteando valores enteros para las incógnitas.

PROBLEMAS RESUELTOS

. Kna persona sube una escalera con el curioso mJtodo de subir 8 escalones y baNar " si en total subió A8 escalones. 34uántos escalones tiene la escalera5

Solución:

$eces 'ue baNa  +

$eces 'ue sube  (+,

Luego: 8(+ ,  - A8

8+ , 8 - A8

+ -  veces subió y baNó

*ólo avanzó  escalones y como subió una vez más avanzó 8 escalones más.

Cinalmente:

 , 8 -

19 escalones

/. 1n un e+amen de 2 preguntas" cada respuesta correcta vale  puntos" la incorrecta 7 punto y en blanco 2 puntos. *i un estudiante obtuvo )/ puntos y notó 'ue por cada respuesta en blanco ten#a  correctas. 34uántas contesto incorrectamente5

Solución:

V blanco  + V correctas  + V incorrectas  (2  + Luego: 2(+ , (+ , ((2  + - )/ /+ 7 2 , + - )/ B+ - / + - A Cinalmente: Incorrectas

= ! " #$%& = '

. ;" < y 4 tiene en total /B limones? si G46 le diera la cuarta parte a G;6 tendr#an la misma cantidad" pero si ; le diera la mitad a < entonces < tendr#a la misma cantidad 'ue 4. 34uántos limones tiene G<65

Solución:

T T

(9)

C k B k A 3 2 Planteando: /T , T , T - /B 0T - /B T -  Cinalmente: < - ( -

#'

. *i el per#metro de un cuadrado se reduce en 2 m entonces su área se ace igual a 09B del área inicial. Determina el per#metro del cuadrado original.

Solución:

L Lado 2 2 16 9 4 40 4 L L

=













−

*implicando: (L  2/ -2 16 9 L (L  2 - L 4 3 L  2 - L L - 2 Per#metro - (2

= 1(!)

8. Kna persona compró con *9.) aretes sortiNas. *i cada arete costó *9. y cada sortiNa *9.B. 34uántos art#culos compró en total5

Solución:

V aretes  + V sortiNas  y + , By - ) Qanteando:  )" / A"B  B")  B

co)*+ó:

# a+e,es - ( so+,i.a = 1! a+,/culos

(0 El n)e+o 2e na+an.as e3ce2e en 1( al n)e+o 2e )an4anas si

a2e)5s el 2o6le 2el n)e+o 2e na+an.as es i7ual al ,+i*le 2el

n)e+o 2e )an4anas0 Calcula el n)e+o 2e na+an.as 8 )an4anas0

Solución : na+an.as " )an4anas = 1(

Man4anas : 3

Na+an.as : 3 - 1(

Do6le na+an.as = ,+i*le )an4anas

'$3 - 1(& = 3

3 = '

Man4anas:

3 = '

Na+an.as: 3 - 1( = #

%0 En una es,a ;a8 ,an,os ;o)6+es co)o )u.e+es0 Si se +e,i+an <

;o)6+es 8 1! )u.e+es >s,as se+/an los '? 2e los ;o)6+es0 @Cu5n,os

;o)6+es ue2an

Solución:



=

3 M

=

3 ue2an:

 = 3 " <

M = 3 " 1!

Lue7o: 3 " 1! =

3

2 $3<&

3 = '!

Lue7o:  = 3 " < =

1< ;o)6+es

0 o ,en7o el ,+i*le 2e la )i,a2 2e lo ue , ,ienes )5s S?01!0 Si ,

,uGie+as el 2o6le 2e los ue ,ienes ,en2+/as S?0< )5s 2e lo ue 8o

,en7o0 @Cu5n,o )e ue2a+/a si co)*+a+a un a+,/culo ue cues,a la

cua+,a *a+,e 2e lo ue no 7as,a+/a

Solución:

o =

10

2

3 +

x

Hu = 3

,uGie+as

'3

Lue7o:

*olucio

nes

descart

(10)

'3 

5

10

2

3 =











 +

x

#3  3  '! = 1!

3 = !

Lue7o ,en7o:

2

3 $!& - 1! = <<

A;o+a:

as,o = 8

No 7as,o = <<8



8 =

4

55 −

y

<8 = <<

8 = 11

Me ue2a+/a: << " 11 = ##

90 Un +e7alo enGuel,o cues,a 1 soles 8 sin enGolGe+ cues,a 11 soles

)5s 2e lo ue co6+an o+ enGolGe+lo0 @Cu5n,o co6+an o+

enGolGe+lo

Solución:

R - E = 1

R " E = 11

'R = '#

R = 1'

Lue7o co6+an *o+ enGolGe+lo:

1 " 1' = 1

1!0 Si Rosa +eci6e S?1' ,en2+/a el 2o6le ue si ;u6ie+a +eci6i2o S?0'0

@Cu5n,o ,iene Rosa

Solución:

Rosa ,iene:

3 Si +eci6e 1':

3 - 1'

Si +eci6e ':

3 - '



3 - 1' = '$3 - '&

3 - 1' = '3 - #

3 = 

Rosa ,iene S?0

RACCIONES

1. CONCEPTO

Cracción es un par ordenado de n&meros enteros.

b

a

2. PROPIEDADES

Dada la fracción

b

a

:

2.1.

*i

( > '

" la fracción se llama

PROPIA

.

2.2.

*i

( ? '

" la fracción se llama

IMPROPIA

.

,

11

7 ;

9

2 ;

6

5 ;

4

3 −

−

y

*on fracciones propias

4

5 ;

3

7 ;

2

3

" *on fracciones impropias

/..

UNA RACCIÓN NE9ATIVA

b a " se puede escribir. b a b a b a

−

=

−

=

/..

Kna fracción cuyo numerador y denominador son iguales" representa la

UNIDAD

. 1 3 3 , 1 5 5

=

−

=

/.8.

DOS O M@S RACCIONES



'ue tiene igual denominador se llaman

OMO9NEAS

y si tienen distinto denominador se llaman

ETERO9NEAS.

umerador

(11)

6 3 y 6 1 , 6 5

son Cracc. omogJneas

2 1 y 4 3 , 3 2

son Cracc. eterogJneas

/.B.

DOS RACCIONES SON INVERSAS

" si el numerador de uno es

denominador de la otra y viceversa.

6

11

6 ;

4

7 ,

7

4 −

−

y

/.A.

RACCIONES EUIVALENTES

" si los productos cruzados de sus

tJrminos son iguales.

9

6

3

2 =

por'ue / + 0 -  + B

/.).

RACCIÓN IRREDUCTIBLE

" si sus tJrminos son primos entre s#.

10

11 ,

9

5 ,

7

4 ,

5

3 −

−

" etc.

/.0.

SIMPLIICACIÓN DE RACCIONES 

es el proceso de transformación

de una fracción reductible a irreductible mediante la divisibilidad.

3

2

60

40 ;

5

3

25

15 =

=

/.2.

LA I9UALDAD DE RACCIONES

generalmente se usa para e+presar la

e'uivalencia. ;s#

b

a

es e'uivalente a

d

c

y escribimos

d

c

b

a

=

⇔ad - bc E*em :

10

4

5

2 =

⇔ / + 2 - 8 + 

/..

DESI9UALDAD DE RACCIONES

se establece con las relaciones Gmenor 'ue6 y Gmayor 'ue6. ;s# :

d

c

b

a

<

" si : ad W bc 1Nem :

6

5

4

3 <

" por'ue  + B W  + 8

d

c

b

a

>

" si : ad X bc 1Nem :

2

1

3

4 >

" por'ue  + / X  + 

3. OPERACIONES CON RACCIONES

*ean las fracciones

d

c

y

b

a

3.1. ADICIÓN DE RACCIONES

La suma de fracciones se dene :

*i las fracciones son

o*o,"e(s

" se suman los numeradores y se escribe el denominador com&n" si las fracciones son

e)e%o,"e(s

" se transforman en otras e'uivalentes de igual denominador Gdando6 el mcm a los denominadores.

 2

(12)

bd

bc

ad

d

c

b

a

+

=

+

E*em :

1

8

5

3

8

5

8

3 =

=

+

=

+

4 .

3

3 ).

4

12 (

2 )

3

12 (

4

3

2 ÷

+

÷

=

+

-12

17

12

9

8 =

+

3.2. SUSTRACCIÓN DE RACCIONES

Para restar fracciones se procede de manera semeNante 'ue en la suma.

bd

bc

ad

d

c

b

a

d

c

b

a

−

=

−

+

=

−

E*em :

3

1

9

3

9

5

9

8

9

5

9

8 −

=

−

=

+

−

=

−

6

2 )

3 :

6 (

6

5 )

6 :

6 (

3

2

6

5 ₋

₌

₋

-3

1

9

3

9

5

9

8

9

5

9

8 −

=

−

=

+

−

=

−

3.3. MULTIPLICACIÓN DE RACCIONES

*e dene :

bd

ac

d

c

b

a

=

.

Para multiplicar fracciones se recomienda simplicar previamente.

3.4. DIVISIÓN DE RACCIONES

*e dene :

bc

ad

c

d

x

b

a

d

c

b

a

₌

:

c≠ 2

Kna división de fracciones puede e+presarse como una fracción de fracción.

bc

ad

d

c

b

a

d

c

b

a

=

:

3..

POTENCIACIÓN DE RACCIONES

*e dene:

.

_n n facto res n n

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

=













 



.

b

a

es la base de la potencia y Gn6 es el e+ponente.

*i n - " entonces b a b a b a 1 1 1

=

  







(13)

*i n - 2" entonces b a b a b a 0 0 0

=













- 

Qoda potencia con e+ponente negativo es igual al inverso de la base con e+ponente positivo.

3./.

RADICACIÓN DE RACCIONES

*e dene : b a r r b a b a n n n n

=

⇔

=

PROBLEMAS RESUELTOS  *implica : 2 1 2 1 1 1 3 12 2

−

+

−

Solución :

2 1 2 1 1 1 3 12 2

−

+

−

=

2 1 2 1 1 1 3 12 2

−

+

−

=

2 1 2 1 1 1 3 12 2

−

+

−

=

3 1 1 3 12 2

+

−

/  0 2 2 6 12 2 3 3 2

=

−

=

−

=

+

/ *e venden

3

1

de una cesta de uevos. *i se 'uiebran  y 'uedan todav#a

8

5

de la cesta. 34uántos uevos ab#a en la cesta5

Solución :

x x 8 5 3 x 3 1

₊

₌

)+ , A/ , 8+ -/+

3 = %'

 EosJ puede acer una obra en 2 d#as y Pablo podrá acerlo en 8 d#as" si trabaNan Nuntos.

1n 'uJ tiempo lo podrán acer5

Solución :

Y EosJ demora 2 d#as. → 1n un d#a avanza - 92 Y Pablo demora 8 d#as → 1n un d#a avanza 98.

Luego los dos en un d#a avanzan :

6 1 36 8 30 2 3 15 1 10 1

=

−

+

=

+

(14)

*i los dos trabaNan Nuntos demoran:

( 2/as

 Los 89A de 9/ de /98 de A90" 'ue parte representan los 89) de A90 de B9A de los 9A de 89/.

Solución :

3

1

9

7

5

2

3

7

5 =

x

14

5

2

5

7

4

7

6

9

7

8

3 =

x



15

14

1

3

1 =

8 *i una seFora usa /9 de un ovillo de lana en teNer la tercera parte de una compa. 34uántos ovillo necesitará para teNer la compa completa5

Solución :

Por regla de tres simple.

/9 ovillo para 9 compa

+ 

3 =

1

3

2

3

1

3

2 x

x

=

= ' oGillos

. Kn automovilista observa 'ue

5 1

de lo recorrido e'uivale a los

5 3

de lo 'ue le falta recorrer. 34uántas oras abrá viaNado asta el momento" si todo el viaNe lo ace en / oras5

a 0 b A c 8 d 

e /

/. Los

5 4

de las aves de una granNa son palomas" los

6 5

del resto son gallinas y las ) restantes son gallos. 34uántas aves ay en la granNa5

a /2 b 8B2 c /2 d

/2 e /

. *i me deben una cantidad igual a los

8 7 de *9. 0B2 y me pagan los 4 3 de lo 'ue me deben. 34uánto me deben a&n5

a 2 b )2 c B2

d /2 e /2

. Pedro gana ; soles y aorra

4 B

soles al mes. 1n tres aFos a gastado: a 0; 7 B< soles b /

  







₋

4 B A 3 soles c B; 7 0< soles d /(;  b soles e /

  





 −

4 B A

(15)

8.

3 2

de los profesores de un colegio son muNeres. / de los profesores varones

son solteros" mientras 'ue los

5 3

de los mismos son casados. 34uál es el n&mero de muNeres5

a 2 b /2 c 2 d B2

e .;

B. *e retiran de un depósito los

3 2

de su contenido menos 2 litros. 1n una

segunda operación se saca

5 2

del resto y por &ltimo los ) litros restantes. Determina la capacidad del depósito.

a 22 b /82 c B22 d

82 e 882

A. 1n un ómnibus parten 82 pasaNeros" en el primer paradero se 'uedan las

5 2

partes y suben 8 pasaNeros" en el segundo paradero se 'uedan los

3 2

y suben 8. 34uántos pasaNeros ten#a el ómnibus para llegar al tercer paradero5

a /8 b 2 c 2 d 82

e 8

). *e a vendido un anteoNo astronómico en *9. 82. *e desea saber lo 'ue

costó" sabiendo 'ue si se ubiera 'uerido ganar los

9 4

del precio de compra ubiese sido necesario aumentar en *9.2 el precio de venta.

a 2 b 2 c 82 d )2 e 822 0. 4alcula el valor de G46 si : 4

-4

1

3

1

2

1

4

1

3

1

2

1

4 −

−

+

a A9) b B98 c 89/ d )9A

e /90

2. 34uánto le falta a G16 para ser igual a 98" si :

1

-6

1

6

4

1

4

3

1

3

2

1

2 +

+

a 98 b A9/2 c 92 d 9/8 e 98 . 3OuJ parte de 9 es 985 a 89 b /29 c 9/2 d 98 e 09/2

/. 1l cociente de la diferencia de los n&meros 9 89) entre la suma de los mismos es : a /9 b 9// c 9/ d 9 e   . *implica : 1

-













₋













₋













₋













₋













₋











 +











 +











 +











 +











 +

9 1 1 8 1 1 7 1 1 6 1 1 5 1 1 9 1 1 8 1 1 7 1 1 6 1 1 5 1 1

(16)

a /90 b 09/ c  d  e 9

REDUCCIÓN A LA UNIDAD

. EosJ puede acer una obra en 8 d#as. 3OuJ parte de la obra pueden acer en + d#as5 a 5 x b x 5 c 8+ d 8 7 + e +

8. Pedro puede acer una obra en + d#as. 3OuJ parte de la obra puede acer en z d#as5 a x z b z x c +z d +  2 z e +  z

B. !oberto puede acer una obra en 8 d#as y 1duardo podr#a acerlo en 2 d#as. 3OuJ parte de la obra ar#an en + d#as los dos Nuntos5

a 5 x b 10 x 3 c 3 x 10 d 10 x e 8+

A. !a&l puede acer una obra en Ga6 d#as y 4arlos podr#a acerlo en G+6 d#as. 3OuJ parte de la obra ar#an en Gz6 d#as los dos Nuntos5

a xa ) a zx (

+

b xz ) z zx (

+

c xa ) a x ( z

+

d ) z x ( z

+

e z+ , a

). Luis izo los

5 3

de una obra en B d#as. 3OuJ parte de la obra izo en un d#a5

a 2 5 b 5 2 c 10 1 d 5 6 e A

0. 4arlos izo los

8 3

de una obra en / d#as y

8 1

de d#a. 3OuJ parte de la obra puede acer en + d#as5

a

2 x 17 b 3 x 17 c 7 x 6 d x 7 6 e 17 x 3

/2. Pablo izo los

y x

de una obra en z d#as. 34uántos d#as demorará para acer toda la obra.5 a y xz b x yz c z y x

−

d +y e + , y

/. 4inco personas pueden acer los

b a

de una obra en un d#a. 34uántos d#as demorarán para acer toda la obra5

a b a b

 











b a 9 c b 5 a d

xa

b

e a b

//. !icardo puede acer una obra en G+6 d#as y 4arlos podrá acerlo en Gy6 d#as. *i trabaNan Nuntos. 1n cuántos d#as arán la obra

a ) y x ( y x

+

−

b xy ) y x (

+

c y x xy

+

d ) y x ( xy

−

e +y

(17)

/. Euan en dos d#as podrá acer

7 4

de una obra" pero !oberto en tres d#as

podrá acer

5 2

de la misma. *i trabaNan Nuntos. 34uántos d#as emplearán5

a 105 44 b 44 105 c 35 48 d 35 8 e 

/. *i + ombres acen los

! 

de una obra en un d#a" cuánto ace un ombre en un d#a5 a ! x b  x! c x!  d  x! e x ! 

−

/8. *i  ombres en 2 d#as acen

17 10

de una obra. 34uánto acen en un d#a5

a 17 1 b 17 4 c 17 10 d 170 1 e 

/B. *i 8 ombres en 2 d#as acen

17 15

de una obra. 34uánto ace un ombre en un d#a5 a 170 1 b 17 5 c 170 3 d 20 15 e /

/A. *i + ombres en Ga6 d#as acen

 b

de una obra" 34uánto ace un ombre en un d#a5 a  xab b b xa c a  xab

−

d xa b e +ap

/). Kn obrero ar#a un trabaNo en / d#as" al paso 'ue otro emplear . *i trabaNan ambos Nuntos. 34uánto tiempo emplear#an en acer el trabaNo5

a " 3 4 b /d c " 4 3 d " 2 7 e

CLAVES DE RESPUESTAS

2 a 2/ d 2 d 2 c 28 d 2B a 2A d 2) c 20 b 2 d  d / d  b  a 8 a B b A c ) c 0 e /2 b / e // c / b / c /8 a NUMEROS NATURALES

1# $scr%ba e& 'mera& correso'"%e'e a* se%s r%&&o'es se%s b%&&o'es se%sc%e'os sese'a y se%s m%&&o'es se%sc%e'os m%& se%sc%e'os se%s#

a) 6006606006006606666 b) 6000600000666600606 ") 6006006606600600606 e) 6000006000666600606

2# $scr%ba e& '+mero %ez m%& %ez -%&&o'es %ez -%& %ez a) 1000010010

b) 10010000010 ") 10100010100 e) 11000001000

3# .eer ; 8008808008

a) /co m%&&o'es oco m%& ococ%e'os oco m%& oco# b) /co m%& m%&&o'es oco ococ%e'os oco m%& oco c) /co m%&&o'es oco#m%& ococ%e'os oco m%& oco ") /co m%& oco m%&&o'es ococ%e'os oco m%& /co

(18)

4#  '+mero esá orma"o or 14, 134-, 140-,

19-a) 2480014 b) 2040814 c) 2174140 ") 2304014 e) 2048014

5# á'os m%&s%mo esá' co'e'%"os e' ' e'ero y 'a ce's%ma

a) 1010 b) 110 c) 120 ") 60

6# ara e& '+mero osc%e'os see'a m%&&o'es, care'a y res m%& "%ec%s%ee, se %e'e &as s%:%e'es a%rmac%o'es#

# <%e'e 8 c%ras ( ) # <%e'e 3 ceros ( ) # <%e'e 2 c%ras %mares ( ) V# <%e'e 3 c%ras %mares ( )

á&es so' ver"a"eras #

a)  y  b)  y V c) =>&o  ") =o&o 

7# ara e& '+mero are'a y c%'co b%&&o'es, c%'ce'a y s%ee m%& "os m%&&o'es, ococ%e'os c%'co m%& re%'a# (V) o (?)#

# <%e'e 14 c%ras ( ) # <%e'e 5 ceros ( ) # <%e'e 3 c%ras ares ( )

V# <%e'e 6 c%ras !e so' '+meros r%mos( )

8# =e %e'e 2, 3-, 7-, 4, 6, dicho número es:

a) 73264 b) 74326 c) 72 364

9# a'as e'e'as ay e' 75 -; 4 -; 16 -#

a) 75 560 b) 75 326 c) 72 304 ") 76560 e) 74 560

10# á'as ece'as orma' os -%&&ares

a) 20 b) 200 c) 2000 ") 2 e) 0,2

11# $' "os ce'e'as y 6 ce's%mos á'os m%&s%mos ay

a) 2006 b) 200600 c) 200060 ") 200600

REGLA DE CONJUNTA:

12# $' ' %'ercamb%o, or ' ca"ra"o se rec%be' 4 c@rc&os y or 6 c@rc&os se rec%be' 3 r%á':&os ¿C!n"os cadrados #eden reci$irse #or %& "ri!n'(os)

a) 30 b) 24 c) 35 ") 12 e) 48

13# o' res "esor'%&&a"ores se ob%e'e ' a&%cae; co' res a&%caes se ob%e'e ' mar%&&o ¿C!n"os mar"i((os se o$"endr!n con **+ des"orni((adores)

a) 11 b) 10 c) 9 ") 13 e) 14

14# or res r%á':&os se ob%e'e 4 ca"ra"os; or 7 ca"ra"os se ob%e'e' 9 c@rc&os; or 21 rombos se ob%e'e 2 c@rc&os# ¿C!n"os rom$os o$"endr, con n so(o "ri!n'(o)

a) 11 b) 10 c) 19 ") 13 e) 18

15# $' 'a er%a a:roecar%a or ca"a c%'co aos "aba' res o&&os; or caro o&&os "aba' se%s :a&&%'as; or "oce :a&&%'as "aba' "os cor"eros, y se%s cor"eros va&@a' =# 240# ¿e( cos"o de + #a"os es)

a) =#42 b) 70 c) 49 ") 84 e) 140

16# 'a coma@a esá orma"a or 8 "earame'os; ca"a "earame'o %e'e 3 scrsa&es# $' ca"a 2 scrsa&es ay 5 o%c%'as y e' ca"a o%c%'a rabaCa' 12 em&ea"os# á'os em&ea"os rabaCa' e' 10 coma@as

a) 6000 b) 7200 c) 7600 ") 8200 e) 8000

17# =% 4 camoes esa' a'o como 7 cebo&&as; 5 cebo&&as a'o como 12 omaes; 2 omaes a'o como 7 ca%:as y 18 ca%:as esa' a'o como 3 aas# =e sabe a"emás !e 3 camoes esa' 1D:# á'as aas esará' %:a& !e 20D:# "e camoe

a) 96 b) 125 c) 86 ") 150 e) 147

ECUAC-ONES: ./a(sa S#osici0n1

18# =e ve'"%ero' e're a"&os y '%os ' oa& "e 91 bo&eos ara 'a 'c%>' "e c%'e# =% ' bo&eo "e a"&o coso =# 5 y ' bo&eo "e '%o se ve'"%> a =# 3# ¿C!n"os $o(e"os ad("o se vendieron si (a recadaci0n "o"a( 2e de S34 5**)

a) 19 b) 72 c) 17 ") 21 e) 23

19# os '%os a' recorr%"o e' oa& 64 meros "a'"o e're &os "os 100 asos# =% ca"a aso "e& se:'"o m%"e 50 cm# y ca"a aso "e& r%mero m%"e 70 cm# á'os asos más !e e& se:'"o a "a"o e& r%mero#

a) 10 b) 20 c) 30 ") 40 e) 50

20# <e':o 50 b%&&ees, 'os "e =# 10 y oros "e =# 50# =% so o"os &os b%&&ees !e e':o ara a:ar 'a "e"a "e =# 780, ¿Can"os $i((e"es son de S34 *6)

a) 35 b) 43 c) 26 ") 41 e) 29

21# ' coma'"a'e "e ' "esacame'o "e 100 so&"a"os or"e'a a o"os a acer &a'casE# $' ' "eerm%'a"o mome'o, e& coma'"a'e "o observar sobre e& %so 280 exrem%"a"es# á& es e& '+mero "e so&"a"os ac%e'"o &a'cas

a) 60 b) 40 c) 70 ") 35 e) 30

22# -ar@' rabaCa e' 'a coma@a e' &a ca& or "@a "e rabaCo &e a:a' =#30 y or ca"a "@a !e a&a a ss &abores &e "esce'a' =#10 "e s se&"o# á'os "@as ab@a rabaCa"o, s% a& %'a& "e 40 "@as a"e"a a &a emresa &a sma "e =#200

a) 12 b) 13 c) 5 ") 18 e) 10

23# $'re :a&&%'as y co'eCos se ce'a e' ' corra& 48 cabezas y 158 aas# ¿C!n"as 'a((inas 7 cone8os ha7)

a) 17y 31 b) 16 y 32 c) 22 y

26

24# ' barr%& co'%e'e 69 &%ros "e c%ero &@!%"o# =% se "ebe ser e'vasa"o e' 27 boe&&as, 'as "e "os &%ros y oras "e 3 &%ros, ¿C!n"as $o"e((as de % (i"ros se va a necesi"ar)

a) 8 b) 15 c) 13 ") 14 e) 12

25# =e %e'e 40 mo'e"as "e 1 so& y 50 c'%mos# =% e' oa& ay 32 so&es# ¿C!n"as monedas de * so( ha7)

a) 28 b) 26 c) 24 ") 12 e) 20

26# ' %'"%v%"o se a&oCa e' ' oe&, "o'"e acer"a abo'ar =#12 or "@a y =#30 s% %'c&ye com%"a# A& cabo "e 36 "@as abo'> =#864# ¿Can"os d9as no comi0)

(19)

27# $' ' esac%o'am%e'o ara r%c%c&os y b%c%c&eas se ce'a' e' oa& 64, ve@c&os y 154 re"as# ha((ar e( eeso de (as $icic(e"as so$re (os "ricic(os)

a) 10 b) 2 c) 14 ") 16 e)

15

28# $' 'a %esa ca"a Cove' a:aba 45 c'%mos, ca"a "ama 1 so&, s% e& :aso oa& e 17 so&es# s% sa&e' o"os a ba%&ar ca'os se !e"a' s%' ba%&ar

Fa#

29# o"r@a aorrar s#20 "%ar%os, ero ca"a "%a !e sa&:o co' G%&&ary :aso s#9 y ca"a "%a !e sa&:o co' Hare" :aso s# 6 # s% ya e':o aorra"o s# 258, ra'e ca'os "@as aorre (so&o ay "%a !e sa&:o co' G%&&ary o Hare")#

Fa#

;RO<LEMA .CORTES = ESTACAS1

30# A&re"e"or "e 'a mesa c%rc&ar se b%ca' s%&&as ca"a 2m# =% e& er@mero "e &a mesa es "e 16m# ¿C!n"as #ersonas se #eden sen"ar como m!imo)

a) 12 b) 6 c) 7 ") 9 e) 8

31# =e "esea cercar ' erre'o reca':&ar "e 16m# x 24m#, ara &o ca& es co've'%e'e acer 'a ser%e "e co&m'as a 'a "%sa'c%a "e 2m# 'a "e ora; s% e& coso "e ca"a co&m'a es 35 ">&ares, indicar e( cos"o >e ori'inar! (evan"ar "odas es"as co(mnas4

a) 1400 b) 1435 c) 1365 ") 1200

32# A ' a&ambre "e 82 cm se &e ace 5 cores, e& :rosor "e &a s%erra es 2m# ¿C!n"o mide cada "rozo de a(am$re)

a) 12cm b) 10 c) 15 ") 13 e) 11

33# 'a var%&&a "e acero "e 96cm se &e ace 3 cores, "o'"e ca"a rozo !e se ob%e'e es e& "ob&e "e& a'er%or, s% e& :rosor "e &a s%erra es "e 2cm# ¿e( "rozo ma7or mide)4

a ) 4 2 cm b ) 4 0 c ) 48 " ) 6 0 e ) 5 0

34# $' ' mar%mo'%o, a& mome'o "e& sa&"o, se orma 'a &ar:a co&a "e am%&%ares y am%:os; s% &os esosos "emora' e' sa&"ar 1,5 m%'os y e& %emo oa& e' &os sa&"os e "e 1 ora y 12 m%'os# ¿A c!n"os sa(daron)4

a) 42 b) 49 c) 48 ") 30 e) 40

M?TODO DE LAS D-/ERENC-AS:

35# =% ve'"o a =# 30 ca"a &%bro, :a'ar@a =# 350; ero s% &os ve'"o a =#25 so&o :a'ar@a =#200# ¿C!n"os (i$ros "en'o)

a) 30 b) 24 c) 30 ") 40 e) 5

36# ' a"re va a& c%'e co' ss %Cos y a& sacar e'ra"as "e =#15 observa !e &e a&a "%'ero ara 2 "e e&&os, e'o'ces %e'e !e sacar e'ra"as "e =#10 as@ e'ra' o"os y a+' &e sobra' =#5# á'os era' &os %Cos

a)7 b)6 c)5 ")4 e)3

37# ' :ro "e a&omas se arox%ma a ' :ro "e oses# =% e' ca"a ose se osa' 4 a&omas res&ar@a' 3 oses sobra'es, e' camb%o s% e' ca"a ose se osa' 3 a&omas ar@a' a&a 3 oses más# á'as so' &as a&omas

a) 21 b) 36 c) 42 ") 72 e) 84

38# ' roesor "%sr%bye a &os a&m'os co&oca'"o 6 a&m'os or carea# =% b%cara 2 a&m'os e' ca"a carea se 'eces%ar@a' 10 careas más# á'as careas se %ba' a %&%zar %'%c%a&me'e

a)4 b)5 c)6 ")7 e)9

39# =% se ve'"e ca"a coma a I270 se :a'ar@a I 1340; ero s% se ve'"e a I 210 ca"a 'a se :a'ar@a I 920 ¿C!n"as chom#as son)

a) 7 b) 8 c) 9 ") 10 e) 5

40# =% ve'"o a =#7 c"# e&oa :a'o =#12, ero s% &as ve'"%era a =# 5 er"er@a =#6# ¿C!n"as #e(o"as vende)

a) 7 b) 6 c) 9 ") 11 e) 13

41# =% ve'"emos &a%ceros a =#4 c 'o :a'amos =#18, ero s% ve'"emos c &a%cero e' =# 2 er"emos#4# ¿c!n"os se vendi0)

a) 8 b) 20 c) 11 ") 9 e) 12

42# a:a'"o =#250 a ca"a 'o "e m%s em&ea"os me a&a"a =# 360; e' camb%o s% &es a:ara so&o =# 200 me sobrar@a =#140# ¿E( número de em#(eados es)

a) 8 b) 12 c) 10 ") 16 e)

6

43# <e':o c%era ca'%"a" "e re&oCes, &os ve'"o a 12 ">&ares ca"a 'o, obe':o 60 ">&ares "e :a'a'c%a y s% &os ve'"o a 15 ">&ares, obe':o 90 ">&ares "e :a'a'c%a#

¿C!n"os re(o8es "en'o)

a) 12 b) 10 c) 21 ") 18 e) 24

44# =% rearo a'os carame&os a ca"a '%o como '%os e':o, me a&ar@a' 2 carame&os# ero s% "oy ' carame&o a ca"a '%o, me sobra' 70 carame&os# á'os '%os e':o

Fa#*

M?TODO DEL CANGREJO:

45# =@ ' '+mero se m&%&%ca or 3, He:o a& res&a"o se &e sma 5 y ese +&%mo res&a"o se "%v%"e or 2, res&a e'o'ces 13# ¿C!( es e( número)

a) 8 b) 7 c) 6 ") 9 e) 10

46# =% &a e"a" "e  abe&%o &o m&%&%cas or 8, &e:o &o "%v%"es or 10 y e& coc%e'e &o m&%&%cas or 3 aa"%e'"o e'se:%"a 36, obe'"r@as 180# ¿La edad de " a$e(i"o es)

a) 60aos b) 65 c) 180 ") 84 e) 72

47# =% a ' '+mero &o m&%&%cas or 3, a ese ro"co &e a:re:as 4 &e:o &e exraes &a ra@z ca"ra"a, a& res&a"o &o "%v%"es e're 2, ara &e:o smar&e 1 y a& res&a"o &o e&evas a& cbo ara !e %'a&me'e "e reses 7, obe'"r@as 20# ¿C!( es e( número)#

a) 8 b) 5 c) 6 ") 9 e) 4

48# 'a erso'a em%eza ' Ce:o "e aesa co' c%era ca'%"a"; r%mero %er"e 10 so&es; s%:e C:a'"o y %er"e &a m%a"; Ce:a or +&%ma vez y %er"e 8 so&es, !e"á'"o&e 20 so&es# con c!n"o

comenz0)

a) 4 0 b) 6 0 c) 7 0 " ) 6 6 e) 6 2

49# Ja&&ar ' '+mero "e ma'era !e a& m&%&%car&o or 3 y ame'ar&e 4 res&e ' '+mero a& !e a& "%v%"%r&o or 4 y resare 3, se o$"en'a +4