• No se han encontrado resultados

9.Predavanje-pregled Elementarnih Funkcija

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "9.Predavanje-pregled Elementarnih Funkcija"

Copied!
36
0
0

Texto completo

(1)

9. PREGLED

ELEMENTARNIH

ELEMENTARNIH

FUNKCIJA

FUNKCIJA

(2)

„ Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati

realne funkcije realne varijable

„ Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se

najčešće koriste u ekonomiji

„ Realne funkcije najčešće dijelimo na: ‰ algebarske i

(3)

1. ALGEBARSKE FUNKCIJE

1. ALGEBARSKE FUNKCIJE

„ Funkcija je algebarska ako se pri računanju zavisne varijable

y koriste samo algebarske operacije: zbrajanje, oduzimanje,

množenje, dijeljenje i potenciranje

„ Algebarske funkcije dijele se na:

‰ cijele racionalne funkcije (polinomi), ‰ razlomljene racionalne funkcije,

(4)

CIJELE RACIONALNE FUNKCIJE (POLINOMI) CIJELE RACIONALNE FUNKCIJE (POLINOMI)

„ Funkcija f : R →R definirana formulom

gdje je n ∈ N ∪ {0}, ai ∈ R (i = 0, 1, 2, …, n) i an ≠ 0 zove se polinom n-tog stupnja ili cijela racionalna funkcija.

„ Realni brojevi an, an-1, ..., a1, a0 nazivaju se koeficijentima

polinoma. Koeficijent an ≠ 0 naziva se vodeći koeficijent.

„ Ako je a0 = 1, za polinom se kaže da je normiran. 0 1 1 1 ) (x a x a x a x a Pn = n n + n n− + L + +

(5)

„ Polinom nultog stupnja P0(x) = a0 je konstantna funkcija,

odnosno funkcija oblika

f (x) = a0 = const.

„ Graf konstantne funkcije je pravac paralelan s osi apscisa koji

siječe os ordinata u točki (0, a0)

y = 2

(6)

Primjer. Funkciju ukupnih trošova T možemo promatrati kao

funkciju vremena t, T = T(t). Promatramo li tu funkciju u razdoblju u kojem se ne odvija proizvodni proces, ukupni su troškovi upravo jednaki fiksnim troškovima c, tj. tada je

T(t) = c.

Dakle, u navedenom slučaju funkcija ukupnih troškova je konstantna funkcija.

Primjer iz knjige: Šego, B., Matematika za ekonomiste, Narodne novine d.d., Zagreb, 2005.

(7)

„ Polinom prvog stupnja P1(x) = a1x+ a0 je linearna funkcija

čiji je graf pravac, tj. to je funkcija oblika

f (x) = ax + b

gdje je a koeficijent smjera (nagib pravca), a b odsječak

pravca na osi y.

„ Pravac je jednoznačno određen

s dvije točke koje mu pripadaju

y = –3x + 1

(8)

Primjer. Fiksni troškovi pri nekoj proizvodnji iznose 10000 kn, a

svaki proizvedeni komad povećava ukupne troškove za 1000 kn. Odredimo analitički oblik funkcije ukupnih troškova T kao

funkcije proizvodnje Q te njenu inverznu funkciju.

Funkcija ukupnih troškova je zbroj fiksnih i varijabilnih troškova T (Q) = 1000Q + 10000 (*)

Ako želimo znati koliko proizvoda treba proizvesti da bi ukupni troškovi bili T, onda je potrebno odrediti inverznu funkciju

funkcije (*)

1( ) 1 10

1000

TQ = Q

Primjer iz knjige: Šego, B., Matematika za ekonomiste, Narodne novine d.d., Zagreb, 2005.

(9)

„ Polinom drugog stupnja P2(x) = a2x2 + a1x+ a0 je kvadratna

funkcija, tj. funkcija oblika

f (x) = ax2 + bx + c

čiji je graf parabola.

„ Graf kvadratne funkcije možemo opisati u ovisnosti o vrijednosti

koeficijenta a, diskriminante D = b2 – 4ac, nultočaka x

1 i x2 i

tjemena T(xT , yT) :

1. Za a > 0, graf funkcije je otvorom okrenut prema gore i

funkcija ima minimum (najmanju vrijednost) u tjemenu,

za a < 0, graf funkcije je otvorom okrenut prema dolje i funkcija ima maksimum (najveću vrijednost) u tjemenu.

(10)

2. Tjeme je u točki T(xT , yT) , gdje je

3. Sjecište parabole s y osi dobijemo za x = 0:

⇒ parabola siječe os y u točki (0, c)

4. Sjecište parabole s osi x dobijemo za y = 0:

ax2 + bx + c = 0

Rješenja ove kvadratne jednadžbe su dana formulom:

a b ac yT 4 4 − 2 = , 2 T b x a = − c c b a f (0) = ⋅ 02 + ⋅ 0 + = a ac b b x 2 4 2 2 , 1 − ± − =

(11)

5. Diskriminantom nazivamo izraz D = b2 – 4ac. Diskriminanta

je realan izraz, jer u njega ulaze realni brojevi a, b i c. Stoga postoje tri mogućnosti: D > 0, D = 0 ili D < 0.

‰ Ako je D > 0, jednadžba ax2 + bx + c = 0 ima dva realna i

različita rješenja, pa graf funkcije siječe os x u dvije točke: (x1, 0) i (x2,0).

‰ Ako je D = 0, jednadžba ax2 + bx + c = 0 ima dvostruko

realno rješenje, tj. x1 = x2 . Graf dotiče os x.

‰ Ako je D < 0, jednadžba ax2 + bx + c = 0 nema realnih

rješenja, tj. rješenja su kompleksno konjugirani brojevi, pa graf ne siječe os x.

(12)

D > 0

D = 0

D < 0

a>0

(13)

„ Nacrtajte parabole: 2 4 3 y x= + +x y x= + +2 4x 3 2 4 y = − +x x 2 5 4 3 y = − x + x − 2 5 4 3 y = − x + x − 2 4 y = − +x x

(14)

„ Izjednači li se polinom Pn(x) s nulom, dobije se algebarska

jednadžba n-tog stupnja. Rješenje algebarske jednadžbe su nultočke ili korijeni pripadnog polinoma.

„ Za polinome vrijede slijedeće tvrdnje:

Teorem 1. (Osnovni teorem algebre): Svaki polinom stupnja

n ∈ N ima barem jednu realnu ili kompleksnu nultočku.

Teorem 2. Ako je kompleksan broj z = a + bi nultočka

polinoma Pn(x), tada je i njemu konjugirano kompleksan broj

(15)

„ Teorem 3. Polinom može imati najviše onoliko različitih

nultočki koliko iznosi njegov stupanj. Ako su x1, x2,…, xn nultočke polinoma Pn(x), tada se polinom može na jedinstven način prikazati u faktoriziranom obliku

Pri tome, ako su nultočke višestruke, vrijedi

gdje su k1, k2,…, km prirodni brojevi za koje vrijedi da je

k1 + k2 + … + km = n, pri čemu je xi nultočka polinoma Pn(x), kratnosti ki , i = 1,2,…,m ) ( ) )( ( ) ( n 1 2 n n x a x x x x x x P = − − Lm k m k k n n x a x x x x x x P ( ) ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 1 − − − = L

(16)

Teorem o dijeljenju polinoma. Bilo koja dva polinoma f (x) i g(x) određuju

jedinstvene polinome s(x) i r(x) takve da je f (x)= s(x)⋅g(x)+ r(x), odnosno ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x g x r x s x g x f + = ,

gdje je stupanj r(x)< stupanj g(x). Polinom s(x) zove se kvocijent, a polinom )

(x

r ostatak dijeljenja. Ako je r(x)= 0, kažemo da g(x) dijeli f (x).

Ovaj teorem koristimo u slučaju kada je st f (x) ≥st g(x) i u tom slučaju je

(17)

Primjer. Neka je f (x)= 2x4 + x3 −3x2 + x −1, g(x)= x2 − 2x , pa nađimo )s(x i )r(x .

(

2x4 + x3 3x2 + x 1

)

:

(

x2 2x

)

= 2x2 + 5x + 7 3 4 4 2xx 3 2 2 3 10 5 1 3 5 x x x x x − − + − x x x x 14 7 1 7 2 2 − − + 15x −1

(18)

RAZLOMLJENE RACIONALNE FUNKCIJE

RAZLOMLJENE RACIONALNE FUNKCIJE

„ Razlomljena racionalna funkcija je kvocijent dvaju

polinoma, dakle funkcija oblika

„ Ako je polinom u brojniku manjeg stupnja nego polinom u

nazivniku, odnosno m < n, f(x) se zove prava razlomljena

racionalna funkcija. U protivnom, ona se zove neprava razlomljena racionalna funkcija.

0 1 0 1 ) ( ) ( ) ( b x b x b a x a x a x P x P x f n n m m n m + + + + + + = = L L

(19)

„ Neprava razlomljena racionalna funkcija može se dijeljenjem

brojnika sa nazivnikom prikazati u obliku zbroja polinoma i prave razlomljene racionalne funkcije.

„ Domena razlomljene racionalne funkcije je čitav skup R osim

nultočaka polinoma u nazivniku.

„ Prava razlomljena racionalna funkcija može se prikazati u

obliku zbroja parcijalnih razlomaka, odnosno u obliku zbroja razlomaka čiji su nazivnici faktori polinoma Pn(x) . Taj rastav ovisi o tome da li su nultočke nazivnika realni ili nisu realni brojevi.

(20)

Teorem. Neka je ) ( ) ( ) ( x P x P x f n m

= prava racionalna funkcija gdje su polinomi Pm (x) i Pn(x) relativno prosti, tj. bez zajedničkih nultočki.

1. Ako su nultočke nazivnika jednostruke i realne, tj.

) ( ) )( ( ) ( 1 2 n n x x x x x x x

P = − − K − , funkcija f (x) se može napisati u obliku:

n n n m n m x x A x x A x x A x x x x x x x P x P x P x f − + + − + − = − − − = = L K 2 2 1 1 2 1)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

(21)

2. Ako su nultočke nazivnika višestruke i realne, tj. m k m k k n x x x x x x x P ( ) ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 1 − − − = K , gdje je k1 + k2 +Lkm = n, funkcija ) (x

f se može rastaviti na slijedeći način:

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m m m k k k m k k k k k k m m P x f x x x x x x x A A A B x x x x x x x x M B M x x x x x x = = − − − = + + + + + − − − − + + + + + − − − K L L L L L

(22)

3. Ako su nultočke nazivnika par kompleksno konjugiranih brojeva

višestrukosti k , tada funkciju f (x) možemo rastaviti na slijedeći način:

k k k k m c bx ax B x A c bx ax B x A c bx ax B x A c bx ax x P x f ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 1 1 2 + + + + + + + + + + + + = + + = L .

Koeficijente možemo određivati na dva načina: a) uvrštavanjem nultočaka polinoma Pn(x),

b) korištenjem teorema o jednakosti polinoma (koeficijenti uz odgovarajuće potencije moraju biti jednaki).

(23)

„ Primjer. Graf funkcije 2 3 2 2 ( ) 2 x x f x x x x + − = − −

(24)

IRACIONALNE FUNKCIJE IRACIONALNE FUNKCIJE

Kada se uz operacije koje vode do racionalne funkcije

dopusti još i korjenovanje, dobivamo iracionalne funkcije. Npr. f (x) = 3xx , 1 1 ) ( 2 + − = x x x f , 1 2 ) ( 3 − + = x x x f ,…

Problem određivanja domene iracionalnih funkcija

svodi se uglavnom na rješavanje algebarskih jednadžbi i nejednadžbi.

(25)

Ako je korijen iz neke funkcije f parni broj tada treba

voditi računa da veličina ispod korijena ne bude negativna, jer paran korijen iz negativnog broja je kompleksan broj.

n g x x

(26)

2. TRANSCEDENTNE FUNKCIJE

2. TRANSCEDENTNE FUNKCIJE

„ Sve funkcije koje nisu algebarske zovemo transcedentnima.

Najvažnije transcedentne funkcije su:

‰ eksponencijalna funkcija, ‰ logaritamska funkcija,

‰ trigonometrijske funkcije, ‰ ciklometrijske funkcije.

(27)

EKSPONENCIJALNA FUNKCIJA EKSPONENCIJALNA FUNKCIJA

Neka je a > a0, ≠1 zadani realni broj. Funkciju f :R→R+

definiranu sa:

x

a x

f ( ) = , ∀xR

nazivamo eksponencijalnom funkcijom baze a. Područje definicije te funkcije su svi realni brojevi.

(28)

Za eksponencijalnu funkciju vrijedi:

1. f (x) = a x >0, ∀xR

2. Ako je a > 1, onda je f strogo rastuća,

a ako je 0 < a < 1, onda je f strogo padajuća.

(29)

LOGARITAMSKA FUNKCIJA LOGARITAMSKA FUNKCIJA

Inverzna funkcija eksponencijalne funkcije f : R → R+

zove se

logaritamska funkcija baze a koju označavamo:

x x

f ( ) = loga .

Logaritamska funkcija je definirana samo za x > 0 jer je kodomena eksponencijalne funkcije R+

.

Graf logaritamske funkcije dobije se iz grafa eksponencijalne funkcije simetrijom s obzirom na pravac y = x.

(30)

Posebno su važne sljedeće dvije logaritamske funkcije. Ako je baza a = 10, funkciju bilježimo sa y log= x i zovemo dekadski logaritam, ako je baza a = e = 2.7182..., funkciju bilježimo sa y ln= x i zovemo

prirodni logaritam. Dakle, log10 x log= x, loge x =ln x . Funkcija

x

y log= inverzna je funkciji y 10= x, a funkcija y ln= x inverzna je

(31)

Svojstva logaritamske funkcije:

1. domena: R+ 2. kodomena: R

3. graf siječe x os u točki (1,0)

4. graf funkcije je rastući za a > 1, te padajući za 0 < a < 1 5. graf funkcije se asimptotski približava negativnom dijelu

osi y za a > 1,

6. graf funkcije se asimptotski približava pozitivnom dijelu

(32)

y = 10x y = ex

y = x

y = ln x y = log x

(33)

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE

sin : R → R (sinus funkcija) cos : R → R (kosinus funkcija)

(34)

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + = = Z , 2 ) 1 2 ( \ R cos sin k k D t t tgt π

{

}

Z , \ R sin cos ∈ = = k k D t t ctgt π

(35)

ARCUS FUNKCIJE ARCUS FUNKCIJE

„ Inverzne funkcije trigonometrijskih funkcija zovu se arcus

funkcije ili ciklometrijske funkcije.

Područje definicije funkcija arcsinx i arccosx zatvoreni je interval [−1,1]

(36)

Područje definicije funkcija arctgx i arcctgx cijeli je skup realnih brojeva.

Referencias

Documento similar

Na Bibliji, koja je poticala sa broda „Baunti” (još uvek se čuva na ostrvu), naučio je nekoliko pokolenja ostrvljana da se mole, čitaju i pišu. „Topaz” se vratio u Ameriku,

Le Gouvernement luxembourgeois considère qu’il est nécessaire de parvenir à un compromis acceptable pour tous les Etats membres, à la fois pour ne pas retarder le

Durante el mes astrológico de Cáncer (véase parte superior del dibujo), el Sol se desplaza sobre la eclíptica por la zona correspondiente a la constelación de Géminis, de derecha

existen diferencias en el desempeño, lo que nos indica que la manipulación del estado emocional tuvo efecto no solo en el tiempo de respuesta sino también en la atención en el

Congreso de la Sociedad Ecuatoriana de Cirugía Plástica, Reconstructiva y Estética por el Aniversario de Plata de la Sociedad, Quito Marzo 1996 Primer Curso Internacional de

En este trabajo se presenta la metodología que se usó en el diseño de la tarea integradora para el nivel Técnico Superior Universitario (TSU) de la Carrera de Mecatrónica en

Los INTERESADOS, en el caso de ser personas físicas, reconocen y aceptan que aquellos de sus datos personales, a los que INMOBILIARIA tenga acceso como consecuencia de la firma

Convocadas por Orden de la Consejería de Cultura y Turismo de 5 de julio de 2004, las pruebas para la obtención de la habilitación como Guía de Turismo de Castilla y León, y