LECTURA 07: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL (PARTE II) LA MEDIANA
TEMA 17: LA MEDIANA
1. LA MEDIANA: Es una medida de tendencia central que divide al total de n
observaciones debidamente ordenadas o tabuladas en dos partes de igual tamaño, cada una con el 50% de los datos observados.
Notación: Me.
1.1. Formas de cálculo
1.1.1. Para datos no agrupados: Para calcular la mediana, los n datos originales se ordenan en forma ascendente o descendente, luego se halla el lugar en donde se encuentra la mediana (lugar = (n + 1)/2) y finalmente se determina su valor. Se presenta dos casos:
i) Para un número par de datos: La mediana será el promedio de los dos valores centrales..
Ejemplo 7:
Calcular e interpretar la mediana del Ejemplo 1 de la sesión de aprendizaje 07: Xi : 650, 750, 850, 1000, 750, 820, 850, 1200, 1000, 1000
Solución:
Ordenando en forma ascendente
650 750 750 820 850 850 1000 1000 1000 12000 Lugar 5.5
Ubicando el lugar en donde se encuentra la Me n 1 10 1
Lugar 5.5
2 2
+ +
= = =
Cuando se tiene un número par de datos la mediana será el valor será el promedio de los dos valores centrales:
Interpretación: El 50% de los trabajadores tienen un ingreso máximo de 850 soles , no más del 50% supera dicho ingreso.
ii) Para un número impar de datos: La mediana será el valor que está ocupando la posición central.
Ejemplo 8:
Los siguientes datos corresponden a los tiempos de acceso en minutos a 11 Páginas Web cargadas por la tarde en el horario de 14 a 15 horas desde un ordenador domestico:
Xi: 2.9, 1.4, 1.2, 3.4, 1.3, 2.5, 1.6, 1.8, 2.3, 1.5, 1.0 Solución:
Ordenando los datos en forma ascendente
1.0 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.8 2.3 2.5 2.9 3.4
Lugar 6
Hallando el lugar en donde se encuentra la mediana:
Cuando se tiene un número impar de datos la mediana será el valor que está ocupando la posición central.
● Interpretación: El 50% de las páginas Web son cargadas en un tiempo de
acceso máximo de 1.6 minutos., el otro 50% supera dicho tiempo.
850 850 Me 2 Me 850 soles. + = = n 1 11 1 Lugar 6 2 2 + + = = =
1.1.2. Para datos agrupados
1.1.2.1. La mediana cuando la variable es cuantitativa discreta: Cuando la variable es cuantitativa discreta y los datos se encuentra agrupados la mediana será el valor de la variable cuya frecuencia acumulada sea la primera en exceder a n/2, así:
Me = Xi tal que: Fi n/2
“i” determina clase
en donde se encuentra la Me. Ejemplo 9:
Calcular e interpretar la mediana de los datos de la tabla N° 07 de la sesión de aprendizaje 07: Tabla N° 11 N° de cabinas i y N° de cibernautas i f Fi 40 10 10 45 20 30 50 40 70 55 15 85 60 10 95 65 5 100 Total 100
-Aquí vemos que n = 100, luego n/2 = 50
Entonces la primera frecuencia acumulada que excede a
2
n
= 50 es 70, esto es: 70 50
F3 10
“i = 3”, la mediana se encuentra en la 3ra. clase.
Me = 50 cibernautas
Interpretación: Al 50% de las cabinas acuden como máximo 50 cibernautas durante el mes anterior, el otro 50% de las cabinas supera dicho número.
i 1 2 3 4 5 6
1.1.2.2. La mediana cuando la variable es cuantitativa continua: Para calcular la mediana cuando la variable es cuantitativa continua se utilizará la siguiente fórmula:
i i i i f F n C LI Me 1 ) ( 2 / Se debe cumplir la siguiente relación:
“i” determina el intervalo en donde se encuentra la Me. Cuando:
2
1
n Fi
La mediana está dado por: Me = LI(i)
Además:
) (i
LI : Límite inferior del intervalo en donde se encuentra la Me. i
C : Amplitud o ancho del intervalo en donde se encuentra la Me. n : Número de observaciones de la muestra.
1 i
F : Frecuencia acumulada inmediata anterior al intervalo en donde se encuentra la Me.
i
f : Frecuencia absoluta del intervalo en donde se encuentra la Me
Ejemplo 10:
Calcular e interpretar la mediana de los datos de la Tabla N° 09 de la sesión de
i i F n F 2 1
Solución: Tabla N° 12 Edad en en años LI - LS N° de trabajadores fi Fi [25 - 30) 40 40 [30 - 35) 60 100 [35 - 40) 100 200 [40 - 45) 92 292 [45 - 50) 8 300 TOTAL 300 -Vemos que n = 300 n 150 2 =
y de acuerdo a la relación dada tenemos:
100 150 200 F2 150 F3
“i = 3”, la mediana se encuentra en el 3er. intervalo. Reemplazando el subíndice i=3 en la fórmula y los valores correspondientes tenemos:
[
]
[
]
2 (3) 3 3 n / 2 F Me LI C f 150 100 Me 35 5 100 Me 37.5 años. -= + ´ -= + ´ =Interpretación: El 50% de los trabajadores tienen una edad máxima de 37.5 años, el otro 50% supera dicha edad.
i 1 2 3 4 5
1.2. Características:
• La mediana es un estadígrafo que no está afectada por valores extremos muy
altos o muy bajos y por lo tanto es más representativa que la media aritmética, o cuando las distribuciones son poco simétricas.
• Es útil cuando los datos agrupados tienen clases abiertas en los extremos. • Es una medida única; esto es, una distribución tiene solamente una mediana.
