8-1 Semejanza entre triángulos rectángulos (págs )

Texto completo

(1)

Vocabulario

ángulo de depresión . . . 544 ángulo de elevación . . . 544 coseno . . . 525 dirección . . . 560 forma de componente . . . 559 magnitud . . . 5601 media geométrica . . . 519 razón trigonométrica . . . 525 seno . . . 525 tangente . . . 525 vector . . . 559 vector resultante . . . 561 vectores iguales . . . 561 vectores paralelos . . . 561

6.

Escribe un enunciado , -* + de semejanza comparando los tres triángulos. Halla la media geométrica de cada par de números. Si es necesario, da la respuesta en la forma radical más simple.

7.

_ 1 4 y 100

8.

3 y 17 Halla x, y y z.

9.

Þ â Ý x Ç

10.

Þ â Ý £Ó È

11.

Ȗе Þ â Ý £ ■ Halla la media geométrica de 5 y 30. Sea x la media geométrica. x 2 = (5) (30) = 150 Def. de media geométrica x = √150 = 5 √ 6 Halla la raíz cuadrada positiva. Halla x, y y z. Þ â Ý Î ÊÊȖееÊÊÎÎÊÊ

(

√ 33

)

2 = 3

(

3 + x

)

33 es la media geométrica de 3 y 3 + x. 33 = 9 + 3x 24 = 3x x = 8 y 2 = (3) (8) y es la media geométrica de 3 y 8. y 2 = 24 y = √24 = 2 √6 z 2 = (8) (11) z es la media geométrica de 8 y 11. z 2 = 88 z = √88 = 2 √22

8-1

Semejanza entre triángulos rectángulos

(págs. 518–523)

EJERCICIOS

E J E M P L O S

Completa los enunciados con las palabras del vocabulario.

1.

El/la

−−−−

? de un vector indica el cambio horizontal y vertical desde el punto inicial hasta el punto terminal.

2.

Dos vectores con la misma magnitud y dirección se llaman −−−− ? .

3.

Si a y b son números positivos, entonces ab es el/la

−−−−

? de a y b.

4.

Un

−−−−

? es el ángulo formado por una línea horizontal y una línea de visión hasta un punto por encima de la línea horizontal.

5.

El seno, el coseno y la tangente son ejemplos de un(a) −−−− ? .

(2)

Halla cada longitud. Redondea a la centésima más cercana.

12.

UV

Â

££Ê“ 1 7 6

13.

PR ә

Â

Ç°Óʓ , * +

14.

XY

15.

JL ÎÎ

Â

£Ó°ÎÊV“ 8 9 <

Â

£°{ÊV“ Halla cada longitud. Redondea a la centésima más

cercana. EF Çx

Â

n°£ÊV“ sen 75° = _ EF

8.1 Como están indicados

el cateto op. y la hipotenusa, usa una razón de seno. EF = 8.1

(

sen 75°

)

EF ≈ 7.82 cm ■ AB Î{

Â

{°ÓʫՏ} tan 34° = _ 4.2 AB

AB tan 34° = 4.2 Como están indicados los catetos adyacentes y opuestos, usa una razón de tangente. AB = _ 4.2 tan 34° AB ≈ 6.23 pulg

8-2

Razones trigonométricas

(págs. 525–532)

EJERCICIOS

E J E M P L O S

Halla las medidas desconocidas. Redondea las longitudes a la centésima más cercana y las medidas de los ángulos al grado más cercano.

16.

ÓÓ

Â

x°Ó

17.

ΰx {°Ç

18.

19.

ÎÓ°x , -/

Â

™°™ n°È + *

Halla las medidas desconocidas en LMN. Redondea las longitudes a la centésima más cercana y las medidas de los ángulos al grado más cercano.

È£

Â

n°x

Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios. Por lo tanto, m∠N= 90° - 61° = 29°.

sen L=_MN

LN Escribe una razón trigonométrica.

Sustituye los valores dados.

Halla LN.

Escribe una razón trigonométrica.

Sustituye los valores dados. Halla LM. sen 61° = _ 8.5 LN LN=_8.5 sen 61° ≈ 9.72 tan L = _ MN LM tan 61°=_8.5 LM LM = _ 8.5 tan 61° ≈ 4.71

8-3

Cómo resolver triángulos rectángulos

(págs. 534–541)

EJERCICIOS

E J E M P L O

(3)

Clasifica cada ángulo como un ángulo de elevación o un ángulo de depresión.

£

Ó

20.

∠1

21.

∠2

22.

Cuando el ángulo de elevación al Sol es 82°, un

monumento proyecta una sombra que mide 5.1 pies de largo. ¿Cuál es la altura del monumento redondeada al pie más cercano?

23.

Un guardabosque en una torre mirador detecta un incendio a la distancia. El ángulo de depresión hasta el incendio es de 4° y la torre mirador mide 32m de altura. ¿Cuál es la distancia horizontal hasta el incendio? Redondea al metro más cercano.

Un piloto en un avión detecta un incendio forestal en tierra a un ángulo de depresión de 71°. La altitud del avión es 3000 pies. ¿Cuál es la distancia horizontal desde el avión hasta el incendio? Redondea al pie más cercano.

tan 71° = _ 3000 XF ÎäääÊ «ˆià 8 * Ç£

Â

Ç£

Â

XF= _ 3000 tan 71° XF≈ 1033 pies

Un buzo está nadando a una profundidad de 63 pies por debajo del nivel del mar. Ve una boya flotando a nivel del mar a un ángulo de elevación de 47°. ¿Cuánto debe nadar el buzo para quedar directamente debajo de la boya? Redondea al pie más cercano. tan 47° = _ 63 XD ÈÎÊ«ˆià 8

Â

XD= _ 63 tan 47° XD≈ 59 pies

8-4

Ángulos de elevación y depresión

(págs. 544–549)

EJERCICIOS

E J E M P L O S

Halla cada medida. Redondea las longitudes a la décima más cercana y las medidas de los ángulos al grado más cercano.

24.

m∠Z 8 9 <

Â

{ Ç

25.

MN £Îä

Â

ÓÎ

Â

£È Halla cada medida. Redondea las longitudes a la

décima más cercana y las medidas de los ángulos al grado más cercano. ■ m∠B n È nn

Â

sen B_ AC = sen C_

AB Ley de los senos

Sustituye los valores dados.

Multiplica ambos lados por 6.

sen B_ 6 = sen 88°_ 8 sen B = 6 sen 88°_ 8 m∠B = sen -1

(

6 sen 88°_ 8

)

≈ 49°

8-5

Ley de los senos y ley de los cosenos

(págs. 551–558)

EJERCICIOS

E J E M P L O S

(4)

32 Guía de estudio: Repaso

Escribe cada vector en forma de componente.

28.

AB con A ⎯⎯⎯

(5, 1) y B

(

-2, 3)

29.

MN con M ⎯⎯⎯⎯

(

-2, 4) y N

(

-1, -2)

30.

RS ⎯⎯⎯ ,

-Traza cada vector en un plano cartesiano. Halla su magnitud a la décima más cercana.

31.

〈-5, -3〉

32.

〈-2, 0〉

33.

〈4, -4〉

Traza cada vector en un plano cartesiano. Halla la dirección del vector al grado más cercano.

34.

El vector 〈4, 5〉 da la velocidad de un helicóptero.

35.

El vector 〈7, 2〉 da la fuerza que usa un bote

remolcador.

36.

Un avión vuela a una velocidad constante de 600 mi/h con rumbo N 55° E. Hay viento cruzado que sopla hacia el este a 50 mi/h. ¿Cuáles son la velocidad y la dirección reales del avión? Redondea la velocidad a la décima más cercana y la dirección al grado más cercano.

Traza el vector 〈-1, 4〉 en un plano cartesiano. Halla su magnitud a la décima más cercana.

〈-1, 4〉

=

( -1) 2 + (4) 2 Þ Ý Ó ä ­£]Ê{® Ó { = √ 17 ≈ 4.1

El vector 〈4, 3〉. Da la velocidad de un avión a chorro. Traza el vector en un plano cartesiano. Halla la dirección del vector al grado más cercano.

En el PQR, tan P = _ 3 4 , por lo tanto Ó Þ Ý * , +­{]Êή Ó { m∠P = tan -1

(

_ 3 4

)

≈ 37°.

Susan cruza nadando un río con rumbo N 75° E a una velocidad de 0.5 mi/h. La corriente del río fluye hacia el este a 1 mi/h. Halla la velocidad real de Susan a la décima más cercana y su dirección al grado más cercano. -ÕÃ>˜ Çx

Â

£x

Â

ä°x Ý Þ 7 -cos 15° = _ x 0.5 , por lo tanto, x≈ 0.48. sen 15° = _ y 0.5 , por lo tanto, y≈ 0.13.

El vector de Susan es 〈0.48, 0.13〉. La corriente es 〈1, 0〉. La velocidad real de Susan es la magnitud del vector resultante, 〈1.48, 0.13〉.

1.48, 0.13

=

( 1.48) 2 + (0.13) 2 ≈ 1.5 mi/h Su dirección es tan -1

(

_ 0.13 1.48

)

≈ 5°, o N 85° E.

8-6

Vectores

(págs. 559–567)

EJERCICIOS

E J E M P L O S

Halla cada medida. Redondea las longitudes a la décima más cercana y las medidas de los ángulos al grado más cercano. HJ ÎÓ

Â

£ä ££

Usa la ley de los cosenos.

HJ 2 = GH 2 + G J 2 - 2

(

GH

)

(

GJ

)

cos G

=1 0 2 + 1 1 2 - 2 (10 ) (11 ) cos 32° H J 2 ≈ 34.4294 Simplifica.

Halla la raíz cuadrada.

HJ ≈ 5.9

Halla cada medida. Redondea las longitudes a la décima más cercana y las medidas de los ángulos al grado más cercano.

26.

EF £ä£

Â

£{ £Ó

27.

m∠Q + * , È £Ó £ä

(5)

Respuestas,

continuación

CAPÍTULO 8

Vocabulario

1. forma de componente

2. vectores iguales

3. media geométrica

4. ángulo de elevación

5. razón trigonométrica

8-1 Semejanza entre triángulos

rectángulos

6.

PQR

˜

RSQ

˜

PSR

7. 5

8.

51

9. x

=

35; y

=

2

15; z

=

2

21

10. x

=

3; y

=

3

5 ; z

=

6

5

11. x

=

5; y

= √

5 ; z

=

30

(6)

Respuestas,

continuación

78 Respuestas: Capítulo 8

8-2 Razones trigonométricas

12. 11.17 m

13. 6.30 m

14. 10.32 cm

15. 1.31 cm

8-3 Cómo resolver triángulos rectángulos

16. m

C

=

68°; AB

4.82; AC

1.95

17. m

H

53°; m

G

37°; m

HG

5.86

18. m

S

=

40°; RS

42.43; RT

27.27

19. m

Q

41°; m

N

49°; QN

13.11

(7)

Respuestas,

continuación

8-4 Ángulos de elevación y depresión

20. ángulo de depresión

21. ángulo de elevación

22. 36 pies

23. 458 m

8-5 Ley de los senos y ley de los cosenos

24. 22°

(8)

Respuestas,

continuación

80 Respuestas: Capítulo 8

26. 20.1

27. 56°

8-6 Vectores

28.

〈-

7, 2

29.

1,

-

6

30.

〈-

5,

-

5

31.

32.

33.

34.

35.

36. 641.6 mi / h; 32° ó N 58° E

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