Desarrollar un trabajo matemático completo y coherente según el modelo de los Espacios de Trabajo Matemático

Desarrollar un trabajo matemático completo y

coherente según el modelo de los Espacios

de Trabajo Matemático

Laboratoire de Didactique André Revuz Université Paris Diderot

France

El trabajo matemático como tema crucial en didáctica de las matemáticas

Hacia el modelo de los Espacios de Trabajo Matemático : el modelo de los ETM y su diagrama

Trabajo matemático completo y coherente

Una tarea en probabilidad

¿Como asegurar la coherencia ? En busca de los paradigmas

Perspectivas

Desarrollo de la enseñanza de las matemáticas e

investigación en didáctica de las matemáticas

En un contexto específico y en movimiento

1. Una tensión entre un enfoque utilitario dominante y una

visión idealista

2. Utilizar nuevas herramientas tecnológicas que cambien los

métodos de descubrimiento y de prueba

3. Hacia una nueva “alfabetización matemática” revisitando

las relaciones con la Verdad y la Prueba entre los ciudadanos

Origen y finalidad de nuestros investigaciones

Elaborar un marco teórico

1. Para estudiar la enseñanza y el aprendizaje de las

matemáticas en la escolaridad obligatoria y también en la formación de los profesores inicialmente en geometría.

2. Permitir comparar la enseñanza de las matemáticas en

diferentes instituciones o países.

3. Centrado en el “trabajo matemático” visto como central.

El trabajo matemático visto como un tema crucial de

estudio

Qué son las matemáticas ? Ideas de Freudenthal

What is mathematics ? Of course you know that mathematics is an activity because you are active mathematicians. It is an activity of solving problems, of looking for problems, but it is also an activity of organizing a subject matter. ESM 3 - 1971

La concepción recusiva de Thurston

Las matemáticas incluyen los números enteros y la geometría de las figuras y de los sólidos

Las matemáticas son lo que los matemáticos estudian Los matemáticos son esos ser humanos que profundizan el entendimiento humano de las matemáticas.

Trabajo, actividad y enseñanza de las matemáticas

Trabajo y actividad : Habermas 1968

I Por trabajo o actividad racional relacionada con un fin, oigo

o una actividad instrumental, o una elección racional, o bien una combinación de ambos.

Esto incluye modos de acción basados en la elección racional de medios eficientes, es decir, formas de acción instrumental y estratégica

I Habermas distinguía entre dos modos de acción, el trabajo

y la interacción, que corresponden a intereses duraderos de la especie humana.

La segunda se refiere a formas de acción comunicativa en las que los actores coordinan sus comportamientos sobre la base de normas consensuales.

Actividad matemática y enseñanza de matemáticas

Freudenthal ESM 3 1971

Una gran parte de la actividad matemática es la organización. Nos gusta ofrecer los resultados de nuestra actividad

matemática en una forma bien organizada donde ningún rasgo traiciona la actividad por la que fueron creados.

Esta objetivación es un hábito de los matemáticos desde los tiempos más antiguos. Es una buena costumbre, y es una

mala. El resultado denuestra actividad en un sistema rígido,

porque esto esobjetivo, porque es racional, y porque es

hermoso, y esto que enseñamos.

Contextos and fases del trabajo matemático

Work context : Reichenbach

1. En un contexto de descubrimiento : intuición,

experimentación..

2. En un contexto de justificación : probar, demostrar

3. En un contexto de comunicación : comprender, explicar,

presentar...

Fases del trabajo : Giaquinto

1. Hacer el descubrimiento

2. Presentar los resultados

3. Familiarizarse con los resultados

Espacio de Trabajo Matemático

Un espacio de trabajo matemático (ETM) es un espacio organizado para favorecer el funcionamiento del trabajo matemático (en un contexto educativo).

Basado sobre la articulación de dos niveles fundamentales :

I Un nivel epistemologico relativo a la organización

matematica y a la manera de pensar la tarea

I Un nivel cognitivo relativo a la actividad de un individuo y a

su manera de hacer la actividad

El nivel epistemologico

I Un conjunto de signos, objetos concretos y tangibles ;

I un conjunto de artefactos como herramientas de dibujo o

software ;

I un sistema teórico de referencia basado en definiciones y

propiedades.

El nivel cognitivo

I Un proceso de visualización relativo a la representación

del espacio y al soporte material ;

I un proceso de construcción que depende de los

instrumentos utilizados y consfiguraciones geométricas en juego ;

I un proceso discursivo que produce argumentaciones y

pruebas.

Como organizar cada level ?

Como articular los dos niveles ?

Varias geneses

Ambos niveles, cognitivo y epistemológico, tienen que ser articulados con el fin de garantizar un trabajo geométrico. Este proceso supone algunas transformaciones que es posible identificar a través de tres fundamental génesis relacionados con nuestro diagrama :

I Una génesis instrumental que hace funcional les artefactos en el proceso constructivo que contribuye al trabajo matemático ;

I Una génesis semiótica basada particularmente en los registros de representación semiótica, que proporciona un sentido a los objetos del ETM y les confiere su estatus de objetos

matemáticos operatorios ;

I Una génesis discursiva de la prueba que utiliza las propiedades en el referencial teórico para ponerlas al servicio del

razonamiento matemático y de una validación no exclusivamente icónica, gráfica o instrumentada.

Una visión general sobre el Espacio de Trabajo

Geométrico

Del Espacio de Trabajo Geométrico al Espacio de

Trabajo Matemático

Explorar y desarrollar el trabajo matemático

Circulación entre los planos verticales del modelo [Sem-Dis], [Ins-Dis], [Sem-Ins.

Trabajo matemático completo

El trabajo matemático es completo cuando existen :

1. Una relación genuina entre los planos epistemológico y

cognitivo.

Este aspecto significa que los estudiantes son capaces de seleccionar las herramientas útiles para hacer frente a un problema y luego utilizarlos adecuadamente como instrumentos para resolver la tarea dada.

2. Una articulación de una rica diversidad entre los diferentes

genesis y planos verticales del modelo.

Este aspecto significa que se tienen en cuenta varias dimensiones del trabajo relacionadas con herramientas, técnicas y propiedades. Este punto refleja cómo los diferentes contextos de trabajo están involucrados durante la actividad de los estudiantes. Alain Kuzniak Trabajo Matemático y Espacio de Trabajo Matemático

Una tarea en probabilidad

La longitud de un segmento

En un segmento S, se toman dos puntos A y B al azar. Se considera el evento : La longitud del segmento [AB] es estrictamente superior a la mitad del segmento S.

¿Cuál es la probabilidad de este evento ? (French Curriculum Grade 9, 2008, p.7)

Análisis a priori en dos etapas

1. Análisis del trabajo matemático con sus diferentes dimensiones y génesis

I Estudio de la circulación del trabajo validación dentro los

planes verticales [Sem-Ins], [Sem-Dis] y [Ins-Dis] del ETMProba;

I Dimensión (semiótica, instrumental, discursiva)

privilegiada ;

I Cambio de dominio implicado en la tarea :

I Rol respectivo de los profesores y estudiantes en la

perspectiva del trabajo matemático

Análisis a priori en dos etapas

2. Análisis de la coherencia matemática y de la validez en probabilidad del razonamiento

I La experiencia al azar

I El modelo real con sus hipotesis

I Los diferentes tipos de modelos probabilísticos (analíticos

o numéricos)

I Los tratamientos dans le modelos

I El uso de un lenguaje específico

Análisis matemático de la implementación sugerido en

el Curriculum

Fase 1. Exploración y descubrimiento del valor de la probabilidad del evento D.

I Esta fase se divide en tres etapas. Comienza con la

construcción de un modelo numérico que luego se implementa en una computadora para calcular la

frecuencia de ocurrencias de D. La probabilidad de D es estimada usando la ley de grandes números. El resultado estimado es 0.25.

I El trabajo matemático esperado es guiado por la génesis

instrumental con el uso de la hoja de cálculo, comenzando en el plano [Sem-Ins] y terminando en el plano [Ins-Dis]

Fase 2. Validación teórica de la probabilidad estimada

I La validación se basa en una figura geométrica (un

cuadrado) que da el valor exacto 1/4

I Estudio algebraico de la expresión |x-y|>1/2 que da la area

I El trabajo matemático se encuentra principalmente en el

plano [Sem-Dis] para asegurar esta validación teórica basada en el cuadrado geométrico como una herramienta semiótica y en técnicas algebraicas.

Un trabajo completo, pero ¿estan las tareas

propuestas ajustadas a los alumnos ?

Podemos concluir que el trabajo es posible y potencialmente completo a lo largo de la sesión.

Del ETM idonéo potencial al ETM idonéo real

I La cuestión es saber si el trabajo previsto no es

demasiado difícil para alumnos de Grado 9.

I De hecho, la situación necesita numerosos cambios de

dominios (probabilidad, geometría, álgebra)

I Uso de varios modelos, generalmente desconocidos en

este nivel escolar

I Uso de herramientas tecnológicas complejas como hojas

de cálculo o técnicas algebraicas no convencionales.

La factibilidad de la situación en una clase regular es realmente problemática y nos preguntamos cómo un maestro puede manejarlo en las aulas de 9º grado.

L’actividad en una clase de Grado 9

Fase 1. Exploración de la experiencia aleatoria real

En esta primera fase, los veinte alumnos de la clase han hecho un segmento S, con herramientas, de una longitud de 6 cm.

Fase 2. Transformation of the random experiment and construction of an experimental solution

El profesor propone a los alumnos de asimilar la selección aleatoria de dos puntos en un segmento a una tirada de dos dados. En esta fase, se trata de realizar la simulación del experimento aleatorio inicial.

Fase 3. Validación teórica del valor estimado de la probabilidad

I El profesor dio a los estudiantes una tabla (6 x 6) a

completar.

I Los estudiantes rodearon los 12 casos favorables y

calcularon la probabilidad de D usando la fórmula de Laplace.

I De acuerdo con sus cálculos, el maestro concluyó que la

probabilidad de que el evento D sea igual a 1/3 es relativamente cercano al valor estimado.

Semejanza de triangulo en el aula Grade 10

Construir un triangulo de tal manera que [BAC = [EDF and

[

ABC = [DEF

I Que podemos decir sobre [ACB y [DFE

I Con la regla, comparar los lados de los triangulos ; Que

pueden observar ?

I Completar el texto : Podemons hacer la conjectura que si

Semejanza de triangulo en el aula Grade 10

I Que podemos decir sobre [ACB y [DFE

I Con la regla, comparar los lados de los triangulos ; Que

pueden observar ?

I Completar el texto : Podemons hacer la conjectura que si

dos triangulos tienen ... entonces sus lados son ...

Semejanza de triangulo en el aula

Con un software

Construir un triangulo de tal manera que [BAC = [EDF and

[

ABC = [DEF

El malentendido global o Cuando la mostración es la

demostración

I Docente : Hemos demonstrado la propiedad ?

I Alumnos : Si, lo hicimos una demostración

I Docente : No, es demasiado impreciso

La ruptura entre dos enfoques de la geometría

I La construcción es simple y no va a causar problemas

I Motivar a la entrada en Geometry II con un primer trabajo

en Geometría I : para motivar la prueba formal

I Un dibujo visto como una figura genérica

Una ruptura con el ETG personal de los estudiantes

I Para construir con herramientas es complejo y necesita un

largo tiempo

I Debido a la diversidad de los resultados, una gran

diversidad de propiedades son elaboradas por los alumnos

I Una figura particular sin generalización supporte del

trabajo

Malentendido y contrato didáctico

I El trabajo de construcción realizado por los estudiantes es

ignorado por el profesor

I El sofware como fuente de la Verdad

I La conjetura como base del acuerdo entre todos.

I Prueba experimental y prueba basada sobre axiomas

Circulación and planificación

Circulación and planificación

I Sólo una tarea no permite describir y construir un ETM

I La necesidad de articulación y de planificación

I “Comics” como una herramienta de descripción

Trabajo matemático : completud y coherencia

1. El trabajo matemático puede ser considerado completo

pero al mismo tiempo es incorrecto al respecto al modelo anterior que no da el mismo resultado.

Oposición discreta / continua. Resultados diferentes de un modelo a otro.

2. Cuando hablamos de un trabajo matemático completo. ¿A

quién concierne ? El maestro, los alumnos, un alumno de nivel medio y global al que el profesor se dirige curso.

3. ¿Cuál es la referencia para la coherencia ?

¿Como asegurar la coherencia ?

En busca de los paradigmas

Con la noción de paradigmas, Kuhn ha ampliado la idea de una teoría para incluir a los miembros de una comunidad que comparten una teoría común.

Un paradigma es lo que comparten los miembros de una comunidad científica, y una comunidad científica es compuesta de individuos que comparten un paradigma.

La noción de paradigma según Kuhn

Dos facetas de la noción de paradigma

1. La palabra paradigma, en su aspecto global, designa el

conjunto de las creencias, técnicas y valores que comparte un grupo científico.

Fija la manera correcta de plantear y de emprender la resolución de un problema.

2. En el segundo sentido, interesando en una perspectiva de

enseñanza, Kuhn caracteriza los ejemplos significativos y comunes que se entregan a los estudiantes para que aprendan a reconocer, a aislar y a distinguir las diferentes entidades constitutivas del paradigma global.

Las tres geometrías elementales

La Geometría I Geometría Natural

La geometría sobre los objetos reales y confusión con la realidad

La Geometría II G. axiomática natural

La geometría como el esquema de la realidad

La Geometría III G. axiomática formal

Independencia de la geometría y de la realidad.

Paradigmas en otros dominios matemáticos

Algunas preguntas de investigación

I En un dominio matemático específico, identificar los

paradigmas y / o subparadigmas.

I Cómo extender la noción de paradigma en otros dominios

como Probabilidad y Análisis : Parzysz (Probabilidad) y Montoya y Vivier (Análisis).

I Extender el significado inicial de paradigmas incluyendo

interacciones entre paradigmas

I En un contexto educativo, identificar tareas y actividades

relacionadas que faciliten la construcción del trabajo matemático.

Trabajo matemático completo y coherente dentro una

institución

El ETM de referencia, la reorganización esperada La vigilancia epistemologica relacionada con un paradigma particular

El ETM idonéo y la pregunta didactica

When the general paradigm is accepted and the reference MWS is built, it remains to teach mathematics to students and for that it’s necessary to organize a suitable MWS to convey the kind of geometry expected by the educational institution.

theDidactic vigilance which articulates epistemological and

cognitive vigilances depending on the teacher. Relationships with students (individual or global).

Más allá de la identificación : construcción de un MWS

El modelo de ETM y estudio de tareas, ETM4, 2014

I El modelo de los ETM, concebido como la circulación de

espacios entre polos en los planos epistemológico y cognitivo, debería ser una herramienta del análisis (a priori tanto como a posteriori).

Una herramienta de interpretación y descripción de tareas.

I El modelo debe permitir la implementación y la adaptación

de las tareas ya construidas pero también debe favorecer la elaboración y “calibración” de nuevas situaciones, o de situaciones que aún deben ser experimentadas.

I Finalmente, también puede apoyar la observación y dar

tener en cuenta los experimentos ya realizados haciendo el examen más fácil, por ejemplo ayudando a la

descripción del progreso de los alumnos en su trabajo matemático, considerando a los alumnos aislados o en grupos.

Una necesaria articulación con otros marcos teóricos

I Teniendo en cuenta el modelo MWSS como una estructura

adaptativa para desarrollar las actividades matemáticas, debemos pensar en las tareas y actividades que dan sentido a los ETM.

I Las tareas y las actividades son ciertamente indicativas

del trabajo de los maestros y de los alumnos, pero también son necesarias para asegurar el desarrollo de un trabajo matemático de los alumnos bien construido.

I El diálogo entre el marco ETM y otros marcos teóricos. De

hecho, insistimos en que el marco MWS no pretende ser una teoría holística, sino que debe funcionar como una herramienta interactuando fuertemente con otros approximaciones.

Una breve bibliografía

I Special issue of ZDM-Mathematics Education on

Mathematical Working Spaces : Number 48-6 - 2016.

I Revista Latinoamericana de Investigación En Matemática

Educativa, 17.4(I, II). 2014

I Boletim de Educação Matemática – BOLEMA, 30 (54).

2016

I Annales de didactique et de sciences cognitives. 2011

I ETM symposium proceedings (Cyprus, 2009 ; Paris, 2010 ;

Montréal ; 2012, Madrid ; 2014)

Los symposiums Espacio de Trabajo Matemático :

ETM

Bienvenido en Valparaíso, ETM6

Deciembre 2018

Responsables : Elizabeth Montoya (PUCV) y Laurent Vivier (Paris-Diderot)