Solución numérica de la ecuación no lineal de Schrödinger

Solución numérica de la ecuación no lineal de Schrödinger

smendoza@unach.mx, chica_0907@hotmail.com, jcamas@ittg.edu.mx

CEFyMAP/UNACH

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RESUMEN

En este trabajo mostramos la simulación de la propagación de pulsos temporales en un medio no lineal dispersivo, como es el caso de una fibra óptica. Esta simulación consiste en cambiar la condición inicial para la solución de la ecuación no lineal de Schrödinger la cual modela la propagación de ondas en una fibra óptica, empezando con una onda tipo secante hiperbólico la cual sabemos es solución de ésta ecuación (solitón temporal) con lo que en su propagación dicho pulso hiperbólico no se modifica, esto ocurre porque existe un balance entre la dispersión y la no linealidad del medio de propagación, siempre y cuando sea un solitón fundamental, también se analizara el comportamiento cuando se tengan solitones de altos órdenes. Posteriormente se cambia esta onda por una tipo Gaussiana y analizaremos que sucede en la propagación. Posteriormente usaremos como condición inicial dos ondas tipo secante hiperbólico con una fase y separación relativa y observaremos lo que sucede en la propagación al cambiar tanto la fase como la amplitud de éstas. Comprendiendo así, la relación entre la fase y la amplitud de los solitones. Para llevar a cabo este análisis, se utiliza el algoritmo de Split Step Fourier con el software de Matlab.

PALABRAS CLAVE: Fibras ópticas, óptica no lineal, solitones temporales, ecuación no

lineal de Schrödinger, simulaciones.

1 INTRODUCCIÓN

Un solitón es una onda solitaria que se propaga sin deformarse en un medio no lineal, su existencia fue predicha teóricamente por Hasegawa y Tappert en 1973 [1], y fueron producidos experimentalmente por primera vez en 1980 por Mollenauer, Stollen y Gordon, de los laboratorios Bell [2], los solitones ópticos como no se deforman los hace ideales para transmitir información a grandes distancias en medios no lineales. Existen dos tipos fundamentales: solitones ópticos espaciales, temporales y espaciotemporales [3].

Los solitones temporales son pulsos de luz que bajo ciertas condiciones se desplazan sin distorsión a cualquier distancia, los solitones Espaciales son haces estacionarios de luz robusto, auto – guiados que se propagan sin presentar distorsión en ciertos medios ópticos y exhiben comportamiento como las partículas y los solitones espacio-temporales se conocen también como “balas de luz”. Son señales de luz tridimensionales enfocadas – no difractivas, de pulso no dispersivo y autoatrapadas. [4]

En los solitones temporales, para compensar la dispersión se alternan fibras ópticas “complementarias” de forma que la distorsión que se genera en un tramo, es compensada por la no linealidad que se genera en el otro, de tal forma que la forma media del solitón se conserva en grandes distancias. Sin embargo, los solitones se pueden atenuar y para recuperar su forma se

utilizan amplificadores que muchas veces, son causa de ruido, que es generado por la automodulación de fase (SPM) [3,5].

En el contexto de fibras ópticas, la Inestabilidad Modulacional (MI) requiere de la dispersión anómala y se manifiesta como ruptura de radiación de onda continua (cw) en un tren de pulsos ultracortos. La dispersión anómala es también necesaria para solitones ópticos. En efecto, la relación estrecha entre inestabilidad modulacional y solitones se observó en los primeros trabajos, como lo muestra R.R. Alfano et al [5].

Para el caso de solitones fundamentales, la dispersión por velocidad de grupo (GVD) y la automodulación de fase (SPM) se equilibran entre sí, de tal manera que ni la forma de pulso ni el espectro del pulso cambiara a lo largo de la longitud de la fibra. En el caso de solitones de mayor orden SPM es quien domina al principio haciendo que el pulso se contraiga pero GVD lo alcanza y lleva a la dispersión del pulso, posteriormente vuelve a aparecer SPM, lo que hace que la trayectoria del pulso solitónico de altos órdenes su contracción y dispersión sea periódica [5].

Para comprender como se propaga un pulso en una fibra óptica, podemos utilizar la ecuación no lineal de Schrödinger y resolverla numéricamente utilizando un algoritmo numérico, los pseudoespectrales son los más utilizados para este fin. En este trabajo se utilizó el método de Split Step Fourier y como lenguaje de programación el Matlab.

2 TEORÍA

Para simular todos los efectos no lineales y lineales que intervienen en una fibra óptica cuando por esta se propaga un haz de alta potencia se debe solucionar la Ecuación No lineal de Schrödinger (NLSE), con la cual podemos modelar los efectos no lineales que sufre un pulso al transmitirse en un medio no lineal y dispersivo como las fibras ópticas, entre los efectos que se pueden estudiar con la NLSE están la automodulación de fase (SPM), modulación de fase cruzada (XPM), efecto Raman (SRS), efecto Brillouin (SBS), self-steepening (SS), inestabilidad modulacional (MI), autocorrimiento de frecuencias (SFS) y dispersión por velocidad de grupo (GVD), para ello se debe utilizar la ecuación no lineal de Schrödinger generalizada.

La NLSE se obtiene de las ecuaciones de Maxwell, a partir de algunas suposiciones, algebra vectorial y transformadas de Fourier se puede llegar a dicha ecuación, la cual se muestra continuación [2, 4, 8]:

| | (1) Esta ecuación es la ecuación no lineal de Schrödinger generalizada, en la cual la derivada de primer orden con respecto al tiempo es dispersión, la de segundo orden es dispersión por velocidad de grupo, y la de tercer orden es la dispersión por velocidad de grupo de altos órdenes.

En el lado derecho de la ecuación (1), se manifiesta la SPM, donde

que es el

coeficiente no lineal para la fibra óptica. Si se utiliza un marco de referencia el cual se mueve con el pulso a la velocidad de grupo y si la pérdida y la dispersión de altos órdenes son ignoradas, la ecuación toma la forma:

| | (2)

Para resolver la NLSE, Zakharov y Shabat usaron el método scattering inverso [5,6]. Este método tiene similitud al método de la transformada de Fourier usado comúnmente para resolver ecuaciones diferenciales parciales lineales. Esta aproximación consiste en identificar el problema scattering adecuado cuyo potencial es la solución buscada. Utilizando este método, se puede encontrar bajo ciertas condiciones una solución analítica que es una secante hiperbólica.

Como la NLSE generalmente no se puede resolver analíticamente, se debe utilizar un método numérico, para encontrar una solución aproximada, para ello se debe tener una condición inicial, la cual se puede tomar la secante hiperbólica determinada anteriormente y utilizar un

método numérico que resuelva ecuaciones diferenciales parciales como la NLSE como el método de Split Step Fourier [7]. La eficiencia de este método depende tanto de la resolución en tiempo (o frecuencia) y de la distribución de pasos a lo largo de la fibra.

Las simulaciones de los sistemas de transmisión de fibra óptica, el tiempo y las resoluciones de frecuencia, respectivamente son determinadas por el ancho de banda de la señal y el número de bits que se propaga a través del sistema [8,10].

Para el método numérico utilizado en este trabajo es conveniente representar la ecuación (2) de la forma:

(3)

Donde

es el operador de dispersión y | | es el operador no lineal.

Este método numérico tiene dos formas para resolver la NLSE, el convencional y el simetrizado, la diferencia entre ellos es el error, el simetrizado tiene un margen de error menor que el convencional, solo que se requiere un mayor tiempo de cómputo en la solución de la ecuación.

En el esquema simetrizado de Split Step, la solución de se aproxima a , aquí es el tamaño del paso. También es necesario normalizar la ecuación (3) con [5]:

√ (4)

Para obtener la siguiente ecuación:

| | (5)

Donde es la potencia pico, es el ancho del pulso incidente y el parámetro , dependiendo en el signo del parámetro en GVD, longitud de dispersion,

longitud no lineal.

Como se mencionó anteriormente la solución , indica que si un pulso secante hiperbólico, cuyo potencia y ancho de pulso son tal que , y se introduce en una fibra óptica ideal sin perdida, el pulso se propaga sin distorsión, sin cambio de forma arbitraria para cualquier distancia de propagación. Esta característica de solitón fundamental los hace atractivos para la transmisión de información en sistemas de comunicaciones ópticas.

3 RESULTADOS NUMÉRICOS

En esta sección mostraremos los resultados obtenidos al solucionar la ecuación no lineal de Schrödinger utilizando para ello varias condiciones de entrada. Primeramente, utilizamos como condición inicial una secante hiperbólica, y el resultado es el siguiente.

Figura 1.Propagación de un pulso secante hiperbólica.

Como se observa en la gráfica de la figura 1, al hacer propagar un pulso tipo secante hiperbólico, este se propaga sin ninguna distorsión, debido que este pulso es la solución de la NLSE, por lo que se considera como un solitón temporal, ya que existe un equilibrio entre la dispersión y la no linealidad, como se había mencionado previamente.

Figura 2.Propagación de un pulso tipo gaussiana.

Como podemos notar en la figura 2, al propagar un pulso gaussiana mediante la NLSE este se atenúa drásticamente, indicando con esto que un pulso gaussiana no es un solitón.

Ahora en la ecuación (5) haciendo , con lo cual obtendremos un solitón de segundo orden, usando como condición inicial de una secante hiperbólica, se obtiene la gráfica que se muestra en la figura 3.

Figura 3.Solitón de segundo orden.

En esta gráfica se observa como el pulso primero se comprime, esto debido a que empieza a ganar la no linealidad a través de la SPM, pero después de cierta distancia de propagación entra en juego la dispersión y ensancha el pulso, pero sin lograr llevarlo a su forma original, porque luego aparece nuevamente SPM, haciendo que el proceso sea periódico como se puede observar.

Figura 4.Solitón de tercer orden.

Si ahora hacemos que , lograremos tener un solitón de tercer orden, en el cual la no linealidad es superior a la dispersión, la gráfica se muestra en la figura 4.

En esta figura, podemos observar como la no linealidad es la preponderante en la propagación de este pulso, con lo que tenemos la semilla para un fenómeno no lineal llamado

rompimiento del pulso, dando lugar después a un autocorrimiento de frecuencias, que en esta gráfica todavía no se logra apreciar.

El paso siguiente es estas simulaciones es observar lo que sucede cuando hacemos incidir dos pulsos tipo secante hiperbólica, es decir dos solitones fundamentales ( ), pero con fase relativa de 0°, el resultado se muestra a continuación.

Figura 5.Interacción de dos solitones

Cuando se introducen don ondas tipo solitones separados un tiempo, y se hacen propagar, estos tienden a colisionarse periódicamente, es decir, las ondas se fusionan pero luego vuelven a sus formas originales, manteniendo su energía intacta.

Si ahora cambiamos la fase relativa de estos solitones fundamentales, tenemos los siguientes resultados:

(a)

(b)

Figura 6.Interacción de dos solitones con fase distinta de 0°.

En la figura 6a, se muestran dos solitones fundamentales pero con fase relativa 45° y la figura 6b es de -45°. En ambas graficas podemos observar que en la propagación de 0 a 50 se tiene un efecto oscilatorio debido a SPM, y posteriormente estos pulsos se separan al propagarse.

Para obtener estos resultados se utiliza como condición inicial la siguiente ecuación , donde la separación son de 7 unidades de tiempo, con una fase de .

La interacción de solitones puede ser modelado por la siguiente ecuación:

(6) La cual se obtiene como parte de la solución de la NLSE cuando esta se soluciona por el método de scattering inverso:

Al solucionar esta ecuación diferencial, obtenemos la siguiente ecuación:

(7) Donde es la separación relativa entre dos solitones temporales y , que es la fase relativa entre estos solitones. La gráfica de esta ecuación se muestra en la figura 7.

Figura 7.Interacción de dos solitones.

En esta gráfica se puede corroborar las gráficas anteriores, es decir, cuando los solitones tienen una fase de cero grados, estos tienden a colisionarse periódicamente, sin embargo, cuando tienen una fase relativa distinta de cero, estos se separaran.

4 CONCLUSIONES

En este trabajo se mostraron primeramente la solución de la NLSE, la cual es una onda tipo secante hiperbólica, y cuando simulamos la propagación de esta onda, esta se propaga sin distorsión alguna, debido a un equilibrio entre no linealidad y dispersión. Cuando se cambia esta solución por una gaussiana esta simplemente se atenúa drásticamente, corroborando que esta no puede ser solución de la NLSE. Una vez corroborado lo anterior, se hicieron la propagación de un par de solitones con cierta separación temporal, cuando tienen fase cero, estos colisionan periódicamente, es decir, se fusionan y después se separan sin que haya algún cambio en estos. Cuando se tiene una fase relativa distinta de cero, estas ondas se separan drásticamente como se

indica en las gráficas de la figura 7. Como conclusión de este trabajo podemos mencionar la gran aplicación que tienen las ondas solitarias en comunicaciones ópticas ya que se pueden propagar grandes distancias sin distorsión alguna, como se muestra en la figura 1.

5 AGRADECIMIENTOS

Los autores agradecen al PIFI 2013 (CEFyMAP-UNACH), por el apoyo otorgado para la realización y presentación de este trabajo.

REFERENCIAS

[1]. A.Hasegawa and F.Tappert, “Transmission of Stationary Nonlinear Optical Pulses in Dispersive Dielectric Fibers I. Anomalous Dispersion”, Appl. Phys. Lett. 23, 142-144 (1973). [2]. Govind P. Agrawal, “Nonlinear fiber Optics”, Cap. 8, pp. 237-245, Ed. Academic Press, Inc,

(1989).

[3]. Robert W. Boid, “Nonlinear Optics”, Cap. 6, pp. 241-286, Ed. Academic Press, Inc, (1992). [4]. Eugene Hecht, “Óptica”, Cap. 3, pp. 37-80, Ed. Addison Wesley, (2000).

[5]. V.E. Zakharov and L.D. Faddeev, Korteweg-deVries Equation: A Completely Integrable Sys-tem, Funct. Anal. Appl.5, (1972), 280-287.

[6]. V.E. Zakharov and A.B. Shabat, Exact Theory of Two-Dimensional Self-Focusing and One-Dimensional Self-Modulation of Waves in Nonlinear Media, Soviet Phys. JETP 34 (1972), 62-69

[7]. R. R. Alfano, P. L. Baldeck, F. Raccah and P. P Ho, “Cross phase modulation measured in optical fibres”, Appl. Opt., Vol. 26, No. 17, pp. 3491-3492, (1987).

[8]. R. H. Stolen, E. P. Ippen, “Raman gain in glass optical waveguides”, App. Phys. Lett, Vol. 22, No. 6, pp. 276-278, (1973).

[9]. Y. D. Gong, P. Shum, D. Y. Tang, C. Lu, X. Guo, “660GHz soliton source based on modulation instability in a short cavity”, Optics Express, Vol. 11, No. 20, pp. 2480-2485, (2003).

[10]. Ekaterina A. Golovchenko, “Modulational instability and Raman scattering in optical fibers”, (1991).