Medidas de Concentración

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Medidas de Concentraci´

on

Adaptado de http://www.eumed.net/cursecon/7/Lorenz-Gini.htm

2.1. Como estudiar la concentraci´

on del Ingreso?

Cuando observamos el ingreso de una población en general el ingreso tiene una distribución muy asimétrica, que se parece a la curva de Pareto. Una de las carac-terizaciones más simples de la distribución de Pareto, cuando se usa para modelar la distribución de riqueza, dice que la proporción de la población cuya riqueza excede cualquier número positivo x > xm es:

�xm

x �α

(2.1) donde xm es la riqueza de la gente m´as pobre (el sub´ındice m signiﬁca m´ınimo).

El ´ındice de Pareto es el parámetro α. Cuanto más grande sea el ´ındice de Pareto, más pequeña será la proporción de gente muy rica.

Pero alcanza con ver solamente la distribuci´on para ver si existe concentraci´on del Ingreso? Veamos el siguiente ejemplo

Ejemplo 8 Se conocen los siguientes datos de la Encuesta Continua de Hogares de 1996 de un pa´ıs, relativos a la distribuci´on por ingreso per c´apita del hogar (en SMN) de 9470 estudiantes universitarios.

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Curva de Lorenz e Indice de Gini x� i−1− x�i n(xi) xi xi∗ n(xi) h(xi) F (x�i) t(xi) T (x�i) 0-2 5578 1 5578 0.589 0.589 0.259 0.259 2-4 2804 3 8412 0.296 0.885 0.390 0.649 4-6 680 5 3400 0.072 0.957 0.158 0.806 6-8 219 7 1533 0.023 0.980 0.071 0.877 8-10 103 9 927 0.011 0.991 0.043 0.920 10-30 86 20 1720 0.009 1.000 0.080 1.000 9470 21570 1.000 1.000

2.2. Curva de Lorenz e Indice de Gini

La curva de Lorenz es una forma gráfica de mostrar la distribución de la renta en una población. En ella se relacionan los porcentajes acumulados de población con porcentajes acumulados de la renta que esta población recibe. En el eje de abci-sas se representa la población ’ordenada’ de forma que los percentiles de renta más baja quedan a la izquierda y los de renta más alta quedan a la derecha. El eje de ordenadas representa las rentas.

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En la gráfica se muestran como ejemplo la representación de dos pa´ıses imagi-narios, uno en azul y otro en rojo. La distribución de la renta en el pa´ıs azul es más desigual que en el pa´ıs rojo. En el caso del pa´ıs azul, el cuarenta por ciento más pobre de la población recibe una renta inferior al veinte por ciento del total del pa´ıs. En cambio, en el pa´ıs rojo, el cuarenta por ciento más pobre recibe más del veinte por ciento de la renta. La l´ınea diagonal negra muestra la situación de un pa´ıs en el que todos y cada uno de los individuos obtuviese exactamente la misma renta; ser´ıa la equidad absoluta.Cuanto más próxima esté la curva de Lorenz de la diagonal, más equitativa será la distribución de la renta de ese pa´ıs.

Figura 2.2: Curva de Lorentz

Otra forma de observar la curva de Lorenz es estimando el área de la superficie que se encuentra entre la curva y la diagonal. Esa superficie se llama área de con-centración. En la segunda gráfica la hemos rellenado de color rosado. Cuanto mayor sea esta área más concentrada estará la riqueza; cuanto más pequeña sea esta área, más equitativa será la distribución de la renta del pa´ıs representado.

El ´ındice de Gini, es un ´ındice de concentraci´on de la riqueza que se calcula de la siguiente manera

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Curva de Lorenz e Indice de Gini IG= i=n−1_� i=1 (F (x� i)− T (x�i)) i=n−1_� i=1 F (x� i) (2.2) Cuando la renta esta repartida por igual, es decir que la concentraci´on es m´ınima F (x�

i) = T (x�i), entonces tenemos que

IG = 0 i=n−1_� i=1 F (x� i) = 0

Cuando hay un solo individuo o grupo que concentra todo el ingreso queda IG= i=n−1_� i=1 F (x� i)− 0 i=n−1_� i=1 F (x� i) = 1 Por lo tanto para IG su valor estar´a entre cero y uno.

Otra forma alternativa de calcular el IG es en funci´on de la Curva de Lorenz (CL)

IG = 2_{∗ ACL} (2.3) Si la concentraci´on es m´ınima la CL coincide con la diagonal y el ´area del nu-merador es O y por lo tanto IG = 0.

Existen 2 valores asociados al ingreso que son

La mediana del ingreso, que representa el menor valor para el cual la mitad de las familias tienen un ingreso menor o igual a ese valor, y la mitad de las familias tienen un ingreso mayor o igual al mismo.

La medial o mediala, que debe considerarse como el valor tal que las familias que tienen ingresos menores o iguales al mismo, representan la mitad del ingreso total de las familias, y las familias que tienen ingresos mayores o iguales a la medial tienen tambi´en la mitad del ingreso total.

Volviendo al ejemplo de los estudiantes universitarios Como queda la curva de Lorenz?

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y la Mediala?

Figura 2.3: Curva de Concentraci´on para gasto en educaci´on

2.3. Otras medidas de Concentraci´

on

Otra forma de medir la equidad en el reparto de una magnitud económica es a través de medidas de entrop´ıa que sirve para medir el grado de desorden o de uniformidad en una distribución . Si por ejemplo tenemos n personas que tiene cada uno x1, x2, x3, ..., xn rentas (podr´ıan ser sueldos) de manera que tenemos

i=n

�

i=1

xi = X (2.4)

donde X es la renta acumulada o total. Podr´ıamos calcular el % de renta que le corresponde a cada uno como

pi =

xi

X (2.5)

Entonces tenemos que

i=n

�

i=1

pi = 1 = 100 %

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Otras medidas de Concentraci´on HN(x) = − i=n � i=1 pilog(pi) = i=n � i=1 pilog( 1 pi ) (2.6) Si analizamos ese ´ındice tenemos

HN(x) es siempre positivo ya que log(pi)≤ 0

Cuando las rentas se reparten por igual tenemos pi = _n1 con lo cual i=n � i=1 pilog( 1 pi ) = i=n � i=1 1 nlog( 1 1/n) = log(n)

Cuando hay m´axima concentraci´on, es decir que hay un pi = 1 con lo cual los

restantes pj con i�= j se puede probar que

HN(x) = i=n � i=1 pilog( 1 pi ) = 0 + 0 + ... + 1,0.. + 0 = 0

Teniendo en cuentas las 2 situaciones anteriores se puede decir que el rango de variaci´on es

0 < HN(x)≤ log(n)

A partir de este ´ındice, Theil propone la entrop´ıa como una medida de la equidad en la distribuci´on de magnitudes econ´omicas. Sin embargo este indicador depende de la cantidad de observaciones n.

Se pueden construir 2 medidas de desigualdad pero de manera que cuando sea m´ınima valga 0 y sea m´axima para log(n)

T = log(n)− Hn(x) (2.7)

Este nuevo indicador se llama redundancia y es opuesta a la entrop´ıa. Para subsanar el problema de la dependencia del valor de la entrop´ıa en funci´on de n, se puede relativizar, con lo cual queda la redundancia relativa que es

Tr =

log(n_{− H}n(x))

log(n) = 1−

Hn(x)

log(n), 0≤ Tr < 1 (2.8) que permite comparar 2 situaciones con cantidades de rentas diferentes.

Ejemplo 9 Cuanto vale el coeﬁciente de concentraci´on de Theil para la siguiente serie de valores que le corresponden a una serie de herederos

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Valor de la herencia pi log(pi) log(pi)pi 40000 0.1429 -0.8449 -0.1207 21000 0.0750 -1.1249 -0.084 89000 0.3178 -0.4978 -0.1582 115000 0.4107 -0.3864 -0.1587 15000 0.0536 -1.2700 -0.0681 280000 1.00 -0.5901 Podemos calcular T = log(n)− i=n � i=1 pilog(pi) = log(5)− 0,5901 = 0,1087

Con este valor podemos decir que la reduncia relativa es de Tr = 0,1087_0,6989 = 0,1556

2.3.1. Quintile y Decile share ratio

Se puede deﬁnir

S10 es la renta media de individuos que tienen un ingreso inferior al primer

decil x1/10

S20 es la renta media de individuos que tienen un ingreso inferior al segundo

decil x2/10

S80 es la renta media de individuos que tienen un ingreso superior al octavo

decil x8/10

S90 es la renta media de individuos que tienen un ingreso superior al noveno

decil x9/10 QSR = S80 S20 (2.9) DSR = S90 S10 (2.10)

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Aplicaciones con la librer´ıa ineq

2.4. Aplicaciones con la librer´ıa ineq

La librer´ıa ineq permite calcular varias indices de concentracion y hacer la curva de Lorenz. Veamos el ejemplo 9 hecho en el R, calculando en forma manual y luego con las funciones de la librer´ıa

library(ineq)

#En esta libreria se pueden manejar diferentes indices para medir desigualdad #Gini(x)

#RS(x)

#Atkinson(x, parameter = 0.5) #Theil(x, parameter = 0) #Kolm(x, parameter = 1)

#var.coeff(x, square = FALSE) #entropy(x, parameter = 0.5) herencia<-c(40000,25000,89000,115000,15000) herencia<-data.frame(herencia) herencia suma.herencia<-sum(herencia$herencia) p.i<-herencia$herencia/suma.herencia sum(p.i) log.p.i<-log(p.i) log.p.i_p.i<-log.p.i*p.i tabla.herencia<-cbind(herencia,p.i,log.p.i,log.p.i_p.i) tabla.herencia Theil1<-log(nrow(tabla.herencia))+sum(tabla.herencia[,4]) Theil1 ineq(herencia,type=c("Theil")) Los resultados son

> herencia herencia 1 40000 2 21000

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3 89000 4 115000 5 15000 > suma.herencia<-sum(herencia$herencia) > p.i<-herencia$herencia/suma.herencia > sum(p.i) [1] 1 > log.p.i<-log(p.i) > log.p.i_p.i<-log.p.i*p.i > tabla.herencia<-cbind(herencia,p.i,log.p.i,log.p.i_p.i) > tabla.herencia

herencia p.i log.p.i log.p.i_p.i 1 40000 0.14285714 -1.9459101 -0.2779872 2 21000 0.07500000 -2.5902672 -0.1942700 3 89000 0.31785714 -1.1461532 -0.3643130 4 115000 0.41071429 -0.8898575 -0.3654772 5 15000 0.05357143 -2.9267394 -0.1567896 > Theil1<-log(nrow(tabla.herencia))+sum(tabla.herencia[,4]) > Theil1 [1] 0.2506009 > ineq(herencia,type=c("Theil")) [1] 0.2506009

Tenemos ahora otro ejemplo con datos provenientes de uan encuesta sobre in-gresos hecha por la oﬁcina estadistica de Filipinas (ejemplo estra´ıdo de la librer´ıa ineq)

Son 632 hogares de los cuales se consideran los pertenecientes a 2 provincias data(Ilocos)

attach(Ilocos) summary(Ilocos)

## se seleccionan los ingresos de las provincias "Pangasinan" y "La Union" income.p <- income[province=="Pangasinan"]/10000

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Aplicaciones con la librer´ıa ineq

income.u <- income[province=="La Union"]/10000 ## se calcula la curva de Lorenz

Lc.p <- Lc(income.p) Lc.u <- Lc(income.u) plot(Lc.p)

lines(Lc.u, col=2)