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Unidad 11:
LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS
EJERCICIOS PROPUESTOS
(11 ejercicios obligatorios para entregar el día del examen de la segunda evaluación o de su recuperación)
Para estudiar la continuidad (entre otras cuestiones) introducimos una herramienta que es el cálculo de límites.
En el siguiente video te muestran qué significan los límites cuando se tiene delante la gráfica de una función. (La visión de este video es obligatoria para ti si pretendes entender qué es esto de los dichosos límites)
Ejercicio 11 – 1 .-
Dibuja en tu cuaderno la función y el valor de los límites laterales y en el infinito que aparecen en este video. Video 11 – 1 – 1 :
Unidad 11 Página 2 Comenzamos con los limites en el infinito positivo. Tenemos varios gráficos posibles:
Caso 1: Limites en el infinito positivo
Como ves este límite hace referencia al comportamiento de la curva cuando se desplaza hacia la derecha.
Seguimos con el limite en el infinito negativo. Tenemos otros también varias situaciones distintas:
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Como ves este límite hace referencia al comportamiento de la curva cuando se desplaza hacia la izquierda. Y estos son sólo algunos de los casos posibles.
Caso 3. Limites en un valor de x concreto
Como puedes observar hay tres posibilidades: que algún limite sea infinito, esto quiere decir que la función sube hasta el infinito o baja hasta el infinito; que sean distintos los límites laterales; y por último, que los dos limites laterales sean iguales.
En tu libro encontrarás representados gráficamente los límites, estúdialos con atención.
Unidad 11 Página 4 Ejercicio 11 – 2 .-
Ejercicio 11 – 3 .-
Ejercicio 11 – 4 .-
Una idea para grabar a fuego en tu frente: CUALQUIER LIMITE SE RESUELVE DE FORMA INTUITIVA CON LA CALCULADORA.
Por si no te ha quedado claro te lo repito: CUALQUIER LIMITE SE RESUELVE DE FORMA INTUITIVA CON LA CALCULADORA.
Unidad 11 Página 5 Por lo tanto, calcular límites es algo tan sencillo como saber usar bien la calculadora. Si no la manejas bien, pues revisa el archivo anexo de uso de la calculadora científica. Ponte a ello, pero ya. Ejemplos: Sea la función
I) Calcula el
Nos acercamos a 0 dando a x valores por la derecha o por la izquierda: Por ejemplo, demos valores a su derecha, es decir, positivos:
. Ahora otra más cercano a
cero.
No hace falta dar más valores a x, pues al aparecer muchos nueves deducimos que estos valores de la función se aproximan cada vez más a uno. Así concluimos que
Para confirmar que este limite también vale 1 si nos acercamos por la izquierda damos valores, por ejemplo:
Pues parece que así es, también se aproximan estos valores hacia 1. ii) Calcula el
Nos acercamos a -1 dando a x valores por la derecha o por la izquierda: Por ejemplo, demos valores a su derecha, es decir, mayores de menos uno:
No hace falta dar más valores a x, pues no aparecen decimales y no se aproximan hacia nada deducimos que estos valores de la función se alejan cada vez más hacia valores grandes. Así concluimos que
Para confirmar que este limite también vale infinito positivo si nos acercamos por la izquierda damos valores, por ejemplo:
Pues parece que estábamos equivocados, estos valores no se alejan hacia el infinito positivo sino hacia el infinito negativo.
Unidad 11 Página 6 El límite de la función cuando x se aproxima a -1 por la DERECHA vale infinito positivo, Y esto lo escribimos así:
(EL EXPONENTE + NOS PUEDE CONFUNDIR, TIENES QUE INTERPRETARLO COMO DERECHA)
El límite de la función cuando x se aproxima a -1 por la IZQUIERDA vale infinito positivo, y esto lo escribimos así:
(EL EXPONENTE - NOS PUEDE CONFUNDIR, TIENES QUE INTERPRETARLO COMO IZQUIERDA)
Existen otros procedimientos de cálculo para NO tener que calcular un límite de esta manera como hemos procedido aquí, mira qué fácil:
Sea la función
En este último caso hay que estudiar por la derecha y por la izquierda, para descubrir el signo del infinito.
Cuando se produce la indeterminación existen diversos procedimientos para resoverla. Uno de ellos es el que hemos visto más arriba usando la calculadora. Las indeterminaciones las
estudiaremos en la unidad siguiente utilizando las derivadas.
(Entiende que los límites te pueden resultar algo extraño pero que calcular un límite no te va a suponer ninguna dificultad)
Ejercicio 11 – 5 .-
Ahora realiza tú los cálculos por la derecha y por la izquierda como en el ejemplo anterior y calcula
Unidad 11 Página 7 No te propongo ningún ejercicio porque estos límites los calcularemos más adelante cuando conozcamos la derivada de una función.
Una idea para grabar a fuego en tu frente: CUALQUIER LIMITE SE RESUELVE DE FORMA INTUITIVA CON LA CALCULADORA.
Por si no te ha quedado claro te lo repito: CUALQUIER LIMITE SE RESUELVE DE FORMA INTUITIVA CON LA CALCULADORA.
Por lo tanto, calcular límites es algo tan sencillo como saber usar bien la calculadora. Si no la manejas bien, pues revisa el archivo anexo de uso de la calculadora científica. Ponte a ello, pero ya.
Ejemplos: Sea la función
(esta función es un cociente de polinomios, no es
un polinomio sino una función más complicada, pero nos viene bien para este
ejemplo)
II) Calcula el
Nos acercamos a infinito positivo dando a x valores cada vez más grandes: Por ejemplo:
No hace falta dar más valores a x, pues deducimos que estos valores de la función se aproximan cada vez más a cero. Así concluimos que
Unidad 11 Página 8 III) Calcula el
Nos acercamos a infinito negativo dando a x valores cada vez más grandes. Por ejemplo:
No hace falta dar más valores a x, pues deducimos que estos valores de la función se aproximan cada vez más a cero. Así concluimos que
Atento al siguiente procedimiento para resolver este tipo particular de limites de cociente de polinomios. Cuidado: este procedimiento sólo es válido cuando los límites son en infinito positivo o infinito negativo.
Unidad 11 Página 9 A continuación te voy a mostrar un problema con enunciado en el que se utilizan los límites cuando x tiende a infinito para resolver la última cuestión.
Unidad 11 Página 10 Las funciones definidas a trozos, que estudiamos el curso pasado, no son muy diferentes a las otras cuando calculamos límites. La única precaución que debemos tomar es elegir bien en cual de las ramas o trozos se calcula el límite. Por ejemplo:
Si nos piden calcular el limite cuando x tiende a menos infinito tomamos la rama de arriba.
Si nos piden calcular el limite cuando x tiende a mas infinito tomamos la rama de abajo.
Si nos piden calcular el limite cuando x tiende a 1 debemos estudiar los límites laterales. Primero tomamos la rama de arriba (es la izquierda de 1 pues x<1 indica números menores de 1).
Ahora vamos a calcular el limite cuando x tiende a 1 por la derecha y tomamos la rama de abajo.
Como los dos límites laterales coinciden podemos decir que existe el límite cuando x tiende a 1 y vale dos.
Imaginemos que la función relacionase la temperatura dentro de una habitación a lo largo del tiempo . Que la función sea continua significa que a pequeñas variaciones de tiempo corresponden pequeñas variaciones en la temperatura. Una
Unidad 11 Página 11 de la habitación. Pensamos que los fenómenos de la naturaleza se comportan de forma continua cuando estudiamos sus variaciones a lo largo del tiempo.
En tu libro de texto encontrarás la representación gráfica de las discontinuidades. Veamos un ejemplo:
Estudiemos la función representada arriba:
- En x = 0 la curva de la función presenta un agujero, a esto se llama discontinuidad evitable. - En x = 1 la curva presenta un salto (pasa de valer casi 2 de altura a bajar súbitamente a -1 de
altura). A esta discontinuidad se le llama de salto finito.
- En x = 2 la curva no se corta y decimos que la función es continua, Lo mismo ocurre en x = 3.
Esta otra función presenta en x = 2 una discontinuidad de tipo hipérbola, es decir que para valores de x cercanos a 2 la altura de la función es muy pero que muy grande en positivo o en negativo. A esta discontinuidad se le llama de salto infinito.
Una función que es continua en todos los valores de x de un intervalo se dice que es continua en el intervalo, esto supone que su representación gráfica es un trozo de línea curva continua.
Ejercicio 11 – 6 .-
Unidad 11 Página 12 Ejercicio 11 – 7 .-
Estudia la discontinuidad de las siguientes funciones según su gráfica.
Te voy a mostrar varios ejercicios resueltos para que veas qué fáciles son. Ejemplo:
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Unidad 11 Página 14 Ejercicio 11 – 9 .-
Resuelve en tu cuaderno la asíntota vertical que se calcula en este video. Video 5 – 12 – a : https://www.youtube.com/watch?v=UKaYxibfqV4
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Ejercicio 11 – 10 .-
Resuelve en tu cuaderno el cálculo de las asíntotas horizontales de las funciones que aparecen en el siguiente video.
Video 11 – 13 – a :
https://www.youtube.com/watch?v=P7 m-u3IuAFY
Ejercicio 11 – 11 .-
Resuelve en el ejercicio que aparece en el video la asíntota oblícua. Video 5 – 15 – a : https://www.youtube.com/watch?v=yoAPeT7_mq8
