MATEMÁTICAS APLICADAS I 1º BACHARELATO 2º TRIMESTRE ANÁLISE

MATEMÁTICAS APLICADAS I

1º BACHARELATO

2º TRIMESTRE

ANÁLISE

Índice

Unidade 4: ANÁLISE DE FUNCIÓNS...1

Funcións reais de variable real...1

Funcións elementais: Expresión analítica e gráfica...2

Transformacións de funcións:...11

Operacións con funcións:...12

EXERCICIOS Unidade 4: ANÁLISE DE FUNCIÓNS...13

Unidade 5: LÍMITE DUNHA FUNCIÓN...18

Idea intuitiva de límite dunha función nun punto...18

Cálculo de límite dunha función nun punto...19

Idea intuitiva de límite dunha función cando x tende a +∞ ou -∞...20

Cálculo de límites cando x tende a +∞ ou -∞...21

Asíntotas...22

Continuidade dunha función...23

EXERCICIOS Unidade 5: LÍMITE DUNHA FUNCIÓN...25

Unidade 6: DERIVADA DUNHA FUNCIÓN...27

Taxa de variación media...27

Derivada dunha función nun punto...27

Función derivada...28

Función derivada das funcións elementais...29

Regras de derivación...29

Función derivada das funcións compostas de funcións elementais...30

Aplicacións da derivada...31

Unidade 4: ANÁLISE DE FUNCIÓNS

Funcións reais de variable real

Unha función real de variable real, f, é unha unha relación que asocia a cada número real, x, un único número real y=f(x). E expresámolo da forma:

f :ℝ→ℝ

x → y=f (x)

A variable x chámase variable independente e a variable y é a variable dependente. As funcións poden expresarse de varias formas:

• Mediante un enunciado.

• Pola súa expresión analítica (fórmula). • Mediante unha táboa de valores. • Mediante a súa gráfica.

Exemplo 1: Unha función:

•

Mediante un enunciado: A presión da auga de mar aumenta unha atmósfera cada 10 metros que

aumentemos a profundidade.

•

A súa expresión analítica:

P=0,1⋅h

, onde P é a presión en atmósferas e h é a profundidade en metros (m).

• Mediante unha táboa de valores:

Profundidade (m) 10 20 30 40 50

Presión (atm) 1 atm 2 atm 3 atm 4 atm 5 atm

• Mediante a súa gráfica:

Neste caso a variable independente é a Profundidade e a variable dependente é a Presión.

O dominio da función é o conxunto dos valores que pode tomar a variable independente. Represéntase por

Dom f.

O dominio de definición dunha función depende dos seguintes factores:

• O contexto real do que se extrae a función. Por exemplo: no caso do exemplo 1 o dominio é (0,+∞), xa que a profundidade mídese en valores positivos.

• A imposibilidade de realizar algunhas das operacións con certos valores de x. Por exemplo: ◦ O denominador non pode ser 0 nunha fracción alxébrica:

▪

y=

1

x ²−5 x

o Dom f=

ℝ−{0,5}

◦ O radicando non pode ser negativo:

▪

y=

√

5 x−x ²

, resolvemos a inecuación:

5 x−x ²≥0

e o Dom f= [0, 5]

• Por vontade de quen propón a función. Por exemplo: y= x³ -x²,

x∈[0,8]

, o Dom f= [0, 8], xa que está proposto no enunciado.

Exercicio 1: Determina o dominio das seguintes funcións:

a) f(x)= 2x² +x -5 b)

f (x)=

2 x−6

x +3

c)

f (x)=

√

x−1

d) f(x)= log (x² -1) e) f(x)=

2

x ² −1

Solucións: a) Dom f= R b) Dom f=

ℝ−{−3}

c) Dom f= [1, +∞) d) Dom f=(-∞, -1)U(1, +∞) e) Dom f= R

Exercicio 2: Acha o dominio e o recorrido das funcións que teñen as seguintes gráficas:

Solucións: a) Dom f= (-∞, -2)U[-1, 1]U(2, +∞) ; Im f=

{−2}∪(1,+∞)

b) Dom f= (-∞, 2]U[3, +∞) ; Im f= (-∞, -1]U(0, +∞)

FÍXATE: Para distinguir a gráfica dunha función temos que ter en conta que para cada valor de x, que pertence

ao seu dominio, existe un único valor de y. A gráfica dunha función só pode cortar unha vez a unha recta vertical. Por exemplo: Das seguintes gráficas, cales son dunha función?

a) É unha función, por que para cada valor de x existe un único valor de y.

b) e c) non son funcións porque existen valores de x que teñen máis dun valor de y.

Funcións elementais: Expresión analítica e gráfica.

1. Unha función afín, é unha unha función polinómica de grao 1, a súa expresión analítica é da forma:

f(x) = mx + n

Onde m é a pendente e n é a ordenada na orixe (x=0) A súa gráfica é unha recta con pendente m e que pasa polo punto (0, n).

Calculo da pendente coñecidos dous puntos da recta P(x0, y0), Q(x1, y1):

m=

y

1

−

y

0

x

1

−

x

0

Ecuación da recta coñecidos a pendente m e un punto da recta P(x0, y0):

Características:

• O dominio é todo

ℝ

• Se m=0, a función f(x)= n chámase función constante, e a súa gráfica é unha recta paralela ao eixe X, que pasa polo punto (0, n).

• Se n=0, a función f(x)= mx chámase función lineal, e a súa gráfica é unha recta de pendente m, que pasa polo orixe de coordenadas (0, 0).

• Se m>0 a súa gráfica é unha recta crecente. • Se m<0 a súa gráfica é unha recta decrecente.

Exemplo 2: Representa sobre os mesmos eixes as funcións, índica o nome e crecemento:

a) y= 2 b) y= -0,5x c) y= x-2

Solucións: a) Función constante, nin crece nin decrece. b) Función lineal, decrecente.

c) Función afín, crecente.

Exemplo 3: Escribir a expresión alxébrica das rectas representadas na gráfica:

Solucións: a) Función afín: n= 1, tomando os puntos (0, 1) e (1, 0): m=

m=

1−0

0−1

= -1, entón a ecuación é: y=

-x+1.

b) Función lineal: tomando os puntos (0, 0) e (2, 3): m=

m=

3−0

2−0

=

3

2

= 1,5, entón a ecuación é: y= 1,5 x.

c) Función constante: n= -1, entón a ecuación é y= -1.

2. Unha función cadrática, é unha unha función polinómica de grao 2, a súa expresión analítica é da forma:

f(x) = ax² +bx +c, onde a≠0

A súa gráfica é unha parábola. O punto de unión das dúas ramas chámase vértice.

Características:

• O dominio é todo

ℝ

• Se a>0, as ramas están cara arriba, chámase convexa. O vértice é un mínimo. • Se a<0, as ramas están cara abaixo, chámase cóncava. O vértice é un máximo. • Canto maior sexa

|

a|

máis pechadas están as ramas da parábola.

• A abscisas do vértice é

x

v

=−

b

2 a

Exemplo 4: Representa graficamente a función f(x)= -x² +4x -1

Solución: Primeiro calculamos o vértice, como a=-1<0 entón é un máximo.

x

v

=−

b

2 a

=

−

4

2(−1)

= 2 f(2)= -2² +4∙2 -1 = 3 Vértice= (2, 3)

Construímos unha táboa de valores, como as ramas da parábola son simétricas damos uns valores antes do vértice e outros despois:

x 0 1 2 3 4

f(x) -1 2 3 2 -1

Exercicio 5: Representa graficamente as funcións seguintes:

a) f(x)=x² +2x -2; b) f(x)= x² -6x+1, 2≤x<5; c) f(x)= -x² +3x,

x∈[0,4]

Interpolación e extrapolación.

Se coñecemos algúns puntos dunha función e desexamos calcular valores intermedios que toma a función, pero descoñecemos a súa expresión analítica, a interpolación permítenos calcular de modo aproximado eses valores.

Cando o valor que queremos calcular é maior ou menor que todos os valores coñecidos, chámase

extrapolación.

Segundo a función que usemos e o número de puntos coñecidos podemos distinguir distintos tipos de interpolación, neste curso estudaremos dous tipos de interpolación:

• Interpolación linear: Coñecidos dous puntos (x0, y0) e (x1, y1), usaremos a función linear:

y=

y

1

−

y

0

x

₁

−

x

₀

(

x−x

0

)+

y

0 (ecuación da recta que pasa por dous puntos)

• Interpolación cadrática: Coñecidos tres puntos (x0, y0), (x1, y1) e (x2, y2), non alineados, usaremos a

función cadrática: f(x) = ax² +bx +c.

Para calcular os valores de a, b e c, temos que resolver o sistema ao substituír os puntos coñecidos na función cadrática.

Exemplo 5: A poboación española no ano 1.900 era de 18.617 miles de habitantes e no ano 1.920 de 21.389

miles de habitantes. Calcula, usando a interpolación e extrapolación linear, a poboación nos anos: a) 1.910; b) 1.925.

Primeiro calculamos a función linear para os puntos (1.900, 18.617) e (1.920, 21.389), onde y representa a poboación española e x representa o ano:

y=

21.389−18.617

1.920−1.900

(

x−1.900)+18.617

a) Como 1.910 está no intervalo (1.900, 1.920) entón estamos interpolando. Substituímos x= 1.910 na función:

y=

21.389−18.617

1.920−1.900

(1.910−1.900)+18.617

= 20.003 miles de habitantes.

A poboación en 1.910 sería de 20.003.000 habitantes.

b) Como 1.925 non está no intervalo (1.900, 1.920) entón estamos extrapolando. Substituímos x= 1.925 na función:

y=

21.389−18.617

1.920−1.900

(1.925−1.900)+18.617

= 22.082 miles de habitantes.

A poboación en 1.925 sería de 22.082.000 habitantes.

Exercicio 6: Se colgamos dun resorte unha pesa de 40 g, estírase ata 12 mm. E se colgamos unha pesa de 60

g, estírase ata 20 mm. a) Cal sería a súa lonxitude se colgáramos unha pesa de 55 g? b) Cal sería a súa lonxitude se colgáramos unha pesa de 100 g? Indica se estamos extrapolando ou interpolando. c) E se a pesa

Exemplo 6: Cos datos dos beneficios dunha empresa, acha por interpolación cadrática os beneficios no ano

2013:

Ano 2010 2012 2014

Beneficios 12.315 € 16.240 € 23.230 €

Plantexamos e resolvemos o sistema que se obtén ao substituír os datos na función de interpolación cadrática: f(x) = ax² +bx +c, onde x é o ano e f(x) son os beneficios.

a⋅2010²+b⋅2010+c=12.315

a⋅2012²+b⋅2012+c=16.240

a⋅2014²+b⋅2014 +c=23.230

}

→

4.040 .100 a+2010 b+c=12.315

_{4.048 .144 a+2012 b+c=16.240}

4.056 .196 a+2014 b+c=23.230

}

Polo método de Gauss:

E

₂

=

E

₂

−

E

₁

→

E

₃

=

E

₃

−

E

₁

4.040 .100 a+2010 b+c=12.315

8.044 a+2 b=3.925

16.096 a+4 b=10.915

}

E

3

=

E

3

−2 E

2

→

4.040 .100 a+2010 b+c=12.315

8.044 a+2 b=3.925

8 a=3.065

}

→

_{b=−1.538 .966,25}

c=1.545 .471 .165

a=383,125

}

f(x) = 383,125x² -1538966,25x +1.545.471.165 Calculamos os beneficios no ano 2013:

f(2013) = 383,125 ∙ 2013² -1.538.966,25 ∙ 2013 +1.545.471.165= 19.351,87 €

Exercicio 7: Cos datos dos beneficios dunha empresa en tres meses distintos:

Meses 1º 4º 5º

Beneficios (miles de euros) 0 3 0

a) Encontra a función cadrática que se axusta a estes tres datos. b) Que beneficios ou perdas se estiman para o 6º mes? c) En que mes se obtén o beneficio máximo?

3. Funcións racionais:

As funcións racionais son as que teñen por expresión alxébrica o cociente de polinomios da forma: f(x) =

P(x )

Q (x)

, onde o grao de Q(x) ≠0

Un caso particular das funcións racionais é a función de proporcionalidade inversa:

Unha función de proporcionalidade inversa é unha función racional que ten por ecuación f(x)=

k

x

, con k ≠0.

Características da función de proporcionalidade inversa:

• O dominio é todo

ℝ−{0}

. Dicimos que a recta x=0 (eixe Y) é unha asíntota vertical.

• A medida que os valores de x crecen ou decrecen, a función acércase a recta y=0 (eixe X). Dicimos que a recta y=0 é unha asíntota horizontal.

• A súa gráfica é unha hipérbola que non corta aos exixes de coordenadas.

◦ FÍXATE: Tamén son hipérbolas as gráficas das funcións da forma f(x)=

ax+b

cx+d

• É simétrica respecto ao orixe de coordenadas.

• k é a constante de proporcionalidade inversa, é dicir k=

x⋅y

• Se k>0, a función é decrecente e a gráfica está no 1º e 3º cadrante. • Se k<0, a función é crecente e a gráfica está no 2º e 4º cadrante.

Exercicio 8: Representa graficamente as funcións seguintes: a) f(x)=

−

1

x

; b) f(x)=

8

x

4. Funcións irracionais:

As funcións irracionais son fundamentalmente as funcións con radicais, é dicir as funcións que teñen unha expresión alxébrica da forma: f(x) =

√

n

g (x)

Características das funcións con radicais:

• Se n é par, o seu dominio é o intervalo no que g(x) ≥ 0. • Se n é impar, o seu dominio é todo

ℝ

• Se a ecuación é da forma f(x)=

_√

kx

, onde k ≠0, a súa representación gráfica é unha media parábola co eixe paralelo ao eixe X. Exemplo 7:

Exemplo 8: A función f(x)=

√

3

x

é continua e crecente e o seu dominio é todo

ℝ

. A súa gráfica é:

Exercicio 9: A vista da gráfica dos exemplos 7 e 8, representa graficamente as funcións seguintes:

a) f(x)=

_√

4 x

; b) f(x)=

−

√

9 x

; c) f(x)=

_√

−9 x

; d) f(x)=

√

3

−8 x

5. Funcións definidas a anacos:

Unha función definida a anacos é unha función que ten distintas expresións alxébricas dependendo do intervalo onde se encontre a variable independente x.

Exemplo 9:

Exercicio 10: Representa graficamente as funcións:

a)

f (x)=

{

2

se

x <−2

x ²−7 se −2≤x≤0

−7−x se

x >0

; b)

f (x)=

{

2

x

se

x≤2

x ²−6 x +9 se 2<x≤4

5

se

x >4

Exercicio 11: Escribe a expresión analítica que corresponde a seguinte gráfica:

Casos particulares de funcións definidas a anacos:

5.1. Función valor absoluto: é a función que asocia a cada número real o seu valor absoluto:

f (x)=|x|=

{

x

se x≥0

−

x se x<0

5.2. Función parte enteira f(x)= [x] = Ent(x): é a función que asocia a cada número real a súa parte enteira, é

dicir, o primeiro número enteiro menor ou igual que el:

f (x)=[x ]=Ent (x )=n se x ∈

[

n , n+1

)

, n∈ℤ

Exemplos:

Ent(2,3)=2 porque 2,3∈

[

2 , 3

)

Ent(x )=

{

...

...

...

−3 se −3≤x<−2

−2 se −2≤x<−1

−1 se

−1≤x <0

0

se

0≤x <1

1

se

1≤x<2

2

se

2≤x<3

3

se

3≤x <4

...

...

...

FÍXATE: Existen funcións que se poden expresar mediante a función parte enteira como se pode observar no

seguinte exemplo.

Exemplo 10: Expresa mediante unha función o custo dunha chamada telefónica cun prezo por establecemento

de chamada de 0,20 € e un custo por minuto de 0,10 €. Se x representa o número de minutos que dura a chamada:

Custo(x)=

{

0,20

se

x=0

0,20+0,10

se 0<x≤1

0,20+2⋅0,10 se 1< x≤2

0,20+3⋅0,10 se 2<x ≤3

...

...

...

Esta función podemos expresala mediante a ecuación:

Custo (x)=0,20 +[ Ent (x )+1]⋅0,10

Exercicio 12: Representa graficamente a función do exemplo 10.

Exercicio 13: O servizo de correos cobra 0,30 € polos primeiros 25 g de envío e, a partir de esa cantidade, cobra

0,20 € por cada 25 g (ou fracción) de peso extra. Expresa mediante unha función e representa a gráfica do custo do envío de cartas ata 150 g.

6. Funcións exponenciais:

Unha función exponencial é unha función onde a expresión alxébrica contén a variable independente no expoñente.

Exemplo:

f (x)=3⋅2

x ²−1

+

e

x

As funcións exponenciais máis sinxelas son da forma

f (x)=a

x , onde a>0 e a ≠ 1.

Características:

• O dominio é todo

ℝ

.

• O seu recorrido é (0, +∞).

• A gráfica sempre pasa polo punto (0,1), porque

a

0

=1

. • A gráfica sempre pasa polo punto (1,a), porque

a

1

=

a

. • Se a>1, a función é crecente.

• Se 0<a<1, a función é decrecente. • A función

f (x)=e

x _{é moi importante.}

Exemplo 11: Representa graficamente as funcións:

a)

f (x)=2

x b)

g(x )=2

−x

a) Pasa polos puntos (0,1) e (1,2) b) Pasa polos puntos (0,1) e (1; 1/2) a= 2>1, f(x) é crecente. 0<a=1/2<1, g(x) é decrecente.

x -2 -1 1 2 x -2 -1 1 2

Exercicio 14: Representa graficamente as funcións: a)

f (x)=

(

2

3

)

−x ; b)

g(x )=3

−x ; c)

h(x )=−2

−x

Exercicio 15: Os puntos (0; 0,5) e (1, 1,7) pertencen á gráfica da función

f (x)=k⋅a

x _.

a) Calcula a e k.

b) Acha o valor de x para y= 120. c) Representa a función.

Solucións: a) a= 3,4; k= 0,5; b) x= 4,48

5. Funcións logarítmicas:

As funcións logarítmicas máis sinxelas son da forma

f (x)=log

a

x

, onde a>0 e a ≠ 1.

Características:

• O dominio é (0, +∞). • O seu recorrido é

ℝ

.

• A gráfica sempre pasa polo punto (1,0), porque

log

_a

1=0

. • A gráfica sempre pasa polo punto (a,1), porque

log

_a

a=1

. • Se a>1, a función é crecente.

• Se 0<a<1, a función é decrecente.

Exemplo 12: Representa graficamente as funcións:

a)

f (x)=log

2

x

b)

g(x )=log

0,5

x

a) Dom f= (0, +∞) b) Dom g= (0, +∞)

Pasa polos puntos (1,0) e (2,1) Pasa polos puntos (1,0) e (0,5; 1) a= 2>1, f(x) é crecente. 0<a=0,5<1, g(x) é decrecente.

Exercicio 16: Completa as táboas e representar as funcións no voso caderno:

x 0,25 0,5 4 8 x 0,25 0,5 2 4

f(x) g(x)

Exercicio 17: Razoa, sen facer a gráfica, se as seguintes funcións son crecentes ou decrecentes:

a)

f (x)=log

1,2

x

b)

f (x)=log

2 3

x

c)

f (x)=log

_√3

x

Exercicio 18: Representa graficamente as funcións:

a)

f (x)=log

3

x

; b)

f (x)=log

3

(−

x )

c)

f (x)=log

1 3

Transformacións de funcións:

Se coñecemos a gráfica dunha función: y= f(x), pódese obter as gráficas doutras funcións a partir dela coas seguintes transformacións:

• Translacións:

Se k é un número positivo, entón a gráfica das seguintes funcións obtéñense trasladando a gráfica de y= f(x):

◦

y= f(x)+k, k unidades cara arriba.

◦

y= f(x)-k, k unidades cara abaixo.

◦

y= f(x+k), k unidades cara á esquerda.

◦

y= f(x-k), k unidades cara á dereita.

• Simetrías:

A gráfica das seguintes funcións son simétricas da gráfica de y= f(x): ◦ y= - f(x), respecto ao eixe X.

◦ y= f(- x), respecto ao eixe Y.

Exercicio 19: Representa graficamente as funcións:

a)

y=

1

x

; b)

y=

1

x+3

; c)

y=−

1

x +3

; d)

y=−

1

x +3

+2

Operacións con funcións:

Dadas dúas funcións f e g, defínese:

• Suma de funcións, f+g: é outra función tal que para cada valor de x:

(f+g)(x)= f(x)+g(x)

• Produto de funcións, f ∙ g: é outra función tal que para cada valor de x: (f ∙ g)(x)= f(x) ∙ g(x)

• Cociente de funcións,

f

g

: é outra función tal que para cada valor de x:

(

f

g

)

(

x )=

f (x)

g (x)

, onde g(x) ≠ 0.

FÍXATE: os valores de x teñen que pertencer ao Dom f e Dom g.

• Composición de funcións: Chámase función composta de f con g,

g∘ f

, á funcións que asigna a cada x o valor g[f(x)], é dicir:

(

g∘ f )(x)=g [f (x )]

FÍXATE: A función

g∘ f

lese como f composta de g, porque f é a primeira que se aplica o valor de x. En xeral,

g∘ f ≠f ∘ g

Exemplo 13: Dadas as funcións:

f (x)=

√

x−1

e

g(x )=−x

2

₊₃

_{, calcula as seguintes composicións:}

a)

(

g∘ f )(1)

; b)

(

f ∘ g)(−1)

; c)

(

g∘ f )(x)

; d)

(

f ∘ g)(x)

a)

(

g∘ f )(1)

=

g[f (1)]

=

g(

√

1−1)

= g(0)= -0² +3= 3 b)

(

f ∘ g)(−1)

=

f [g(−1)]

=

f (−(−1)

2

+3)

= f(2)=

√

2−1

= 1 c)

(

g∘ f )(x)

=

g[f ( x)]

=

g(

√

x−1)

=

−(

√

x−1)

2

+

3

= -(x-1)+3= -x+1+3= -x+4 d)

(

f ∘ g)(x)

=

f [g( x)]

=

f (−x

2

₊₃₎

₌

_√

₋

_x

2

+

3−1

=

√

−

x

2

+2

Exercicio 20: Dadas as funcións:

f (x)=

√

x

e

g(x )=x+4

, calcula as seguintes composicións: a)

(

g∘ f )(x)

; b)

(

f ∘ g)(x)

; c)

(

f ∘ f )(x )

; d)

(

g∘ g)(x )

.

Acha o valor destas funcións en x=0 e x=5.

Solucións: a)

(

g∘ f )(x)

=

√

x+4

; b)

(

f ∘ g)(x)

=

√

x+4

; c)

(

f ∘ f )(x )

=

√

4

x

; d)

(

g∘ g)(x )

= x+8

Exercicio 21: Descompón as seguintes funcións como composición de dúas ou máis funcións:

a)

y=e

x−1 _{; b)}

y=

1

√

x

2

₋₂

; c)

y=log

2

x

2

Chámase función inversa ou recíproca de f a outra función, f-1_{, que cumpre a condición:} Se f(a)= b, entón f-1_{(b)= a, ou o que o mesmo:}

(

f

−1

∘

f )(x )

=

(

f ∘ f

−1

)(

x )

= x As gráficas das funcións inversas son simétricas respecto da recta y= x.

Cálculo da expresión analítica da función inversa: Exemplo 14: f(x) = 2x-3

• Intercambio das dúas variables: y= 2x-3

→

x= 2y-3 • Despexamos a variable y, se se pode: y=

x +3

2

, polo tanto f-1(x)=

x +3

2

Comprobación:

(

f

−1

∘

f )(x )

=

f

−1

[

f (x)]

=

f

−1

[

2 x−3]

=

2 x−3+3

2

= x

(

f ∘ f

−1

)(

x )

=

f [f

−1

(

x)]

=

f

[

x +3

2

]

=

2⋅

x+3

2

−

3

= x

Exercicio 22: Dada a función f(x)=

1+

√

x

, acha f-1_{(x). Representa f e f}-1 _{e comproba a súa simetría respecto}

de y=x. FÍXATE: No dominio e no recorrido da función. Solución: f-1_{(x)= x²-2x+1, se x≥ 1.}

EXERCICIOS Unidade 4: ANÁLISE DE FUNCIÓNS

Concepto de función: dominio e recorrido.

1) Di se estas gráficas corresponden a unha función, razoando a resposta:

2) Acha o dominio de definición das seguintes funcións:

a)

f (x)=

x+2

x ³+x ²

b)

f (x)=

5 x−3

x ²+1

c)

f (x)=

√

x ²+x−6

d)

f (x)=

√

x ²+3 x+4

e)

f (x)=

1

√

x ²−3 x

f)

f (x)=log

2

(

x−4 )

g)

f (x)=e

ln x

Solucións: a) Dom f=

ℝ−{0,−1}

b) Dom f=

ℝ

c) Dom f= (-∞, -3]U[2, +∞) d) Dom f=

ℝ

e) Dom f= (-∞, 0)U(3, +∞) f) Dom f= (4, +∞) g) Dom f= (0, +∞)

3) Observa as gráficas das seguintes funcións e indica cal é o seu dominio de definición e o seu recorrido:

a)

_b)

c)

d)

Solucións: a) Dom f=

ℝ

; Im f=

ℝ

b) Dom f=

ℝ

; Im f= [-4, +∞) c) Dom f=

ℝ−{0}

; Im f=(-∞, -2]U[2, +∞) d) Dom f=

ℝ−{1,−1}

; Im f=

ℝ

e) Dom f= (-∞, -1]U[1, +∞); Im f= [0, +∞) f) Dom f=[1, +∞); Im f= [0, +∞)

Funcións polinómicas.

4) Representa as funcións e indica o seu nome:

a)

f (x)=

2

3

x−

1

2

b) f(x)= -2 c)

f (x)=−

2

3

d) f(x)= x² -10x +25

5) Escribe a expresión alxébrica das funcións representadas:

6) Medindo a temperatura a diferentes alturas, observouse que por cada 180 m de ascenso o termómetro baixa 1 ºC. Se na base dunha montaña de 800 m de altura estamos a 10 ºC, cal será a temperatura no cumio?

Representa graficamente a función altura-temperatura e busca a súa expresión analítica. Solucións: Temperatura no cumio: 5,6 ºC; Expresión analítica:

f (x)=−

1

180

x +10

7) Un obxecto que se lanza cara arriba pode chegar a unha altura máxima determinada pola fución:

h(t)= -4,9t² + V0 t+h0, onde V0 é a velocidade inicial do obxecto, h0 é a altura inicial e t é o tempo. Se se lanza un

foguete dende unha plataforma situada a 2 m do chan, cunha velocidade inicial de 40 m/s. a) A que altura máxima chegará o foguete?

b) Se se programa para que explote aos 5 s do lanzamento, a que altura se producirá a explosión? Solucións: a) 83,63 m; b) 79,5 m

8) Os gastos fixos mensuais dunha empresa pola fabricación de x televisores son G = 2.000 + 25x, en euros, e os ingresos mensuais son I = 60x –0,01x², tamén en euros. Cantos televisores deben fabricarse para que o beneficio (ingresos menos gastos) sexa máximo?

Solución: 1.750 televisores.

9) Unha pelota é lanzada verticalmente cara arriba dende o alto dun edificio. A altura que alcanza ven dada pola fórmula h = 80 + 64t – 16t² (t en segundos e h en metros).

a) Debuxa a gráfica no intervalo [0, 5]. b) Acha a altura do edificio.

c) En que instante alcanza a súa máxima altura? Solucións: b) 80 m; c) 2 s

10) Un fabricante vende mensualmente 100 electrodomésticos a 400 euros cada un e sabe que por cada 10 euros de subida venderá 2 menos.

a) Cales serán os ingresos se sube os prezos 50 euros?

b) Escribe a función que relaciona a subida de prezo cos ingresos mensuais. c) Que subida produce ingresos máximos?

Interpolación lineal e cadrática.

11) Na universidade, no ano 2002, había 10.400 alumnos/as matriculados, e 13.200 no 2007. Estima cantos había: a) No ano 2003; b) No ano 2005; c) No ano 2000; d) Cantos cabe esperar que haxa no 2040?

Solucións: a) 10.960 alumnos/as.; b) 12.080 alumnos/as; c) 9.280; d) 31.680 alumnos/as

12) O consumo de gasolina de certo automóbil, por cada 100 km, depende da súa velocidade. A 60 km/h consume 7,7 l e a 90 km/h consume 7,2 l.

a) Estima o seu consumo se percorre 100 km a 70 km/h; b) Canto consumirá a 100 km/h? Solucións: a) 6,2 l; b) 7,7 l.

13) Nun informe sobre poboación dunha pequena localidade vén a seguinte táboa:

Ano 1950 1955 1965

Poboación 600 540 450

Poderías estimar a poboación do ano 1960 mediante interpolación cadrática? Solución: 490

14) A táboa mostra o número de turistas, en millóns, que entraron en España no período 1995-2005.

Ano 1995 2000 2005

Turistas 54,4 74,6 92,6

a) Acha os valores para 1998, 2002 e 2008; b) En que ano se superaron os 80 millóns? Solucións: a) 66,784; 82,064; 102,344 millóns; b) Dende o 2002 ata o 2085.

Funcións elementais.

15) Asocia a cada gráfica a súa expresión analítica:

a)

y=(x+3)

2 ; b)

y=

√

x +2

; c)

y=

1

x

+

2

; d)

y=

1

x+3

16) A partir da gráfica da función f(x)=

1

x

, representa as seguintes funcións:

a)

y=

1

x+1

; b)

y=

1

x−1

; c)

y=

−1

x

;

y=

−1

x

−3

18) Representa: a)

f (x)=

{

2 x ²−2 se −1<x<1

−

x−1

se

x≤−1

x −1

se

x≥1

; b)

f (x)=

{

−

x

2

2

+

2 se x<1

x−3

se x≥1

; c) f(x)=

|

3 x +6|

d) f(x)=

|

x

2

−4

|

19) O prezo en euros dun artigo perecedoiro que empeza a venderse o primeiro día dun determinado mes, varía co tempo, en días, segundo a función:

P(t)=

{

t

4

+8

se 0≤t≤4

−

t

2

4

+

2t +5 se 4<t≤10

a) Cal é o prezo inicial do artigo? b) Debuxa a gráfica da función P(t). Solucións: a) 8 €

20) Unha ONG estimou que o número de persoas ingresadas nos hospitais tras un terremoto segue a función:

P(t)=1+

110

t

2

+

10

, con

t∈(0,30)

onde P é o número de persoas hospitalizadas en miles, e t é o número de días transcorridos dende o terremoto. a) Cantas persoas haberá hospitalizadas o primeiro día?

b) Cantas haberá ao cabo de tres semanas?

c) Se a capacidade hospitalaria dun determinado hospital é de 2.000 camas, hasta que día estivo desbordada a súa capacidade?

Solucións: a) 11.000 ; b) 1.244; c) Ata o décimo día.

21) A partir da gráfica da función exponencial f(x)=

4

x _{, representa as seguintes funcións:}

a) f(x)=

4

x−3 ; b) f(x)=

4

x +1 ; c) f(x)=

2−4

x ; d) f(x)=

4

x

−1

22) A partir da gráfica da función f(x)= log x, representa as seguintes funcións: a) f(x)= log x -3; b) f(x)= -log x; c) f(x)= log(x-1); d) f(x)= 2 – log x

23) A concentración dun fármaco en sangue vén dada por

y=100(0,94)

t (y en mg, t en h). a) Di cal é a dose inicial e a cantidade dese fármaco que ten o paciente ao cabo de 3 h. b) Representa a función.

c) Se queremos que a concentración non baixe de 60 mg, ao cabo de canto tempo teremos que inxectarlle de novo?

Solucións: a) 100 mg, 83 mg; c) 8 h 15 min

24) Un cultivo de bacteria crece segundo a función y=

1+2

x /10 (y en miles de bacterias, e en horas). Cantas había no momento inicial? E ao cabo de 10 horas? Canto tardarán en duplicarse?

Solucións: 2.000 bacterias; 3.000 bacterias; 16 h.

25) Para repoboar un lago introdúcense inicialmente 50 peixes dunha especie que triplica o número de membros cada dous meses.

a) Cal é a expresión analítica da función que representa o crecemento da poboación de peixes en función dos meses?

b) Cantos peixes hai despois de 4 anos?

c) Despois de canto tempo a poboación de peixes será de 1.000 individuos? Solucións: a)

y=50(

√

3)

t ; b)

1,412⋅10

13 ; c) 5,45 meses.

26) Dadas as funcións f(x)= x²+1, g(x)=

3

x−2

, h(x)=

√

x−3

, obtén as expresións das funcións:

27) Acha a función inversa das seguintes funcións: a)

f (x)=3 x−2

; b)

f (x)=4−x

2 , x≥0; c) f(x)=

√

2 x +1

; d)

f (x)=1+2

x ; e)

f (x)=2+log

3

x

Solucións: a)

f

−1

(

x )=

1

3

x−

2

3

; b)

f

−1

(

x )=±

√

−

x +4 ; x≤4

; c)

f

−1

(

x )=

1

2

x

2

−

1

2

d)

f

−1

(

x )=log

2

(

x−1)

; e)

f

−1

(

x )=3

x−2

Problemas de funcións elementais.

28) A dose dun fármaco comeza con 10 mg e cada día debe aumentar 2 mg hasta chegar a 20 mg. Débese seguir 15 días con esa cantidade e a partir dese momento ir diminuíndo 4 mg cada día.

a) Representa a función que describe este enunciado e determina a súa expresión analítica. b) Di cal é o seu dominio e o seu recorrido.

29) Unha discoteca abre ás 10 da noite e pecha cando se van todos os clientes. A función que nos da o número de clientes, N, segundo o número de horas que leva aberta, t, é N(t)= 80t -10t².

a) Representar a función.

b) A que hora o número de clientes é máximo? c) A que hora pechará a discoteca?

Unidade 5: LÍMITE DUNHA FUNCIÓN

Idea intuitiva de límite dunha función nun punto

Límites laterais:

•

O límite dunha función f(x) cando x tende a un punto c pola esquerda é un número real L , cando para valores de x moi próximos a c e menores que c, os valores da función aproxímanse a L. Expresámolo da forma:

lim

x →c⁻

f (x)=L

•

O límite dunha función f(x) cando x tende a un punto c pola dereita é un número real L , cando para valores de x moi próximos a c e maiores que c, os valores da función aproxímanse a L. Expresámolo da forma:

lim

x →c⁺

f (x)=L

•

O

lim

x →c⁻

f (x)=+∞

ou x →c⁺

lim

f (x)=+∞

, cando para valores de x moi próximos a c, e menores ou

maiores que c, respectivamente, os valores da función crecen cada vez máis.

•

O

lim

x →c⁻

f (x)=−∞

ou x →c

lim

⁺

f (x)=−∞

, cando para valores de x moi próximos a c, e menores ou

maiores que c, respectivamente, os valores da función decrecen cada vez máis.

lim

x →c⁻

f (x)=+∞

x →c⁻

lim

f (x)=−∞

x →c⁻

lim

f (x)=L

lim

x →c⁺

f (x)=+∞

x →c⁺

lim

f (x)=−∞

x →c⁺

lim

f (x)=L

Exemplo 1: Calcula os límites laterais da función

f (x)=

2

x +1

en x= -1.

Dando valores x moi cerca de -1 e menores que -1, os valores da función tenden a -∞:

lim

x →−1⁻

f (x)= lim

x→−1⁻

2

x +1

=−∞

Dando valores x moi cerca de -1 e maiores que -1, os valores da función tenden a +∞:

lim

x →−1⁺

f (x)= lim

x→−1⁺

2

x +1

=+∞

FÍXATE: Se substituímos na función x= -1, obtemos un número entre 0, sempre que isto ocorra a función tende a

+∞ ou -∞.

Exemplo 2: Calcula os límites laterais de

f (x)=

{

x ²+1 se x≤1

lim

x →1⁻

f (x)= lim

x→1⁻

(

x ²+1)=1²+1=2

lim

x →1⁺

f (x)= lim

x→1⁺

(−

x+2)=−1+2=1

FÍXATE: Para calcular o límite simplemente substituímos x=1 na función correspondente.

Exercicio 1: Calcula os límites laterais das funcións:

a)

f (x)=

−2 x +1

x −1

en x=1; b)

f (x)=

{

3 x+4 se x <−2

1−x

2

se x≥−2

en x= -2

•

O límite dunha función f(x) cando x tende a un punto c é un número real L , cando

lim

x →c⁻

f (x)= lim

x→ c⁺

f (x )=L

e expresámolo da forma:

lim

x→ c

f (x )=L

•

O

lim

x→ c

f (x )=+∞

ou

lim

x→ c

f (x )=−∞

, cando os limites laterais son iguais a +∞ ou -∞, respectivamente.

• Se

lim

x →c⁻

f (x)≠ lim

x→ c⁺

f (x )

, entón dicimos que non existe o límite da función f(x) no punto c.

Continuación exemplo 1:

lim

x →−1⁻

2

x +1

=−∞≠

x→−1⁺

lim

2

x +1

=+∞

, entón non existe x →−1

lim

2

x +1

Continuación exemplo 2:

lim

x →1⁻

f (x)= lim

x→−1⁻

(

x ²+1)=2≠ lim

x→1⁺

f (x )= lim

x →1⁺

(−

x +2)=1

, entón non existe

lim

x→ 1

f (x )

Exercicio 2: Calcula os límites das funcións nos puntos indicados: a)

f (x)=

x +2

x−2

en x= -1 e en x= 2; b)

f (x)=

3 x−1

x

2

−2 x+3

en x= 1; c)

f (x)=

2−x

x +1

en x= -1 d)

f (x)=

{

3−x se x≤0

x−2

x+1

se x>0

en x= 0 e en x= 3; e)

f (x)=

{

x −1

se x≤−1

−2 x

2

+4 se x >−1

en x= -1 e en x= 0.

Cálculo de límite dunha función nun punto

•

Límite nun punto no que a función é continua:

Se f(x) é unha función continua e está definida no punto c, entón o límite

lim

x→ c

f (x )

coincide con f(c).

Exercicio 3: Calcula os seguintes límites:

a)

lim

x→ 0

3

x−2

; b)

lim

x→ 2

√

x

2

_{−3 x +5}

; c)

lim

x →0,1

log

10

x

Solucións: a)

−3

2

; b)

√

3

; c) -1

•

Límite dunha función f(x) cociente de dous polinomios P(x)/Q(x):

◦

Se o denominador non se anula, Q(x)≠0, a función é continua en c e, polo tanto, o límite en c é o valor da función en c.

Exemplo 3:

◦

Se o denominador anúlase e o numerador non se anula, o límite é infinito. Neste caso hai que

estudar os límites laterais para saber o signo do infinito. O estudo pódese facer usando a calculadora en puntos moi próximos a c.

Exemplo 4:

lim

x→ 2

x +1

x−2

=

3

0

Temos que calcular os límites laterais:

Para x= 1,9

→

1,9+1

1,9−2

< 0

→

x →2

lim

⁻

x+1

x −2

=−∞

Para x= 2,1

→

2,1+1

2,1−2

> 0

→

x →2

lim

⁺

x+1

x −2

=+∞

Exercicio 4: Calcula os seguintes límites:

a)

lim

x→ 0

x−3

x

; b)

lim

x→ 0

x−3

x

2 ; c)

lim

x→ 1

x

3

(

x −1)

2 , e representa os resultados. Solucións: a) Non existe (+∞ , -∞); b) -∞; c) +∞

◦

Se se anulan o denominador e o numerador, temos que simplificar a expresión, e para iso temos

que ter en conta que c é un raíz común do denominador e do numerador, polo tanto (x-c) é divisor do denominador e do numerador. Exemplo 5:

lim

x→ 2

x

2

−5 x+6

x ²+3 x−10

=

0

0

; descompoñemos o denominador e o numerador, e simplificamos.

lim

x→ 2

x

2

−5 x+6

x ²+3 x−10

=

lim

x→ 2

(

x −3)(x−2)

(

x+5)(x−2)

=

lim

x→ 2

x−3

x +5

=

−1

7

Exercicio 5: Calcula os seguintes límites:

a)

lim

x→ 5

x ²−4 x−5

x ²−8 x +15

; b)

lim

x→ 0

2 x

3

−3 x

x

2 ; c)

lim

x→ 1

x

2

+4 x −5

x

3

−2 x

2

+

x

; d)

lim

x→ 0

x

3

+

3 x

2

x

4

Idea intuitiva de límite dunha función cando x tende a

+

∞ ou -∞

O límite dunha función cando x tende a

+

∞

expresa o comportamento da función cando lle damos a x valores tan grandes como se queira. Os posibles comportamentos poden ser:

•

lim

x →+∞

f (x)=+∞

: os valores de f(x) crecen tanto como se queira.

◦

Exemplos: potencias (

y=x

n _{); raíces (}

_y=

n

√

x

); exponenciais (

y=a

x _{, a>1); logarítmicas}

(

y=log

_a

x

, a>1)

•

lim

x →+∞

f (x)=−∞

: os valores de f(x) son cada vez máis negativos.

◦

Exemplos: potencias (

y=−x

n ); raíces (

y=−

√

n

x

); exponenciais (

y=−a

x , a>1); logarítmicas (

y=−log

_a

x

, a>1;

y=log

_a

x

, a<1)

•

_lim

x →+∞

f (x)=L

, onde L é un número real: os valores de f(x) son tan próximos a L como se queira. Neste caso, dise que a recta y= L é unha asíntota horizontal.

◦

Exemplo:

lim

x →+∞

2 x−5

calcular estes límites sen facer a táboa)

x

10

100

1.000

10.000

...

y=

2 x −5

x+3

1,15

1,89

1,989

1,9989

...

Y=2 é unha asíntota horizontal da función: f(x)=

2 x−5

x +3

•

lim

x →+∞

f (x)

Non existe: por exemplo as funcións trigonométricas, que non traballaremos neste curso.

O límite dunha función cando x tende a

-

∞

expresa o comportamento da función cando lle damos a x valores cada vez máis negativos como se queira. Os posibles comportamentos son similares para os límites cando x tende a

+

∞.

FÍXATE: Se n é par,

lim

x →−∞

x

n

=+∞

; se n é impar,

lim

x →−∞

x

n

=−∞

Cálculo de límites cando x tende a

+

∞ ou -∞

•

O Límite dunha función polinómica cando x tende a

+

∞

é

+∞

ou -∞, segundo que o coeficiente do termo de maior grao sexa positivo ou negativo.

•

O Límite dunha función polinómica cando x tende a

-

∞

é

+∞

ou -∞, segundo que o coeficiente do termo de maior grao sexa positivo ou negativo, e o grao sexa par. No caso de o grao sexa impar, temos que aplicar a regra dos signos.

Exemplos 6: a)

lim

x →+∞

(

2 x

4

−2 x

3

)=+∞

; b)

lim

x →+∞

(

2 x−2 x

3

)=−∞

; c)

lim

x →−∞

(5 x

4

−

x

2

)=+∞

d)

lim

x →−∞

(−5 x

2

−

x )=−∞

; e)

lim

x →−∞

(

x

3

−

x

2

)=−∞

; f)

lim

x →−∞

(−3 x

3

−

x )=+∞

Exercicio 6: Calcula o límite cando x tende a

+∞

e -∞ das seguintes funcións: a) f(x)= -x² +3x+5; b) f(x)= 5x³ +7x; c) f(x)= x - 3x⁴

•

O límite de funcións racionais (f(x)= P(x)/Q(x)) cando x tende a +∞ ou -∞:

•

Se o grado do numerador é maior que o grao do denominador o límite é +∞ ou -∞

,

o signo é o resultado de operar os signos dos límites do numerador e o denominador.

•

Se o grado do numerador é menor que o grao do denominador o límite é 0

.

•

Se o grado do numerador é igual que o grao do denominador o límite é o cociente dos coeficientes

de igual grao. Exemplo 7: a)

lim

x→ 2

x +1

x−2

=

+∞;

b) _{x →−∞}

lim

x

2

−4 x+1

3 x−2

=

-∞

; c) x →+∞

lim

x +1

x

2

−

2

= 0; d) x →−∞

lim

x

2

−3 x+7

3 x

2

−1

=

1

3

Exercicio 7: Calcula os seguintes límites cando x tende a +∞ e -∞ das seguintes funcións:

a)

f (x)=

1

3 x

; b)

f (x)=

−1

x

2 ; c)

f (x)=

x

3

₋₁

−5

; d)

f (x)=

x

2

₋₃

x

3 ; e)

f (x)=

−

x

2

₋₅

x +1

f)

f (x)=

1−x

3

1+x

3 ; g)

f (x)=10

x ; h)

f (x)=

√

5 x−4

; i)

f (x)=

√

−2 x

2

+

1

; k)

f (x)=−5

x

Asíntotas

Defínese as ramas infinitas dunha función como os tramos da gráfica dunha función nos que se alonga indefinidamente.

•

Asíntotas verticais: unha función ten unha asíntota vertical en x= c se

lim

x→ c

f (x )=±∞

.

•

Asíntotas oblicuas: unha función ten unha asíntota oblicua en y= mx+n se

lim

x→∞

f (x)

x

=

m≠0

e

lim

x→∞

[

f (x )−mx ]=n

Exemplo 8: Acha as asíntotas da función: f(x)=

1−x

x−2

Asíntotas horizontais:

lim

x→∞

1−x

x−2

=−1

→

f(x) ten unha asíntota horizontal en y = -1

Cando

x →+∞

→

1−x

x−2

< -1

→

f(x) está por debaixo da asíntota.

Cando

x →−∞

→

1−x

x−2

> -1

→

f(x) está por encima da asíntota. Asíntotas verticais:

Calcúlanse as raíces do denominador: x-2=0

→

x= 2

Como

lim

x →2⁻

1−x

x −2

=

−1

0

=+∞

e x →2

lim

⁺

1−x

x −2

=

−1

0

=−∞

, entón x=2 é unha asíntota vertical da función f(x).

Asíntotas oblicuas: Se a función ten asíntotas horizontais non ten asíntotas oblicuas.

Exemplo 9: Acha as asíntotas da función: f(x)=

2 x

2

−1

x+1

Asíntotas horizontais:

lim

x →−∞

2 x

2

−1

x +1

=−∞

e x →+∞

lim

2 x

2

−1

x +1

=+∞

→

f(x) non ten asíntotas horizontais. Asíntotas verticais:

Calcúlanse as raíces do denominador: x+1=0

→

x= -1

Como

lim

x →−1⁻

2 x

2

₋₁

x +1

=

1

0

=−∞

e x →−1⁻

lim

2 x

2

₋₁

x +1

=

1

0

=+∞

entón x=-1 é unha asíntota vertical da función

f(x).

lim

x→∞

f (x)

x

=

lim

x→∞

2 x

2

−1

x +1

x

=

lim

x→∞

2 x

2

₋₁

x

2

+

x

= 2 ≠ 0

→

m= 2

lim

x→∞

[

f (x )−mx ]

=

lim

x→∞

[

2 x

2

−1

x+1

−2 x

]

=

lim

x→∞

[

2 x

2

_{−1−2 x (x+1)}

x+1

]

=

lim

x→∞

[

−1−2 x

x +1

]

= -2

Polo tanto, f(x) ten unha asíntota oblicua que é y=2x-2

FÍXATE:

• Se unha función ten asíntotas horizontais non ten asíntotas oblicuas.

• As funcións racionais teñen asíntotas verticais se o denominador se anula para algún valor de x.

• As funcións racionais poden ter unha asíntota oblicua se o grao do numerador é unha unidade maior que o grao do denominador.

Exercicio 8: Acha as asíntotas das seguintes funcións e fai unha representación gráfica:

a)

f (x)=

2

x

2

+

1

; b)

f (x)=

3 x−1

x +2

c) ;

f (x)=

x

2

₋₉

x

2

₋₁

d)

f (x)=

x

2

x−1

; e)

f (x)=

1

√

x

2

−9

Continuidade dunha función

Unha función f(x) é continua nun punto x= a se se cumpre:

•

Existe f(a).

•

Existe

lim

x→ a

f (x )

.

•

f(a)=

lim

x→ a

f (x )

.

Se unha función non é continua nun punto, dicimos que f(x) é descontinua nese punto. Unha función é continua nun intervalo se é continua en todos os puntos do intervalo.

FÍXATE: As funcións polinómicas, racionais, radicais, exponenciais, logarítmicas son continuas en todo o

seu dominio de definición.

Exemplos 10: Estuda a continuidade destas funcións:

a)

f (x)=

x

x−2

; b)

f (x)=

√

x +2

; c)

f (x)=ln(x +1)

Son continuas no seu dominio de definición:

a) Continua en

ℝ−{2}

; b) Continua en [-2, +∞); c) continua en (-1, +∞)

Exercicio 9: Estuda a continuidade destas funcións:

a)

f (x)=x

−2 ; b)

f (x)=

√

x−4

; c)

f (x)=log(1−x

2

)

; d)

f (x)=e

x+2

Tipos de descontinuidades

•

Descontinuidade evitable: Cando existe

lim

x→ a

f (x )

, pero ocorre unha destas condicións: ◦ Non existe f(a), ou

•

Descontinuidade de salto finito: Cando

lim

x →a⁻

f (x)≠ lim

x →a⁺

f (x)

.

•

Descontinuidade de salto infinito: Cando no punto a, a función ten unha asíntota vertical, é dicir:

lim

x →a⁻

f (x)=±∞

ou x →a

lim

⁺

f (x)=±∞

Descontinuidade evitable Descontinuidade de salto finito Descontinuidade de salto infinito

Exemplo 11: Estuda a continuidade desta función e clasifica os seus puntos de descontinuidade:

f (x)=

{

x−1

se x≤−4

x−3

x

2

−9

se x >−4

Se x< -4 a función é continua porque é unha función lineal.

Se x> -4 a función é continua sempre que o denominador sexa distinto de cero.

Polo tanto, temos que estudar a continuidade en x= -4 porque hai un cambio de expresión alxébrica e nos valores x= 3 e x= -3 porque anulan o denominador.

Para x= -4: Existe f(-4)= -4-1= -5

lim

x →−4⁻

(

x−1)

= -4-1 = -5

lim

x →−4⁺

x−3

x

2

₋₉

=

−

4−3

(−4)

2

₋₉

=

−7

7

= -1

lim

x →−4⁻

f (x )≠ lim

x→−4⁺

f (x)

, entón en x= -4 hai unha descontinuidade de salto finito

Para x= -3: Non existe f(-3), polo tanto en x= -3 é descontinua a función. Estudamos de que tipo é a

descontinuidade:

lim

x →−3

x−3

x

2

−9

=

−3−3

(−3)

2

−

9

=

−6

0

lim

x →−3⁻

x−3

x

2

₋₉

= -∞;

lim

x →−3⁺

x−3

x

2

₋₉

= +∞, entón x= -3 é unha asíntota vertical e en x= -3 hai unha

descontinuidade de salto infinito.

Para x= 3: Non existe f(3), polo tanto en x= 3 é descontinua a función. Estudamos de que tipo é a

descontinuidade:

lim

x→ 3

x −3

x

2

₋₉

=

3−3

3

2

₋₉

=

0

0

=

lim

x→ 3

x−3

(

x +3)(x−3)

=

lim

x→ 3

1

x +3

=

1

6

, polo tanto en

x= 3 hai unha descontinuidade evitable, é dicir, sería continua se f(3)=

1

6

Exercicio 10: Estuda a continuidade das seguintes funcións e clasifica os seus puntos de descontinuidade:

a)

f (x)=

{

x−1

x

se x <1

2 x−3 se x≥1

; b)

f (x)=

{

x

2

x

2

_{−3 x +2}

se x≤1

1

2 x−1

se x >1

EXERCICIOS Unidade 5: LÍMITE DUNHA FUNCIÓN

Límite dunha función nun punto.

1) Calcula os seguintes límites: a)

lim

x→ 2

(1+x)

x ; b)

lim

x →−3

5

√

4+x

; c)

lim

x→ 2

ln

(

x+1

3

)

; d)

lim

x→ 0

3 x +1

x

2

+

2 x

; e)

lim

x→ 0

x

x

2

+

2 x

f)

lim

x →−2

x

2

−

4

x

2

+2 x

; g)

lim

x→ 1

x

2

_{−3 x +2}

x

3

−2 x

2

−

x+2

Solucións: a) 9; b) 5; c) 0, d) Non existe (-∞, +∞); e) 1/2; f) 2; g) 1/2 2) A vista do exemplo calcular os seguintes límites:

Exemplo:

lim

x→ 0

√

x+2−

√

2

x

=

0

0

, sería unha indeterminación que se resolve multiplicando o numerador e denominador

polo conxugado da expresión que contén a raíz:

lim

x→ 0

√

x+2−

√

2

x

=

lim

x→ 0

(

√

x +2−

√

2)⋅(

√

x +2+

√

2)

x⋅(

√

x+2+

√

2)

=

lim

x→ 0

(

√

x +2)

2

−(

√

2)

2

x⋅(

√

x+2+

√

2)

=

lim

x→ 0

x

x⋅(

√

x +2+

√

2)

IMPORTANTE: Simplificamos

lim

x→ 0

x

x⋅(

√

x +2+

√

2)

=

lim

x→ 0

1

√

x+2+

√

2

=

1

2

√

2

=

√

2

2 (

√

2)

2 =

√

2

4

a)

lim

x→ 4

√

x−3−1

x

2

−16

; b)

lim

x→ 0

√

x+1−1

x

; c)

lim

x→ 4

x

2

_{−3 x−4}

√

2 x +1−3

; d)

lim

x→ 2

√

x

2

+5−3

x

2

−4

Solucións: a) 1/16; b) 1/2; c) 15; d) 1/6

Límite dunha función no infinito.

3) Calcula os seguintes límites:

a)

lim

x →+∞

(

x

2

−

3 x +1)

; b)

lim

x →+∞

(

3 x−x

2

−7 x

4

−3)

; c)

lim

x →+∞

(2 x−3 x

5

+

x

2

₋₁₎

d)

lim

x →−∞

(2 x−3 x

5

+

x

2

−1)

Solucións: a) +∞; b) -∞; c) -∞; d) +∞ 4) Calcula os seguintes límites:

a)

lim

x →+∞

2 x

2

_{−6 x +3}

x

2

_{−3 x +5}

; b)

lim

x →+∞

4 x

2

+

x−12

x

2

−

x

3

₊₂

; c)

lim

x →−∞

4+x−2 x

3

2 x

2

_{−3 x +11}

; d)

lim

x →−∞

−

x

2

+

3 x +21

5 x

2

_{−4 x}

3

_{+2 x}

Solucións: a) 2; b) 0; c) -∞; d) 0

5) Calcula os seguintes límites tendo en conta que para calcular o grao dos polinomios que están dentro da raíz divídese o grao do polinomio entre o índice:

a)

lim

x →+∞

√

2 x

2

+

3

5 x −1

; b) x →+∞

lim

4 x

2

−

2 x +1

√

3 x

4

−3 x

3

+1

; c) x →+∞

lim

6 x

2

−2

√

3 x

2

+2

; d) x →+∞

lim

x

2

−2

√

x

5

−7 x +1

Solucións: a)

√

2

5

; b)

4

√

3

; c) +∞; d) 0

6) Calcula o valor dos seguintes límites tendo en conta que ∞-∞ é unha indeterminación, e fíxate no exemplo:

lim

(

2 x−

√

x

2

₋₁₎

lim

x →+∞

(

2 x−

√

x

2

₋₁₎

=

lim

x →+∞

(2 x−

√

x

2

_{−1)⋅(2 x+}

_√

_x

2

₋₁₎

2 x +

√

x

2

−1

= x →+∞

lim

(2 x)

2

−(

√

x

2

−1)

2

2 x +

√

x

2

₋₁

=

lim

x →+∞

4 x

2

−

x

2

+1

2 x +

√

x

2

−1

= x →+∞

lim

3 x

2

+

1

2 x +

√

x

2

−1

= +∞ (o grao do numerador é maior que o grao do denominador).

a)

lim

x →+∞

(

x −

√

x

2

+4 x)

; b)

lim

x →+∞

(

√

x

2

+6−x)

; c)

lim

x →+∞

(

√

x

2

+

4−

√

x

2

−3)

Solucións: a) -2; b) 0; c) 0

Asíntotas.

7) Determina as asíntotas das funcións e representa graficamente os resultados:

a)

f (x)=

x

x +3

; b)

f (x)=

x +1

x

2

−4

; c)

f (x)=

x

2

+

5 x

x+2

; d)

f (x)=

2 x

2

−4

x−1

Solucións: a) x= -3, y=1; b) x=2, x=-2, y=0; c) x=-2, y=x+3; d) x=1, y=2x+2

Continuidade.

8) Estuda a continuidade das seguintes funcións, e indica o tipo de descontinuidade que teñen: a)

f (x)=

{

x

2

₋₃

_{se x≤−2}

3 x +7

x+3

se x >−2

; b)

f (x)=

{

x

2

−5 x+2 se x≠−2

2

se x=−2

; c)

f (x)=

{

1

se x≤1

2

x−1

_{se x >1}

d)

f (x)=

{

√

4−x se x <0

x −2

se x≥0

Solucións: a) Continua en todo R; b) x=-2 descontinuidade evitable; c) Continua en todo R; d) x=0 descontinuidade de salto finito.

9) Calcula, en cada caso, o valor de k para que a función f(x) sexa continua en todo R. a)

f (x)=

{

x

2

−

4 se x≤3

x +k

se x >3

; b)

f (x)=

{

6−

x

2

se x <2

x

2

+

kx se x≥2

; c)

f (x)=

{

x

2

+

x

x

se x≠0

k

se x=0

Solucións: a) k=2; b) k=1/2; c) k=1 10) A función:

P(t)=

{

2+t

2

se 0≤t≤1

8 t

2

−

t−1

2 t

2

se

t>1

mostra como varía a profundidade da capa de area dunha praia dende a construción dun dique (P en metros, t en anos). Se a profundidade chega a superar os 4m, terase que elevar o paseo marítimo.

a) Estuda se a profundidade é unha función continua do tempo. b) A longo prazo, será necesario elevar a altura do paseo?

11) Nunha empresa fanse montaxes en cadea. O número de montaxes realizados por un traballador sen experiencia depende dos días de adestramento segundo a función:

M(t)=

30t

t +4

(t en días)

a) Cantos montaxes realizará ao terminar o período de adestramento que dura 20 días? b) Acha a asíntota horizontal e explica o seu significado.

Unidade 6: DERIVADA DUNHA FUNCIÓN

Taxa de variación media.

A taxa de variación media (T.V.M.) dunha función f(x) nun intervalo [a, b] é o crecemento medio da función nese intervalo e expresámolo da forma:

T . V . M . [a ,b ]=

f (b)−f (a)

b−a

Graficamente a T.V.M. de f(x) en [a,b] coincide coa pendente da recta que pasa polos puntos (a,f(a)) e (b,f(b))a variable y é a variable dependente.

Se unha función é crecente en [a,b], a súa taxa de variación media é positiva, e se é decrecente, a súa taxa de variación media é negativa.

Con frecuencia, ao intervalo represéntase da forma [a,a+h], de forma que h representa a lonxitude do intervalo. Neste caso, a taxa de variación media obtense da forma:

T . V . M . [a , a+h]=

f (a+h)−f (a)

h

Exemplo 1: Calcula a taxa de variación media da función f(x)= 3x² -1 no intervalo [-1, 2].

T . V . M . [−1,2]=

f (2)−f (−1)

2−(−1)

=

11−2

2+1

= 3 > 0

→

f(x) é crecente no intervalo [-1, 2] Exercicio 1: Acha a T.V.M. da función f(x)= x² -8x +12 nos intervalos:

a) [1,2]; b) [1, 4] Solucións: a) -5; b) -3

Derivada dunha función nun punto.

A derivada dunha función f(x) nun punto a é o crecemento da función nese punto, e expresámolo da forma:

f ' (a)=lim

x →a

f (x )−f (a)

x−a

=

lim

h→ 0

f (a+h)−f (a)

h

Graficamente a derivada dunha función nun punto a coincide coa pendente da recta tanxente á función nese punto.