ÁNGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA

Introducción

a) Ángulo central

El arco de una circunferencia se puede medir en forma métrica, es decir, en su longitud o en forma angular. Es importante tener medidas angulares iguales, sin embargo, sus longitudes no son necesariamente iguales; parte de esta definición se utiliza en los relojes.

La medida del ángulo central es igual a la de su arco correspondiente.

∠_{AOB : Ángulo central}

x = θ

Es el ángulo que tiene su vértice en la circunferencia, siendo uno de sus lados tangente y el otro secante.

A x θ B P A θ P x B P A B θ Q x

b) Ángulo Inscrito

Es el ángulo que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son dos secantes.

x = θ₂

c) Ángulo Semiinscrito

x = θ₂

∠_{APB : Ángulo semiinscrito}

Es el ángulo adyacente al ángulo inscrito.

d) Ángulo Exinscrito

x = θ₂ ∠_{BPQ : Ángulo exinscrito} A x θ B O R

• Conocer el concepto de arco. • Conocer las propiedades de arco.

• Definir las propiedades de cuadrilátero inscrito o inscriptible.

Objetivos:

∠_{APB : Ángulo inscrito}

e) Ángulo Interior

x =θ+β₂ β θ x B A C D

f) Ángulo Exterior

θ β x x = θ-β 2 θ β x x =θ-β₂ θ β x x =θ-β₂ 1) Calcule x si mAB = 80° y mCD = 20°. x A B D C P Arco capaz

Es aquel arco en el cual los ángulos inscritos en este arco son iguales. Arco AB : AB es un arco capaz Teorema 1 θ ₊ β ₌₁₈₀° Resolución: Del gráfico: m∠_{CPD =} m∠_{CPD = = 30}° pero x + m∠CPD = 180° → x= 150° mAB – mCD 2 80° – 20° 2

Propiedades

Teorema 2 Ejemplo: θ θ θ A B arco capaz _2θ R A B C Si AB es diámetro: ∠ACB = 90° β θ A B C

Si A, B, C y D pueden ser ubicados en una misma circunferencia, entonces: ABCD : INSCRIPTIBLE B C A D

* Condición para que un cuadrilátero sea

inscriptible

a) Primer caso:

Todo cuadrilátero convexo cuyos ángulos

interiores opuestos son suplementarios, es inscriptible.

b) Segundo caso:

Todo cuadrilátero convexo, cuyo ángulo interior es igual al ángulo opuesto exterior, es inscriptible.

B C A D β α Si α + β = 180°, entonces: ABCD : INSCRIPTIBLE B C A _D α α P c) Tercer caso:

Todo cuadrilátero convexo cuyas diagonales determinan con dos lados opuestos ángulos de igual medida, es inscriptible.

B C A D α = β β α

Si A, B y T son puntos de tangencia: T

A

B

Cuadrilátero Inscrito

Es aquel cuadrilátero convexo que puede inscribirse en una circunferencia. Sus cuatro vértices pueden ser ubicados en una misma circunferencia.

Si m∠ABC = m∠CDP, entonces: ABCD : INSCRIPTIBLE ABCD : INSCRIPTIBLE Teorema 3 Si α ₌ β_{, entonces:} A P B Q C Propiedades Teorema 1 APQC : INSCRIPTIBLE ∠_{ATB = 90}°

∆ APT isósceles: m∠_{APT = m}∠_{ATP = 59°}

∆ AFT: m∠_{AFT = 180°– (23°+59°)}

m∠_{AFT = 98°}

En el cuadrilátero inscrito FEGT: m∠_{EGT = m}∠_{AFT = 98°}

En el ∆ PGT: x + y = 180°– 98° x + y = 82°

Luego: 2x + 2y = 164° mPB+mTC=164° Si ABCD es inscriptible, calcula el valor de θ_.

θ _{= 45}° B D A C θ A B C D 20° 10° θ A O B Teorema 2 APQC : INSCRIPTIBLE Teorema 3 Resolución:

Como ABCD es inscriptible, entonces:

θ _{= m}∠_{ADC = 20}° + m∠_BDC Pero : m∠_{BDC = 10}° → θ _{= 30}° B A O R R θ x β θ β R x+β C Resolución: P A T C B G E F x y 2x 2y 59° 23° 98° 98° 59°

2) En el gráfico; T y P son puntos de tangencia, además mAT + mBC = 148°. Calcule x. a) 32° b) 37° c) 42° d) 46° e) 52° A T P B C x Ejemplo: Demostración 1) OA ; OC y OB (Radios) 2) AOB (Isósceles) → OAC (Isósceles) Luego: x + x + β = θ + β 2x = θ _{x =} θ 2

1) Según el gráfico, calcula mPB + mTC.

a) 170° b) 150° c) 164° d) 160° e) 154° P A T C B G E F 23° 59°

Ejercicios resueltos

En primer lugar sabemos que la m∠ATP = 90° Por otro lado: mAT = mTB = 74°

Entonces la m∠_{TAQ = 37°} Luego en el ATQ: x = 5µ Finalmente en el OQB: mTQ + mPB = 180° Resolución: A T P B C x α 2x-θ α/2 R x-θ/2 θ x α 2 = x– +x θ 2 2x =α+θ₂ x =α+θ 4 x =148° 4 (1) en (2) x = 37° ...(2)

3) Según el gráfico; T, P y Q son puntos de tangencia. Calcule mTQ + mPB. a) 120° b) 135° c) 150° d) 180° e) 270° Por dato: α + θ = 148° ...(1) De la figura: mTC = 2x – θ _m∠_{A = x –} mRP = 2x m∠RPT = x En el ∆ TAP; por teorema del ángulo exterior:

θ 2 A T O B P Q L θ/2 α α θ θ/2 α/2 Resolución: 4) En el gráfico; α ₊ β _{= 150°. Calcule x.} a) 130° b) 140° c) 150° d) 160° e) 170° Resolución: Dato: α ₊ β _{= 150° ...(1)}

En el cuadrilátero inscrito MNPA se cumple: m∠_{M = m}∠_{APC =} α En la circunferencia menor: m∠_{APC = m}∠_{B =} α Finalmente en el ∆ABC: x = α₊β x = 150° 5) En la figura mostrada, calcula x.

a) 1µ b) 2µ c) 3µ

d) 4µ

e) 5µ

Los puntos colineales son: L,T y P ; T, Q y B

TO es mediatriz de LB, entonces el ∆LTB es isósceles: m∠_{L = m}∠_{B =} θ_/2 Pero: mTQ = mQB= α α x β α α P N A C B M 2α Resolución: P x 74 74 3 A C B T Q 32° 74° 37° A T O B P Q α 2 θ 2 + = 90° α ₊ θ _{= 180°} α x β P A C B T Q 32° 3 x

Nivel I 1. Calcula m BM si ABCD es un cuadrado. B A C D M a) 20° b) 30° c) 45° d) 53° e) 60° 2. Si TP = 4 y AB = 6, calcula m TL . T A O P L B a) 30° b) 37° c) 45° d) 53° e) 60°

3.

Calcula m AB . 40° A B O a) 20° b) 40° c) 50° d) 80° e) 100°

4.

Calcula x si m AB = 80°. A x O B a) 20° b) 40° c) 50° d) 60° e) 80° Nivel II

5.

Halla x. A B C x _20° a) 50° b) 60° c) 70° d) 80° e) 30°

6.

En la figura, halla x si m∠_{A + m}∠_{C = 100°.} A C B x a) 80° b) 60° c) 50° d) 40° e) 45°

7.

Calcula x si O es centro. C O A B x 40° a) 65° b) 85° c) 55° d) 45° e) 75° Nivel III

8.

Calcula m∠_BAC. 20° B C D A a) 50° b) 10° c)20° d) 40° e) 70°

9.

Calcula AB si CD = 2 2 y AD = 7 A B C D 30° a) 3 b) 1 c) 5 d) 4 e) 2

10.

Halla x si m AB = 100° x A B C 40° a) 5° b) 50° c) 36° d) 68° e) 10°

Trabajando en Clase

Rpta : Rpta : Rpta : Rpta : Rpta : 1. En la figura, halla θ_. F A 2θ θ M 4. Halla x si m AB = 100°. 40° x B A 3. Calcula x si O es centro. 80° O x 2. Si AB = 140° y m∠_{APT = 50°, calcula x.} A B P T x 50°

Tarea domiciliaria N° 6

Rpta : Rpta : Rpta : Rpta : 6. Calcula x. A B C Q P x x 30° 20°

8.

Calcula x si m AB = 60°. x B A O

5.

Calcula x. x 100° 40°

7.

Calcula m AB si m∠OAB = 40°. A B O 70°