MECANICA DE FLUIDOS 2 - UGARTE.pdf

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FRANCISCO UGARTE PALACIN

U N IV E R S ID A D N A C IO N A L DE IN G E N IE R ÍA

MECANICA

D E

FLUIDOS

11

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES

L I M A - P E R Ú

(3)

M e c á n i c a d e F l u i d o s II FRANCISCO UGARTE PALACIN

© Francisco ligarte Palacio

Diseño de Portada: Francisco Ligarte Composición de interiores: Francisco ligarte Responsable de edición: Francisco Ugarte © Editorial San Marcos E.I.R.L., editor.

RUC 20260100808

Jr. Dávalos Lissón 135 - Lima. Telefax: 331-1522

E-mail: informes@editorialsanmarcos.com

Primera edición: 2008

Primera reimpresión: Agosto 2010 Tiraje: 700 ejemplares

Hecho el Depósito Legal Reg. n.° 2010-10168 ISBN 978-9972-38-393-9

Registro de Proyecto Editorial N° 31501001000663 Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra sin previa autorización escrita del autor y el editor. Impreso en Perú / Printed in Perú

Pedidos:

Av. Inca Garcilaso de la Vega 974, Lima. Telef.: 331-1535 / 331-0968 / 332-3664 E-mail: ventas@editorialsanmarcos.com Composición, diagramación e impresión:

Editorial San Marcos de Anibal Jesús Paredes Galván 1 Av. Las Lomas # 1600 - S.J.L.

RUC 10090984344

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Como c.<' n tlnuacló n d e l tlbn u MECANICA DE FLUI VOS , pAe.A r nto (¿.¿tu j b ’i.a denominada MECANICA VE FLUI VOS II , en la. cual pAeA ento teoAlaA y pAo- üíemoA 'ie.Aue.lto.ó que. Aenán de g.Aan ¿nteAfo a pAoíeAOAeé y e¿iud,ia>ile.¿ de. ca­ s i todaA ¿ai ncunas de. 1 nge ru.e’i l a .

En eX pAimeA c a p í t a t o Ae de.AcuiA.otta la te.on.la d e l AnátcAiA Vimen 6¿(mal y lUlcviidad, ACAaltando l a a p lic a c ió n de.i1 TEOREMA VE BUCKINGHAM. d& m t A w é s de. e.bte. c a p i tu l o que t i l e c t o n encontAaAá ¿sentido d e l ponqué, ¿e ’ ¿levasea cabo laA p-uie.baA en modele 6 anteA de conAtiu^Ae una máquina , una

$ ' '

pAe¿a, &tc.

En e l Atgundo c a p i tu l o t e Analiza e l e¿tucUo d e l Fia jo \/íacü6o, citando texa d e f i n i d o neA báA¿caj> de. laA matemátlcaA. A a i también ¿e ha d e t a ­ l l a d a l a de.duc.cion de. taA ECUACIONES VE NAI/1ER-5T0KES pana luego a p l i c a r í a a dLivéJLéüA cciaoa.

En e l teA.cex c a p i tu l o he. de.AcutAo lia d o e l ESTUDIO VEL FLUJO INTER NO con bsteveA teoAlaA, ex.pllcadoneA , ta b ta ó y cuavoa pana e l disejio de tu - beA,ía¿> y empleo de. acceA odoA .

En e l cuanlo c a p í tu l o ü iato AobAe e l ESTUV10 VE LA CAPA LIMITE, teófila que i n i c i a l a nueva ionma d e l a n á l i s i s de. lo a FiJJJOS REALES.

En e l q cunto c a p i tu l o Ke.atl.zo e l e s tu dio de. lo A FLUJOS COMPRES! BLES, que bnlnda leo Ala y pAoblemaó acética de la VIN AMIGA VI GASES.

Agnadezco a lo a pAoie.ACAeA d el Area de TuAbcmcíquauiA de t'a Facul ta d de INGENIERIA MECANICA de l a UNI poA Au de.Aempeno y eAmnc cu i'a enót-ñanza de. la MECANICA VE FLUÍVOS. A¿l también deAeo ex.pAc¿an mi agnadednuen ti m¿6 comparieAi’ó d e l CC PABLO BONER de l a F.Z.M. de. ia UNI, y a to d o 6 l o 6 pAOieAoaqj> y ,itumno¿ de laA di^e.AenteA unlvaAAidadeA del. p a l 6 wue me han hecJio llegan, óua ¿ugeAenciaó y a l i e n t o paAa contAnuaA escribien do eAte t i p o de obAaA, a n i v e l unlveAAilaAlo y pAofae^ólonal.

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Í N D I C E

CAPITULO 1 ANALISIS D IM ENSIONAL Y SIMILARIDAD

Introducción .. 1

Teorema de BUCKINGHAM . .. 3

Método a seguir para aplicar el Teorema de Buckingham .. 4 TABLA 1 : " Dimensiones de las cantidades de Mecánica de Fluidos " 6 Significado físico de algunos de los parámetros adimensionales más

importantes en Mecánica de Fluidos 9

TABLA 2 : " Grupos adimensionales en Mecánica de Fluidos " .. ' 13

Semejanza y estudios en modelos 14

Tipos de semejanza 14

GRUPO DE PROBLEMAS M° 1 . . 2 2

CAPITULO 2 ESTUDIO DEL FLUJO VISCOSO

Introducción 30

Viscosidad 31

Flujo .. 33

Campo de Velocidades , 33

Lineas de Corriente .. 33

Representación de un vector (en diferentes coordenadas) .. 33

Operador V 34

EL Gradiente . . 3 4 '

La Divergencia 34

El Rotacional .. 35

El Laplaciano 36

Identidades Vectoriales importantes 36

Derivada Sustancial o Total .. 36,

Aceleración de una partícula de fluido en un campo de velocidades 37 Fuerzas que actúan scbre una partícula fluida en un campo de velo

cidades 38

(7)

Flujo Laminar y Flujo íurbulento .. r¿

Flujos Desarrollados • • 43

Aplicación de las ecuaciones de NAVIER-STOKES al Fiujo laminar completamente desarrollado entre dos placas planas paralelas

y en ductos ¿e#dS^c íc ; ¡ circular .. 44

GRUPO DE,#ÓBLEMAS N° 2 .. 54

CAPITUIJ 3; ESTUDIO DEL F L Ü # INTERNO

Intrortucción •• 73

Pérdidas Primarias •• 74

Evaluación del Factro ,de Fricción (f) .. 75

Diagrama del M000Y N° 1 . . 7 6

Diagrama (e/p) - (D) 77

Pérdidas Secundarias * .. 79

Evaluación de la constante de pérdida ÍK) (DIAGRAMAS) .. 79

Longitud Equivalente .. 84

Diámetro Equivalente .. 84

Sistema de Tuberías . . 8 4

GRUPO DE PROBLEMAS N° 3 . . 8 6

CAPITULO „ ESTUDIO DE LA CAPA LIMITE

4.1 Introducción .. 122

4.2 Capa Limite .. 123

4.2.1 Contorno de la Capa Límite .. 124

4.2.2 Espesor de Capa Limite .. 124

4.2.3 Espesor de Capa Limite aproximado .. 124

4.2.4 Subcapa Laminar .. 124

4.3 Espesor de Capa Limite por desplazamiento .. 125

4.4 Espesor,de la Capa Limite por deformación de la energía cinética 128 4.5 Espesor de la Capa Limite por deformación de la cantidad de

movimiento ..

4.6 Ecuación de Cantidad de Movimiento de VPN KARMAN .. 130

Velocidad de Corte .. 132

(8)

I

4.7 Solución exacta de BLASIUS '

1.8 Valor Medio temporal

4.9 Longitud de Mezcla de PRANDTL

4.10 Distribución de Velociadades para números de REYNOLDS elevados

4.11 Ley de la Pared

4.12 Estudio de la Capa Limite Turbulenta ' 4.13 Fenómeno de Separación de la Capa Limite 4.14 Determinación del Gradiente de Presión 4.15 Fuerzas sobre cuerpos sumergidos

4.15.1 Fuerza de Arrastre 4.15.2 Fuerza de Sustentación

4.15.3 Flujo perpendicular a una placa plana 4.15.4 Flujo sobre una placa plana

4.15.5 Flujo alrededor de una esfera y de un cilindro 4.16 Perfi 1 Aerodinámico

4.16.1. Características del perfil aerodinámico 4.16.2 Diagrama polar (LILIENTHAL)

GRUPO DE PROBLEMAS N° 4 135 136 137 140 142 145 148 149 150 151 152 153 154 154 154 155 157 158

CAPITULO 5 FLUJOS COMPRESIBLES

Estudio del Flujo Compresible .. 183

Definiciones importantes en el estudio del Flujo Compresible 185 Expresión para hallar el flujo de masa a través de un ducto

de sección variable .. 194

Flujo isoentrópico en ductos de sección variable .. 195

Tobera convergente - divergente o tobera amplia

o Tobera de LAVAL .. 200

Posiciones relativas de un objeto dentro de un ambiente gaseoso .. 201 Estudio del Flujo Adiabático con fricción (FLUJO FANN0) .. 203

Estudio del Flujo Diabático (FLUJO RAYLEIGH) .. 206

Ondas de Choque .. 211

(9)
(10)

Análisis dimensión;: I y sirai];?iiclad

CAPÍTULO I

ANALISIS DIMENSIONAL

Y

,

SIMILARIDAD

| I I N T R O D U C C I O N

El análisis dimensional a estudiar es un método que permite redu- j cir el número y complejidad de las variables que intervienen en la descripción

de un fenómeno físico dado, con ayuda de una serie ue técnicas.

Como el objetivo del análisis dimensional es reducir variables y agruparlas en forma adirnensional, nos presenta las siguientes ventajas:

1”) Un enorme ahorro de tiempo y dinero.

2°) Nos ayuda a pensar y planificar un experimento o teoría. Suqir- re fórmulas adirnens ional es de las ecuaciones, ante;-, de gastar tiempo y dinero nara encontrar las soluciones con ordenador. Indica las variables que doDen descartarse; algunas veces se puede rechazar variabl'es, o -¡rupos de variables, mediante el análisis dimensional, haciendo algunos ensavos que mué..tren a>;rj

son poco importantes. También nos dá gran información sobre las relaciones fí­ sicas que estamos intentando estudiar.

3°) Proporciona las leyes de escala jue pueden convertir los datos obtenidos sobre un pequeño modelo de información para el di:,eño do un prot.oti-oo grande. Por ejemplo, antes de construir una nave espacial la debemos de pro bar en base a un pequeño modelo y no en base a un prototipo, con el tamaño de

(11)

z

Análisis dim ensional y similaridad

la nave a construir, pues seria muy costoso hacer esto último. Cabe mencionar que no siempre el modelo tendrá que ser de menor tamaño que el prototipo, y a ­ que puede suceder lo contrario.

Establece que todo fenómeno es posible de ser experimentado medi­ ante una relación análi tica, la misma que deoe cumplirse en cualquier sistema de unidades.

MOTAS :

- El análisis dimensional se sustenta en el "PRINCIPIO DE LA HOMOGE­ NEIDAD DIMENSIONAL", que establece : "Cualquier ecuación deducida analTtica­

mente y que represente un fenómeno físico, debe satisfacerse en cualquier sis_ terna de unidades''.

- La desventaja del análisis dimensional radica en que se requiere el conocimiento previo del fenómeno a estudiarse, para seleccionar adecuada­

(12)

Análisis dimeKsicmal y s imilaridad

TEOREMA DE BUCKINGHAM

Dado un problema fínico en el cual el parámetro denendiente es una función de los ( n - 1 ) parámetros independientes, podemos expresar la rela­ ción entre las variables de la siguiente manera funcional :

9 1 ~ f(clp » q^ > q¿|» ... » ~ ^ donde : = parámetro dependiente

q2 ’ ^3 * ^4 * ... , qn = son los ( n - 1 ) parámetros i ndepend.

Matemáticamente podemos expresar la relación funcional de manera e quivalente como :

9 ^ql ’ q2 ’ q 3 ’ q4 ... . qn ) = 0 donde g es una función conocida diferente de f.

El TEOREMA DE BUCKINGHAM establece : dada una -'elación de la forma g(qi , q2 , q3 , q4 , ... q j - 0

entre n parámetros, éstos se pueden agrupar en ( n - m ) parámetros adimensio nales independientes, generalmente representados con el si ¡obolo t t; dicha re­

lación tiene la forma funcional :

G (tt1 ,tt2 ,tt3 ,7Ta ... l 'n ) = 0 o b ie n : = G1 (tt7 ,tt3 ,ir 4 , ... ,7 ^ ) = 0

Usualmente (pero no necesariamente siempre), el número m es igual al número mínimo de dimensiones independientes necesarias para especificar

las dimensiones de todos 'los parámetros , ... . , qp .

H teorema no predice la forma funcional de G o . Esta relación entre los parámetros tt adimensionales independientes deberá determinarse ex­ perimentalmente.

(13)

4 A nálisis dim ensional

y

similaridad

producto o el cociente de otros parámetros en el problema. Por ejemplo, si :

~ 1/2 ■ r '

3 TT 5 7T

--- , o bien „ resulta evidente que ni tt ni tt^ son

712 V 713 ^4 •

independientes de los demás parámetros adimensionales , t;2 , tt , tt, .

El análi sis dimensional de un problema se lleva a cabo en las sigm entes tres etapas :

- Se establece una lista apropiada de parámetros»

- Los parámetros ir adimensionales se obtienen utilizando el teorema de BUCKINGHAM.

- La relación funcional entre los parámetros tt se determina mediante experimentos.

METODO A S E G U I R PARA APLICAR EL fBORHMA DE BUCKINGHAM

- Clasificación de parámetros :

Para llevar a cabo ésta clasificación o selección de parámetros que afecten, directamente al fenómeno bajo estudio» es necesario tener cierta expe* riencia en dicho aspecto. En el caso de personas inexpertas se le recomienda seleccionar la mayor cantidad posible de parámetros, para que tenga la menor probabi1 i dad de errar.

Cualquier parámetro que se sospecha que influye en el fenómeno a es tudiar, debe ser seleccionado. Si el parámetro, después de los experimentos, resulta ajeno al fenómeno en estudio i el análisis dimensional establecerá un parámetro u adimensional que se debe eliminar completamente.

- Método para determinar los parámetros

Io ) Indicar todos los parámetros de los que se sospechan influir en el fenómeno. Si no se indican todos los parámetros mencionados, al final S’ólo se logrará obtener relaciones que no refléjen una imagen completa del fenómeno

(14)

A nálisis dim ensional y sím ilariaad 5

í 2o ) Determinar un conjunto fundamental de dimensiones, llamado con-| junto de dimensiones primarias. Por ejemplo : masa (M)» longitud (L) y tiempo ¡ (T); fuerza (F), longitud (L) y tiempo (T)$ etc.

I ' 1

3o ) Expresar a todos los parámetros citados en el primer paso, en función de las dimensiones primarias,

4o ) De todos los parámetros indicados en el primer paso, se selec­ cionará una cantidad de parámetros repetitivos* Dicha cantidad de parámetros repetitivos estará dado por el valor del rango de la matriz de dimensiones 8 ( ver ejemplo ),

Al seleccionar los parámetros repetitivos se tendrá cuidado en que estos no tengan las mismas dimensiones netas; por ejemplo, no deberá incluirse

■" 3

en los parámetros repetitivos a una longitud { L ) y a un volumen ( L ). Los parámetros adimensionales que resulten del procedimiento de BU- CKINGHAM son independientes pero no son los únicos. Porque, si se selecciona un conjunto diferente de parámetros repetitivos, se obtendrán diferentes pará­ metros adimensionales. Los parámetros que se prefieren en la realidad, es la practica quién lo determina,

NOTA Sí el rango de la matriz de dimensiones es la unidad, entonces sólo se | obtiene un parámetro adimensional ir* En dicho caso, el teorema de BUCKINGHAM

indica que el parámetro ir ánico debe de ser una constante»

5o ) Crear ecuaciones dimensionales entre los parámetros repetitivos seleccionados en el cuarto paso, con cada uno de los demás parámetros, tratan- do de formar parámetros adimensionales,

6o ) Comprobar que cada parámetro obtenido resulte adimensional. Tal comprobación se acostumbra realizarlo utilizando o ero conjunto fundamental de dimensiones.

H E M d ^ A continuación se presenta la TABLA N°], cuyo contenido se recomien da anal i zarlo y aprenderlo para proceder a resolver problemas í

(15)

6 _____ ______ ________ A nálisis dim ensional y similaridad

T A B L A N" 1

DIMENSIONES DE LAS CANTIDADES DE MECANICA ¡DE FLUIDOS

CANTIDAD SIMBOLO M L T F L i Longitud L L L L2 Area A L2 Volumen ¥ L3 L 1 Velocidad V L T-l L T 1

Velocidad del sonido c

.

L r 1 L r 1

Flujo volumétrico V . Q L3 T-i l3 r 1

Flujo más ico Pregón, Esfuerzo m P , Cf M ' M L I'1 - V 2 F L~!T F L-2 Velocidad de deformación £ T-1 r 1

Angulo 0 no existe no existe

Velocidad angular ÜJ / T-1 T" 1 Viscocidad w M F L-2T Viscocidad cinemática V Li r 1 i„2 r 1 Tensión superficial ,T M T 1 L'1 Fuerza F M iL T ~_ 7 F Momento, Par M M L2 F L Potencia P M 1L T J7 ,.T f l r 1 Densidad P M L“ 3 f r V Temperatura Calor específico Conductividad térmica 0 CP ’Cv K ■e--7 _ ' 1 L" T -0-m l r V 1 -9-7 _ ■;> _ L“ T -9- F T ' V

Coeficiente de expansión ■e**-1 0 - 1

T i empo T T T

Peso especifico T M L'-2T-2 F L‘3

(16)

A nálisis dim ensional y simllarldacl 7

1. EJEMPLO

Se estima que el desempeño de un anillo de aceite lubricante depen de de las siguientes variables: f 1 ujo volumétrico 0, diámetro interno del ani_ lio D, velocidad de rotación N (RPM), viscocidad absoluta del aceite densj_ dad del aceite p v tensión superficial a,

Determine Ud, un conjunto conveniente de coordenadas para organi­ zar los datos*

SOLUCION

| r ) Q , D , N , y , p ,

a

2o ) M , L , T

3°)[ Q ]« L 3 r 1 [ N ]= T ' 1

[ D ] = L [ p J = M L” 1 T"1 4o ) La "MATRIZ DE DIMENSIONES" es la siguiente :

[ P 1 = [ o ] = M L M T -3 Q D N )j p a t M 0 0 0 1 1 1 L 3 1 0 1 -3 0 T -1 0 -1 1 0 ~2

Recordar que el rango de una matriz esta dado por el orden de su determinante no nulo de mayor orden.

= 0 [ ( l ) ( - l ) - ( 0 ) ( 0 ) ] - 0 f ( 3 ) ( - I ) - ( - 1 ) ( 0 ) ] + 0 [ ( 3 ) ( 0 ) - ( - l ) ( l ) > 0 0 0 0 3 1 0 0 -1 0 0 1 3 1 -1 -1 0 -1 - 1 ¿ Q ; entonces : RANGO = 3

(17)

B Análisis dim ensional y nimilaridarf

parámetros repetitivos. Estos serán ; p, D, N 5°) TTa= px Dy N2 CT = M° L° T° = 1

C M L~3)x ( L )y ( r 1) ^ M r 2) = M° L° T°

El parámetro adirnensional será : ' ■ _ ' 0 M : x + 1 = 0 L : ~3x + y = 0 T : -z - 2 = 0 x = -*1 y = •>■3 z = -2 1 p D 3 N2 it2= px Dy N* \¿j= M° '0 T° = 1 -3\x ( M L-J)x { L )y ( T"1)2 ( M L_1r l) = M° L° T° = 1 M : x + 1 = 0 x ="-1 L : -3x + y - 1 = 0 y = -2 T : -z - 1 = 0 z =

El parámetro adirnensional será

y__

tt2=

p D2 N

u 3= px Dy N z Q = M° L° T° = 1

{ M L"3 )x ( L )y ( T_1)z ( L3 T_1 ) = M° L° T°

M : x = 0 ' x = 0 El parámetro adirnensional será :

L : -3x + y H 3 = 0 y = -3 ^

T : - z - 1 = 0 2 . - 1 *

6°) Para la verificación, vease la TABLA N°1 -1 1 F L" 1 p D3 N2 (F L"4T2) (L)3 (T"3”)2 1I2= F I-2! p N (F L_/*T2) (L)2 ( T 1)2 Q = 1 L3 T-1 D J N (L)3 (T_1) = 1

RPTA El conjunto { ^ coordenadas es el conveniente para organi zar los datos.

(18)

A nálisis dim ensional y similaridad 9

SIGNIFICADO FISICO DE ALGUNOS DE LOS PARAMETROS ADIMENSIONALES MAS IMPORTANTES EN LA MECANICA DE FLUIDOS

se presentan con gran frecuencia en el análisis dimensional : 1. NUMERO DE REYIIOLD (Re)

Se le define como el cociente entre las fuerzas de inercia y las fu erzas viscosas

L = Longitud característica, descriptiva del campo de flujo.

Un valor crítico de éste parámetro permite distinguir entre el re- gimen laminar y el regftner. turbulento en un escurrímiento dado; p o r ejemplo , a través de un tubo, en la capa límite o en un f l u j o al rededor de un cuerpo sj j mergido. El valor de este nOmero de Reynold crítico depende de 1 a situación

que se tenga. *

En un flujo compresible, el numero de Mach suele ser más significa­ tivo que el nümero de Reynold,

Al nümero de Reynold se le considera, como el más impórtate para des^ cribir al flujo incompresible.

Indicaciones para el cálculo de Re

A continuación se citará algunos parámetros adimensionales que se

Re *

2 2

p V L p V L (Presión dinámica) x (área) F* Inercia! — --- a --- ™ —

Vi (u V / L) L (Esfuerzo viscoso) x (área) F. Viscosas

r

b ■> a) Re = — - y V2 P V 2 b

(19)

10 A nálisis dim ensional y similaridad

b) Para flujos en ductos :

p v

D = Diámetro hidráulico

H

Forma de calcular el diámetro hidráulico ( D„ ) :H

En general : 4 S V P = Perímetro mojadom °H = Tt D tr D 4 a b D = ---H 2( a + b

2. NUMERO DE EULER (Eu)

Se le define como el cociente entre las fuerzas de presión y la fu­ erza de inercia.

Ap Ap

J

L Fuerza de presión

2 2 /

p V p V / L Fuerza de inercia

Ap = Presión local menos la corriente libre

(20)

A nálisis dim ensional y similaridad 11

En los ensayos de tipo práctico se utiliza normalmente el

coefici-2

ente de presión p/(pV / 2 ), igual al doble del nOmero de Euler.

El número de Euler se aplica en todos aquellos casos en donde la fuerza de presión sea importante (diseño de antenas, chimeneas, cascos de bu­ ques, automóviles, alabes).

3. NUMERO DE FROUDE (Fr)

Se le define como el cociente entre la fuerza de i nercia y, la fue_r za de la gravedad.

2 o

V p \T/L Fuerza de inercia F r * — — --- — = „ ---_ _ — ---- „

L g p g Fuerza de gravedad

En una superficie libre, tál como en los casos de los ríos* la forma de ésta superficie, al formarse ondas, se verá afectada directamente por la fuerza de la gravedad, y, por tanto, en éste tipo de problemas el número de Froude será significativo. Generalmente el número de Froude se emplea en el estudio de fluidos de canales abiertos o,en todo caso en donde las fuerzas gravitacionales sean importates. También el Fr resulta de gran utilidad en el cálculo de sal tos hidráulicos y en el diseño de estructuras hidráulicas y de barcos.

4. NUMERO DE WEBER (Sfe)

Es la relación entre las fuerzas de inercia y la fuerza debida a la tensión super— ficial.

9 2

p V“ L p V /L Fuerza de inercia

We = --- — — — =* — — « — --- — — t— •

or or/L Fuerza de tensión superficial

cr = Tensión superficial del flujo L = Longitud característica del flujo

(21)

12 Análisis dim ensional y ainriilaridad

El número de Weber juega un papel importante sólo si es de orden unidad o menor. Si el número de Weber es grande, sus efectos son despreciables *Se le emplea en los fenómenqs de pulverización y atomización de par tículas ( diseño de toberas, spray, inyectores, eyectores ).

5. m n ero de m m (n) .*■

Se le define como la relación de la raíz cuadrada de la fuerza de i nercia entré la raíz cuadrada de la fuerza que tiene su origen en la compresi- bil idad del fluido.

c

V

p c /L

'V

F

Fuerza de inercia

Fuerza de compresibilidad

c = Velocidad de sonido V = Velocidad relativa

El número de Mach es el importante de los parámetros adimensio-nales, para el estudio de los fluidos compresibles ( p ^ cte ). Por ejemplo, a los flujos compresibles se les clasifican : t

Flujo subsónico si M < 1 ( V < c )

Flujo sónico si M = 1 - ( Vv= c )

Flujo supersónico si M > 1 ( V > c

Flujo transÓnico si ( V ^ c )

Flujo hipersdnico si M > 1 ( V » c )

Si el número de Mach se eleva al cuadrado y se multiplica por pf\/¿ y se divide entre pA/2, el numerador será la fuerza dinámica y e) denominador constituirá la fuerza dinámica del sónido. Se puede interpretar como una medi da de la relación entre la energfa cinética y la energía interna deT flujo.

(22)

TABLA M *l 13

G H U P O S AD I M B K S I O N A L B S P.M M R C A N f C A D E FLUIDOS

PARAMETRO DEFINICION RELACION CUALITATIVA IMPORTANCIA

DE EFECTOS

Número de Reynolds Re . pV L Inercia S i er-spre

V Viscocidad

Número de Mach Ha * ~ Velocidad flujo Flujo compresible

'

' C Velocidad sonido

Número de Froude. Fr ■ V 2 Inercia Flujo con super­

19 Gravedad ficie libro

Número de Weber We . - ^ Inercia Flujo con super­

o Tensión superficial ficie libre

Número de Euler W - A P . . P . P V Presión Pruebas aerodi­

(número de cavitación) . py2 v2 Inercia námicas

Número de Cauchy Cu » , Módulo Volumétrico

P V 2 Inercia

Coeficiente de presiones C * A P/f Presión estítica

V2/2g Presión de velocidad

Número de Prandtl pr , J*&L Disipación Convección de

k Conducción calor

Número de Eckert £c - V 2 Energía cinética Disipación

Cp To Entalpia

Relación de calores Y . Entalpia Flujo compresi­

específicos a Energía interna ble

Número de Strouhal st « — — Oscilación flujo oscilato­

V Velocidad media rio

Rugosidad relativaRugosidad Turbulento, pa­

L Longitud del cuerpo red rugosa

Número de Grashof Gr - ■ 8 A T q L V Flotabilidad Convección na­

v 2 Viscosidad tural

Temperatura de la

Relación de temperaturas Tw pared . * Transporte de

Temperatura de la calor

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14 Análisis dim ensional y similaridad

SEMEJANZA Y ESTUDIOS Eli MODELOS

Debido a que a todos los fenómenos físicos no se les puede explicar \ a través de una expresión matemática, se hace necesario realizar experimentos \ para poder predecir y conocer alguna propiedad en particular; es por ésta ra- I zón en que nace la denominada "TEORIA DE MODELOS'1, la cuál permitió trasladar i el comportamiento del MODELO al denominado PROTOTIPO, a través de un factor de j semejanza llamado "ESCALA" ( puede ser escala de longitudes, de velocidades, ¡ de aceleraciones, de tiempos, de fuerzas, etc),

MODELO Es una reproducción a escala adecuada del denominado prototipo. No ; siempre el modelo es más pequeño que el prototipo.

PROTOTIPO Es aquel objeto construido para ser sometido a condiciones rea­ les de trabajo.

• ■ ' • ■ ' ' ' ' ' ! V m

TIPO DE SEMEJANZA

Semejanza geométrica Un modelo y prototipo son geométricameríte semejantes si, y sólo si, todas las dimensiones espaciales en las tres coordenadas tie­ nen la misma relación de escala lineal'.

En la semejanza geométrica todos los ángulos se consevan. Todas las ¡ direcciones de flujo se conservan. La orientación del modelo y el prototipo, > con respecto a los objetos de los alrededores debe ser auténticamente idéntica,!

Todas las condiciones mencionadas indican que, sólo habrá semejatiza\ geométrica si el modelo fuera una fotografía del prototipo (tomada de cualqui­ er posición, en forma reducida ó ampliada ).

En las figuras que se muestran a continuación, habrá semejanza geo métrica entre el modelo y el prototipo si:

(24)

A nálisis dim ensional y similaridad 15

P R O T O T IP O HODELO

Semejanza cinemática Para que exista semejanza cinemática, necesariamente debe existir semejanza geométrica. Además, que todas las relaciones entre ti - empos homólogos tengan un valor comün, relación de escala de tiempos. Esto se puede expresar : "Los movimientos de dos sistemas son cinemáticamente semejan^ tes si partículas homólogas alcanzan puntos homólogos en instantes homólogos".

Lm

t m l m t p

v p Lp Lp t m TP

Lm Tm

Si : — Si- = a = ESCALA LINEAL y - 2 - = g = ESCALA DE TIEMPOS

LP 1 P

V V

= a (f1 — = Y = ESCALA DE VELOCIDADES ó CINEMATICA V P VP

(25)

16 A nálisis dim ensional y similaridad A nálisis dim ensional y sim ilaridad 17

Las equivalencias de las escalas de tiempos puede exigir considera, clones dinámicas adicionales, tales como la igualdad de los nOmeros de Reynold y de Mach.

Un flujo de fluido incompresible, sin fricción y sin superficie li-j bre, es cinemáticamente con escalas de longitud y tiempos independientes, y no! son necesarios parámetros adicionales.

Los flujos sin fricción y con superficie libre, son cinemáticamente^ semejantes si sus números de Froude son iguales.

Si i os efectos de viscosidad, tensión superficial o de la compres i 4 bilí dad son importantes, 1 a semejanza cinemática está condicionada a que haya ¡ semejanza dinámica,

'

■ ' 1

Semejanza dinámica ^ Para que exista semejanza dinámica, es necesario que ex-| ista semejanza geométrica ( en caso contrario no se debe proseguir ). La seme-S janza dinámica existe simultáneamente con la semejanza cinemática, si ¿odas I las fuerzas aplicadas en el modelo y el prototipo, en puntos correspondientes,i guardan la misma proporción.

Si se desea lograr la semejanza dinámica completa, deberán conside- rarse todas las fuerzas que sean importantes en determinada situación. De este! modo, deben tenerse presentes los efectos de las fuerzas viscosas, de las fuer zas de presión, de las fuerzas de tensión superficial, etc.

También a la semejanza dinámica se le denomina “simi 1 itud de fuerza!

gP mp aP Sean í = <¡> - ESCALA DE FUERZAS

M-77777777777777777777777

Las figuras muestran una semejanza dinámica en el flujo por debajo de una compuerta. El modelo y prototipo tienen poligonos de fuerzas semejantes en puntos homólogos, si los números de Reynold y Froude son Í9U3Ies en ambos ca^ sos.

OBSERVACIONES ;

a) La similitud dinámica implica que se verifica la similitud geonré trica y la cinemática,

b) La semejanza IDEAL, es aquella en la cual todos los números adi­ mensionales, apiicados al modelo y al prototipo, se verifican.

c) Si un objeto está sumergido en el mismo fluido ( como modelo y como prototipo )f y la escala es igual a la unidad, entonces se c¡imple que to­ dos los grupos adimensionales se verifican.

d) No siempre el modelo está inmerso en el fluido en el cual se en­ cuentra el prototipo.

e) ,Cuando se apiica la semejanza a las diferentes TURBOMAQUINAS o en general a máquinas que trabajan con fluidos, se asume la eficiencia total ( mecanica, volumétrica.e hidráulica ). n = n n ri .

(26)

18 A nálisis dim ensional y sim ilaridad

2. EJEMPLO

Se cree que la potencia alimentada a una bomba de flujo axial depen de del gasto volumétrico, de la carga, de la velocidad y del diámetro de la bomba, así como de la densidad del fluido, es decir,

Análisis dim ensional y sim ilaridad 19

0 0 3 2 -1 «2

- 4 ^ 0 ; entonces : RANGO

P - f(Q, H, N, D,

p)

donde Q = gasto volumétrico

H = carga (r>j energía por unidad de masa ) N = velocidad angular D = diámetro i p = densidad

_

o

Se requiere una bomba de flujo axial para proveer 25 pies /s de agua; con una carga de 150 pies Ibf/slug, El diámetro del rotor es 1 pie y se debe o¡ perar a 500 rpm. El prototipo se debe modelar er, un pequeño aparato de pruebasj que tiene 3 caballos de potencia disponible operando a 1000 rpm. Calcule la { carga, el gasto volumétrico y el diámetro del modelo para que el funcionamien-j

to resulte semejante entre el prototipo y el modelo. ’ i

SOLUCION

Cálculo de los parámetros adimensionales ( TEORCMA DE BUCKINGHAM ) :

[ D > [ L ] [ p ] = [ H L-3 ]

Como el rango de la ¡natriz de dimensiones es 3, se seleccionará tres parámetros repetitivos. Estos serán : p, D, N

5°) TTj= Px & Nz P = f f L° 1° = 1 ( M L~3 )x ( L Y ( T -1)2 ( M L2 T~3 ) = hf

M : x + 1 = 0 L : -3x + y = 0 T : -z - 3 = 0 x ■= -1 y --- -5 z = -3

El parámetro adimensional será

P

V

p D5 N3 tt

2* px

D7

Nz

Q; a m

P

T° *

1 m r 3)x ( l f ( r 1)2 ( l 3 r 1) = l° 1°) p, Q, H, N, D » P 2o) M. L, T 3o) [ P ] = [ M L2 T'-3 ] [ H ] = [ L 2 r 2 ] [ Q ] = [ L3 T'1 3 [ N ] = [ T-1 J 4o ) La -MATRIZ DE DIMENSIONES" es la siguiente :

0 2 -2 M : x = 0 L : y +,3 = 0 T : -z - 1 = 0 x = 0 y - ~3 z = -1

El parámetro adimensional será : Q V — *— D N tt3= px D5' N z H = M° L° T° = 1 ( m l-3)x ( l

y

{ T-1)2 ( L2 T'2) = if L° 1° M : x = 0 L . y + 2 = 0 1 : -c - 2 = 0 6°) Verificando : x * 0 y - ~2 z = -2 F L T

El parámetro adimensional será ; H

D2 N2

-1

( F L“V ) ( L )5 ( r 1 )3

(27)

20 Análisis dim ensional y sim ilaridad L3 T"1 v r r ? T F T « 1 L2 T"2 v T T T T F 1? ’

Para que exista similitud entre el prototipo y el modelo s satisfacer / l P " 111M P P

--- §— 3=--- f - y

Pp DP NP Pm °M " J 1T2P = ,r 2M D 3 N D3 N P P M M n 3P = 113M Hp Hm D N ü¿ N P P M M Observese que : Jh q]s L5 T 3 Reemplazando en ( I ) h p p p ° P NP PM °M NM DATOS : Q = 25 pie H = 1 5 0 P i e - M = 4 . 6 6 E Í £ - l b f s lu g I b D = 1 o le

(28)

A nálisis dimeasiou.a.1 y mmiimrí.dmd 21 e debe d . ( i ) . ( i i ) » . ( n i . ( rv ) Asumiendo : pm= pR Q= 62.4 1b/pie~

Despejando y reemplazando datos en

Np= 500 rpm p„= p h n = 52,4 lb /P ie3 p = 3 hp = 1650 M seg 1000 rpm en ( IV ) : Dm en ( II ) : en (III ) : m slug

SEMEJANZA CUANDO SE CONOCE LA ECUACION DIFERENCIAL

En aquellos casos en que sé conozca la ecuación diferencial, que va ha describir el fenómeno en estudio, pueden deducirse los parámetros adimensio^ nales y las leyes de semejanza de su invarianza resultantes, aunque la ecuaci­ ón diferencial no esté resuelta.

Para establecer la semejanza partiendo de las ecuaciones diferencial les que describen el flujo, es un procedimiento bastante riguroso. Si se comi- enza de las ecuaciones apropiadas y se efectúa cada paso de manera correcta,se puede asegurar que todas las variables pertinentes han quedado incluidas.

A continuación se presenta un grupo de problemas con sus soluciones indicadas ó sólo con sus respuestas, con el afán de que el 1ector conozca más acerca del presente capitulo. Por ello, es que se le recomienda resol verlos.

(29)

zz

A nálisis dim ensional y similar idad

GRUPO DE PROBLEMAS NQ1

01. PR0B.~ En el transcurso del desarrollo de la MECANICA DE FLUIDOS, las va riables que frecuentemente participan son 8 : la diferencia de presiones ( A la longitud característica ( L ), la velocidad ( V ), la densidad ( p ), la viscosidad absoluta ( y ), la aceleración de la gravedad ( g ), la velocidad del sonido ( c ), y la tensión superficial ( a ), Determinar los números adi mensionales que caracterizan a los flujos.

SOLUCION

Matriz de dimensiones: Ap .L V p y g c cr

M r- 0 0 1 i 0 0 1

L -i 1 1 -3 -i i 1 0

T -2 0 -1 0 -i -2 -1 -2

RANGO = 3, entonces : p, V, L parámetros repetitivos Los números adimensionales son ; >

Ap "i* ~ 7 T = Eu P Va c tr = ---- = M 4 V Tr2= p V L -1 Re = We ' l g T

—-

Fr~ p V L

02. PROB,- Al sumergir un pequeño tubo en un recipiente que contiene un 1 íqui do, se forma un menisco en la superficie libre d e M d o a la tensión superfici­ al. Los experimentos realizados señalan

que la magnitud de este efecto capilar ( A h ) es una función del diámetro del tubo ( D ), del peso específico del lí­ quido ( If ), y de la tensión superfici­ al ( (T ). Determinar el número de

pará-Ah ■ ^ T U B O

(30)

A nálisis dim ensional y siroilaridad 23

nietros repetitivos y hallar los parámetros adimencionales correspondientes.

S OLUCION

Matriz ele dimensiones : Ah D Y a

M 0 0 1 1

L 1 i -2 0

T 0 0 -2 -2

Cálculo del rango de la matriz de dimensiones

0 0 1 0 0 1 0 1 1

1 1 -2 1! o 0 . '• 0 0 !1 O 1 «2 0

0 0 -2 0 0 -2 0 *“ 2 - 2

= 0

Podemos observar que de todas las matrices de ordén 3x3 formadas, sus determi^ nantes son nulos, razón por la cual el rango no va a ser 3 ( bastaba con que uno de ellos tenga un determinante no nulo para que el rango sea 3 ). Probemos con las matrices de ordén 2x2 ;

0 0 1 1 0 0 = 0 * 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 « 2 0 1 = - 1 * 0 - «2

i

0 1 «2 0 1 ro 0 -2

Existe dos matrices de ordén 2x2 con determinantes no nulos, entonces el rango es 2. (bastaba con una de las matrices).

Se seleccionará dos parámetros repetitivos : D, y Los parámetros adimensionales son :

(31)

24 A nálisis dim ensional y sim ilaridad

03. PROB.- Se cree que la potencia ( P ) necesaria para mover un ventilador de pende de la densidad del fluido ( p )» del gasto volumétrico ( Q ), del diáme­ tro del impulsor ( D ), y de la velocidad angular ( w ). Utilizando el análi­ sis dimensional, determine la dependencia de la potencia con las otras varia­ bles. Selecciónese la densidad, diámetro del impulsor y la velocidad angular como grupo de variables independietes.

S O L U C I O N

Matriz de dimensiones J P p Q D OJ

M 1 1 0 0 0

t 2 «3 3 1 0

T -3 0 -1 0 -1

RANGO = 3 , entonces : p, D, to son los parámetros repetitivos.

Los parámetros adimensionales serán :

n5 3 p D oí

Q .

■1r2= _3 D 03 Hacemos : ir1= f(tt2 ) P = p D5 u 3 f í - * — D - ü)

04. PROB.- En los sistemas de inyección y aspersión de combustible, el chorro de liquido inyectado se rompe formando pequeñas gotas de combustible. El diá­ metro de las gotas resultantes (. d ), se supone que depende de la densidad del

1 íquido ( p ), la viscosidad ( p )» la tensión superficial ( cr ), la velocidad

del chorro ( V ), y el diámetro del chorro ( D ). Determine la dependencia del diámetro de las gotas de combustible en función de las otras variables;

SOLUCION

(32)

A nálisis dim ensional y similaridad ZS

d P P 0 V D

Q 1 1 1 0 0

L 1 .~3 -1 0 1 1

T 0* 0 -1 •1 0

RANGO = 3 , entonces : p, V, D son los parámetros repetitivos.

Los parámetros adimensionales son :

d y a V " D Hacemos : 7^ = f (tt2 » tt2= p V D d - D f(« p V D Tr3r * p V

p v2

D D

05 PROB.- £i coeficiente de arrastre para un flujo alrededor de un tubo cilín drico es 1 y para un ducto cuadrado es 2. Calcular la relación de momentos f]actores en la base de dos chimeneas, una de sección recta circular y otra de sección recta cuadrada; diseñados para igual flujo y velocidad de descarga, sí ambas están sometidas a igual velocidad del viento y tienen la misma al tura. NOTA

F = — C p V2 A

F = fuerza de arrastre p = densidad del fluido V .= velocidad del flujo A = área proyectada

SOLUCION

“ 1 \L

Recordamos que el momento está dado por : M = F L/2

(33)

Zi>

A nálisis dim ensional y similaridad Ívp

Co - 1

M0 = F0 h

n

1 « \p" ñ h — - o ro o o - — Por lo tanto : o 2

M

o = Fo V2

V - i C a p D Vq Aa ^ cd Aa 2 2 C h D o Cp h a Observese que : p = p

o

0

V o = Vo Q—. = Q sn ^o Cómo : Qn = Qq y ? D Reemplazando C. » 1 2 1 D 2 Jí? J ?

(34)

A nálisis dim ensional y similaridad 27

06, La fuerza de resistencia al movimiento de un barco ( F ), es funci­ ón de su longitud ( L ), velocidad ( V ), gravedad ( g ), densidad ( p ) y vis COs i dad ( \i ). Escriba dicha relación en forma adimensional.

Respuesta : F = p L 2 V2 f( L i , — tí— ) V p V L

OJ'. PR0B.~ Un modelo de ala tipo placa plana tiene un ancho de 1.5 m y una longitud (cuerda) de 0.3 m. El modelo se prueba totalmente sumergido en agua,

a una velocidad de 6 m/s, con un ángulo de ataque 0o , la temperatura del agua es 20°C (v= 1.007 x 10’”7 m2/s , p = 1000 Kg/m3 ), y se midió una fuerza de 4.5 N. Calcular las dimensiones del prototipo, que se moverá en aire a 1 bar

y 15°C ( v = 1.6 x K f 6 m /s )» con una velocidad de 36 m/s y un ángulo de a- taque de 0o . ¿ Cuál es la fuerza de arrastre del prototipo ?

aM= 0.3 ¡n í = 1,5 m M v = 1.007 x 10-7 m2 / s M PM- 1009 Kg/n?

F =

4 .5 N M VM= 6 m/s Vp= 36 m/s Vp= 1,6 x 10* m z /$

Observando los parámetros que intervienen en el problema,nos damos cuenta que podemos formar los números adimensionales Re y Eu mediante el análj[ sis dimensional. Además, Ud. podrá notar que el flujo que participa en éste problema puede ser descrito por Re y Eu ( revise l a parte teórica ).

SOLUCION

(35)

ZB Análisis dimensional j similaridai!

Api i cando Reynold ;

Re = X = — = 0.377625 VM VP LP Entonces : £p= 3,972 m ap* 0.794 Aplicando Euler : aPM . &Pp V : APm . \ % PM VM PP VP ’ PM VM AP PP VP Fm Fp ’ Ft>= FM ^ (^l)2. 0.939 N ; '2- ^ A ~ a . »2 P M X AM PM VM V pp v; PM A« VM AP R T „ K 1 p = .— _£. = 0.82656 Kg/m , R = 0.287- J ü - , T = J5°C = 288°K , P = 100 KPa Pp V Kg *K 1

08. PROB»- se requiere simular el flujo.de aire ( p =1,3 Kg/m3 , p -1.8 x lü~5 N-s/m2 ) en un duelo, mediante un flujo de, agua { p =990 Kg/m3, y =1.34x 10~J N-s'/m2 ); a escala 1/4* Si el gas tiene una velocidad media de 26 rn/s : deter­ minar la velocidad en el modelo,

S O L U C I O N

■ Pp ’ Dp

Aplicando Reynold : V = V x —M * x — -£■ x -— — = 10.167 m/s»

p,

PM M

09. PRQB»-. Unos estudiantes de la U,N,I, al estar viajando sobre aguas profun­ das, después de varios dfas de estudio*concluyerón que la velocidad ( V ) de una onda gravitacional en la superficie libre es una función de la longitud de onda.( X }, de la aceleración déla gravedad ( g ), de la profundidad ( h ) y

(36)

Análisis dimensional j si milaridad 29

de la densidad del agua ( p ), Determinar la dependencia funciona] de l a velo­

cidad ( V ) con respecto a las otras variables,

Respuesta : V = VgTh f(x/h)

10. PROB.- Las variables independientes en una turbomáquina son la velocidad angular ( a> )» el diámetro del impulsor ( D )? la densidad y la viscosidad ab­ soluta del fluido. Las variables dependientes son el gasto volumétrico ( Q ), la carga eqival ente a energía por unidad de masa ( H ), y la potencia alimen­ tada ( P ). Utilizando u, y D como parámetros repetitivos efectúese un análi­ sis dimensional.

(a) Determine los parámetros adimensionales que caracterizan este problema,

(b) ¿ Bajo que condiciones resultarán semejantes los flujos en dos maquinas diferentes?

(c) Determine la velocidad de operación de la máquina 2 para el mismo flujo que la máquina 1, si D / D ^ y si los efectos vis­ cosos no son importantes. ¿ Cuál será la razón de cargas (al tu ra piezométricas) bajo estas condiciones ?

Respuestas :

(37)

30 Estudio del flujo viscoso

CAPITULO 2

ESTUDIO DEL FLUJO VISCOSO

INTRODUCCION

Dentro de la subdivisión de flujos viscosos, podemos considerar dos

clases, principales : flujos llamados incompresibles, en los cuales 'la V a r i a c i ­

ón de la densidad es pequeña y relativamente poco importante; y loc- flujos c o­

nocidos como compresibles, en donde las variaciones de Ja densidad .1 ucean un

papel muy importante, como en el caso de los gases a velocidades muv

En el presente capítulo se estudiará a los flujos vIscosos iricomprp

sibles, dejando para después el estudio detallado de los flu.jos compres i c i es t

que se verá en proxirnos capítulos.

Para empezar el estudio del flujo viscoso incompresible, só hará c ) ta de los conceptos y definiciones básicas de las matemáticas y de lo va e s t u ­

diado en el libro "MECANICA DE FLUIDOS".

El 1 ibro Mecanica de Fluidos tt tiene como objetivo, al desarrol lar e 1

estudio del flujo viscoso, dar lo necesario para que el lector pueda resolver 'problemas referidos al presente capitulo. Si el lector desea mayor información;

(38)

Estudio del flujo viscoso 31

se ie recomienda leer textos que tratéln con mayor detalle el ESTUDIO DE LOS

FLUJOS i por ejemplo el libro ''ADVANCED MECHANÍCS OF FLUIDS" por D. W.Appel, P.

G. Hubbard, L. Landweber, E. M, Laursen, J . S. McNown, H. Rouse, T. T, Siao, A. Toch, y C. S, Y i h ; como también otras obras, Pero desde y á , los estudiantes de ingeniería deben recordar que bastará tener muy en claro la deducción y conclu- ción de los análisis que se real izarán en éste capítulo, para poder apiicar las fórmulas que se vana deducir,

VISCOSIDAD

- Es una medida de la resistencia del fluido al corte cuando esta en movimiento.

- Es una propiedad dinámica de desequilibrio.

- Es la resistencia al desplazamiento relativo entre elementos flui­ dos adyacentes.

- Es una propiedad de los fluidos que causa fricción, es decir, es la propiedad de lo fluidos que ocasiona los esfuerzos cortantes en un flujo , asi también, constituye uno de los medios para que se desarrollen las pérdidas e i- rreversabilidades Si no existiese viscosidad, no se tendría resistencia al flij jo.

- Se llama flujo newtoniano a áquel flujo cuyo esfuerzo cortante, al que esta somet-^ nn©Ho v aluar mediante la > i guíente relación:

/ /

/ /

7* *7 u - velocidad del fluido en

la dirección x.

j f r m r j n 'i i m r h r r TTTrr m

t = esfuerzo cortante

(39)

32 Estudio del flujo viscoso Estudio del flujo viscoso

- Para el caso general» la deformación de un fluido en el espacio los esfuerzos cortantes deben ser evaluados en cada plano (xy, yz» xz), según las ecuaciones de Stokes :

/ 3VX 3VY X txy= + --- ) = f. W ’ 3y 3x ' ‘ YX ( 3Vy + 9Vz tyz

~

:— + ~ )= T

XZ dz 3y dz ax ZY z x

- También la ley de viscosidad de Stokes relaciona Tos esfuerzos normales con el campo de velocidades *

> o _ 3V ° x x = _P " — l) V,V + 2v¡ ~ 3 3x 3V íT V * ~P “ ~ ~ P V *V +

77

3 3y

?

3V

0 = -p V,V + 2pi — -ZZ 3 az

en donde p es la presjón termodinámica, Ademad :

=

^-(o

+ a + a ) = -p

3 x x y y z z r

* Esfuerzo promedio

F L U J O Se denomina de esa manera, en forma genérica* al movimiento de un flu ido,sea cual fuera su origen.

CAMPO DE VELOCIDAD!®

El campo de velocidades V- V(x, y, z, t), define la distribución de velocidades como función de las coordenadas del espacio XYZ para un instante t cualquiera.

El campo de velocidades.puede ser expresado;en coordenadas cilindricas y en coordenadas-esféricas.'Ello de­

penderá de la situación en que ros err contremós.

LINEAS DK CORRIENTE

Se denomina de esta forma a la envolvente de los vectores velocidad de las patfculas fluidas en el flujo»

REPRESENTACION DE UH VECTOR

V = V i + V j + V k = ( V . V , V )x y

z x y 2

Ud* también puede representar a cualquier vector en coordenadas cilindricas ó esféri- cas :

I Cxi 'j, z) o r~ y ....

x = r eos 6- r = V x + y

y = r sen % # 3 arcotan(y/x)

(40)

34 Estudio d el Alijo. viscoso Estudio d el Atrio--«tecbgfr- M

■ Coordenadas esfé r ic a s S

_ ■1,1 "r 1 j'„-|

x * r sen# cos-fr r a y x + y + z

■ * x / x T T T '

y = r sen# sen# 0 * arcotang V «

0

,» < x ,V >

z = r cosí? •0* = arcotang (y/x)

OPERADOR V- , . V

í Es un operador vectorial definido por ¡

3V 3V 3V v , y - - £ + - J L + — 2-3x 3y 3z (coordenadas rectangulares) 7 . t ¿ + j i + k 2 -ax ay az ( Coordenadas rectangulares ) 7 = 1r ¿ - + 1e T 3r + í2 — ( Coord. ci 1 fndricas r 30 3z EL GRADIENTE

Se llama así a la operación entre el operador V y una función (o car­ po) escalar derivable E

7E = i — + j — + k —

3x 3y 3z

El significado de VE es :nrapidez de cambio espacial máximo de la función escalar E en magnitud,dirección y sentido?

Nótese que E es un campo escalar p^ro que el gradiente de E, es de cir VE, es un campo vectorial,

LA DIVERGENCIA

Se llama así al producto escalar entre 1 y una funqión (o campo) vec tor'ial V. ar

r ae

az

) • ( i v +

+ í v )

i % ( \i \

1

av

av

^

y y = JL Í J > r y r ) + ± — 2. + L (coordenadas cilindricas) r

ar

r ae az

La divergencia de V, es decir V*V , representa el gasto volumétrico neto de fluido que pasa por un volumen de control infinitesimal, en la unidad de volumen. Para un flujo incompresible, V.V = G, es decir, el flujo neto del fluido desde un volumen de control diferencial debe anularse.

E L ROTACIONAL

Es el producto vectorial entre el operador V y un campo vectorial V.

V x V = r o t V = i j k j t . L . J L

ax ay

ax

v

x

v

y

v

z

av

av

av

av

av

av

= 1(__5--- 3L)+ j(_ _ * --- í)+ k ( _ X _ _ 5 )

ay

az

az

ax

ax. av

(coordenadas rectangulares)

En coordenadas cilin d ric as

av

1

av

av0

n 7i • í 1 z 6

V X V “ 1 ( •** “““™" / - ' a \ i v 2

r r

ae

az az ar r ar

ae

También se demuestra que : V x V = 2uT , doVide w es el vector de rota ción de una partícula fluida. Por lo tanto, el rotacional de un campo de veloci dades se relaciona con la rotación de un campo de flujo.

(41)

-36 Estudio d el flujo viscoso

E L L A P L A C 1 A N O

Es el operador 1 elevado al cuadrado :

2 V - s2 32

V = V , V s -2— + . + —y (coordenadas rectangulares)

3x 3y 3z

7 2= — — (r ¿-) + i » + - ¿ W (coordenadas cilindricas)

r 3r 3r r2 96 3z

IDENTIDADES VECTORIALES IMPORTANTES

Io ) Para toda función continua y derivable <f> ; V x V<j> 53 0

derivable, el brden en su derivación nc

ü U L c J L í L ^

3x 3z 3z 3x 3y 3z 3z 3y

2o ) (V.V)V = - V(V.V-) 4 x ( ! x V) . 2 •

DERIVADA SUSTANCIAL o TOTAL

La derivada sustancial ó total de una función F, se define :

K * 1L <!*. + ü £ Éí + U L ¿ L + SL Dt 3x dt 3y dt 3z dt 3t

Para señalar el hecho de que la derivada respecto al tiempo debe al izarse siguiendo a la partícula, de que se trate, se útil iza la notación

D d

— en vez de — «

Dt dt

Ademas en toda función continua y es importante*, es decir :

2 ?

3 <f> _ 3_é

■.mwmnmimmm — ^ ^

(42)

Estudio del flujo viscoso 37

ACELERACION DE UNA PARTICULA DE FLUIDO EN ON CAMPO DE VELOCIDADES

Conociendo el campo de velocidades V- V (x , y, z), se va a determi nar la aceleración ( a ) de una partícula de fluido

El cambio de velocidad, de la partícula, al moverse de la posición r a la posición (r + dr) está dado por :

dV * — dx + — dy + — dz i+Ü L dt

3x 3y dz d t

■- dV

Como la aceleración es : a - — , entonces dt

a ¿ i 'Él + i i É L + ñ . É L + I I 3x" dt By dt 3z dt 3t

(43)

38 Estudio d el flujo viscoso Estudio: d el ■ flujo yUtcjotio 1 1 FUERZAS QUE ACTUAN SOBRE UNA PARTÍCULA DE FLUIDO EN UN CAMPO DE

VELOCIDADES

Las fuerzas que actúan sobre una partícula de fl uido se pueden cía. sificar como fuerzas volumétricas y fuerzas superficiales. Las fuerzas volumé. tricas, son aquellas que actúan sin contacto físico, y que se distribuyen so­ bre el volumen de fluído. Las fuerzas superficiales, son aquel las que actúan a través del contacto directo, sobre 1 as fronteras del volumen de fluido; las fuerzas superficiales incluyen a las fuerzas normales y a las tangenciales o cortantes.

Teniendo en consideración el siguiente volumen de control diferenc al de fluido, vamos a establecer las relaciones que nos ayuden a calcular las fuerzas actuantes sobre una partícula de fluido :

£1 diferencial del vector fuerza está dado por ;

Sus componentes rectangulares son :

dF = dm dV dt dF dF dm( V dm( V

av•%

+ v

3V ■ x

+ v

av

X

+

_ J L )

av

3x y z 3Z 3t

av

_ L

+ V 3V

_JL + v

3V

JL +

av

_ Z )

3x y 3y z 3z 3t

av

z

+

V

av

z

+ v

av

z +

av

*— —)

ax

y sy z

az

at

dF * dm( V z x

Cálculo de la fuerza superficial en la dirección x ;

)dy dz — (a dF Sx - (cr xx + + (x y x + + (tzx +

3a

XX dx 3X 2 3ty x d/

ay

2 3t zx dz 3z 2 3a xx ¿ i )dy dz 3x 2 9t y x )dx dz

3y 2

)dx dy - ( t

3t 3z 2 )dx dy é 3a 3t 3t • • dFS x = ( — + — ~ ) d x dy dz

3x

ay

az

Corno la fuerza volumétrica por unidad de masa es : B = B i 4- B i 4* B k

x y z

entonces la fuerza volumétrica en la dirección x es :

,dm = B

.p.dV

(44)

r

40 Estudio del flujo viscoso Est odio del flujo viscoso 41

Por lo tanto» la fuerza total en la dirección x será :

3a Bx Bt dFx= dFsx + dFBx = C p.B_ + x bx jxx X + —By + ~Bz )dx dy dz A n álogam ente : Bt 30 3t d v = d F ^ + d F ^ = ( p.B, + — SL + -2 2 . + _ 5 L )dx dy dz 3x ay 3t 3z 3 t 3 t 3 o dK = dFc¡y + dPBz = ( P-Bz +

z

3x

+ ~ ~ + — -)<** dy dz

3y

dz o 3V 3V 3V , 3V 3V + i _ ( . p _ 1 „V.V + 2U - i ) + 2 - b í - 2 - + - J L ) ) + M H ( + - * ) ) = P - F x 3X 3 3x 3y 3y 3x 3z 3z 3x p8 , _ 3V . , 3V 3V . , 3V 3V

+ i- ( « p - - í - p v . v + 2p— *-) + -5 -(p (— 5- + —

+ ~ ( ) i ( —

M ) = p.a

y sy 3y 3x 3y 3x 3z 3y

pB + -L(-p -i-yV.V + 2yÜ£) + JL(p(.Ü*+^)) + _L(ll( i +IÜ¿)) - p.a?

r z Bz 3 Bz Bx 3z 3x By 32 By

ECU ACION D E LÁ .C A N TID A D B E MOVIMIENTO

Como dF * dm . — = p. d¥ . f luego de reemplazar en cada componente de'

dt dt I

dF y simplificar el diferencial de volumen d¥ ~ dx dy dz , nos queda : I

p.B + x 30 y, 3X 3t 3t 3y Bx 3z 3V p ( - £ - + » Bt 3V Bx BV 3V + V y By z 3z p.b .+ - j a + -jüL.. y 3x By Bz 30 Bt. Bt Bt

da

3V p.B + — 2 1 + - J L £ + _ 5 * . . p ( 2 Bx By Bz Bt i + V

av

Bx * v BV

*>y

+ v

3V. Bz

Ahora, recordemos que los esfuerzos normales y cortantes se pueden expresar el términos del gradiente de velocidad y la viscosidad dei fluido (ver ecuacioneí de Stokes de viscosidad)* Reemplazando ;

Las tres ecuaciones anteriores reciben el nombre de "ECUACIONES DE NAVIER-STO KES. Bajo ciertas cons i deraciones, que se hacen para resolver un problema, és tas ecuaciones se simplifican. Por ejemplo, cuando se aplican a flujos incom­ presibles en donde la variación de la densidad es cero y la variación de la viscosidad del fluido se puede despreciar, las ecuaciones quedan simplificadas corno sigue : — + V — ) = p . a x BV 3 Vw BV BV • I ~ p( — * V — — h V — ¿L + V — 3 L ) - p.a. ^ Bt x Bx y By z Bz X ' !. p.a_ p( p( p( BV BV 3V _ * + V

2L + y Bt X Bx y s y BV BV BV

_

2L + V - J L + V - J L + Bt X Bx y BV BV » BV _ J L + V — * - + V — 5.+ 3t X Bx y 3y BV __x Bz 3V ■) = pB «* + )j{ b2v b2v . 3 2V Bx-Bz BV __ z_ Bz ) . PB - Í E . + p ( ay } = pB ~-2£. + ¡j( z 3z 0 Bx" 3y2 3z2 32V 32V a v"> y ■4- _ x . Bx2 3y"0 Bz" b2v a2v 32V z 4.___ L

.

V

z

Bx2 3y2 Bz? = > j>á = - Vp + yV V ...(E c . S i n t e t i z a d a )

Si el flujo además de ser incompresible es un flujo si rozamiento ( p = O ) entonces las ecuaciones de NAVIER-STOKES se reducen a :

p — » pB - Vp

Dt

)

(45)

42 Estudio d el flujo viscoso

FLUJO LAMINAR Y FLUJO TURBULENTO

\

También los flujos viscosos se pueden clasificar en flujos lamina- \

res y flujos turbulentos, 1

Flujo laminar Son aquellos en el cual el f1uido se mueve en laminas paral e-j las, donde no existe un mezclado macroscópico de las capas de fluido adyacen- ;

tes. i

j

Flujo turbulento La estructura del flujo en un regimen turbulento, se carao* terizan por los movimientos tridimensionales, aleatorios, de las partículas de| fluido, supuesto al movimiento promedio. Es decir, se denomina flujo turbulen-; to cuando las trayectorias de las partículas fluidas se cruzan y entre cruzan \

i

continuamente, sin guardar ningún orden. f

DIFERENCIAS ENTRE UN FLUJO LAMINAR Y UN FLUJO TURBULENTO |

- Para un flujo laminar estacionario, la velocidad en un punto permanece cons-j tante* A cambio en un flujo turbulento, el registro de velocidad indica una fluctuación aleatoria de

la velocidad instantanea, u, alrededor del valor m£ dio temporal u. De éste modo, en un flujo turbu^- lento : u = u + u'

Debido a que el flujo es estacionario, la velo­ cidad media, ü, no cambia con el tiempo.

- En un flujo laminar unidimensional, el esfuerzo cortante se relaciona con el

gradiente de velocidad mediante la ley de viscosidad de Newton.

- Para un flujo turbulento, en el cual el campo de velocidades medias es uni di mensional, no existe relaciones tan simples como las señaladas, u' ,v' ,w' son ve locidades (en los tres ejes respectivamente), que transportan cantidad de movi

ill

(46)

---Estudio d el flujo viscoso 43

miento transversal a las líneas de corriente de flujo medio» incrementando el

esfuerzo cortante efectivo. En consecuencia, no existe una relación universal

para anal izar el comportamiento de un flujo turbulento. El estudio de este ti­ po de flujos se basa de modo substancial en teorías semiempíricas y en resulta dos experimentales.

FLUJOS DESARROLLADOS

Para expli car a los flujos desarrollados se tomará en consideración la figura que a continuación se muestra, en el cual se presenta a un flujo la­ minar que ingresa y recorre un tubo de sección transversal circular :

L O N G I T U D DE E N T R A D A (L) En esta parte del flujo el perfil de velocidades recien se estádesarrollando, es de­ cir, dicho perfil vá cambiari do de forma mientras avanza el flujo.

— ---- — De aquí para ade­ lante el perfil de velocida^ des se encuentra completa- /

/ mente desarrollado, es de/ cir, ya no vá a cambiar de forma. Esta forma dependerá del tipo de flujo» laminar o turbulento. También, de a .quí para adelante la acele-

total es cero.

- Para un flujo incompresible, la velocidad en el centro del tubo debe de in­ crementarse con la distancia desde 1 a entrada, con el objeto de satisfacer la

Figure

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