DEDUCCIÓN DE CONDUCCIÓN DE CALOR

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Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS

FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA DE INGENIERIA MECÁNICA Y ELECTRICA

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MECÁNICA

Transferencia de Calor IM-314

Deducción de la Ecuación General de Calor por Conducción

Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas

Ing. Jorge Gallo Navarro ME., MSc., MBA. Ing. Fernando José Zorto Aguilera

ME.

Resumen

En el Estudio de transferencia de calor, uno del mecanismo más utilizado en la ingeniería y como primer tema de cualquier curso de transferencia calor, se estudia a fondo lo que es la transferencia de calor por conducción, en este caso, analizamos un cuerpo rectangular para poder definir la ecuación general de calor en coordenadas cartesianas, esto, es decir que el vector del flujo de calor será ( ) y de esta deduce dicha ecuación general de calor por conducción. Se plantea también que en algunos casos especiales que un un espacio euclidiano es muy complicado para poder resolver ciertos problemas en la transferencia por conducción, en este caso, se expone la solución general para el cambio de coordenadas rectangulares a cualquier Espacio no Euclidiano en coordenadas curvilíneas.

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Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas

Introducción:

En el presente trabajo se deducirá la ecuación general de calor por conducción para cualquier tipo de espacio vectorial, recordando, que el flujo de calor es un vector y que la resolución de dicha ecuación será determinada por la forma geométrica del solido que transfiere energía mediante la conducción en su medio.

Objetivos:

1. Definir una ecuación que generalice el fenómeno físico de la transferencia de calor atreves de la conducción y los fenómenos adicionales de energía que ocurren en el cuerpo en coordenadas rectangulares.

2. Definir una solución general para la transformación de espacio de uno euclidiano con base canónica a otro espacio curvilíneo ortonormal.

3. Definir la ecuación que generalice el fenómeno físico de la transferencia de calor atraves de la conducción y los fenómenos adicionales de energía que ocurren en un cuerpo curvilíneo.

ANALISIS

Ecuación General de Calor por Conducción

La ecuación de calor general en coordenadas rectangulares resulta de un balance de

energía del vector de flujo calor, la energía generada y la energía que se almacena en

dicho sistema. Esto es expresado de la siguiente manera:

(1.1)

̇

(1.2.)

Aplicando la serie de Taylor tendremos que los son iguales a:

(3)

Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas

Por lo tanto:

(1.4.)

(1.5.)

(1.6.)

Sustituyen las ecuaciones 1.3. a la 1.6 en 1.2 Tendremos que

̇

(1.7.)

Acomodando los términos, donde se tiene que:

̇

(1.8.)

Se cancelan los flujos de calor, lo cual, obtenemos la nueva ecuación:

̇

(1.9.)

Al desarrollar un poco más la igualdad anterior, se observa lo siguiente:

(

)

(

)

(

) ̇

(1.10.)

Ahora se debe recordar cómo se define el flujo de calor dado que en este caso ( ), es decir que el flujo de calor es un vector en un espacio coordenado Cartesiano. Al encontrarse en un espacio rectangular se dice que la base que define dicho espacio se encuentra conformada por los vectores ( ) ( ) ( ), los cuales, de denominan base canónica. Planteando lo anterior el flujo de

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Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas

̇ (

̂

̂

̂)

(1.11.) Donde

(1.12.)

(1.13.)

(1.14.)

Retornemos a la ecuación 1.9 y sustituir los flujos de calor respectivos de las ecuaciones de la 1.12 hasta 1.14 :

(

)

(

)

(

) ̇

(1.15.)

(

)

(

)

(

) ̇

(1. 16.)

Pasamos a multiplicar el signo negativo a fuera de los paréntesis:

(

)

(

)

(

) ̇

(1.17.)

En los siguientes pasos se encontrará la ecuación general de calor por conducción ahora se debe determinar los diferenciales de área y volumen involucrados en la ecuación.

(1.18.)

(1.19.)

(1.20.) Adicionalmente

(1.21.)

Hay que hacer una mención de donde salen estos términos de las diferenciales áreas, es el área transversal del flujo de calor de un cubo infinitesimal y el dv se relaciona al volumen infinitesimal del mismo cubo.

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Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas

Sustituyen las ecuaciones 1.18 al 1.20 en la 1.17 se obtienen que:

( ) ( ) ( ) ̇ (1.22.)

Los diferenciales que se encuentran dentro del paréntesis son constantes se pueden pasar a multiplicar a fuera del mismo y ser divididos a ambos extremos de la igualdad:

( ) ( ) ( ) ̇ (1.23.) ( ) ( ) ( ) ̇ (1.24.)

Asumiendo una Conductividad Térmica constante, pasamos el término a fuera de los paréntesis y luego dividiéndolo a ambos lado de la igualdad se tiene:

(

)

(

)

(

) ̇

(1.25.)

(

)

(

)

(

) ̇

(1.26.) Por lo tanto:

(

)

(1.27.) Sustituyendo, se obtiene que:

̇

(1.28.)

Al realizar todas estas operaciones matemáticas la expresión resultante se conoce como

Ecuación de Difusividad o Ecuación General de Conducción de Calor, en el caso que la

conductividad térmica sea constante. La ecuación 1.28 también se conoce como la Ecuación de

(6)

Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas 1. Régimen Estacionario:

(Ecuación de Poisson )

̇ (1.29.)

2. Régimen transitorio sin generación de calor: (Ecuación de difusión)

(1.30.)

3. Régimen estacionario y sin Generación de calor: (Ecuación de Laplace)

(1.31.)

Ecuación de Calor en Coordenadas Curvilíneas

En los problemas reales de transferencia de calor existirán diversas maneras o métodos para poder darles alguna solución, esto conlleva que algunas formas geométricas por donde se manifiesta el fenómeno sea muy difícil analizarlas por coordenadas rectangulares, lo cual, hace mucho más fácil su estudio si transformamos el espacio por donde existe el fenómeno de transferencia de calor. De esta manera, si se plantearán en otro espacio coordenado ajeno a un Espacio Euclidiano normal a uno no Euclidiano se logra generar una transformación curvilínea entre el espacio coordenado cartesiano al nuevo sistema curvilíneo ortonormal como son los ejemplos de los espacios esféricos y los cilíndricos (Tou, 2011).

Así mismo, Esta transformación al nuevo espacio coordenado nos ayuda a expandir nuestra visión sobre el problema de transferencia de calor. Adicionalmente, se dice que un espacio vectorial no Euclidiano, donde un sistema coordenado curvilíneo se encuentra definido por la base conformada por los vectores , , caso contrario, lo que ocurre en

un sistema Cartesiano,

donde, la base canónica está definida por x, y, z, así como se observa en la figura 1.1, En

este caso, los vectores curvilíneos se pueden expresar de la siguiente manera:

Figura 1.1 Espacio Vectoriales a) Rectangular b)Espacio Curvilineo

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Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas

( )

(1.32.)

(

) (

) (

)

(1.33.)

(1.34.)

Donde

son las coordenadas de nuestro nuevo espacio coordenado, así

mismo,

,

,

se conocen como factores escalares, lo cuales, se deben encontrar para

realizar la transformación.

La pregunta fundamental es como definir o realizar una Transformación de un Espacio a otro; Según Osizik (1993) se debe definir en primera instancia la distancia de un vector en la base canónica, ósea, en sus correspondientes coordenadas rectangulares. Esto se calcula según Grossman (2011) de la siguiente manera:

‖ ‖

(1.35.)

Al determinar que el vector tiene características infinitesimales, dado que se mueve de un punto a otro, esa distancia sufre una pequeña variación en su posición, la cual, matemáticamente puede ser expresada como una diferencial del vector V, esto también, diferenciará cada una de sus componentes rectangulares y curvilíneas:

( )

(1.36.) Donde la nueva distancia será:

‖ ‖ (1.37.)

Ahora bien, si una componente se puede expresar en términos de otras componentes del nuevo espacio curvilíneo, podemos decir que cada componente cartesiana puede ser expresada como una diferencial total correspondiente a sus nuevas coordenadas

:

( ) (1.38.)

( ) (1.39.)

La diferencial total se determina de la siguiente manera.

(8)

Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas

) ̂ ( ) ̂ (1.40.)

Desarrollando la serie de Taylor para los primeros términos, a lo cual tenemos:

(1.41.)

Y sustituyendo esta en 1.40, el vector queda:

( ) ̂ ( ) ̂ ( ) ̂ (1.42.)

Eliminando términos semejantes:

(

) ̂ (

) ̂

(

) ̂

(1.43.)

Reagrupando la expresión anterior como sumatorias tendremos lo siguiente:

∑ (

)

̂

∑ (

)

̂

∑ (

)

̂

(1.44.) Dado que:

∑ (

)

(1.45.)

∑ (

)

(1.46.)

∑ (

)

(1.47.)

Los diferenciales de x, y, z son vectores con coordenadas curvilíneas así como lo muestra la ecuación 2.1, por lo tanto, podemos sustituir esta expresión en 2.6, así que,

̂

̂

̂

(1.48.)

(

)

(

)

(

)

(1.49.)

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Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas

̂

̂

̂

(1.50.)

(

)

(

)

(

)

(1.51.)

̂

̂

̂

(1.52.)

(

)

(

)

(

)

(1.53.) Sustituyendo en la 1.37 ‖ ‖ =( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1.54.)

Agrupando términos semejantes:

‖ ‖

((

)

(

)

(

)

)

((

)

(

)

(

)

)

((

)

(

)

(

)

)

(1.55.) Entonces: ‖ ‖

(1.56.) Dónde:

((

)

(

)

(

)

)

(1.57.)

((

)

(

)

(

)

)

(1.58.)

((

)

(

)

(

)

)

(1.59.)

(10)

Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas

De esta manera se encuentran los factores escalares para hacer la transformación, ahora el nuevo vector transformado tendrá las siguientes coordenadas:

( ) (1.60.)

Coordenadas Cilíndricas

Esta es la manera general para cambiar el espacio coordenado para un sistema ortonormal curvilíneo, ahora se analizara que es lo que ocurre en una figura geométrica igual a un cilindro, las coordenadas internamente de un vector en cualquier cilindro se definen de la siguiente manera:

( ) ( ) (1.61.)

Por lo tanto se debe definir como se expresan sus coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas:

(1.62.)

Adicionalmente, se debe de recordar que analizamos este caso para determinar el vector de flujo de calor en coordenadas cilíndricas en ese caso tenemos entonces lo siguiente:

Si analizamos el flujo de calor en una sección infinitesimal de un cilindro, en el cual, existe flujo de calores entrantes, como, salientes donde se generé calor y se almacena parte de la energía, se podría deducir una Ecuación que nos ayude a definir la transferencia de calor en coordenadas cilíndricas. En este caso determinemos con un balance de energía cual sería dicha ecuación:

(1.63.)

̇

(1.64.)

Aplicando la serie de Taylor tendremos que los son iguales a:

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Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas

Por lo tanto:

(1.66.)

(1.67.)

(1.68.)

Sustituyen las ecuaciones 1.66 hasta la 1.68 en 1.64 se tendrá que.

̇

(1.69.)

Acomodando los términos se tiene:

̇

(1.70.)

Se cancelan los flujos de calor, lo cual, obtenemos la nueva ecuación:

̇ (1.71.)

Al desarrollar un poco más la igual anterior tendríamos lo siguiente:

( ) ( ) ( ) ̇

(1.72.)

Ahora bien debemos de determinar en este caso el vector del flujo de calor como función de las coordenadas cilíndricas

̇ ( ̂ ̂ ̂) (1.73.)

Donde los diferenciales de área son los siguientes:

(1.74.)

(1.75.)

(12)

Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas Adicionalmente

(1.77.)

En este caso determinemos el cambio de variables, para esto necesitamos deducir los Factores escalares que determinamos anteriormente:

(( ) ( ) ( )) (( ( )) ( ( )) ( ())) ( ) ( ) (1.78.)

(( ) ( ) ( )) ((

( )) ( ( )) ( ())) ( ) ( ) (1.79.)

(( ) ( ) ( ) ) (( ( )) (

( )) ( ())) (1.80.)

Por tanto tenemos que:

(1.81.) (1.82.) (1.83.) Sustituyendo en la ecuación 1.11 ̇ ( ̂ ̂ ̂) (1.84.) Dónde: (1.85.) (1.86.) (1.87.) (1.88.) Por tanto:

̇ (

̂

̂

̂)

(1.89.) Dónde:

;

;

(1.90.)

(13)

Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas

Este sería el vector del flujo de calor según la ley de Fourier en coordenadas Cilíndricas ahora sustituyendo las ecuaciones 1.90 en la ecuación 1.72:

( ) ( ) ( ) ̇ (1.91.)

Sacando los términos constantes de las respectivas derivadas parciales:

( ) ( ) ( ) ̇ (1.92.) Sustituyendo la ecuación 1.88 en la 1.92: ( ) ( ) ( ) ̇ (1.93.) Se divide y se obtiene: ( ) ( ) ( ) ̇ (1.94.)

Si se asume una conductividad térmica constante se tiene que:

(

)

(

)

(

) ̇

(1.95.)

Esta expresión es la Ecuación General de Calor por conducción en coordenadas cilíndricas. Así como las coordenadas Rectangulares vamos otras variaciones para este determinado espacio curvilíneo:

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Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas 1. Régimen Estacionario: (Ecuación de Poisson en coordenadas cilíndricas) ( ) ( ) ( ) ̇ (1.96.)

2. Régimen transitorio sin generación de calor: (Ecuación de difusión coordenadas cilíndricas) ( ) ( ) ( ) (1.97.)

3. Régimen estacionario y sin

Generación de calor: (Ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas) ( ) ( ) ( ) (1.98.)

Coordenadas Esféricas

Ya analizado el método de transformación de espacio podemos analizar un nuevo conjunto de coordenadas curvilíneas, ahora se realizará el en una figura geométrica igual a una esférica, las coordenadas internamente de un vector en cualquier cilindro se definen de la siguiente manera:

( ) ( ) (1.99.)

Por lo tanto se debe definir como se expresan sus coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas:

(1.100.)

Adicionalmente, se debe de recordar que analizamos este caso para determinar el vector de flujo de calor en coordenadas cilíndricas en ese caso tenemos entonces lo siguiente:

Si analizamos el flujo de calor en una sección infinitesimal de un cilindro, en el cual, existe flujo de calores entrantes, como, salientes donde se generé calor y se almacena parte de la energía, se podría deducir una Ecuación que nos ayude a definir la transferencia de calor en coordenadas cilíndricas. En este caso determinemos con un balance de energía cual sería dicha ecuación:

(15)

Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas

(1.101.)

̇ (1.102.)

Aplicando la serie de Taylor tendremos que los son iguales a:

(1.103.)

Por lo tanto:

(1.104.) (1.105.) (1.106.)

Sustituyen las ecuaciones 1. en 1. Tendremos que

̇ (1.107.)

Acomodando los términos se tiene que:

̇ (1.108.)

Se cancelan los flujos de calor, lo cual, obtenemos la nueva ecuación:

̇ (1.109.)

(16)

Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas

Al desarrollar un poco más la igual anterior tendríamos lo siguiente:

( ) ( ) ( ) ̇

(1.110.)

Ahora bien debemos de determinar en este caso el vector del flujo de calor como función de las coordenadas cilíndricas

̇ ( ̂ ̂ ̂) (1.111.)

Donde los diferenciales de área son los siguientes:

(1.112.)

(1.113.)

(1.114.) Adicionalmente

(1.115.)

En este caso determinemos el cambio de variables, para esto necesitamos deducir los Factores escalares que determinamos anteriormente:

(( ) ( ) ( )) (( ( )) ( ( )) ( ( ))) ( ) ( ) ( ) (1.116.) (( ) ( ) ( )) (( ( )) ( ( )) ( ( ))) ( ) ( ) (1.117.) (( ) ( ) ( )) (( ( )) ( ( )) ( ( ))) ( ) ( ) ( ) (1.118.)

Por tanto tenemos que:

(1.119.) (1.120.)

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Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas

Sustituyendo en la 1.11 las ecuaciones 1.119 a la 1.121:

̇ ( ̂ ̂ ̂) (1.122.) Dónde: (1.123.) (1.124.) (1.125.) (1.126.)

Por tanto sustituyendo en 1.222 las ecuaciones 1.123 hasta la 1.126:

̇ ( ̂ ̂ ̂) (1.127.) Dónde:

; ; (1.128.)

Este sería el vector del flujo de calor según la ley de Fourier en coordenadas Cilíndricas ahora sustituyámoslo en la ecuación 1.110: ( ) ( ) ( ) ̇ (1.129.) ( ) ( ) ( ) ̇ (1.130.) Sustituyendo la ecuación 1.126. En la 1.130 ( ) ( ) ( ) ̇ (1.131.)

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Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas Pasamos a dividir y se obtiene:

( ) ( ) ( ) ̇ (1.132.)

Si se asume una conductividad térmica constante se tiene que: ( ) ( ) ( ) ( ) ̇

(1.133.)

Esta expresión es la Ecuación General de Calor por conducción en coordenadas cilíndricas. Así como las coordenadas Rectangulares vamos otras variaciones para este determinado espacio curvilíneo: 1. Régimen Estacionario: (Ecuación de Poisson en coordenadas cilíndricas) ( ) ( ) ( ) ( ) ̇ (1.134.) 2. Régimen transitorio sin

generación de calor: (Ecuación de difusión coordenadas esféricas) ( ) ( ) ( ) ( ) (1.135.)

3. Régimen estacionario y sin

Generación de calor: (Ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas) ( ) ( ) ( ) ( ) (1.136.)

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Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas

Conclusiones

1. En el balance de Energía que existe en un cuerpo multidimensional, el cual, es afectado por un flujo de calor incidiendo en todas sus dimensiones, así mismo, se le aplica una generación calor y ocurre una almacenamiento de energía, se lograr determina que el ecuación de calor por conducción es una ecuación diferencial parcial, que cuya solución será una función matemática de sus coordenadas en el espacio vectorial que sea estudiado. Adicionalmente esta solución determina la distribución de Temperatura en cualquier punto del espacio vectorial en el estudio. En este caso, se deben plantear las condiciones de frontera o las condiciones físicas para poder determinar la solución más adecuada para dicha ecuación.

2. Se puede realizar un cambio de espacio vectorial, con el simple hecho de realizar un cambio de base entre 2 espacios ortonormales, en este caso, trasladar un Espacio Euclidiano rectangular con base canónica a otro espacio vectorial no Euclidiano con base curvilínea. Se lograr hacerlo con el simple hecho de realizar una diferencial total a las coordenadas curvilíneas que definen a las coordenadas rectangulares en el espacio rectangular. Por tanto, se puede concluir que la trasformación de un espacio a otro es una linealización del mismo con un factor de escala determinado, dicho, términos son los factores escalares a1,a2,a3, los cuales se multiplican a los vectores de la base canónica, lo

que conlleva que la base nueva es una base linealmente independiente

3. La transferencia de calor para un espacio coordenado curvilíneo puede también encontrarse una expresión matemática que modele dicho mecanismo de intercambio de calor, haciendo las respectivas transformaciones de las coordenadas del espacio, se puede determinar cualquier ecuación general de calor para un sinfín de espacios curvilíneos, en nuestro caso los determinados en coordenadas Cilíndricas y esféricas.

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Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas

Bibliografía

1. Cengel, Y. A. (2007). Transferencia de Calor y Masa, un enfoque Práctico. Mexico D.F.: Mcgraw Hill.

2. Grossman, S. (2011). Algebra lineal. Mexico DF: McGraw-Hill. 3. Holman, J. P. (2010). Heat Transfer. New York: Mcgraw-Hill.

4. Osizik, N. (1993). Heat conduction . New York: John Wiley and Sons.

5. Prieve, D. C. (2000). A course in Fluid Mechanics with Vector Field Theory. Pittburgh: Carnegie Mellon University.

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