Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería División de Ciencias Básicas Coordinación de Matemáticas Cálculo Vectorial

Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería

División de Ciencias Básicas Coordinación de Matemáticas

Cálculo Vectorial

Primer Examen Final Colegiado

Tipo A

Semestre: 2016-2 Duración máxima: 2 horas

Nombre: ____________________________________ No. de cuenta: ___________________ 1. Mediante multiplicadores de Lagrange dimensionar una lata cilíndrica con tapa que

debe contener 1 litro de agua, tal que la cantidad de lámina requerida para su elaboración sea mínima.

20 PUNTOS 2. Sea la transformación

2

2

:

2

2

u

a x

y

z

T

v

x

y

b z

w

x

c y

z









 







 







a) Calcular los valores de

a

,

b

y

c

, tal que la transformación sea ortogonal.

b) Empleando la transformación

T

, obtener el vector gradiente



F

de la función

F u v w

( , , )



u

2



v

2



w

2

15 PUNTOS

3. Calcular el trabajo efectuado por el campo de fuerzas expresado por

F x y z

( , , )



yi



(

x



e

2z

)

j



(1



2

ye

2z

)

k

sobre una partícula que se desplaza desde el punto

A ( 1 , 1 , 0 )



hasta el punto

B( 1 , 1 , 0 )

a lo largo del segmento de recta que los une.

1EFA16-2 4. La posición medida en metros de una partícula con respecto al tiempo está

determinada por la función vectorial

r t

( )



( 2 cos , 2

t

sen t

)

, donde t está medido en segundos. La partícula comienza a moverse en

t



0

segundos.

a)

Calcular la distancia recorrida

2



segundos después de que empezó a moverse.

b)

Obtener las coordenadas de la posición de la partícula después de que recorrió

2



metros, medidos desde que comenzó a moverse.

c)

Determinar la aceleración normal en

2

t





.

15 PUNTOS

5. Calcular el área de la porción del plano que se muestra en la figura empleando una integral doble.

15 PUNTOS

6. Calcular el flujo neto del campo vectorial

2

( , , )

(

)

(

)

(3z )

F x y z



yz

i



xz

j +

k

a través de la región D en el primer octante limitada por los planos coordenados y por las superficies

x

2



y

2



4

y

z



2

Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería

División de Ciencias Básicas Coordinación de Matemáticas

Cálculo Vectorial

Primer Examen Final Colegiado

Tipo B

Semestre: 2016-2 Duración máxima: 2 horas

Nombre: ____________________________________ No. de cuenta: ___________________

1. Mediante multiplicadores de Lagrange dimensionar una lata cilíndrica con tapa que debe contener 2 litros de agua, tal que la cantidad de lámina requerida para su elaboración sea mínima.

20 PUNTOS 2. Sea la transformación

2

:

2

2

2

u

x

y

a z

T

v

x

b y

z

w

c x

y

z









 







 







c) Calcular los valores de

a

,

b

y

c

, tal que la transformación sea ortogonal.

d) Empleando la transformación

T

, obtener el vector gradiente



F

de la función

F u v w

( , , )



u

2



v

2



w

2

15 PUNTOS

3. Calcular el trabajo efectuado por el campo de fuerzas expresado por

F x y z

( , , )



yi



(

x



e

2z

)

j



(1



2

ye

2z

)

k

sobre una partícula que se desplaza desde el punto

A ( 1 ,



1 , 0 )

hasta el punto

B ( 1 , 1 , 0 )

a lo largo del segmento de recta que los une.

20 PUNTOS

1EFB16-2

4. La posición medida en metros de una partícula con respecto al tiempo está determinada por la función vectorial

r t

( )



( 4 cos , 4

t

sen t

)

, donde t está medido en segundos. La partícula comienza a moverse en

t



0

segundos.

d)

Calcular la distancia recorrida

2



segundos después de que empezó a moverse.

e)

Obtener las coordenadas de la posición de la partícula después de que recorrió

2



metros, medidos desde que comenzó a moverse.

f)

Determinar la aceleración normal en

2

t





_.

15 PUNTOS

5. Calcular el área de la porción del plano que se muestra en la figura empleando una integral doble.

15 PUNTOS

6. Calcular el flujo neto del campo vectorial

2

( , , )

(

)

(

)

(2 z )

F x y z



yz

i



xz

j +

k

a través de la región D en el primer octante limitada por los planos coordenados y por las superficies

x

2



y

2



4

y

z



2

Universidad Nacional Autónoma de México

Facultad de Ingeniería

División de Ciencias Básicas

Coordinación de Matemáticas

Cálculo Vectorial

Primer Examen Final Colegiado

Tipo C

Semestre: 2016-2 Duración máxima: 2 horas

Nombre: ____________________________________ No. de cuenta:

___________________

1. Determinar los valores extremos de la función

f x y

( , )



x

2



2

y

2 sujetos a la restricción

2 2

1

x



y



.

15 PUNTOS

2. Una partícula se mueve desde el punto A (1,-1,1) para t = 0 s , con una velocidad dada por

( )

[(2 )

(2 )

( ) ]

/

v t



t i



t j



t k

m s

Determinar en t = 1 s :

a) Las coordenadas del punto P donde se encuentra la partícula. b) Los vectores aceleración tangencial y normal de la partícula. c) La curvatura de la trayectoria descrita por la partícula.

20 PUNTOS

3. Determinar la divergencia y el rotacional del campo

( ,

,

)

( cos

)

_r

(

)

( )

_z

F r



z



r



e



r sen



e

_



z e

expresado en coordenadas cilíndricas circulares

15 PUNTOS

4. Sean el campo

R x y z

( , ,

)



( ,

x y z

,

)

y la curva 2 2

1

:

1

x

y

C

z













Calcular c

R x d r



desde

A

(1, 0, 1)

hasta

B

( 0, 1, 1)

. 15 PUNTOS

5.

Calcular la circulación del campo

F x y z

( ,

, )



(

sen x



y z i

)



(2

x z j

)



(

sen z



x y k

)

a lo largo de una vuelta a la curva

2 2

:

9

z

x

y

C

z

 









20 PUNTOS

6

. Calcular el flujo neto del campo vectorial

F x y z

( , , )



(

y z i

)



(

x z j

)



(3

z

2

)

k

a través de la región D en el primer octante limitada por los planos coordenados y por las superficies

x

2



y

2



9

y

z



4

.

15 PUNTOS

Universidad Nacional Autónoma de México

Facultad de Ingeniería

División de Ciencias Básicas

Coordinación de Matemáticas

Cálculo Vectorial

Primer Examen Final Colegiado

Tipo D

Semestre: 2016-2 Duración máxima: 2 horas

Nombre: ____________________________________ No. de cuenta: ___________________

1. Determinar los valores extremos de la función

f x y

( , )



2

x

2



y

2 sujetos a la restricción

x

2



y

2



1

.

15 PUNTOS

2. Una partícula se mueve desde el punto A ( - 1, 1, 1) para t = 0 s , con una velocidad dada por

( )

[(2 )

(2 )

( ) ]

/

v t



t i



t j



t k

m s

Determinar en t = 1 s :

d) Las coordenadas del punto P donde se encuentra la partícula. e) Los vectores aceleración tangencial y normal de la partícula. f) La curvatura de la trayectoria descrita por la partícula.

20 PUNTOS

3. Determinar la divergencia y el rotacional del campo

( ,

,

)

( cos

)

_r

(

)

( )

_z

F r



z



r



e



r sen



e

_



z e

expresado en coordenadas cilíndricas circulares

15 PUNTOS 1EFDCV16-2

4. Sean el campo

R x y z

( , ,

)



( ,

x y z

,

)

y la curva 2 2

1

:

2

x

y

C

z













Calcular c

R x d r



desde

A

(1, 0, 1)

hasta

B

( 0, 1, 1)

. 16 PUNTOS

5.

Calcular la circulación del campo

F x y z

( ,

, )



(

sen x



y z i

)



(2

x z j

)



(

sen z



x y k

)

a lo largo de una vuelta a la curva

2 2

:

4

z

x

y

C

z

 









20 PUNTOS

6

. Calcular el flujo neto del campo vectorial

F x y z

( , , )



(

y z i

)



(

x z j

)



(3

z

2

)

k

a través de la región D en el primer octante limitada por los planos coordenados y por las superficies

x

2



y

2



9

y

z



4

.

15 PUNTOS

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS

CÁLCULO VECTORIAL

Semestre: 2016-2 SOLUCIÓN PRIMER EXAMEN FINAL TIPO “A” 2 2 3 2 2 2 2

1.

( , )

2

2

( , )

1000

( , , )

2

2

(

1000)

( , , )

4

2

2

0

2

0

( , , )

2

0

(2

)

0

1000

0

r h

Sea la figura

f r h

r

rh

función objetivo

g r h

r h

cm función restricción

entonces l r h

r

rh

r h

l r h

r

h

hr

r

h

rh

l r h

r

r

r r

r h













 













































  













_











2 2 3 3 3 3

( , , )

1000

0

2

4

4

4

1

1000

,

(

)(

)

1000

16

1

5

10

20

2

2

2

l r h

r h

r

h

de donde

r

y

h



 































 

 











 

 



2. ) ( , 2, 2) 2 2 2 0 1 ( 2, 1, ) 2 2 2 0 2 ( 2, , 1) 4 0 2 ) (1, 2, 2) 3 1 ( 2, 1, 2) 3 3 ( 2, 2, 1) 3 ) ( , , ) 3 3 3 6 6 6 u v w u v w u v Sean a u a u v a b a v b u w a c b w c v w c b c b u v h h h w F F F c F u v w e e e u e ve w u v w                                                                     ew r h

2 2 2 2 1 2 2 2

3.

0

1 2

( , , )

( , )

( , , )

( , )

( , , )

( , , )

(1,1, 0)

( 1,1, 0)

(2

)

2

2

z z z z z

Si

xF

F es conservativo

F

y

x e

ye

x

y

z

x y z

xy c y z

x y z

xy

ye

c x z

x y z

z

y e

x

x y z

y

ye

z k

w

k

k

w

unidades de trabajo



























 



_



_{ }



_{ }

















 





   

 

  

 

2 0 0

4.

)

( )

(

2

, 2 cos )

2

)

2

2

2

2

(

)

(

2, 0)

)

( )

(

2 cos ,

2

)

(

)

(

2, 0)

(

)

(0,

1)

0

2

2

0

(0,

2)

/

t t N

a

Si u t

sen t

t

s

dt

m

b

dt

t

t

s

r

c

a t

t

sen t

u

a

u a

a

a

m

s

















 

















 

 



 























2 2 2

5.

( )

4

2

2

(s)

1

4

4 1

( )

3

,

( )

3 (

)

( )

6

xy xy xy s x y R R xy R

A s

ds donde z

x

y

A

z

z

dA

dA

A s

dA A s

A R

A s

u



 











 

















2 2 2 0 0 0 2 2 2 0 0 0

6.

6

6

12

24

12

Sea la figura

F

z

zr dz dr d

r dr d

d

unidades de flujo

  









  

 

 





 

 



x y z 2 2 2

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS

CÁLCULO VECTORIAL

Semestre: 2016-2 SOLUCIÓN PRIMER EXAMEN FINAL TIPO “B”

2 2 3 2 2 2 2 1. ( , ) 2 2 ( , ) 2000 ( , , ) 2 2 ( 2000) ( , , ) 4 2 2 0 2 0 ( , , ) 2 0 (2 ) 0 2000 0 r h Sea la figura f r h r rh función objetivo g r h r h cm función restricción entonces l r h r rh r h l r h r h hr r h rh l r h r r r r r h













 





















                    _      2 2 3 3 3 3 ( , , ) 2000 0 4 4 1 1000 ( )( ) 2000 8 1 5 10 20 2 l r h r h de donde r y h 























             2. ) (1, 2, a) 2 2 2 0 2 ( 2, , 2) 4 0 1 (c, 2, 1) 2 2 2 0 2 ) (1, 2, 2) 3 1 ( 2, 1, 2) 3 3 ( 2, 2, 1) 3 ) ( , , ) 3 3 3 6 6 6 u v w u v w u v Sean a u u v b a a v b u w c a b w v w c b c b u v h h h w F F F c F u v w e e e u e ve w u v w                                                                     ew

1 2 2 2 2 2

3.

0

( , , )

( , )

( , , )

1 2

( , , )

( , , )

(1,1, 0)

( 1,1, 0)

(2

) ( 2

)

4

z z z z z

Si

xF

F es conservativo

F

y

x y z

xy c y z

x

x e

x y z

xy

ye

z

ye

x y z

z

y e

z

x y z

xy

ye

z k

w

k

k

w

unidades de trabajo





_



_



_













 



_

_

_

_





_{ }

_

_

_





_{ }

_

_{ }







   

 

    

 

2 0 0

4.

)

( )

(

4

, 4 cos )

4

2

)

4

2

4

2

(

)

(0, 4)

2

2

)

( )

(

4 cos ,

4

)

(

)

(

4, 0)

(

)

(0,

4)

0

2

2

0

(0,

4)

/

t t N

a

Si u t

sen t

t

s

dt

m

b

dt

t

t

s

r

c

a t

t

sen t

u

a

u a

a

a

m

s

















 



















 



 























2 2 2 0 0 0 2 2 2 0 0 0

6.

4

4

8

16

8

Sea la figura

F

z

zr dz dr d

r dr d

d

unidades de flujo

  









  

 

 





 

 



2 2 2

5.

( )

1 2

2

(s)

1

4

4 1

3

( )

3

,

( )

3 (

)

( )

2

xy xy s x y s R xy R

A s

ds donde z

x

y

A

z

z

dA

dA

A s

dA A s

A R

A s

u



 











 

















Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería

División de Ciencias Básicas Coordinación de Matemáticas

Cálculo Vectorial

Solución Primer Examen Final Tipo C

Semestre: 2016-2

1.

2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 (x, y) x 1 ( , ) 2 ( , ) (2 , 4 ) ( , ) (2 , 2 ) (2 , 4 ) (2 , 2 ) de donde 2 2 1 0 2 4 0 1 1 1 2

(1, 0) P ( 1, 0 ) P (0,1) (0, 1) los valores de son : (1, 0) Sea g y y f x y x y f x y x y y g x y x y si f g x y x y x x si si x y y y y x y x P P f f                           _{    }   _{    }      1 (0,1) 2 2 ( 1, 0 ) 1 (0, 1) 2 1

f máximo valor de la función es

f f mínimo valor de la función es

    

2.

2 2 2 1 2 3 1 2 3 2 2 2 2 2 1 ) (t) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 (0) (1, 1,1) c 1, 1 1 1 (t) ( 1) ( 1) ( 1) 2 1 3 3 (1) 2 (2, 0, ) 2 2 ) ( ) 2 2 1 (2, 2,1) (2, 2,1) (2, 2,1) 3 T a R v t dt t c i t c j t c k En t R c c por lo que R t i t j t k Para t R i k P b a t i j k En t a v a u                                 



(2, 2,1) (2, 2,1) (0, 0, 0) ) 0 T N a y a

c k puesto que la trayectoria es una línea recta

 



3.

2 2

1

(

(

cos )

(

)

(

)

1

(2 cos

cos

)

3 cos

1

1

1

(2

)

cos

(3

)

r z z z

Sea la divergencia

F

r

r sen

rz

r

r

z

F

r

r

r

r

El rotacional

e

re

e

xF

r sen

r sen

e

r

r

z

r

z

r

r sen

xF

sen

e



















































































4.

2 2 2 0 0 0 cos : 0, cos 2 1 0 cos 1 ( cos ) ( ) cos 0 cos 2 C c Sea x t dx sent dt c y sent t dy t dt z dz i j k Rx F t sent dt t i sent j k dt sen x t Rxd r i t dt j sent dt k dt Por lo que Rxdr i j k             _   _{ }  _{ }           _     _          











5.

( ) ( ) 2 limitado : ( ) 9 9 ( ) 81 C S S S Sea i j k x F x i z k x y z sen z xy sen x yz xz

El vector normal al circulo S por C es K

F d r x F K dS zdS dS A S



                  









6.





3 4 2 0 0 0 3 4 0 0 4 2 : ; 6 : ( , , ) 0 4, 0 3, 0 ( / 2) 6 6( ) 2 3 2 S S D Flujo neto de F F n dS Por el teorema de Divergencia

F F n dS div F dV div F F Z

En coordenadas cilídricas circulares

D r z z r Flujo de F zr dzdrd rz dz dr rz 













               







  

 

3 0 0 3 0 3 0 3 2 0 3 (16) 2 24 12 12 (9) 108 dr r dr rdr r unidades de flujo











    







Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería

División de Ciencias Básicas Coordinación de Matemáticas

Cálculo Vectorial

Solución Primer Examen Final Tipo D

Semestre: 2016-2

1.

2 2 1 2 3 4 (x, y) (4 , 2 ) ( , ) (2 , 2 ) ( , ) ( , ) (4 , 2 ) (2 , 4 ) (2 , 2 ) de donde 2 4 1 1 2 2 1 0 1 0

(1, 0) P ( 1, 0 ) P (0,1) (0, 1) los valores de son : (1, 0) 2 (0,1 Si f x y y g x y x y Si f x y y g x y x y si f g x y x y x x si si x y y y y x y x P P f f f                          _{    }   _{  }       ) 1 2 ( 1, 0 ) 2 (0, 1) 1 1

máximo valor de la función es

f f mínimo valor de la función es

    

2.

2 2 2 1 2 3 1 2 3 2 2 2 2 2 1 ) (t) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 (0) ( 1,1,1) c 1, 1 1 1 (t) ( 1) ( 1) ( 1) 2 1 3 3 (1) 2 (0, 2, ) 2 2 ) ( ) 2 2 1 (2, 2,1) (2, 2,1) (2, 2,1) 3 T a R v t dt t c i t c j t c k En t R c c por lo que R t i t j t k Para t R i k P b a t i j k En t a v a u                                 



(2, 2,1) (2, 2,1) (0, 0, 0) ) 0 T N a y a

c k puesto que la trayectoria es una línea recta

 

3.

2 2

1

(

(

cos )

(

)

(

)

1

(2 cos

cos

)

3 cos

1

1

1

(2

)

cos

(3

)

r z z z

Sea la divergencia

F

r

r sen

rz

r

r

z

F

r

r

r

r

El rotacional

e

re

e

xF

r sen

r sen

e

r

r

z

r

z

r

r sen

xF

sen

e



















































































4.

2 2 2 0 0 0

cos

:

0,

cos

2

2

0

cos

2

( 2 cos )

( 2

)

cos

0

2 cos

2

2

2

2

C c

Sea

x

t

dx

sent dt

c

y

sent

t

dy

t dt

z

dz

i

j

k

RxF

t

sent

dt

t i

sent j

k dt

sen x

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Rxd r

i

t dt

j

sent dt

k dt

Por lo que

Rxdr

i

j

k

  









 





_





_

_



_

_







 











 

_

 



_













  













5.

( ) ( ) 2 limitado : ( ) 4 4 ( ) 16 C S S S Sea i j k x F x i z k x y z sen z xy sen x yz xz

El vector normal al circulo S por C es K

F d r x F K dS zdS dS A S



                  









6.





3 4 2 0 0 0 3 4 0 0 4 2 : ; 6 : ( , , ) 0 4, 0 3, 0 ( / 2) 6 6( ) 2 3 2 S S D Flujo neto de F F n dS Por el teorema de Divergencia

F F n dS div F dV div F F Z

En coordenadas cilídricas circulares

D r z z r Flujo de F zr dzdrd rz dz dr rz 













               







  

 

3 0 0 3 0 3 0 3 2 0 3 (16) 2 24 12 12 (9) 108 dr r dr rdr r unidades de flujo











    





