CONTROL ANALÓGICO I. MODELADO MATEMÁTICOS DE SISTEMAS DE CONTROL Unidad II

Texto completo

(1)

MODELADO MATEMÁTICOS DE

SISTEMAS DE CONTROL

Unidad II

(2)

Modelado de sistemas

Con la finalidad de diseñar y analizar el

comportamiento dinámico de un sistema

físico, es necesario obtener modelos

matemáticos cuantitativos de ellos.

(3)

Modelado Cont.

(4)
(5)

La mayoría de los sistemas de interés en

el área de control son de naturaleza

dinámica, la forma general de una

ecuación diferencial lineal de orden n es:

Donde:

u es la entrada del sistema

y es la salida del sistema

1 1 1 1 0 1 1 0

( )

( )

( )

( )

...

( )

..

( )

     

 

 

n n m m n n n n m m m m

d y t

d

y t

d u t

d

u t

a

a

a y t

b

b

b u t

dt

dt

dt

dt

(6)

Representación

Además

a

0,

a

1

,…,a

n

y b

0

, b

1

,…,b

m

son constantes o

funciones del tiempo.

1 1

1

...

0 1

...

0

n n m m

n n m m

(7)

Tipos de sistemas

Para los sistemas físicos , además:

Si los coeficientes son constantes, se trata de

sistemas lineales invariantes en el tiempo

(SLIT), por ejemplo: redes eléctricas, sistemas

de suspensión de automóviles, motores

eléctricos, etc.

Si los coeficientes son variables, se les llama

sistemas variantes en el tiempo (SLVT), como

ejemplo tenemos: aviones, hornos, cohetes,

etc

.

(8)

Ejemplos

Analice cada ecuación diferencial y

determine tipo de sistema al que

(9)

FUNCION DE TRANSFERENCIA

 La función de transferencia de un sistema se define como la relación entre la

transformada de Laplace de la variable de salida y la transformada de Laplace de la variable de entrada, suponiendo que todas las condiciones iniciales se hacen igual a cero.

L( ) ( )

L( ) ( )

y Y s

u U s

Ec. Diferencial Ec. Algebraica

Dominio del tiempo Dominio de la frecuencia

L 1  L 1 1 0 1 1 0 ... ( ) ( ) ... m m m m n n n n b s b s b Y s n m U s a s a s a            

(10)

De hecho, la transformada de Laplace

permite resolver ecuaciones diferenciales

lineales mediante la transformación en

ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita

su estudio.

Una vez que se ha estudiado el

comportamiento de los sistemas dinámicos,

se puede proceder a diseñar y analizar los

sistemas de control de manera simple.

¿Por qué Transformada de

Laplace?

(11)

Ejemplos: Obtención de función

de transferencia

Obtener la función de transferencia de

los siguientes sistemas así como los

polos y ceros de la misma.

(12)

OBTENCIÓN DE F.T DE

SISTEMAS

 Considere un circuito eléctrico RC de la figura 2.3, aplique las leyes de voltajes

de kirchhoff para obtener la ecuación diferencial que rige la dinámica del sistema y a partir de esta determine la función de transferencia del circuito considerando como salida Vo(t) y como entrada Vi(t).

Vi (t) + -R C i(t) Vo(t) +

-Aplicando la ley de voltajes de Kirchhoff

0

( ) ( ) ( ) 0

i

(13)

 Además 0

1

( )

( )

V t

i t dt

C

i t( ) C dV t0( ) dt

Sustituyendo las ecuaciones anteriores en la primera

0 0

( )

( )

( )

0

i

dV t

V t

RC

V t

dt

0 0 ( ) ( ) ( )   i dV t RC V t V t dt

(14)

Aplicando

0

( )

0

( )

i

( )

E s

RCsE s

E s

0

( )

1

( )

1

i

E s

E s

RCs

1

s

RC

 

Factorizando y reacomodando

Obsérvese que el polo del sistema está localizado en

.

(15)

Función de Transferencia de

Elementos en Cascada

Se dice que dos elementos están en

cascada, cuando la salida del primero

corresponde a la entrada del segundo.

Hay dos casos:

1.

Si los elementos no se cargan.

2.

Si el segundo elemento produce un

efecto de carga sobre el primero, es

decir, si el segundo elemento toma

(16)

En el primer caso se puede obtener una

función de transferencia del sistema

simplemente eliminando la salida y

entrada intermedias.

(17)

Si el segundo elemento no carga al

primero, obtenemos

 

3

 

 

3

 

 

2

 

 

   

2 1 1 2 1 X s X s X s G s G s G s X s X s X s    

(18)

Ejemplo

Sea el siguiente sistema eléctrico en

cascada mostrado en la figura, obtener

la función de transferencia .

0( )

( )

i

V s V s

(19)

Diagramas de bloques

Esta representación gráfica permite

describir de manera clara el

funcionamiento de un sistema real

(amplificadores, control de motores,

circuitos eléctricos, servomecanismo,

hornos, etc.), debido a que muestra

como se realiza el flujo de señales

dentro del mismo.

(20)

Elementos básicos

Punto de suma: Indica la suma o resta de señales.

Puntos de toma o derivación: Se emplea para indicar que alguna

señal sale  a diferentes lugares. + -+ G(s) C(s) R(s) R2(s) R1(s) R3(s) C(s)=R1(s)+ R2(s)-R3(s) Y(s) Y(s) Y(s) Y(s) a) b) c)

(21)

Reglas para reducir diagramas de

bloques

Una regla para simplificar un diagrama de bloques

consiste en desplazar los puntos de toma hacia la

salida y los puntos de suma hacia la entrada e ir

reduciendo los lazos internos de retroalimentación

aplicando las reglas de las tablas siguientes.

En toda simplificación de diagrama de bloques se deben

cumplir las siguientes reglas básicas.

El producto de F.T. a lo largo de un trayecto desde la

entrada hasta la salida (siguiendo el sentido de las

flechas) debe permanecer constante.

El producto de F.T. a lo largo de un lazo también

(22)
(23)
(24)

Ejemplo

( ) ( ) Y s R s Y(s) R(s) + -+ -1( ) G s G s2( ) G s3( ) 1( ) H s 2( ) H s

Reduzca el diagrama de bloques mostrado en la figura

y obtenga la función de transferencia

(25)

Usando regla 6

Y(s) R(s) + -+ -1 1 ( ) G s 1

( )

G s

1

( )

H s

2

( )

G s

G s

3

( )

2

( )

H s

(26)

 Ahora a partir de la regla 9 y 4 obtenemos el sistema mostrado Y(s) R(s)+ -+ -1 1 ( ) ( ) H s G s 1( ) 2( ) G s G s 3( ) G s 2( ) H s 3 1 ( ) G s

De igual forma usando la regla 4 al esquema de la figura obtenemos

Y(s) R(s) + -+ -1 1 ( ) ( ) H s G s 1( ) 2( ) 3( ) G s G s G s 2 3 ( ) ( ) H s G s

(27)

 Por regla 13 y 2 aplicada a la figura obtenemos Y(s) R(s) + -+ -2 3 ( ) ( ) H s G s 1 2 3 1 1 2 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) G s G s G s H s G s G s G s G s     

Simplificando vía regla 13 el sistema de la figura llegamos al esquema mostrado Y(s) R(s)+ -1 2 3 2 3 1 1 2 3 2 2 3 1 3 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) G s G s G s G s G s H s G s G s G s H s G s G s H s G s      

(28)

Simplificando

Y(s) R(s) 1 2 3 2 3 1 1 2 2 1 2 3 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G s G s G s G s G s H s G s G s H s G s G s G s

(29)

Gráficos de flujo de señal

Nodo.- Es un punto de entrada o salida que representa

una variable o señal.

Nodo fuente.- Este representa las variables

independientes del sistema y es un nodo en donde

solo existen ramas de salida.

Nodo sumidero.- Representa las variables

dependientes del sistema y es un nodo en donde

solamente hay ramas de entrada.

Rama.- Línea con dirección y sentido que conecta dos

nodos.

(30)

Camino o trayectoria.- Es un conexión continua de

ramas de un nodo a otro, en una dirección acorde con

el sentido de las flechas de las ramas.

Trayecto o camino directo.-Es una trayectoria que

conecta a un nodo fuente con un nodo sumidero.

Ganancia del trayecto.- Es el producto de las

transmitancias de todas las ramas del trayecto.

Lazo.- Es un camino o trayectoria cerrada.

Ganancia de lazo.- Es el producto de las transmitancias

de todas las ramas del lazo.

Lazo disjunto.- Es un lazo que no tiene ningún nodo en

común con otro lazo, es decir, no se tocan.

(31)

Semejanzas entre gráficos de flujo de señal y diagramas

de bloques

Gráfico de flujo de señal Diagrama de bloques

Nodo de entrada Señal de entrada Nodo de salida Señal de salida

rama bloque

Transmitancia Ganancia del bloque

Nodo señal C(s) R(s) + -+ -1( ) G s G s2( ) G s3( ) 1( ) H s + - R(s)1 1 G C(s) 1(s) G2(s) G3(s) 1 -1 -H2(s) 1 L 2 L 3 L

(32)

Fórmula de ganancia de Mason

La fórmula de Mason establece que la ganancia de un

sistema esta dada por

          def f e d bc c b a a L L L L L L 1   a a L Donde

k = número de trayectos directos.

Pk = Ganancia de trayectoria de la k-ésima trayectoria directa. Suma de todas las ganancias de lazo individuales.

1 k k k PP 

  bc c bL L   def f e dL L L

Suma de los productos de ganancias de todas las combinaciones posibles de dos lazos disjuntos.

Suma de los productos de ganancias de todas las combinaciones posibles de tres lazos disjuntos.

k = Cofactor del determinante de la k-ésima trayectoria directa del gráfico con los lazos que tocan la trayectoria directa k-ésima eliminados, es decir, el cofactor se obtiene apartir de al eliminar o hacer cero todos los lazos que tocan la trayectoria directa Pk.

(33)

Ejemplo

Identificando las trayectorias directas, tenemos

En este caso hay tres lazos individuales

Como puede observarse, todos los lazos tienen nodos en común, por lo tanto no hay lazos disjuntos.

C(s) R(s) 1 1 G 1(s) G2(s) G3(s) 1 -1 -H2(s) 1 L 2 L 3 L 1 1( ) 2( ) 3( ) PG s G s G s 1 1( ) 2( ) 1( ) LG s G s H s 2 2( ) 3( ) L  G s G s 3 1( ) 2( ) 3( ) 2( ) L  G s G s G s H s

(34)

Ejemplo cont.

Calculando el determinante  del gráfico

Sustituyendo valores

Como solo hay un trayecto directo, calculamos el único cofactor, tenemos:

De manera tal que, la ganancia total o función de transferencia es:

 1 2 3 1 L L L      1 2 1 2 3 1 2 3 2 1 G s G s H s( ) ( ) ( ) G s G s( ) ( ) G s G s G s H s( ) ( ) ( ) ( )      1 1   1 2 3 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G s G s G s P C s P R s G s G s H s G s G s G s G s G s H s        

(35)

MATRIZ DE TRANSFERENCIA

1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                           mr y t u t y t u t y t U t y t u t

( )

( ) ( )

Y s

G s U s

Para un sistema MIMO, se tienen r entradas u1, u2,.., ur y m salidas y1, y2,…,ym definidos como

La matriz de transferencia G(s) relaciona la salida Y(s) con la entrada U(s), o sea

Donde

U(s) vector de entradas de orden r Y(s) vector de salida de orden m

(36)

EJEMPLO DE SISTEMA MIMO

SISTEMA DE SUSPENSION DE UN

AUTOBUS

f(t) x1(t) fv M1 M2 x2(t) K1 K2 Auto Sistema de suspensión Elasticidad de la llanta Masa de la suspensión U(t)

(37)

Modelos matemáticos de sistemas físicos y conceptos de

no linealidades

Durante el proceso de diseño de control

hay que resolver la siguiente disyuntiva.

(38)

Simplicidad vs. Exactitud

Que aspectos debemos considerar para

modelar un sistema?

(39)

Simplicidad vs. Exactitud

(40)

Simplicidad vs. Exactitud

(41)

Se debe establecer un compromiso

entre la simplicidad y la exactitud en el

resultado del análisis.

(42)
(43)
(44)

Al plantear un modelo matemático

debemos decidir entre:

Lineal vs No lineal

f f m m x x Kk Kk K depende de x a) b)

(45)

Ventajas de la linealidad

Aplicación del principio de

superposición.

y(t) K y(t) u(t) u(t) K u1(t) K K u2(t) u2(t) u1(t) y1(t) y2(t) y(t)=y1(t)+y2(t)

(46)

Ejemplo de no linealidades

y(t) u(t) u(t) y(t) y(t) u(t) u(t) y(t) a) Saturación b) Saturaciónde amplificador

(47)

Sistemas con parámetros concentrados

vs distribuidos

f m x K a) b) f m x K mr

(48)

Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo vs Sistemas

Lineales Variantes en el Tiempo

SLIT SLVT

f m x K a) b) f m(t) x K

(49)

Clasificación de los sistemas de

control

Incrementa la facilidad de análisis Incremento de realismo Estocásticos Dinámicos

Estocásticos Determinísticos

Parámetros concentrados Parámetros distribuidos

Lineales No lineales

Coeficientes constantes Coeficientes variables

Continuo Discreto

Primer orden Segundo orden Orden n Sistemas acoplados SLIT SLVT

(50)

Modelado de Sistemas de nivel de

líquido

1

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

i o o i

dh t

q t

q t

C

dt

h t

R

q t

dh t

q t

h t

C

R

dt

(51)

Sistemas de nível de líquido

1

1

1

1

1

1

Aplicando la transformada de Laplace

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )(

)

( )

( )

i i

dh t

q t

h t

C

R

dt

Qi s

H s

CsH s

R

Qi s

H s Cs

R

H s

R

Q s

Cs

CRs

R

(52)

Modelado de sistemas eléctricos

 Las leyes básicas que rigen los circuitos eléctricos son las leyes de

corriente y voltaje de kirchhoff. Los elementos de un circuito incluyen resistores, capacitares, inductores, fuentes de voltaje y de corriente. Para obtener la función de transferencia de los circuitos eléctricos es conveniente tratar los elementos pasivos como impedancias complejas.

C + Vc - 0 1 ( ) ( ) t v t i t dt C i t( ) Cdv t( ) dt  1 Cs Cs L iL ( ) ( ) di t V t L dt  0 1 ( ) ( ) t i t v t dt L Ls 1 Ls R ( ) ( ) v tRi t ( ) ( ) v t i t RR 1 G R

Componente Voltaje Corriente Impedancia Z(s)

Admitancia Y(s)

(53)

EJEMPLO DE MODELADO DE

CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Encontrar la función de transferencia

para el circuito mostrado en la figura.

L iL R V+i(t) - V0(t) + -C Vc +

-Transformando los elementos en impedancias complejas

Ls I(s) Vi+(s) - V0(s) + -Cs R 1 0 1 ( ) 1 ( ) i V s Cs V s R Ls Cs    0 2 ( ) 1 ( )   1 i V s V s LCs RCs Simplificando

(54)

Sistemas mecánicos

Los sistemas mecánicos son aquellos que están compuestos por

masas que al aplicárseles una fuerza se ponen en movimiento,

dos elementos adicionales como son el resorte y el

amortiguador, son empleados en estos sistemas para

representar los efectos de torsión y la fricción que puede

presentarse.

Algunos ejemplos de estos sistemas son:

Grúas,

Sistemas de suspensión de automóviles,

Servomecanismos

Brazos manipuladores

(55)

Modelado de sistema mecánicos

Sistema de suspensión de un

automóvil

2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) v F ma dx t d x t f t Kx t f m dt dt    

(56)

Modelado cont.

2 2 2 2 2

1

Aplicando la transformada de Laplace a cada término

(considerando condiciones iniciales igual a cero)

( )

( )

( ) -

( )

-( ) -

( ) -

( )

( )

( )

( )

( )

( )

v v v v

dx t

d x t

f t Kx t f

m

dt

dt

F s KX s f sX s

ms X s

F s

X s ms

f s K

X s

F s

ms

f s K

(57)

Modelado usando impedancias

mecánicas

 En general los sistemas de control contienen componentes tanto

mecánicos como eléctricos. Desde el punto de vista de su modelo

matemático, la descripción de los elementos mecánicos y eléctricos es análoga. ( ) ( ) F s X s f(t) x(t) M Masa w M g  2 2 ( ) d x f t M dt  2 Ms f(t) K Resorte x(t) f t( )Kx t( ) K f(t) x(t) fv Amortiguador ( ) ( ) v dx t f t f dtv f s Impedancia

Es la propiedad que tiene un elemento para almacenar energía cinética debido a su movimiento de traslación.

Componente Definición Relación

Su análogo es la inductancia

Es un elemento que tiene la propiedad de almacenar energía potencial, su análogo es un capacitor.

Este elemento representa la fuerza de fricción viscosa entre una fuerza aplicada y la velocidad.

(58)

 Considera el sistema masa-resorte-fricción mostrado en la figura,

donde K es la constante del resorte, fv la fricción viscosa y M la masa del cuerpo. Obtenga la función de transferencia y .X sF s( )( ) V sF s( )( )

K

M f(t)

x(t)

fv

v(t)

Aplicando el concepto de las impedancias mecánicas bajo la siguiente estructura:

(59)

 De aquí, tenemos:

 Para el caso de dos grados de libertad:

1 1 2

1 2

Suma de impedancias mecánicas Suma de impedancias mecánica mutuas conectadas al movimiento de x entre x y x

Suma de impedancias mecánica mutuas Suma de impedancias me entre x y x                   1 2 ( ) ( ) 1 2 2 Suma de fuerzas aplicadas a x Suma de fuerzas cánicas aplicadas a x conectadas al movimiento de x                            x s x s

2

( ) ( ) v F sX s Ms  K f s 2

( )

1

( )

v

X s

F s

Ms

f s

K

(60)

Modelado de sistemas mecánicos

rotacionales

 En el caso de los sistemas mecánicos de rotación, los cuerpos

experimentan un movimiento de rotación en lugar de uno de traslación. Estos sistemas tienen como elementos los mostrados

( ) ( ) T s s  T( )t (t) J Inercia 2 2 ( ) ( ) d t T t J dt   2 Js K T( )t (t) Resorte torsional ( ) ( ) T tKt K ( ) ( ) v d t T t f dt   v f s Amortiguador T( )t (t) fv Impedancia Componente Definición Relación

Es la propiedad que tiene un elemento de almacenar energía cinética del movimiento de rotación. Es un elemento que representa la torsión de una varilla o eje cuando está sometido a un par aplicado.

Este elemento representa la fuerza de fricción viscosa entre el par aplicado y la velocidad angular.

(61)

Modelado de sistemas mecánicos

rotacionales

Una de las herramientas básicas que se utilizan para describir

la dinámica de los sistemas mecánicos rotacionales son las

leyes de Newton, la cual establece que: “La suma algebraica

de los momentos o pares aplicados alrededor de un eje fijo es

igual al producto de la inercia por la aceleración angular

alrededor del eje”. Esto puede expresarse mediante la

siguiente ecuación.

Donde

J es la inercia

es la aceleración angular

Pares

J

(62)

Ejemplo

 La figura muestra la representación de un motor que está sujeto a una flecha

flexible, la fricción de los cojinetes se representa por medio de una constante. Determinar la función de transferencia

.

T ( )mTm(t) Cojinetes Jm   ( ) m s T s

primero se realiza una representación esquemática del mismo, empleando los elementos de la tabla

fv K

Jm

(63)

Ejemplo

El análisis del sistema de la figura se

realiza a partir del diagrama de cuerpo

libre.

( )s  T ( )m s J sm 2

 

s   v f ss   Ks Jm

 

 

2

( )

( )

m v m

T

s

K

s

f s

s

J s

s

Aplicando suma de pares

2

 

( ) m v m J sf sK

sT s Obteniendo la F.T.      

Suma de impedancias mecánicas

Suma de pares aplicados conectadas al movimiento en  s         s Se observa que

(64)

Tren de engranes

 Cuando se utilizan sistemas mecánicos rotacionales tales como motores

o generadores, es común que se presente la necesidad de requerir un par diferente al que se genera para aplicarlo a la carga, en esta

situación suelen emplearse los trenes de engranes

.

2 1 1 1 2 2 ( ) ( ) t r N t r N     2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) T t t N T t t N     N2 N1 2( ) T t 1( ) T t N1 N2 1( )t  2( )t

(65)
(66)

Aplicaciones: Barreras para

estacionamientos

BA 1200 ALTA VELOCIDAD: Modelo de alta velocidad y uso intensivo Tiempo

de apertura y cierre: 1,2 segundos. El mecanismo posee una transmisión de engranajes que optimiza el funcionamiento del motor logrando una mayor

velocidad en el ciclo de maniobra. Este tipo de transmisión simple asegura una vida útil muy prolongada del equipo. Esta diseñada para soportar lanzas de hasta 3 metros, de sección redonda o rectangular. El motor que acciona la barrera tiene una potencia de 1/5 de HP

(67)

Ejemplo

Determine la función de transferencia

y . Considere que N

1

=10, N

2

=20, J = 1

kg-m

2

, f

v

= 1 N-m-s/rad y K = 2 N-m/rad.

 

2 1

( )

s

T s

 

1 1 ( )s T s  fv J K T1(t) 1( )t  2( )t  N1 N2 T2(t)

(68)

solución

Podemos eliminar el tren de engranes y obtener el

sistema equivalente mostrado en la figura.

Posteriormente por inspección encontramos la

ecuación de movimiento del sistema.

2

2 2 1 1

( )

( )

v

N

Js

f s

K

s

T s

N

2 2 1 2 1 ( ) ( ) v N s N T s Js f s K  

2 2 1 1 2 ( ) 1 ( )    vs N T s Js f s K N

(69)

Para determinar la otra función de

transferencia, podemos expresar en

función de usando la ecuación

2

( )

s

1

( )

s

1 2 1 2

( )

s

( )

s

N

N

1 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( v ) N N s N N T s Js f s K     1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 ( ) 1 ( ) v s T s N N N J s f K N N N                    

(70)

En un tren de engranes las impedancias

mecánicas se pueden reflejar de un eje

a otro si se multiplica la impedancia

mecánica por el factor:

2

Número de dientes del engrane

en el eje destino

Número de dientes del engrane

en el eje fuente

(71)

Ejemplo

Determinar la FT

2

 

1

( )

s

T s

(72)

Tren de engranes

Para eliminar los engranes con radios grandes, se

utiliza un tren de engranes para poner en práctica

grandes reducciones al poner en cascada

(73)

Modelado de un Motor de CD

 Para un motor de CD controlado por armadura como el mostrado en la

figura. (t)  T(t) Jm Ra La + -+ -Va(t) ia eb fv ( )t  ( )t   t

Considerando los siguientes parámetros para el motor: ia Corriente de armadura (Amp)

Ra Resistencia de armadura ()

eb(t) Fuerza contraelectromotriz (Volts) T(t) Par del motor

(t) Desplazamiento del Motor (Rad) Ka Constante del Par (N-m/Amp)

La Inductancia de la armadura (Henrios) Va(t) Voltaje aplicado en la armadura (Volts)

Kb(t) Constante de la fuerza electromotriz (V/rad/seg) Velocidad angular del motor (rad/seg)

Flujo magnético en el entrehierro (Webers) J Inercia del motor (Kg-m2)

(74)

( ) ( ) ( ) a ( ) 0 a a a a b di t V t R i t L e t dt     ( ) ( ) ( ) a ( ) a a a a b di t V t R i t L e t dt   

( )

( )

b b

e t

K

t

Modelado de la parte eléctrica.

Por ley de voltajes de kirchhoff al circuito de armadura tenemos

Relación eléctrica-mecánica.

La fuerza contraelectromotriz eb(t) se relaciona con la velocidad con la ecuación

( ) t ( ) ( )a

T tKt i t

( )

a a

TK i t

el par desarrollado por el motor depende de la corriente de armadura y del flujo en el entrehierro.

(75)

2 ( ) ( ) ( ) d t d t T t f J dt dt     ( ) ( )t d t dt    ( ) ( ) ( ) d t T t f t J dt    

Modelado de la parte mecánica.

En un motor de CD controlado por armadura el par producido está dado por

Si consideramos la velocidad como salida

(76)

 Aplicando la transformada de Laplace a las ecuaciones ( ) ( ) ( ) ( ) a a a a b a R I sL sI sE sV s ( ) ( ) b b E sKs ( ) a a( ) T sK I s

( )

( )

( )

T s

 

Js

s

 

f

s

Ia(s) Las+Ra Va(s) 1 -+ Eb(s) Ka Ia(s) T(s) T(s) (s) Js+f 1 Eb(s) (s) Kb

(77)

Representación en diagrama de bloques

Ia(s) Va(s) -+ Eb(s) La1s+Ra Kb Ka T(s) (s) Js+f 1 Simplificando



( )

( )

a a a a a b

K

s

V s

L s

R

Js

f

K K

(78)

Motor de CD cont.

Si consideramos que la fricción es

despreciable y que la inercia incluye la

de la carga, tenemos:

( )

( )

(

)

a a m a a a b

K

s

V s

sJ

R

sL

K K

2 ( ) 1 ( ) 1 a a m a m b a b a b s V s L J R J K s s K K K K        

(79)

Definiendo los siguientes parámetros

Constate de tiempo mecánica

Constante de tiempo eléctrica

Normalmente , así se puede

aproximar por , por lo que

a m m a b R J K K   a e a L R

2

( )

1

( )

1

a b m e m

s

V s

K

s

 

s

m e



s

m

e



( ) 1 ( ) 1 1 a b m e s V s K ss   

(80)

Función de transferencia de un

servomecanismo

Determinar la función de transferencia de un

motor de Cd con carga .

(81)

Calculando la impedancia mecánica

equivalente vista en la armadura (eje

fuente).

(82)

De la curva de velocidad-Par,

determinamos las constantes.

(83)

Del modelo del motor de CD

(84)

Para encontrar la FT

como

Entonces

(85)

Referencias

 1.- Nise S. N., Control Systems Engineering, John Wiley & Sons, 4th Edition, 2004.

 2.- Dorf B, Sistemas de Control Moderno, Pearson Prentice Hall, 10ª Edición, 2005.

 3.- Navarro R, Ingeniería de Control Analógica y Digital, McGraw Hill, 1ra Edición, 2004.

4.- Ogata K., Ingeniería de Control Moderno, Pearson Prentice Hall, 4tª Edición, 2003.

 5.- Sinha N. K., Control Systems, John Wiley & Sons, 2nd Edition, 1994.

 6.- Lewis P. H. & Yang C., Sistemas de Control en Ingeniería,1ra Edición, Prentice Hall, 1999.

 7.- D´azzo J. J., Sistemas Retroalimentados de Control, 4a edición, Paraninfo, 1989.

 8.- Kuo C. B, Sistemas de Control Automático, Séptima Edición, Prentice Hall, 1996.

 9.- Phillips L. Ch., Harbor R. D., Feedback Control Systems, Third Edition, Prentice Hall, 1996.

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