Geometria Descriptiva y Trigonometria

(1)

GEOMETRIA

GEOMETRIA DESCRIPTIV

DESCRIPTIVA

A

DEFINICION

::

Es la ciencia que busca representar objetos tridiensionales !

Es la ciencia que busca representar objetos tridiensionales ! que tienen tresque tienen tres dimen

dimensionesiones: s: anchuranchura a altura y altura y profunprofundidadidadd"# sobre una super$cie plana# es"# sobre una super$cie plana# es decir en dos diensiones%

decir en dos diensiones% &a

&a

geometría descriptiva

proporciona los 'undaentos# principios ( arti$cios proporciona los 'undaentos# principios ( arti$cios para resol)er ( counicar *r+$caente los di'erentes eleentos en el espacio para resol)er ( counicar *r+$caente los di'erentes eleentos en el espacio !! puntos, rectas, puntos, rectas, supercies planas supercies planas o curvas, o curvas, solidos o solidos o volúmenes, entre volúmenes, entre otrosotros"#"# en dos o +s

en dos o +s pro(ecciones orto*onalpro(ecciones orto*onales%es%

,na pro(ecci-n es el .todo que se utili/a para representar un objeto sobre ,na pro(ecci-n es el .todo que se utili/a para representar un objeto sobre una super$cie !

una super$cie ! plano plano"% &a ia*en obtenida de la intercepci-n con el plano de"% &a ia*en obtenida de la intercepci-n con el plano de pro(ecci-n# que )an desde el ojo del obser)ador a las di'erentes )istas del pro(ecci-n# que )an desde el ojo del obser)ador a las di'erentes )istas del objeto a representar con un +n*ulo de 012 se

objeto a representar con un +n*ulo de 012 se les llaa pro(ecci-n orto*onalles llaa pro(ecci-n orto*onal

3IG,RA 4: pro(ecciones orto*onales 3IG,RA 4: pro(ecciones orto*onales

APLICACIÓN

:: T

Toda oda disciplina que disciplina que requiera la requiera la representaci-representaci-n n de de eleentos eleentos en en una una super$ciesuper$cie plana !papel" encontrar+# en la Geoetr5a Descripti)a# un *ran aliado% Es por plana !papel" encontrar+# en la Geoetr5a Descripti)a# un *ran aliado% Es por esto que la Geoetr5a Descripti)a se encuentra en todos los planes de estudios esto que la Geoetr5a Descripti)a se encuentra en todos los planes de estudios

(2)

de In*enier5a# Arquitectura# Dise6o# Topo*ra'5a# entre otras% ,na parte de ella estudia la pro(ecci-n acotada# en la cual se basan los planos topo*r+$cos ( de obras p7blicas# los cuales son tra/ados e interpretados noralente por top-*ra'os%

TRIGO8OMETRIA

DEFINICION

:

Tri*onoetr5a# raa de las ate+ticas que estudia las relaciones entre los lados ( los +n*ulos de tri+n*ulos# de las propiedades ( aplicaciones de las 'unciones tri*ono.tricas de +n*ulos% &as dos raas 'undaentales de la tri*onoetr5a son la tri*onoetr5a plana ! se ocupa de guras contenidas en un plano"# ( la tri*onoetr5a es'.rica ! se ocupa de triángulos que forman parte de

la supercie de una esfera"%

Se llaa tri+n*ulo a un pol5*ono de tres lados% Por tanto# el tri+n*ulo es la $*ura *eo.trica cerrada +s siple que e9iste# ( se distin*ue por poseer tres +n*ulos interiores ( carecer de dia*onales% &a conuencia o intersecci-n entre cada dos lados del tri+n*ulo se llaa ).rtice%

Se ;an propuesto )arias clasi$caciones para los tri+n*ulos:

• Se*7n la lon*itud de sus lados# se distin*ue entre tri+n*ulos equil+teros# con los tres lados i*uales< is-sceles# con dos lados i*uales ( uno desi*ual# ( escalenos# con los tres lados distintos%

• Atendiendo a sus +n*ulos interiores# pueden ser a cut+n*ulos# cuando los tres +n*ulos son a*udos< rect+n*ulos# si poseen un +n*ulo recto !01="# ( obtus+n*ulos# cuando al*uno de los +n*ulos es obtuso !a(or de 01="% • &os tri+n*ulos rect+n*ulos constitu(en una 'ailia *eo.trica de

especial inter.s# (a que sir)en de base para la de$nici-n de las ra/ones ( las 'unciones tri*ono.tricas% En los tri+n*ulos rect+n*ulos# se llaa ;ipotenusa al lado opuesto al +n*ulo recto# ( catetos a los otros dos lados%

3IG,RA >: tipos de tri+n*ulos se*7n lados ( +n*ulos

(3)

Puede ser aplicada en una aplia )ariedad de disciplinas entre las que se encuentran la ec+nica# el sector construcci-n# arquitectura# iluinaci-n# '5sica# qu5ica# estad5stica ( en casi todas las raas de la in*enier5a% &as prieras aplicaciones de la tri*onoetr5a se ;icieron en los capos de la na)e*aci-n en las que el principal problea era deterinar una distancia inaccesible% &ue*o su uso se 'ue e9tendiendo en los capos de la in*enier5a en donde se requer5a su uso para calcular estructuras e9actas coo araduras o puentes ;asta lle*ar a capos coo las telecounicaciones donde pueden describir el coportaiento de las ondas electroa*n.ticas ( su propa*aci-n%

TEOREMA DE PITAGORA

:

El teorea re/a que en un tri+n*ulo rect+n*ulo !que tiene un ángulo de 90°"# el cuadrado de la hipotenusa es i*ual a la sua del cuadrado de sus dos catetos# es decir: a2

+

b2

=

c2

3IG,RA ?: rect+n*ulo de lados a# b ( c

Si teneos un tri+n*ulo rect+n*ulo coo el del dibujo del enunciado del teorea podeos construir un cuadrado que ten*a de lado justo lo que ide el cateto a # +s lo que ide el cateto b # es decir

(

a

+

b

)

# coo en la $*ura de la i/quierda%

3IG,RA @: cuadrado de lados a  b

El +rea de este cuadrado ser+

(

a

+

b

)

2 % Si a;ora tra/aos las ;ipotenusas de los tri+n*ulos rect+n*ulos que salen tendreos la $*ura de la derec;a% El +rea del cuadrado# que es la isa de antes# se puede poner a;ora coo la sua de las +reas de los cuatro tri+n*ulos rect+n*ulos azules !base por altura entre

(4)

dos" ab₂ as el +rea del cuadrado interno amarillo c2 por lo tanto el +rea del cuadrado *rande tabi.n se puede e9presar de la si*uiente 'ora:

4

(

ab 2

)

+

c

2

Para deostrar que el teorea de Pit+*oras se cuple podeos i*ualar las dos '-rulas ( encontrar la relaci-n:

(

a

+

b

)

2

=

4

(

ab 2

)

+

c

2

Resol)iendo los par.ntesis obteneos la si*uiente e9presi-n:

a2

+

2ab

+

b2

=

2ab

+

c2

Reali/ando reducci-n de t.rinos seejantes podeos decir que: a2

+

b2

=

c2

APLICACIÓN

:

&a aplicaci-n +s ob)ia del teorea de Pit+*oras se encuentra en el undo de la arquitectura ( de la construcci-n# particularente en lo re'erido encontrar distancias inaccesibles# c+lculo de las caracter5sticas de estructuras con 'oras trian*ulares ( ;astiales% &os *e-lo*os tabi.n usan el teorea de Pit+*oras cuando se rastrea la acti)idad de un terreoto al trian*ular trian*ulando las ondas de propa*aci-n del o)iiento tel7rico%

TRIANGULACIONE

:

,na de las ra/ones que e9plica el inter.s de la $*ura del tri+n*ulo en

*eoetr5a es posibilidad de describir cualquier pol5*ono con)e9o coo una cobinaci-n de tri+n*ulos% Esta t.cnica# llaada trian*ulaci-n# perite

establecer relaciones entre los eleentos de los pol5*onos# as5 coo 'acilitar el c+lculo de sus +reas ( otras propiedades *eo.tricas%

Para trian*ular un pol5*ono con)e9o# basta con ele*ir uno de sus ).rtices ( tra/ar desde .l todas las dia*onales a los ).rtices opuestos% Otro

(5)

procediiento )+lido de trian*ulaci-n consiste en $jar uno o )arios puntos interiores del pol5*ono ( unirlos ediante rectas con cada uno de los ).rtices%

3IG,RA B: di'erentes tipos de trian*ulaci-n sobre un iso pent+*ono

Se puede calcular el +rea de cualquier terreno irre*ular utili/ando este .todo ( conociendo las 'orulas b+sicas de la tri*onoetr5a% Por ello es de )ital iportancia la tri*onoetr5a en el sector de la construcci-n# la arquitectura ( la in*enier5a%

FUNCIONE TRIGONOMETRICA

:

,na 'unci-n tri*ono.trica# tabi.n llaada circular# es aquella que se de$ne por la aplicaci-n de una ra/-n tri*ono.trica a los distintos )alores de la )ariable independiente# que ;a de estar e9presada en radianes% E9isten seis clases de 'unciones tri*ono.tricas: seno ( su in)ersa# la cosecante< coseno ( su in)ersa# la secante< ( tan*ente ( su in)ersa# la cotan*ente% Para cada una de ellas pueden tabi.n de$nirse 'unciones circulares in)ersas: arco seno# arco coseno# entre otras%

(6)

3IG,RA : Ra/ones tri*ono.tricas

LA FUNCIÓN ENO

: Se denoina 'unci-n seno# ( se denota por f

(

x

)=

sen

(

x

)

# a la aplicaci-n de la ra/-n tri*ono.trica seno a una )ariable independiente

x e9presada en radianes% &a 'unci-n seno es peri-dica# acotada ( continua# ( su doinio de de$nici-n es el conjunto de todos los n7eros reales% &a 'unci-n cosecante puede calcularse coo la in)ersa de la 'unci-n seno e9presada en radianes%

3IG,RA : Gr+$ca de la 'unci-n seno%

LA FUNCIÓN COENO!

&a 'unci-n coseno# que se denota por f

(

x

)=

cos

(

x

)

# es la que resulta de aplicar la ra/-n tri*ono.trica coseno a una )ariable independiente 9 e9presada en radianes% Esta 'unci-n es peri-dica# acotada ( continua# ( e9iste para todo el conjunto de los n7eros reales% &a 'unci-n secante se deterina coo la in)ersa de la 'unci-n coseno para un +n*ulo dado e9presado en radianes%

3IG,RA : Gr+$ca de la 'unci-n coseno%

LA FUNCIÓN TANGENTE!

Se de$ne 'unci-n tan*ente de una )ariable nu.rica real a la que resulta de aplicar la ra/-n tri*ono.trica tan*ente a los distintos )alores de dic;a )ariable% Esta 'unci-n se e9presa *en.ricaente coo f

(

x

)=

tg

(

x

)

# siendo x la )ariable independiente e9presada en

(7)

radianes% &a 'unci-n cotan*ente es la in)ersa de la tan*ente# para cualquier +n*ulo indicado en radianes%

3IG,RA 0: Gr+$ca de la 'unci-n tan*ente%

APLICACION

:

Cualquier tri+n*ulo puede resol)erse !resolución de triángulos" si se conocen tres de sus eleentos# donde# coo 5nio# uno de ellos debe de ser un costado% En particular# conociendo dos de sus lados ( el +n*ulo que 'oran se puede calcular el +rea de un tri+n*ulo% Por lo tanto# se pueden aplicar tres '-rulas para el c+lculo del +rea dependiendo de los dos lados que se cono/can

(

a y b

)

,

(

a y c

)

o

(

b y c

)

%

(8)

3IG,RA 41: trian*ulo con un +n*ulo ( dos catetos conocidos

Sea un tri+n*ulo con dos costados conocidos

(

b y c

)

( el +n*ulo que 'oran

(

A

)

_{% El +rea de .ste ser+ un edio la base}

(

b

)

_{por la altura}

(

h

)

_%

area

=

1

2

(

b

) (

h

)

Coo antes estudiaos las ra/ones tri*ono.tricas% &a altura

(

h

)

se puede calcular a partir del costado

(

c

)

( el seno del +n*ulo

(

A

)

%

h

=(

c

)

sin

(

_A

)

Sustitu(endo el )alor de la altura h que acabaos de despejar en la '-rula para el +rea tendreos

area

=

1