A. Espacios vectoriales y TLs: Práctica 1 (2018)

(1)

Co Co Co Co Co Co Co Co Co

Convnvnvennvnvnvencicicicici´´´oooo´´on dn de En dn dn dn dn de Ee Ee Eine Eininininininststststststeieieieieieieieieiein pn pn pn parn pn pn pn para la la la la la la sa suma sa sa sumatatorororiaiaiaia

Tr Tr Tr Tr Tr Tr Tr Tr Tr Tr Tr

TranananananansfansfsforsfsfsfsfororormamamamamacioncicicicicionononesesesesesesLiLiLiLinenenealalaleseses Ca Ca Ca Ca Ca Ca Ca

Cambmbiombmbioioioioioioioioiodedededededebabasebababababasesesesey cy cy cy camambibio do do de ce ce ce coooooooordrdenenadadasas

A. Espacios vectoriales y TLs: Pr´actica 1 (2018)

Comprende los Cap´ıtulos 2 y 3 de los apuntes correspondientes al m´odulo de ´Algebra Lineal.

A.1 Espacios Vectoriales A.1.1 Definici´on

Problema A.1— El árbol genealógico de los espacios vectoriales. Los espacios vectoriales son estructuras algebráicas complejas formadas por un conjunto de elementos con dos operaciones binarias que satisfacen 8 axiomas sobre otra estructura algebráica más simple denominada cuerpo.

Ejercicio A.1 Dado un conjunto V de elementos arbitrarios y un conjunto num´erico con caracter´ısticas de cuerpo, K. A partir de dos operaciones ⊕ y · (definirlas sobre los conjuntos), enumerar las propiedades que deben satisfacerses para que la estructura o

4-upla (V, K, ⊕, ·) sea un espacio vectorial.

Ejercicio A.2 Sea V = {(x, y)|x, y ∈ R}. Se define:

1. la adici´on entre vectores como: (x, y) ⊕ (x′, y′) = (x + x′, y+ y′) y la multiplicaci´on entre vectores y escalares como: c ⊙ (x, y) = (cx, y),

2. la adici´on entre vectores como: (x, y) ⊕ (x′_{, y}′_{) = (x + x}′_{, 0) y la multiplicaci´}_on entre vectores y escalares como: c ⊙ (x, y) = (cx, 0),

¿Es V un espacio vectorial con estas operaciones sobre el cuerpo K de los reales?

Ejercicio A.3 Sea V = {(x, y) | x, y ∈ C}. Se define la adici´on entre vectores como: (x, y) ⊕ (x′, y′) = (x + x′+ 1, y + y′+ 1), y la multiplicaci´on entre vectores y escalares como: c ⊙ (x, y) = (cx + c − 1, cy + c − 1), entonces:

(2)

complejos?

2. ¿es el conjunto {(1, 0), (6, 3)} una base de V ?

Ejercicio A.4 Comprobar que los siguientes conjuntos, con las operaciones y soportes num´ericos heredados son subespacios vectoriales.

a) Las matrices A ∈ R3×3 de traza nula b) W = {(x, y, z) ∈ R3_{| x − 2y + z = 0}}

Ejercicio A.5 Escribir la definici´on de subespacio vectorial de un determinado espacio y demostrar que para comprobar que efectivamente es un subespacio vectorial no es

necesario comprobar todas las propiedades.

Ejercicio A.6 Determinar si los siguientes conjuntos conforman una base para los espacios indicados a) {(1, −1)} del espacio W = {(x, y) ∈ R2_{| x + y = 0}} b)2 0 0 −2 ;0 1 0 1 ;0 0 0 1

de las matrices A ∈ R2×2 _{de traza nula.}

Ejercicio A.7 Hallar dos bases distintas para el subespacio de R3_{, W = {(x, y, z) ∈} R3_{| x − y + z = 0}}

Ejercicio A.8 Obtener las coordenadas del vector ~v = (1, 2, 3) en las siguientes bases de R3

a) B1= {(1, 0, 0); (1, 1, 0); (1, 1, 1)} b) B2= {(1, 0, 0); (0, 1, 0); (1, 1, 1)} c) B3= {(1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1)}

d) B4= {(1, 0, 1); (1, 1, 0); (0, 1, 1)}

A.2 Convenci´on de Einstein para la sumatoria

Problema A.2 — El tiempo es oro. Para entender lo valioso (por lo práctico) de la convención de Einstein vamos a practicar cómo reescribir algunas expresiones que se han visto en Análisis1_{. Haga uso del s´ımbolo de Levi–Civita (si no sabe lo que es,} aver´ıguelo).

Ejercicio A.9 Escriba las siguientes expresiones usando a) expansi´on por componentes, y b) convenci´on de Einstein para la sumatoria:

1. [~v × ~w]i, 2. ~v × ~w,

1_{Si bien es a´}_{un m´}_{as interesante ver el potencial simplificativo de la notaci´}_{on de Einstein en Relatividad} General, para resolver este tipo de ejercicios se deben tener ciertos conceptos que a esta altura no se han introducido y otros que están fuera del alcance de la materia, por lo que el presente comentario es más bien anecdótico, i.e. simplemente para que lo tenga en cuenta.

(3)

donde la primera indica la componente i del vectora

que resulta de hacer el producto

vectorial entre los vectores ~v y ~w (considere dimensi´on 3).

a

Note que se está hablando de componente y no de coordenada. La primera es uno de los elementos de los que se compone el vector, la segunda es el coeficiente que resulta de su proyección en una base. Si la base es la canónica, las coordenadas coinciden numéricamente con los valores de las componentes. Ahora, sólo usando la convención de Einstein para la sumatoria:

Ejercicio A.10 Escriba la divergencia del rotor del campo F y calcule su valor.

Ejercicio A.11 Demuestre usando a) expansión por componentes, y b) convención de Einstein para la sumatoria, la siguiente identidad: ~v · (~v × ~w) = 0. De aqu´ı en más, todo lo que se pueda, lo escribirá en notación de Einstein.

A.3 Transformaciones Lineales

A.3.1 Cambio de base y cambio de coordenadas

Problema A.3 Un cambio de base en un espacio de dimensi´on n, B_{= {e1, e2, . . . , en} → B}′_{= {e1}′_{, e2}′_{, . . . , en}′_} es caracterizado por las relaciones

e′_µ = n

∑

ν=1 Λν_µeν

o, utilizando la convenci´on de Einstein,

e′_µ= Λν_µeν

donde podemos notar que los n´umeros Λα_β son las coordenadas del vector e′_β representado en la base B = {e1, e2, . . . , en}.

Ejercicio A.12 Hallar los Λα

β en los siguientes casos

a) B1→ B2

b) B1→ B3

c) B3→ B4

donde las bases son las del ejercicio A.8.

Dada una determinada base, un determinado vector, ~v, tiene por representaci´on ~v= vαeα

donde las cantidades (escalares) vα _{son las coordenadas. Obviamente, al cambiar la base,} las coordenadas necesariamente deben cambiar.

~v= v′βe′_β Si el cambio de base viene caracterizado a trav´es de

(4)

demostrar que el cambio de coordenadas viene dado por v′β =Λ−1β

αv α

Pista: aprovechar la invarianza de ~v = vα_e

α= v′βe′_β y aplicar el cambio de base. En t´erminos pr´acticos, si tenemos un arreglo que da el cambio de base (y lo pensamos como una matriz, Λ) donde Λα

β indica fila α y columna β , la matriz de cambio de coordenadas se obtiene a partir de Λ invirtiendo y transponiendo.

Ejercicio A.13 Si un determinado vector en R3 _{tiene por coordenadas}   3 2 1  en la base

B₄_{del ejercicio A.8. Determinar sus coordenadas en las otras bases.}

Ejercicio A.14 Dada la transformaci´on T : R3_{→ R}2_{definida como} T(x, y, z) = (x + y + z, z − y)

. Determinar si es lineal. Hallar el n´ucleo y la imagen de T.

Ejercicio A.15 Expresar una transformaci´on lineal en el plano R2 _{que represente una}

rotación de ángulo θ . Utilizar la base canónica.

Ejercicio A.16 Dada una transformaci´on lineal T : V → W , demostrar que el n´ucleo es

un subespacio de V y que la imagen es un subespacio de W .

Ejercicio A.17 De una matriz A se sabe que es 4 × 4 y que para ~vT _{= (1, 1, 1, 1)}T_{, los} valores de An_~vT_{, para n = 1, 2, 3, 4 son:}

A~vT = (1, −1, 1, −1)T_; A2~vT = (1, 0, −1, 0)T; A3~vT _{= (0, 1, 0, −1)}T_; A4~vT = (1, −1, 2, −1)T_.

1. Compruebe que los vectores (columna) {~vT_{, A~v}T_{, A}2_~vT_{, A}3_~vT_{} son linealmente} in-dependientes (recuerde hacer uso de la convenci´on de Einstein para la sumatoria para reescribir sus expresiones lo m´as compactas posible).

2. Calcule A en la base can´onica. 3. Calcule A en la base B = {~vT_{, A~v}T_{, A}2

~vT_{, A}3 ~vT_}.

Ejercicio A.18 Identifique la matriz cambio de base entre los siguientes sistemas, a partir de la informaci´on suministrada:

(5)

1. Cil´ındrico y cartesiano:

eρ = cos(θ ) ⊙ ex⊕ sin(θ ) ⊙ ey eθ = −ρ sin(θ ) ⊙ ex⊕ ρ cos(θ ) ⊙ ey

ez = ez

2. Esf´erico y cartesiano:

er = cos(θ ) sin(φ ) ⊙ ex⊕ sin(θ ) sin(φ ) ⊙ ey⊕ cos(φ ) ⊙ ez eθ = −r sin(φ ) sin(θ ) ⊙ ex⊕ r sin(φ ) cos(θ ) ⊙ ey

eφ = r cos(θ ) cos(φ ) ⊙ ex⊕ r sin(θ ) cos(φ ) ⊙ ey⊕ −r sin(φ ) ⊙ ez