INGENIERÍA HIDRÁULICA Y AMBIENTAL, VOL. XXV, No. 2, 2004
Félix Dilla Salvador, Ingeniero Hidráulico, Doctor en Ciencias Técnicas, Profesor Titular, Centro de Investigaciones Hidráulicas (CIH), Instituto Superior Politécnico José A. Echeverria, Cujae, Ciudad de La Habana e-mail: fdilla@cih.cujae.edu.cu
Un enfoque integrado de la resistencia fluida
en flujo permanente, uniforme e incompresible
Resumen / Abstract
Del estudio de la capa límite laminar a lo largo de unaplaca plana lisa, donde la ley de Newton de la viscosidad prevalece, se deduce una expresión para el esfuerzo cortante en la superficie de la placa dada por:1
0
ς
=
l ? u
2/ 2 ...(1)
donde:u: Velocidad del flujo alejado del contorno.
r: Densidad absoluta del fluido.
D: Coeficiente adimensional, llamado por Rouse coeficiente de empuje local.
Al existir turbulencia en la capa límite a lo largo de la placa, cambia la distribución de las velocidades y el empuje superficial, sin embargo, el coeficiente l tiene el mismo significado que el de la capa límite laminar.1
Este análisis, realizado a lo largo de una placa plana lisa, puede hacerse extensivo a la resistencia de tuberías lisas y de rugosidad artificial. En efecto, si consideramos que el régimen uniforme en una tubería es el caso extremo del desarrollo de la capa límite, el esfuerzo cortante en el contorno de una tubería podría expresarse mediante una relación análoga a la ecuación (1). Para ello se pondría la velocidad media en la sección transversal de la tubería,
V, en lugar de u.
Por otro lado, a partir de un simple análisis en una tubería circular de diámetro D, basado en la aplicación de la segunda ley de Newton del movimiento, igualado a cero el balance de fuerzas para un flujo permanente, uniforme e incompresible, se deduce una expresión para el esfuerzo cortante en la pared dado por:2
0 D d (p h)4dl
ς = − +γ ...(2)
Es objetivo de este trabajo tratar la resistencia fluida con una óptica general y que a su vez resulte sencilla en su ilustración, donde predomina el carácter metodológico, debido a la costumbre de presentar en la literatura sus diferentes manifestaciones por separado, bien trátese de flujos interiores forzados o libres, o bien, los flujos exteriores a cuerpos sumergidos en el fluido. Es por ello, que se deducen las expresiones particulares de las diferentes aplicaciones, a partir de un fundamento común, dado por el esfuerzo cortante que surge en el contorno. Así, se centra especial atención al coeficiente de empuje local, l, que aparece en
la ecuación general del esfuerzo cortante en el contorno. Se comienza el análisis deduciendo las expresiones logarítmicas de las distribuciones de velocidades para flujo en conductos lisos y rugosos en régimen turbulento. Se presenta una expresión explícita para el coeficiente de fricción f en tuberías lisas y concluye, haciendo extensivo la búsqueda de l al flujo a superficie libre, al flujo
laminar en tuberías y a flujos exteriores a sólidos en movimiento dentro de un fluido.
Palabras claves: resistencia, flujo, tuberías lisas, rugosidad, régimen turbulento.
It is objective of this work to treat the flowing resistance with a general optics and that in turn it is simple in their illustration, where the methodological character prevails, due to the habit of presenting in the literature its different manifestations for separate, well be forced or free interior flows, or, the external flows to bodies submerged in the fluid. It is for it that the expressions peculiar of the different applications are deduced, starting from a common foundation, given by the sharp stress that arises in the contour. Is special attention centered this way, to the coefficient of local push l
that appears in the general equation of the sharp stress in the contour. The article begins the analysis deducing the logarithmic expressions of the distributions of speeds for flow in smooth and rough conduits in turbulent régime. Then, an explicit expression is presented for the coefficient of friction f in smooth pipes. Then it is concluded, making extensive the search of l to the flow to free
surface, to the laminar flow in pipes and to external flows to solids in movement inside a fluid.
Key words: resistance, flow, smooths pipes, roughness, turbulent régime.
donde:
g = r . g: Peso específico absoluto del líquido.
p: Presión.
h : Carga a elevación.
Si se sustituye el gradiente que en ella aparece con el signo negativo, cuyo significado es la pendiente de la rasante piezométrica, por la de energía dada por g hf / L, y a su vez se introduce el radio hidráulico, como Rh = D/4, se obtiene la ecuación de las pérdidas de cargas:
h
f=
z
0 L/
R
h.
g ...(3)
Este resultado es válido para cualquier forma de la sección transversal uniforme, independientemente de si el flujo es laminar o turbulento, para tuberías y conducciones a superficie libre, también.
Es costumbre usar en canales la expresión anterior en función de la pendiente de la rasante de energía, expresada como:
S = hf
/
L = z0/g Rh ...(4)Si se sustituye z0 por el lado derecho de la
ecua-ción (1), en las expresiones (3) y (4), o sea, en la de pérdida de energía y en la de pendiente, se obtendrían respectivamente las fórmulas de Weisbach-Darcy, así como, la de Chezy.
De donde se deduce que el coeficiente de fricción f, y la C de Chezy, en función del coeficiente de empuje, l, se expresan como:
f = 4 . l ; C = (2 . g/l)1 / 2 (5)
De esta manera, la fuerza resistente total al movimiento en un conducto, o la que un fluido ofrece a un cuerpo que en él se desplaza, se expresaría como: z0 . A0, donde
A0 sería el área donde actúan los esfuerzos cortantes.
En flujos interiores, A0 = P . L, donde P es el perímetro
de la sección transversal del conducto y L la longitud del mismo.
En el caso de flujos exteriores, donde predomine la resistencia de origen friccional, A0 se toma como el área
de la superficie del cuerpo en contacto con el fluido. Para un conducto donde se incluya la rugosidad de sus contornos, e, puede considerarse que el esfuerzo cortante promedio en el contorno, z0, es una función de r, µ , g, e ,
además, de alguna dimensión lineal característica de la sección transversal (en general, se toma el radio hidráulico, Rh). Aplicando un análisis dimensional se obtiene la ecuación (1), donde el coeficiente l depende del Número de Reynolds, NR , y de la rugosidad relativa
del contorno, expresada como e/4 Rh .3
Es objetivo de este trabajo tratar la resistencia fluida con una óptica general y que a su vez resulte sencilla en su ilustración, donde predomine el carácter metodológico, y sobre todo pedagógico, debido a la costumbre de
presentar en la literatura sus diferentes manifestaciones por separado, bien trátese de flujos interiores forzados o libres (por ejemplo, sistemas de tuberías y canales), o bien los flujos exteriores a cuerpos sumergidos en el fluido (fuerza de arrastre sobre cuerpos).
Es por ello, que se deducen las expresiones particulares de las diferentes aplicaciones, ampliamente conocidas en la práctica de ingeniería, a partir de un fundamento común, dado por el esfuerzo cortante que surge en el contorno.
Así, se centra especial atención al coeficiente de empuje local, l, que aparece en la ecuación general del esfuerzo cortante expresado por la ecuación (1).
Se comienza el análisis deduciendo las expresiones logarítmicas de las distribuciones de velocidades para flujo en conductos lisos y rugosos en régimen turbulento, sin considerar la zona de transición debido a su extensión.
Después, se presenta una expresión explícita para el coeficiente de fricción f en tuberías lisas, extendiendo el rango de validez de la conocida fórmula de Blasius.
Se concluye, haciendo extensiva la búsqueda de l al flujo a superficie libre, al flujo laminar en tuberías y a flujos exteriores a sólidos en movimiento dentro de un fluido.
En el estudio del régimen turbulento se obtiene la ecuación de la ley logarítmica de distribución de velocidades aplicables tanto al flujo turbulento en tuberías como a un flujo a superficie libre, dada por:2
u/u* = (1/K). ln y + const. ...(6)
donde:
(
)
* 0
u = τ ρ , es la llamada velocidad cortante.
y: Distancia medida desde el contorno. K: Constante de valor 0,4.
La evaluación de la constante en la ecuación anterior arroja las siguientes expresiones importantes:
a) Para flujos en conductos lisos:
u/u* = (1/K). ln (y . u* / g ) + 5,5 ...(7)
b) Para flujos en conductos rugosos:
u/u* = (1/K). ln (y/e) + 8,48 ...(8)
Donde e es la rugosidad absoluta del contorno. A partir de cualquiera de estos dos resultados, conductos lisos o rugosos, se obtiene la ley única del flujo turbulento de la distribución de velocidades: (umáx - u )/u* = (1/K) . ln(r0/y) ...(9)
Donde r0 es el radio de la tubería.
FÓRMULAS TEÓRICAS DE LA DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES PARA TUBERÍAS LISAS Y RUGOSAS
A continuación se resumen los resultados obtenidos por el autor en el manejo algébrico cuando se vincula la ecuación de z0 , ecuación (1), con la ley logarítmica para
conductos lisos, ecuación (7), y con la de conductos rugosos, ecuación (8).
La distancia medida desde el contorno, y, para la cual la velocidad puntual u es igual a la velocidad media, V, en un flujo turbulento en una tubería viene dada por:2
y = r0/ (e)3/2, donde e es la base neperiana.
Esta distancia en un flujo turbulento a superficie libre es:2
y = D / e, donde D es la profundidad de líquido en el
canal.
Si se sustituyen ahora en las ecuaciones logarítmicas (7) y (8) las siguientes variables:
2
*
( / ); /2;
0 0u
=
t r z
= ×
lr
V
u=V
y = r0/e3/2 , en la ec (7); y = D/e, en la ecuación (8)
Se obtienen los siguientes resultados para el coe-ficiente l: a) Tuberías lisas l = [8/( Nr )2 ]. ex ...(10) Donde:
(
)
0,8 2 / 1,4 x = λ − ; Nr = V . D / vEsta ecuación requiere aproximaciones sucesivas para su solución, pues l aparece en ambos lados de la ecuación, como era de esperar, al igual que su ecuación equivalente de Karman-Prandtl en tuberías lisas, ecuación (14).
b) Tuberías rugosas
l = 2/ [3 - 2,5 ln(e/D)]2 ...(11)
En estos dos resultados, ecuaciones (10) y (11), no se hacen nuevas aproximaciones en el manejo operacional, sólo el valor truncado de 2,999 7 por el 3 que aparece en la ecuación (11).
El primero en correlacionar los experimentos en tuberías lisas en flujo turbulento fue Blasius, presentando los resultados por la fórmula empírica.2
f = 0,316 / ( Nr )0,25 ...(12)
Válida para Nr hasta 105.
Si se sustituye l = f /4 en la fórmula (10) se obtiene:
f = [32/( Nr )2]. ex, donde: x = (2,262 7/ f ) - 1,4 ...(13)
Ecuación equivalente a la de Karman-Prandtl, ecuación (14), para régimen turbulento en tuberías lisas: 1/ f 2,035 log( Nr. f ) - 0,913 ...(14) A continuación se presentan dos fórmulas explícitas para el coeficiente de fricción f obtenidas evaluando la ecuación implícita (13) con 30 valores de NR, en el rango de 5 000 a 108, todos ellos calculados con un error menor
del 0,5 % entre el valor de f a la derecha y a la izquierda de la ecuación.
Estos valores de f calculados se presentan en la tabla 1 del anexo, además, se comparan con los dados por Blasius, observándose como la diferencia resulta mayor a medida que se aleja del intervalo de validez de este último, o sea, para NR ³ 105.
a) Según Microsoft Excel (2000)
f = 0,148 / ( Nr )0,1818 , con un R2 = 0,985 4 ...[15(a)]
Donde R es el cuadrado del coeficiente de correlación. b) Según TblCurve 2D (2002)4
f = 0,004 5 + [ 0,403 9 / ( Nr )0,295 6 ], con un R2 = 0,9993
...[15(b)] En el anexo se presenta la curva de ajuste obtenida, donde 26 valores poseen errores residuales inferiores a 0,000 2 y solamente hay cuatro en el rango de 0,000 2 a 0,0004.
La ecuación (11) se puede transformar y ponerse en función de f, de nuevo sustituyendo l por f /4 se obtiene:
0
1/ f = 2,035log( / ) 1,673r ε + ...(16)
FÓRMULAS TEÓRICAS PROPUESTAS
DEL COEFICIENTE l FÓRMULA PROPUESTA PARA EL COEFICIENTEDE FRICCIÓN EN TUBERÍAS LISAS
FÓRMULA PARA EL COEFICIENTE DE FRICCIÓN EN TUBERÍAS RUGOSAS
La ecuación (16) es equivalente a la presentada por Rouse (1948), donde: D = 2r0 Señala este autor que
cambiando los valores numéricos ligeramente en la expresión anterior, ella viene a representar la magnitud límite de f para las curvas de rugosidad, y propone:
0
1/ f =2log( / ) 1,74r ε + ...(17) Schlichting,5 de igual forma, señala que para lograr un
mejor ajuste a los datos experimentales de Nikuradse deberían modificarse los coeficientes numéricos de la expresión de f, de donde resultaría una expresión equivalente a la expresada por Rouse (1948), pero en función del diámetro se expresa como:
e
=-1 f 2log ( /3,71 )x D ...(18) Aldama y Ocón6 demuestran que se puede evitar hacer
los ajustes anteriores en los valores numéricos, modificando el límite superior de integración del perfil logarítmico de velocidades, así como el área a través de la cual se mueve el fluido.
Flujo a superficie libre en régimen turbulento
La resistencia que se opone a una corriente uniforme entre contornos paralelos puede calcularse para contornos lisos cambiando el valor de 0,913 que aparece en la ecuación de Karman-Prandtl, (14), por 0,47, y para contornos rugosos el valor de 1,673 ,en la ecuación (16), por 2,11, representando estos valores la influencia que la forma de la sección transversal tiene en las ecuaciones de resistencia.1
Sin embargo, con secciones transversales de otra forma, es evidente que el esfuerzo cortante resultante no puede ya ser el mismo en todos los puntos del contorno. Keulegan7
desarrolló un método aproximado para determinar el efecto de la forma de la sección transversal sobre la resistencia. Este autor propone utilizar las fórmulas ya presentadas para calcular la resistencia en otras conducciones uniformes con tal que su sección transversal no se aparte demasiado de las proporciones de la forma circular, y recomienda usar una ecuación del tipo:
1 f = −alog( / . )ε b h ...(19) donde:
h : Profundidad uniforme.
b: Parámetro que varía entre 11,09 y 12,9.
a: Parámetro que se mantiene prácticamente constante,
entre 2 y 2.03, según ha sido reportado en la literatura para el caso de canales anchos.6
Entonces, el esfuerzo cortante se calcularía por la ecuación (1), bien por la vía de estimar l a partir de f /4, tomando para f las fórmulas presentadas antes, o a través de 2.g / (Cchezy )2, ecuación (5).
Estos dos procedimientos estarían en dependencia de la información disponible.
Flujo laminar en tuberías circulares
El análisis teórico fundamentado en la ley de la viscosidad de Newton, conduce a una distribución de velocidades representada por un paraboloide de revolución, donde su volumen es la mitad del cilindro que lo circunscribe, por lo que la velocidad media es la mitad de la máxima y su integración conduce al caudal, resultando la conocida ecuación de Hagen-Poiseuille.2
Vinculando esta ecuación con las ecuaciones de continuidad (Q = V . A) y la del esfuerzo cortante (1), conduce a una relación lineal entre z0 y V, dada por:
z0 = 8µV/D ,
Donde: µ es la viscosidad dinámica del fluido. Este resultado puede transformarse fácilmente y ser expresado como:
z0 = (16 / NR). r.V2/ 2 ...(20)
Donde l seria igual a 16 / NR , y por tanto, f = 64 / NR,
resultado esperado.
Flujos exteriores
Cuando predomina la resistencia de tipo friccional en cuerpos sumergidos en un fluido, la resistencia al flujo conocida como fuerza de arrastre, viene expresada por (Streeter, 1998):
F = CD . r. A. U2/2
Como el esfuerzo cortante es: z0 = F / A, donde A es el
área de la superficie del cuerpo donde actúa el esfuerzo cortante. Entonces se deduce al compararse con la ecuación (1) que:
CD = l ...(21)
donde CD es el llamado coeficiente de arrastre.
1. El esfuerzo cortante, dado por la ecuación (1), permite calcular las pérdidas de energía en conducciones forzadas, así como las pendientes en canales, además, de facilitar el cálculo de la velocidad cortante que permite operar con la ley logarítmica única del flujo turbulento. La ecuación (1), evaluando correctamente el coeficiente de empuje local, l, el cual ha sido objeto de este trabajo, permite ser generalizada al flujo permanente, uniforme e incompresible en tuberías circulares, no circulares y conducciones a superficie libre, tanto a régimen turbulento como laminar. Así como, extender su uso a flujos exteriores, o sea, a sólidos sumergidos en movimiento dentro de un fluido.
2. Se presentan dos fórmulas explícitas para el coeficiente de fricción, f, donde se extiende su validez
GENERALIZACIÓN DE LA FÓRMULA DEL ESFUERZO CORTANTE
hasta NR = 108, de donde se desprende que la formula de
Blasius da un error mayor del 3 %, en dependencia del alejamiento de su intervalo de validez.
Se propone emplear la ecuación [15(a)], la que mantiene una forma similar a la conocida de Blasius, aunque su coeficiente de correlación, 0,985 4 , sea ligeramente inferior al de la ecuación [15(b)].
3. Las fórmulas deducidas para el coeficiente de fricción se corresponden con las de tuberías lisas y rugosas utilizando los datos de Nikuradse.
1. ROUSE, H.: Elementary Mechanics of Fluids, John
Wiley and Sons, Nueva York, 1946.
2. STREETER, V.L., WYLIE, E.B AND K.W. BEDFORD: Fluid Mechanics, McGraw-Hill
Companies, Inc.Nine Edition, 1998.
3. DAUGHERTY, R. L.; J. B. FRANCINI AND E. J. FINNEMORE: Fluid Mechanics with Engineering
Applications, McGraw-Hill Book Company, Eighth
Edition, 1985.
4. TblCurve 2D.Version 5.01.Copyright. Systat Software
Inc. 2002.
5. SCHLICHING, H.: Boundary Layer Theory,
McGraw-Hill, Nueva York, 1979.
6. ALDAMA, A. A. Y A. R. OCON:"Resistencia al
flujo en canales y límites de aplicabilidad de la fórmula de Manning", Revista Ingeniería Hidráulica en México, Vol.XVII, No.1, pp.107-115, enero-marzo de 2002.
7. KEULEGAN, G. H.: "Laws of Turbulent Flow in Open
Channels", J.National Bureau of Standards, Vol. 21, pp. 707-741, 1938.
REFERENCIAS
Recibido: enero del 2004 Aprobado: abril del 2004
Tabla 1
Valores usados en el ajuste
NR ecuación (13)f Blasiusf Error(%)
5 000 0,037,5 0,037 6 -0,27 10 000 0,030 85 0,031 6 -2,35 30 000 0,023 39 0,024 0 -0,03 50 000 0,020 77 0,021 13 -1,73 60 000 0,0199 4 0,020 20 -1,30 70 000 0,0192 5 0,019 47 -0,79 80 000 0,018 75 0,018 79 -0,34 90 000 0,018 24 0,018 24 +0,05 100 000 0,017 82 0,017 77 +0,46 150000 0,016 45 0,016 06 +2,16 200 000 0,015 42 0,014 93 +3,54 300 000 0,014 32 0,013 50 +5,73 350 000 500 000 0,013 940,013 02 0,013 00,011 4 +6,50+8,67 600 000 0,012 59 0,011 35 +9,85 700 000 0,012 25 0,010 95 +10,78 750 000 0,012 05 0,010 78 +11,22 800 000 0,0119 6 0,010 57 +11,62 900 000 0,011 72 0,010 26 +12,40 1 000 000 0,011 5 0,010 +13.04 3 000 000 0,009 58 0,007 53 20,74 5 000 000 0,008 85 0,006 68 +24,52 6 000 000 0,008 65 0,006 35 +25,8 7 000 000 0,008 41 0,006 14 +27,0 8 000 000 0,008 24 0,005 92 +27,9 9 000 000 0,008 09 0,005 79 +28,76 1 000 000 0,007 95 0,005 62 +29,53 3 000 000 0,006 83 0,004 20 +37,48 6 000 000 0,00627 0,00350 +42,35 1 0000 00 0,00583 0,00316 +45,80
FIG. 1 Curva de ajuste. ANEXO
