Pontificia Universidad Cat´olica de Chile Facultad de F´ısica
FIS1533 - Electricidad y Magnetismo // 1-2018 Profesor: Giuseppe De Nittis - gidenittis@uc.cl
Ayudant´ıa 25
Repaso I3
7 de Junio de 2018
Ayudante: Mat´ıas Henr´ıquez - mjhenriquez@uc.cl
1.
Problemas
Problema 1: Polarizaci´
on en diel´
ectricos
Considere un vector de polarizaci´on el´ectrico constante P=P0 kˆ y el siguiente diel´ectrico presente en
un volumen V:
x
y z
30º
V
Calcule las densidades de carga de polarizaci´on, tanto superficiales como volum´etrica, en el diel´ectrico.
Respuesta:
La densidad volum´etrica de polarizaci´on en el diel´ectrico est´a dada por la divergencia del vector de polarizaci´on, entonces:
ρV = −∇ ·P= 0
ya que P es constante.
de dos vectores ortogonales es nulo).
Luego, solamente tenemos densidad de polarizaci´on superficial en las caras superior, inferior e inclinada. Las normales a cada una de estas caras, est´an dada por, respectivamente:
ˆ
nsup = ˆk
ˆ
ninf = −kˆ
ˆ
ninc = sin(30◦)ˆj + cos(30◦)ˆk
Por lo tanto:
σsup = P·nˆsup=P0 σinf = P·nˆinf =−P0
σinc = P·nˆinc=P0 √
3 2
Problema 2: C´
alculo de resistencia equivalente
Considere el arreglo de resistencias infinito que se muestra en la figura:
B
R R R A
R
R
R
R
...
R
...
Determine la resistencia equivalente entre los puntos A y B.
Respuesta:
Sea Req la resistencia equivalente entre los puntos A y B. Dado que el arreglo es infinito y se repite,
podemos redibujar el circuito como:
B
R R R A
entonces:
Req = R+ (R || Req) +R= 2R+
RReq
R+Req
resolviendo la ecuaci´on cuadr´atica para Req se obtiene:
Req = R(1 +
√
3)
Problema 3: Circuito RC
Considere el siguiente circuito:
+
− V
R
R
R
S1
C1
R1 S2
C2
R2
En donde los interruptores S1 y S2 han estado cerrado y abierto respectivamente por un per´ıodo de tiempo muy largo. El capacitor C2 se encuentra totalmente descargado.
(a) Obtenga la carga en C1
Respuesta:
Dado que S1 est´a cerrado y S2 abierto, entonces no circula corriente por R1, C2 y R2. Como el
circuito ha permanecido en este estado por mucho tiempo, entonces el capacitorC1 se encuentra
completamente cargado y a una diferencia de potencial igual que la resistencia R en paralelo a
C1. Esta diferencia de potencial est´a dada por:
VC1 = VR=
V
(b) Ent= 0 el interruptorS1se abre y el interruptorS2 se cierra. Determine los voltajes en los capacitores C1 y C2 para todo t≥0.
Respuesta:
El circuito equivalente para t≥0 es:
VC1(t)
+
−
C1 i(t)
R1
C2 +
− VC2(t)
R2
por KVL se tiene:
VC1(t) = i(t)(R1+R2) +VC2(t)
Notemos que, dado el sentido impuesto a la corriente:
i(t) = −C1dVC1(t)
dt =C2
dVC2(t)
dt
Tenemos que el capacitorC1 inicialmente est´a cargado a una diferencia de potencialVC1(0) =
V
3 y como se calcul´o inicialmente, la carga almacenada esC1V /3. Por conservaci´on de la carga, para
todot se tiene:
Q1(t) +Q2(t) = C1 V
3
C1VC1(t) +C2VC2(t) = C1
V
3
VC1(t) =
V
3 −
C2 C1
VC2(t)
VC02(t) + VC2(t)
ReqCeq
= V
3C2Req
en donde Req =R1+R2 y Ceq =
C1C2 C1 +C2
. Resolviendo esta ecuaci´on diferencial se obtiene:
VC2(t) =
V
3
C1 C1+C2
1−e−
t Req Ceq
Luego:
VC1(t) =
V
3 −
C2 C1
VC2(t)
= V
3
C1+C2·e
− t Req Ceq
C1+C2
!
(c) Determine la potencia disipada por las resistenciasR1 y R2.
Respuesta:
La potencia disipada por cada resistencia es:
P1(t) = [i(t)]2R1 P2(t) = [i(t)]2R2
la corriente i(t) est´a dada por:
i(t) = C2V
0
C2(t) =
V
3Req
Problema 4: Fuerza de Lorentz
Un prot´on con una velocidad v entra en una regi´on de campo magn´etico uniforme B=−B kˆ (dirigido hacia dentro de la p´agina), como muestra la figura abajo. El ´angulo de incidencia es θ.
(a) ¿Cu´anto vale el ´angulo de salida φ?
Respuesta:
Dado que el campo magn´etico es uniforme perpendicular al plano de la velocidad, el prot´on describir´a una trayectoria circular. Tanto a la entrada como a la salida, la velocidad es tangente a la trayectoria circular. Por simetr´ıa es evidente que:
θ=φ
es decir, el ´angulo de incidencia es igual al ´angulo de salida.
(b) Determine la distanciad.
Respuesta:
Por trigonometr´ıa se tiene que:
cosθ = d/2
R
en donde R es el radio de la trayectoria circular descrita por el prot´on. Utilizando fuerza de Lorentz, se tiene para la din´amica del movimiento circular:
qvB = mv
2
R
R = mv
qB
Por lo tanto la distanciad vale:
d = 2mv
qB cosθ
(c) Determine el tiempo en que el prot´on permanece dentro de la regi´on de campo magn´etico.
Respuesta:
Responder esta pregunta es equivalente a encontrar el tiempo que se demora el prot´on en recorrer ese arco de circunferencia.
El arco de circunferencia recorrido, substiende un ´angulo de :
α = 2·π
2 −θ
=π−2θ
la velocidad angular est´a dada por:
ω = v
R =
qB m
Por lo tanto el tiempo que se demora en recorrer el arco de circunferencia est´a dado por:
t = α
ω =
Problema 5: Ley de Biot-Savart
Un alambre delgado y r´ıgido que lleva una corrienteI es colocado a lo largo del ejex. Calcular el campo magn´etico en el punto P. Analice el caso particular en que el alambre es sim´etrico con respecto al eje y. ¿Qu´e sucede cuando L→ ∞?
Respuesta:
Sea un elemento diferencial dr0 =dxˆi que lleva una corriente I en la direcci´onx. Queremos calcular
el campo magn´etico en el punto P, dado por r= (0, a) = aˆj, y el conductor lo parametrizamos como
r0 = (x,0) =xˆi, con x∈ [−L1, L2].Utilizando Ley de Biot-Savart se tiene que el campo magn´etico en
el punto P est´a dado por:
B(P) = µ0 4πI
L2
ˆ
−L1
dxˆi×(aˆj−xˆi) (a2+x2)3/2
= µ0 4πI
L2
ˆ
−L1
adx
(a2+x2)3/2 [ˆk]
Notemos que:
tanθ1 = a L1
tanθ2 = a L2
B(P) = µ0I
4πa(cosθ1+ cosθ2) [ˆk]
Para el caso sim´etrico θ1 =θ2, y con un largo total de 2L(L1 =L2 =L), se obtiene:
B(P) = µ0I 2πa
L √
L2+a2 [ˆk]
Tomando el l´ımite cuando L→ ∞se obtiene:
B = µ0I 2πa [ˆk]
Problema 6: Torque magn´
etico
Considere un alambre conductor a lo largo del eje Z que lleva una corriente I en la direcci´on de z
positivo. Usted ubica una espira cuadrada de lado d en el punto (R,0,0), con R >>> d con su normal orientada hacia el eje y positivo. Por esta espira cuadrada circula una corriente ix. ¿Cu´anto vale el torque
magn´etico sobre la espira?
Respuesta:
El campo magn´etico en el punto (R,0,0) que produce el conductor a lo largo del eje Z est´a dado por:
B(R,0,0) = µ0I 2πR [ˆj]
y este campo lo podemos aproximar en toda la espira cuadrada de lado d. El momento magn´etico de la espira cuadrada est´a dado por:
~
µ = ixAˆn=ixd2 [ˆj]
Como ~µ|| B(R,0,0) entonces:
Problema 7: Ley de Ampere
Considere un conductor plano, de espesor despreciable, ubicado en el plano XY . Por este plano circula una densidad de corriente lineal J0ˆicomo se muestra en la figura. Calcule el campo magn´etico en la regi´on z >0.
Respuesta:
Por regla de la mano derecha, notamos que el campo magn´etico apunta en la direcci´on−ˆj para z >0 y ˆj para z < 0. Encerramos el plano (todo el plano, parte del plano, lo que sea, no importa) con una trayectoria cerrada rectangular Γ en el planoY Z de alturah y largoL. Notemos que dos lados de esta trayectoria rectangular son perpendiculares al planoXY, y el como el campo magn´etico apunta en la direcci´on del ejeY, entonces no hay circulaci´on por estos lados. Solamente tenemos circulaci´on en los lados por sobre y debajo del plano XY. Entonces:
˛
Γ
B·dr = µ0Ienc
(−Bˆj)·(−Lˆj) + (Bjˆ)·(Lˆj) = µ0J0L
entonces, para z >0
B = −µ0 J0
