SESIÓN DE APRENDIZAJE Nº 14
FACULTAD DE : Ciencias Empresariales
ESCUELA PROFESIONAL DE : Administración
DOCENTE : Walter Orlando Gonzales Caicedo CICLO: I ASIGNATURA : Lógico Matemática FECHA:
TEMAS:
Suma de matrices; diferencia de matrices; Multiplicación de un escalar por una matriz y multiplicación de matrices.
TIEMPO: 08 horas académicas. COMPETENCIA:
Resuelve y aplica operaciones con matrices para el estudio de casos o proyectos de su especialidad CAPACIDADES:
• Realiza operaciones con matrices.
• Calcula la inversa de una matriz cuadrada de orden 2 ó 3.
• Resuelve y aplica las matrices al estudio de casos o proyectos de su especialidad. ACTITUDES:
RESPONSABILIDAD: Manifiesta compromiso e identificación en su trabajo académico.
PUNTUALIDAD: Revela respeto a los demás y a si mismo asistiendo puntualmente a las clases.
PARTICIPACIÓN: Muestra disposición a enfrentarse a situaciones problemáticas novedosas. Participa activamente en el desarrollo de las clases.
E
V
A
L
U
A
C
I
Ó
N
MOMENTOS O FASES
DESCRIPCIÓN DETALLADA DE ESTRATEGIAS Y METODOLOGÍA
MEDIOS Y MATERIALES
TIEMP O
EVALUACIÓN
INDICADORES INSTRUMENTO
Motivación y exploración
MOTIVACION: (ANEXO Nº 01) EXPLORACION:
El docente presenta en la pizarra una lista de ejercicios relacionados a operaciones con matrices (Lluvia de ideas, Técnica interrogativa)
El uso para seguir la secuencia.
(ANEXO Nº 01)
Material Impreso.
Pizarra Plumones acrílicos Mota Palabra
hablada.
50 min. Interés por el tema,
participación individual y en grupo.
Observación espontánea. Intervención oral
Problematizaci ón
Se plantea las siguientes interrogantes:
• ¿Podrían representar un problema real utilizando matrices?
• ¿Qué operaciones se podrán realizar con matrices?
• ¿Toda matriz tiene inversa?
Exposición oral
45 min.
Dadas las diferentes propiedades y operaciones que se realizan con matrices desarrollan los ejercicios planteados.
Participación activa
Ficha de evaluación (ANEXO Nº 05)
Ficha de
autoevaluación (ANEXO Nº 06)
Construcción del conocimiento
• Se forma 7 grupos. • Modulo de lógica
matemática (ANEXO Nº 03)
• Los estudiantes plantean
sus ejemplos con
operaciones de matrices. • Se realizan indicaciones
Papelógrafo.
Módulo lógico matemático (ANEXO Nº03) Textos auxiliares.
185 min.
Aplicación de la teoría en la solución de problemas específicos. A partir de los ejemplos establecidos en clase realizan problemas
Ficha de evaluación (ANEXO Nº 05)
Ficha de
BIBLIOGRAFÍA
Ayres, Frank. (1990). Matrices y Determinantes. Editorial McGraw – Hill. México. Espinoza Ramos, E. (2002). Matemática Básica. Editorial Servicios Gráficos JJ. Perú. Francis G. Florey. (1979). Fundamentos de Algebra Lineal y Aplicaciones. Editorial Prentice Hall. México.
Gonzales Caicedo, Walter Orlando et al. (2009). Modulo de Lógico Matemática. Lambayeque – Perú.
Honh F. (1992). Álgebra de Matrices. Editorial Trillas. México.
Howard A. (1998). Introducción al Álgebra Lineal. Editorial Limusa. México. Morris, Kline. Matemáticas para los estudiantes de Humanidades.
Construcción del conocimiento
en la pizarra sobre conceptos básicos, dadas en la hoja técnica. (ANEXO Nº 04)
• Se realiza la sistematización de lo aprendido.
• Los estudiantes plantean
y desarrollan un
laboratorio con ejercicios. (ANEXO Nº 04)
Transferencia del conocimiento
• Los estudiantes resuelven los ejercicios planteados en su módulo de trabajo. • Los estudiantes participan
anotando sus respuestas en la pizarra
• Los estudiantes elaboran ejercicios referidos a operaciones con los diferentes tipos de matrices
• (Hoja de información ,Grupo de estudio , trabajo en equipo; exposición del problema planteado.(ANEXO Nº04) • El docente destaca los
resultados a través de la evaluación del trabajo realizado. .
• Los alumnos desarrollan ejercicios propuestos del modulo correspondiente a operaciones con matrices
Hoja impresa
Folder de
trabajo.
120 min.
Aplica estrategias metacognitivas para representar la solución de los ejercicios planteados.
Presentación de trabajo
individual o grupal
Ficha de evaluación (ANEXO Nº 05)
Saal R. César. Matrices. Editorial Gómez. Perú.
Sullivan, M. (1999). Pre Cálculo. Editorial Prentice Hall. México.
0000000000000000000000 0000000000000000000000 0000000000000000000000 0000000000000000000000 0000000000000000000000 0000000000000000000000 0000000000000000000000
00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000
0000000000000000 0000000000000000 0000000000000000 0000000000000000 0000000000000000 0000000000000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000
0000000000000000000 0000000000000000000 0000000000000000000 0000000000000000000 0000000000000000000 0000000000000000000 0000000000000000000
0000000000000000000 0000000000000000000 0000000000000000000 0000000000000000000 0000000000000000000 0000000000000000000 0000000000000000000
00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000 00000000000000000
00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000
000000000000000000 000000000000000000 000000000000000000 000000000000000000 000000000000000000 000000000000000000 000000000000000000 000000000000000000
0000000000000000000 0000000000000000000 0000000000000000000 0000000000000000000 0000000000000000000 0000000000000000000 0000000000000000000
ANEXO Nº 01
La señora Pepita ha realizado 4 compras en el mercado Modelo de Chiclayo, las cuales se detallan en la siguiente tabla:
Productos Cantidad Costo por unidad en soles
Naranjas 4 Kgrs. 0,70
Arroz 5 Kgrs. 1,80
Leche 7 tarros 2,10
Pollo 2 Kgrs. 4,30
a. Escriba las cantidades en una matriz de orden 1x4.
b. Escriba los Costos de las unidades en una matriz B de orden 4x1.
c. Compruebe que el gasto realizado por la señora Pepita es el producto de las matrices; A y B, cuyo orden es 1x1.
ANEXO Nº 02
Recuerda: “La autoridad no consiste en imponerse, sino en servir humildemente”. W.
Nee.
Objetivo : Lograr motivar a los estudiantes y reflexionar.
ANEXO Nº 03
USS. MODULO DE LÓGICO MATEMÁTICA
OPERACIONES CON MATRICES.
1. SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES.• Sólo se pueden
restar sumar
matrices del mismo orden. Para ello se
tan res suman
los
elementos que ocupan las mismas posiciones. Es decir: consideremos A = (aij) y B = (bij)
Entonces: A + B = (aij + bij)
Ejemplo:
Sean:
−
= − =
0 3 2
6 4 1 4
1 0
1 3 2
B A
Entonces
− −
− = − − −
− − − − − = − − =
+ + +
− − + + = +
4 2 2
5 1 1 0
4 3 1 2 0
) 6 ( 1 4 3 1 2 ,
4 4 2
7 7 3 0 4 3 1 2 0
6 1 4 3 1 2
B A B
A
Para multiplicar una matriz por un número real, se multiplica dicho número por todos y
cada uno de los elementos de la matriz. Es decir, sea: αЄ R y A = (aij) entonces:
α.A = (α . aij)
Ejemplo: sea
−
=
4 1 0
1 3 2
A
Entonces:
−
= ⋅
12 3 0
3 9 6 3 A
3. PRODUCTO DE MATRICES.
3.1.- PRODUCTO DE UNA FILA POR UNA COLUMNA.
3.2.- PRODUCTO DE DOS MATRICES. Para multiplicar las matrices A y B ha de
cumplirse que el número de columnas de la matriz A sea igual al número de filas de la matriz B. Es decir, si A es de orden mxn, para que el producto AxB sea posible, B debe ser de orden nxp, y la matriz producto resulta de orden mxp. Más breve:
A mxn . B nxp = C mxp
¿Cómo se multiplican?
El elemento cij de la matriz producto resulta de multiplicar la fila "i" de la matriz A por la columna "j" de la matriz B, elemento a elemento y, luego, se suman los productos así
obtenidos. Brevemente: n ik kj
k
ij a b
c = ∑ ⋅
=1
Ejemplo: Multiplicar las matrices
2 2 2
3
5
3
4
6
4
3
0
1
1
2
x x
B
A
−
=
−
=
Solución:
2 3 8 30
4 6
13 9
2 3 5 4 ) 4 ( 3 3 4 6 3
5 0 ) 4 ( 1 3 0 6 1
5 ) 1 ( ) 4 ( 2 3 ) 1 ( 6 2
x x
B
A
− − = ⋅
+ − ⋅ ⋅ + ⋅
⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅
⋅ − + − ⋅ ⋅ − + ⋅ = ⋅
OBSERVACIÓN:
El producto de matrices no tiene la propiedad conmutativa. Es decir:
Dos matrices A y B son inversas si los productos A.B y B.A son iguales a la matriz unidad.
Una matriz A es regular si posee matriz inversa. A la matriz inversa de A, se la
designa por A-1
4. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
Un determinante es un número asociado a una matriz cuadrada (orden n x n) formado por la suma de n! productos. En cada producto interviene un elemento de cada fila y un elemento de cada columna. Veamos en concreto cómo se desarrolla un:
4.1 DETERMINANTE DE 2º ORDEN: se desarrollan de la siguiente forma:
21 12 22 11 22 21
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
A
=
=
−
Ejemplo: calcular el determinante de la matriz
− =
5 7
1 2 A
Solución:
2 5 ( 1) 7 10 7 17
5 7
1
2 − = ⋅ −− ⋅ = + = =
A
4.2 DETERMINANTE DE TERCER ORDEN: se desarrollan mediante la llamada regla de Sarrus; es decir:
33 21 12 11 32 23 31 22 13 31 23 12 13 32 21 33 22 11
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
=
=
+
+
−
−
−
Ejemplo:
121 72 84 6 27 84 16 4 6 ) 3 ( 4 7 3 ) 3 ( 1 2 ) 3 ( 3 ) 3 ( 2 7 6 4 1 4 4 7 3
3 1 6
2 3 4
= + − + + + = ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = −
−
4.3 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.
Tenemos:
Si multiplicamos una fila o una columna de una matriz cuadrada por un número real,
el determinante queda multiplicado por dicho número.
El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de los
determinantes.
Si permutamos dos filas (dos columnas) entre sí, el determinante cambia de signo.
Si una matriz tiene una fila (una columna) formada por ceros, su determinante es
nulo.
Si una matriz tiene dos filas (dos columnas) proporcionales, su determinante es cero.
Si una línea es combinación lineal de otras, el determinante es cero.
Si a una fila (una columna) se le suma otra fila, multiplicada por un número, el
determinante no varía.
4.4 CÁLCULO DE UN DETERMINANTE POR EL ADJUNTO.
• Dada una matriz cuadrada, se llama menor complementario del elemento aij al
determinante que resulta de suprimir en la matriz la fila "i" y la columna "j" en las que está el elemento en cuestión.
Se designa Mij o por αij.
Ejemplo:
En la matriz: A=
7 3
3 4 23 3 1
2 3 31 4 7
3 1 11 4 7 3
3 1 6
2 3 4
− = − = =
− −
M M
M etc.
• Y se llama adjunto del elemento aij al menor con signo + si la suma de subíndices
fila y columna es par, o con signo - si dicha suma es impar. Se designa Aij. Es decir:
Aij = (-1)i+jMij
Ejemplo: Así, en la matriz anterior, tenemos:
A11 A A
1 3 7 4 31
3 2 1 3 23
4 3 3 7
= + = + − = −
− 5. RANGO DE UNA MATRIZ.
Una línea, L, de una matriz depende linealmente de sus paralelas L1, L2, ..., Ln, si
existen unos números reales a1,a2,..., an tales que verifican la igualdad:
Ejemplo: En la matriz:
La fila segunda depende linealmente de la primera, y la columna tercera depende linealmente de la primera columna y de la segunda. Es decir:
F2=2 F1
C3= C1+ C2
Por tanto el rango de matriz A es 2
Un conjunto de líneas paralelas de una matriz es linealmente dependiente si al
menos una de ellas depende linealmente de las restantes.
Un conjunto de líneas paralelas de una matriz es linealmente independiente si
ninguna de ellas depende linealmente de las restantes.
En una matriz A, el número de filas linealmente independientes es igual al número
Veamos cómo se calcula el rango de una matriz, con algunos ejemplos:
Calcular el rango de la matriz:
El rango es 3, pues se tiene: que las tres filas y las tres columnas son linealmente independientes.
Calcular el rango de la matriz:
El rango es 2, pues se tiene: F3 = 2F1 + F2, es mas F1 y F2 son linealmente
independientes entre sí.
Método de Gauss: consiste en obtener una matriz escalonada aplicando
transformaciones que no alteran el rango de una matriz.
Ejemplo:
(
)
2
0
0
0
0
1
-
1
2
0
1
-
1
1
-
1
rang
2
2
-
2
4
0
1
-
1
2
0
1
-
1
1
-
1
rang
1
-
1
5
1
-2
-
2
1
1
1
-
1
1
-
1
rang
3 21 3
1
2
=
=
−
=
=
+
−
=
f
f
f
f
f
f
Pues es una matriz escalonada con dos filas no nulas, es decir que la matriz tiene rango 2.
6. MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA: Dada una matriz cuadrada A
de orden n se llama MATRIZ INVERSA DE A y se denota por A-1 a la matriz que
verifica: donde es la matriz identidad.
OBSERVACIÓN:
Si |A| ≠ 0 ⇔ A posee matriz inversa (además se dice que A es inversible o regular).
Si |A| = 0 ⇔ A no posee matriz inversa (se dice que A es singular).
6.1 Métodos de cálculo de la matriz inversa
Método de adjuntos:
( )
A
A
A
−1=
ad tMétodo de Gauss
Veamos un ejemplo.
Ejemplo: Calcular la inversa de
=
2 1 0
1 2 1
0 1 1 A
Solución:
Lo haremos primero por el método clásico o método de adjuntos, el que viene
1 2 1 0 0 0 4 2 1 0 1 2 1 0 1 1 = − − − + + = = A
Calculamos ahora la matriz adjunta, sustituyendo cada elemento por su adjunto; calculamos primero los adjuntos:
1 1 2 2 1 1 1 ) 0 1 ( 1 0 0 1 1 0 1 1 2 0 1 1 ) 0 1 ( 1 0 1 1 2 0 2 2 0 0 1 2 ) 0 2 ( 2 1 0 1 1 0 1 1 0 2 1 2 ) 0 2 ( 2 0 1 1 3 1 4 2 1 1 2 33 32 31 23 22 21 13 12 11 = − = = − = − − = − = = − = = − = − − = − = = − = = − = − − = − = = − = = − = − − = − = = − = = A A A A A A A A A
Luego: formamos la matriz adjunta:
− − − − = 1 1 1 1 2 2 1 2 3 ad A
Y finalmente hacemos la inversa, trasponiendo la matriz adjunta y dividida por el determinante:
( )
A A
A−1= ad t
− − − − = − − − − ⋅ = − 1 1 1 1 2 2 1 2 3 1 1 1 1 2 2 1 2 3 1 1 1 A
Ahora lo hacemos por el método de Gauss:
− − − − ≈ − − − ≈ − − ≈ − ≈ 1 1 1 0 0 2 2 0 1 0 2 3 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 2 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 2 1 0 0 1 0 1 2 1 0 0 1 0 1 1
Es conveniente, se haga por el método que se haga, comprobar la inversa (multiplicada por la directa tiene que dar la identidad). Es decir:
= ⋅ − − − − 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 3 ANEXO Nº04
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nº15
I. RESOLVER LAS SIGUIENTES EJERCICIOS:
1. Dadas las matrices:
− − = 4 1 5 0 0 3 0 1 2 A − − − = 2 4 1 12 10
1 5 1
1 B
2. Dadas las matrices:
−
−
−
=0
1
2
1
5
4
1
3
1
2
1
A
−
−
−
−
−
=
5
3
4
1
3
5
2
1
1
1
3
1
B
Calcular: A + B, A - B, A.B, B.A, A.A, B.B, A.A.A = A³. 3. Se consideran las matrices:
− − =
1 2 2 1 2 2 0 3 1
A
−
= 4 0
3 2
1 1
A
−
−
=
0
3
1
2
1
6
1
5
2
3
1
3
1
3
2
2
1
C
Calcular: 3A, 3A + 2B, AC, CA, AB, BA, A-1, B-1, C-1
4. Resuelve el siguiente determinante (resta la 1ª fila a la 2ª y a la 3ª)
5. Haz una operación análoga que el ejercicio (4) para resolver el determinante siguiente:
6. Aplica la anterior propiedad para resolver los siguientes determinantes:
7. Calcular los siguientes determinantes de orden dos:
8. Calcular los siguientes determinantes de orden tres:
10. En una granja se venden pollos, pavos y perdices a razón de 20, 15 y 40 soles /kg, respectivamente. En cierta semana los ingresos totales de la granja ascendieron a S/ 570. Además, se sabe que la cantidad de pollo vendida superó en 100 kg a la de pavo y que se vendió de perdiz la mitad que de pavo.
a) Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar la cantidad vendida de cada uno. b) Expresa matricialmente el problema.
c) Calcula el determinante de la matriz asociada al problema. d) Resuelve el sistema mediante la matriz inversa.
11. Responde a las siguientes cuestiones:
a) Sea A una matriz de 3 filas y 4 columnas, y C una matriz de 2 filas y 3 columnas. ¿Qué dimensión tiene la matriz B sabiendo que existe el producto A.B.C?
b) Siendo Et = (1 2 3), calcula
12. Determina para qué valores de x no existe la inversa de la matriz:
Calcula A-1 para x=2.
13. La siguiente tabla da el costo en soles de una lata de vegetales en tres diferentes supermercados.
Si un comprador compra 6 latas de alverjas, 4 de fríjol y 5 de maíz encuentre el costo total en cada uno de los supermercados por medio de multiplicación de matrices.
Rpta: Los costos en cada uno de los 3 supermercados son los siguientes:
Supermercado 1: 50.80
Supermercado 2: 49.60
Supermercado 3: 50.30
14. Calcular las inversas de las siguientes matrices, si las tuvieran.
Alverjas fríjol maíz
3.3 2.5 4.2 3.4 2.3 4.0 3.6 2.8 3.5
Supermercado 1
Supermercado 2
a) 0 2 1
0 b)
4 3 2 1 c) 8 4 2 1 d) − 1 1 4 3 0 1 2 1 1 e) 1 0 4 2 1 3 0 1 2 f) 10 9 8 7 6 5 4 3 2
15. Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L
y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la
terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades
en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación
S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración. La terminación
L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración. La terminación S lleva 33
horas de taller y 1.3 horas de administración.
a) Representar la información en dos matrices.
b) Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas
para cada uno de los modelos.
16. Resuelve la ecuación AX – B + C = 0, siendo:
− − = = − = 0 3 0 1 1 2 1 0 C y 0 1 1 -2 -1 -0 2 1 B , 0 1 1 4 A
17. Resuelve la ecuación matricial: XA – 2B + 3C = D, siendo:
− = 1 1 3 2 A , = 4 1 0 2 B , = 0 2 3 0 C y − = 6 3 4 5 D
18. Obtén las matrices X e Y que verifiquen los siguientes sistemas matriciales:
19. Calcula el adjunto del elemento a23 en:
=
m
p
n
n
m
p
p
n
m
A
2
2
2
20. Hallar A tales que:
= ⋅ 2 0 0 1 0 0 2 0 1 0 A
21. Hallar las inversas de:
− − − = − − = − = = 1 0 2 0 1 2 0 1 0 3 1 2 2 0 1 1 0 1 2 1 3 4 5 0 1 1 1 2 3 0 1 1 0 3 2 1 0 1 3 2 2 0 1 D C B A
22. Calcula los productos posibles entre las matrices:
= = − = 5 4 3 0 1 2 C y 1 2 1 B , 1 1 0 1 1 1 3 2 1 A
23. Para las matrices
= − − − = − − = − − = 3 1 2 D y 3 0 0 1 2 4 1 5 1 0 3 2 C , 3 2 1 4 3 0 B , 3 0 4 2 1 1 A ,
realiza las siguientes operaciones: