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(2) 1.10 PRIMITIVAS DE FUNCIONES RACIONALES DE SH Y CH Nos planteamos el cálculo de la primitiva de una función racional del seno hiperbólico y el coseno hiperbólico, es decir, de una función en la que " sh x" y " ch x" aparecen como aparece la "x" en los cocientes de polinomios; o sea, funciones como las siguientes:. f (x ) =. 1 + sh 2 x + sh5 x. ch 7 x ch 3 x + sh 4 x ; g( x ) = 1 − sh x sh x + 3. ch x. Para denotar genéricamente este tipo de funciones escribiremos R (sh x ; ch x ).. Caso general El problema de calcular la primitiva de una función R (sh x ; ch x ) siempre puede transformarse en el problema de calcular la primitiva de un cociente de polinomios haciendo el cambio de variable th ( x/2 ) = z .. Cada vez que hagas el cambio th ( x/2 ) = z tendrás que sustituir sh x , ch x y dx por sus correspondientes valores en función de "z"; por tanto, debes saber que si th ( x/2 ) = z, es: 2 sh x = 2. z ; ch x = 1 + z ; dx = 2. dz 1 − z2 1 − z2 1 − z2 Como ya eres un artista calculando primitivas de cocientes de polinomios, en los ejemplos sólo nos ocuparemos del tránsito que conduce de una primitiva de la forma R (sh x ; ch x ). dx a la primitiva de un cociente de polinomios.. z. z. 1 . dx = 1 + sh x + ch x. z. 1. . 2. dz =. 2 2 1 + 2. z + 1 + z 1 − z 1 − z2 1 − z2 2 th ( x/2 ) = z ⇒ sh x = 2. z , ch x = 1 + z y dx = 2. dz 1 − z2 1 − z2 1 − z2. z. 1 . dz = Ln 1 + z = Ln 1 + th x + C 1+ z 2 deshacemos el cambio de variable: z = th ( x /2 ). =. 2. z sh x 1 − z2 . dx = . 2. dz = 2 2 1 + sh x + ch x 1 + 2. z + 1 + z 1 − z 1 − z2 1 − z2 2 th ( x/2 ) = z ⇒ sh x = 2. z , ch x = 1 + z y dx = 2. dz 1 − z2 1 − z2 1 − z2. z. Tema 1: Cálculo de Primitivas. z. 84.
(3) calculamos la primitiva del cociente de polinomios 2. z = . dz = ..... = g ( z) = g ( th x ) + C 2 2 (1 + z).(1 − z ). z. ¡Noooo....!. deshacemos el cambio: z = th ( x/2 ). Ahora estudiaremos otros cambios de variable que en ciertos casos son más eficaces que th ( x/2 ) = z. Casos particulares Para calcular la primitiva. 1 z. z. z. R (sh x ). ch x . dx haremos sh x = z; así:. z. R (sh x ). ch x. dx = R ( z ). dz sh x = z ⇒ ch x . dx = dz. z. sh x z . dz = 1 . Ln 1 + z2 = 1 . Ln 1 + sh 2 x + C . ch x. dx = 2 2 1 + sh 2 x 1 + z2 sh x = z ⇒ ch x . dx = dz deshacemos el cambio: z = sh x. z. ch 3 x . dx = 2 − sh x. z. ch 2 x . ch x. dx = 2 − sh x. z. 1 + sh 2 x . ch x. dx = 2 − sh x. es ch 2 x = 1 + sh 2 x. =. z. z. sh x = z ⇒ ch x . dx = dz. 1 + z 2 . dz = .... = g ( z) = g (sh x ) + C 2−z deshacemos el cambio: z = sh x. 1 . dx = th x.( 2 − sh x ) th x = sh x / ch x. z. ch x . dx = sh x.( 2 − sh x ). z. dz = z.( 2 − z). sh x = z ⇒ ch x . dx = dz. = .... = g ( z) = g (sh x ) + C deshacemos el cambio: z = sh x. Tema 1: Cálculo de Primitivas. 85.
(4) 2 z. z. Para calcular la primitiva R (ch x ).sh x . dx haremos ch x = z; así:. z. z. R ( ch x ). sh x. dx = R ( z ). dz ch x = z ⇒ sh x . dx = dz. z. ch x z . dz = 1 . Ln 1 + z2 = 1 . Ln 1 + ch 2 x + C . sh x. dx = 2 2 2 1 + ch x 1 + z2 ch x = z ⇒ sh x. dx = dz deshacemos el cambio: z = ch x. z. sh 3 x . dx = 3 − ch x. z. sh 2 x . sh x. dx = 3 − ch x. z. −1 + ch 2 x . sh x. dx = 3 − ch x. siempre es sh 2 x = −1 + ch 2 x =. z. ch x = z ⇒ sh x . dx = dz. z2 − 1 . dz = .... = g ( z) = g ( ch x ) + C 3−z deshacemos el cambio: z = ch x. z. th x . dx = 2 − ch x. z. sh x . dx = ch x.( 2 − sh x ). th x = sh x /ch x. z. dz = z.( 2 − z). ch x = z ⇒ sh x . dx = dz. = .... = g ( z) = g ( ch x ) + C deshacemos el cambio: z = ch x. 3. z. Para calcular la primitiva R (th x ). dx haremos th x = z; así:. z. z. R ( th x ). dx = R ( z). dz 1 − z2 th x = z ⇒ x = arc th z ⇒ dx = dz/(1 − z2 ). z. 1 . dx = 1 + th x. z. 1 . dz = .... = g ( z) = g ( th x ) + C 1 + z 1 − z2. th x = z ⇒ dx = dz/(1 − z 2 ) deshacemos el cambio de variable: z = th x. Tema 1: Cálculo de Primitivas. 86.
(5) z. 2. th x . dx = 1 + th x. z. 2. z . dz = .... = p( z) = g ( th x ) + C 1 + z 1 − z2. th x = z ⇒ dx = dz/(1 − z 2 ) deshacemos el cambio de variable: z = th x. 4. z. Para calcular una primitiva de la forma R (sh 2. m x ; ch 2. n x ). dx , donde "m" y "n" son números enteros (⇒ sh x y ch x aparecen elevados a exponentes pares), haremos th x = z; en este trance, para poder sustituir sh 2 x , ch 2 x y "dx" por sus correspondientes valores en función de "z", deberás saber que si th x = z, es: 2 sh 2 x = z ; ch 2 x = 1 ; dx = dz 2 1− z 1 − z2 1 − z2. z. =. z. dz 1 − z2 = 2 1− z 1 − z2. z. dx. dz 1 − z2. = 2 z 1 + 9. 4. 1 − z2 1 − z2 2 th x = z ⇒ sh 2 x = z , ch 2 x = 1 y dx = dz 1 − z2 1 − z2 1 − z2 dz = 1 . 1 . arc tg ( 2. z ) = 1 . arc tg ( 2. th x ) + C = 3 6 3 4. z 2 + 9 2 3 deshacemos el cambio: z = th x 4. sh 2 x + 9. ch 2 x. z. z. dx = 1 − sh 2 x. z. dz = 1 . 1 − 2. z2 2. z. 2 . dz = 1 − ( 2 . z )2. 2 y dx = dz th x = z ⇒ sh 2 x = z 1 − z2 1 − z2. = 1 . arh th ( 2 . z) = 1 .arg th ( 2 . th x ) + C 2 2 deshacemos el cambio: z = th x. Seguro que a continuación viene el caso R (sh x ; ch x ) = sh m x. ch n x. Tema 1: Cálculo de Primitivas. ¡Qué horror!. 87.
(6) 5. Podemos distinguir 3 casos a la hora de calcular la primitiva de una función R (sh x ; ch x ) cuya expresión matemática es de la forma R (sh x ; ch x ) = sh m x. ch n x , siendo "m" y "n" números enteros: A) Si alguno de los exponentes (por ejemplo, el "n") es impar, lo expresaremos como suma de un número par y del número 1 (o sea, n = 2. k + 1, siendo "k" entero); así:. z. =. sh m x. ch 2. k +1 x. dx =. z. z. sh m x. ch 2. k x. ch x. dx =. sh m x.(1 + sh 2 x ) k . ch x . dx =. z. R (sh x ). ch x . dx. B) Si los dos exponentes son pares pero alguno es negativo, haremos el cambio th x = z; como ya sabemos, en tal caso, es: 2 sh 2 x = z ; ch 2 x = 1 ; dx = dz 2 1− z 1 − z2 1 − z2 C) Si los dos exponentes son pares no negativos ( ≥ 0 ) , por ejemplo m = 2. p y n = 2. q siendo "p" y "q" números naturales, es:. z. sh 2. p x. ch 2.q x. dx =. sh 2 x =. p q -1 + ch 2. x I F 1 + ch 2. x I F z GH 2 JK .GH 2 JK .dx. −1 + ch 2. x 1 + ch 2. x ; ch 2 x = 2 2. Al efectuar el producto ( -1 + ch 2. x )p .(1 + ch 2. x )q obtendremos una suma de potencias pares e impares de ch 2. x ; las primitivas de las potencias impares de ch 2. x se calculan como se indica en A), y con las primitivas de las potencias pares de ch 2. x basta tener en cuenta que ch 2 2. x = (1 + ch 4. x )/2 , así: r + 1 ch 4 . x F I z ch2.r 2. x.dx = z GH 2 JK .dx. Al efectuar el desarrollo de (1 + ch 4. x )r obtendremos una suma de potencias pares e impares de ch 4. x ; las primitivas de las potencias impares de ch 4. x se calculan como se indica en el caso A), y las primitivas de las potencias pares de ch 4. x se calculan teniendo en cuenta que ch 2 4. x = (1 + ch 8. x )/2 , así: s + 1 ch 8 . x F I z ch2.s 4. x.dx = z GH 2 JK .dx. Al efectuar el desarrollo de (1 + ch 8. x )s obtendremos una suma de potencias pares e impares de ch 8. x ; las primitivas de las ..... Tema 1: Cálculo de Primitivas. 88.
(7) z. sh5 x. ch 2 x. dx =. z. sh 4 x . ch 2 x. sh x. dx =. z. Caso 5A, pues estamos ante una primitiva de la forma sh m x. ch n x. dx en la que algún exponente es impar. Expresamos dicho exponente impar como suma de un numero par y del número 1 (5 = 4 +1) =. z. ( −1 + ch 2 x )2 . ch 2 x. sh x. dx =. z. sh 2 x = −1 + ch 2 x. primitiva de la forma R ( ch x ). sh x. dx ⇒ ch x = z ⇒ sh x. dx = dz =. z. ( −1 + z2 )2 . z2 . dz = .... = g ( z ) = g ( ch x ) + C. deshacemos el cambio de variable: z = ch x. z. sh 2 x. ch5 x. dx =. z. sh 2 x. ch 4 x. ch x. dx =. z. Caso 5A, pues estamos ante una primitiva de la forma sh m x. ch n x. dx en la que algún exponente es impar. Expresamos dicho exponente impar como suma de un numero par y del número 1 (5 = 4 +1) =. z. sh 2 x.(1 + sh 2 x )2 . ch x. dx =. z. ch 2 x = 1 + sh 2 x. primitiva de la forma R (sh x ). ch x. dx ⇒ sh x = z ⇒ ch x. dx = dz. z. =. z2 .(1 + z2 )2 . dz = .... = g ( z ) = g (sh x ) + C. deshacemos el cambio de variable: z = sen x. z. sec h x. dx =. z. dx = sh x. z. sh −1 x. dx =. z. sh x. . dx = sh 2 x. z. Caso 5A, pues estamos ante una primitiva de la forma sh m x. ch n x. dx en la que algún exponente es impar. Expresamos dicho exponente impar como suma de un numero par y del número 1 ( -1 = -2 + 1) =. z. sh 2 x = −1 + ch 2 x 1 1 . dz = ......... . sh x. dx = 2 −1 + ch x −1 + z 2. z. z. primitiva de la forma R ( ch x ). sh x. dx ⇒ ch x = z ⇒ sh x. dx = dz = .... = g ( z) = g ( ch x ) + C deshacemos el cambio de variable: z = ch x. Tema 1: Cálculo de Primitivas. 89.
(8) z. sh 2 x . dx = ch 2 x. z. sh 2 x. ch −2 x. dx =. z. C aso 5B, pues estamos ante una primitiva de la forma sh m x. ch n x. dx en la que ambos exponentes son pares, pero alguno es negativo ⇒ hacemos el cambio th x = z; así: 2 ; ch 2 x = 1 ; dx = dz sh 2 x = z 2 1− z 1 − z2 1 − z2 z 2 .( 1 )−1 . dz = z 2 . dz = = 1 − z2 1 − z2 1 − z2 1 + z2 = .... = g ( z) = g ( th x ) + C. z. z. deshacemos el cambio de variable: z = th x. z. z. −1 + ch 2. x 1 + ch 2. x . . dx = 2 2 Caso 5C, pues estamos ante una primitiva de la forma sh m x. ch n x. dx en la que ambos exponentes son pares no negativos ⇒ damos "entrada" al argumento "2.x": es sh 2 x = ( −1 + ch 2. x )/2 y ch 2 x = (1 + ch 2. x )/2 sh 2 x. ch 2 x. dx =. z. z. z. = 1 . ( −1 + ch 2 2. x ). dx = − 1 . x + 1 . ch 2 2. x. dx = 4 4 4 1 + ch 4. x dx = − 1 . x + 1 .( x + 1 . sh 4. x ) + C = − 1 .x + 1 . 4 4 2 4 4 2 8 damos "entrada" al argumento "4.x": ch 2 2. x = (1 + ch 4. x )/2. z. z. z. −1 + ch 2. x 3 ) . dx = 2 Caso 5C, pues estamos ante una primitiva de la forma sh m x. ch n x. dx en la que ambos exponentes son pares no negativos ⇒ damos "entrada" al argumento "2.x": es sh 2 x = ( −1 + ch 2. x )/2 = 1. 8 • Es:. =. z. z. z. sh 6 x. dx =. (. ( −1 + 3. ch 2. x − 3. ch 2 2. x + ch 3 2. x ). dx = ...... ch 2 2. x. dx = (caso 5C) =. • Es:. z. z. z. 1 + ch 4. x . dx = 1 .( x + 1 . sh 4. x ) 2 2 4. z. ch 3 2. x. dx = (caso 5A) = ch 2 2. x. ch 2. x. dx = (1 + sh 2 2. x ). ch 2. x. dx = 1 . (1 + z2 ). dz = .... = g ( z ) = g (sh x ) 2. z. sh 2. x = z ⇒ ch 2. x . dx = dz/2. Tema 1: Cálculo de Primitivas. 90.
(9) 6. Para calcular primitivas de la forma A) B) C). z z z. sh ax. ch bx. dx , a ≠ b sh ax. sh bx. dx , a ≠ b ch ax. ch bx. dx , a ≠ b. basta recordar las fórmulas:. sh ( a + b). x + sh ( a − b). x , a≠b 2 ch ( a + b). x − ch ( a − b). x B) sh ax. sh bx = , a≠b 2 ch ( a + b). x + ch ( a − b). x C ) ch ax. ch bx = , a≠b 2 Con ellas transformaremos el problema de calcular la primitiva de un producto en el problema de calcular la primitiva de una suma. A ) sh ax. ch bx =. z. z. sh 2 x. ch 6x. dx = 1 (sh 8 x + sh 4 x ). dx = 2 sh ( 2 + 6). x + sh ( 2 − 6). x sh 8 x + sh ( −4 x ) sh 2 x. ch 6x = = = 2 2 sh 8 x − sh 4 x = , pues sh ( −4 x ) = −sh 4 x 2 = 1 . ch 8 x + 1 . ch 4 x + C 16 8. z. z. sh 2 x. sh 6x. dx = 1 ( ch 8 x − ch 4 x ). dx = 2 ch ( 2 + 6). x − chs ( 2 − 6). x ch 8 x − ch ( −4 x ) sh 2 x. sh 6x = = = 2 2 ch 8 x − ch 4 x = , pues ch ( −4 x ) = ch 4 x 2. z. = 1 . sh 8 x − 1 . sh 4 x + C 16 8. z. ch 2 x. ch 6x. dx = 1 ( ch 8 x + ch 4 x ). dx = 2 ch ( 2 + 6). x + ch ( 2 − 6). x ch 8 x + ch ( −4 x ) ch 2 x. ch 6x = = = 2 2 ch 8 x + ch 4 x = , pues ch ( −4 x ) = ch 4 x 2 = 1 . sh 8 x + 1 . sh 4 x + C 16 8 Tema 1: Cálculo de Primitivas. 91.
(10) 1.11 PRIMITIVAS DE ALGUNAS FUNCIONES IRRACIONALES Al hablar de funciones irracionales nos referimos a funciones en que la variable aparece bajo el signo de radicación, como las siguientes: f ( x ) = 1 + x ; f ( x ) = ( x 3 + 1).. x − 1 ; f (x ) = 1 + 5 x + 1 x2 − 2 2−x. 9 5 4 (1 + x ). 5 2 − 4. x f (x ) = x − x 7 ; f (x ) = 1 + 7 − x + 1 + x ; f (x ) = x+2 x5. 1 + x + x 2. El problema de calcular la primitiva de una función irracional puede ser asunto inmediato, como en el caso. z. dx/ 1 + x = 2. 1 + x + C. o totalmente infumable incluso para los japoneses, como en el caso. z. 1 + 9 7 − x 5 + 4 1 + x . dx x5. 1 + x + x 2. ¡Tranquilo!, sólo estudiaremos algunos tipos de primitivas de funciones irracionales .... y en cada caso deberás aprender el cambio de variable que transforma nuestro problema en el problema de calcular una primitiva de las que ya conocemos.. 1. Si el integrando f(x) es una ensalada de potencias del cociente de monomios ( a. x + b)/( c. x + d ), haremos ( a. x + b)/( c. x + d ) = z k , siendo "k" el mínimo común múltiplo de los denominadores de los exponentes de ( a. x + b)/( c. x + d ). z. z. 1 + 3 2. x − 3 + 4 2. x − 3 . dx = 1 + ( 2. x − 3)1/3 + ( 2. x − 3)1/4 . dx = 1 − ( 2. x − 3)1/6 1 − 6 2. x − 3 es m.c.m(3,4,6) = 12 ⇒ hacemos 2. x − 3 = z12 ⇒ dx = 6. z11 . dz =. z. calculamos la primitiva del cociente de polinomios. 1 + z4 + z3 .6. z11 . dz = .... = g ( z) = g (( 2. x − 3)1/12 )) + C 1 − z2 deshacemos el cambio: 2. x − 3 = z12 ⇒ z = ( 2. x − 3)1/12. Tema 1: Cálculo de Primitivas. 92.
(11) z. z. z. x + 3 x . dx = x + x 1/ 3 . dx = z 6 + z2 .6. z5dz = 1 − x 1/2 1 − z3 1− x es m.c.m(2,3) = 6 ⇒ hacemos x = z 6 ⇒ dx = 6. z5 . dz calculamos la primitiva del cociente de polinomios. = .... = g ( z) = g ( x 1/6 ) + C deshacemos el cambio: x = z 6 ⇒ z = x 1/ 6. Si el integrando f(x) contiene un único factor irracional de la forma. 2 z. a 2 - b2 . x 2 , lo haremos desaparecer con el cambio b. x = a. sen z , pues así: a 2 − b2 . x 2 = a 2 − a 2 . sen 2 z = a. 1 − sen 2 z = a.cos z 9 − 4. x 2 . dx = 3 . 2. z. z. 9 − 9. sen 2 z .cos z. dz = 9 . 1 − sen 2 z .cos z. dz = 2 2. x = 3. sen z ⇒ dx = 3 .cos z. dz 2 1 + cos 2. z = 9 . cos2 z. dz = 9 . . dz = 9 .( 1 . z + 1 . sen 2. z) = 2 2 2 2 2 4 = 9 . arc sen 2. x + 9 . sen ( 2. arc sen 2. x ) + C 4 3 8 3 deshacemos el cambio: 2. x = 3. sen z ⇒ sen z = 2. x ⇒ z = arc sen 2. x 3 3. z. z. NOTA 1 Antes de deshacer el cambio podemos escribir sen 2. z = 2. sen z.cos z, y así:. z. 9 − 4. x 2 . dx = 9 .( 1 . z + 1 .2. sen z.cos z) = 9 .( z + sen z.cos z ) = 2 2 4 4 = 9 .( arc sen 2. x + 2. x . 1 − ( 2. x )2 ) + C 4 3 3 3. deshacemos el cambio: z = arc sen 2. x 3 2. x = 3. sen z ⇒ sen z = 2. x ⇒ 3 cos z = 1 − ( 2. x )2 3. R| S| T. NOTA 2 También podemos resolver la papeleta mediante el cambio 2. x = 3.cos z :. Tema 1: Cálculo de Primitivas. 93.
(12) z. 9 − 4. x 2 . dx = − 3 . 2. z. z. 9 − 9.cos2 z . sen z. dz = − 9 . 1 − cos2 z .sen z. dz = 2 2. x = 3.cos z ⇒ dx = − 3 . sen z. dz 2 1 − cos 2. z = − 9 . sen 2 z. dz = − 9 . . dz = − 9 .( 1 . z − 1 . sen 2. z) = 2 2 2 2 2 4 9 2 . x 9 2 . x = − . arc cos + . sen ( 2. arc cos )+C 4 3 8 3 deshacemos el cambio: 2. x = 3.cos z ⇒ cos z = 2. x ⇒ z = arc cos 2. x 3 3. z. z. z. dx = x + 5 − 3. x 2. z. 5/3.cos z. dz 5/3. sen z + 5 − 5. sen 2 z. =. 3. x = 5. sen z ⇒ x = 5/3. sen z ⇒ dx = 5/3.cos z. dz =. z. 5/3.cos z. dz 5/3. sen z + 5 1 − sen 2 z. =. z. z. 5/3.cos z. dz 5/3. sen z + 5.cos z. =. Primitiva de la forma R(sen z;cos z).dx ⇒ cambio tg z = t , para el que es: 2 2 sen z = 2. t ; cos z = 1 − t ; dz = 2. dt 1 + t2 1 + t2 1 + t2. 5/3. 1 − t 1 + t2 = . 2. dt = .... = g ( t ) = 2 2 5/3. 2. t + 5. 1 − t 1 + t 1 + t2 1 + t2 calculamos la primitiva del cociente de polinomios obtenido 2. z. = g ( tg. arc sen. 3/5. x. )+C 2 deshacemos los cambios de variable realizados: arc sen 3/5. x t = tg z = tg 2 2 3. x = 5. sen z ⇒ z = arc sen 3/5. x ¡Salen muchos cocientes de polinomios espantosos!. Tema 1: Cálculo de Primitivas. Tranqui, .... en examen todo estará "preparado" para que el cociente de polinomios sea asequible 94.
(13) 3. Si el integrando f(x) contiene un único factor irracional de la forma a 2 + b2 . x 2 , lo haremos desaparecer con el cambio b. x = a. tg z , pues así: a 2 + b2 . x 2 = a 2 + a 2 . tg 2 z = a. 1 + tg 2 z = a/cos z. z = 9. 2. z. 9 + 4. x 2 . dx = 3 . 2. z. 9 + 9. tg 2 z . dz = cos2 z 2. x = 3. tg z ⇒ dx = 3 . dz 2 cos 2 z. 1 + tg 2 z . dz = 9 . cos2 z 2. z. 1 . dz = 9 . cos2 z cos2 z 2. z. dz = cos3 z. como todo el mundo sabe, es 1 + tg 2 z = 1/cos2 z. z. primitiva de la forma sen m x.cos n x. dx , siendo impar algún exponente ⇒ ⇒ expresamos el exponente impar como suma de un número par y de 1 cos z cos z = 9. . dz = 9 . . dz = 2 2 cos4 z (1 − sen 2 z)2. z. z. z. primitiva de la forma R(sen z).cos z. dz, hacemos el cambio sen z = t ⇒ cos z. dz = dt calculamos la primitiva del cociente de polinomios. = 9. 2. z. dt = .... = g ( t ) = g (sen arc tg 2. x ) + C 3 (1 − t 2 )2. deshacemos los cambios de variable realizados: t = sen z = sen arc tg 2. x 3 2. x = 3. tg z ⇒ z = arc tg 2. x 3. z. x + 1 + x 2 . dx = 1 − 1 + x2. z. tg z + 1 + tg 2 z. . dz = 1 − 1 + tg 2 z cos2 z. x = tg z ⇒ dx = dz/cos2 z. =. z. tg z + 1−. 1 cos2 z 1 cos2 z. Tema 1: Cálculo de Primitivas. . dz = cos2 z. 1 + tg 2 z = 1/cos2 z. z. 1 cos z dz . = cos2 z 1− 1 cos z. tg z +. 95.
(14) =. z. 1 + cos z. tg z dz = . −1 + cos z cos2 z. z. 1 + cos z. sen z cos z . dz = −1 + cos z cos2 z. z. 1 + sen z . dz = −1 + cos z cos2 z. descomponemos en suma de dos sumandos sen z 1 = . dz + . dz = .... −1 + cos z cos2 z −1 + cos z cos2 z. z. z z. • Es:. z. 2. dt 2 1 = .... . 1+ t 2 1 − t2 t 1 − 2 −1 + ( ) 1 + t2 1 + t2 R(sen z;cos z).dx ⇒ cambio tg z = t , para el que es: 2 2 1 t − cos z = ; dz = 2. dt 2 1+ t 1 + t2 1 . dz = −1 + cos z cos2 z. z. • Es:. z. sen z . dz = − −1 + cos z cos2 z. z. z. dt . dz = ..... −1 + t t 2. primitiva de la forma R(cos z). sen z. dz, hacemos el cambio cos z = t ⇒ sen z. dz = − dt. Si el integrando f(x) contiene un único factor irracional de la forma. 4. b2 . x 2 - a 2 , lo haremos desaparecer con el cambio b. x = a.sec z , pues así: b2 . x 2 − a 2 = a 2 .sec 2 z − a 2 = a. sec 2 z − 1 = a. tg z. z. x 2 − 1 . dx = x3. z. sec 2 − 1 .sec z. tg z. dz = sec 3 z. x = sec z ⇒ dx = sec z. tg z. dz. z. z. z. tg z tg 2 z sen 2 z / cos2 z .sec z. tg z. dz = . dz = . dz = 1 / cos2 z sec 3 z sec 2 z 1 − cos 2. z sen 2 z. dz = . dz = 1 .( z − 1 . sen 2. z) = 1 .( z − sen z.cos z ) = 2 2 2 2 = 1 .( arc cos 1 − 1 . 1 − (1/x )2 ) + C x x 2 =. =. z. sec 2 z − 1 = tg z. z. R| S| T. z = arc cos 1 1 1 x x = sec z = ⇒ cos z = ⇒ cos z x sen z = 1 − cos2 z = 1 − (1/x )2 Tema 1: Cálculo de Primitivas. 96.
(15) z. x . dx = 2 1+ x − 4. z. 2.sec z 1+. 4.sec 2 z − 4. .sec z. tg z. dz =. x = 2.sec z ⇒ dx = sec z. tg z. dz. =. z. 2.sec z 1 + 2. sec 2 z − 1. .sec z. tg z. dz =. z. 2.sec 2 z. tg z . dz = 2. 1 + 2. tg z. z. 1 . sen z cos2 z cos z . dz = sen z 1 + 2. cos z. sec 2 z − 1 = tg z. = 2.. z. z. sen z . dz = cos2 z.(cos z + 2. sen z). Primitiva de la forma R(sen z;cos z).dx ⇒ cambio tg z = t , para el que es: 2 2 2 t 1 t 2 . − sen z = ; cos z = ; dz = . dt 1 + t2 1 + t2 1 + t2 calculamos la primitiva del cociente de polinomios. = 2.. z. 5. 2. t arc cos 2/x 1 + t2 . 2. dt = .... = g ( t ) = g ( tg )+C 2 2 2 2 1 t 1 − t 1 − 2 t t + . 2 + 2. ( ) .( ) 1 + t2 1 + t2 1 + t2 arc cos 2/x deshacemos los cambios realizados: t = tg z = tg 2 2 x = 2.sec z = 2 ⇒ cos z = 2 ⇒ z = arc cos 2/x cos z x. Para calcular primitivas de la forma. z. dx a. x 2 + b. x + c manipularemos el polinomio a. x 2 + b. x + c para conseguir alguna de las siguientes inmediatas: u( x ) u '( x ) . dx = arc sen k k 2 − ( u( x ))2 u '( x ) u( x ) . dx = arg sh k ( u( x ))2 + k 2 u( x ) u '( x ) . dx = arg ch k ( u( x ))2 − k 2. z z z. Tema 1: Cálculo de Primitivas. 97.
(16) z. dx = 27 + 6. x − x 2. z. dx = arc sen x − 3 + C 6 36 − ( x − 3)2. 27 + 6. x − x 2 = 27 + 9 − ( 9 − 6. x + x 2 ) = 36 − ( x − 3)2. z. dx = x 2 − 2. x + 17. z. dx = arg sh x − 1 + C 4 ( x − 1)2 + 16. x 2 − 2. x + 17 = ( x 2 − 2. x + 1) − 1 + 17 = ( x − 1)2 + 16. z. dx = x 2 − 2. x − 15. z. dx = arg ch x − 1 + C 4 ( x − 1)2 − 16. x 2 − 2. x − 15 = ( x 2 − 2. x + 1) − 1 − 15 = ( x − 1)2 − 16. z. dx = 2 x x 2. + − 7. z. dx 2. x 2 + x − 7 2 2. =. x+1 dx 4 +C = 1 . = 1 .arg ch 2 2 57/16 ( x + 1 )2 − 57 4 16 x 2 + x − 7 = ( x 2 + x + 1 ) − 1 − 7 = ( x + 1 )2 − 57 2 2 2 16 16 2 4 16. z. z. dx = 3. x 2 + 5. x + 7. z. dx. = 5 7 x . 3. x 2 + + 3 3 x+5 dx 1 1 6 +C = . = .arg sh 3 59/36 3 ( x + 5 )2 + 59 6 36 x 2 + 5. x − 7 = ( x 2 + 5. x + 25 ) − 25 + 7 = ( x + 5 )2 + 59 3 3 3 36 36 3 6 36. z. z. dx = 4 + 5. x − 3. x 2. z. dx = 4 5 2 3. + .x − x 3 3 x−5 dx 6 +C = 1 . = 1 . arc sen 3 73 − ( x − 5 )2 3 73/36 36 6 4 + 5 . x − x 2 = 4 + 25 − ( 25 − 5 . x + x 2 ) = 73 − ( x − 5 )2 3 3 3 36 36 3 36 6. z. Tema 1: Cálculo de Primitivas. 98.
(17) 6. Siendo P(x) es un polinomio de grado mayor o igual que 1, para calcular primitivas de la forma P( x ). dx ( I) a. x 2 + b. x + c. z. usaremos el llamado método alemán:. z. P( x ). dx a. x 2 + b. x + c. = Q( x ). a. x 2 + b. x + c +. z. λ. dx ( II) a. x 2 + b. x + c. donde Q(x) es un polinomio completo de coeficientes indeterminados y grado una unidad inferior al grado de P(x) y l es un número indeterminado. Así, el problema de calcular (I), se transforma en el. z. problema de calcular l. dx/ a. x 2 + b. x + c , que es del tipo 5. Para calcular el valor de λ y los coeficientes de Q(x) derivaremos los dos miembros de (II); se obtiene: P( x ) a. x 2 + b. x + c. =. d( Q( x ). a. x 2 + b. x + c ) λ + dx a. x 2 + b. x + c. Tras reducir a común denominador en el segundo miembro de la última igualdad e identificar los numeradores de ambos lados, llegaremos a un sistema lineal de ecuaciones cuyas incógnitas son los coeficientes de Q(x) y l.. z. x−2 . dx = 1. x 2 + x + 1 − 5 . 2 x2 + x + 1. z. dx = x2 + x + 1. d( Q( x ). x 2 + x + 1 ) λ x−2 = + ⇒ dx x2 + x + 1 x2 + x + 1 como P(x) = x − 2 tiene grado 1 ⇒ Q(x) tiene grado 0, o sea, es Q(x) = k d( k. x 2 + x + 1 ) λ x−2 = + ⇒ dx x2 + x + 1 x2 + x + 1 k.( 2. x + 1) x−2 λ ⇒ = + ⇒ x 2 + x + 1 2. x 2 + x + 1 x2 + x + 1 k. x + k λ x−2 2 + ⇒ = ⇒ x2 + x + 1 x2 + x + 1 x2 + x + 1 1= k k =1 k ⇒ x − 2 = k. x + + λ ⇒ −2 = k + λ ⇒ λ = −5/2 2 2 ⇒. RS T. Tema 1: Cálculo de Primitivas. UV { W. 99.
(18) = x 2 + x + 1 − 5 .arg sh 2. x + 1 + C 2 3. z. z. z. x + (1/2 ) dx = arg sh = arg sh 2. x + 1 3/4 3 ( x + 1 )2 + 3 2 4 x 2 + x + 1 = ( x 2 + x + 1 ) − 1 + 1 = ( x + 1 )2 + 3 4 4 2 4. dx = 2 x + x +1. 3. x 3 + 2. x − 1 . dx = ( x 2 − 5. x + 15 ). x 2 + x + 1 − 63 . 2 16 64 128 2. x 2 + x + 2. z. dx = 2. x 2 + x + 2. 3. x 3 + 2. x − 1 = d( Q( x ). 2. x 2 + x + 2 ) + λ ⇒ dx 2. x 2 + x + 2 2. x 2 + x + 2 como P(x) = 3. x 3 + 2. x − 1 tiene grado 3 ⇒ Q(x) tiene grado 2, o sea: Q(x) = A.x 2 + B.x + C d(( A. x 2 + B. x + C ). 2. x 2 + x + 2 ) 3 λ ⇒ 3. x + 2. x − 1 = + ⇒ dx 2. x 2 + x + 2 2. x 2 + x + 2 ( A. x 2 + B. x + C ).( 4. x + 1) 3 + ⇒ 3. x + 2. x − 1 = ( 2. A. x + B). 2. x 2 + x + 2 + 2. x 2 + x + 2 2. 2. x 2 + x + 2 λ + ⇒ 2.x 2 + x + 2 ⇒ 3x 3 + 2 x − 1 = ( 2 Ax + B).( 2 x 2 + x + 2 ) + ( Ax 2 + Bx + C ).( 2 x + 1 ) + λ ⇒ 2 ⇒ 3x 3 + 2 x − 1 = 6Ax 3 + ( 5A + 4 B)x 2 + ( 4 A + 3B + 2C ). x + ( 2B + C + λ ) ⇒ 2 2 2 3 = 6. A A = 1/2 0 = 5A + 4 B 2 B = −5/16 ⇒ 2 = 4 A + 3B + 2C ⇒ C = 15/64 2 λ = −63/128 −1 = 2 B + C + λ 2. R| |S || T. U| |V || W. R| S| T. x + (1/4 ) 2 = ( x − 5. x + 15 ). x 2 + x + 1 − 63 . 1 .arg sh +C 2 16 64 128 2 15/16. z. z. x + (1/4 ) dx = 1 .arg sh 2 15/16 2 . ( x + 1 )2 + 15 4 16 2. x 2 + x + 2 = 2.( x 2 + x + 1) = 2.(( x 2 + x + 1 ) − 1 + 1) = 2.(( x + 1 )2 + 15 ) 2 2 16 16 4 16 dx = 2. x 2 + x + 2. Tema 1: Cálculo de Primitivas. 100.
(19) Para calcular primitivas de la forma. 7. z. a. x 2 + b. x + c . dx , multipli-. a. x 2 + b. x + c ; así: 2 a. x 2 + b. x + c . dx = a. x + b. x + c . dx a. x 2 + b. x + c que es del tipo 6.. camos y dividimos por. z. z. z. z. 2. x 2 + 3. x − 1 . dx = 2. x 2 + 3. x − 1 2. x 2 + 3. x − 1 . dx = = ( x + 3 ). 2. x 2 + 3. x − 1 − 17 . 2 8 16 2. x 2 + 3. x − 1 2. x 2 + 3. x − 1. dx =. z. λ 2. x 2 + 3. x − 1 = d( Q( x ). 2. x 2 + 3. x − 1 ) + ⇒ dx 2. x 2 + 3. x − 1 2. x 2 + 3. x − 1 como P(x) = 2. x 3 + 3. x − 1 tiene grado 2 ⇒ Q(x) tiene grado 1, o sea, es: Q(x) = A.x + B.x d(( A. x + B). 2. x 2 + 3. x − 1 ) 2 λ ⇒ 2. x + 3. x − 1 = + ⇒ dx 2. x 2 + 3. x − 1 2. x 2 + 3. x − 1 ( A. x + B).( 4. x + 3) 2 + ⇒ 2. x + 3. x − 1 = A. 2. x 2 + 3. x − 1 + 2 2 2. x + 3. x − 1 2. 2. x + 3. x − 1 λ + ⇒ 2. x 2 + 3. x − 1 ⇒ 2. x 2 + 3. x − 1 = A.( 2. x 2 + 3. x − 1) + ( A . x + B ).( 2. x + 3 ) + λ ⇒ 2 ⇒ 2. x 2 + 3. x − 1 = 4. A. x 2 + ( 9. A + 2. B). x + ( − A + 3. B + λ ) ⇒ 2 2. R|2 = 4. A U| R|A = 1/2 | | . A 9 ⇒ S3 = + 2. B ⇒ SB = 3/8 V 2 ||−1 = − A + 3. B + λ || |Tλ = −17/16 2 T W. x + ( 3/4 ) = ( x + 3 ). 2. x 2 + 3. x − 1 − 17 . 1 .arg ch +C 16 2 2 8 17/16. z. z. x + ( 3/4 ) dx = 1 .arg ch 2 17/16 2 . ( x + 3 )2 − 17 4 16 2. x 2 + 3. x − 1 = 2.(( x 2 + 3. x + 9 ) − 9 − 1 ) = 2.(( x + 3 )2 − 17 ) 2 16 16 2 4 16 dx = 2. x 2 + 3. x − 1. Tema 1: Cálculo de Primitivas. 101.
(20) 8. Siendo "k" un número natural, para calcular una primitiva de la forma dx ( x - a ) k . a. x 2 + b. x + c. z. haremos el cambio de variable 1/( x − α ) = z , que en el caso k = 1 nos conducirá a una primitiva tipo 5, y si k > 1 nos conducirá a una primitiva tipo 6 (método alemán).. z. z. z.( − dz / z2 ) = 1 1 2 2.(1 + ) − (1 + ) + 1 z z 1 = z ⇒ x − 1 = 1 ⇒ x = 1 + 1 ⇒ dx = − dz/z 2 x −1 z z 2 z.( − dz / z ) z.( − dz / z2 ) = = = 2 4 1 2 3 2+ 2+ + + −1− +1 z z2 z z2 z z.( − dz / z2 ) dz = =− = 2. z2 + 2 + 3. z 2. z2 + 3. z + 2 z2 z+ 3 dz 4 = =− = − 1 .arg sh 2 7/16 2 . ( z + 3 )2 + 7 4 16 2. z 2 + 3. z + 2 = 2.(( z 2 + 3. z + 9 ) − 9 + 1) = 2.(( z + 3 )2 + 7 ) 2 16 16 4 16 4 +3 = − 1 .arg sh 4. z + 3 = − 1 .arg sh x − 1 +C 2 7 2 7 deshacemos el cambio de variable: z = 1/( x − 1) dx = ( x − 1). 2. x 2 − x + 1. z. z. z. z. z. z. z. z. z3 .( − dz / z2 ) z3 .( − dz / z2 ) = = 1 + 3 −1 − z 2 + 3. z + 1 z2 z z2 1 = z ⇒ x = 1 ⇒ dx = − dz/z 2 x z z2 . dz =− = .... − z2 + 3. z + 1 tipo 6, método alemán. dx = x 3 . x 2 + 3. x − 1. z. Tema 1: Cálculo de Primitivas. 102.
(21) A la hora de calcular la primitiva de una función de la forma. 9. R ( x ; a. x 2 + b. x + c ) , distinguimos tres situaciones: A ) Si a > 0 ⇒ cambio a. x 2 + b. x + c = a . x + z B) Si c > 0 ⇒ cambio a. x 2 + b. x + c = x. z + c C ) Si a < 0 ⇒ cambio a. x 2 + b. x + c = ( x − α ). z , siendo α una de las soluciones de la ecuación a. x 2 + b. x + c = 0. Observa que puede haber "solapes"; por ejemplo, siendo I1 =. z. dx ; I2 = x + x2 + x + 4. z. dx x − − x 2 + 4. x + 1. el cálculo de I1 corresponde al caso 9A o al 9B, y el de I2 corresponde al caso 9B o al 9C. z. dx = x + 9. x 2 + 2. x − 1. z. Caso 9A fi hacemos el cambio. 1 . −3. z2 + 2. z + 3 . dz 2 (1 − 3. z)2 = z2 + 1 + ( 9. z2 + 1 + z) 2.(1 − 3. z) 2.(1 − 3. z) 9. x 2 + 2. x − 1 = 9. x + z , y así:. 9. x 2 + 2. x − 1 = ( 9. x + z)2 ⇒ ⇒ 9. x 2 + 2. x − 1 = 9. x 2 + 6. x. z + z 2 ⇒ ⇒ 2. x − 1 = 6. x. z + z 2 ⇒ 2. x − 6. x. z = z 2 + 1 ⇒ 2 ⇒ 2. x.(1 − 3. z) = z2 + 1 ⇒ x = z + 1 ⇒ 2.(1 − 3. z). R| 9. x 2 + 2. x − 1 = 9. z2 + 1 + z 2.(1 − 3. z) ⇒S ||Tdx = 12 . 2. z.(1 − 3(.1z−) −3.(zz)22 + 1).(−3) . dz = 12 . −3.(z12−+3.2z.)z2+ 3 . dz calculamos la primitiva del cociente de polinomios. = .... = g ( z) = g ( 9. x 2 + 2. x − 1 − 9. x ) + C. deshacemos el cambio: si 9. x 2 + 2. x − 1 = 9. x + z ⇒ z = 9. x 2 + 2. x − 1 − 9. x. Tema 1: Cálculo de Primitivas. 103.
(22) z. dx = x + x2 + x + 4. z. 4. z2 − 2. z + 4 . dz (1 − z2 )2 = 4. z − 1 + ( 4. z − 1 . z + 4 ) 1 − z2 1 − z2. Corresponde al caso 9A o al 9B, y la calculamos como 9B; o sea, hacemos el cambio x 2 + x + 4 = x. z + 4 ; así: x 2 + x + 4 = ( x . z + 4 )2 ⇒ x 2 + x + 4 = x 2 . z 2 + 4 . x . z + 4 ⇒ ⇒ x 2 + x = x 2 . z 2 + 4. x . z ⇒ x + 1 = x . z 2 + 4. z ⇒ x − x. z2 = 4. z − 1 ⇒ x.(1 − z2 ) = 4. z − 1 ⇒ x = 4. z − 1 ⇒ 1 − z2 x 2 + x + 4 = 4. z − 1 . z + 4 1 − z2 ⇒ 4.(1 − z 2 ) − ( 4. z − 1).( −2. z) 2 dx = . dz = 4. z − 2. z + 4 . dz (1 − z2 )2 (1 − z2 )2. R| S| T. calculamos la primitiva del cociente de polinomios. si. z. 2 = .... = g ( z) = g ( 9. x + 2. x − 1 − 4 ) + C x deshacemos el cambio: 2 x 2 + x + 4 = x. z + 4 ⇒ z = 9. x + 2. x − 1 − 4 x. dx = x + −x 2 + x + 2. z. 6. z . dz (1 + z2 )2 = 2. z2 − 1 + ( 2. z 2 − 1 − 2 ). z 1 + z2 1 + z2. Corresponde al caso 9B o al 9C, y la calculamos como 9C; o sea, hacemos el , siendo a una de las raíces de la ecuación cambio − x 2 + x + 2 = ( x − α ). z ---------− x 2 + x + 2 = 0 (⇒ x = 2 ó x = −1 ⇒ − x 2 + x + 2 = −( x − 2 ).( x + 1)). Así: − x 2 + x + 2 = ( x − 2 ). z ⇒ −( x − 2 ).( x + 1) = ( x − 2 ). z ⇒ ⇒ − ( x − 2 ).( x + 1) = ( x − 2 )2 . z 2 ⇒ − ( x + 1) = ( x − 2 ). z 2 ⇒ 2 ⇒ x.(1 + z 2 ) = 2. z 2 − 1 ⇒ x = 2. z − 1 1 + z2 2 − x 2 + x + 2 = ( 2. z − 1 − 2 ). z 1 + z2 ⇒ 4. z.(1 + z 2 ) − ( 2. z2 − 1).( 2. z ) dx = . dz = 6. z . dz 2 2 (1 + z ) (1 + z2 )2. R| S| T. Tema 1: Cálculo de Primitivas. 104.
(23) calculamos la primitiva del cociente de polinomios 2 = .... = g ( z) = g ( − x + x + 2 ) + C x−2 deshacemos el cambio: 2 − x 2 + x + 2 = ( x − 2 ). z ⇒ z = − x + x + 2 x−2. A priori no hay forma de saber qué opción es la menos petarda; elige la que quieras, y si te conduce a un cociente de polinomios infumable, prueba con la otra. Si hay "solape", ¿cuál elijo?. Se llaman irracionales "binomias" a las primitivas de la forma:. 10. z. x m .( a + b. x n ) p . dx. donde los exponentes "m", "n" y "p" son números racionales. Se transforma en la primitiva de un cociente de polinomios en los siguientes casos: A ) Si "p" es entero la primitiva es del tipo 1 ⇒ cambio x = z k , con k = m. c. m.( denominadores de "m" y "n"). B) Si (m + 1)/n es entero ⇒ cambio a + b.x n = zr , siendo " r" el denominador de "p". C) Si m + 1 + p es entero ⇒ cambio a.x − n + b = zr , n siendo " r" el denominador de "p". Fuera de estos tres casos, la primitiva no puede expresarse mediante funciones elementales. z. x. (1 − 5. 3 x )2. . dx =. z. x 1/ 2 .(1 − 5. x 1/3 )−2 . dx =. caso 10A ( p = −2 es entero) ⇒ cambio x = z m.c. m( 2 ,3) = z6 ⇒ dx = 6. z5 . dz. = 6.. z. =. z. z3 .(1 − 5. z2 )−2 .6. z5 . dz =. z8 . dy = .... = g ( z) = g ( x 1/6 ) + C (1 − 5. z 2 )2. deshacemos el cambio: x = z 6 ⇒ z = x 1/ 6 Tema 1: Cálculo de Primitivas. 105.
(24) z. Primitiva del tipo. z. x −1/2 .(1 + x 1/4 )1/3 . dx =. x m .( a + b. x n ) p . dx ( irracional "binomia"), siendo: m = −1/2 ; n = 1/4 ; p = 1/3. ( −1/2 ) + 1 Como m +1 = = 2 ≡ entero ⇒ hacemos el cambio 1 + x 1/4 = z3 : 1/4 n 1 + x 1/4 = z 3 ⇒ x = ( z3 − 1)4 ⇒ dx = 12. z2 .(z3 − 1)3 . dz =. z. (( z3 − 1)4 )−1/2 .( z 3 )1/3 .12. z2 .( z3 − 1)3 . dz =. z. z. = 12. ( z3 − 1). z3 . dz = 12. ( z6 − z3 ). dz = = 12.( 1 . z 7 − 1 . z4 ) = 12 .(1 + x 1/4 )7/3 − 3.(1 + x 1/4 )4 / 3 + C 7 4 7 deshacemos el cambio: 1 + x 1/4 = z3 ⇒ z = (1 + x 1/4 )1/3. z. z. 1 + 3. x 2 . dx = x −4 .(1 + 3. x 2 )1/2 . dx = x4 Primitiva del tipo x m .( a + b. x n ) p . dx ( irracional "binomia"), siendo: m = −4 ; n = 2 ; p = 1/2 Como m +1 + p = −4 + 1 + 1 = −1 ≡ entero ⇒ cambio 1. x −2 + 3 = z2 : n 2 2 − 2 1. x + 3 = z2 ⇒ x = ( z2 − 3)−1/2 ⇒ (1 + 3. x 2 )1/2 = (1 + 3.( z2 − 3)−1 )1/2 = z/(z2 − 3)1/2 ⇒ dx = − z.( z 2 − 3)−3/2 . dz. z. RS T. z. = − (( z2 − 3)−1/2 )−4 .. z. = − (( z2 − 3)2 .. z. z. ( z2 − 3)1/2 z. ( z 2 − 3)1/2. . z.( z2 − 3)−3/2 . dz =. . z.( z2 − 3)−3/2 . dz =. = − z2 . dz = − 1 . z3 = − 1 .( x −2 + 3)3/2 + C 3 3 deshacemos el cambio: 1.x −2 + 3 = z2 ⇒ z = ( x −2 + 3)1/2. ¿Queda mucho?. Tema 1: Cálculo de Primitivas. Menos que al principio, se hace camino al andar. 106.
(25) 1.12 CÁLCULO DE PRIMITIVAS POR REDUCCIÓN Este método se usa para calcular primitivas de funciones famosas que van afectadas de exponentes (normalmente enteros) grandes. Im =. z. ( Ln x ) m . dx = x .( Ln x )m − m.. z. (Ln x )m −1 . dx ⇒. ∗ u = ( Ln x ) m ⇒ du = m .( Ln x ) m −1 . dx x ∗ dv = dx ⇒ v = x ⇒ I m = x.( Ln x ) m − m. I m −1. es: Por ejemplo:. I3 =. z. es: I2 =. z. ( Ln x ) m −1 . dx = Im −1. ( Ln x )3 . dx = x.( Ln x )3 − 3. I2 =. z. ( Ln x )2 . dx = x.( Ln x )2 − 2. I1. z. ( Ln x )1 . dx = x.(Ln x )1 − 2. I0. = x.( Ln x )3 − 3.( x.( Ln x )2 − 2. I1 ) = = x.( Ln x )3 − 3. x .(Ln x )2 + 6. I1 =. es: I1 =. c. h. = x.( Ln x )3 − 3. x.( Ln x )2 + 6. x.(Ln x )1 − 2. I0 = = x.( Ln x )3 − 3. x.(Ln x )2 + 6. x . Ln x − 12. I0 = = x.( Ln x )3 − 3. x.( Ln x )2 + 6. x . Ln x − 12. x + C. es: I0 = Im =. z. z. ( Ln x )0 . dx =. sen m x. dx =. z. z. dx = x. sen m −1 x. sen x. dx ⇒. ∗ u = sen m −1 x ⇒ du = ( m − 1).cos x . sen m − 2 x . dx ∗ dv = sen x. dx ⇒ v = sen x. dx = − cos x. z. z. ⇒ I m = −sen m −1 x.cos x + ( m − 1). sen m − 2 x.cos2 x. dx ⇒ ⇒ I m = −sen m −1 x.cos x + ( m − 1).( I m − 2 − I m ) ⇒. z. z. sen m − 2 x.cos2 x. dx = sen m − 2 x.(1 − sen 2 x ). dx = = sen m − 2 x. dx − sen m x. dx = Im − 2 − I m. z. z. ⇒ m. I m = −sen m −1 x.cos x + ( m − 1). I m − 2 ⇒ ⇒ I m = − 1 . sen m −1 x.cos x + m − 1 . I m − 2 m m Tema 1: Cálculo de Primitivas. 107.
(26) Por ejemplo:. I4 =. z. sen 4 x. dx = − 1 . sen 3 x.cos x + 4 − 1 . I2 = ..... 4 4 I2 = − 1 . sen x.cos x + 2 − 1 . I0 = .... 2 2 es: I0 = sen 0 x. dx = dx = x. z. Im =. z. z. cos m x. dx =. z. cos m −1 x.cos x . dx ⇒. ∗ u = cos m −1 x ⇒ du = −( m − 1). sen x .cos m − 2 x . dx ∗ dv = cos x. dx ⇒ v = cos x . dx = sen x. z. z. ⇒ I m = sen x.cos m −1 x + ( m − 1). sen 2 x.cos m − 2 x. dx ⇒. es:. z. z. sen 2 x.cos m − 2 x. dx = (1 − cos2 x ).cos m − 2 x. dx = = cos m − 2 x. dx − cos m x. dx = I m − 2 − I m. z. z. ⇒ I m = sen x.cos m −1 x + ( m − 1).( I m − 2 − I m ) ⇒ ⇒ m. I m = sen x.cos m −1 x + ( m − 1). I m − 2 ⇒ ⇒ I m = 1 . sen x.cos m −1 x + m − 1 . I m − 2 m m Im; n =. z. sen m x.cos n x. dx =. z. sen m −1 x.cos n x. sen x. dx ⇒. ∗ u = sen m −1 x ⇒ du = ( m − 1).cos x. sen m − 2 x. dx ∗ dv = sen x.cos n x. dx ⇒ v = sen x.cos n x. dx = − 1 cos n +1 x n +1. z. z. ⇒ I m ; n = − 1 . sen m −1 x.cos n +1 x + m − 1 . sen m − 2 x.cos n + 2 x. dx ⇒ n +1 n +1. =. z z. sen m − 2 x.cos n + 2 x. dx = =. z. z. sen m − 2 x.cos n x.cos2 x. dx =. sen m − 2 x.cos n x.(1 − sen 2 x ). dx =. sen m − 2 x.cos n x. dx −. z. sen m x.cos n x. dx = I m − 2; n − I m ; n. ⇒ I m ; n = − 1 . sen m −1 x.cos n +1 x + m − 1 .( I m − 2; n − I m ; n ) ⇒ n +1 n +1 m − 1 1 ⇒ (1 + ). I m ; n = − . sen m −1 x.cos n +1 x + m − 1 . I m − 2; n ⇒ n+1 n +1 n +1 ⇒ m + n . I m ; n = − 1 . sen m −1 x.cos n +1 x + m − 1 . I m − 2; n ⇒ n +1 n +1 n +1 1 m ⇒ Im; n = − . sen m −1 x.cos n +1 x + − 1 . I m − 2; n m+n m+n Tema 1: Cálculo de Primitivas. 108.
(27) También se puede trabajar así:. Im; n =. z. z. sen m x.cos n x. dx =. sen m x.cos n −1 x.cos x. dx ⇒. ∗ u = cos n −1 x ⇒ du = −( n − 1). sen x.cos n − 2 x. dx ∗ dv = sen m x.cos x. dx ⇒ v = sen m x.cos x. dx = 1 sen m +1 x m +1. z. =. z z. z. 1 . sen m +1 x.cos n −1 x + n − 1 . sen m + 2 x.cos n − 2 x. dx ⇒ m +1 m +1. ⇒ Im; n =. sen m + 2 x.cos n − 2 x. dx = =. z. sen m x.cos n − 2 x. sen 2 x. dx =. sen m x.cos n − 2 x.(1 − cos2 x ). dx =. z. sen m x.cos n − 2 x. dx −. ⇒ Im; n =. z. sen m x.cos n x. dx = I m ; n − 2 − I m ; n. 1 . sen m +1 x.cos n −1 x + n − 1 .( I −I )⇒ m +1 m + 1 m; n − 2 m; n. ⇒ (1 + n − 1 ). I m ; n = 1 . sen m +1 x.cos n −1 x + n − 1 . I m ; n − 2 ⇒ m +1 m +1 m +1 ⇒ m + n . I m ; n = 1 . sen m +1 x.cos n −1 x + n − 1 . I m ; n − 2 ⇒ m +1 m +1 m +1 ⇒ Im; n = Por ejemplo:. I6;4 =. z. I6;2 =. 1 . sen m +1 x.cos n −1 x + n − 1 . I m+n m + n m; n − 2. sen 6 x.cos4 x. dx =. z. 1 . sen 7 x.cos3 x + 4 − 1 . I = ..... 6+4 6 + 4 6;2. sen 6 x.cos2 x. dx = I 6; 0 =. z. z. 1 . sen 7 x.cos x + 2 − 1 . I = ..... 6+2 6 + 2 6;0 sen 6 x.cos0 x. dx =. es Jk = sen k x. dx = − 1 . sen k −1 x.cos x + k − 1 . Jk − 2 k k. z z. = − 1 . sen 6 −1 x.cos x + 6 − 1 . J4 = .... 6 6. es J4 = sen 4 x. dx = − 1 . sen 4 −1 x.cos x + 4 − 1 . J2 = .... 4 4 es J2 = sen 2 x. dx = − 1 . sen 2 −1 x.cos x + 2 − 1 . J0 = .... 2 2 0 es J0 = sen x. dx = dx = x. Tema 1: Cálculo de Primitivas. z. z. 109.
(28) Im =. z. =. z. tg m x. dx =. z. sen m x.cos − m x . dx =. sen m −1 x.cos − m x. sen x. dx ⇒. ∗ u = sen m −1 x ⇒ du = ( m − 1).cos x . sen m − 2 x. dx ∗ dv = sen x.cos − m x. dx ⇒ v = sen x.cos − m x. dx = − 1 cos − m +1 x −m + 1 ⇒ I m = 1 . sen m −1 x.cos − m +1 x − sen m − 2 x.cos − m + 2 x . dx ⇒ m +1 ⇒ I m = 1 . tg m −1 x − tg m − 2 x. dx ⇒ m +1 sen m −1 x ∗ sen m −1 x.cos − m +1 x = = tg m −1 x cos m −1 x sen m − 2 x ∗ sen m − 2 x.cos − m + 2 x = = tg m − 2 x cos m − 2 x ⇒ I m = 1 . tg m −1 x − I m − 2 m +1. z. Im =. z. =. z. ctg m x. dx =. z z. z. sen − m x.cos m x. dx =. sen − m x.cos m −1 x.cos x. dx ⇒. ∗ u = cos m −1 x ⇒ du = −( m − 1). sen x.cos m − 2 x. dx ∗ dv = cos x. sen − m x. dx ⇒ v = cos x. sen − m x. dx = 1 sen − m +1 x −m + 1. z. ⇒ Im =. z z. 1 . sen − m +1 x.cos m −1 x − sen − m + 2 x.cos m − 2 x. dx ⇒ −m + 1 ⇒ I m = 1 . ctg m −1 x − ctg m − 2 x. dx ⇒ −m + 1 cos m −1 x ∗ sen − m +1 x.cos m −1 x = = ctg m −1 x m − 1 sen x m − 2 cos x ∗ sen − m + 2 x.cos m − 2 x = = ctg m − 2 x sen m − 2 x ⇒ Im =. Ik =. z. 1 . ctg m −1 x − I m−2 −m + 1. ( arc sen x ) k . dx = x.( arc sen x ) k − k.. z. x ( arc sen x ) k −1 . dx = 1 − x2. k .( arc sen x ) k −1 . dx 1 − x2 ∗ dv = dx ⇒ v = x. ∗ u = ( arc sen x ) k ⇒ du =. Tema 1: Cálculo de Primitivas. 110.
(29) e. = x.( arc sen x ) k − k. − 1 − x 2 .( arc sen x ) k −1 + ( k − 1). ∗ u = ( arc sen x ) k −1 ⇒ du = x . dx ⇒ v = 1 − x2. ∗ dv =. z. z. j. ( arc sen x )k − 2 . dx =. k − 1 .( arc sen x ) k − 2 . dx 1 − x2 x . dx = − 1 − x 2 2 1− x. = x.( arc sen x ) k + k. 1 − x 2 .( arc sen x ) k −1 − k.( k − 1). I k − 2. z. Ik =. z. ( arc sen x ) k − 2 . dx = Ik − 2. ( arc cos x ) k . dx = x .( arc cos x ) k + k.. z. x ( arc cos x ) k −1 . dx = 1 − x2. k .( arc cos x ) k −1 . dx 1 − x2 ∗ dv = dx ⇒ v = x. ∗ u = ( arc cos x ) k ⇒ du = −. e. = x.( arc cos x )k + k. − 1 − x 2 .(arc cos x )k −1 − ( k − 1).. z. j. (arc cos x )k − 2 . dx =. ∗ u = ( arc cos x ) k −1 ⇒ du = − k − 1 .( arc cos x ) k − 2 . dx 1 − x2 x x . dx ⇒ v = . dx = − 1 − x 2 ∗ dv = 2 2 1− x 1− x. z. = x.( arc cos x ) k − k. 1 − x 2 .( arc cos x ) k −1 − k.( k − 1). I k − 2. z. Ik =. z. ( arc cos x )k − 2 . dx = I k − 2. sec k x. dx = ⇒ Ik =. z. dx = cos k x. z. sen x − ( k − 2) cos k −1 x. 1. z. . dx. cos k − 2 x cos2 x sen 2 x. ⇒. . dx ⇒ cos k x sen x 1 ∗u= ⇒ du = ( k − 2 ). . dx cos k − 2 x cos k −1 x dx = tg x = sen x ∗ dv = dx ⇒ v = cos x cos2 x cos2 x. z. z. z. z. z. sen 2 x 1 − cos2 x dx − dx . dx = . dx = = k k k cos x cos x cos k − 2 x cos x = sec k x. dx − sec k − 2 x. dx = I k − I k − 2. z. z. sen x − ( k − 2 ).( I k − I k − 2 ) ⇒ cos k −1 x sen x sen x ⇒ ( k − 1). I k = + ( k − 2 ). I k − 2 ⇒ I k = 1 . + k − 2 . Ik − 2 k − 1 cos k −1 x k − 1 cos k −1 x ⇒ Ik =. Tema 1: Cálculo de Primitivas. 111.
(30) Ik =. z. cos ec k x. dx = ⇒ Ik = −. z. dx = sen k x. z. 1. z. cos x − ( k − 2) sen k −1 x. . dx. sen k − 2 x sen 2 x cos2 x. ⇒. . dx ⇒ sen k x cos x 1 ∗u= ⇒ du = −( k − 2 ). . dx sen k − 2 x sen k −1 x dx = − ctg x = − cos x ∗ dv = dx ⇒ v = sen x sen 2 x sen 2 x. z. z. z. z. z. cos2 x 1 − sen 2 x dx − dx = . dx = . dx = k k k sen x sen k − 2 x sen x sen x = cos ec k x. dx − cos ec k − 2 x. dx = I k − I k − 2 cos x ⇒ Ik = − − ( k − 2 ).( I k − I k − 2 ) ⇒ sen k −1 x cos x ⇒ Ik = − 1 . + k − 2 . Ik − 2 k − 1 sen k −1 x k − 1. z. z. NOTA. Para despedir el cálculo de primitivas, comentamos una chorradita que acaso debimos comentar al principio, pero no pasa nada por comentarla al final: la función derivada de F( x ) = 2. x 3 es f ( x ) = 6. x 2 ; así, una de las primitivas de f ( x ) = 6. x 2 es F( x ) = 2. x 3 , y la primitiva de f(x) es. z. 6. x 2 . dx = 2. x 3 + C .. Pregunta: ¿qué primitiva de f ( x ) = 6. x 2 pasa por el punto (1 ; 8 ) ? Respuesta: la que corresponde al valor de "C" tal que 2 .13 + C = 8 ⇒ ⇒ C = 6 ⇒ la primitiva de f ( x ) = 6. x 2 que pasa por (1; 8 ) es u( x ) = 2. x 3 + 6 Pregunta: ¿qué primitiva de f ( x ) = 6. x 2 pasa por el punto ( 0 ; 5) ? Respuesta: la que corresponde al valor de "C" tal que 2 . 0 3 + C = 5 ⇒ ⇒ C = 5 ⇒ la primitiva de f ( x ) = 6. x 2 que pasa por ( 0 ; 5) es v( x ) = 2. x 3 + 5 Pregunta: ¿qué primitiva de f ( x ) = 6. x 2 pasa por ( 2 ; 13) y ( 3 ; 60 ) ? Respuesta: la que verifica 2 . 2 3 + C = 13 y 2 . 33 + C = 60; de la primera ecuación se obtiene C = −3 y de la segunda se obtiene C = 6. Como "C" no puede tomar a la vez dos valores distintos, se deduce que no hay ninguna primitiva de f ( x ) = 6. x 2 que pase por los puntos ( 2 ; 13) y ( 3 ; 60 ) . Pregunta: ¿qué primitiva de f ( x ) = 6. x 2 pasa por los puntos (1 ; 9) y ( 0 ; 7) ? Respuesta: la que verifica 2 .13 + C = 9 y 2 . 0 3 + C = 7; de ambas ecuaciones se obtiene C = 7. Por tanto, la primitiva de f ( x ) = 6. x 2 que pasa por los puntos (1 ; 9) y ( 0 ; 7) es p( x ) = 2. x 3 + 7 . Tema 1: Cálculo de Primitivas. 112.
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