Superior de Ensenada, Baja California
MR
Maestr´ıa en Ciencias
en Ciencias de la Tierra con orientaci ´
on en Geociencias
Ambientales
Uso de redes de Boltzmann para la modelaci ´
on de flujo a
trav ´es de areniscas saturadas de agua
Tesis
para cubrir parcialmente los requisitos necesarios para obtener el grado de Maestro en Ciencias
Presenta:
Juvenal Alfredo Le ´on Robles
Juvenal Alfredo Le ´
on Robles
y aprobada por el siguiente Comit ´e
Dr. Juan Contreras P ´erez Codirector del Comit ´e
Dra. Graciela Herrera Zamarr ´on Codirector del Comit ´e
Dra. Raquel Negrete Aranda Dr. Horacio Jes ´us De la Cueva Salcedo
Dr. Juan Garc´ıa Abdeslem
Coordinador del Programa de Posgrado en Ciencias de la Tierra
Dra. Rufina Hern ´andez Mart´ınez Directora de Estudios de Posgrado
Juvenal Alfredo Le ´on Robles © 2017
Resumen de la tesis que presenta Juvenal Alfredo Le ´on Robles como requisito parcial para la ob-tenci ´on del grado de Maestro en Ciencias en Ciencias de la Tierra con orientaci ´on en Geociencias Ambientales.
Uso de redes de Boltzmann para la modelaci ´on de flujo a trav ´es de areniscas saturadas de agua
Resumen aprobado por:
Dr. Juan Contreras P ´erez Director de la Tesis
En este trabajo se presenta un modelo num ´erico del flujo no reactivo a trav ´es de muestras de arenisca naturalmente estratificada. El modelo est ´a basado en el trabajo desarrollado en ex-perimentos de laboratorio de flujo en este tipo de rocas. En estos exex-perimentos se observ ´o que la migraci ´on de un soluto a trav ´es de muestras de arenisca laminadas y saturadas, est ´a domina-da por la estratificaci ´on. Los resultados sugieren que el efecto de la estratificaci ´on es dominante cuando el flujo es paralelo a la laminaci ´on. Por otra parte, cuando el flujo es perpendicular, su comportamiento es el esperado para medios homog ´eneos. En esta tesis se construy ´o un medio poroso artificial simulado con los par ´ametros tomados de las muestras de arenisca reales (tama ˜no de los granos, porosidad y permeabilidad). Se utiliz ´o el m ´etodo de redes de Boltzmann (LBM) para modelar el flujo a trav ´es de dichas muestras y comparar los resultados del modelo con los experi-mentos de laboratorio. La muestra de arenisca que se model ´o, presentaba una alternancia de dos tipos de capas, unas formadas por granos gruesos y otras formadas por granos finos. Los detalles de esta estructura fueron incorporados en el medio sint ´etico. Los resultados de la simulaci ´on del flujo con el m ´etodo LBM indican que, cuando el flujo es paralelo a la laminaci ´on se presentan las condiciones para la formaci ´on de flujo preferencial. Es decir, la formaci ´on de d´ıgitos en el frente de humectaci ´on. Esta inestabilidad est ´a asociada con el arreglo de granos que forman las ca-pas. Por otro lado, el flujo uniforme, que se reporta en los experimentos de laboratorio cuando el flujo es perpendicular a la estratificaci ´on, se debe a que las capas de granos finos act ´uan como disipadoras de momento del fluido cuando este pasa repetidamente por dichas capas.
Abstract of the thesis presented by Juvenal Alfredo Le ´on Robles as a partial requirement to obtain the Master of Science degree in Master in Sciences in Earth Sciences with orientation in Environ-mental Geosciences.
Application of lattice Boltzmann method to model flow through water saturated sandstone
Abstract approved by:
Dr. Juan Contreras P ´erez Thesis Director
A numeric model of non-reactive flow through naturally stratified sandstone samples is presen-ted. This work is based on laboratory experiments in which it was established that solute migra-tion in saturated stratified porous media was dominated by stratificamigra-tion. The experiment results strongly suggest that the effect of the stratification is dominant for flow parallel to the lamination in these sandstones. For flow perpendicular to stratification, the behavior is the expected for a homo-geneous medium. In this work an artificial porous media is built based on the parameters obtained from the experiment samples (grain size, porosity and permeability). The Lattice Boltzmann met-hod is used for modeling the flow through the samples. The aim is to use this metmet-hod to compare the results from the model with the ones obtained from the laboratory experiments on real me-dia. The sandstone modeled, consisted of a repetition of layers of i) medium-grained sand and ii) fine-grained sand. The physical properties of this structure were used as parameters to build the artificial porous media. The results from the LBM flow simulation show that when flow is parallel to lamination, conditions arise for preferential flow, i.e., fingered flow. This instability is associated with the arrangement of grains of different sizes found in the layers. On the other hand, the model predicts uniform flow when flow is perpendicular to stratification. It is caused by the fine-grained layers, which diffuse the fluid momentum when it moves through these layers.
Agradecimientos
Al Centro de Investigaci ´on Cient´ıfica y de Educaci ´on Superior de Ensenada (CICESE).
Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnolog´ıa (CONACyT) por brindarme el apoyo econ ´omico para realizar los estudios de maestr´ıa (n ´umero de becario: 572201).
Al Centro Mexicano de Innovaci ´on en Energ´ıa Geot ´ermica (CeMIEGeo) por el apoyo econ ´omi-co recibido para la finalizaci ´on de la presente tesis, as´ı ´omi-como por los recursos ´omi-computacionales: el cl ´usterLamb, donde se llevaron a cabo las simulaciones requeridas por el presente trabajo. Por lo tanto, agradezco tambi ´en la valiosa ayuda del Dr. Jon ´as de Dios de Basabe Delgado, quien me permiti ´o tener acceso al cl ´uster y me orient ´o en esta tarea.
Tabla de contenido
P ´agina
Resumen en espa ˜nol . . . . ii
Resumen en ingl ´es . . . . iii
Agradecimientos. . . . iv
Lista de figuras . . . . vi
Lista de tablas . . . . ix
1. Introducci ´on 1 1.1. Flujo en medios porosos . . . 1
1.2. Objetivos . . . 3
2. Modelos de redes de Boltzmann 4 2.1. Antecedentes . . . 4
2.1.1. Ecuaciones de Navier-Stokes . . . 5
2.1.2. Aut ´omatas celulares para redes de gas . . . 6
2.2. Modelos de redes de Boltzmann . . . 8
2.2.1. Condiciones de frontera . . . 10
3. Metodolog´ıa 15 3.1. Propiedades de los fluidos . . . 15
3.2. Experimento de Bashar y Tellam . . . 17
3.3. Creaci ´on de un medio poroso artificial . . . 18
3.3.1. Elecci ´on de los par ´ametros de entrada. . . 20
3.3.2. De 3D a 2D . . . 23
3.4. De dimensiones reales a dimensiones de LBM . . . 23
3.4.1. Repara medios porosos . . . 25
3.4.2. Dimensiones LBM . . . 26
3.5. Simulaci ´on del flujo . . . 29
4. Resultados 32 4.1. Flujo paralelo a la estratificaci ´on . . . 34
4.2. Flujo perpendicular a la estratificaci ´on . . . 37
4.3. Pertinencia del modelo num ´erico . . . 39
4.4. Causas de flujo preferencial en medios estratificados . . . 40
4.5. Permeabilidad. . . 41
4.6. Conclusiones . . . 46
Lista de figuras
Figura P ´agina
1. Formaci ´on de un frente de d´ıgitos de un trazador de tinta azul. [Modificada de Sophocleouset al.(2010)]. . . 1
2. Art´ıculos publicados por a ˜no en cuyos t´ıtulos se encuentran las palabras “sandsto-ne” y “aquifers”. En los ´ultimos 10 a ˜nos se observa un promedio de 20 art´ıculos por a ˜no. Fuente:Google Scholar. . . 2
3. Los vectores de velocidad unitarios del modelo FHP (Sukop y Thorne, 2010). . . 6
4. Arreglo D2Q9. [Modificada de Sukop y Thorne (2010)]. . . 9
5. Implementaci ´on del flujo: las distribuciones llegan al nodo central de las correspon-dientes de sus nodos vecinos. Las flechas punteadas corresponden a velocidades en un tiempot−∆tmientras que las flechas s ´olidas representan a las velocidades en un tiempot. . . 10
6. Esquema de diferentes tipos de condiciones de rebote (Guo y Shu, 2013). La con-dici ´on del inciso a) fue usada en la presente simulaci ´on. . . 11
7. Condiciones de velocidad en la frontera norte. Se conocen las funciones de distri-buci ´on para las velocidades 0,1,2,3,5 y 6 porque llegaron de los nodos vecinos en el proceso de flujo, como se muestra en el nodo central. Se desconocen las funciones de distribuci ´on para las velocidades 4, 7 y 8. Las flechas punteadas corresponden a velocidades en un tiempo t−∆t mientras que las flechas s ´olidas representan a las velocidades en un tiempot. . . 12
8. Diagrama que ilustra los experimentos de Bashar y Tellam (2006). En las columnas 11-13 el flujo es perpendicular a la estratificaci ´on. En las columnas 1-3 el flujo es paralelo a la estratificaci ´on. . . 17
9. Voxeles en un arreglo matricial 3D. . . 19
10. Fotomicrograf´ıa de la secci ´on delgada de una roca. . . 19
11. Diagrama de flujo del algoritmo para crear las muestras artificiales de medios poro-sos. [Modificada de Coelho y Neumann (2016)]. . . 21
12. Comparaci ´on entre las secciones delgadas de las muestras artificiales y las seccio-nes delgadas de rocas reales. [Modificada de Coelho y Neumann (2016)].. . . 21
13. Caracter´ısticas del bloque 1. . . 22
14. Obtenci ´on de secciones transversales de las matrices 3D generadas con el algo-ritmo de Coelho y Neumann (2016). La matriz a) corresponde a la generada para granos muy finos y la matriz b) corresponde a la generada para granos medios. Los granos est ´an representados por los objetos en blanco mientras que los poros corresponden a las partes en negro de las secciones transversales. [Modificada de Zhanget al.(2005)]. . . 24
Lista de figuras (continuaci ´
on)
Figura P ´agina
16. Condiciones del experimento de Bashar y Tellam (2006). Se muestran los datos del bloque 1. [Modificada de Bashar y Tellam (2006)]. . . 27
17. Escalamiento del sistema real a LBM. El n ´umero de Reynolds asegura que el com-portamiento del flujo sea similar en ambos sistemas. . . 28
18. Algoritmo para la simulaci ´on del flujo a trav ´es del medio poroso con el modelo LBM. 29
19. Primeras l´ıneas del archivo de texto que contiene el medio poroso artificial. . . 30
20. Formaci ´on de d´ıgitos en el frente de humectaci ´on en los intervalos indicados. [Mo-dificada de Bashar y Tellam (2006)]. . . 32
21. Secci ´on del medio poroso que corresponde a la mitad del bloque 1 simulado. En el acercamiento se puede apreciar la alternancia de las capas de distintos tama ˜nos de granos.. . . 33
22. Flujo paralelo a la estratificaci ´on. a) Se muestran las magnitudes de las velocidades de una secci ´on de la parte superior izquierda del medio poroso. b) Comparaci ´on de velocidades de las columnas: la velocidad m ´axima de la columna de granos gruesos es unas 8 veces m ´as que la correspondiente de los granos finos aunque las porosidades son las mismas en ambos casos. . . 35
23. Flujo en la interfaz de las capas. La velocidad del flujo disminuye considerablemente al entrar a la columna de granos finos. . . 36
24. a) El caso de un flujo cerrado en la columna de granos gruesos. b) En el acerca-miento se muestra que el flujo que es forzado a invadir la capa de granos finos contigua. . . 36
25. Flujo perpendicular a la estratificaci ´on. a) Se muestran las magnitudes de las velo-cidades de una secci ´on de la parte superior izquierda del medio poroso. b) Com-paraci ´on de velocidades de las capas: la velocidad m ´axima de la capa de granos gruesos es 3 veces m ´as grande que la correspondiente de los granos finos. La porosidad es la misma para ambas capas.. . . 37
26. Flujo perpendicular a la estratificaci ´on. Flujo en la interfaz de las capas. La velocidad mayor proveniente de la capa de granos gruesos disminuye hasta en un orden de magnitud despu ´es de las primeras dos sub-capas de granos finos. . . 38
27. Ca´ıda de presi ´on en un ducto. La ca´ıda de presi ´on es proporcional a la viscosidad din ´amica (fuerzas de fricci ´on) y es inversamente proporcional al radio del ducto. Si este disminuye, es mayor la ca´ıda de presi ´on.. . . 38
28. Flujo de Poiseullie. Flujo laminar inducido por una diferencia de presi ´on constante. . 40
29. Proporcionalidad entre la fuerza aplicada y la velocidad promedio obtenida en una muestra determinada. La pendiente del modelo del mejor ajuste es la permeabilidad
Lista de tablas
Tabla P ´agina
1. Viscosidades de algunos fluidos . . . 15
2. Di ´ametros de las esferoides, basados en granos reales, para el algoritmo de Coelho y Neumann (2016) . . . 23
3. Matrices generadas con el algoritmo de Coelho y Neumann (2016) . . . 23
4. C ´alculo del n ´umero de Reynolds para las muestras del experimento de Bas-har y Tellam (2006) . . . 26
5. Par ´ametros para la simulaci ´on a partir del medio f´ısico . . . 28
Cap´ıtulo 1.
Introducci ´
on
1.1. Flujo en medios porosos
Contar con modelos de flujo en medios porosos es cr´ıtico para entender el balance hidrol ´ogico local, regional y global y para el transporte de nutrientes y contaminantes (Lehmannet al., 2012). El contar con predicciones precisas de la distribuci ´on del agua y flujos en este tipo de medios es importante para: i) estimar la tasas de recarga de acu´ıferos, profundidad de infiltraci ´on y la redistribuci ´on de agua despu ´es de eventos de lluvia intensa y ii) optimizar la administraci ´on del agua (Lehmannet al., 2012). Con el incremento de la contribuci ´on de la geotermia como fuente de energ´ıa, se ha vuelto esencial entender los mecanismos del flujo de vapor de agua en las rocas (Li
et al., 2015). Por otro lado, para la industria del gas y del petr ´oleo es de importancia fundamental entender la migraci ´on de estos fluidos, dado que los yacimientos se encuentran en rocas porosas (Coelho y Neumann, 2016).
A pesar de su importancia, los modelos est ´andares ofrecen poca capacidad predictiva al mo-mento de simular flujos, trayectorias y distribuci ´on de fluidos (Lehmannet al., 2012). Muchas de las limitaciones de los modelos son producto de suposiciones poco realistas. Por ejemplo, para simplificar el estudio del movimiento de un fluido en un medio poroso, se puede asumir a ´este como un medio homog ´eneo e isotr ´opico. En un primer nivel esta suposici ´on ayuda a entender el comportamiento b ´asico. Sin embargo, por su naturaleza los materiales tiene una gran variedad de constituyentes: suelos de diferentes tipos, rocas, red de fracturas, plantas, animales y microor-ganismos (Nimmo, 2009). As´ı, el flujo en medios porosos muchas veces est ´a controlado porflujo preferencial, concepto que se refiere al flujo en el cual el agua y solutos se mueven por ciertas trayectorias evadiendo una secci ´on de la matriz porosa (Hendrickx y Flury, 2001).
Figura 2: Art´ıculos publicados por a ˜no en cuyos t´ıtulos se encuentran las palabras “sandstone” y “aquifers”. En los ´ultimos 10 a ˜nos se observa un promedio de 20 art´ıculos por a ˜no. Fuente:Google Scholar.
El presente trabajo se enfocar ´a en modelar el flujo a trav ´es de rocas areniscas constituidas por diferentes tipos de estratos y porosidad. Las areniscas son de especial importancia para la indus-tria petrolera ya que la mayor´ıa de los yacimientos de gas y petr ´oleo se han descubierto en alg ´un tipo de arenisca (Willson y Coop, 2003). En cuanto a la industria geot ´ermica, hay yacimientos de este tipo que se presentan en areniscas, como en el caso del yacimiento de Cerro Prieto (Elders
et al., 1979). Finalmente, en el caso del agua subterr ´anea, los acu´ıferos que se encuentran en este tipo de roca son objeto de estudio de numerosas investigaciones cient´ıficas. A este respecto, la figura2muestra los resultados de la b ´usqueda en Google Scholar de art´ıculos publicados en cuyos t´ıtulos se encuentren las palabras “sandstone” y “aquifers”. Se observa que en los ´ultimos diez a ˜nos se ha publicado un promedio de por lo menos 20 art´ıculos por a ˜no, cuyos objetos de estudio son los acu´ıferos de arenisca.
1.2. Objetivos
El objetivo del presente trabajo es analizar las condiciones de flujo preferencial en un medio poroso con el uso del modelo de redes de Boltzmann para simular el movimiento de un frente de humedad a trav ´es de columnas de suelo sint ´eticas con estructura compleja.
Cap´ıtulo 2.
Modelos de redes de Boltzmann
2.1. Antecedentes
Existen dos formas cl ´asicas de abordar el problema de las ecuaciones de transporte: continuo y discreto. En el primero, se usan ecuaciones diferenciales parciales u ordinarias que toman en cuenta los principios de conservaci ´on de energ´ıa, masa y momento para un volumen de control. En dichas ecuaciones se utilizan una serie de par ´ametros como viscosidad, conductividad t ´ermi-ca, capacidad calor´ıfi´ermi-ca, etc., para caracterizar las propiedades en cierto volumen macrosc ´opico. En muchos casos es dif´ıcil resolver estas ecuaciones debido a la no linealidad, condiciones de frontera complejas, geometr´ıa compleja, etc. Para estos casos, se usa la segunda aproximaci ´on: se convierten las ecuaciones diferenciales con sus condiciones iniciales y de frontera en un sis-tema de ecuaciones algebraicas que pueden resolverse num ´ericamente (Mohamad, 2011). Para lograr esto, es necesario discretizar el dominio. La discretizaci ´on depende del m ´etodo de soluci ´on utilizado, por ejemplo, diferencias finitas, elemento finito, volumen finito.
En medio de estas dos escalas se encuentra el m ´etodo de redes de Boltzmann (LBM, por sus siglas en ingl ´es), el cual representa un puente entre la macro-escala y la micro-escala. Una de sus ventajas es que no considera el comportamiento de cada part´ıcula por s´ı sola, sino el com-portamiento de una colecci ´on de part´ıculas como una unidad. Este comcom-portamiento se representa mediante una funci ´on de distribuci ´on, la cual describe el estado de la colecci ´on de part´ıculas en la meso-escala (Mohamad, 2011). El m ´etodo LBM tiene ventajas tanto de la aproximaci ´on ma-crosc ´opica como de la mima-crosc ´opica, adem ´as de que requiere recursos computacionales que son manejables. Tambi ´en, es f ´acil de aplicar en dominios complejos, simula f ´acilmente flujos multifase y multicomponentes y puede adaptarse naturalmente a computaci ´on paralela (Mohamad, 2011).
2.1.1. Ecuaciones de Navier-Stokes
La ecuaciones de Navier-Stokes gobiernan el movimiento de los fluidos y pueden verse como la segunda ecuaci ´on del movimiento de Newton para los fluidos (ecuaci ´on1).
ρ
∂u
∂t +u· ∇u
| {z }
1
=−∇p
| {z }
2
+∇ ·
µ∇u+ (∇u)T−2
3µ(∇ ·u)I
| {z }
3
+ F
|{z}
4
, (1)
dondeu es la velocidad del fluido,pes la presi ´on del fluido, ρ es la densidad del fluido yµes la viscosidad din ´amica. Los diferentes t ´erminos en la ecuaci ´on (1) corresponden a (1) las fuerzas inerciales, (2) las fuerzas de presi ´on, (3) las fuerzas viscosas y (4) las fuerzas externas aplicadas al fluido.
Estas ecuaciones se resuelven siempre junto con la ecuaci ´on de continuidad o conservaci ´on de masa (ecuaci ´on2).
∂ρ
∂t +∇ ·(ρu) = 0. (2)
2.1.2. Aut ´omatas celulares para redes de gas
Un aut ´omata celular (CA, por sus siglas en ingl ´es) es un modelo computacional discreto con las siguientes caracter´ısticas: i) los objetos residen en una malla o arreglo de celdas, ii) cada celda tiene un estado (0 ´o 1) y iii) existe una regla para pasar a un estado siguiente basado en los valores de las celdas vecinas en su estado actual (Shiffman, 2012).
A pesar de su simplicidad, los aut ´omatas celulares muestran un comportamiento complejo como el observado en varios procesos f´ısicos y biol ´ogicos. Los CA Pueden usarse para simular el comportamiento de los fluidos. Sin embargo los fen ´omenos din ´amicos de movimiento de fluidos involucran el transporte de ciertas cantidades, hecho que no est ´a contemplado en las reglas de los aut ´omatas celulares (Wolf-Gladrow, 2000). Ahora se describir ´an, con cierto detalle, estas reglas.
En 1986, Frisch, Hasslacher y Pomeau presentaron en un art´ıculo de particular importancia, el primer modelo de aut ´omatas celulares para redes de gas (LGCA, por sus siglas en ingl ´es) que pod´ıa simular apropiadamente en dos dimensiones las ecuaciones de Navier-Stokes. Al modelo se le conoce como “FHP”, por los apellidos de sus autores. El modelo requiere de una red de tri ´angu-los equil ´ateros que proporciona una soluci ´on isotr ´opica (Fig.3). Los nodos de red est ´an separados por una unidad de red (lu) y todas las part´ıculas tienen una ´unica rapidez (lu/unidad de tiempo:
luts−1). En cada nodo x de la red pueden existir hasta 6 part´ıculas, una para cada una de las posibles velocidades definidas por la rapidez de la part´ıcula y una de las 6 posibles direcciones:
ea=(cosπa/3, senπa/3), dondea=1, 2, . . . , 6 yeaes el vector de velocidad (Fig.3) que apunta
des-de el origen (0,0) al punto cartesiano(cosπa/3, senπa/3). Una cadena de variables booleanasn= (n1, n2, . . . , n6) contiene los estados na=0 ´o 1, que indican la presencia o ausencia de part´ıculas
que se mueven de un lugarxde la red a un lugar vecinox+ea(Sukop y Thorne, 2010).
En un arreglo como el descrito en el p ´arrafo anterior, la funci ´onni proporciona la ocupaci ´on de
una part´ıcula en la direcci ´oni, en un tiempot:
ni(t,x) =
1, siei est ´a ocupado
0, en caso contrario
(3)
La ecuaci ´on del desarrollo del modelo LGA est ´a dada por:
ni(x+eiδt) =ni(x, t) +Ci(n(x, t) (4)
dondei= 1,2...6es una de las seis posibles direcciones,ni(x, t)=0 ´o 1, representa el n ´umero de
part´ıculas movi ´endose con la velocidadeien el nodoxen el tiempot.δtes el intervalo de tiempo
yCi es el operador de colisiones. La configuraci ´on de las part´ıculas en cada paso est ´a dada por
dos pasos secuenciales:flujoycolisi ´on.
Las cantidades macrosc ´opicas, densidad (ρ) y momento (p = uρ), se obtienen mediante la siguientes ecuaciones:
ρ= 6
X
i=1
ni (5)
ρu= 6
X
i=1
niei (6)
Los LGCA permiten a las part´ıculas moverse en una red discreta. Las colisiones locales entre part´ıculas conservan masa y momento. Estas colisiones est ´an calculadas en una tabla de acceso r ´apido. Estos m ´etodos pueden simular tambi ´en (aunque con algo de ruido estad´ıstico) procesos hidrodin ´amicos (Wolf-Gladrow, 2000).
de colisiones m ´as generalizado. Esta es la base del modelo de redes de Boltzmann que ha sido muy exitoso en muchas aplicaciones, incluyendo las simulaciones de la ecuaci ´on de Schr ¨odinger (Sukop 2007).
2.2. Modelos de redes de Boltzmann
Los modelos de redes de Boltzmann son una alternativa para simular la din ´amica de fluidos por computadora. Hist ´oricamente, sucedieron a los m ´etodos de redes de gas, descritos anterior-mente. La idea subyacente es que para describir apropiadamente el movimiento de un fluido no es tan importante saber la posici ´on y velocidad de cada part´ıcula que lo conforma. El fen ´omeno se puede describir bien si se conoce qu ´e porcentaje de las part´ıculas del fluido, en una localidad de-terminada, tienen velocidades dentro de un cierto rango en un instante determinado. Esto puede ser estimado mediante el uso de la funci ´on de distribuci ´onf(x,p, t).
La funci ´onf(1)(x,p, t) proporciona la probabilidad de encontrar una part´ıcula en una posici ´on y momento dados y el probable n ´umero de part´ıculas en la posici ´onx±dxcon un momentop±dp
est ´a dada porf(1)(x,p, t)dxdp(Sukop y Thorne, 2010).
Si se aplica una fuerza externaFy no existieran colisiones entonces en un tiempot+dt, las nuevas posiciones de las part´ıculas que estaban enx, est ´an dadas porx+ (p/m)dt=x+ (dx/dt)
=x+dxy los nuevos momentos porp=p+Fdt =p+ (dp/dt)dt =p+dp. Por lo tanto, cuando las posiciones y momentos son conocidos en un tiempo particulart, despu ´es de incrementarlos, en un tiempot+dt, la funci ´on de distribuci ´on se puede determinar como:
f(1)(x+dx,p+dp, t+dt)dxdp=f(1)(x,p, t)dxdp (7)
Ahora bien, si se considera que existen colisiones, entonces tenemos la ecuaci ´on de Boltz-mann que describe el proceso:
v· ∇xf(1)+F∇pf(1)+
∂f(1) ∂t = Γ
(−)−Γ(+) (8)
entre part´ıculas. Con el factor de colisi ´on expl´ıcitamente escrito, la ecuaci ´on de Boltzmann es una ecuaci ´on diferencial integral no lineal, dif´ıcil de resolver. Anal´ıticamente, sin embargo, con los m ´etodos de Boltzmann, se puede aproximar a la soluci ´on desde la perspectiva de la part´ıcula (Sukop y Thorne, 2010).
Arreglos de las redes de Boltzmann. La terminolog´ıa com ´un usada en los modelos de redes de Boltzmann hace referencia a las dimensiones del problema y al n ´umero de velocidades implicadas:DnQm. As´ı, nrepresenta la dimensi ´on del problema (1 para 1-D, 2 para 2-D y 3 para 3-D) ymrepresenta las velocidades del modelo (Sukop y Thorne, 2010). De particular importancia es el arreglo D2Q9. Este modelo es muy com ´un, especialmente para resolver problemas de flujo de l´ıquidos. La magnitud de velocidad dee1 ae4es1luts−1y de
√ 2 para
e5 ae8 (Fig.4).
Figura 4: Arreglo D2Q9. [Modificada de Sukop y Thorne (2010)].
Implementaci ´on computacional. Computacionalmente la implementaci ´on num ´erica del mode-lo LBM es directa. Se comienza por discretizar la funci ´on de distribuci ´on de una part´ıcula individual (ecuaci ´on9).
ρ= 8
X
a=0
fa (9)
U= 1
ρ
8
X
a=0
faea (10)
Los siguientes pasos son el flujo y la colisi ´on de las part´ıculas v´ıa la funci ´on de distribuci ´on. La forma m ´as simple es usar la aproximaci ´on de Bhatnagar-Gross-Krook para la colisi ´on (Sukop y Thorne, 2010).
fa(x+ea∆t, t+ ∆t) =fa(x, t)
| {z }
Flujo
−fa(x, t)−f
eq a (x, t)
τ
| {z }
Colisi ´on
(11)
La colisi ´on de las part´ıculas se considera como un relajamiento hacia el equilibrio local y la funci ´on de distribuci ´on de equilibrio D2Q9 se define como:
faeq(x) =waρ(x)
"
1 + 3ea·u
c2 + 9 2
(ea·u)2
c4 − 3 2 u2 c4 # (12)
La parte que corresponde al flujo, en la ecuaci ´on (11) se implementa moviendo las distribu-ciones de los nodos vecinos como se muestra en la figura5.
Figura 5: Implementaci ´on del flujo: las distribuciones llegan al nodo central de las correspondientes de sus no-dos vecinos. Las flechas punteadas corresponden a velocidades en un tiempot−∆tmientras que las flechas s ´olidas representan a las velocidades en un tiempot.
2.2.1. Condiciones de frontera
condiciones peri ´odicas, de rebote y de aplicaci ´on de velocidad en un lado de la frontera. Esta ´ultima para simular un flujo de entrada.
Condiciones peri ´odicas. Se considera que el flujo que sale de un lado reingresa por el lado opuesto, como si fuera un continuo.
Condiciones de rebote. Estas condiciones se aplican para simular las fronteras cerradas del sistema (paredes). Tambi ´en se aplican para simular el rebote de las part´ıculas cuando se encuentran con la parte s ´olida de un medio poroso (Fig.6).
Figura 6: Esquema de diferentes tipos de condiciones de rebote (Guo y Shu, 2013). La condici ´on del inciso a) fue usada en la presente simulaci ´on.
Condiciones de velocidad. Se emplean condiciones de velocidad para simular la entrada del flujo por una parte del sistema. En estos casos se sabe que la velocidad aplicada est ´a dada por la ecuaci ´on: (13):
U0 =
0
U0
(13)
Como se muestra en la figura (7), se conocen las contribuciones de las funciones de distri-buci ´on fapara las velocidades en 0, 1 , 3, 5, 6 porque llegaron de los nodos vecinos de la
tanto se necesita encontrar f4,f7,f8 y la densidad localρ. Se necesitan 4 ecuaciones para
encontrar estas cuatro inc ´ognitas.
Figura 7: Condiciones de velocidad en la frontera norte. Se conocen las funciones de distribuci ´on para las velocidades 0,1,2,3,5 y 6 porque llegaron de los nodos vecinos en el proceso de flujo, como se muestra en el nodo central. Se desconocen las funciones de distribuci ´on para las velocidades 4, 7 y 8. Las flechas punteadas corresponden a velocidades en un tiempot−∆tmientras que las flechas s ´olidas representan a las velocidades en un tiempot.
La ecuaci ´on que indica la velocidad microsc ´opica (10) puede reescribirse como indica la ecuaci ´on (14).
U= 1
ρ
8
X
a=0
faea (10)
U0ρ=f0e0+f1e1+f2e2+f3e3+f4e4+f5e5+f6e6+f7e7+f8e8 (14)
A su vez la ecuaci ´on (14) puede reescribirse especificando los componentes de los vectores
ea:
f0 0 0
+f1
1
0
+f2
0
1
+f3
−1
0
+f4
0
−1
+f5
1
1
+f6
−1
1
+f7
−1
−1
+f8
1
−1
=U0ρ
Si realizamos las multiplicaciones: f1 0 + 0 f2 + −f3
0 + 0
−f4
+ f5 f5 + −f6
f6
+
−f7
−f7
+
f8
−f8
= 0 U0
ρ (16)
se obtienen las ecuaciones de las magnitudes de los vectores en la direcci ´on horizontal (17) y vertical (18). Sabemos por la ecuaci ´on (9) que la densidad de cada celda es la suma de las funciones de distribuci ´on (19). Zou y He (1997) propusieron la ecuaci ´on (20) en la direcci ´on vertical de la frontera (20). De esta forma, se obtienen las ecuaciones (17), (18), (19) y (20) necesarias para encontrarf4,f7,f8 yρ.
f1−f3+f5−f6−f7+f8 = 0 (17)
f2−f4+f5+f6−f7−f8=U0ρ (18)
ρ=f0+f1+f2+f3+f4+f5+f6+f7+f8 (19)
f2−f2eq=f4−f4eq (20)
Se pueden reescribir (18) y (19) que contienen lo t ´erminos desconocidosf4,f7,f8:
f4+f7+f8 =f2+f5+f6−U0ρ (21)
f4+f7+f8 =ρ−(f0+f1+f2+f3+f5+f6) (22)
Ahora, se igualan los lados derechos de cada ecuaci ´on:
ρ−(f0+f1+f2+f3+f5+f6) =f2+f5+f6−U0ρ (23)
y se resuelve paraρ:
ρ= f0+f1+f3+ 2(f2+f5+f6)
Si se calculanf2eqyf4eqde acuerdo con la ecuaci ´on (12) y se despejaf4de (20), tenemos:
f4 =f2−f2eq+f4eq=f2− 2
3ρU0 (25)
Si se despeja f8 de (17) y de (18) y se igualan los resultados de esos despejes, se puede
resolver paraf7:
f7=f5+
f1−f3
2 −
1
6U0ρ (26)
Finalmente, para encontrar la inc ´ognita restante, se puede despejarf8 de (17) y sustituirse
el valor def7 reci ´en encontrado:
f8=f6+
f3−f1
2 −
1
Cap´ıtulo 3.
Metodolog´ıa
3.1. Propiedades de los fluidos
Una de las propiedades que caracterizan a los fluidos y que es de especial importancia para el presente trabajo es la viscosidad. La viscosidad puede verse como una medida de la resistencia al flujo. As´ı, el aire tiene baja viscosidad comparada con la del agua, y ´esta a su vez es menos viscosa que el aceite. Existen dos tipos de viscosidad. Laviscosidad absolutao din ´amica (µ) es la representaci ´on cuantitativa de la resistencia al flujo. Laviscosidad cinem ´atica(ν), por otro lado establece la manera en que el momento se difunde en un fluido. Se relaciona conµmediante la ecuaci ´on (28):
ν = µ
ρ (28)
en donde ρ es la densidad del fluido. La tabla1muestra las viscosidades de algunos fluidos caracter´ısticos.
Tabla 1: Viscosidades de algunos fluidos
Fluido µ(P a·s=kg/m·s) µ(g/cm·s) ρ(g/cm3) ν (cm2/s)
Acetona 3.06E-04 3.06E-03 0.79 3.87E-03
Agua 8.90E-04 8.90E-03 1 8.90E-03
Aceite de motor (SAE 40) 20° 3.19E-01 3.19E+00 0.89 3.58E+00
Miel 2.00E+00 2.00E+01 1.42 1.41E+01
El n ´umero de Reynolds (Re) es un n ´umero adimensional que representa la proporci ´on entre las fuerzas inerciales y las fuerzas viscosas (ecuaci ´on29).
Re= uL
ν (29)
dondeu=velocidad del fluido,L=longitud caracter´ıstica yν=velocidad cinem ´atica.
sobre las fuerzas inercialesuyL ) entonces el resultado es un n ´umero de Reynolds peque ˜no lo que da lugar a un flujo laminar.Re1es caracter´ıstico de los flujos en medios porosos (Sukop y Thorne, 2010). Si, por el contrario, la velocidad del flujo es alta y la viscosidad es baja (predomi-nancia de las fuerzas inerciales sobre las fuerzas viscosas) entonces el flujo es turbulento.
Una de las aplicaciones del n ´umero de Reynolds es en el an ´alisis de similitud. Seg ´un este principio, los fluidos que tienen el mismo n ´umero de Reynolds comparten la misma din ´amica. Como ejemplo, calculemosRepara el caso del agua que fluye en una manguera de jard´ın de 2.5 cm de di ´ametro a una velocidad de 2m/s. Tenemos:u= 2m/s= 200cm/s,ν= 8.94X10−3cm2/sy
L= 2.5cm. Si aplicamos la ecuaci ´on (29) tenemos queRe= 55,928. Esto nos indica que el flujo es fuertemente turbulento. Ahora, nos interesa saber: ¿a qu ´e velocidad deber´ıa fluir, por el mismo conducto, el aceite de motor indicado en la tabla1para comportarse como el agua en las mismas condiciones?
Para responder la pregunta, primero igualamosRepara ambos casos:
uaLa
νa
= uoLo
νo
(30)
Donde los sub´ındicesarepresentan los t ´erminos para el agua y los sub´ındices o los corres-pondientes al aceite. Si despejamosuoy tomamosνo = 3.58cm2/sde la tabla1, y dado queLa=
Lotenemos:
uo=
uaLaνo
Loνa
= uaνo
νa
= (200cm/s)(3.58cm 2/s)
0.0089cm2/s ≈80,000cm/s= 800m/s (31)
Es decir, el aceite tendr´ıa que fluir aproximadamente 400 veces m ´as r ´apido que el agua, por el mismo ducto, para comportarse de manera similar. Esta proporci ´on es la misma que existe entre las viscosidadesνo (aceite) yνa(agua). Si el aceite no circulara a esta velocidad y lo hiciera a 2
m/s, fluir´ıa de manera laminar (Re≈125).
Figura 8: Diagrama que ilustra los experimentos de Bashar y Tellam (2006). En las columnas 11-13 el flujo es perpendicular a la estratificaci ´on. En las columnas 1-3 el flujo es paralelo a la estratificaci ´on.
urealLreal
νreal
= umodeloLmodelo
νmodelo
(32)
3.2. Experimento de Bashar y Tellam
Bashar y Tellam (2006) estudiaron el flujo de un soluto a trav ´es de muestras laminadas de are-niscas del per´ıodo Tri ´asico. El prop ´osito fue comparar la migraci ´on del fluido que ocurre en forma paralela a la estratificaci ´on con aqu ´ella que ocurre en forma perpendicular, como se muestra en la figura8. Para estudiar el comportamiento del flujo a trav ´es de las muestras, los autores realizaron pruebas de penetraci ´on de trazadores (amino-G- ´acidos, bromuro, Cu-EDTA) y pruebas de traza-dores usando colorantes, seguidas por tomas de muestras de secciones delgadas y tomograf´ıa computarizada.
los bordes laterales para tener un solo lado de entrada y un solo lado de salida.
En el caso del paralelep´ıpedo (llamadobloque 1), el eje longitudinal estaba alineado en forma paralela a la laminaci ´on y todos sus lados eran rectangulares.
El objetivo del trabajo de Bashar y Tellam (2006) fue demostrar que la migraci ´on de un soluto a trav ´es de muestras de arenisca est ´a dominada por la estratificaci ´on. Los experimentos con trazadores de tinta y tomograf´ıa computarizada muestran que el trazador se mueve mucho m ´as r ´apido en ciertas l ´aminas que en otras. Todo sugiere fuertemente que el efecto de la estratificaci ´on es dominante para el flujo paralelo a la laminaci ´on en estas areniscas. Para el flujo a 90o a la
estratificaci ´on, la migraci ´on es la esperada para medios homog ´eneos.
3.3. Creaci ´on de un medio poroso artificial
De los experimentos de Bashar y Tellam (2006), se seleccion ´o la muestra identificada co-mobloque 1 (Fig. 13) para simular el flujo mediante modelos computacionales LBM en 2D. Se eligi ´o esta muestra debido a que los autores mencionados aportan informaci ´on detallada de la estructura interna del medio poroso. Para llevar a cabo la simulaci ´on es necesario construir una roca sint ´etica con propiedades y flujos comparables a aquellos utilizados en el laboratorio.
En t ´erminos computacionales un medio poroso se representa mediante un arreglo matricial de voxeles igualmente espaciados de ceros y unos (Fig.9). Los voxeles con valor cero pueden corresponder a los espacios vac´ıos y los voxeles con valor uno a la parte s ´olida de la matriz. Ahora bien, existen en la literatura varios m ´etodos para caracterizar un medio poroso real. Unos m ´etodos miden algunas propiedades estad´ısticas de secciones delgadas de medios reales y posteriormen-te utilizan estas propiedades como entradas para un algoritmo que construye el modelo poroso (Adleret al., 1990). Otros m ´etodos utilizan, adem ´as, im ´agenes de secciones delgadas como en-tradas principales del algoritmo que construye num ´ericamente el medio poroso (Wuet al., 2006) (Fig.10).
po-Figura 9: Voxeles en un arreglo matricial 3D. Fuente: https://commons.wikimedia.org/wiki/File %3AVoxelgitter.png
rosidad determinada (Fig.11). El uso de elipsoides es ideal en este trabajo, ya que las areniscas presentan propiedades de textura similares a las de un arreglo de elipsoides (si los granos est ´an bien redondeados).
Los par ´ametros de entrada del algoritmo son los di ´ametros de los elipsoides dx, dy, dz (en
pixeles), la porosidad deseada (φt) y las dimensiones (en pixeles) de la muestraLx,Ly,Lz. Dado
que el algoritmo permite la superposici ´on de elipsoides y diferentes tama ˜nos de semiejes en las tres dimensiones de los mismos, es posible simular texturas irregulares complejas, similares a los observadas en los medios reales como puede notarse en la figura12. Para validar sus resultados los autores aplicaron la ecuaci ´on Kozeny-Carman (ecuaci ´on33), la cual relaciona permeabilidad, porosidad y superficie espec´ıfica, a las muestras generadas. Ellos demostraron que las muestras artificiales tienen propiedades similares las rocas naturales.
k= 1
CSv2
φ3
(1−φ2) (33)
dondekes la permeabilidad,Ces una constante emp´ırica adimensional, conocida como la “cons-tante de Kozeny”, Sv es la superficie espec´ıfica (Sv = Aobs/Vobs, donde Aobs es el ´area de los
obst ´aculos yVobses el volumen de los mismos) yφes la porosidad.
En el presente trabajo nos basamos en el procedimiento de Coelho y Neumann (2016) para construir el medio poroso, para posteriormente modelar el flujo a trav ´es de ´el. Se discuten a continuaci ´on los par ´ametros necesarios para ejecutar el algoritmo: los di ´ametros de los elipsoides, la porosidad deseada y las dimensiones de la muestra.
3.3.1. Elecci ´on de los par ´ametros de entrada
Figura 11: Diagrama de flujo del algoritmo para crear las muestras artificiales de medios porosos. [Modificada de Coelho y Neumann (2016)].
a menos de 1 mm, mientras que el grosor de las capas de grano m ´as fino med´ıa entre 2 a menos de 1 mm (Fig.13).
Figura 13: Caracter´ısticas del bloque 1.
En el algoritmo de Coelho y Neumann (2016) la unidad de medida de las muestras sint ´eticas es el pixel. Los tama ˜nos de los elipsoides est ´an entre 12 y 30 pixeles. Dichos tama ˜nos nos permiten aproximar adecuadamente bien la forma el´ıptica de los granos. Si tomamos como referencia el tama ˜no m ´aximo empleado, podemos establecer los di ´ametros de los elipsoides como 30, 25 y 20 pixeles (no totalmente esf ´ericos) para los granos medios. Ahora bien, la proporci ´on es de 1 a 4 para el tama ˜no de granos muy finos a granos medios. Por lo tanto, se pueden establecer los di ´ametros de los granos finos como 7, 6 y 5 pixeles (tabla2).
Tabla 2: Di ´ametros de las esferoides, basados en granos reales, para el algoritmo de Coelho y Neumann (2016)
Medio real Muestra simulada Granos medios 0.50 a 0.25 mm. dx = 30, dy = 25, dz= 20
Granos muy finos 0.125 a 0.0625 mm. dx = 7, dy = 6, dz = 5
tipos de roca son las dimensiones de la muestra y la porosidad.
Tabla 3: Matrices generadas con el algoritmo de Coelho y Neumann (2016)
Matriz 1 Matriz 2
dx= 30 dx= 7
dy = 25 dy = 6
dz = 20 dz= 5
L=208 L=208
φ= 0.50 φ= 0.50
3.3.2. De 3D a 2D
Una vez que se crearon los dos medios porosos, cada uno con un tama ˜no de grano diferente, el paso siguiente es extraer secciones delgadas de esos medios simulados y construir un medio poroso en 2 dimensiones (Fig.14). Para conformar el medio poroso de acuerdo a las especifica-ciones del bloque 1 del experimento de Bashar y Tellam (2006), creamos un algoritmo en Matlab. Este algoritmo extrae de forma aleatoria una secci ´on delgada de la matriz (en el sentido compu-tacional) de granos gruesos y toma de ah´ı una banda de acuerdo a las dimensiones requeridas y la coloca en el matriz en 2D. De igual forma se extrae una banda de la matriz de granos finos para agregarla a la matriz 2D. Estos dos pasos se repiten hasta que el medio queda conformado por bandas de granos medios que se intercalan con bandas de granos finos en las dimensiones de ancho y largo determinadas por el bloque 1 (Fig.15).
3.4. De dimensiones reales a dimensiones de LBM
Figura 14: Obtenci ´on de secciones transversales de las matrices 3D generadas con el algoritmo de Coelho y Neumann (2016). La matriz a) corresponde a la generada para granos muy finos y la matriz b) corresponde a la generada para granos medios. Los granos est ´an representados por los objetos en blanco mientras que los poros corresponden a las partes en negro de las secciones transversales. [Modificada de Zhanget al.(2005)].
para llevar a cabo dicha simulaci ´on con el modelo LBM.
3.4.1. Repara medios porosos
El n ´umero de Reynolds (ecuaci ´on29) provee la liga entre el flujo en el mundo real y la simula-ci ´on de este flujo tanto en aut ´omatas celulares como en los modelos de redes de Boltzmann.
El objetivo es realizar simulaciones tales que Remodelo = Rerealidad. En medios porosos, sin
embargo, la ecuaci ´on (29) no es aplicable. En este tipo de medios se utiliza el n ´umero modificado de Reynolds para determinar el r ´egimen de flujo.
La raz ´on de flujo a trav ´es de un medio es Q (m3/s). La velocidad superficial o velocidad de Darcy es la cantidad de flujo dividida por la secci ´on transversal que atraviesa (m2): U0 =
Q A.
Cuando se considera el flujo en un medio poroso la velocidad apropiada es lavelocidad intersticial,
u=U, que se relaciona con la velocidad superficial mediante la siguiente ecuaci ´on:
U = U0
φ (34)
dondeU=velocidad intersticial,U0=velocidad superficial yφ=porosidad
Otra modificaci ´on que hay que considerar es la dimensi ´on lineal caracter´ıstica, que es el vo-lumen abierto al flujo dividido por la superficie sobre la cual corre el flujo (Holdich, 2002), la cual est ´a dada por:
d= V φ
V(1−φ)Sv
= φ
(1−φ)Sv
(35)
dondeV=Volumen,d=dimensi ´on lineal caracter´ıstica,Sv=Superficie espec´ıfica yφ=porosidad
Si se usa d(d = L) de la ecuaci ´on ((35) y la ecuaci ´on (34) en la ecuaci ´on (29), tenemos el n ´umero de Reynolds modificado (Rem):
Rem =
U0 (1−φ)Svν
En la ecuaci ´on (36) solo nos falta conocer la superficie espec´ıficaSv la cual se puede estimar
con la expresi ´on de Rabbani y Jamshidi (2014):
Sv =
b(1−φ)
d (37)
Donde d es el promedio del tama ˜no de los granos (en mm) y b = 4.23 es una constante calculada experimentalmente para areniscas.
Para el caso del bloque 1, se tiene queφ=0.22 yd=0.350 mm, si se toma el valor medio entre los l´ımites para el grano medio (0.5mm a 0.250mm), od=0.088 para los granos muy finos (0.125 a 0.0625). El valor deU0=0.005 cm/s se toma de los datos reportados por Bashar y Tellam (2006)
(Fig.16). La velocidad cinem ´atica del agua esν = 8.93X10−3cm2/s, (tabla1).
En la tabla4 se resume la obtenci ´on delRe para cada una de las capas de las muestras de areniscas.
Tabla 4: C ´alculo del n ´umero de Reynolds para las muestras del experimento de Bashar y Tellam (2006)
Granos medios Granos finos
De 0.5 mm a 0.250 mm De 0.125 a 0.0625 mm
d=0.350 mm d=0.088
φ=0.22 φ=0.22
Sv= 4.23(1
−0.22) 0.350mm = 9.4
1
mm(
10mm
1cm ) = 94
1
cm Sv =
4.23(1−0.22)
0.088mm = 37.4
1
mm(
10mm
1cm ) = 374
1
cm
Rem=
0.005cm/min(1min
60s )
(1−0.22)(94cm−1)(8.93X10−3cm2/s) = 1.27X10
−4 Re
m=
0.005cm/min(1min
60s )
(1−0.22)(374cm−1)(8.93X10−3cm2/s) = 3.20X10
−5
3.4.2. Dimensiones LBM
Ahora que obtuvimos elRepara el medio f´ısico, calculemos los t ´erminos desconocidos de la ecuaci ´on (36) pero ahora para el modelo LBM.
Se requiere el t ´erminoU0 para la simulaci ´on. Se puede obtener de la ecuaci ´on (36):
Se obtieneSv del algoritmo de Coelho y Neumann (2016) para las dos muestras creadas: Sv
= 0.4930 (grano fino) ySv = 0.15 (grano medio)
Se obtieneνde la expresi ´on:
ν = 1 3(τ −
1
2) (39)
Dondeτ = 1para el modelo de redes de Boltzmann sugerido por Sukop y Thorne (2010).
En la tabla 5 se resume la obtenci ´on de los par ´ametros para la simulaci ´on. Es importante destacar que la porosidad elegida para el medio poroso artificial es de 0.5, cuando en el medio natural es de 0.22. Esto es por la raz ´on de que al pasar de 3D a 2D los espacios abiertos al flujo disminuyen considerablemente, lo que dificulta la simulaci ´on. No obstante, como se explic ´o en la secci ´on3.4.1, el hecho de mantener el mismoRetanto para el flujo en el sistema f´ısico como el correspondiente en el simulado, asegura el mismo comportamiento din ´amico.
La figura17muestra el escalamiento.
Tabla 5: Par ´ametros para la simulaci ´on a partir del medio f´ısico
Sistema f´ısico Modelo LBM
Grano medio Grano fino
U0=0.005 cm/s U0=1.60X10−6lu/ts U0=1.31X10−6lu/ts
ν = 8.93X10−3cm2/s ν = 16
φ=0.22 φ=0.5
Grano medio Grano fino
Sv=94 1/cm Sv=374 1/cm Sv=0.15 Sv=0.4930
Re=1.27X10−4 Re=3.20X10−5 Re=1.27X10−4 Re=3.20X10−5
3.5. Simulaci ´on del flujo
La figura18 muestra los pasos seguidos en la simulaci ´on del flujo a trav ´es del medio poroso creado de forma artificial como se vio en la secci ´on3.3.
Figura 18: Algoritmo para la simulaci ´on del flujo a trav ´es del medio poroso con el modelo LBM.
Leer el medio poroso. Aqu´ı se lee un archivo de texto donde convencionalmente los 0´s repre-sentan los espacios vac´ıos y los 1´s reprerepre-sentan la parte s ´olida del medio, como se aprecia en la figura19. Nx1 y Ny1 representan las dimensiones de esta matriz.
C ´alculo de los par ´ametros de inicio:τ , φ, ν, Sv, Re, U0. Se calculan los par ´ametros necesarios
para iniciar el proceso, como se indican en la tabla5.
rho: para almacenar la densidad en cada nodo (Nx1 x Ny1); se inicaliza con rho0=1.
ux (2D): para almacenar las velocidades de los nodos en la direcci ´on horizontal; se incializa con 0’s (Nx1 x Ny1).
uy(2D): para almacenar las velocidades de los nodos en la direcci ´on vertical; se incia-liza con 0’s (Nx1 x Ny1).
f (3D): para almacenar las 9 funciones de distribuci ´on en cada nodo (Nx1 x Ny1 x 9); se inicaliza con el c ´alculo de la funci ´on de equilibro para cada nodo.
f post(3D): para almacenar los valores de las funciones de distribuci ´on despu ´es de la colisi ´on (Nx1 x Ny1 x 9).
Colisi ´on. Se utiliza la parte de la colisi ´on de la ecuaci ´on (11): fa(x,t)−faeq(x,t)
τ , para las nueve
distribuciones de cada nodo de la malla y se almacenan en la matriz f post[][][].
Flujo. Para cada nodo se actualizan los valores de las funciones de distribuci ´on con lo valores que tienen las correspondientes velocidades de los nodos vecinos (Fig. 5). Se aplican las condiciones de frontera de rebote para los nodos pr ´oximos a las paredes y para la parte s ´olida de la matriz (los granos).
Aplicar condiciones de velocidad en la frontera. Se aplican las condiciones de un flujo con la
velocidad vertical determinada, es decir los valoresf4,f7yf8 (Fig.7).
C ´alculo de la velocidad en cada nodo. Se aplica la ecuaci ´on (10) para calcular las componen-tes horizontales y verticales de las velocidades en cada nodo de la malla y se almacenan en las matrices ux[][] y uy[][] respectivamente.
Comprobar si la diferencia de velocidades en el paso anterior es menor a.
Cap´ıtulo 4.
Resultados
En este cap´ıtulo se presentan los resultados de la simulaci ´on del flujo a trav ´es de una muestra de arenisca estratificada inspirada en los resultados experimentales de Bashar y Tellam (2006, Fig.
20). Como se discuti ´o en el Cap´ıtulo 3, la estratificaci ´on consiste en la alternancia de capas de granos de diferentes tama ˜nos. El prop ´osito de la simulaci ´on es analizar y entender las condiciones que dan lugar al flujo preferencial en esta clase de medios porosos con una estructura compleja, utilizando modelos de redes de Boltzmann. Este tipo de modelos permite incorporar naturalmente todas las complejidades del medio. Adicionalmente, a diferencia de modelos definidos en la escala continua macrosc ´opica, los modelos de Boltzmann permiten modelar el flujo en la escala inter-poros.
El experimento num ´erico consisti ´o en simular el paso de un fluido a trav ´es de una muestra de arenisca en forma de paralelep´ıpedo (Figs.13y21). En especifico se busca simular el flujo en un medio de propiedades y dimensiones similares a las de la muestrabloque 1 de Bashar y Tellam (2006). Esta muestra, de dimensiones 15cm. x 30cm. x 2.1cm., presenta 66 capas constituidas por granos gruesos y granos finos y tiene una porosidad de 22 %.
Figura 21: Secci ´on del medio poroso que corresponde a la mitad del bloque 1 simulado. En el acercamiento se puede apreciar la alternancia de las capas de distintos tama ˜nos de granos.
porqu ´e se desarrollan este tipo de patrones de flujo.
Para realizar la simulaci ´on fue necesario, primero, crear un medio artificial bidimensional por el cual se desplaza un fluido. El medio se construy ´o mediante el uso del algoritmo de Coelho y Neumann (2016) para crear medios porosos en 3D. Se crearon dos medios, uno conformado por granos gruesos (muestra 1) y otro compuesto por granos finos (muestra 2). Para crear dichos me-dios con el algoritmo de Coelho y Neumann (2016) se usaron los par ´ametros pertinentes tomados de la muestra real (bloque 1) de Bashar y Tellam (2006) (ver tabla2). Una vez creados los medios, se utiliz ´o un algoritmo que toma secciones delgadas de estos y las coloca de forma alternada en un medio poroso artificial bidimensional. Los detalles de c ´omo se gener ´o el medio poroso en 2D se presentan en la secci ´on3.3 del cap´ıtulo3. En la figura 21se muestra el medio resultante en donde se aprecia la alternancia de capas constituidas por dos diferentes tama ˜nos de granos.
Despu ´es de que se gener ´o un medio con propiedades similares a las de la muestrabloque 1, se procedi ´o a calcular los par ´ametros apropiados para ejecutar el modelo. Se tienen los datos de la porosidad y la superficie espec´ıfica del medio poroso real, as´ı como la viscosidad del fluido y la ve-locidad real del flujo. Con estos datos se aplic ´o la ecuaci ´on (36). Como se recordar ´a el n ´umero de Reynolds para medios porosos establece la liga entre el flujo real y el modelado. Si tanto el modelo como el flujo real comparten el mismo n ´umero de Raynolds, entonces ambos flujos se compor-tar ´an de manera similar. De esta forma, se encontr ´o queRe para los experimentos de Bashar y Tellam (2006) es deRe = 1.27x10−4 . Para que el modelo tenga el mismo Numero de Reynolds se requiere que la velocidad a aplicar al modelo en sus fronteras seaU0 = 1.6X10−6lu/ts.
Por ´ultimo, se definieron las condiciones de frontera para el modelo. Se emplearon condiciones de rebote para las paredes laterales. Recu ´erdese que en el experimento las paredes del bloque 1 fueron selladas para evitar fugas hacia los lados. Para los obst ´aculos s ´olidos del medio poroso una condici ´on similar tambi ´en fue utilizada. Para simular el flujo de entrada se usaron condiciones de velocidad en la parte superior del bloque 1.
4.1. Flujo paralelo a la estratificaci ´on
velocidades del flujo, mientras que los colores c ´alidos indican zonas de alto flujo. N ´otese c ´omo el flujo simulado aprovecha variaciones en la estructura porosa que da lugar a regiones locales de alto flujo. Estas corresponden a gargantas que conectan a los macroporos.
La velocidad m ´axima en las capas de granos gruesos es unas ocho veces m ´as que la velo-cidad m ´axima registrada en las capas de granos finos. Esto demuestra el efecto en el modelo a cambios de tama ˜no de grano, a pesar de que la porosidad es constante en todo el medio poroso simulado. Una reducci ´on en el tama ˜no de los granos en un factor de 4 genera una disminuci ´on en un factor de 8 en las velocidades m ´aximas observadas entre la fracci ´on gruesa y fina. Esto indica claramente que las capas de grano grueso llevan la mayor parte del flujo, lo que concuerda con las observaciones de Bashar y Tellam (2006).
Figura 22: Flujo paralelo a la estratificaci ´on. a) Se muestran las magnitudes de las velocidades de una secci ´on de la parte superior izquierda del medio poroso. b) Comparaci ´on de velocidades de las columnas: la velocidad m ´axima de la columna de granos gruesos es unas 8 veces m ´as que la correspondiente de los granos finos aunque las porosidades son las mismas en ambos casos.
Sin embargo hay factores relacionados a las estructuras de los s ´olidos que fomenta la disper-sividad del flujo. Uno de ellos se muestra en la figura24, la cual ilustra la formaci ´on de un callej ´on sin salida. El poro cerrado impide el flujo paralelo a la estratificaci ´on y el fluido se ve forzado a circular a trav ´es de la capa de granos finos.
Figura 23: Flujo en la interfaz de las capas. La velocidad del flujo disminuye considerablemente al entrar a la columna de granos finos.
4.2. Flujo perpendicular a la estratificaci ´on
Ahora se discutir ´an los resultados de la simulaci ´on num ´erica en donde el flujo es perpendicular a la estratificaci ´on. Como se mencion ´o anteriormente, los experimentos de laboratorio indican que a bajos n ´umeros de Reynolds se producen frentes estables de percolaci ´on. En la figura 25 se grafica la magnitud de la velocidad del fluido de una secci ´on caracter´ıstica del medio simulado. Como en la secci ´on anterior, el color azul indica flujos lentos y los colores c ´alidos flujos de mayor velocidad.
Figura 25: Flujo perpendicular a la estratificaci ´on. a) Se muestran las magnitudes de las velocidades de una secci ´on de la parte superior izquierda del medio poroso. b) Comparaci ´on de velocidades de las capas: la velocidad m ´axima de la capa de granos gruesos es 3 veces m ´as grande que la correspondiente de los granos finos. La porosidad es la misma para ambas capas.
Al igual que en el caso anterior, las capas de grano grueso presentan flujos m ´as altos que las capas de grano fino. Sin embargo, en el experimento num ´erico de flujo paralelo a la estratifi-caci ´on, la diferencia de velocidades m ´aximas es de un orden de magnitud. Para el caso del flujo perpendicular, esta diferencia solo es de un factor de 3.
La figura26corresponde a un caso extremo en donde el macroporo con un alto flujo se pone en contacto con una capa de granos m ´as finos. A ´un en este caso extremo, si comparamos los flujos en ambas capas, nos daremos cuenta que el flujo r ´apidamente pierde momento (hasta un orden de magnitud) al inyectarse al espacio poroso de las capas de grano fino. Esta ca´ıda de velocidad se presenta en una distancia t´ıpica de∝3 tama ˜nos de grano.
ducto con flujo de Poiseuillie. Bajo un flujo laminar, como el que se describe en esta simulaci ´on, se cumple la siguiente relaci ´on:
∆P =P1−P2=
8µLVavg
R2 (40)
donde ∆P es la ca´ıda de presi ´on, µ, la viscosidad din ´amica, Vavg, la velocidad promedio, L la
longitud del ducto, yR el radio del mismo. De esta ecuaci ´on se deduce que al disminuir el radio del ducto, o en nuestro caso el tama ˜no de las gargantas, en un factor de 4, la ca´ıda de presi ´on aumenta en un factor de 16 (Fig.27). La ca´ıda de presi ´on resulta en la disminuci ´on de la velocidad de los vectores de flujo mostrada en la figura 26, al atravesar las primeras subcapas de granos finos.
Figura 26: Flujo perpendicular a la estratificaci ´on. Flujo en la interfaz de las capas. La velocidad mayor prove-niente de la capa de granos gruesos disminuye hasta en un orden de magnitud despu ´es de las primeras dos sub-capas de granos finos.
Finalmente, estos resultados dan informaci ´on de la raz ´on por la cual el flujo es estable cuando es dirigido de forma perpendicular a la estratificaci ´on. Los resultados de los modelos de redes de Boltzmann indican que las capas de grano fino act ´uan como disipadoras de momento, lo que le proporciona la estabilidad al flujo.
4.3. Pertinencia del modelo num ´erico
El objetivo del presente trabajo fue analizar las condiciones que dan lugar a flujo preferencial en un medio poroso con el uso del modelo de redes de Boltzmann. Para esto se simul ´o el mo-vimiento de un fluido discreto a trav ´es de medios sint ´eticos bidimensionales. El medio simulado tiene propiedades similares a las observadas en areniscas en experimentos de laboratorio. En la escala m ´as fina, el medio incorpora arreglos de granos redondeados de diferentes tama ˜nos. En la siguiente escala estos granos est ´an organizados de modo tal que forman una alternancia de capas de granos gruesos y capas de granos finos. La porosidad del medio simulado es de 50 %, lo cual es t´ıpico de areniscas poco consolidadas.
El m ´etodo num ´erico empleado simula el flujo a la escala intraporo, lo que permite entender la influencia del arreglo de granos minerales, as´ı como su organizaci ´on jer ´arquica en capas, en el desplazamiento de un fluido. Gracias a este nivel de simulaci ´on es posible revelar las razones fundamentales por la cual el flujo evade cierta secci ´on de la matriz porosa dando lugar a inestabi-lidades en el frente de humectaci ´on.
El modelo, sin embargo tiene la limitaci ´on de que es bidimensional. Esto es una necesidad de la resoluci ´on del modelo, el cual captura los detalles finos del flujo. Computacionalmente no es pr ´actico realizar simulaciones 3D a tal nivel de detalle. Otra de las limitaciones del modelo es que el fluido es inerte (no reacciona con la fracci ´on s ´olida). En la realidad en muchas ocasiones, el agua (la cual es el principal fluido en geomateriales) no se encuentra en equilibrio qu´ımico con la fase s ´olida. Para muchas aplicaciones es importante incorporar este fen ´omeno (Rienzoet al.
(2012), Machado (2012)).
materiales (como el tensor de dispersividad) los cuales son dif´ıciles de obtener.
4.4. Causas de flujo preferencial en medios estratificados
Las inestabilidades en los frentes de humectaci ´on se han observado tanto en el campo como en varios estudios de laboratorio por m ´as de 60 a ˜nos, as´ı como en medios porosos en roca dura. El flujo inestable, comienza como un frente uniforme, sin embargo, bajo ciertas condiciones, se rompe en d´ıgitos de flujo preferencial a medida que invade zonas no saturadas. El desarrollo de estas inestabilidades es un asunto de suma importancia en la dispersi ´on de NAPL’s (l´ıquidos en fase no acuosa) y de otros contaminantes, dado que los d´ıgitos pueden traspasar la zona vadosa y alcanzar directamente el nivel fre ´atico. De igual forma, este fen ´omeno es de gran inter ´es para la industria petrolera as´ı como para la exploraci ´on de yacimientos geo-t ´ermicos (Graf y Therrien, 2009).
La explicaci ´on cl ´asica al desarrollo de d´ıgitos nos dice que el fen ´omeno est ´a en funci ´on del n ´umero de capilaridad,Ca, que es la raz ´on entre las fuerzas viscosas y las fuerzas superficiales (Glass et al., 1989). Un frente estable se observa cuando Caes alto, mientras que un Ca bajo indica la formaci ´on de d´ıgitos. La raz ´on es que la presi ´on capilar pc, aumenta con el di ´ametro
del poro-garganta,D, y con la tensi ´on superficial, γ, ya que pc ∼γ/D2. Este t ´ermino llega a ser
dominante (y hace aCauna cantidad peque ˜na) ya que tanto la mojabilidad del fluido y la porosidad efectiva se reducen. Esto a su vez fuerza al fluido desplazante a invadir el espacio poroso un canal a la vez.
Figura 28: Flujo de Poiseullie. Flujo laminar inducido por una diferencia de presi ´on constante.
d´ıgitos cuando se mueve a trav ´es del medio poroso si el flujo es paralelo a la laminaci ´on (Figs.20
y22). Los experimentos num ´ericos indican que una infiltraci ´on estable se desarrolla cuando las capas se arreglan en forma perpendicular al flujo.
La raz ´on por la que el flujo se mantiene mayormente confinado a las capas de granos gruesos puede encontrarse en la soluci ´on al flujo de Poiseuille entre dos paredes paralelas (Fig.28). La soluci ´on anal´ıtica a de la velocidad del flujo en este problema es
Vavg =−
R2
8µ dP
dx, (41)
dondeVavg es la velocidad promedio del fluido, Res el radio del cilindro (garganta en este caso)
por el que se desplaza el fluido, µ es la viscosidad din ´amica del fluido y dPdx es el gradiente de presi ´on. La ecuaci ´on (41) nos dice que hay un escalamiento entre la velocidad del fluido y el radio de las gargantas
Vavg ∝R2,
lo cual indica que el flujo va estar concentrado en aquellas regiones donde el di ´ametro de las gargantas sea el mayor. Por otra parte, si las gargantas se reducen en un factor de 4 entre las capas gruesas y finas, entonces el flujo se reduce en un factor de 16.
Dos de las predicciones del modelo son que el flujo debe estar concentrado en las capas de grano grueso y, por lo tanto, la formaci ´on de d´ıgitos debe seguir estrechamente la estratificaci ´on. Efectivamente esto es algo que se observa en los experimentos de Bashar y Tellam (2006).
4.5. Permeabilidad
q=−Kdh
dl (42)
dondeqes la velocidad de Darcy,K es la conductividad hidr ´aulica ydh/dles el gradiente hidr ´auli-co.
De la ecuaci ´on (42) se tiene que:
K =− q
dh dl
(43)
Si se toma en cuenta queh= ρgP +zy si se sustituyeqporv(para adecuarlo a las condiciones de nuestro caso):
Kρg =− v
dP dx
(44)
Adem ´as, la permeabilidadk=Kρgµ, por lo que,
k=− v
µdPdx (45)
Con la relaci ´on (45) podemos investigar k para el medio artificial creado en la presente te-sis. Esto es importante porque permite entender si la conectividad de los poros en el modelo es comparable a la de las muestras. Se puede calculark de la siguiente manera. En la simulaci ´on del modelo LBM es posible imponer una fuerza que mueva al fluido y posteriormente medir la velocidad promedio en la salida. Si se repite la ejecuci ´on del modelo con incrementos en la fuer-za impuesta y medimos cada vez la velocidad promedio resultante, podemos ver la relaci ´on de proporcionalidad entre la fuerza y la velocidad. Los resultados se presentan en la figura 29. La pendiente de la relaci ´on es la permeabilidad,k≈95.
Sin embargo, es necesario hacer un ajuste para el c ´alculo de la permeabilidad con los datos obtenidos en la simulaciones descritas en el p ´arrafo anterior. La ley de Darcy asume un gradiente de presi ´on en lugar de una fuerza. Como proponen Coelho y Neumann (2016) se puede sustituir
dP /dxpor−d dx
F y
φAy
es el ´area efectiva donde se aplica la fuerza. El signo negativo indica que el gradiente de presi ´on y la fuerza tienen signos inversos. Entonces, tenemos:
dP dx =−
1
φ d dx
Fy
Ay
(46)
Sea la densidad de la fuerzafy = dxd
F y
Ay
, con unidades de fuerza sobre volumen, entonces:
k= µvφ
fy
(47)
Esta es la ecuaci ´on que se emple ´o para calcularkde la muestra. Como se observa en la figura
29, la constante de proporcionalidad es∝≈ 95, es decirv =∝Fy. Si se sustituye esta relaci ´on en
(47), y si recordamos que la viscosidad del fluido en el modelo es1/6y que la porosidad es 0.5 (ver tabla5) se obtienek≈8lu2, dondelues la unidad de longitud de la celda en el modelo LBM.
Adicionalmente, podemos hacer una segunda correcci ´on por el paso de la geometr´ıa 3D de la muestra a la geometr´ıa 2D del modelo. Si se considera un medio conformado por esferas id ´enticas de di ´ametrod, igualmente distribuidas, se tiene que Sv = Aesf eras/Vesf eras = 6/d. La ecuaci ´on
(33), entonces se convierte en:
k= d 2
36C φ3
(1−φ2) (48)
En 2D,Sv=Pc´ırculos/Ac´ırculos = 4/d, por lo que la ecuaci ´on anterior se transforma para medios
bidimensionales en:
k= d 2
16C φ3
(1−φ2) (49)
Por lo tanto, para pasar de 2D a 3D, hay que realizar el ajuste:k3D =k2D(16/36) = 8(16/36) =
3.55lu2
Para llevar este valor a las unidades del medio real hay que considerar quelu=30cm/20000
(ver Fig.17). Es decir1lu= 1.5X10−3cm. Por lo tanto:
k= 3.55X(1.5X10−3)2cm2 ≈8X10−6cm2 (50)
La permeabilidad intr´ınseca que reportan (Bashar y Tellam, 2006) para las muestras de sus experimentos se puede ver en la tabla6. Se observa que hay discrepancias entre la permeabilidad intr´ınseca del medio sint ´etico con las correspondientes reportadas de los experimentos de labo-ratorio. Como se recordar ´a, para el modelo se consider ´o una porosidad de 0.5, mientras que las muestras tienen una porosidad de≈0.20. Esta puede ser la causa de la discrepancia, ya que un incremento en las porosidades de las muestras tiene el efecto de incrementar considerablemente las permeabilidades de las mismas (compare el valor dekde la muestraColumna 12 con el valor correspondiente de la muestrasand2de la tabla6).
Por otro lado, podemos calcular las permeabilidades te ´oricas tanto para la muestra real como para el medio sint ´etico usando la ecuaci ´on propuesta por Rabbani y Jamshidi (2014) para el c ´alculo dekpara areniscas:
k=
¯
d
4.23
2
φ3
(1−φ2) (51)
donded¯es el promedio del radio de los granos. Este valor lo obtenemos de la tabla4:
¯
d=
0.0088+0.0350 2
Tabla 6: Dimensiones y propiedades f´ısicas de las columnas*
Columna L A V k Porosidad
(cm) (cm2) (cm3) (cm2)
Columna 1 6.90 10.75 74.19 1.55E-10 0.20 Columna 1a 4.00 10.75 43.00 1.55E-10 0.20 Columna 2 6.80 10.75 73.11 2.33E-10 0.22 Columna 3 5.20 10.75 55.91 1.67E-10 0.22 Columna 11 7.17 10.75 77.08 3.06E-12 0.19 Columna 12 5.15 10.75 55.36 2.71E-12 0.18 Columna 13 4.90 10.75 52.67 3.19E-12 0.20 Bloque 1 30.00 31.50 945.00 1.08E-10 0.22 Bloque 1a 15.00 31.50 473.00 1.08E-10 0.22 Trsand1 17.45 10.75 187.60 2.78E-09 0.39 Cylsnd1 17.45 10.75 187.60 4.06E-09 0.41 sand2 17.45 10.75 187.60 4.06E-09 0.38 *L: longitud, A: secci ´on transversal, V: volumen, k: permeabilidad intr´ınseca.Modificada de (Bashar y Tellam, 2006)
Si calculamos con esta ecuaci ´on al valor dekesperado para la muestrabloque 1de Bashar y Tellam (2006) obtenemos:
k=
0.01095 4.23
2
0.223
(1−0.22)2 = 1.17X10
−7cm2 (53)
Este es un valor cercano al calculado en (50). Ahora, calculemos kpara la muestra sint ´etica. Como en el caso anterior, es necesario obtener el radio promedio de los granos de esta muestra (ver tabla3):
¯
d= 25+6
2
2 = 7.75 (54)
k=
7.75 4.23
2
0.53
(1−0.5)2 = 1.67lu
2= 3.77X10−7cm2 (55)