Números irracionales
¿Alguna vez has utilizado números irracionales?
Se desea calcular la longitud de un lado de una pista de baile de forma cuadrada, cuya área es 16 u2
Si A = x2 , obteniendo raíz cuadrada de ambos lados de la igualdad, tenemos que:
El resultado obtenido es el número que multiplicado por si mismo nos da el valor de 16 esto es ( 4 ) ( 4 ) ó ( -4 ) (-4 ), el valor negativo se desprecia , el valor del lado del cuadrado es : X = 4 u
¿Qué crees que sucedería, si el área del cuadrado fuera de 2 U2?
¿Qué número multiplicado por si mismo es igual a 2?
Definimos los elementos:
x = lado del cuadrado
A = área del cuadrado
La fórmula del área del cuadrado es:
A = ( x ) ( x ) = x2
A = 16 u
2x
x
A = X2 Por lo tanto
A Sustituyendo el valor del área
= X
16 =
X
A = 2
Si hacemos ( 1 ) ( 1 ) = 1 y ( 2 ) ( 2 ) = 4, entonces el número buscado deberá estar entre 1 y 2.
Aproximándonos al número buscado, por ejemplo:
Este resultado es mayor que nuestro 2 por lo tanto, el número es menor de 1.5, que es el equivalente en decimal a
2 3
; de lo anterior podrás observar que no es fácil expresar 2 como el cociente de dos números.
Ahora recurre a tu calculadora y obtendrás:
Definición de número irracional:
Número Irracional es aquel que no puede expresarse como el cociente de dos números enteros. El conjunto de los números irracionales se representa por la letra Q; como son:
2 , 17 ,
5
3, entre otros, o constantes numéricas como: ,
e, etc.
Cuando trabajamos con irracionales, éstos se aproximan a un racional, dependiendo de la precisión deseada. Ejemplo:
= 3.14 (con dos decimales).
= 3.1416 (con cuatro decimales).
= 3.14159265 (con ocho decimales)
= 3.1415926535897932384626433832795 (con 31 decimales)
Observa los siguientes números y subraya los irracionales: 2 ; 16 ;
9 4
;
5 3
;
= 3.14156 . . .Investiga si en otras materias se usan números irracionales.
2 = 1.4142135... Por lo tanto podemos decir que este es un número irracional
=
2 3
4 9
Actividad No. 1
Comprobación aproximada del valor del número irracional .
Material:
Tapas circulares de diferentes tamaños Cinta métrica
Regla
Lápiz y borrador
Procedimiento:
Se miden el perímetro y el diámetro de cada tapa anotando en una tabla los valores correspondientes. Se divide el valor del perímetro entre el valor del diámetro y se anota en la tabla.
Tabla sugerida:
TAPA PERÍMETRO DIÁMETRO
PERÍMETRO
DIÁMETRO 1
2 3
Números reales:
El conjunto de números reales está formado por el conjunto de números racionales e irracionales y pueden ser positivos o negativos, pueden ser representados en una recta numérica continua observándose que a cada número le corresponde “uno y solo uno” de los
puntos de la recta, por ejemplo dado R =
{
-7, , 3/5, 4}
Se pueden realizar entre ellos las 4 operaciones básicas, la potenciación y la radicación. Potenciación:
Es el resultado que se obtiene al multiplicar la base por si misma cuantas veces lo indique el exponente: an = ( a )( a )( a ) . . .
5
3
= (5)(5)(5) = 125
Base: Es el número que se multiplica por si mismo.
Exponente: Indica el número de veces que se toma como factor la base. Potencia: Es el resultado de la operación.
0 -7
4
5 3
POTENCIA
Para el cálculo de potencias enteras de números racionales es necesario conocer las propiedades o leyes de los exponentes.
m>n n m n
m a a
a
n m
a a
m =n a a0 1
a
a m n n
m
m <n n n m
m
a a a
1
1.-Cuando dos potencias de la misma base se multiplican, sus exponentes se suman. Ejemplo: ( 32 ) ( 34 ) = 32 + 4 = 36
2. Cuando dos potencias de la misma base se dividen, es igual a la misma base y se eleva a la diferencia de los exponentes, es decir, el del numerador menos el del denominador. Ejemplo:
3. Si una potencia se eleva a un exponente, se escribe la base elevada al producto de los exponentes.
Ejemplo: ( 52 )3 = 5(2)(3) = 56
4. Si un término cualquiera formado por dos o más factores se eleva a un exponente, éste afecta por igual a cada factor.
Ejemplos: a) ( 3 x 8)2 = 32 x 82
b) 2 =
8 3
82 32 32
36
5. Si una cantidad está elevada a un exponente negativo, es igual a una fracción, donde el numerador es la unidad y el denominador es la misma cantidad con exponente positivo, como se muestra enseguida: n
m m n a b b a .
Ejemplos: 4-2 = ; 4 1 2 3 3 3 5 5 1 1 5 1
6.-. Cualquier número elevado a la potencia cero es igual a la unidad Ejemplo 2 2 1
2
2 5 5 0
5 5
; 1 2 2
5 5
; 201
Radicación:
La radicación es la operación inversa a la potenciación.
Un radical, también puede expresarse en forma de una potencia de exponente fraccionario, siendo la base de la potencia el radicando, el numerador del exponente será el exponente del radicando, y el denominador el índice de la raíz.
Ejemplo: 5 3 5 3
x
x ; 3 7 3 7 5 5
8
2 = 6464 =
8
a
a
nReglas de los signos de radicación:
a) Si el índice es impar y el radicando es positivo, la raíz es única y positiva
3 64 4 ; 71282
b) Si el índice es impar y el radicando es negativo, la raíz es única y negativa
3 64 4
; 9 512 2
c) Si el índice es par y el radicando es positivo, existen dos raíces de igual valor absoluto, pero de diferente signo
25a4 5a2 ; 6 4096 4
d) Sí el índice es par y el radicando es negativo, no hay solución en el campo de los números reales, ya que su resultado es visto en el campo de los números imaginarios.
7 7 i
Simplificación de radicales:
Simplificar un radical, significa escribirlo en su forma más simple. Ejemplo: Simplificar
12
Solución:
Descomponer el 12 en sus factores primos:
Significa que 12 se puede escribir de la forma :
No hay solución en el campo de los números
reales, porque no existe un número que al
multiplicarse por si mismo nos de un resultado igual a – 7.
12 6 3 1
12 = 2 x 2 x 3 , esto es; 12 = 22 x 3
Cambiando la expresión de = =
Ejemplo:
Simplificar
Solución: Se descompone en factores primos el número 432
Significa que 432 se puede escribir como: 432 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3, por la ley de los exponentes podemos escribir esta expresión como: 432 = 24 x 33, como el índice de la raíz es 3, entonces, escribimos esta expresión en función del índice de la raíz: 432 = 23 x 2 x 33, esto es, que:
3 3 3 3 432 (2 )(2)(3 )
Efectuando las operaciones, se tiene:
3 3
3
(
2
3)(
2
)(
3
3)
(
2
)(
3
)
2
6
2
Ejemplo:
Simplificar: 32
Expresamos la raíz de la raíz, en función de un solo radicando, es decir:
432
3
432 216 108 54 27 9 3 1
2 2 2 2 3 3 3
22 x 3
3
12
22 x 3
12 =
4
32
32
= Descomponiendo el 32 en 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 24 2Por lo tanto: 4
32
42
4(
2
)
2
42
OPERACIONES CON RADICALES
.
SUMA Y RESTA DE RADICALES.
Para sumar o restar dos o más radicales, se suman o restan los radicales que sean semejantes, es decir, aquellos que tengan el mismo radicando e índice.
Ejemplo 1.
Realizar la suma de los siguientes radicales 35 32 3 (152) 3 4 3
Ejemplo 2.
Realizar la suma de los siguientes radicales
a 4 a2 b5 b (14) a (25) b 5 a 7 b
Ejemplo 3.
Realizar la suma de los siguientes radicales 12 128 50 200
Para resolver este tipo de ejercicios primero se debe simplificar cada uno de los radicales que intervienen en la suma.
3 * 4
12 = 2 3
2 * 64
128 = 8 2
2 * 25
50 = 5 2
2 * 100
200 = 10 2
Quedando la expresión de la siguiente manera. Se multiplican
3
2 + 8 2 + 5 2 + 10 2 = 2 3 + (8+5+10) 2 = 2 3 + 23 2
Observa que los radicales que no son semejantes se dejan indicados en la operación.
Ejemplo 4.
Realizar la suma y la resta de los siguientes radicales.
3 3
3
81 192
24
Simplificando la expresión se obtiene:
3 3 3
) 3 ( 2
24 = 23
3
3 3 3
) 3 ( 4
192 = 43
3
3 3 3
) 3 ( 3
81 = 33
3
quedando la expresión de la siguiente manera: 23 3 - 43 3 + 33 3 = (2-4+3) 3 3 = 3 3
Ejemplo No. 5.
Realiza la siguiente suma y resta de radicales. 3 6 - 5 3 2 + 4 24 + 23
128
= 3 6 - 5 3
2 + 4 (4)(6) + 2 3 (64)(2)
= 3 6 - 5 3
2 + 4(2) 6 + 2 (8) 3
2 = 3 6 - 5 3
2 + 8 6 + 16 3
2 = ( 3 + 8 ) 6 + ( - 5 + 16 )3 2 = 11 6 + 11 3
MULTIPLICACIÓN DE RADICALES.
En expresiones del mismo índice se multiplican los coeficientes del radical y los radicandos conservando el misma índice del radical.
Ejemplo 1.
Realizar la siguiente multiplicación de radicales.
( 4 5)( 8 5) = ( 4)(8) (5)(5) = 32 25 = (32)(5) = 160 Ejemplo 2.
Realizar la siguiente multiplicación de radicales.
(5 3)( 6 2 ) = (5)(6) (3)(2) = 30 6
En las expresiones de diferente índice o radicando: se aplica la siguiente ley de los radicales. ( n ax )( mby ) = nm( mx ny)
b a
Ejemplo 3.
Realizar la siguiente multiplicación de radicales. ( 1 2 )( 2 3
2 ) = ( 1)( 2) (2)(3)2 =2 6
2
Ejemplo 4.
Realizar la siguiente multiplicación de radicales
( 23 2 )( 6 4 5 32 ) = ( 2)( 6) (3)(5)(2(4)(5))(3(3)(2)) = 12 15(220)(36)
= 12
15 15 5 6
) 3 )( 2 )( 2 (
= ( 12)( 2)15(25)(36) = 24 15(32)(729) = 24 15
23328
Explica con tus propias palabras el principio o ley para multiplicar radicales con diferente índice.
DIVISION DE RADICALES.
En las expresiones del mismo índice, se dividen los coeficientes de los radicales y de los radicandos, conservando el mismo radical.
Ejemplo 1.
Realizar la siguiente división de radicales
2 2 7 14 3 6 7 3 14 6 Ejemplo 2.
Realizar la siguiente división de radicales
5 1 5 1 3 * 5 3 15 3
El resultado
5 1
se debe racionalizar, para ello, se multiplica el numerador y el denominador por el radical del denominador.
Tomemos la expresión como ejemplo para racionalizar ( 5 5 25 5 ) 5 5 )( 5
1
El objetivo de racionalizar es que ningún radical debe quedar en el denominador
Ejemplo 3.
Racionalizar la expresión
7 3 ( 7 21 49 21 ) 7 )( 7 ( ) 7 )( 3 ( ) 7 7 )( 7 3
División de radicales con diferente índice o radicando.
Se transforman los radicales hasta obtener índices o radicandos comunes, se dividen los coeficientes y los radicándoos, conservando el radical común y se simplifica la expresión.
5 3
2 6
= 1/5
3 / 1 2 6 = 15 3 15 5 2 6
15 15 15
3 5 972 8 7776 2 6
Observa que las expresiones que tienen el mismo índice son, 3/15
15 / 5
2 6
, ahora transformándola nuevamente a radical tendremos:
15 3 15 5
2 6
= 15 3 5
2 6
= 15 3 5 5 2 ) 3 )( 2 (
= 15 2 5
) 3 )( 2 ( 15 972
Otra forma de resolver radicales con diferente índice es aplicando la fórmula siguiente:
mn
ny
b
mx
a
m y
b
n x
a
Ejemplo 5.
Resuelva la expresión:
442348411 . 0 10 227908144 . 8 10 747561509 . 4 390625 7 5 7 5 7
5 20 20 8
12 20 15 8 ) 4 )( 5 ( ) 3 )( 5 ( ) 2 )( 4 ( 4 3 5 2 x x EJERCICIO 5
Resuelve los siguientes ejercicios:
1. 2592 2. 3888
3. 68 4. 3
250
5.
4 27
6. 3
7. 41250 8. 4
81 32
9. 1280 10. 3
4158
EJERCICIOS. 6
1.- 32 37 310 3 2.- 52 37 510 3
3.- 122 1087 310 52 20 4.
8 32 3
12 5.-
125 50
6.-
12 3
3
7.-
3
6
4 5 3
2
8.- 3 7
9.-
5
5
8
4 10.- 3
32 3
7 310 310.- Una fábrica requiere construir un nuevo almacén que le de un espacio de
5000 m2, si el almacén va ha ser cuadrado, ¿cuántos metros tendrá por lado?
Apoyado en la recta numérica y usando números reales resuelve los
siguientes ejercicios:
1. Si Luis Miguel tiene $10.00 y le pagan $4.00que le debían:
a) Representa esto en una recta numérica
R =
0 10 14
l = lado del cuadrado
A = 5000m2
La fórmula del área del
cuadrado es: A = ( l ) ( l ) = l2
A = 5000 m
2l
l
I = A
I = 5000
b) Hacer la operación con números reales:
R = ____________________________
2. Juan Manuel tiene un peso de 100 kg., se puso a dieta. En el primer mes bajó
9 kg., y en el siguiente mes bajo 11.4 kg. ¿cuál es su peso después de los dos
meses de dieta?
R = ____________________________
3. Grafíca en la recta numérica los siguientes números reales: - ,
, , 2
4. Escribe en forma de potencia, los siguientes productos:
a) ( 8 ) ( 8 ) ( 8 ) ( 8 ) ( 8 ) = R= __________________________
b) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) = R= __________________________
c) ( -6 ) ( -6 ) = R= __________________________
5. Resuelve las operaciones que se indican, aplicando las Leyes de los Radicales:
a)
36 25
b)
9 4
3 1
16
4 3
3 8