Unidades 5 y 6: Relación Matrices y Determinantes
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(2) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. 7. (2014-M1;Jun-B-3) (2.5 puntos) Considera las matrices. ⎛0 1 1⎞ ⎛ 1 −1 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ y A = ⎜1 0 0⎟ B = ⎜ 1 −1 0⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎜ −1 2 3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 Determina, si existe, la matriz X que verifica AX + B = A .. 1 ⎞ ⎛1 + m ⎛1 − 1⎞ ⎟⎟ y B = ⎜⎜ ⎟⎟ . 1− m⎠ ⎝ 1 ⎝1 0 ⎠ a) (0.75 puntos) ¿Para qué valores de m se verifica que A 2 = 2 A + I ? ( I denota la. 8. (2014-M2-B-3) Considera las matrices, A = ⎜⎜. matriz identidad) b) (1.75 puntos) Para m = 1, calcula A −1 , y la matriz X que satisface AX − B = AB.. ⎛ a11 ⎜ 9. (2014-M3-A-3) Se sabe que el determinante de la matriz A = ⎜ a 21 ⎜a ⎝ 31. a12 a22 a32. a13 ⎞ ⎟ a 23 ⎟ es -3. Calcula, a33 ⎟⎠. indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes: a) (1 punto) det (− 2 A) y det A −1 .. ( ). a 21. a 22. a 23. b) (1.5 puntos) 7 a11. 7 a12. 7a13. 2a31. 2a32. 2a33. ;. a11. a 21 + 2a31. a12. a 22 + 2a32. a13. a23 + 2a33. 3a11 3a12 15a13 5a32 ; a 21 a 22 5a 23 a31 a32 5a33 5a33 5a31. 10. (2014-M3-B-3) Considera las matrices,. 0 − 3⎞ ⎛1 0 2⎞ ⎛ 2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ A = ⎜ 1 1 1 ⎟ y B = ⎜ 3 − 1 − 3⎟ . ⎜ 2 3 0⎟ ⎜ −1 − 2 −1⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ −1 a) (0.5 puntos) Calcula A . b) (2 puntos) Halla la matriz X que verifica que At X + B = I , siendo I la matriz identidad y At la matriz traspuesta de A . ⎛ x y z⎞ ⎟ ⎜ 11. (2014-M4;Sept-B-3) Sabiendo que el determinante de la matriz A = ⎜ 1 0 1 ⎟ es 2, calcula ⎜ 1 2 3⎟ ⎠ ⎝ los siguientes determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilices: a) (0.5 puntos) det (3 A). ( ). b) (0.5 puntos) det A −1 .. ( ). ( ). También: det A31 ; det A31. 3. 0. 1. c) (0.75 puntos) 3 x. 2y. z. 3. 4. 3. −1. .. 1. 2. 3. d) (0.75 puntos) x + 2 y + 4 z + 6. −1. 0. −1. e) (0.75 puntos) Sea C una matriz cuadrada tal que C = C . ¿Puede ser det (C ) = 3 ? Razona la respuesta. f) (0.5 puntos) Si B es una matriz cuadrada tal que B 3 = I , halla det (B ) . −1. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 2. t. Bloque II: Álgebra Lineal Unidades 5 y 6: Matrices y Determinantes.
(3) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. ⎛a b ⎜ 12. (2014-M6-A-3) Se sabe que el determinante de la matriz A = ⎜ b d ⎜c e ⎝. c⎞ ⎟ e ⎟ es 3, halla los f ⎟⎠. siguientes determinantes, indicando, en cada caso, las propiedades que utilices: a) (1 punto) det A3 , det A −1 , det A + At , det A−1 At . ( At indica la traspuesta de A ).. ( ). ( ). ⎛a ⎜ b) (0.75 puntos) det ⎜ c ⎜ 2b ⎝ ⎛a ⎜ c) (0.75 puntos) det ⎜ b ⎜c ⎝ 13. (2013-M1-B-3) Sea M det (M ) = 2 . Calcula:. (. ). (. ). c⎞ ⎟ e f ⎟. 2d 2e ⎟⎠ b 4a − c ⎞ ⎟ d 4b − e ⎟ . e 4c − f ⎟⎠ b. una matriz cuadrada de orden 3 tal que su determinante es. a) (0.5 puntos) El rango de M 3 . b) (0.75 puntos) El determinante de 2 M t ( M t es la matriz traspuesta de M ).. (. ). 2. c) (0.75 puntos) El determinante de M −1 . d) (0.5 puntos) El determinante de N , donde N es la matriz resultante de intercambiar la primera y segunda filas de M . 14. (2013-M2;Sept-A-3) Considera las matrices. 1⎞ ⎛1 0 1⎞ ⎛−1 1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ A = ⎜1 1 0⎟ y B = ⎜ 1 −1 1 ⎟ . ⎜0 0 2⎟ ⎜0 0 − 1⎟⎠ ⎠ ⎝ ⎝ a) (1 punto) Halla, si es posible, A −1 y B −1 . b) (0.25 puntos) Halla el determinante de AB 2013 At siendo At la matriz traspuesta de A . c) (1.25 puntos) Calcula la matriz X que satisface AX − B = AB .. ⎛ −1 2⎞ ⎛1 − 1⎞ ⎟⎟ y B = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ 0 1⎠ ⎝1 0 ⎠ a) (1.25 puntos) Calcula X e Y tales que X − Y = At y 2 X − Y = B ( At es la matriz traspuesta de A ). b) (1.25 puntos) Calcula Z tal que AZ = BZ + A .. 15. (2013-M4-B-3) Considera las matrices A = ⎜⎜. 16. (2013-M5-A-3) Considera las matrices. ⎛ −1 1 0⎞ ⎟ ⎜ ⎛0 2 1⎞ ⎛ 1 2⎞ ⎟⎟ y C = ⎜⎜ ⎟⎟ . A = ⎜ 2 0 0 ⎟ , B = ⎜⎜ 1 2 0 − 1 6 ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎜ 1 0 1⎟ ⎠ ⎝ a) (0.75 puntos) Halla A −1 . b) (1.25 puntos) Calcula la matriz X que satisface AX = B t C ( B t es la matriz traspuesta de B ).. ( ). c) (0.5 puntos) Halla el determinante de A2013 B t B A−1. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 3. 2013. .. Bloque II: Álgebra Lineal Unidades 5 y 6: Matrices y Determinantes.
(4) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. ⎛a b ⎜ 17. (2013-M5-B-3) Sabiendo que el determinante de una matriz A = ⎜ d e ⎜p q ⎝. c⎞ ⎟ f ⎟ es 4 , calcula los r ⎟⎠. siguientes determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilizas: a) (1 punto) det (− 2 A) y det A−1 .. ( ). a b) (1.5 puntos) 2d. p. −b. − 2e 2 f −q. − 3d. c y. r. − 3e − 3 f. a. b. c. −p. −q. −r. 0 −1 ⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 18. (2013-M6;Jun-A-3) Sea M = ⎜ 0 m + 1 0 ⎟. ⎜1 1 m − 1⎟⎠ ⎝ a) (0.75 puntos) Determina los valores de m para los que los vectores fila de M son linealmente independientes. b) (1 punto) Estudia el rango de M según los valores de m . c) (0.75 puntos) Para m = 1 , calcula la inversa de M .. ⎛1 1 ⎞ ⎟⎟ . ⎝1 − 1⎠. 19. (2013-M6;Jun-B-3) Sea A = ⎜⎜. a) (1.5 puntos) Comprueba que A2 = 2 I y calcula A −1 . b) (1 punto) Calcula A2013 y su inversa. 20. (2012-M2-B-3) (2.5 puntos) Encuentra la matriz X que satisface la ecuación XA + A3 B = A, siendo. 0⎞ ⎛ 2 −1 ⎟ ⎜ y B=⎜ 0 2 −1 ⎟ ⎜ −1 0 2 ⎟⎠ ⎝ ⎛0 0 1⎞ ⎟ ⎜ 21. (2012-M4;Sept-A-3) Sea la matriz A = ⎜ 2 1 2 ⎟ ⎜1 k 1⎟ ⎠ ⎝ a) (1 punto) ¿Para qué valores del parámetro k no existe la inversa de la matriz A ? ⎛0 0 1⎞ ⎟ ⎜ A = ⎜0 1 0⎟ ⎜1 0 0⎟ ⎠ ⎝. Justifica la respuesta. b) (1.5 puntos) Para k = 0, resuelve la ecuación matricial ( X + I ) ⋅ A = At , donde I denota la matriz identidad y At la matriz traspuesta de A.. ⎛ 3 − 2⎞ ⎛ − 2 1⎞ ⎟⎟, sea B la matriz que verifica que AB = ⎜⎜ ⎟⎟ 1⎠ ⎝ 7 3⎠ a) (1 punto) Comprueba que las matrices A y B poseen inversas. b) (1.5 puntos) Resuelve la ecuación matricial A−1 X − B = BA.. 22. (2012-M5-B-3) Dada la matriz A = ⎜⎜ ⎝5. 23. (2011-M1-A-3) Considera las matrices. ⎛1 0 0 ⎞ ⎛0 0 1⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ A = ⎜ 0 λ 1 ⎟ y B = ⎜1 0 0⎟ ⎜ 0 −1 λ ⎟ ⎜ 0 1 0⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ a) (1 punto) ¿Hay algún valor de λ para el que A no tiene inversa? Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 4. Bloque II: Álgebra Lineal Unidades 5 y 6: Matrices y Determinantes.
(5) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. b) (1.5 puntos) Para λ = 1 , resuelve la ecuación matricial A−1 XA = B.. ⎛ α 1 − 1⎞ ⎛0⎞ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ 24. (2011-M2;Sept-A-3) Dadas las matrices A = ⎜ 1 α − 1⎟ y B = ⎜1 ⎟ ⎜ −1 −1 α ⎟ ⎜1 ⎟ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ a) (1.75 puntos) Calcula el rango de A dependiendo de los valores de α . b) (0.75 puntos) Para α = 2 , resuelve la ecuación matricial AX = B.. α 1⎞ ⎛ 1 3 1⎞ ⎟⎟ y B = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ − α 3⎠ ⎝ −1 4 2⎠ ⎛. 25. (2011-M2;Sept-B-3) Sean las matrices A = ⎜⎜. 1 A. 12 b) (1.25 puntos) Para α = −3 , determina la matriz X que verifica la ecuación At X = B , siendo At la matriz traspuesta de A. a) (1.25 puntos) Calcula los valores de α para los que la matriz inversa de A es. 26. (2011-M3-A-3) Sean A y B dos matrices que verifican:. ⎛ 4 2⎞ ⎛ 2 4⎞ ⎟⎟ y A − B = ⎜⎜ ⎟⎟ A + B = ⎜⎜ ⎝ 3 2⎠ ⎝ −1 2⎠ a) (1 punto) Halla las matrices ( A + B )( A − B ) y A2 − B 2 .. b) (1.5 puntos) Resuelve la ecuación matricial XA − XB − ( A + B ) = 2 I , siendo I la t. matriz identidad de orden 2 y ( A + B ) la matriz traspuesta de A + B. t. ⎛ 3 0 ⎜ 27. (2011-M3-B-3) Sea la matriz A = ⎜ − 5 λ ⎜λ 0 ⎝. λ ⎞. ⎟ − 5⎟ 3 ⎟⎠. a) (1 punto) Determina los valores de λ para los que la matriz A − 2 I tiene inversa, siendo I la matriz identidad de orden 3. b) (1.5 puntos) Para λ = −2 , resuelve la ecuación matricial AX = 2 X + I .. ⎛ − 1 1⎞ ⎟⎟ ⎝ 2 − 1⎠. 28. (2011-M4-B-3) Dada la matriz A = ⎜⎜. a) (1 punto) Demuestra que A2 + 2 A = I y que A−1 = A + 2 I , siendo I la matriz identidad de orden 2. b) (1.5 puntos) Calcula la matriz X que verifica la ecuación A2 + XA + 5 A = 4 I . 29. (2011-M5-B-3) Dada la matriz. 3 4 ⎞ ⎛0 ⎟ ⎜ A = ⎜ 1 − 4 − 5⎟ ⎜ −1 3 4 ⎟⎠ ⎝ a) (0.5 puntos) Demuestra que se verifica la igualdad A3 = − I , siendo I la matriz identidad de orden 3. b) (1.25 puntos) Justifica que A es invertible y halla su inversa. c) (0.75 puntos) Calcula razonadamente A100 .. ⎛λ +1 0 ⎞ ⎟ − 1⎟⎠ ⎝ 1. 30. (2011-M6;Jun-B-3) Dada la matriz A = ⎜⎜. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 5. Bloque II: Álgebra Lineal Unidades 5 y 6: Matrices y Determinantes.
(6) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. a) (1.25 puntos) Determina los valores de λ para los que la matriz A2 + 3 A no tiene inversa. b) (1.25 puntos) Para λ = 0 , halla la matriz X que verifica la ecuación AX + A = 2 I , siendo I la matriz identidad de orden 2.. ⎛ −1 2⎞ ⎛−3 0 ⎞ ⎟⎟ y B = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 0 1⎠ ⎝ 2 − 1⎠. 31. (2010-M3-A-3) Considera las siguientes matrices A = ⎜⎜. a) (0.75 puntos) Calcula A−1 . b) (1.75 puntos) Resuelve la ecuación matricial AXAt − B = 2 I , donde I es la matriz identidad de orden 2 y At es la matriz traspuesta de A . 32. (2010-M3-B-3) (2.5 puntos) Obtén un vector no nulo v = (a, b, c ) , de manera que las matrices siguientes tengan simultáneamente rango 2.. ⎛1 1 a ⎞ ⎟ ⎜ A = ⎜1 0 b ⎟ ⎜1 1 c ⎟ ⎠ ⎝. 0 a⎞ ⎛2 ⎟ ⎜ B = ⎜0 −1 b⎟ ⎜3 1 c ⎟⎠ ⎝. 2⎞ ⎛ 5 −4 ⎟ ⎜ 1⎟ 33. (2010-M4-A-3) Sea la matriz A = ⎜ 2 − 1 ⎜ − 4 4 − 1⎟ ⎠ ⎝ a) (1.25 puntos) Comprueba que se verifica 2 A − A2 = I . b) (1.25 puntos) Calcula A−1 . (Sugerencia: Puedes usar la igualdad del apartado (a)). 34. (2009-M1-B-3) Sean A, B, C y X matrices cualesquiera que verifican A X B = C. a) (1 punto) Si las matrices son cuadradas de orden 3, y se sabe que el determinante de A es 3, el de B es − 1 y el de C es 6, calcula el determinante de las matrices X y 2 X .. ⎛1 1 ⎞ ⎛1 − 2⎞ ⎛ 0 3⎞ ⎟⎟ , B = ⎜⎜ ⎟⎟ y C = ⎜⎜ ⎟⎟ calcula la matriz X . ⎝ 0 − 2⎠ ⎝ 2 − 3⎠ ⎝ 4 2⎠. b) (1.5 puntos) Si A = ⎜⎜. 35. (2009-M3:Jun-A-3) Sean F1 , F2 , F3 las filas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz B de orden 3, cuyo determinante vale − 2. Calcula, indicando las propiedades que utilices: a) (0.5 puntos) El determinante de B −1 .. ( ). 4. b) (0.5 puntos) El determinante de B t ( B t es la matriz traspuesta de B ). c) (0.5 puntos) El determinante de 2B. d) (1 punto) El determinante de una matriz cuadrada cuyas filas primera, segunda y tercera son, respectivamente, 5 F1 − F3 , 3F3 , F2 . ⎛ 0 −1 − 2⎞ ⎜ ⎟ 36. (2008-M5-A-3) (2.5 puntos) Sea I la matriz identidad de orden 3 y A = ⎜ − 1 0 − 2 ⎟ . Calcula, si existe, el valor de k para el cual ( A − kI ) es la matriz nula. 2. ⎜1 ⎝. 1. 3 ⎟⎠. 37. (2007-M5-A-3). ⎛1 0 ⎞ ⎟⎟ verifica la ⎝1 m ⎠. a) (1.5 puntos) Calcula el valor de m para el que la matriz A = ⎜⎜. relación 2 A 2 − A = I y determina A −1 para dicho valor de m . b) (1 punto) Si M es una matriz cuadrada que verifica la relación 2 M 2 − M = I , determina la expresión de M −1 en función de M y de I . Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 6. Bloque II: Álgebra Lineal Unidades 5 y 6: Matrices y Determinantes.
(7) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. ⎛a 1 ⎞ ⎟⎟ , siendo a un número real. ⎝0 − a⎠ ⎛12 − 1⎞ ⎟⎟ . a) (1 punto) Calcula el valor de a para que A 2 − A = ⎜⎜ ⎝ 0 20 ⎠. 38. (2006-M3;Jun-A-3) Considera A = ⎜⎜. b) (1 punto) Calcula, en función de a , los determinantes de 2 A y At . c) (0.5 puntos) ¿Existe algún valor de a para el que la matriz A sea simétrica? Razona la respuesta.. ⎛ 2 0 5 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ − 2⎞ ⎛ 5⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 39. (2006-M3;Jun-B-3) (2.5 puntos) Resuelve ⎜ 1 1 − 2 ⎟ ⎜ y ⎟ + ⎜ 2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ ⎜ −1 1 1 ⎟ ⎜ z ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 0 0 − 1⎞ ⎜ ⎟ 40. (2005-M3-B-3) Sea I la matriz identidad de orden 3 y sea A = ⎜ − 1 1 − 1⎟ . ⎜1 0 b⎟ ⎝ ⎠ 2 a) (1.25 puntos) Determina el valor de b para el que A − 2 A + I = O . b) (1.25 puntos) Para b = 2 halla la matriz X que cumple que A ⋅ X − 2 At = O .. ⎛2 1⎞ ⎟⎟ . ⎝1 2⎠ a) (1 punto) Halla los valores de x para los que la matriz A − xI no tiene inversa. b) (1.5 puntos) Halla los valores de a y b para los que A 2 + a A + bI = O .. 41. (2005-M4-A-3) Sea I la matriz identidad de orden 2 y sea A = ⎜⎜. ⎛0 0 1⎞ ⎛ 0 0 1⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ 42. (2002-M1-B-3) Considera las matrices A = ⎜ 0 1 0 ⎟ , B = ⎜ x 1 0 ⎟ . ⎜1 0 0⎟ ⎜ y 0 0⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ a) (1 punto) Calcula la matriz inversa de A . b) (1 punto) Calcula A127 y A128 . c) (0.5 puntos) Determina x e y tal que AB = BA . ⎛ 2 t 0⎞ ⎜ ⎟ 43. (2002-M3;Sept-A-3) (2.5 puntos) Considera la matriz A = ⎜ t 2 1 ⎟ . ⎜ 3 0 1⎟ ⎝ ⎠ Calcula los valores de t para los que el determinante de A es positivo y halla el mayor valor que alcanza dicho determinante.. 3 4 ⎞ ⎛0 ⎜ ⎟ 44. (2001-M2;Jun-B-4) Considera la matriz A = ⎜ 1 − 4 − 5 ⎟ . ⎜ −1 3 4 ⎟⎠ ⎝ a) (1 punto) Siendo I la matriz identidad 3× 3 y O la matriz nula 3× 3 , prueba que A3 + I = O . b) (1.5 puntos) Calcula A10 .. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 7. Bloque II: Álgebra Lineal Unidades 5 y 6: Matrices y Determinantes.
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