3 puntos
1. 20·17 2 + 0 + 1 + 7 =
(A) 3.4 (B) 17 (C) 34 (D) 201.7 (E) 340
R/
20·17 2 + 0 + 1 + 7 =
20·17
10 = 2·17 = 34
2. A Benito le gusta jugar con su modelo de tren H0. ´El model´o algunas cosas extras en la proporci´on H0 que es 1 : 87, incluido un modelo de 2 cm de altura de su hermano. ¿Cu´al es la estatura real de su hermano?
(A) 1.74 m (B) 1.62 m (C) 1.86 m (D) 1.94 m (E) 1.70 m
R/
1 87 =
2
x ⇒x= 174
3. En la figura se observan 10 islas que est´an conectadas mediante 15 puentes.
A
B
¿Cu´al es el menor n´umero de puentes que pueden ser eliminados de manera que sea imposible ir de A aB por los puentes?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
R/ 3
4. Dos n´umeros positivos a y b satisfacen que 75% de a es igual al 40% de b. Es decir:
(A) 15a= 8b (B) 7a= 8b (C) 3a = 2b (D) 5a= 12b (E) 8a= 15b
R/
75 100a =
40 100b ⇒
15a
8 =b
(A)✶ ✷ ①
(B) ✲ ✷ ✲ ✶ ②
(C) ✸ ✹ ①
(D) ✲ ✷
✲ ✶ ②
(E) ✲ ✹ ✲ ✸ ①
R/ Es una funci´on c´oncava hacia arriba y el v´ertice est´a en el lado negativo de las x’s, por lo tanto la c).
6. En un c´ırculo con centro en O y di´ametros AB y CX, se tiene que OB = BC, ¿qu´e fracci´on del ´area del c´ırculo est´a sombreada?
(A) 2
5 (B)
1
3 (C)
2
7 (D)
3
8 (E)
4 11 R/ Se forma un hex´agono. 1/3.
7. Una barra consiste de dos cubos blancos y grises unidos tal que el resultado es una barra de 4×1×1 con dos cubos blancos en un extremo y dos cubos grises en el otro:
¿Cu´al figura se puede construir con 4 de tales barras?
(A) (B) (C)
(D) (E)
R/ Como son barras de dos colores, una fila de un solo color no es posible. As´ı que la ´unica opci´on es la A.
8. ¿Cu´al cuadrante no contiene ning´un punto de la gr´afica de la funci´on lineal f(x) = −3.5x+ 7?
■ ■■
■■■ ■ ❱
(A) I (B) II (C) III (D) IV
R/ Observe que para valores negativos de x, la expresi´on siempre es positiva. Por lo tanto no contiene puntos en el III cuadrante.
9. Cada una de las cajas que se muestran est´an llenas con bolas rojas y azules como se muestra. Ben desea tomar sin mirar una bola de una de las cajas. ¿Cu´al caja debe escoger de manera que tenga la mayor probabilidad de tomar una bola azul?
(A) 10 azules, 8 rojas (B) 6 azules, 4 rojas (C) 8 azules, 6 rojas
(D) 7 azules, 7 rojas (E) 12 azules, 9 rojas
R/ Haciendo azules/rojas, se tiene que la mayor proporci´on se obtiene en la B).
10. ¿La gr´afica de cu´al de las siguientes funciones tiene la mayor cantidad de puntos en com´un con la gr´afica de la funci´on f(x) = x?
(A)g1(x) =x2
(B)g2(x) =x3
(C)g3(x) =x4
(D)g4(x) =−x4
(E)g5(x) =−x
R/ Con g2 se tiene que de x = x3
, se llega a que x(x−1)(x+ 1) = 0, por lo que tienen 3 puntos en com´un (ya no hace falta entonces analizar ni g1 ni g5). Con g3 se tiene llega a que
x(x−1)(x2
+x+ 1) = 0, que solo tiene dos soluciones (dos puntos en com´un). Algo similar al caso con g3, ocurre con la funci´ong4.
4 puntos
11. El n´umero positivopes menor que 1, y el n´umeroqes mayor a 1. ¿Cu´al de estos n´umeros es el mayor?
(A)p·q (B)p+q (C) p
q (D)p (E)q
R/ Dado que p < 1 entonces pq < q. Con q > 1, p/q < p. Y como ambos son positivos,
p+q > p y p+q > q. As´ı que el mayor de ellos es p+q.
12. Tres c´ırculos tangentes entre s´ı con centros A, B y C tienen radios 3, 2 y 1, respectiva-mente. ¿Cu´al es el ´area del tri´angulo ABC?
(A) 6 (B) 4√3 (C) 3√2 (D) 9 (E) 2√6
13. Dos cilindros A y B tienen el mismo volumen. El radio de la base de B es 10% m´as grande que el de A. ¿Qu´e porcentaje es m´as grande la altura de A que la de B?
(A) 5 % (B) 10 % (C) 11 % (D) 20 % (E) 21 %
R/ La altura deA es 21% m´as grande que la altura de B, pues observe que:
πr2
AhA =πr
2
BhB =π(1.1rA)
2
hB ⇒
hA
hB
= (1.1)2
= 1.21
14. Las caras del poliedro que se muestra son tri´angulos o cuadrados. Cada cuadrado est´a rodeado por 4 tri´angulos y cada tri´angulo est´a rodeado por 3 cuadrados. Si hay 6 cuadrados, ¿cu´antos tri´angulos hay?
(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9
R/ Observe que los tri´angulos con respecto a los cuadrados est´an en la proporci´on 4:3 (4 tri´angulos por cuadrados y 3 cuadrados por tri´angulo), por lo que si hay 6 cuadrados, debe de haber 8 tri´angulos.
15. Se tienen 4 dados en forma de tetraedro (4 caras), perfectamente balanceados, con sus caras numeradas con 2, 0, 1 y 7. Si se lanzan los 4 dados, ¿cu´al es la probabilidad de que se pueda observar el n´umero 2017 utilizando alguno de los tres n´umeros visibles por cada dado?
(A) 1
256 (B)
63
64 (C)
81
256 (D)
3
32 (E)
29 32
R/ La ´unica forma en la que no se podr´ıa construir el n´umero, es si los 4 dados quedaran apoyados sobre el mismo n´umero, es decir 4·(1/4)4
= 1/64. Por lo que la probabilidad de obtener el n´umero es de 63/64.
16. Julia tiene 2017 fichas: 1009 de ellas son negras y el resto son blancas. Ella las coloca en un patr´on cuadrado como se muestra, comenzando con una ficha negra en la esquina superior izquierda, alternando colores en cada fila y en cada columna. ¿Cu´antas fichas de cada color quedan despu´es de que ha completado el cuadrado m´as grande posible?
. . .
... . ..
(A) Ninguna (B) 40 de cada una (C) 40 negras y 41 blancas (D) 41 de cada una (E) 40 blancas y 41 negras
el n´umero de fichas negras y blancas utilizadas es el mismo, por lo que sobran 41 fichas negras y 40 fichas blancas.
17. El polinomio 5x3
+ax2
+bx+ 24 tiene coeficientes enteros a y b. ¿Cu´al de los siguientes n´umeros con seguridad no es una ra´ız del polinomio?
(A) 1 (B) -1 (C) 3 (D) 5 (E) 6
R/ Recuerde que la ra´ız a del polinomio P(x) satisface que P(a) = 0. Dado que 24 no es m´ultiplo de 5, P(5)6= 0 para cualesquieraa y b enteros.
18. Dos n´umeros consecutivos son tales que la suma de los d´ıgitos de cada uno de ellos es un m´ultiplo de 7. ¿Al menos cu´antos d´ıgitos tiene el n´umero m´as peque˜no?
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7
R/El n´umero comienza con 6 seguido de 9’s. El menor n´umero es el 69999, que tiene 5 d´ıgitos.
19. En un cuadril´atero convexo ABCD las diagonales son perpendiculares. Los lados tienen longitudes |AB|= 2017, |BC| = 2018 y |CD|= 2019 (la figura no est´a a escala). ¿Cu´al es la longitud del segmento AD?
2019
A B
C
D
2017
2018
(A) 2016 (B) 2018 (C)√20202
−4 (D)√20182+ 2 (E) 2020
R/Sean respectivamenteayb,b yc,cyd,ayb, los catetos del tri´angulo con hipotenusa 2019, 2018, 2017 yAD. Utilizando pit´agoras en cada tri´angulo rect´angulo se tiene quea2
+b2
= 20192
yb2
+c2
= 20182
, de dondea2
−c2
= 20192
−20182
= 2018 + 2019. Adem´asc2
+d2
= 20172
, con lo quea2
+d2
= 20172
+ 2018 + 2019 = 2017·2019 + 3 = 20182
+ 2, de dondeAD=√20182+ 2.
20. Tit´ı trata de ser una buena cangurita, pero mentir le parece tan divertido. Entonces, cada tercer cosa que dice es una mentira y el resto es verdad. (Algunas veces ella comienza con una mentira, otras con una verdad o con dos verdades). Tit´ı est´a pensando en un n´umero de 2 d´ıgitos, y le dice a su amiga que: “Uno de sus d´ıgitos es un 2.” “Es mayor a 50.” “Es un n´umero par.” “Es menor que 30.” “Es divisible por 3.” “Uno de sus d´ıgitos es un 7.” ¿Cu´al es la suma de los d´ıgitos del n´umero que Tit´ı est´a pensando?
(A) 9 (B) 12 (C) 13 (D) 15 (E) 17
5 puntos
21. ¿Cu´antos enteros positivos tienen la propiedad de que el n´umero obtenido al borrar el ´
ultimo d´ıgito es igual a 1/14 del n´umero original?
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
R/Seaael n´umero que se obtiene al borrar el ´ultimo d´ıgito. Ello quiere decir que 14a = 10a+b, dondeb es el d´ıgito borrado:
(10 + 4)a= 10a+ 4a= 10a+b ⇒4a=b
de donde a debe ser un n´umero de un d´ıgito, y las ´unicas posibilidades paraa son 1 y 2.
22. La figura muestra un hex´agono regular de lado 1. La flor se construye con sectores de c´ırculos de radio 1 y centros en los v´ertices del hex´agono. ¿Cu´al es el ´area de la flor?
(A) π
2 (B)
2π
3 (C) 2
√
3−π (D) π 2 +
√
3 (E) 2π−3√3
R/ Para calcular la mitad del ´area de un p´etalo, tomamos el ´area de un sexto de c´ırculo de radio 1, y le quitamos el ´area de un tri´angulo equil´atero de lado 1:
1
Sabemos que la altura del tri´angulo es√3/2, por lo que el ´area del mismo es de√3/4. Por otro lado, el ´area del sexto de c´ırculo esπ/6, por lo que el ´area de medio p´etalo es deπ/6−√3/2, y el ´area sombreada, formada por 12 medios p´etalos, es de 2π−3√3.
23. Considere la sucesi´on an con a1 = 2017 yan+1 =
an−1
an
. Entoncesa2017 =
(A)−2017 (B) −1
2016 (C)
2016
2017 (D) 1 (E) 2017
R/ Se tiene que a1 = 2017,a2 = 2016 2017, a3 =
−1
2016, a4 = 2017, por lo que los valores se repiten en ciclos de 3. El residuo de dividir 2017 por 3 es 1, por lo que a2017 = 2017.
(A) 4 5 (B) 3 4 (C) 2 3 (D) 1 2 (E) 1 3
R/ Dado que el volumen queda completamente definido por el lado en un poliedro regular, se debe cumplir que para poliedros semejantes, los vol´umenes sean proporcionales al cubo de las medidas de sus lados:
V1 V2 = l3 1 l3 2
es decir, cada poliedro que se forma en cada una de las esquinas corresponde a 1/8 del volumen del poliedro original, por lo que los cuatro poliedros representan la mitad del volumen, y el volumen resultante es entonces de 1−1/2 = 1/2 del volumen original.
25. La suma de las longitudes de tres lados de un tri´angulo rect´angulo es igual a 18 y la suma de los cuadrados de las longitudes de sus tres lados es igual a 128. ¿Cu´al es el ´area del tri´angulo?
(A) 18 (B) 16 (C) 12 (D) 10 (E) 9
R/ Sean a, b los catetos y c la hipotenusa del tri´angulo rect´angulo, por lo que se cumple que
a2
+b2
=c2
. De all´ıa2
+b2
+c2
= 128, por lo que c= 8. Luego se tiene que a+b= 10 y que
a2
+b2
= 64. Elevando al cuadrado la primera igualdad, (a+b)2
= 100, de donde queda que 2ab= 36, por lo que el ´area del tri´angulo, que es ab/2, es de 9.
26. Se le dan 5 cajas, 5 bolas negras y 5 bolas blancas. Usted elige c´omo colocar las bolas en las cajas (cada caja debe contener al menos una bola). Su oponente viene y toma una bola de la caja de su escogencia y gana si obtiene una bola blanca, y usted gana si saca una bola negra. ¿C´omo debe usted colocar las bolas en las cajas de manera que usted tenga la mayor probabilidad de ganar?
(A) Una bola blanca y una negra en cada caja.
(B) Las bolas negras en 3 cajas, y las bolas blancas en dos cajas. (C) Las bolas negras en 4 cajas, y las bolas blancas en una caja.
(D) Una bola negra en cada caja, y coloca todas las bolas blancas en una de las cajas. (E) Una bola blanca en cada caja, y coloca todas las bolas negras en una de las cajas. R/ La idea es tener el mayor n´umero de cajas solo con bolas negras. Pero da lo mismo tener en una caja solo una o m´as bolas negras, si no hay bolas blancas. As´ı, se coloca una bola negra en cada una de las cajas, y se colocan todas las bolas blancas en solo una de las cajas. As´ı la probabilidad de ganar estar´ıa dada por el hecho de que escoja una caja donde solo hay una bola negra, o que escoja la otra caja y escoja la ´unica bola negra:
La probabilidad de perder estar´ıa dada por 1/6.
27. Se escriben nueve enteros en las casillas de una tabla 3×3. La suma de los nueve n´umeros es igual a 500. Se sabe que los n´umeros de cualesquiera dos casillas vecinas (aquellas que tienen un lado en com´un) difieren en 1. ¿Cu´al es el n´umero de la casilla central?
(A) 50 (B) 54 (C) 55 (D) 56 (E) 57
R/ Sea n el n´umero que est´a en la casilla central. Entonces se tiene el siguiente arreglo:
n
n±1 n±1
n±1 n±1
n
n±2
n
n±2 n
n±2
n
n±2
Se puede observar que sines impar, entonces las casillas de las esquinas ser´ıan tambi´en impares, teniendo 5 n´umeros impares y 4 pares, cuya suma no podr´ıa ser 500. Por lo quen debe ser un n´umero par. Adem´as, al sumar todas las casillas nos da 9n±k = 500, donde k es a lo sumo 12. As´ı, debemos buscar un n´umero que sea m´ultiplo de 9 y par que est´e entre 488 y 512, y la ´
unica posibilidad es 504, por lo quen = 56.
28. Si|x|+x+y= 5 y x+|y| −y = 10, ¿cu´al es el valor de x+y?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
R/Supongamos que y≥0, entonces de la segunda ecuaci´on se tiene quex= 10. Sustituyendo el valor en la primera, nos queda que y = −15, lo cual contradice la suposici´on, por lo que
y <0. Supongamos ahora que x≤ 0, de la primera ecuaci´on nos quedar´ıa que y= 5, pero ya concluimos que y <0, por lo que x >0. As´ı se tiene que 2x+y = 5 y x−2y= 10, de donde
x+y = 1.
29. ¿Cu´antos enteros positivos abc existen, tales que (a+b)c
es un entero de tres d´ıgitos que es potencia de 2?
(A) 15 (B) 16 (C) 18 (D) 20 (E) 21
R/Para que sea potencia de 2, entoncesa+bdebe ser potencia de 2. Recuerde que a6= 0, por ser el d´ıgito inicial del n´umero abc. As´ıa+b = 2 (dos posibilidades para a, 1 y 2) y c podr´ıa ser 7,8,9, as´ı que se tienen en total 6 posibilidades; a+b = 4, c = 4, por lo que se tienen 4 posibilidades; 8 posibilidades para a+b = 8, c = 3 y 3 posibilidades para a+b = 16, c = 2. En total se tienen 21 posibilidades.
sentadas juntas en una mesa redonda. Cada una de ellas dice: “De las dos personas que est´an a mi lado, una es una mentirosa, y la otra siempre dice la verdad.” A lo sumo, ¿cu´antas personas hay en la isla que siempre dicen la verdad?
(A) 1683 (B) 668 (C) 670 (D) 1344 (E) 1343