Matrices y sistemas de ecuaciones lineales. Matrices. Suma y producto de matrices. Tipos de matrices. Operaciones elementales sobre filas y columnas. Matriz reducida. Rango de una matriz. Inversas de matrices cuadradas. Determinante de matrices cuadradas.

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(1)

UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN

Enrique Guzmán y Valle

Alma Máter del Magisterio Nacional

FACULTAD DE CIENCIAS

Escuela Profesional de Matemática e Informática

Monografía

Examen de Suficiencia Profesional Res. N°0719-2019-D-FAC

Presentada por:

Liz Maribel Celis Magariño

Para optar al Título Profesional de Licenciado en Educación

Especialidad: Matemática e informática

(2)

Monografía

Designación de Jurado Resolución N°0719-2019-D-FAC

___________________________________ Dra. Dora Escolástica MESÍAS BORJA

Presidente

__________________________________

Mg. Aurelio Julián GÁMEZ TORRES

Secretario

________________________________

Lic. Herminia HUARINGA FLORES

Vocal

(3)

Dedicatoria

El presente trabajo lo dedico principalmente a Dios, por ser mi inspirador y darme fuerzas para

continuar.

A mi madre, por demostrarme siempre su cariño y dedicación durante todos estos años.

En especial agradezco a mi esposo por ser el pilar más importante, por brindarme su amor y su

apoyo incondicional.

A mis hijos por ser mi motor, que me ayudo alcanzar mis objetivos.

(4)

Índice de contenido

Carátula……….i

Hoja de firmas de jurado……….ii

Dedicatoria……….iii

Índice de contenido……….iv

Lista de figuras………..………vii

Introducción……….viii

CapítuloI:Aspectospreliminares... 10

1.1 Breve referencia histórica ... 10

1.2 Cuerpo ... 11

1.3 Espacio vectorial... 14

CapítuloII:Matrices ... 19

2.1. Matrices ... 19

2.2. Orden de una matriz ... 20

2.3. Igualdad de matrices ... 22

2.4. Clases de matrices ... 23

2.5. Matriz transpuesta ... 28

2.5.1. Matriz simétrica ... 28

2.5.2. Matriz antisimétrica ... 29

2.5.3. Matriz ortogonal ... 29

2.5.4. Matriz idempotente ... 30

(5)

2.6. Operaciones con matrices ... 31

2.6.1. Adición de matrices ... 31

2.6.2. Producto de un escalar por una matriz... 32

2.6.3. Producto de matrices ... 33

2.7. Operaciones elementales fila ... 36

2.8. Matriz escalonada ... 36

2.9. Matriz escalonada reducida………...……….….37

2.9.1. Matrices equivalentes ... 38

2.9.2. Rango de una matriz ... 38

2.10. Matriz inversa ... 40

2.10.1. Cálculo de la matriz inversa………..42

2.11. Determinante de una matriz cuadrada ... 48

CapítuloIII:Transformacioneslineales ... 56

3.1. Transformaciones lineales ... 56

3.2. Núcleo e imagen de una transformación lineal ... 58

3.3. Teorema fundamental de las transformaciones lineales ... 60

3.4. Clases de transformaciones lineales ... 60

3.5. Matriz asociada a una transformación lineal ... 61

CapítuloIV:Sistemasdeecuacioneslineales ... 62

4.1. Sistemas de ecuaciones lineales ... 62

4.1.1 Sistemas homogéneos ... 63

4.2. Solución de sistemas de ecuaciones lineales ... 64

4.2.1. Conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales ... 64

(6)

4.2.3. Métodos algebraicos ... 68

4.2.4. Sistemas equivalentes ... 70

4.2.5. Métodos matriciales ... 71

Síntesis ... 76

Conclusiones y sugerencias ... 78

Aplicación didáctica………..…80

Referencias ... 82

Apéndices. 83

A: Sesión aprendizaje. 83

B: Guía de práctica. 86

(7)

Lista de figuras

Figura 1. La cuaterna. 17

Figura 2. Verificación de axiomas propuestas. 18

Figura 3. Transformaciones lineales. 56

Figura 4. Sistema compatible determinado. 65

Figura 5. Sistema compatible indeterminado. 66

Figura 6. Sistema incompatible. 67

(8)

Introducción

La matemática es una disciplina fundamental en la vida de todos los seres humanos, por sus

diversas aplicaciones para solución de innumerables situaciones de la vida diaria; además

constituye el lenguaje universal de la ciencia.

El hombre a través de su existencia se vio rodeado de muchos problemas y que para

solucionarlos necesitó del uso de la matemática que le era comprensible.

El concepto de número y de las operaciones aritméticas facilitó la solución de diversos

problemas comerciales en la antigüedad; pero el hombre se encontró con un conjunto de

ecuaciones y que para solucionarlas tuvieron grandes dificultades porque las ecuaciones

lineales, cuadráticas, cúbicas, etc. no se escribían usando variables como lo hacemos ahora;

sino se escribían usando palabras y generaba mucha dificultad para resolverlos.

Una clase muy especial de ecuaciones creadas a partir se situaciones concretas son las

ecuaciones simultáneas o sistemas de ecuaciones de primer grado o segundo grado y cuya

solución no es sencilla para los estudiantes cuando son ecuaciones de tres o más incógnitas;

esto motivó a muchos matemáticos a crear objetos o herramientas para facilitar el proceso

solución; es así como Sylvester (1850) utiliza por primera vez el término “matriz”, Hamilton

(1853) realiza algunos otros aportes a esta teoría, aunque el trabajo de Cayley (1858) fue

fundamental al introducir la notación matricial para representar de manera abreviada un

sistema de 𝑚 ecuaciones lineales con 𝑛 incógnitas como ahora conocemos.

En matemática, una matriz es un arreglo bidimensional de números u objetos

dispuestos en filas y columnas, que generalmente usamos para representar sistemas de

(9)

Asimismo, las matrices tienen diversas aplicaciones en diversos ámbitos del quehacer

humano, como en la economía (ventas, costos), en la ingeniería, en la biología, y muchas otras

áreas del conocimiento y del ámbito laboral.

En el desarrollo de la presente monografía se desarrolló en cuatro capítulos: el capítulo

I, se presenta los aspectos preliminares del tema; el capítulo II, desarrolla sobre matrices; el

capítulo III, explica sobre transformaciones lineales; el capítulo IV, trata sobre sistemas de

ecuaciones lineales.

Esperamos que la presente monografía sea de utilidad para los estudiantes en

(10)

Capítulo I: Aspectos preliminares

1.1. Breve referencia histórica

El origen de las matrices se encuentra ligado a los cuadrados mágicos, que fueron muy

famosos en las primeras civilizaciones; por ejemplo, en la cultura china hacia el año 650 a.C.

se conocían ya los cuadrados mágicos de 3x3. También hay evidencias que estas eran

reconocidas por los matemáticos árabes, quienes debieron aprender de los matemáticos y

astrónomos de la India, quienes a su vez pudieron haber tomado de los matemáticos chinos. Es

así como los primeros cuadrados mágicos de los que se tiene referencia son los de orden 5 y 6

que aparecen en Bagdad alrededor del año 983.

Por otro lado, también es larga la historia de su utilización en su resolución; así el

capítulo 7 del importante texto chino los “Nueve capítulos” que data de los años 300 a.C.,

refiere el uso del concepto de determinante en la solución de sistemas de ecuaciones lineales

con dos incógnitas; como se ve con una anterioridad de dos mil años que fuera publicado por

el matemático Kowa (1683) y por Leibniz (1693).

Luego de estos estudios realizados por Kowa y Leibniz, Cramer (1750) presenta la que

actualmente se conoce como la Regla de Cramer; luego Gauss y Jordan desarrollaron en el

siglo XIX, el método de eliminación que conocemos, que facilitaron en gran medida la

(11)

En 1850, Sylvester introduce el término “matriz” para designar un arreglo rectangular

de números; en 1853, Hamilton utilizó las matrices, sin mencionarlas explícitamente, en su

artículo “Linear and vector functions”, como transformaciones lineales y analizó sus

propiedades.

En 1858, Cayley introdujo la notación matricial como una forma abreviada de escribir

𝒎 ecuaciones lineales con 𝒏 incógnitas, sentando las bases de la teoría de las matrices

mediante su exposición formal en el artículo “A memorie on the Theory of Matrices”, así

como el manejo de espacios de 𝑛 dimensiones.

También fueron importantes las contribuciones posteriores de Gibbs (1839-1903),

Peano (1858-1932), Hilbertn (1862-1943) y Banach (1892-1945), que permitieron pasar del

álgebra de las matrices al álgebra lineal. Grassmann, Frobenius y Neumann trabajaron

igualmente en la teoría de las matrices; Heisenberg (1925) aplica el cálculo matricial a la

mecánica cuántica, mientras que Olga Taussky-Todd (1906-1995) en el marco de la 2da guerra

mundial usa la teoría de las matrices para investigar el fenómeno de la aeroelasticidad llamado

fluttering.

Antes del desarrollo del tema central de la presente monografía, consideramos

necesario precisar los siguientes conceptos preliminares:

1.2. Cuerpo

Definición.-

Dado un conjunto 𝕂 ≠ ∅ provisto de dos leyes de composición interna " + " y " ⋅ ",

llamadas adición y multiplicación respectivamente; se dice que la terna (𝕂; +; ⋅) es un

(12)

A1. Asociativa: ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝕂: (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)

A2. Existe elemento neutro: ∃ 0 ∈ 𝕂 ; ∀𝑎 ∈ 𝕂/ 𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎

A3. Existe elemento simétrico: ∀𝑎 ∈ 𝕂 , ∃ (−𝑎) ∈ 𝕂/ 𝑎 + (−𝑎) = (−𝑎) + 𝑎 = 0

A4. Conmutativa: ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝕂: 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎

M1. Asociativa: ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝕂: (𝑎 ⋅ 𝑏) ⋅ 𝑐 = 𝑎 ⋅ (𝑏 ⋅ 𝑐)

M2. Existe elemento neutro: ∃ 1 ∈ 𝕂, ∀𝑎 ∈ 𝕂 / 𝑎 ⋅ 1 = 1 ⋅ 𝑎 = 𝑎

M3. Existe elemento simétrico: ∀𝑎 ∈ 𝕂∗, ∃ 𝑎−1∈ 𝐾∗/ 𝑎. 𝑎−1 = 𝑎−1. 𝑎 = 1

Es decir, la terna (𝕂, +, ) es un cuerpo si:

i. (𝕂, +) es un grupo conmutativo o grupo abeliano,

ii. (𝕂, ) es un grupo.

iii. Además, la multiplicación es distributiva respecto a la adición:

∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐾: 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎 ⋅ 𝑏 + 𝑎 ⋅ 𝑐

∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐾: (𝑎 + 𝑏) ⋅ 𝑐 = 𝑎 ⋅ 𝑐 + 𝑏 ⋅ 𝑐

Si además, 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑏 ⋅ 𝑎 , ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝕂; (conmutatividad de (𝕂, ) ); entonces, se dice que el cuerpo (𝕂; +; ⋅) es conmutativo.

Ejemplos:

1. El conjunto de los números racionales provisto de leyes de adición y multiplicación

usuales, (ℚ, +, ⋅), es un cuerpo conmutativo con unidad.

(13)

Para la adición de números racionales:

A1: ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℚ: (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)

A2: ∃ 0 ∈ ℚ ; ∀𝑎 ∈ ℚ/ 𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎

A3: ∀𝑎 ∈ ℚ , ∃ (−𝑎) ∈ ℚ/ 𝑎 + (−𝑎) = (−𝑎) + 𝑎 = 0

A4: ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℚ, 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎

Para la multiplicación de números racionales:

M1: ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℚ: (𝑎 ⋅ 𝑏) ⋅ 𝑐 = 𝑎 ⋅ (𝑏 ⋅ 𝑐)

M2: ∃ 1 ∈ ℚ, ∀𝑎 ∈ ℚ / 𝑎 ⋅ 1 = 1 ⋅ 𝑎 = 𝑎

M3: ∀𝑎 ∈ (ℚ − {0}), ∃ 𝑎−1 ∈ (ℚ − {0}), /𝑎. 𝑎−1 = 𝑎−1. 𝑎 = 1

D: ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℚ: 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎 ⋅ 𝑏 + 𝑎 ⋅ 𝑐

∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℚ: (𝑎 + 𝑏) ⋅ 𝑐 = 𝑎 ⋅ 𝑐 + 𝑏 ⋅ 𝑐

Como además la multiplicación de números reales es conmutativa, es decir:

𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑏 ⋅ 𝑎; ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℚ

El conjunto de los números racionales con las operaciones de adición y

multiplicación usuales, (ℚ, +, ⋅) es un cuerpo conmutativo.

2. De igual manera, los números reales con las operaciones de adición y multiplicación

usuales, (ℝ, +, ⋅), es un cuerpo conmutativo con unidad, puesto que se cumplen las siguientes

(14)

Para la adición de números reales:

A1: ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ: (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)

A2: ∃ 0 ∈ ℝ ; ∀𝑎 ∈ ℝ/ 𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎

A3: ∀𝑎 ∈ ℝ , ∃ (−𝑎) ∈ ℝ/ 𝑎 + (−𝑎) = (−𝑎) + 𝑎 = 0

A4: ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎

Para la multiplicación de números reales:

M1: ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ: (𝑎 ⋅ 𝑏) ⋅ 𝑐 = 𝑎 ⋅ (𝑏 ⋅ 𝑐)

M2: ∃ 1 ∈ ℝ, ∀𝑎 ∈ ℚ / 𝑎 ⋅ 1 = 1 ⋅ 𝑎 = 𝑎

M3: ∀𝑎 ∈ (ℝ − {0}), ∃𝑎−1 ∈ (ℝ − {0}), /𝑎. 𝑎−1 = 𝑎−1. 𝑎 = 1

D: ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ: 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎 ⋅ 𝑏 + 𝑎 ⋅ 𝑐

∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ: (𝑎 + 𝑏) ⋅ 𝑐 = 𝑎 ⋅ 𝑐 + 𝑏 ⋅ 𝑐

Como además la multiplicación de números reales es conmutativa:

𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑏 ⋅ 𝑎 ; ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ.

El conjunto de los números reales provisto de la adición y multiplicación usuales,

(ℝ, +, ⋅), es un cuerpo conmutativo.

1.3. Espacio vectorial

Definición.-

Sea 𝕍 un conjunto no vacío, 𝕂 un cuerpo, " + " unaley de composición interna

llamada “adición de vectores” y " ⋅ " una ley de composiciónexterna llamada “producto por

(15)

La cuaterna (𝕍; +; 𝕂; ⋅) es un espacio vectorial si se cumplen los siguientes axiomas:

Axiomas de la adición de vectores

+: 𝕍𝑥𝕍 ⟶ 𝕍

𝑥 ∈ 𝕍 ∧ 𝑦 ∈ 𝕍 ⟹ 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝕍

Es decir, la suma de dos elementos arbitrarios de 𝕍, es otro elemento de 𝕍.

(𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧) ∈ 𝕍; ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝕍

El elemento neutro de la adición en 𝕍 se denota con 𝜃 y se denomina vector nulo.

∀ 𝑥 ∈ 𝕍, ∃ 𝜃 𝕍/ 𝑥 + 𝜃 = 𝜃 + 𝑥 = 𝑥

∀ 𝑥 ∈ 𝕍, ∃ − 𝑥 ∈ 𝕍/

𝑥 + (−𝑥) = (−𝑥) + 𝑥 = 𝜃

Ev5. La adición es conmutativa en 𝕍.

(16)

Axiomas del producto por un escalar

∙ : 𝕂 𝑥 𝕍 ⟶ 𝕍

Es decir, dados 𝛼 ∈ 𝕂 ∧ 𝑥 ∈ 𝕍 entonces, 𝛼 ∙ 𝑥 ∈ 𝕍, llamado producto escalar.

O sea: 𝛼 ∈ 𝕂 ∧ 𝑥 ∈ 𝕍 ⟹ 𝛼 ∙ 𝑥 ∈ 𝕍

Ev7. El producto por un escalar satisface la asociatividad mixta:

∀ 𝛼 ∈ 𝕂, ∀ 𝛽 ∈ 𝕂, ∀ 𝑥 ∈ 𝕍:𝛼 ∙ (𝛽 ∙ 𝑥) = (𝛼 ∙ 𝛽) ∙ 𝑥

∀ 𝛼 ∈ 𝕂, ∀ 𝛽 ∈ 𝕂, ∀ 𝑥 ∈ 𝕍: (𝛼 + 𝛽) ∙ 𝑥 = 𝛼 ∙ 𝑥 + 𝛽 ∙ 𝑥

∀ 𝛼 ∈ 𝕂, ∀ 𝑥 ∈ 𝕍, ∀ 𝑦 ∈ 𝕍: 𝛼 ∙ (𝑥 + 𝑦) = 𝛼 ∙ 𝑥 + 𝛼 ∙ 𝑦

∀𝑥 ∈ 𝕍: 1 ⋅ 𝑥 = 𝑥

Observación:

Los axiomas Ev1, Ev2, Ev3, Ev4 y Ev5 caracterizan a (𝕍, +) como un grupo abeliano;

mientras que los axiomas Ev6, Ev7, Ev8, Ev9 y Ev10 corresponden a una ley de composición

(17)

Definición.-Dados 𝑥, 𝑦 ∈ 𝕍, llamamos diferencia de los vectores 𝑥 e 𝑦 a:

𝑥 − 𝑦 = 𝑥 + (−𝑦).

Ejemplos:

1. El conjunto ℝ2 con la adición y producto por un escalar definidos como:

𝑥 + 𝑦 = (𝑥1; 𝑥2) + (𝑦1; 𝑦2) = (𝑥1+ 𝑦1; 𝑥2 + 𝑦2)

𝜆𝑥 = 𝜆(𝑥1; 𝑥2) = (𝜆𝑥1, 𝜆𝑥2)

Es un espacio vectorial definido sobre el conjunto de los números reales; donde

𝑥 = (𝑥1; 𝑥2) ∈ ℝ2, 𝑦 = (𝑦

1; 𝑦2) ∈ ℝ2 y 𝜆 ∈ ℝ, pues se verifican los axiomas propuestos.

Es decir, la cuaterna (ℝ2, +, ℝ, .) es un espacio vectorial.

Figura 1. La cuaterna.

2. El conjunto ℝ3 con la adición y producto por un escalar definidos como:

𝑥 + 𝑦 = (𝑥1; 𝑥2; 𝑥3) + (𝑦1; 𝑦2; 𝑦3) = (𝑥1+ 𝑦1; 𝑥2+ 𝑦2; 𝑥3 + 𝑦3)

𝜆𝑥 = 𝜆(𝑥1; 𝑥2; 𝑥3) = (𝜆𝑥1; 𝜆𝑥2; 𝜆𝑥3)

0

Y

(-3;2)

2

X

5

4 -3

(4;5)

(18)

Donde 𝑥 = (𝑥1; 𝑥2; 𝑥3 ) ∈ ℝ𝑛, 𝑦 = (𝑦1; 𝑦2; 𝑦3) ∈ ℝ𝑛 y 𝜆 ∈ ℝ, es un espacio vectorial,

pues se verifican los axiomas propuestos.

Figura 2. Verificación de axiomas propuestas.

3. En general, el conjunto ℝ𝑛 con la adición y producto por un escalar definidos a

continuación es un espacio vectorial sobre el conjunto de los números reales:

𝑥 + 𝑦 = (𝑥1+ 𝑦1+ 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑥3+ 𝑦3+ ⋯ + 𝑥𝑛+ 𝑦𝑛)

𝜆𝑥 = (𝜆𝑥1, 𝜆𝑥2, 𝜆𝑥3, … , 𝜆𝑥𝑛)

Donde 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛) ∈ ℝ𝑛, 𝑦 = (𝑦

1, 𝑦2, 𝑦3, … , 𝑦𝑛) ∈ ℝ𝑛 y 𝜆 ∈ ℝ, pues se

verifican los axiomas propuestos.

4. Otros espacios vectoriales son el conjunto de los polinomios, el conjunto de partes de un

conjunto, el de funciones reales, entre otros.

5. El conjunto de las matrices de 𝑚 filas y 𝑛 columnas que denotamos como ℝ𝑚𝑥𝑛, con

componentes reales, con las operaciones de adición y producto por escalares (números

reales) es un espacio vectorial. 𝑋

𝑍

(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 )

(19)

Capítulo II: Matrices

2.1. Matrices

Definición.-

Dado un cuerpo 𝕂 , llamamos matriz definida sobre el cuerpo 𝕂, a todo arreglo

rectangular (en filas y columnas) de elementos de 𝕂.

Es decir, una matriz definida sobre el cuerpo 𝕂, es de la forma:

M =

[

𝑎11 𝑎12 ... 𝑎1n

𝑎21 𝑎22 ... 𝑎2n

… … ... . .. 𝑎i1 𝑎i2 ... 𝑎i2

. .. … ... . .. 𝑎m1 𝑎m2 ... 𝑎mn]

Donde cada uno de los elementos 𝑎ij ∈𝕂.

Ejemplos:

1. 𝐴 = [ 1 1 2⁄

3 5⁄ −3] es una matriz definida sobre el cuerpo de los números racionales.

2. 𝐵 = (

0 −1

√2 1

5 −2

) es una matriz definida en el cuerpo de los números reales.

3. C = [1 1 𝑖

(20)

Notación:

- Generalmente las matrices se representan con letras mayúsculas A, B, C, ..., mientras que

sus componentes se denotan con letras minúsculas como 𝑎ij, 𝑏ij,𝑐ij... encerrados entre

paréntesis o corchetes

- El primer subíndice de cada componente indica la fila en la que está ubicada el

componente y el segundo subíndice indica la columna correspondiente; así, el elemento

𝑎32 ocupa la tercera fila y la segunda columna.

- En forma general, el elemento 𝑎ij está ubicado en la i-ésima fila y la j-ésima columna.

Ejemplo:

Si A = (

1 3 5 8

2 −1 4 −3

6 0 7 9

)

- El componente 𝑎34= 9 y está ubicado en la tercera fila y la cuarta columna.

- El elemento 𝑎12 = 3, corresponde al componente ubicado en la primera fila y segunda

columna

- Mientras que 𝑎23= 4.

Notación:

Las matrices se denotan por: 𝐴mxn = [𝑎ij]𝑚𝑥𝑛o 𝐴mxn = (𝑎ij)

Donde i = 1, 2, …, m , j = 1,2,…,n.

2.2. Orden de una matriz

Llamamos orden de una matriz al producto indicado del número de filas por el número de

(21)

Ejemplos:

1. La matriz 𝐴 = [ 1 1 2⁄

3 5⁄ −3] que tiene dos filas y dos columnas se dice que es de

orden 2x2 o simplemente de orden 2.

2. La matriz 𝐵 = (

0 −1

√2 1

5 −2

) tiene tres filas y dos columnas, por lo tanto se dice que es

de orden 3x2.

3. La matriz C = [1 1 𝑖

2 1 −3i] es de orden 2x3, pues tiene 2 filas y 3 columnas.

4. La matriz M =

[

𝑎11 𝑎12 ... 𝑎1n 𝑎21 𝑎22 ... 𝑎2n … … ... . .. 𝑎i1 𝑎i2 ... 𝑎i2

. .. … ... . .. 𝑎m1 𝑎m2 ... 𝑎mn]

tiene m filas y n columnas, por lo tanto es de

orden mxn (m por n).

Observación:

Ejemplo:

La matriz 𝐴 = [1 4 8

3 5 7]es una matriz de orden 2x3 definida sobre el cuerpo de los

(22)

2.3. Igualdad de matrices

Ejemplos:

1. Las siguientes matrices𝐴 y 𝐵 de orden 3x3 son iguales.

𝐴 = [

−3 4 2

6 −7 8

5 1 0

], 𝐵 = [

−3 4 2

6 −7 8

5 1 0

]

Pues:

𝑎11 = 𝑏11 = −3 𝑎12= 𝑏12= 4 𝑎13= 𝑏13 = 2

𝑎21= 𝑏21 = 6 𝑎22= 𝑏22= −7 𝑎23= 𝑏23= 8

𝑎31= 𝑏31 = 5 𝑎32= 𝑏32= 1 𝑎33= 𝑏33= 0

2. Si las matrices A y B son iguales hallar los valores de 𝑥 e 𝑦.

𝐴 = [1 𝑥 + 1

2𝑦 5 ] ; 𝐵 = [

1 −3

4 5 ]

𝑥 + 1 = −3 ⟹ 𝑥 = −4

(23)

2.4. Clases de matrices

a. Matriz fila

b. Matriz columna

c. Matriz rectangular

La matriz de orden 𝑚𝑥𝑛, con 𝑚 ≠ 𝑛 se denomina matriz rectangular. Es decir, una matriz

rectangular, es de la forma:

A =

[

𝑎11 𝑎12 ... 𝑎1n

𝑎21 𝑎22 ... 𝑎2n

… … ... . .. 𝑎i1 𝑎i2 ... 𝑎i2 . .. … ... . .. 𝑎m1 𝑎m2 ... 𝑎mn]

Ejemplo:

La matriz 𝐴 = [1 1 5

2 6 9] es una matriz rectangular de orden 2x3.

d. Matriz cuadrada

La matriz 𝐴 se llama cuadrada, si tiene el mismo número de filas que columnas. Es decir,

(24)

A =

[

𝑎11 𝑎12 ... 𝑎1n

𝑎21 𝑎22 ... 𝑎2n

… … ... . .. 𝑎i1 𝑎i2 ... 𝑎i2 . .. … ... . .. 𝑎n1 𝑎n2 ... 𝑎nn]

La matriz tiene n filas y n columnas; en este caso en lugar de decir que la matriz es de

orden 𝑛𝑥𝑛, se pude decir simplemente que la matriz es de orden 𝑛.

Ejemplos:

Las matrices 𝐴 = ( 1 0

−2 3)2𝑥2 y 𝐵 = (

1 −1 2

0 3 4

−2 1 0

)

3𝑥3

son cuadradas.

Observación:

Ejemplo:

1. La traza de la matriz 𝐴 = ( 1 0

−2 3)2𝑥2 es Tr(A)=1+3=4

2. La traza de la matriz 𝐵 = (

2 −1 2

0 3 4

−2 1 −4

)

3𝑥3

(25)

Observación:

Al conjunto de las matrices de orden 2𝑥2 representamos por 𝑀2, al conjunto de las

matrices de orden 3𝑥3 representamos por 𝑀3, y en general, al conjunto de matrices de orden

𝑛𝑥𝑛 representamos por 𝑀n.

Ejemplo:

Si 𝐴 ∈ 𝑀2 ⇒ A= [

𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22]

Si 𝐴 𝑀3 ⇒ A=[

𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23

𝑎31 𝑎32 𝑎33

]

Si 𝐴 𝑀𝑛 ⇒ A=

[

𝑎11 𝑎12 ... 𝑎1n

𝑎21 𝑎22 ... 𝑎2n

. . ... .

. . ... .

. . ... .

𝑎n1 𝑎n2 ... 𝑎nn]

e. Matriz nula

Decimos que una matriz es nula si todos sus componentes son ceros; es decir es de la

forma:

A =

[

0 0 ... 0

0 0 ... 0

. . ... . . . ... . . . ... .

0 0 ... 0]

Ejemplos:

1. 𝐴 = [0 0

0 0] es una matriz de orden 2𝑥2.

2. 𝐵 = (0 0 0

(26)

f. Matriz diagonal

Una matriz cuadrada cuyos componentes son 𝑎ij = 0; para 𝑖 ≠ 𝑗 se llama matriz

diagonal; es decir, una matriz diagonal es de la forma:

A=

[

𝑎11 0 0 0 … 0 0

0 𝑎22 0 0 … 0 0

0 0 𝑎33 0 … 0 0

0 0 … … … 0 0

… 0 … … … 0 …

… … … 0

0 0 0 0 … 0 𝑎nn]

= diagonal(𝑎11,𝑎22,..., 𝑎nn)

Ejemplos:

1. En M4, 𝐴4= [

2 0 0 0

0 0 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 5

] es una matriz diagonal.

2. En M5, 𝐴5 =

[

8 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 2 0 0

0 0 0 5 0

0 0 0 0 3]

es una matriz diagonal.

g. Matriz identidad

Conocida también como matriz unitaria que se representa como 𝐼𝑛, es una matriz diagonal

en la que 𝑎ij= 0 para todo 𝑖 ≠ 𝑗 , y, 𝑎ii = 1 para todo 𝑖.

𝐼𝑛 =

[

1 0 0 … … … 0

0 1 0 … … … 0

0 0 1 … … … 0

… … … 1 … … …

… … … … 1 … …

… … … …

0 0 0 … … … 1 ]

Ejemplos:

(27)

𝐼2 = [1 0

0 1] 𝐼3 = [

1 0 0 0 1 0 0 0 1

] 𝐼4 = [

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

]

h. Matriz escalar

Si E es una matriz diagonal donde 𝑎11 = 𝑎22 =...= 𝑎nn = 𝑘, entonces se dice que E es

una matriz escalar. Es decir, una matriz escalar es una matriz cuadrada de la forma E =

𝑘𝐼𝑛, para cualquier constante 𝑘.

Ejemplo:

La matriz 𝐸 = [

2 0 0 0

0 2 0 0

0 0 2 0

0 0 0 2

] en la que 𝐸 = 2𝐼, es una matriz escalar.

i. Matriz triangular

a) Una matriz cuadrada 𝐴𝑛 , cuyos elementos 𝑎ij= 0, para 𝑖 > 𝑗, se denomina matriz

triangular superior.

𝐴4 = [

𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14

0 𝑎22 𝑎23 𝑎24

0 0 𝑎33 𝑎34

0 0 0 𝑎44

]

b) Una matriz cuadrada 𝐴𝑛 cuyos elementos 𝑎ij = 0 para 𝑖 < 𝑗, se denomina matriz

triangular inferior.

𝐴4 = [

𝑎11 0 0 0

𝑎21 𝑎22 0 0

𝑎31 𝑎32 𝑎33 0

𝑎41 𝑎 𝑎43 𝑎44

(28)

2.5. Matriz transpuesta

Ejemplos:

1. La transpuesta de la matrizA = [

3 1

−2 0

4 −5

]

3𝑥2

es𝐴𝑡 = [3 −2 4

1 0 −5]2𝑥3

2. En general, si A =

[

𝑎11 𝑎12 ... 𝑎1𝑛

𝑎21 𝑎22 ... 𝑎2𝑛

… … ... …

… … ... …

… … ... …

𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ... 𝑎mn]

⇒ 𝐴𝑡 =

[

𝑎11 𝑎21 ... 𝑎𝑚1

𝑎12 𝑎22 ... 𝑎𝑚2

… … ... …

… … ... …

… … ... …

𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 ... 𝑎mn]

Propiedades de la matriz transpuesta:

T.1 : 𝐼𝑡=I

T.2: (𝐴𝑡)𝑡= 𝐴

T.3: (𝑘𝐴)𝑡=kA𝑡, k es un escalar

T.4: (A+B)𝑡=A𝑡+B𝑡

T.5: (AB)𝑡= 𝐵𝑡𝐴𝑡

2.5.1 Matriz simétrica

Una matriz cuadrada A, se denomina matriz simétrica si es igual a su transpuesta. Es

decir, A es simétrica, si y solo si: A=A𝑡

.

(29)

Si, A=[

1 0 1

0 2 4

1 4 3

] 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴𝑡 = [

1 0 1

0 2 4

1 4 3

] = 𝐴

Como 𝐴𝑡=A entonces la matriz 𝐴 es simétrica.

2.5.2 Matriz antisimétrica

Una matriz cuadrada 𝐴 decimos que es una matriz antisimétrica, sii: 𝐴 = −𝐴𝑡

Ejemplo:

Si 𝐴 = [0 −1 1 0 ]⇒ 𝐴

𝑡= [ 0 1

−1 0] = − [

0 −1

1 0 ] = −𝐴

Puesto que 𝐴 = −𝐴𝑡 , entonces 𝐴 es una matriz antisimétrica.

Observación:

Para que una matriz 𝐴 sea antisimétrica se debe cumplir que: 𝑎ij = −𝑎ji para 𝑖 ≠ 𝑗

además los componentes de la diagonal principal deben ser ceros, es decir 𝑎ij = 0 para 𝑖 = 𝑗.

2.5.3 Matriz ortogonal

Una matriz cuadrada 𝐴 se llama ortogonal, si: 𝐴.𝐴𝑡 = 𝐴𝑡.𝐴 = 𝐼

Ejemplo:

La matriz 𝐴 = (sencos𝛼 −cos𝛼

𝛼 sen𝛼 ) es ortogonal.

Pues: 𝐴𝑡 = (sencos𝛼𝛼 sencos𝛼𝛼)

Y se verifica que: 𝐴.𝐴𝑡 = (sen𝛼 −cos𝛼

cos𝛼 sen𝛼 ).(

sen𝛼 cos𝛼 −cos𝛼 sen𝛼)

(30)

2.5.4 Matriz idempotente

Ejemplo:

La matriz 𝐴 = [

1 2 1 2 1 2 1 2

] es idempotente.

En efecto: [

1 2 1 2 1 2 1 2 ].[ 1 2 1 2 1 2 1 2 ]= [ 1 4+ 1 4 1 4+ 1 4 1 4+ 1 4 1 4+ 1 4 ]=[ 1 2 1 2 1 2 1 2 ]=𝐴

Como 𝐴2 = 𝐴 ⇒A es una matriz idempotente.

2.5.5 Matriz involutiva

La matriz cuadrada de orden 𝑛𝑥𝑛 se denomina involutiva si y solo si, su cuadrado es la

matriz identidad 𝐼𝑛; es decir:

𝐴𝑛 involutiva ⇔ 𝐴2 = 𝐼 𝑛

Ejemplo:

𝐴 = [−1 0

0 1] es una matriz involutiva, puesto que:

𝐴2 = [−1 0 0 1].[

−1 0 0 1]= [

1 + 0 0 + 0 0 + 0 0 + 1]=[

1 0

0 1]= 𝐼2 

AA

(31)

2.6. Operaciones con matrices

2.6.1 Adición de matrices

Definición.-

Dadas las matrices 𝑨 = [𝑎ij]𝑚𝑥𝑛 y 𝐵 = [𝑏ij]𝑚𝑥𝑛 , llamamossuma de las matrices 𝑨 y

𝐵, a la matrizC=[𝑐ij]mxn; si cada componente de la matriz 𝑪 es la suma de los componentes

respectivos de 𝐴 y 𝐵, es decir:

𝑐ij=aij+bij,∀ij

Por lo tanto:

A+B= [𝑎ij]𝑚𝑥𝑛 + [𝑏ij]𝑚𝑥𝑛 = [𝑎ij+bij]mxn=[𝑐ij]mxn = 𝐶

Ejemplo:

Dadas las matrices: 𝐴 = [

1 3 2

1 0 0

1 2 2

]

3𝑥3

y 𝐵 = [

1 0 5

7 5 0

2 1 1

]

3𝑥3

Calcular A+ B

[

1 3 2

1 0 0

1 2 2

] + [

1 0 5

7 5 0

2 1 1

]

A+B= [

1 + 1 3 + 0 2 + 5 1 + 7 0 + 5 0 + 0 1 + 2 2 + 1 2 + 1

] = [

2 3 7

8 5 0

3 3 3

]

3𝑥3

Observación:

La suma de las matrices 𝐴 y 𝐵 existe, si éstas son del mismo orden.

B

(32)

Propiedades:

Dadas las matrices 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ 𝑀𝑚𝑥𝑛, se cumple que:

1) 𝐴 + 𝐵 ∈ 𝑀𝑚𝑥𝑛

Es decir, la adición de matrices de orden 𝑚𝑥𝑛 es una ley de composición interna,

en otras palabras, la suma de dos matrices de orden 𝑚𝑥𝑛 es otra matriz de orden

𝑚𝑥𝑛.

2) A + (B + C) = (A + B) + C; es decir, la suma de matrices es asociativa.

3) ∀𝐴 ∈ 𝑀𝑚𝑥𝑛 ∃ 𝜃 ∈ 𝑀𝑚𝑥𝑛 𝐴 + 𝜃 = 𝜃 + 𝐴 = 𝐴, existencia del elemento neutro.

4) ∀𝐴 ∈ 𝑀𝑚𝑥𝑛 ∃(−𝐴) ∈ 𝑀𝑚𝑥𝑛 /(−𝐴) + (−𝐴) = (−𝐴) + 𝐴 = 𝜃.

Existencia del opuesto aditivo.

5) A + B = B + A. La adición de matrices de orden mxn es conmutativa:

Por lo que (𝑀𝑚𝑥𝑛; +) es un grupo abeliano.

2.6.2 Producto de un escalar por una matriz

Definición.-

Dada la matriz 𝐴 ∈ 𝑀𝑚𝑥𝑛:

𝐴 = (

𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛

⋮ ⋱ ⋮

𝑎𝑚1 ⋯ 𝑎𝑚𝑛) = (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛

El producto de la matriz A por un escalar k, que se denota k·A, k×A o simplemente kA

se define como:

𝑘. 𝐴 = (

𝑘𝑎11 ⋯ 𝑘𝑎1𝑛

⋮ ⋱ ⋮

𝑘𝑎𝑚1 ⋯ 𝑘𝑎𝑚𝑛

(33)

Ejemplo:

Dado la matriz A=(

2 0 1

3 0 0

5 1 1

) y el escalar k = 2; hallar el producto kA

En efecto,

2A=2(

2 0 1

3 0 0

5 1 1

) = (

4 0 2

6 0 0

10 2 2

)

Propiedades:

Dadas las matrices 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀𝑚𝑥𝑛, y los escalares 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ; entonces:

1) 𝛼 · (𝛽 · A) = (𝛼 · 𝛽) · A

2) 𝛼 · (A + B) = 𝛼 · A + 𝛼 · B

3) (𝛼 + 𝛽) · A = 𝛼 · A + 𝛽 · A

4) 1 · A = A

5) 0.A= 𝜃

2.6.3 Producto de matrices

Definición.-

El producto de las matrices 𝐴 por 𝐵, que se denota 𝐴𝑥𝐵 o simplemente 𝐴𝐵, es la

matriz 𝐶de orden 𝑚𝑥𝑝; es decir:

𝐶 = 𝐴 𝐵 = (𝑐𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑝

(34)

𝑐𝑖𝑗 = ∑𝑛𝑟=1𝑎𝑖𝑟𝑏𝑟𝑗 ; 𝑖 = 1, 2, … , 𝑚; ; 𝑗 = 1, 2, … , 𝑝

Es decir: C = A.B = (

𝑎11 … 𝑎1n

⋮ ⋱ ⋮

𝑎m1 ⋯ 𝑎mn

).(

𝑏11 … 𝑏1p

⋮ ⋱ ⋮

𝑏mn ⋯ 𝑏np

) =

Ejemplo:

Dadas las matrices A=(

2 0 1 3 0 0 5 1 1

) y B = (

1 0 1

1 2 1

1 1 0

)

Hallar el producto de A y B.

Solución:

A x B = (

2 0 1

3 0 0

5 1 1

).(

1 0 1

1 2 1

1 1 0

) = (

2 + 0 + 1 0 + 0 + 1 2 + 0 + 0 3 + 0 + 0 0 + 0 + 0 3 + 0 + 0 5 + 1 + 1 0 + 2 + 1 5 + 1 + 0 )

A x B = (

3 1 2

3 0 3

7 3 6

)

Propiedades

Dadas las matrices 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀𝑚𝑥𝑛, se cumplen las siguientes propiedades:

1. Asociativa: 𝐴𝑥 (𝐵𝑥𝐶) = (𝐴𝑥𝐵)𝑥𝐶

(35)

3. Distributiva del producto respecto a la adición:

A x (B + C) = A x B + A x C

(B + C)xA = BA + CA

4. k(A.B) = (kA)B= A(kB), donde k es un escalar.

Observaciones:

1. El producto de matrices no es conmutativo; es decir: AB ≠ BA.

Ejemplo:

𝐴𝑥𝐵 = (1 1 0 1) 𝑥 (

1 0 1 1) = (

2 1 1 1)

𝐵𝑥𝐴 = (1 0 1 1) 𝑥 (

1 1 0 1) = (

1 1

1 2)

Porlo tanto, se cumple:AB ≠ BA

2. No existe la división entre matrices lo que se define como 𝐴/𝐵 es el producto de la matriz

𝐴 por la matriz inversa de la matriz 𝐵; es decir, 𝐴𝐵 = 𝐴𝐵−1.

3. Cuando una matriz se divide por un escalar, cada componente de la matriz queda dividido

por dicho escalar; es decir:

𝐴 𝑘 =

𝑎𝑖𝑗 𝑘

Ejemplo:

Se la matriz 𝑨 = (𝟖 𝟔

𝟑 −𝟒) y 𝒌 = 𝟐;

𝑨 𝒌=

𝑨 𝟐= (

𝟒 𝟑

𝟑

(36)

2.7. Operaciones elementales fila

Dada una matriz 𝐴𝑚𝑥𝑛, se denomina operación elemental fila a algún de las siguientes

operaciones:

1. Intercambio de dos filas cualesquiera de 𝐴.

2. Producto de una fila 𝒊 de la matriz 𝐴 por un escalar diferente de cero ( λ ≠ 0).

3. Suma del producto de la fila 𝒊 de la matriz de 𝐴 por un escalar diferente de cero (λ ≠ 0), y

el producto de la fila 𝒋 de la matriz 𝐴 por otro escalar diferente de cero (δ ≠ 0).

Ejemplo:

Dada la matriz 𝐴 = [1 2 3

4 5 6], se pueden realizar las siguientes operaciones elementales

fila:

1. Intercambio de la primera y segunda fila, 𝐹12;

Obteniendo la matriz: [4 5 6

1 2 3]

2. A la fila 2 lo multiplicamos por (3) ⇒ 𝐹2(5) se obtiene

𝐹2(−10) = [ 1 2 3

20 25 30]

3. Multiplicamos por 3 la primera fila, y luego sumamos la segunda fila:

𝐹12(3) = [1 2 3 7 11 15]

2.8. Matriz escalonada

Una matriz 𝐴𝑚𝑥𝑛, se dice que está en forma escalonada, si:

1. El primer componente no nulo de cada una de las 𝒓 filas no nulas es 1.

2. Si existen 𝒔 filas cuyos elementos son ceros, éstas están en la parte inferior de la matriz.

(37)

de una fila a otra.

Es decir, una matriz escalonada es de la forma:

𝐴 =

[

1 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 . . . 𝑥

0 0 1 𝑒 𝑓 . . . 𝑦

0 0 0 0 1 . . . 𝑧

0 0 0 0 0 . . . 0

. . . .

. . . .

. . . .

0 0 0 0 0 . . . 0]

Ejemplos:

Son matrices escalonadas:

(

1 3 1 2

0 1 5 7

0 0 1 5

) , [

1 4 0

0 1 0

0 0 0

] , [

0 0 −1 5 0

0 0 0 4 0

0 0 0 0 1

]

2.9. Matriz escalonada reducida

Una matriz escalonada se denomina reducida si todas las columnas que tienen el

primer componente diferente de cero, de alguna fila, tienen ceros en todas las demás

posiciones.

Ejemplos:

Las siguientes matrices son escalonadas reducidas:

[

1 0 0 2

0 1 0 −3

0 0 1 −2

] , [

1 0 0

0 1 0

0 0 1

]

r filas no nulas

(38)

2.9.1 Matrices equivalentes

Se dice que dos matrices A y B son equivalentes si una de ellas se genera de la otra por

medio de una sucesión finita de operaciones elementales fila o columna.

Ejemplo:

Reducir la matriz A a la forma escalonada:

𝐴 = [

2 5 3

1 2 2

3 4 1

2 3 2

]

Solución:

[

2 5 3

1 2 2

3 4 1

2 3 2

] 𝐹12 [

1 2 2 2 5 3 3 4 1 2 3 2

] 𝐹12(−2)[

1 2 2

0 1 −1

3 4 1

2 3 2

] 𝐹13(−3) [

1 2 2

0 1 −1

0 −2 −5

2 3 2

]

𝐹14(−2) [

1 2 2

0 1 −1

0 −2 −5

0 −1 −2

] 𝐹24(1) [

1 2 2

0 1 −1

0 −2 −5

0 0 −3

] 𝐹23(2) [

1 2 2

0 1 −1

0 0 −7

0 0 −3

]

𝐹3(− 1 7⁄ ) [

1 2 2

0 1 −1

0 0 1

0 0 −3

] 𝐹34(3) [

1 2 2

0 1 −1

0 0 1

0 0 0

] = 𝐵

2.9.2 Rango de una matriz

Definición.-

El rango de una matriz A, es el número de filas o columnas de A que son linealmente

independientes; y se representa como 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴).

(39)

1. Una fila (o columna) es linealmente dependiente cuando se puede expresar como una

combinación lineal de otras filas (o columnas).

2. Una fila (o columna) es linealmente independiente si no es posible expresarla como

combinación lineal de otras filas y/o columnas.

Ejemplo:

Hallar el rango de la matriz A:

𝑨 =

[

0 2 −4

1 4 −5

3 1 7

0 1 −2

2 3 0 ]

Solución:

Realizando sucesivamente las transformaciones elementales tenemos:

A: 𝐹12

[

1 4 −5 0 2 −4

3 1 7

0 1 −2

2 3 0 ]

𝐹13(−3)

[

1 4 −5

0 2 −4

0 −11 22

0 1 −2

2 3 0 ]

𝐹15(−2)

[

1 4 −5

0 2 −4

0 −11 22

0 1 −2

0 −5 10]

𝐹2(1 2⁄ )

[

1 4 −5

0 1 −2

0 −11 22

0 1 −2

0 −5 10]

𝐹25(5)

[

1 4 −5

0 1 −2

0 0 0

0 1 −2

0 0 0 ]

𝐹14(−1)

[

1 4 −5 0 1 −2

0 0 0

0 0 0

0 0 0 ]

= 𝐵

Como la última matriz 𝐵 tiene dos filas no nulas:

𝑅𝑎𝑛𝑔(𝐵) = 𝑅𝑎𝑛𝑔(𝐴) = 2

Ejemplo:

(40)

Solución:

2.10. Matriz inversa

Definición.-

Una matriz cuadrada A de dimensión n x n se llama inversible, no singular o regularsi

existe una matriz cuadrada B de dimensión n x n tal que AB = BA = 𝐼𝑛 .

𝐼𝑛 es la matriz identidad de orden n y B se llama inversa de A y se denota por B = 𝐴−1.

Teorema:

La inversa de la matriz A es única.

Prueba:

Supongamos que la matriz 𝐴 tiene dos inversas: 𝐵 y 𝐶.

Entonces:

Multiplicando por 𝐶 estas ecuaciones se tiene:

(𝐴𝐵)𝐶 = 𝐼𝐶 = 𝐶

(𝐵𝐴)𝐶 = 𝐵(𝐴𝐶) = 𝐵𝐼 = 𝐵

De esta manera se tiene que 𝐵 = 𝐶.

(41)

Observaciones:

1. La inversa de la matriz 𝐴 se denota por 𝐴−1 y verifica la siguiente igualdad:

𝐴 ∙ 𝐴−1= 𝐴−1∙ 𝐴 = 𝐼

2. Las matrices que tienen inversa se denominan matrices regulares y las que no tienen se

llaman matrices singulares.

3. Una matriz cuadrada de orden 𝑛 es regular, si y solo si su rango es 𝑛.

Propiedades de la matriz inversa:

Sean 𝐴 y 𝐵 dos matrices inversibles de orden 𝑛, entonces se verifican las siguientes

propiedades:

1. Si existe, 𝐴−1 es única.

2. 𝐴.𝐴−1= 𝐴−1𝐴 = 𝐼

3. (𝐴−1)−1= 𝐴

4. Si AB=BA = I B= 𝐴−1

5. (AB)−1= 𝐵−1𝐴−1

6. (𝐴𝑡)−1= (𝐴−1)𝑡

7. El determinante de la matriz A es la inversa del determinante de su matriz

inversa:

(42)

2.10.1 Cálculo de la matriz inversa

El cálculo de la matriz inversa de una matriz regular se puede realizar de diferentes

maneras, entre ellas tenemos:

a. A través de la solución de un sistema de ecuaciones lineales

Calcular la matriz inversa de la matriz A = [3 −1

2 4 ]

Solución:

Sea 𝐴−1 = [𝑎 𝑏

𝑐 𝑑] la matriz inversa por calcular.

Entonces se tiene A.𝐴−1=I ,

De donde

𝐴 ∙ 𝐴−1=[3 −1

2 4 ] [

𝑎 𝑏

𝑐 𝑑]=[ 1 0 0 1]

Efectuando operaciones, se tiene: [3𝑎 − 𝑐 3𝑏 − 𝑑 2𝑎 + 4𝑐 2𝑏 + 4𝑑]=[

1 0 0 1]

Entonces:

3𝑎 − 𝑐 = 1 ,

3𝑏 − 𝑑 = 0

2𝑎 + 4𝑐 = 0

2𝑏 + 4𝑑 = 1

Al resolver el sistema se tiene: 𝑎 =2

7, 𝑏 = 1

14, 𝑐 = − 1 7, 𝑑 =

3 14

Luego, 𝐴−1 = [

(43)

b. Cálculo de la inversa de una matriz por el método de las operaciones

elementales

Conocido también como el método de Gauss-Jordan.

Dada una matriz cuadrada 𝐴 de orden 𝑛 ; para hallar su matriz inversa seguimos los

siguientes pasos:

Paso 1: Construimos la matriz ampliada 𝑀 = (𝐴|𝐼)

Paso 2: Utilizando el método de Gauss se transforma la matriz 𝐴 (de la izquierda)

en la matriz identidad 𝐼, y la matriz que quede en el lado derecho es la

matriz inversa 𝐴−1.

[𝐴|𝐼] → [𝐼|𝐴−1]

𝐴.𝐴−1= 𝐼 = 𝐴−1.𝐴

Ejemplo:

Sea la matriz 𝐴3𝑥3

𝐴 = (

3 4 5

2 3 1

3 5 −1 )

Entonces, la matriz ampliada con una matriz identidad de orden 3 es:

(

3 4 5 | 1 0 0

2 3 1 | 0 1 0

3 5 −1 | 0 0 1

)

Luego, a través de las operaciones elementales fila que están indicadas (método de

Gauss) transformamos la matriz 𝐴 que está a la izquierda en la matriz identidad, que

inicialmente se encuentra en el lado derecho. La matriz que resulte en el lado derecho será la

(44)

(

3 4 5 | 1 0 0

2 3 1 | 0 1 0

3 5 −1 | 0 0 1

) 𝐹1 𝐹2 (

1 1 4 | 1 −1 0

2 3 1 | 0 1 0

3 5 −1 | 0 0 1

) 𝐹2-2𝐹1

𝐹3-3𝐹1

(

1 1 4 | 1 −1 0

0 1 −7 | −2 3 0

0 2 −13 | −3 3 1

) 𝐹3-2𝐹2 (

1 1 4 | 1 −1 0

0 1 −7 | −2 3 0

0 0 1 | 1 −3 1

)

𝐹1- 4 𝐹3 (

1 1 0 | −3 11 −4

0 1 0 | 5 −18 7

0 0 1 | 1 −3 1

) 𝐹1 -𝐹2 (

1 0 0 | −8 29 −11

0 1 0 | 5 −18 7

0 0 1 | 1 −3 1

)

𝐹2+7𝐹3

Luego, la matriz inversa de 𝐴 es: 𝐴−1= (−85 2918711

1 −3 1

)

c. Cálculo de la inversa de una matriz aplicando la matriz adjunta

Definición.-

El menor complementario(𝑀ij) de un elemento de una matriz A de tercer orden, es

el determinante de una matriz cuadrada de segundo orden, que se obtiene

eliminando la fila 𝒊 y la columna 𝒋.

Al menor complementario de 𝒂ij se denota por 𝑀ij.

Ejemplo.-

Sea 𝐴 = [𝑎ij]3𝑥3=[

𝑎11 𝑎12 𝑎13

𝑎21 𝑎22 𝑎23

𝑎31 𝑎32 𝑎33]

Al menor complementario de 𝑎11 es 𝑀11 = |

(45)

El menor complementario de 𝑎12 es 𝑀12 = |𝑎𝑎21 𝑎23

31 𝑎33|

El número complementario de 𝑎13 es 𝑀13 = |

𝑎21 𝑎22

𝑎31 𝑎32|

Definición.-

El cofactor del elemento 𝑎ijde una matriz A se denota por 𝐴ijy está definida por:

𝐴ij = (−1)𝑖+𝑗𝑀IJ

Ejemplos:

1) Obtener los cofactores A13 y A21 del determinante D dado:

𝐷 = |

2 −1 3

4 5 2

6 −3 7 |

A13 está dado por:

De la misma forma

2) Consideremos la matriz A de tercer orden. 𝐴 = [

𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23

𝑎31 𝑎32 𝑎33

]

El cofactor de 𝑎11 es 𝐴11 = (−1)1+1𝑀11= 𝑀11

El cofactor de 𝑎12 es 𝐴12 = (−1)1+2𝑀12= -𝑀12

(46)

Definición.-

Dada la matriz 𝑨, se llama matriz adjunta de 𝑨 a la transpuesta de la de la matriz de

cofactores.

Es decir, si C(A)= (

𝐴11 𝐴12 𝐴13

𝐴21 𝐴22 𝐴23 𝐴31 𝐴32 𝐴33

) es la matriz de cofactores, entonces la matriz

adjunta de 𝑨 queda expresada como:

adj(A) = (𝐶𝐴)𝑡= 𝑎𝑑𝑗(𝐴) = (𝐶𝐴)𝑡 = (

𝐴11 𝐴21 𝐴31

𝐴12 𝐴22 𝐴32

𝐴13 𝐴23 𝐴33 )

Donde: 𝐴ij = (−1)𝑖+𝑗𝑀

ij , y el signo es (+) si 𝑖 + 𝑗 es par, y es (−) si 𝑖 + 𝑗 es

impar.

Ejemplo:

Dada la matriz 𝐴 = (

1 2 −1

0 −3 2

2 1 5

), hallar la matriz de cofactores y su matriz

adjunta.

Solución:

Los cofactores de los elementos de la matriz A son:

(47)

La matriz de cofactores es: 𝐶𝐴 = (

−17 4 6

−11 7 3

1 −2 −3

)

Luego, a partir de la transpuesta de la matriz de los cofactores se tiene la adjunta

de la matriz 𝐴:

𝑎𝑑𝑗(𝐴) = (

−17 −11 1

4 7 −2

6 3 −3

)

Consideremos una matriz cuadrada A, si |𝐴| ≠ 0, la inversa de la matriz A, se define

como:

𝐴−1= 1

|𝐴|adj(𝐴) = 1 |𝐴|(CA)

𝑡

Ejemplo:

Consideremos la matriz del ejemplo anterior

𝐴 = (

1 2 −1

0 −3 2

2 1 5

) , 𝑎𝑑𝑗(𝐴) = (

−17 −11 1

4 7 −2

6 3 −3

)

y el determinante de A:

|𝐴| = |

1 2 −1

0 −3 2

2 1 5

| = −15 + 8 + 0 − 6 − 0 − 2 = −15 ≠ 0

Por lo tanto |𝐴|= -15

Así, en base a la propiedad: 𝐴−1= 1

|𝐴|adj(𝐴)

Tenemos:

𝐴−1 = − 1

15(

−17 −11 1

4 7 −2

6 3 −3

(48)

𝐴−1=

(

17 15

11

15 −

1

15

− 4

15 −

7

15

2

15

− 6

15 −

3

15

3

15 )

2.11. Determinante de una matriz cuadrada

Definición.-

El determinante de una matriz 𝐴 de orden 𝑛𝑥𝑛, es una función de ℝnxnen ℝ, que se

denota como |𝐴| , det (𝐴) o 𝐷(𝐴). Es decir, el determinante de una matriz es un número real

y su cálculo depende del orden de la matriz cuadrada en particular.

a. Cálculo del determinante de una matriz cuadrada de orden 2

Ejemplo:

Si 𝐴 = [2 4

3 5]⇒ det (A) =|𝐴|= | 2 4

3 5|= 10 -12 = -2

b. Cálculo del determinante de una matriz de orden 3

El siguiente método, conocido como la regla de Sarrus, es una forma práctica de calcular

(49)

Dada la matriz 𝑀 de orden 3𝑥3:

𝑀 = (

𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33)

Seguimos los siguientes pasos:

1º Se vuelven a escribir las dos primeras columnas de la matriz a la derecha de la misma, de

tal modo que queden cinco columnas.

2º El determinante se calcula sumando los productos de las diagonales descendentes

(diagonales de izquierda a derecha) de los que restamos los productos de las diagonales

ascendentes (diagonales de derecha a izquierda).

|𝐴| = |

𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33

|

= 𝑎11𝑎22𝑎33+ 𝑎12𝑎23𝑎31+ 𝑎13𝑎21𝑎32− 𝑎31𝑎22𝑎13− 𝑎32𝑎23𝑎11− 𝑎33𝑎21𝑎12

Ejemplo:

Calcular el determinante de la matriz 𝐴 = (

2 4 5

−3 2 −1

1 1 2

)

Solución:

+ + +

(50)

|𝐴| = |

2 4 5

−3 2 −1

1 1 2

|

2 4

−3 2

1 1

= 8 + (−4) + (−15) − 10 − (−2) − (−24)

|𝐴| = 5

c. Cálculo de determinantes de cualquier orden

Método del pibote

Se aplica para hallar el determinante de una matriz de orden mayor que 3; y consiste en

obtener otro determinante a partir del determinante de la matriz 𝐴 (|𝐴|) aplicando de manera

repetitiva la propiedad de los determinantes que goce de la propiedad de que todos los

elementos de alguna o alguna columna son ceros (0) excepto uno, es decir:

|𝐴| = (−1)𝑖+𝑗𝑎

ij𝑀ij

Donde 𝑀ij es el menor complementario de 𝑎ij y el elemento 𝑎ij es el llamado elemento

pibote.

Ejemplos:

1. Hallar por el método del pibote el determinante de la matriz 𝐴:

𝐴 = (

4 1 3 2

−1 2 −3 4

−2 1 3 5

1 4 −3 6

(51)

Solución:

|𝐴| = |

4 1 3 2

−1 2 −3 4

−2 1 3 5

1 4 −3 6

| = |

0 1 0 0

−9 2 −9 0

−6 1 0 3

−15 4 −15 −2

|

𝑐1− 4𝑐2 𝑐3− 3𝑐2𝑐4− 2𝑐2

|

0 1 0 0

−9 2 −9 0

−6 1 0 3

−15 4 −15 −2

|= (−1)1+2 = −1|−9−6 −90 03

−15 −15 −2

|=− |

0 −9 0

−6 0 3

0 −15 −2

|

𝑐1− 𝑐2

= − |

0 −9 0

−6 0 3

0 −15 −2

| = −(−1)1+2(−9) |−6 3

0 −2| = - 9(12 - 0) = -108

2. Calculemos el determinante de la siguiente matriz triangular:

Desarrollando por cofactores de la primera columna,

(52)

Así que, el determinante de una matriz triangular es el producto de sus elementos

de la diagonal principal.

Propiedades de los determinantes

1. |𝐼𝑛| = 1

2. |𝐴𝑡|= |𝐴|

3. |AB| = |𝐴||𝐵|

4. |𝐴−1| = 1 |𝐴|

5. Si se intercambian 2 filas o 2 columnas el determinante cambia de signo.

6. Si una fila o columna se multiplica por una constante entonces el determinante

queda multiplicado por dicha constante.

|𝛼𝐴| = 𝛼|𝐴|

7. Si multiplicamos a una fila (columna) cualquiera por una constante y le sumamos

otra fila (o columna) el determinante no cambia.

8. Si a una fila o columna de la matriz tiene todos sus elementos nulos, el determinante

es cero.

9. Si dos filas o columnas son proporcionales, el determinante es cero.

10. Si 𝐴 = [𝑎ij]𝑛 es triangular, entonces el determinante es:

|𝐴| =𝑎11𝑎22𝑎33...𝑎nn

Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal

principal así lo vemos en el siguiente ejemplo.

|𝐴| = |

2 0 0

1 2 0

3 5 6

(53)

d. Aplicación de las propiedades fundamentales del determinante de una matriz

1) Si todos los elementos de una fila (o una columna) de una matriz 𝐴 son ceros,

entonces el determinante de 𝐴 es cero.

|𝐴| = |

−2 3 −1

1 2 3

0 0 0

| = 0

2) Si una matriz tiene dos filas o dos columnas iguales, su determinante es 0 (cero).

|𝐴| = |

1 5 4

3 2 3

1 5 4

| = 0

3) El valor de un determinante no varía si este se traspone, es decir, si se cambia cada

una de sus filas por la columna del mismo número.

|𝐴| = |

2 3 0

3 2 7

2 1 6

| = −2 y |𝐴𝑡| = |

2 3 0

3 2 1

0 7 6

| = −2

Luego, |𝐴| = |𝐴𝑡|

4) Dadas dos matrices cuadradas 𝐴 y 𝐵 de orden 𝑛:

- Si 𝐵 es la matriz que resulta de multiplicar una fila (o columna) de 𝐴 por un

escalar 𝑘, entonces:

[𝐵] = 𝑘[𝐴] Ejemplo:

Sean las matrices:

𝐴 = [

2 4 1

0 3 4

−1 7 8

] y 𝐵 =[

4 8 2

0 3 4

−1 7 8

] = 2 [

2 4 1

0 3 4

−1 7 8 ]

Entonces: |𝐵| = 2|𝐴|

(54)

entonces |𝐵| = −|𝐴|

𝐴 = [

1 −2 3

5 2 0

4 1 −2

] ⇒ |𝐴|= -4+15+ 0 –24 – 0 - 20 - 0 = -33

Intercambiando: 𝐹1 ⇔𝐹3 en A se obtiene una nueva matriz B

𝐵 = [

4 1 −2

5 2 0

1 −2 3

] ⇒ |𝐵|= 24+20 +0 +4 +0 -15 = 33

- Si una fila o columna de un determinante es la suma de filas multiplicadas por

escalares (es decir, es combinación lineal de otras dos), el determinante es cero.

(Esta propiedad se cumple gracias a las dos propiedades anteriores).

- Si los elementos de una fila de un determinante son iguales a la suma de 𝒑

términos, el determinante se puede expresar como la suma de 𝒑 determinantes:

|

2 1 2

𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑐 𝑎 + 𝑑

3 5 6

| = |

2 1 2

𝑎 𝑎 𝑎

3 5 6

| + |

2 1 2

𝑏 𝑐 𝑑

3 5 6

|

e. Cálculo del rango de una matriz por determinantes

El rango de la matriz es igual al orden de la mayor submatriz cuadrada no nula.

1ro. Procedemos a suprimir la tercera columna ya que es una combinación lineal de las

(55)

2do. Verificamos si su rango es 1. Para tal efecto se debe cumplir que por lo menos un

elemento de la matriz no sea 0 (cero), por lo tanto, su determinante no sea nulo.

|𝐴| = 2 ≠ 0

3ro.Su rango será 2, si existe alguna submatriz cuadrada de orden 2, tal que su

determinante no sea nulo.

|2 1

3 2| = 1 ≠ 0

4to. Su rango será 3, si existe alguna submatriz cuadrada de orden 3, tal que su

determinante no sea nulo.

|

2 1 2

3 2 1

−1 1 −7

| = 0 , |

2 1 2

3 2 1

3 −2 17

| = 0 , |

2 1 2

3 2 1

0 1 −1 | = 0

Las submatrices son nulos, rango no es 3; luego, el 𝑅𝑎𝑛𝑔(𝐵) = 2.

5to. Si tuviera rango 3 y existiera alguna submatriz de orden 4 cuyo determinante no sea

nulo, tendría rango 4.

Observaciones:

Se puede eliminar una fila en los siguientes casos:

- Si todos sus coeficientes son ceros.

- Si hay dos filas o columnas iguales.

- Si una fila o columna es múltiplo de otra.

(56)

Capítulo III: Transformaciones lineales

3.1. Transformaciones lineales

Definición.-

Sean (𝕍, +, 𝕂, ⋅) y (𝕎, +, 𝕂, ⋅) dos espacios vectoriales sobre el cuerpo 𝕂.

Una transformación lineal 𝑇 de 𝕍 en 𝕎 es una función que asigna a cada vector 𝑥 ∈

𝕍 un único vector 𝑇(𝑥) ∈ 𝕎 tal que; para cada 𝑥, 𝑦 ∈ 𝕍 y cada 𝛼 ∈ 𝕂:

i) 𝑇(𝑥 + 𝑦) = 𝑇(𝑥) + 𝑇(𝑦) …1

ii) 𝑇(𝛼𝑥) = 𝛼𝑇(𝑥) … .2

Figura 3. Transformaciones lineales.

𝑥 ⋅

𝑦 ⋅

𝑥 + 𝑦 ⋅

𝑥 − 𝑦 ⋅

⋅ 𝑇(𝑥)

⋅ 𝑇(𝑦)

𝑇(𝑥 + 𝑦) = 𝑇(𝑥) + 𝑇(𝑦)

(57)

De manera equivalente:

𝑇: 𝕍 → 𝕎 es una transformación lineal, si y solo si:

𝑇(𝛼𝑥 + 𝛽𝑦) = 𝛼𝑇(𝑥) + 𝛽𝑇(𝑦)

Para todo 𝛼,𝛽 ∈ 𝕂, y 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝕍.

Ejemplo:

Dados los espacios vectoriales ℝ3,+, ℝ, .) y (ℝ2,+, ℝ, .); la función 𝑇: ℝ3 →ℝ2

definida por 𝑇(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = (𝑥1− 𝑥3, 𝑥2− 𝑥3), es una transformación lineal, pues:

i) 𝑇[(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) + (𝑦1, 𝑦2, 𝑦3)] = 𝑇(𝑥1+ 𝑦1, 𝑥2+ 𝑦2; 𝑥3+ 𝑦3)

= (𝑥1+ 𝑦1− 𝑥3 − 𝑦3; 𝑥2+ 𝑦2− 𝑥3− 𝑦3)

Por otro lado, teniendo en cuenta la definición de 𝑇 y la suma en ℝ2:

𝑇(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) + 𝑇(𝑦1, 𝑦2, 𝑦3) = (𝑥1− 𝑥3, 𝑥2− 𝑥3) + (𝑦1− 𝑦3, 𝑦2− 𝑦3)

= (𝑥1− 𝑥3+ 𝑦1− 𝑦3; 𝑥2− 𝑥3+ 𝑦2− 𝑦3)

Por lo tanto, la imagen de la suma es igual a la suma de las imágenes.

ii) 𝑇[𝛼(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)] = 𝑇(𝛼𝑥1, 𝛼𝑥2, 𝛼𝑥3) = (𝛼𝑥1− 𝛼𝑥3, 𝛼𝑥2− 𝛼𝑥3)

= 𝛼(𝑥1 − 𝑥3, 𝑥2− 𝑥3) = 𝛼(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)

Por i) y ii), 𝑻 es una transformación lineal de ℝ𝟑 en ℝ𝟐.

Propiedades:

Sea la transformación lineal 𝑇: 𝕍 → 𝕎. Entonces, para todos los vectores

(58)

i) 𝑇(0) = 0

ii) 𝑇(𝑣1− 𝑣2) = 𝑇(𝑣1) − 𝑇(𝑣2)

iii) 𝑇(𝛼1𝑣1+ 𝛼2𝑣2+ 𝛼𝑛𝑣𝑛) = 𝛼1𝑇(𝑣1) + 𝛼2𝑇(𝑣2) + ⋯ + 𝛼𝑛𝑇(𝑣𝑛)

Probamos la propiedad ii):

𝑇(𝑣1− 𝑣2) = 𝑇[𝑣1+ (−1)𝑣2]

= 𝑇(𝑣1) + 𝑇[(−1)𝑣2]

= 𝑇(𝑣1) + (−1)𝑇(𝑣2)

= 𝑇(𝑣1) − 𝑇(𝑣2)

3.2. Núcleo e imagen de una transformación lineal

Definición.-

1) El núcleo de 𝑇 denotado por ker(𝑇) está definido por:

𝑘𝑒𝑟(𝑇) = {𝑣 ∈ 𝕍 / 𝑇(𝑣) = 0𝕎}

Es decir, el núcleo de una transformación lineal es el conjunto de vectores del dominio

cuya imagen es el vector nulo del codominio.

2) La imagen de 𝑇, denotado por 𝐼𝑚(𝑇), está dado por:

𝐼𝑚(𝑇) = {𝑤 ∈ 𝕎, ∃𝑣 ∈ 𝕍 / 𝑇(𝑣) = 𝑤}

Es decir, la imagen de una transformación lineal es el conjunto de todos los vectores

(59)

Observación:

𝑘𝑒𝑟(𝑇) ≠ 𝜙, pues como 𝑇(0) = 0, entonces, 0 ∈ 𝑘𝑒𝑟(𝑇),

Teorema.-

Si 𝑇: 𝕍 → 𝕎 es una transformación línea; entonces:

i) 𝑘𝑒𝑟 (𝑇) es un subespaciode𝕍.

ii)𝐼𝑚(𝑇) es un subespaciode𝕎.

Demostración:

i) 𝑘𝑒𝑟 (𝑇) es un subespaciode𝕍.

Es decir, el núcleo de toda transformación lineal es un subespacio vectorial del dominio:

En efecto:

1. 0𝕍 ∈ 𝑘𝑒𝑟 (𝑇) dado que 𝑇(0𝕍 ) = 0𝕎

2. Dados 𝑢, 𝑣 ∈ ker(𝑇) : 𝑇(𝑢 + 𝑣) = 𝑇(𝑢) + 𝑇(𝑣) = 0𝕎+ 0𝕎

⇒ 𝑢 + 𝑣 ∈ ker (𝑇)

3. Dados

𝑢 ∈ ker(𝑇) ∧ 𝑘 ∈ ℝ:𝑇(𝑘𝑢) = 𝑘𝑇(𝑢) ∧ 𝑇(𝑘𝑢) = 𝑘0𝕎 = 0𝕎

⇒ 𝑘𝑢 ∈ ker (𝑇)

ii) 𝐼𝑚(𝑇) es un subespaciode𝕎.

Es decir, la imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.

Sean 𝑤, 𝑥∈𝐼𝑚(𝑇).

Entonces, 𝑤 = 𝑇(𝑢) y 𝑥 = 𝑇(𝑣) para dos vectores 𝑢 y 𝑣 en 𝕍.

(60)

𝑇(𝑢 + 𝑣) = 𝑇(𝑢) + 𝑇(𝑣) = 𝑤 + 𝑥 y

𝑇(𝛼𝑢) = 𝛼𝑇(𝑢) = 𝛼𝑤

Por lo tanto, (𝑤 + 𝑥) ∈ 𝐼𝑚(𝑇) y 𝛼𝑤 ∈ 𝐼𝑚(𝑇).

Observación:

El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.

𝑅𝑎𝑛𝑔(𝑇) = dim (𝐼𝑚(𝑇))

3.3. Teorema fundamental de las transformaciones lineales

Sea B = {𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ,..., 𝑣𝑛 base de 𝕍 y C = {𝑤1 , 𝑤2 , 𝑤3 ,..., 𝑤𝑛 un conjunto de 𝑛

vectores de 𝕎 no necesariamente distintos, entonces existe una única transformación , lineal

𝑇: 𝕍 → 𝕎, tal que:

𝑇(𝑣1) = 𝑤𝑖; ∀ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛

3.4. Clases de transformaciones lineales

a. Monomorfismo

Si 𝑇: 𝕍 → 𝕎 es inyectiva, es decir, si el único elemento del núcleo es el vector

nulo; o, ker(𝑇) = 0𝕍

b. Epimorfismo

Si 𝑇: 𝕍 → 𝕎 es suryectiva (o sobreyectiva).

c. Isomorfismo

(61)

3.5. Matriz asociada a una transformación lineal

Sea 𝑇: ℝ𝒏 → ℝ𝒎 una transformación lineal; existe una matriz única 𝐴

𝑇 de orden 𝑚𝑥𝑛 tal

que:

𝑇(𝑥) = 𝐴𝑇(𝑥), para todo 𝒙 ∈ ℝ𝒏

Demostración:

Sea 𝑤1 = 𝑇(𝑒1), 𝑤2 = 𝑇(𝑒2), … , 𝑤𝑛 = 𝑇(𝑒𝑛)

Sea 𝐴𝑇 la matriz cuyas columnas son 𝑤1; 𝑤2; … ; 𝑤𝑛;

Y hagamos que𝐴𝑇 denote también a la transformación deℝ𝒏 → ℝ𝒎que multiplica un

vector en ℝ𝒏 por𝐴𝑇.

Si 𝑤𝑖 =

( 𝑎1𝑖 𝑎2𝑖 .. . 𝑎𝑚𝑖)

para𝑖 = 1, 2, … , 𝑛

Entonces: 𝐴𝑇𝑒𝑖 ==

(

𝑎11 𝑎12 ... 𝑎1n

𝑎21 𝑎22 ... 𝑎2n

… … ... . .. 𝑎i1 𝑎i2 ... 𝑎i2 . .. … ... . .. 𝑎m1 𝑎m2 ... 𝑎mn)

( 0 0 .. 1 0 … 𝑎𝑚𝑖) = ( 𝑎1𝑖 𝑎2𝑖 .. . 𝑎𝑚𝑖) = 𝑤𝑖

De esta forma, 𝐴𝑇𝑒𝑖 = 𝑤𝑖, para 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛.

La matriz 𝐴𝑇 se denomina matriz de transformación correspondiente a 𝑇 o

Figure

Figura 1. La cuaterna.

Figura 1.

La cuaterna. p.17
Figura 2. Verificación de axiomas propuestas.

Figura 2.

Verificación de axiomas propuestas. p.18
Figura 4. Sistema compatible determinado.

Figura 4.

Sistema compatible determinado. p.65
Figura 5. Sistema compatible indeterminado.

Figura 5.

Sistema compatible indeterminado. p.66
Figura 6. Sistema incompatible.

Figura 6.

Sistema incompatible. p.67
Figura 7. Sistema de ecuaciones lineales.

Figura 7.

Sistema de ecuaciones lineales. p.67