1. Si f(x)x2, halla:
a) La tasa de variación media en el intervalo
3,4 y en el intervalo
3,3'001
b) La derivada o tasa de variación instantánea en x3 y compárala con la TVM en
3,3'001
c) La función derivada f(x) o tasa de variación instantánea TVI(x)d) Representa la función y f(x) y la función y f(x) e interprétalas.
e) Halla la recta tangente a la curva y f(x) en x3 y represéntala junto con la curva. f) En qué punto de la gráfica y f(x) la recta tangente es paralela a la recta y x3.
g) En qué punto de la gráfica y f(x) la recta tangente es horizontal. ¿Cómo se llaman estos puntos?. h) Si el espacio recorrido por un móvil en función del tiempo es e(t)t2, ¿cuál es la velocidad media entre
3
t y t4?, ¿cuál es la velocidad cuando t 3?
2. (CCSS2) La emisión diaria de gases, en toneladas, en una fábrica viene dada por la expresión
t
t t
n 20 2
8 )
( con 0t5, estando t medido en horas. Calcula la variación instantánea de n(t) para 4
t horas, utilizando la definición de TVI.
3. (CCSS2) Halla la función derivada de ( )23
x x
f , utilizando la definición de derivada. 4. Estudia la continuidad y derivabilidad de f(x) x en x0
5. Prueba, utilizando la definición de derivada, que la función f(x)
1x
1x2 es derivable en x1 y no lo es en x1.6. Supón que g es una función continua en x0, pero no derivable, donde g(0)3. Sea f(x)xg(x). ¿Es f derivable en x0?
7. (CCSS2) Halla la función derivada de
4
1 2
3 )
(
x x x
x f
8. (CCSS2) Halla la función derivada de 6 3 5 7 4
5 3
) (
3 3
2
5
x x x x
x x f
9. (CCSS2) Halla la función derivada de
1
2 )(
x x x
f
10.(CCSS2) Halla la función derivada de
5 2 )
(
2
2x x
x e e
xe x
f
11.(CCSS2) Halla la función derivada de
x x
x x
f
ln 22 2 )
(
12.(CCSS2) Halla la función derivada de
3 ) 1 ( 2ln 1 3 )
(
x x x
x
f , utilizando el programa Derive 13.Halla la derivada de las funciones:
a) f(x)sen
x2e2x x
b) f(x) senx c) f(x)sen3
x2 x
d)
x x
x f
2 3 cos
1 )
( 3 2
14.Halla la derivada de las siguientes funciones:
15. Halla la derivada de las siguientes funciones en x4: a) f(x)log3
7x2
b) 32 2 5
) (
x x x
f c)
2 2
)
(x e sen2x2 x x
f x
16.Calcula f '(1) siendo 4
5 2
3
3 2
3 )
( e
x x x x
f
17.Halla la derivada de las siguientes funciones: a)
senx senx y
1 1
ln b) yln
x 1x2
c) yarccos( x) 1x d)2
x x e
e tg arc y
e) Demuestra que la derivada de la función:
x x tg
arc y
cos 1
cos 1
con 0 x es una constante 18. a) Sean f y g dos funciones derivables en R, tales que:
3 ) 1 ( ' ; 6 ) 0 ( ' ; 5 ) 0
( f f
f g(0)1; g'(0)4; g'(5)2 Prueba que f g y g f tienen la misma derivada en x0. b) Sea g(x)x2 1 y f(x) x10. Obtén
f g
'(x)c) Calcula h'(1) siendo h(x)
3u2(x)xu(x)
3 y u(1)2 , u'(1)5 19.Halla los puntos de derivada nula de la función siguiente: f(x)(3x2x2)ex20.La función y x24x, ¿tiene algún punto de derivada nula? ¿Y la función y 4xx2 ? 21. Calcula la derivada de orden n de las funciones:
a) f(x)eax b)
x x
f( ) 1 c) f(x)ln(1x) 22.Encuentra una función polinómica f(x) que cumpla:
4 ) 1 ( '
f , f ''(1)10 , f ' ''(1)12 y f n)(1)0 si n3
23.Demuestra que todas las derivadas de orden par de la función f(x)sen2x se anulan en el origen de coordenadas.
24. Comprueba en cada caso que f(x) verifica la ecuación indicada a) f(x)exsenx Ecuación diferencial: f ''(x)2f '(x)2f(x)0
b)
1 1 ln ) (
x x
f Ecuación diferencial: xf '(x)1ef(x)
25. Estas gráficas representan las funciones derivadas de las funciones f, g, h, y j:
a) ¿Cuáles de estas funciones tienen puntos de tangente horizontal?
26. ¿Cuál de los siguientes apartados representa la gráfica de una función f y la de su derivada f '? Justifica la respuesta.
27. (CCSS2) Halla los valores de “a” y “b” para que la recta tangente a la gráfica de f(x)ax2 b en el punto
) 5 , 1 (
P sea la recta y3x2 28.(CCSS2) Se considera la función
bx a x x f 2 )
( , siendo “a” y “b” parámetros reales.
Determina los valores de los parámetros “a” y “b” para los que f(2)4, y la recta tangente a la gráfica de )
(x
f en x6 sea horizontal.
29.Prueba que existe un punto de la curva f(x)exarctgx cuya tangente (en ese punto) es paralela a la recta
2 3
x
y
30.Determina las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de la función 4 2 2 ) ( 2 3 x x xe x
f x en el punto de abscisa x0
31.(PAU Septiembre 2005 B3) En el plano se tiene la curva yx22x1. Encontrar razonadamente las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (2, 3) y son tangentes a dicha curva (3,3 puntos).
32. Halla los puntos de intersección de las funciones y x e y1/x. Comprueba que en dichos puntos la recta tangente a y1/x es perpendicular a yx
33.Representa las gráficas de las funciones f(x)x2 y g(x)x26x5 y traza las dos rectas que son tangentes a ambas gráficas. Halla las ecuaciones de dichas rectas.
34.Demuestra que la recta yx es tangente a la curva dada por la ecuación y x36x28x. Halla los puntos
de tangencia. ¿Vuelve a cortar a la curva esa tangente?
35. (CCSS2) Estudia la continuidad y derivabilidad de las funciones y halla su función derivada: a) 1 2 1 ) ( 2 x si x x si x x
f b)
1 1 ) ( 2 x si x x si x x
f c)
1 2 1 1 ) ( 2 x si x x si x x f
36.(CCSS2) Estudia la continuidad y derivabilidad de la función. Halla la función derivada:
6 7 6 4 5 1 4 3 ) ( x si x x si x x si x x f
37.(CCSS2) Halla f'(3)siendo
3 5 3 2 ) ( 2 x si x x x si x x f
38.(CCSS2) Estudia la continuidad y derivabilidad de la función y halla la función derivada:
2 9 18 2
2 )
( x4 x3 x2 x si x x
39.Estudia la continuidad y la derivabilidad de
1 1
1 1
2 )
(
2
x si x
x si x x x f
¿Existe algún punto en el que f '(x)0? Represéntala gráficamente.
40.Estudiando la gráfica de esta función f, estudia su derivabilidad.
Halla, si existen f '(4) , f '(0) , f '(3)
41. Representa la función siguiente f(x) x1 x3. Observando la gráfica, di en qué puntos no es derivable. Representa f ' (x).
42.Si f(x)x2 x, halla f ' , f '' , f '''
43. Estudia la continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones: a)
x x
f
1 1 )
( b)
1 )
( 2
x x x f
44.(CCSS2) Se sabe que la función f :
0,5 R dada por
5 2
1
2 0
) (
2
x si x
c
x si bx ax x
f es derivable en el
intervalo abierto
0,5 y verifica que f(0) f(5). ¿Cuánto valen a, b y c?45. Calcula la derivada de las siguientes funciones utilizando la derivación logarítmica: a) f(x)xx b) f(x)(tgx)x c) f(x)xcosx d) f(x)ex x x
46.Calcula la derivada de las siguientes funciones implícitas en los puntos indicados. Halla las rectas tangentes en esos puntos e interpreta los resultados gráficamente con ayuda del Derive 6.0 :
a) 0y3 7x2 5y2x17 en el punto A(2,1) b)
16 2
2 2
2y y x
x
sen en el punto A(2,/4) 47.Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia y representa la circunferencia y las tangentes
con Derive:
0 24 4 2 2
2y x y
x en los puntos de abscisa x0 3
48.Halla el valor de la derivada de la función cos(xy)sen(xy)0 en el punto A(/4,/4) 49. Usando la derivación implícita, halla el valor de y'' en el punto P de abscisa x=2 de la curva
0 24 4
2y y
x
50.Sea f(x)senx halla
f1 '(1/2), es decir, arcsen'(1/2)utilizando la fórmula de la derivada de la función inversa. Ayuda: sen/61/251. Sabemos que la derivada de la función f(x) x3 es f '(x)3x2.
Teniendo en cuenta este resultado, halla la derivada de su función inversa: f 1(x)3 x 52.Demuestra que la derivada de la suma (x) f(x)g(x) es '(x) f '(x)g'(x)
54.Demuestra que la derivada de (x)lnx, x0 es '(x)1/x
55.Con ayuda de la derivada del logaritmo y la derivada de la función compuesta y utilizando la técnica de "la derivación logarítmica" demuestra:
La derivada de (x) f(x)g(x) es '(x) f'(x)g(x)g'(x)f(x)
La derivada de
) (
) ( ) (
x g
x f x
es
( )
2) ( ) ( ' ) ( ) ( ' ) ( '
x g
x f x g x g x f
x
La derivada de (x)xk es '(x)kxk1
La derivada de (x)ex es '(x)ex
56.Con ayuda de fórmulas trigonométricas demuestra que la derivada de ysenx es y'cosx, sabiendo que 1
lim
0
x
senx
x
57.Sabiendo que la derivada de ysenx es y'cosx demuestra que la derivada de (x)arcsenx es
2 1
1 ) ( '
x x
58.a) Calcula una aproximación de 3 126 . Ayuda: halla la diferencial de f(x)3 x en 125 0
x .
Comprueba el error cometido con ayuda de la calculadora.
Con Derive representa la función f(x)3 x y su recta tangente en 125 0
x e interpreta los resultados. b) Repite el apartado a) para 1,014 utilizando la diferencial apropiada.
c) Repite el apartado a) para 15,8 utilizando la diferencial apropiada.
59.(CCSS2) Halla la recta tangente a la curva yex cuando x0. Halla un valor aproximado de e0,1 utilizando la recta anterior. Comprueba con tu calculadora que el valor obtenido es próximo al verdadero valor.
Con Derive representa la función y ex y su recta tangente en x0 e interpreta los resultados.
60.(PAU septiembre 2007 3.2) Sea la función con dominio los números reales no nulos
x x f( ) 4
a) Calcular la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa x = 2. (1.8 puntos) .
b) Determinar los puntos M y N de la gráfica de f(x) para los que las rectas tangentes a la gráfica en M y N se cortan en el punto (4 , –8). (1.5 puntos).
61.(PAU septiembre 2006 B3 a) Obtener la derivada de la función f(x)axbsenx (0,5 puntos). Calcula a
y b sabiendo que O(0,0) es un punto de la curva yaxbsenx y la recta tangente en ese punto )
0 , 0 (
O es el eje OX (1,8 puntos).
62. (PAU junio 2006 A4) Una persona camina a la velocidad constante de 3 m/s alejándose horizontalmente en línea recta desde la base de un farol cuyo foco luminoso está a 10 m de altura. Sabiendo que la persona mide 1,70 m, calcular:
a) La longitud de la sombra cuando la persona está a 5 m de la base del farol (2 puntos).
b) La velocidad de crecimiento de la sombra a los t segundos de comenzar a caminar (1,3 puntos). 63.Un avión vuela horizontalmente a 6 Km de altura. La ruta del avión pasa por la vertical de un punto P y se
64.Se dice que dos curvas son tangentes en un punto si comparten recta tangente en el mismo. Encuentra una parábola del tipo y x2bxcque sea tangente a la curva
33
x
y en el punto de abscisa 3
x .
65.Dadas las parábolas f(x) x24x3 y g(x)x216x63, calcula el área del triángulo formado por el eje X y las rectas tangentes a dichas parábolas en el punto de corte entre ellas.
66.Una partícula se mueve a lo largo de la gráfica de la curva 2 1
2
x x y
, para x>1.
En el punto P(2,–4/3) la abandona y sigue desplazándose a lo largo de la recta tangente a dicha curva. a) Halla la ecuación de dicha recta tangente.
b) Si el desplazamiento es de izquierda a derecha, encuentra el punto en el que la partícula encuentra al eje X.
c) Si el desplazamiento es derecha a izquierda, encuentra el punto en el que la partícula encuentra a la asíntota vertical más próxima al punto P.
67.La hoja de Descartes es la curva que corresponde a la gráfica de la ecuación:
xy y
x3 3 3 y tiene esta forma tan singular:
a) Explica por qué la hoja de Descartes no es una función.
b) Comprueba que el punto (3/2,3/2) pertenece a la hoja de Descartes
c) Mediante la derivación implícita comprueba que la tangente a la curva en el punto (3/2,3/2) es paralela a la asíntota de la hoja de Descartes.
68.Dadas las dos curvas y35xy3x2y0 y xy27xy2x3y0, se pide: a) Demuestra que ambas pasan por el origen de coordenadas.
b) Demuestra que las rectas tangentes a dichas curvas en el origen son perpendiculares entre sí.
69.Halla el área del triángulo formado por el eje X y las rectas tangente y normal a la curva de ecuación yex
en el punto de abscisa x = –1.
70.Determina todas las funciones f de la forma f(x)ax3bx2cxd con a0 y que verifican
0 ) 1 ( ' ) 1 (
' f
f .
¿Alguna de las funciones obtenidas anteriormente verifica f(0) f(1)?
71.Una partícula que se mueve en el plano XY baja deslizándose de derecha a izquierda a lo largo de la curva de ecuacióny x29.
En el punto P(4 , 5) abandona la curva y sigue por la recta tangente a dicha curva. a) Calcula el punto R del eje Y por el que pasará la partícula.
