MAT
de la Universitat Aut`onoma de Barcelonawww.mat.uab.cat/matmat
Citacions al voltant de les
matem`
atiques
Armengol Gasull, Maria Jolis
A les matem`atiques els passa com a moltes altres coses: la
bellesa es pot percebre, per`o no explicar.
Arthur Cayley (matem`atic angl`es, 1825-1895)
Les citacions de personatges famosos s’usen de vegades com a recolzament per a defensar els nostres punts de vista. Altres vegades ens poden servir per a reflexionar sobre cert temes. En aquest treball es recullen i es tradueixen al catal`a unes quantes citacions de personat-ges coneguts sobre matem`atiques i ci`encia aix´ı com d’altres citacions fetes per matem`atics o f´ısics. Com es pot veure n’hi ha per tots els gustos: per a alguns les matem`atiques s´on
Les fonts principals han estat el Mathematical Quotation Server1, de la Furman University, la p`agina web Science Jokes2, preparada per Joachim Verhagen, i The MacTutor History of Mathematics Archive3, de la Univer-sitat de St Andrews a Esc`ocia, interessant´ıssima web sobre hist`oria de les matem`atiques.
Les il.lustracions, que consisteixen exclusivament en segells, s’han triat majorit`ariament de les molt aconsellables planes web sobre filat`elia matem` a-tica,Images of Mathematicians on Postage Stamps4, preparada per Jeff Mi-ller i sobre filat`elia f´ısica,Physics-Related Stamps5, mantinguda per Joachim Reinhardt. Tamb´e podeu consultar la p`agina de filat`elia cient´ıfica Sciences & Philat´elie6 preparada per Patrick S.
Citacions
•Lao Tze (fil`osof xin`es, ' 604-531 a. C.):
Un bon calculador no necessita ajuts artificials.
•Pit`agores (fil`osof i matem`atic grec, ' 569-475 a. C.):
Els nombres governen el mon.
No menyspre¨ıs ning´u: un `atom fa ombra.
Ajuda els altres a aixecar les seves carregues, per`o no a portar-les.
•Hip`ocrates (metge grec, pare de la medicina moderna, ' 460-377 a. C.):
L’estudi de l’aritm`etica i de la geometria no nom´es far`a m´es clara i ´
util la vostra ment per a una infinitat d’activitats humanes, sin´o m´es intel.ligent el vostre esperit, i a vosaltres m´es idonis per a dedicar-vos a la medicina.
1http://math.furman.edu/∼mwoodard/mqs/mquot.shtml
2http://www.xs4all.nl/∼jcdverha/scijokes/
3http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/∼history/
4http://jeff560.tripod.com/
5http://www.physik.uni-frankfurt.de/∼jr/physstamps.html
• Dem`ocrit (fil`osof grec, ' 460-370 a. C.):
Preferiria descobrir un fet cient´ıfic que ser coronat rei de P`ersia.
Tot el que existeix a l’univers ´es fruit de l’atzar i la necessitat.
• Plat´o (fil`osof grec, ' 427-347 a. C.):
Deu ´es un ge`ometra.
• Arist`otil (fil`osof grec, 384-322 a. C.):
Les ci`encies matem`atiques mostren en-tre alen-tres coses, ordre, simetria i res-triccions, i aquestes coses s´on les grans formes de la bellesa.
El tot ´es m´es que la suma de les seves parts.
Per a Tales la q¨uesti´o m´es prim`aria era no pas qu`e sabem sin´o com ho sabem.
• Euclides (matem`atic grec, ' 325-265 a. C.):
No hi ha cap ruta reial cap a la geometria7.
7Resposta d’Euclides al Rei Ptolomeu a la pregunta sobre si hi havia una manera
f`acil d’aprendre matem`atiques. Quan deia “ruta reial” segurament es referia a la Ruta
reial persa, antic cam´ı constru¨ıt pel rei persa Darios I al segle V a. C. que permetia
una comunicaci´o r`apida entre el seu extens imperi. Els missatgers podien fer els 2700
quil`ometres d’aquest trajecte en nom´es 7 dies.
MAT2
MATerials MATem`atics Volum 2006, treball no. 1, 14 pp.
Publicaci´o electr`onica de divulgaci´o del Departament de Matem`atiques de la Universitat Aut`onoma de Barcelona
www.mat.uab.cat/matmat
Trigonometria esf`erica i hiperb`olica
Joan Girbau
L’objectiu d’aquestes notes ´es establir de forma curta i elegant les f´ormules fonamentals de la trigonometria esf`erica i de la trigonometria hiperb`olica. La redacci´o consta, doncs, de dues seccions independents, una dedicada a la trigonometria esf`erica i l’altra, a la hiperb`olica. La primera est`a adre¸cada a estudiants de primer curs de qualsevol carrera t`ecnica. La segona requereix del lector coneixements rudimentaris de varietats de Riemann.
1 Trigonometria esf`erica
Aquells lectors que ja s`apiguen qu`e ´es un triangle esf`eric i com es mesuren els seus costats i els seus angles poden saltar-se les subseccions 1.1 i 1.2 i passar directament a la subsecci´o 1.3.
1.1 Arc de circumfer`encia determinat per dos punts A cada dos puntsAiBde la circumfer`encia unitat, no diametralment opo-sats, els hi associarem un ´unic arc de circumfer`encia, de longitud menor que
π, (vegeu la figura 1) tal com explicarem a continuaci´o.
A B
O
•Arquimedes de Siracusa (cient´ıfic i fil`osof grec, 287-212 a. C.):
Hi ha coses que poden semblar in-cre¨ıbles a la majoria de les persones que no han estudiat matem`atiques.
•Plutarc (bi`ograf i pol´ıtic grec, ' 50-125):
La ment no ´es un vas que s‘hagi d’omplir, sin´o un foc que s’ha d’encendre.
• Pappus d’Alexandria (matem`atic hel.len´ıstic, nascut a Egipte, ' 290-350):
Les abelles, gr`acies a una certa intu¨ıci´o geom`etrica, saben que l’hex`agon ´es m´es gran que el quadrat i que el triangle, i que podr`a contenir m´es mel amb la mateixa despesa de material.
•Sant Agust´ı (te`oleg, nascut a Tagasta, prov´ıncia romana del nord d’ `Africa, 354-430):
Si em donen una f´ormula i no en s´e el significat, no em pot ense-nyar res; per`o si ja en conec el significat, qu`e m’ensenya?
El bon cristi`a hauria de tenir compte dels matem`atics i de tots aquells que fan profecies buides. Hi ha el perill que els ma-tem`atics hagin fet un pacte amb el diable per a enfosquir l’esperit i confinar-nos a les profunditats de l’infern.
Sis ´es un nombre perfecte8 per ell mateix, i no perqu`e Deu cre´es el m´on en sis dies; m´es aviat ´es cert el contrari. Deu va crear el m´on en sis dies perqu`e aquest nombre ´es perfecte i fins i tot continuaria sent perfecte si el treball dels sis dies no hagu´es existit.
8Un nombre natural es diu perfecte si ´es igual a la suma de tots els seus divisors m´es
petits que ell. Aix´ı 6, 28, 496, 8128,... s´on nombres perfectes ja que 6 = 3 + 2 + 1,
28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1, . . .. Es pot veure que els nombres de la forma 2n−1(2n−1) i
tals que 2n−1 ´es primer s´on nombres perfectes. Els quatre que hem donat corresponen
a n = 2,3,5 i 7. Altres nombres perfectes s’obtenen per n = 13,17,19,31,61. Com a
•Hip`atia9 d’Alexandria (fil`osofa i matem`atica hel.len´ıstica, nascuda
a Egipte, ' 370-415):
Defensa el teu dret a pensar, perqu`e pensar, fins i tot de manera err`onia, ´es millor que no pensar.
• Brahmagupta (matem`atic i astr`onom indi, 598-670):
Una persona que pot resoldre10 x2 −92y2 = 1 en menys d’un
any ´es un matem`atic.
• Al-Biruni (metge, cient´ıfic i fil`osof persa, 973-1048):
Una vegada un savi va ser preguntat so-bre per qu`e els estudiosos sempre tru-quen a les portes dels rics, mentre que els rics mai tenen tend`encia a trucar a les portes dels estudiosos. “Els estudi-osos”, va contestar ell, “coneixen per-fectament el valor dels diners, per`o els rics ignoren la noblesa de la ci`encia.”
9Es considera com la primera dona coneguda per fer una contribuci´o substancial al
desenvolupament de la matem`atica.
10No ´es gens f`acil trobar les solucions (x, y)∈
Z2,diferents de (±1,0),d’aquesta equaci´o.
De fet l’equaci´o dins dels enters,x2−Dy2= 1,onDno ´es un quadrat perfecte, s’anomena
equaci´o de Pell, tot i que sembla clar que l’atribuci´o d’aquest nom ´es err`onia, vegeu per
exemple http://mathworld.wolfram.com/PellEquation.html. A partir d’una soluci´o
(x1, y1)6= (±1,0) no ´es gaire dif´ıcil demostrar que per a cada naturaln, (xn, yn) ´es una
altra soluci´o, on xn +yn
√
D = (x1+y1
√
D)n. Aix´ı, si trobem una soluci´o diferent de
(±1,0) en tindrem infinites. La cerca d’aquesta soluci´o “llavor” ´es la part mes enginyosa
del problema i ´es deguda a Euler, Lagrange i la teoria de les fraccions continues. ´Es clar
que si prenem (x, y) tals que x
y =
√
D haurem resolt l’equaci´o x2−Dy2 = 0, per tant
sembla natural que si pq ´es una fracci´o molt propera a√Daleshores (x, y) = (p, q) ser`a un
bon candidat a resoldrex2−Dy2= 1.Precisament es pot demostrar que en la successi´o de
fraccions cont´ınues pm
qm que aproximen a
√
D,una d’elles d´ona sempre lloc a una soluci´o de
x2−Dy2= 1.Pel casD= 92,p7
q7 =
1151
120 '
√
92 d´ona lloc a la soluci´o (x1, y1) = (1151,120).
Altres solucions generades pel m`etode descrit s´on (x2, y2) = (2649601,276240),(x3, y3) =
(6099380351,635904360),(x4, y4) = (14040770918401,1463851560480), . . .
MAT2
MATerials MATem`atics Volum 2006, treball no. 1, 14 pp.
Publicaci´o electr`onica de divulgaci´o del Departament de Matem`atiques de la Universitat Aut`onoma de Barcelona
www.mat.uab.cat/matmat
Trigonometria esf`erica i hiperb`olica
Joan Girbau
L’objectiu d’aquestes notes ´es establir de forma curta i elegant les f´ormules fonamentals de la trigonometria esf`erica i de la trigonometria hiperb`olica. La redacci´o consta, doncs, de dues seccions independents, una dedicada a la trigonometria esf`erica i l’altra, a la hiperb`olica. La primera est`a adre¸cada a estudiants de primer curs de qualsevol carrera t`ecnica. La segona requereix del lector coneixements rudimentaris de varietats de Riemann.
1 Trigonometria esf`erica
Aquells lectors que ja s`apiguen qu`e ´es un triangle esf`eric i com es mesuren els seus costats i els seus angles poden saltar-se les subseccions 1.1 i 1.2 i passar directament a la subsecci´o 1.3.
1.1 Arc de circumfer`encia determinat per dos punts A cada dos puntsAiBde la circumfer`encia unitat, no diametralment opo-sats, els hi associarem un ´unic arc de circumfer`encia, de longitud menor que
π, (vegeu la figura 1) tal com explicarem a continuaci´o.
A B
O
•Omar Khayyam (poeta, matem`atic i astr`onom persa, 1048-1122):
La demostraci´o num`erica nom´es es pot crear a partir de la con-cepci´o de la demostraci´o geom`etrica.
Si l’algebrista utilitza el quadrat d’un quadrat en un problema de geometria, aix`o ´es com una met`afora, ja que ´es impossible pensar en el quadrat del quadrat com una magnitud11.
•Roger Bacon (fil`osof i erudit angl`es, 1214-1292):
Les matem`atiques s´on la clau i la porta cap a les ci`encies.
Prescindir dels treballs matem`atics fa mal a tot el coneixement, ja que qui els ignora no pot con`eixer les altres ci`encies o les coses del mon.
La meitat de la ci`encia consisteix a fer-se les preguntes adequades.
•Ramon Llull (escriptor, fil`osof i matem`atic mallorqu´ı, 1232-1316):
El home ´es m´es noble pel seu coneixement que no pas per l’or i els bens que posseeix, fins i tot si aquests han estat guanyats amb molt bona volun-tat.
•Guillem d’Occam (fil`osof angl`es, 1285-1349):
Els ents no s’han de multiplicar sense necessitat12.
11Probablement, una de les primeres constatacions que els m`etodes algebraics poden ser
m´es potents que els geom`etrics.
12Sembla ser que aquesta frase s’ha atribu¨ıt a Occam i la que ell va dir va ser: La
pluralitat no es pot donar per sabuda sense necessitat. En qualsevol cas, avui en dia
aquestes afirmacions s’han transformat en l’anomenatprincipi de la navalla d’Occam, que
• Leonardo da Vinci (savi, artista i inventor itali`a, 1452-1519):
Si una persona ´es perseverant, malgrat sigui dura d’enteniment, es far`a intel.ligent; i malgrat sigui d`ebil es transformar`a en forta.
Cap investigaci´o humana pot ser anomenada ci` en-cia real si no es pot demostrar matem`aticament.
• Albert D¨urer (pintor i gravador alemany, 1471-1528):
Com que la geometria ´es la veritable base de la pintura, he decidit ensenyar els seus fonaments i principis a tots els joves il.lusionats per l’art.
•Nicolaus Copernic (matem`atic, f´ısic i jurista polon`es, 1473-1543):
La matem`atica est`a escrita per als ma-tem`atics.
• Mart´ı Luter (te`oleg alemany, 1483-1546):
La medicina fa la gent malalta, la matem`atica els fa tristos, i la teologia, pecadors.
MAT2
MATerials MATem`atics Volum 2006, treball no. 1, 14 pp.
Publicaci´o electr`onica de divulgaci´o del Departament de Matem`atiques de la Universitat Aut`onoma de Barcelona
www.mat.uab.cat/matmat
Trigonometria esf`erica i hiperb`olica
Joan Girbau
L’objectiu d’aquestes notes ´es establir de forma curta i elegant les f´ormules fonamentals de la trigonometria esf`erica i de la trigonometria hiperb`olica. La redacci´o consta, doncs, de dues seccions independents, una dedicada a la trigonometria esf`erica i l’altra, a la hiperb`olica. La primera est`a adre¸cada a estudiants de primer curs de qualsevol carrera t`ecnica. La segona requereix del lector coneixements rudimentaris de varietats de Riemann.
1 Trigonometria esf`erica
Aquells lectors que ja s`apiguen qu`e ´es un triangle esf`eric i com es mesuren els seus costats i els seus angles poden saltar-se les subseccions 1.1 i 1.2 i passar directament a la subsecci´o 1.3.
1.1 Arc de circumfer`encia determinat per dos punts A cada dos puntsAiBde la circumfer`encia unitat, no diametralment opo-sats, els hi associarem un ´unic arc de circumfer`encia, de longitud menor que
π, (vegeu la figura 1) tal com explicarem a continuaci´o.
A B
O
•Galileu Galilei (f´ısic i astr`onom itali`a, 1564-1642):
En q¨uestions de ci`encia l’autoritat de mil persones no val tant com l’humil raonament d’un sol individu.
Mesura el que ´es mesurable i fes mesurable el que no ho ´es.
[L’univers] no es pot llegir fins que no hem apr`es el seu llenguatge i ens hem familiaritzat amb els car`acters amb qu`e est`a escrit. Aquest est`a escrit en llen-guatge matem`atic, i les lletres s´on els triangles, els cercles i altres figures geo-m`etriques, sense les quals ´es humana-ment impossible entendre una simple paraula.
•Johannes Kepler (astr`onom i matem`atic alemany, 1571-1630):
La natura utilitza tan poc com li ´es pos-sible de totes les coses.
On hi ha mat`eria hi ha geometria13.
•Ren´e Descartes (fil`osof i matem`atic franc`es, 1596-1650):
Cada problema que resolc es transfor-ma en una regla que m´es endavant pot servir per a resoldre altres problemes.
Si alg´u vol ser un veritable buscador de la veritat ha de dubtar, almenys un cop i tant com sigui possible, de totes les coses.
Els nombres perfectes s´on com els homes perfectes, molt rars.
Divideix les dificultats que examines en tantes parts com sigui possible per a trobar una millor soluci´o.
No ni ha prou amb tenir una bona ment. El m´es important ´es usar-la b´e.
• Blaise Pascal (fil`osof, matem`atic i f´ısic franc`es, 1623-1662):
Normalment ens convencem m´es
f`acilment per raons trobades per no-saltres mateixos que per les que s’han acudit a altri.
La natura ´es com una esfera infinita, de la qual el centre ´es a tot arreu i la circumfer`encia enlloc.
No puc jutjar el meu treball mentre l’estic fent. He de fer com fan els pintors, allunyar-me’n i veure’l des d’una dist`ancia, per`o no una dist`ancia gaire gran. Com de gran? Qui sap.
No ´es cert que tot sigui incert.
Si no actues com penses, acabar`as pensant com actues.
• Isaac Newton (f´ısic, matem`atic, astr`onom, alquimista i fil`osof angl`es, 1643-1727):
La veritat s’ha de trobar sempre en la simplicitat i no en la multiplicitat i desordre de les coses.
El que sabem ´es una gota d’aigua, el que ignorem tot un oce`a.
Si he aconseguit veure m´es lluny ha estat perqu`e m’he pujat sobre les espatlles de gegants.
MAT2
MATerials MATem`atics Volum 2006, treball no. 1, 14 pp.
Publicaci´o electr`onica de divulgaci´o del Departament de Matem`atiques de la Universitat Aut`onoma de Barcelona
www.mat.uab.cat/matmat
Trigonometria esf`erica i hiperb`olica
Joan Girbau
L’objectiu d’aquestes notes ´es establir de forma curta i elegant les f´ormules fonamentals de la trigonometria esf`erica i de la trigonometria hiperb`olica. La redacci´o consta, doncs, de dues seccions independents, una dedicada a la trigonometria esf`erica i l’altra, a la hiperb`olica. La primera est`a adre¸cada a estudiants de primer curs de qualsevol carrera t`ecnica. La segona requereix del lector coneixements rudimentaris de varietats de Riemann.
1 Trigonometria esf`erica
Aquells lectors que ja s`apiguen qu`e ´es un triangle esf`eric i com es mesuren els seus costats i els seus angles poden saltar-se les subseccions 1.1 i 1.2 i passar directament a la subsecci´o 1.3.
1.1 Arc de circumfer`encia determinat per dos punts A cada dos puntsAiBde la circumfer`encia unitat, no diametralment opo-sats, els hi associarem un ´unic arc de circumfer`encia, de longitud menor que
π, (vegeu la figura 1) tal com explicarem a continuaci´o.
A B
O
• Gottfried Wilhelm Leibniz (matem`atic, fil`osof, jurista i pol´ıtic alemany, 1646-1716):
El nombre imaginari ´es un subtil i meravell´os recurs de l’esperit div´ı, qua-si un amfibi entre el ser i el no ser.
Qui estima la pr`actica sense teoria ´es com el mariner que s’embarca en un vaixell sense tim´o ni br´uixola i mai no sap on pot naufragar.
Res no ´es m´es important que veure les fonts d’una invenci´o, que, en la meva opini´o s´on m´es importants que les invencions per elles mateixes.
•Jacob Bernoulli (matem`atic su´ıs, 1654-1705):
Reconec a un lle´o per les seves urpes14.
´
Es molt poc plausible que una f´ormula matem`atica ens faci con`eixer el futur, i els que pensen aix`o alguna vegada po-drien haver cregut en la bruixeria.
•Sorai Ogyu (fil`osof japon`es, 1666-1729):
Els matem`atics presumeixen dels seus `exits, per`o en realitat es-tan absorts en acrob`acies mentals i no contribueixen en res a la societat.
•Fran¸cois-Marie Arouet [Voltaire] (escriptor i fil`osof franc`es, 1694-1778):
Hi ha un tipus d’imaginaci´o absolutament admirable fins i tot en les matem`atiques . . . estic segur de que va tenir m´es imaginaci´o Arquimedes que Homer.
La ignor`ancia afirma o nega rotundament, la ci`encia dubta.
• Daniel Bernoulli (matem`atic i f´ısic su´ıs, nat a Holanda, 1700-1782):
Seria millor per a la veritable f´ısica si no hi hagu´es matem`atics a la Terra.
• Leonhard Euler (matem`atic i f´ısic su´ıs-alemany, 1707-1783):
Ara tindr´e menys distraccions15.
M´es que del nostre judici, ens hem de fiar del c`alcul algebraic.
•Jean Le Rond d’Alembert (matem`atic, f´ısic i fil`osof franc`es, 1717-1783):
L’ `Algebra ´es molt generosa. Sempre ens d´ona m´es del que li preguntem.
• Immanuel Kant (fil`osof alemany, 1724-1804):
La ci`encia de les matem`atiques presenta l’exemple m´es brillant de com la ra´o pura pot ampliar amb `
exit el seu domini sense l’ajut de l’experimentaci´o.
Tot el coneixement hum`a comen¸ca amb intu¨ıcions, continua amb conceptes i acaba amb idees.
En qualsevol teoria particular nom´es hi ha de ci`encia real el que hi ha de matem`atiques.
15Despr´es de perdre la visi´o del seu ull dret.
MAT2
MATerials MATem`atics Volum 2006, treball no. 1, 14 pp.
Publicaci´o electr`onica de divulgaci´o del Departament de Matem`atiques de la Universitat Aut`onoma de Barcelona
www.mat.uab.cat/matmat
Trigonometria esf`erica i hiperb`olica
Joan Girbau
L’objectiu d’aquestes notes ´es establir de forma curta i elegant les f´ormules fonamentals de la trigonometria esf`erica i de la trigonometria hiperb`olica. La redacci´o consta, doncs, de dues seccions independents, una dedicada a la trigonometria esf`erica i l’altra, a la hiperb`olica. La primera est`a adre¸cada a estudiants de primer curs de qualsevol carrera t`ecnica. La segona requereix del lector coneixements rudimentaris de varietats de Riemann.
1 Trigonometria esf`erica
Aquells lectors que ja s`apiguen qu`e ´es un triangle esf`eric i com es mesuren els seus costats i els seus angles poden saltar-se les subseccions 1.1 i 1.2 i passar directament a la subsecci´o 1.3.
1.1 Arc de circumfer`encia determinat per dos punts A cada dos puntsAiBde la circumfer`encia unitat, no diametralment opo-sats, els hi associarem un ´unic arc de circumfer`encia, de longitud menor que
π, (vegeu la figura 1) tal com explicarem a continuaci´o.
A B
O
• Joseph-Louis de Lagrange (matem`atic, f´ısic i astr`onom italo-franc`es, 1736-1813):
Quan demanem consell, el que busquem ´es com-plicitat.
Quan l’algebra i la geometria han estat separa-des els seus progressos s’han anat alentint i les seves utilitats s’han limitat; per`o quan aquestes dues ci`encies han estat unides, s’han ajudat l’una a l’altra, i han anat juntes cap a la perfecci´o.
• Pierre-Simon de Laplace (matem`atic i astr`onom franc`es, 1749-1827):
Tal ´es l’avantatge d’un llenguatge ben constru¨ıt: que la seva notaci´o simplificada es tradueix sovint en font de profundes teories.
En la seva major part, les q¨uestions m´es impor-tants de la vida s´on finalment nom´es problemes de c`alcul de probabilitats.
El que sabem no ´es gaire. El que no sabem ´es immens.
• Johann Wolfgang Goethe (escriptor i cient´ıfic alemany, 1749-1832):
Els matem`atics s´on com els francesos: sigui el que sigui el que els diem, ells ho tradueixen a la seva llengua, i des d’aquell moment es tracta de quelcom diferent.
•Jean Baptiste Joseph Fourier (matem`atic, f´ısic i historiador fran-c`es, 1768-1830):
• Napole´o Bonaparte (pol´ıtic i militar franc`es, 1769-1821):
Els savis s´on els que busquen la saviesa, els necis pensen que ja l’han trobat.
• Karl Friedrich Gauss (matem`atic i f´ısic alemany, 1777-1855):
Sabeu que jo escric a poc a poc. Aix`o ´
es, sobretot, perqu`e mai no estic satis-fet fins que no he dit tot el possible en poques paraules, i escriure amb breve-tat pren molt m´es temps que escriure amb extensi´o.
Hem d’admetre, amb humilitat, que mentre els nombres s´on pu-rament un producte de les nostres ments, l’espai t´e una realitat fora d’elles, i ´es per aix`o que a priori no podem determinar com-pletament les seves propietats.
Poc, per`o madur16.
• Sim´eon-Denis Poisson (matem`atic i f´ısic franc`es, 1781-1840):
La vida ´es bona nom´es per dues coses, descobrir matem`atiques i ensenyar matem`atiques.
• Arthur Schopenhauer (fil`osof alemany, 1788-1860):
Que l’aritm`etica ´es la m´es simple de totes les activitats mentals queda demostrat pel fet de que ´es l’´unica que una m`aquina pot realitzar.
• Augustin-Louis Cauchy (matem`atic franc`es, 1789-1857):
Els homes passen, per`o els seus fets queden.
16El seu lema.
MAT2
MATerials MATem`atics Volum 2006, treball no. 1, 14 pp.
Publicaci´o electr`onica de divulgaci´o del Departament de Matem`atiques de la Universitat Aut`onoma de Barcelona
www.mat.uab.cat/matmat
Trigonometria esf`erica i hiperb`olica
Joan Girbau
L’objectiu d’aquestes notes ´es establir de forma curta i elegant les f´ormules fonamentals de la trigonometria esf`erica i de la trigonometria hiperb`olica. La redacci´o consta, doncs, de dues seccions independents, una dedicada a la trigonometria esf`erica i l’altra, a la hiperb`olica. La primera est`a adre¸cada a estudiants de primer curs de qualsevol carrera t`ecnica. La segona requereix del lector coneixements rudimentaris de varietats de Riemann.
1 Trigonometria esf`erica
Aquells lectors que ja s`apiguen qu`e ´es un triangle esf`eric i com es mesuren els seus costats i els seus angles poden saltar-se les subseccions 1.1 i 1.2 i passar directament a la subsecci´o 1.3.
1.1 Arc de circumfer`encia determinat per dos punts A cada dos puntsAiBde la circumfer`encia unitat, no diametralment opo-sats, els hi associarem un ´unic arc de circumfer`encia, de longitud menor que
π, (vegeu la figura 1) tal com explicarem a continuaci´o.
A B
O
• Charles Babbage (matem`atic, fil`osof i enginyer angl`es, 1791-1871):
Els errors usant dades inadequades s´on molts menys que aquells que no usen cap dada.
La totalitat dels desenvolupaments i operacions de l’an`alisi actualment poden ser executats per les maquines. . . . Tan aviat com existeixi un Enginy Anal´ıtic, aquest necess`ariament guiar`a el curs fu-tur de la ci`encia.
•Nikolai Iv`anovitx Lobatxevski (matem`atic rus, 1792-1856):
No hi ha cap branca de les matem`atiques, per abs-tracta que sigui, que un dia no pugui ser aplicada a fen`omens del m´on real.
•Alexandr Serguei`evitx Puixkin (poeta rus, 1799-1837):
La inspiraci´o es necessita en la geometria tant com en la poesia.
•Niels H. Abel (matem`atic noruec, 1802-1829):
´
Es com una guineu, que esborra les se-ves petjades a la sorra amb la cua17.
•Carl Gustav Jacob Jacobi (matem`atic alemany, 1804-1851):
La matem`atica ´es la ci`encia del que ´es clar per si mateix.
• Benjamin Disraeli (pol´ıtic brit`anic, 1804-1881):
Hi ha tres tipus de mentides: mentides, grans mentides i es-tad´ıstica.
• William Rowan Hamilton (matem`atic, f´ısic i astr`onom irland`es, 1805-1865):
A la Terra no hi ha res tan gran com l’home; a l’home no hi ha res tan gran com la ment.
• Augustus De Morgan (matem`atic brit`anic, nascut a la India, 1806-1871):
Jo18 tenia x anys l’any x2.
• Edgar Alan Poe (escriptor nord-americ`a, 1809-1849):
To speak algebraically, Mr. M. is execrable, but Mr. G. is (x+ 1)−ecrable19.
• Charles Robert Darwin (naturalista angl`es, 1809-1882):
Les matem`atiques semblen dotar-nos amb una esp`ecie de nou sentit.
Un matem`atic ´es un home cec en una habitaci´o fosca buscant un gat negre que no ´es a l’habitaci´o.
18Preguntat sobre la seva edat. Aquesta es pot deduir, tenint en compte l’any en que
va ser preguntat i que 432= 1849.Stefan Banach (1892-1945) hauria pogut respondre el
mateix. Els lectors nascuts l’any 1980 podran tamb´e d’aqu´ı uns anys!
19Intradu¨ıble.
MAT2
MATerials MATem`atics Volum 2006, treball no. 1, 14 pp.
Publicaci´o electr`onica de divulgaci´o del Departament de Matem`atiques de la Universitat Aut`onoma de Barcelona
www.mat.uab.cat/matmat
Trigonometria esf`erica i hiperb`olica
Joan Girbau
L’objectiu d’aquestes notes ´es establir de forma curta i elegant les f´ormules fonamentals de la trigonometria esf`erica i de la trigonometria hiperb`olica. La redacci´o consta, doncs, de dues seccions independents, una dedicada a la trigonometria esf`erica i l’altra, a la hiperb`olica. La primera est`a adre¸cada a estudiants de primer curs de qualsevol carrera t`ecnica. La segona requereix del lector coneixements rudimentaris de varietats de Riemann.
1 Trigonometria esf`erica
Aquells lectors que ja s`apiguen qu`e ´es un triangle esf`eric i com es mesuren els seus costats i els seus angles poden saltar-se les subseccions 1.1 i 1.2 i passar directament a la subsecci´o 1.3.
1.1 Arc de circumfer`encia determinat per dos punts A cada dos puntsAiBde la circumfer`encia unitat, no diametralment opo-sats, els hi associarem un ´unic arc de circumfer`encia, de longitud menor que
π, (vegeu la figura 1) tal com explicarem a continuaci´o.
A B
O
• Oliver Wendell Holmes (metge i escriptor nord-americ`a, 1809-1894):
Descartes va influir m´es sobre el futur amb els seus estudis que Napole´o des del tron.
•Evariste Galois (matem`´ atic franc`es, 1811-1832):
Malauradament, el que ´es poc recone-gut ´es que els llibres cient´ıfics valuosos s´on aquells en qu`e l’autor indica clara-ment el que no sap; encobrir les dificul-tats ´es el pitjor que pot fer un autor pels seus lectors.
•James J. Sylvester (matem`atic angl`es, 1814-1897):
Les matem`atiques s´on la m´usica de la ra´o.
•Karl T.W. Weierstrass (matem`atic alemany, 1815-1897):
Un matem`atic que no ´es tamb´e una mica poeta no ser`a mai un bon matem`atic.
• Henry David Thoreau (naturalista i fil`osof nord-americ`a, 1817-1862):
Les matem`atiques no menteixen, el que hi ha s´on molts ma-tem`atics mentiders.
•Gustave Flaubert (novel.lista franc`es, 1821-1880):
• Pafnuti Lvovitx Txebixhev (matem`atic rus, 1821-1894):
A¨ıllar les matem`atiques de les necessitats pr` acti-ques de les ci`encies ´es convidar a l’esterilitat a una vaca allunyant-la dels toros.
• Louis Pasteur (microbi`oleg i qu´ımic franc`es, 1822-1884):
La casualitat afavoreix les ments entre-nades.
Les ci`encies aplicades no existeixen, nom´es les aplicacions de la ci`encia . . .
• Charles Hermite (matem`atic franc`es, 1822-1901):
Som servents i no senyors de les matem`atiques.
Existeix, si no estic equivocat, un m´on sencer format per la to-talitat de les veritats matem`atiques, al qual nom´es tenim acc´es mitjan¸cant la nostra ment, igual que existeix un m´on de realitat f´ısica, l’un i l’altre independents de nosaltres, essent els dos de creaci´o divina.
Abel ha deixat als matem`atics feina suficient per estar ocupats durant 500 anys.
• Leopold Kronecker (matem`atic alemany, 1823-1891):
Deu va crear els enters, la resta ´es obra de l’home.
MAT2
MATerials MATem`atics Volum 2006, treball no. 1, 14 pp.
Publicaci´o electr`onica de divulgaci´o del Departament de Matem`atiques de la Universitat Aut`onoma de Barcelona
www.mat.uab.cat/matmat
Trigonometria esf`erica i hiperb`olica
Joan Girbau
L’objectiu d’aquestes notes ´es establir de forma curta i elegant les f´ormules fonamentals de la trigonometria esf`erica i de la trigonometria hiperb`olica. La redacci´o consta, doncs, de dues seccions independents, una dedicada a la trigonometria esf`erica i l’altra, a la hiperb`olica. La primera est`a adre¸cada a estudiants de primer curs de qualsevol carrera t`ecnica. La segona requereix del lector coneixements rudimentaris de varietats de Riemann.
1 Trigonometria esf`erica
Aquells lectors que ja s`apiguen qu`e ´es un triangle esf`eric i com es mesuren els seus costats i els seus angles poden saltar-se les subseccions 1.1 i 1.2 i passar directament a la subsecci´o 1.3.
1.1 Arc de circumfer`encia determinat per dos punts A cada dos puntsAiBde la circumfer`encia unitat, no diametralment opo-sats, els hi associarem un ´unic arc de circumfer`encia, de longitud menor que
π, (vegeu la figura 1) tal com explicarem a continuaci´o.
A B
O
•William Thomson [Lord Kelvin] (f´ısic brit`anic, 1824-1907):
La teoria de Fourier ´es un poema ma-tem`atic.
No us imagineu que les matem`atiques s´on dures i indesxifrables, i contr`aries al sentit com´u. S´on senzillament la mate-rialitzaci´o del sentit com´u.
Quan mesures la cosa de qu`e est`as parlant i l’expresses amb n´umeros, coneixes quelcom sobre ella, per`o si no la pots expressar amb n´umeros el teu coneixement sobre ella ´es esc`as i insatisfac-tori.
•Jules Verne (escriptor franc`es, 1828-1905):
La ci`encia es compon d’errors, que a la seva vegada s´on els passos cap a la veritat.
•Lev Nikolaievitx Tolstoi (escriptor i fil`osof rus, 1828-1910):
Un home ´es com una fracci´o, amb numerador el que ´es i amb denominador el que pensa d’ell mateix. Com m´es gran ´es el denominador m´es petita ´es la fracci´o.
•Samuel Butler (escriptor angl`es, 1835-1902):
La vida ´es l’art d’obtenir conclusions a partir d’evid`encies insu-ficients.
•G¨osta Mittag-Leffler (matem`atic suec, 1846-1927):
• Sofia Vasilievna Kovalevskaia (matem`atica russa, 1850-1891):
Molts dels que han tingut una oportunitat de con`eixer alguna cosa sobre matem`atiques les con-fonen amb l’aritm`etica, i les consideren una ci`encia `
arida. No obstant, en realitat, s´on una ci`encia que requereix una gran quantitat d’imaginaci´o.
• Oliver Heaviside (enginyer, f´ısic i matem`atic angl`es, 1850-1925):
Hauria de refusar un bon sopar senzillament perqu`e no entenc el proc´es de la digesti´o?20
• Santiago Ram´on y Cajal (metge i hist`oleg aragon`es, 1852-1934):
Al carro de la cultura espanyola li falta la roda de la ci`encia.
•Jules Henri Poincar´e (matem`atic, f´ısic te`oric i fil`osof de la ci`encia franc`es, 1854-1912):
Els descobriments matem`atics, grans o petits mai no neixen per generaci´o espont`ania. Sempre pres-suposen un terra plantat amb el coneixement preli-minar i ben preparat amb el treball tant conscient com subconscient.
La Geometria ´es l’art de pensar b´e, i dibuixar malament.
Provem mitjan¸cant la l`ogica, per`o descobrim mitjan¸cant la in-tu¨ıci´o.
20Resposta a les cr´ıtiques sobre les manipulacions algebraiques formals.
MAT2
MATerials MATem`atics Volum 2006, treball no. 1, 14 pp.
Publicaci´o electr`onica de divulgaci´o del Departament de Matem`atiques de la Universitat Aut`onoma de Barcelona
www.mat.uab.cat/matmat
Trigonometria esf`erica i hiperb`olica
Joan Girbau
L’objectiu d’aquestes notes ´es establir de forma curta i elegant les f´ormules fonamentals de la trigonometria esf`erica i de la trigonometria hiperb`olica. La redacci´o consta, doncs, de dues seccions independents, una dedicada a la trigonometria esf`erica i l’altra, a la hiperb`olica. La primera est`a adre¸cada a estudiants de primer curs de qualsevol carrera t`ecnica. La segona requereix del lector coneixements rudimentaris de varietats de Riemann.
1 Trigonometria esf`erica
Aquells lectors que ja s`apiguen qu`e ´es un triangle esf`eric i com es mesuren els seus costats i els seus angles poden saltar-se les subseccions 1.1 i 1.2 i passar directament a la subsecci´o 1.3.
1.1 Arc de circumfer`encia determinat per dos punts A cada dos puntsAiBde la circumfer`encia unitat, no diametralment opo-sats, els hi associarem un ´unic arc de circumfer`encia, de longitud menor que
π, (vegeu la figura 1) tal com explicarem a continuaci´o.
A B
O
Les matem`atiques s´on l’art de donar el mateix nom a coses dife-rents21.
La ci`encia es construeix a partir de fets, com una casa a partir de totxos. Per`o una col.lecci´o de fets ja no ´es una ci`encia de la mateixa manera que una pila de totxos no ´es una casa.
La ment usa les seves facultats per a la creativitat nom´es quan l’experi`encia la for¸ca a fer-ho.
Els postulats s´on definicions disfressades.
El pensament nom´es ´es un llampec en mig de la nit, per`o ´es aquest llampec el que ho ´es tot.
•Karl Pearson (estad´ıstic i matem`atic angl`es, 1857-1936):
Els matem`atics, arrossegats per la seva riuada de s´ımbols, tracten aparentment amb veritats purament formals, per`o poden arribar a resultats d’infinita import`ancia per a la nostra descripci´o de l’univers f´ısic.
•Arthur Conan Doyle (escriptor escoc`es, 1859-1930):
Quan has eliminat el que ´es impossible, el que queda, encara que sigui improba-ble, ha de ser la veritat22.
•Anton Pavlovitx Txekhov (escriptor i metge rus, 1860-1904):
No existeix cap ci`encia nacional de la mateixa manera que no existeix una taula de multiplicar nacional; el que ´es nacional ja no ´es ci`encia.
21En contraposici´o a la citaci´o: La poesia ´es l’art de donar diferents noms a la mateixa
cosa.
• David Hilbert (matem`atic alemany, 1862-1943):
Les matem`atiques no coneixen races o fronteres geogr`afiques; per a les matem`atiques el m´on de la cultura ´es un pa´ıs.
L’art de fer matem`atiques consisteix a trobar quin ´
es el cas especial que cont´e tots els g`ermens de generalitat.
Es pot mesurar la import`ancia d’un treball cient´ıfic pel nombre de publicacions pr`evies que es tornen sup`erflues per aquest.
L’infinit! Cap altra q¨uesti´o ha mogut tan profundament l’esperit de l’home.
• Jacques Hadamard (matem`atic franc`es, 1865-1963):
El cam´ı m´es curt entre dues veritats al domini real passa pel domini complex.
L’aplicaci´o pr`actica no es troba buscant-la i es podria dir que tot el progr´es de la civilitzaci´o es basa en aquest principi.
• Marie Curie [M. Sk lodowska] (f´ısica franco-polonesa, 1867-1934):
Mai te n’adones del que ja s’ha fet; nom´es pots veure el que falta per fer.
Hi ha cient´ıfics s`adics, que estan a la ca¸ca d’errors, en lloc de buscar la veri-tat.
•Ernest Rutherford (f´ısic brit`anic, nat a Nova Zelanda, 1871-1937):
Tota ci`encia ´es o b´e f´ısica o b´e filat`elia.
Si el teu experiment necessita es-tad´ıstica ´es que hauries d’haver-ne fet un de millor.
MAT2
MATerials MATem`atics Volum 2006, treball no. 1, 14 pp.
Publicaci´o electr`onica de divulgaci´o del Departament de Matem`atiques de la Universitat Aut`onoma de Barcelona
www.mat.uab.cat/matmat
Trigonometria esf`erica i hiperb`olica
Joan Girbau
L’objectiu d’aquestes notes ´es establir de forma curta i elegant les f´ormules fonamentals de la trigonometria esf`erica i de la trigonometria hiperb`olica. La redacci´o consta, doncs, de dues seccions independents, una dedicada a la trigonometria esf`erica i l’altra, a la hiperb`olica. La primera est`a adre¸cada a estudiants de primer curs de qualsevol carrera t`ecnica. La segona requereix del lector coneixements rudimentaris de varietats de Riemann.
1 Trigonometria esf`erica
Aquells lectors que ja s`apiguen qu`e ´es un triangle esf`eric i com es mesuren els seus costats i els seus angles poden saltar-se les subseccions 1.1 i 1.2 i passar directament a la subsecci´o 1.3.
1.1 Arc de circumfer`encia determinat per dos punts A cada dos puntsAiBde la circumfer`encia unitat, no diametralment opo-sats, els hi associarem un ´unic arc de circumfer`encia, de longitud menor que
π, (vegeu la figura 1) tal com explicarem a continuaci´o.
A B
O
•Bertrand Russell (fil`osof i matem`atic brit`anic, 1872-1970):
Com ens atrevim a parlar de les lleis de l’atzar? No ´es l’atzar l’ant´ıtesi de totes les lleis?
Encara que pot semblar una paradoxa, tota ci`encia exacta est`a dominada pel concepte d’aproximaci´o.
Una bona notaci´o t´e tantes subtileses i suggeriments que, de ve-gades, s’acosta a la presencia d’un mestre.
•Godfrey H. Hardy (matem`atic angl`es, 1877-1947):
Jo estic interessat en les matem`atiques nom´es com un art creatiu.
Els joves haurien de demostrar teoremes, els vells haurien d’es-criure llibres.
•Albert Einstein (f´ısic alemany, nacionalitzat nord-americ`a, 1879-1955):
Com pot ser que les matem`atiques, es-sent despr´es de tot un producte hum`a, independent de l’experimentaci´o, s’a-daptin admirablement als objectes de la realitat?
Si busques resultats diferents, no facis sempre el mateix.
Quan les lleis de la matem`atica es refereixen a la realitat, no s´on certes; quan s´on certes no es refereixen a la realitat.
Des que els matem`atics han enva¨ıt la teoria de la relativitat, ja no m’entenc a mi mateix.
Tot hauria de ser tan simple com fos possible, per`o no m´es simple.
La imaginaci´o ´es m´es important que el coneixement.
La cosa m´es maca amb la qual podem experimentar ´es el misteri. Aquest ´es la font de tot l’art i ci`encia veritables.
No tot el que es pot comptar compta, i no tot el que compta es pot comptar23.
• Jos´e Ortega y Gasset (fil`osof madrileny, 1883-1955):
Sorprendre’s, estranyar-se, ´es comen¸car a comprendre.
• Eric Temple Bell (matem`atic i escriptor de ci`encia ficci´o nord-americ`a, 1883-1960):
“Obvi” ´es la paraula m´es perillosa en matem`atiques.
• Hermann Weyl (matem`atic alemany, 1885-1955):
La l`ogica ´es la higiene de les pr`actiques matem`atiques per tal de mantenir les seves idees sanes i fortes.
• Gregorio Mara˜n´on (metge i escriptor madrileny, 1887-1960):
La veritable grandesa de la ci`encia acaba valorant-se per la seva utilitat.
• George P´olya (matem`atic hongar`es, 1887-1985):
Aquest principi ´es tan general que no t´e cap aplicaci´o particular.
La matem`atica ´es la ci`encia m´es barata. En contraposici´o a la f´ısica o a la qu´ımica, no requereix cap experiment car. Tot el que necessita un matem`atic ´es un llapis i un paper.
• Ronald Aylmer Fisher (bi`oleg i estad´ıstic brit`anic, 1890-1962):
Demanar ajut a l’estad´ıstic quan l’experiment ja est`a fet pot ser com demanar-li practicar un examen post-mortem: pot ser que ell pugui dir de qu`e ha mort l’experiment.
23Atribu¨ıda.
MAT2
MATerials MATem`atics Volum 2006, treball no. 1, 14 pp.
Publicaci´o electr`onica de divulgaci´o del Departament de Matem`atiques de la Universitat Aut`onoma de Barcelona
www.mat.uab.cat/matmat
Trigonometria esf`erica i hiperb`olica
Joan Girbau
L’objectiu d’aquestes notes ´es establir de forma curta i elegant les f´ormules fonamentals de la trigonometria esf`erica i de la trigonometria hiperb`olica. La redacci´o consta, doncs, de dues seccions independents, una dedicada a la trigonometria esf`erica i l’altra, a la hiperb`olica. La primera est`a adre¸cada a estudiants de primer curs de qualsevol carrera t`ecnica. La segona requereix del lector coneixements rudimentaris de varietats de Riemann.
1 Trigonometria esf`erica
Aquells lectors que ja s`apiguen qu`e ´es un triangle esf`eric i com es mesuren els seus costats i els seus angles poden saltar-se les subseccions 1.1 i 1.2 i passar directament a la subsecci´o 1.3.
1.1 Arc de circumfer`encia determinat per dos punts A cada dos puntsAiBde la circumfer`encia unitat, no diametralment opo-sats, els hi associarem un ´unic arc de circumfer`encia, de longitud menor que
π, (vegeu la figura 1) tal com explicarem a continuaci´o.
A B
O
•Stefan Banach (matem`atic polon`es, 1892-1945):
Un matem`atic ´es una persona que pot trobar analogies entre teoremes; un ma-tem`atic millor ´es un que pot veure ana-logies entre demostracions i el millor matem`atic pot percebre analogies en-tre teories. Hom pot imaginar que el matem`atic definitiu ´es un que pot veu-re analogies entveu-re les analogies.
•Norbert Wiener (matem`atic nord-americ`a, 1894-1964):
[La matem`atica] ´es un camp que sovint s’ha com-parat amb els escacs, per`o difereix d’aquests en el fet que no compten el mals moments, sin´o nom´es els bons. Una simple falta d’atenci´o pot fer perdre una partida d’escacs, mentre que nom´es una apro-ximaci´o reeixida a un problema, entre moltes que han acabat a la paperera, atorga una reputaci´o de matem`atic.
•Maurits Cornelis Escher (gravador neerland`es, 1898-1972):
Enfrontant-me intensament als enigmes que ens envolten, i considerant i analitzant les observaci-ons que he fet, he anat a parar dins del m´on de les matem`atiques. Encara que no tinc cap preparaci´o en les ci`encies exactes sovint semblo tenir m´es co-ses en com´u amb els matem`atics que amb els meus companys artistes.
•Pere Puig i Adam (matem`atic catal`a, 1900-1960):
• Werner Heisenberg (f´ısic alemany, 1901-1976):
Un expert es alg´u que sap quins s´on els pitjors errors que es poden fer en la seva especialitat, i com evitar-los.
• Paul Dirac (f´ısic angl`es, 1902-1984):
Deu ´es un matem`atic24.
• Andrei Nikolaievitx Kolmogorov25 (matem`atic rus, 1903-1987):
La intu¨ıci´o matem`atica es guia freq¨uentment pel sentit de la bellesa. La soluci´o d’un problema ben posat moltes vegades resulta bonica. Per suposat, no tota hip`otesi que sembla maca es demostra. Per`o sovint ´es intel-ligent buscar la soluci´o completa d’un problema entre les que es distingeixen per la seva bellesa.
Tot i que, sincerament, hagi obtingut una gran quantitat d’apli-cacions matem`atiques pr`actiques i resultats ´utils, continuo essent predominantment un matem`atic pur. Admiro aquells matem`atics que han esdevingut importants per a la tecnologia, reconec la import`ancia dels ordinadors i la cibern`etica per al futur de la humanitat; malgrat aix`o, crec que les matem`atiques pures, en la seva forma tradicional, no han cedit el seu lloc d’honor assolit entre les ci`encies.
• Kurt G¨odel (matem`atic i fil`osof austr´ıac, 1906-1978):
Tot error obeeix a factors externs (com ara l’emoci´o i l’educaci´o); la ra´o per ella mateixa no s’equivoca.
24En relaci´o a la frase de Plat´o: Deu ´es un ge`ometra.
25 En aquest segell veiem en primer terme Henry Poincar´e, en segon Kurt G¨odel i en
tercer Andrei N. Kolmogorov.
MAT2
MATerials MATem`atics Volum 2006, treball no. 1, 14 pp.
Publicaci´o electr`onica de divulgaci´o del Departament de Matem`atiques de la Universitat Aut`onoma de Barcelona
www.mat.uab.cat/matmat
Trigonometria esf`erica i hiperb`olica
Joan Girbau
L’objectiu d’aquestes notes ´es establir de forma curta i elegant les f´ormules fonamentals de la trigonometria esf`erica i de la trigonometria hiperb`olica. La redacci´o consta, doncs, de dues seccions independents, una dedicada a la trigonometria esf`erica i l’altra, a la hiperb`olica. La primera est`a adre¸cada a estudiants de primer curs de qualsevol carrera t`ecnica. La segona requereix del lector coneixements rudimentaris de varietats de Riemann.
1 Trigonometria esf`erica
Aquells lectors que ja s`apiguen qu`e ´es un triangle esf`eric i com es mesuren els seus costats i els seus angles poden saltar-se les subseccions 1.1 i 1.2 i passar directament a la subsecci´o 1.3.
1.1 Arc de circumfer`encia determinat per dos punts A cada dos puntsAiBde la circumfer`encia unitat, no diametralment opo-sats, els hi associarem un ´unic arc de circumfer`encia, de longitud menor que
π, (vegeu la figura 1) tal com explicarem a continuaci´o.
A B
O
•Boris Vladimirovitx Gnedenko (matem`atic rus, 1912-1995):
La teoria de les probabilitats d´ona no tant un aparell de c`alcul com una concepci´o m´es `amplia, que permet trobar ordre i regula-ritat all`a on l’enfocament determinista cl`assic resulta impotent.
•Glenn Theodore Seaborg (qu´ımic nord-americ`a, 1912-1999):
L’educaci´o cient´ıfica dels joves ´es al menys tan important, i fins i tot potser m´es, que la pr`opia recerca.
•Paul Erd¨os26 (matem`atic hongar`es, 1913-1996):
Un matem`atic ´es una m`aquina de transformar caf`e en teoremes.
•Freeman John Dyson (f´ısic i matem`atic nord-americ`a, 1923- ):
S´oc perfectament conscient que el matrimoni entre les ma-tem`atiques i la f´ısica, que va ser enormement profit´os en segles passats, ha acabat recentment en divorci.
Per a un f´ısic la matem`atica no ´es nom´es una eina mitjan¸cant la qual poden quantificar-se els fen`omens, ´es tamb´e la principal font de conceptes i principis mitjan¸cant els quals es poden crear noves teories.
26Aquest matem`atic ´es autor de molt´ıssims treballs d’investigaci´o. Per exemple t´e
m´es de 1400 entrades a les bases de dades de treballs matem`atics Zentralblatt-MATH
o MathSciNet. Aquest fet i el que fos un viatger incansable per tot el m´on, col.laborant
constantment amb els matem`atics que visitava, ha fet que s’introdu´ıs a la comunitat
matem`atica l’anomenat nombre d’Erd¨os. Aquest nombre es defineix de la seg¨uent
ma-nera: P. Erd¨os t´e nombre 0. Els autors que s´on coautors amb ell tenen nombre 1. Els
autors que s´on coautors amb coautors d’Erd¨os, per`o no s´on coautors seus tenen
nom-bre 2, i aix´ı successivament. El matem`atics que no tenen cap cadena que els
connec-ti amb ell tenen nombre ∞. La major part dels matem`atics (i molts f´ısics) d’arreu del
m´on tenen nombre d’Erd¨os sorprenentment baix, vegeu per a m´es informaci´o la webThe
Erd¨os Number Project(http://www.oakland.edu/enp/) o la p`agina web de MathSciNet
(http://www.ams.org/mathscinet/otherTools.html, si hi esteu subscrits) per a
calcu-lar el vostre nombre d’Erd¨os. El treball de J. W. Grossman, Patterns of Research in
Mathematics,Notices of the AMS, January 2005, pp. 35–41, que consulta les dades
con-tingudes al MathSciNet entre els anys 1940 i 1999, ens d´ona els seg¨uents resultats: Dels
300 000 autors continguts en aquesta font, uns 208 000 tenen nombre d’Erd¨os finit. Entre
aquests, 509 tenen nombre 1, uns 7000 nombre 2, uns 25000 nombre 3, uns 62000 nombre
4, uns 67000 nombre 5, . . . . La mediana i la moda ´es 5, la mitjana 4.69 i la desviaci´o
t´ıpica 1.27.Els autors d’aquest treball tenen nombres 3 i 4, respectivament. Si la segona
Agra¨ıments: Els autors agraeixen a na Marga Coll, n’Emili Corbella i en V´ıctor Ma˜nosa pels seus suggeriments sobre una primera versi´o d’aquest treball.
Armengol Gasull
Departament de Matem`atiques Universitat Aut`onoma de Barcelona [email protected]
Maria Jolis
Departament de Matem`atiques Universitat Aut`onoma de Barcelona [email protected]
Publicat el 21 de febrer de 2007
MAT2
MATerials MATem`atics Volum 2006, treball no. 1, 14 pp.
Publicaci´o electr`onica de divulgaci´o del Departament de Matem`atiques de la Universitat Aut`onoma de Barcelona
www.mat.uab.cat/matmat
Trigonometria esf`erica i hiperb`olica
Joan Girbau
L’objectiu d’aquestes notes ´es establir de forma curta i elegant les f´ormules fonamentals de la trigonometria esf`erica i de la trigonometria hiperb`olica. La redacci´o consta, doncs, de dues seccions independents, una dedicada a la trigonometria esf`erica i l’altra, a la hiperb`olica. La primera est`a adre¸cada a estudiants de primer curs de qualsevol carrera t`ecnica. La segona requereix del lector coneixements rudimentaris de varietats de Riemann.
1 Trigonometria esf`erica
Aquells lectors que ja s`apiguen qu`e ´es un triangle esf`eric i com es mesuren els seus costats i els seus angles poden saltar-se les subseccions 1.1 i 1.2 i passar directament a la subsecci´o 1.3.
1.1 Arc de circumfer`encia determinat per dos punts A cada dos puntsAiBde la circumfer`encia unitat, no diametralment opo-sats, els hi associarem un ´unic arc de circumfer`encia, de longitud menor que
π, (vegeu la figura 1) tal com explicarem a continuaci´o.
A B
O