Métodos computacionales para visco-hiperelasticidad anisótropa en grandes deformaciones
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(3) Departamento de Vehı́culos Aeroespaciales Escuela Técnica Superior de Ingenieros Aeronáuticos Universidad Politécnica de Madrid. Métodos computacionales para visco-hiperelasticidad anisótropa en grandes deformaciones Marcos Latorre Ferrús Ingeniero Aeronáutico Director de la Tesis Doctoral:. Francisco Javier Montáns Leal Dr. Ingeniero Industrial Catedrático de Universidad. 2015.
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(5) TRIBUNAL. Presidente: D. Enrique Alarcón Álvarez Dr. Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos Catedrático de Universidad. Profesor Emérito. Universidad Politécnica de Madrid. Vocal: D. Manuel Doblaré Castellano. Vocal: Da . Begoña Calvo Calzada. Dr. Ingeniero Industrial. Dr. Ingeniero Industrial. Catedrático de Universidad. Catedrática de Universidad. Universidad de Zaragoza. Universidad de Zaragoza. Vocal: D. Miguel Ángel Caminero Torija. Secretario: D. José Merodio Gómez. Dr. Ingeniero Industrial. Dr. Ingeniero Mecánico. Profesor Ayudante Doctor. Profesor Contratado Doctor. Universidad de Castilla–La Mancha. Universidad Politécnica de Madrid. Suplente: D. Juan José Benito Muñoz. Suplente: Da . Ma del Carmen Serna Moreno. Dr. Ingeniero Industrial. Dr. Ingeniero Industrial. Catedrático de Universidad. Profesor Contratado Doctor. Universidad Nacional de Educación a Distancia. Universidad de Castilla–La Mancha.
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(7) “Biomechanics is as important as it is challenging. Because of the complexity of tissue structure and behavior, there is a need for sophisticated theoretical ideas; because of a continuing lack of data, there is a need for new, clever experiments; because of the geometric complexity of cells, tissues, and organs, there is a need for robust computational methods; and because of the morbidity and mortality that results from disease and injury, there is a need for improved modalities for diagnosis and treatment. Much has been learned and accomplished, but much remains to be done.” Jay D. Humphrey Cardiovascular Solid Mechanics: Cells, Tissues and Organs. 2002..
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(9) Índice general Agradecimientos. III. Resumen. V. Abstract. VII. 1. INTRODUCCIÓN 1.1. Modelado fenomenológico y microestructural 1.2. Grandes deformaciones . . . . . . . . . . . . 1.3. Hiperelasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Viscoelasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. DULCINEA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Estructura de la tesis . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. 2. MEDIDAS DE TENSIÓN Y DEFORMACIÓN 2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Tensiones y deformaciones conjugadas de trabajo . . . . . . . 2.3. Deformaciones logarı́tmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Interpretación del tensor de deformaciones logarı́tmicas 2.3.2. Relación con la geometrı́a de Riemann . . . . . . . . . 3. HIPERELASTICIDAD ANISÓTROPA 3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Modelo isótropo de Sussman y Bathe . . . 3.3. Extensión a isotropı́a transversal . . . . . 3.4. Extensión a ortotropı́a . . . . . . . . . . . 3.5. Consistencia con las simetrı́as del material i. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . .. 1 1 3 5 7 9 11. . . . . .. 13 13 15 36 36 60. . . . . .. 65 65 67 69 107 146.
(10) ÍNDICE GENERAL 4. VISCO-HIPERELASTICIDAD ANISÓTROPA 4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Descomposición multiplicativa de Sidoroff . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Descomposición multiplicativa inversa . . . . . . . . . . . . . . . .. 167 . 167 . 168 . 222. 5. CONCLUSIONES. 259. A. Contribuciones académicas. 265. Bibliografı́a adicional. 267. ii.
(11) Agradecimientos En alguna ocasión me he preguntado por qué razón un ingeniero aeronáutico especializado en propulsión aeroespacial se embarcó, al año de terminar la carrera, en un proyecto de Tesis Doctoral sobre mecánica de sólidos computacional. No es casualidad que siempre haya llegado a la misma conclusión, la cual, además, tiene nombre y apellidos: Francisco Javier Montáns Leal. Tras haber trabajado en algunas empresas del sector aeronáutico, decidı́ regresar a la Universidad con la idea de dedicarme por completo a la docencia. Ahora veo claras dos cosas. La primera es que no tenı́a ni idea de lo que es la Universidad. La segunda, la inmensa suerte que tuve al poder formar parte de este grupo. De Paco he podido aprender un montón sobre mecánica de sólidos, sobre todo de su tratamiento tensorial (sı́, lo reconozco, hace cuatro años apenas recordaba lo que era un tensor y ahora he redactado una tesis en la que no cabe ni uno más) y de su aplicación computacional. Siempre recordaré aquellos primeros dı́as de mi doctorado en los que llegué al segundo capı́tulo del libro Computational Inelasticity, de Simó, y vi unos sı́mbolos extraños que representaban ciertas operaciones que no llegaba a comprender. Ahora, tras cuatro años de duro trabajo personal y de aprendizaje continuo, abro el libro, lo releo, lo comprendo y, lo que es más importante, lo disfruto de principio a fin. Pero Paco no sólo me ha transmitido parte de su vasto conocimiento sobre mecánica de medios continuos y de su inagotable ilusión por seguir aprendiendo dı́a tras dı́a. Ahora sé que no sólo la docencia es importante en la Universidad, sino que la investigación de calidad es fundamental para afianzar su buen rumbo. Si, tal y como parece ser hoy en dı́a, la realización de una tesis doctoral representa sólo el inicio de la carrera universitaria, entonces, bienvenida sea esta tesis y bienvenido sea el inicio de esa carrera repleta de investigación. Paco, siempre serás un referente para mı́. Gracias por todo. Pero estos años en esta Escuela, mi Escuela, no habrı́an sido lo mismo sin mis compañeros Miguel Ángel, Mar y José Marı́a. Hemos pasado muy buenos momentos juntos y hemos sabido llevar la docencia del grupo a muy buen (aero)puerto. Que sepáis que me gustarı́a seguir siendo vuestro compañero por tiempo indefinido. A Mar y a Miguel Ángel les deseo lo mejor en sus tesis doctorales; a José Marı́a, lo mismo en su acreditación para Profesor Titular. Seguro que os va a ir iii.
(12) AGRADECIMIENTOS fenomenal a los tres. Asimismo, no puedo olvidarme de la persona gracias a la cual pude establecer contacto con este magnı́fico grupo. Helena, siempre estaré en deuda contigo por pensar en mı́ y recomendarme para aquel puesto de Ayudante. A uno siempre le gusta tener buenos amigos cerca. Quiero acordarme en estas lı́neas de Quique, mi único compañero de la carrera que decidió, como yo, aventurarse a realizar un doctorado en la Escuela. Las pizzas de los viernes han dado mucho de sı́, sobre todo, para compartir nuestras alegrı́as y penas durante estos años. Aunque no esté tan cerca, no por ello es menor el apoyo que siempre he recibido de mi otro gran amigo de la carrera, Evangelino. También quiero acordarme de Rober y darle muchos ánimos en su apuesta personal por la Universidad Carlos III. Gracias a los tres por vuestra amistad y compañı́a. Os deseo lo mejor en vuestros futuros proyectos personales. También quiero mostrar mi agradecimiento a Xabier Romero, Luis López de Vega y Daniel Rodrı́guez por las distintas contribuciones aportadas a esta tesis como resultado de los diferentes trabajos en los que hemos colaborado. Su esfuerzo y dedicación han servido para mejorar mi trabajo. Os doy las gracias a los tres. Para terminar, no puedo olvidarme de mi familia. Esta tesis se la dedico a mis padres como una pequeña muestra de lo mucho que les debo. Desde aquı́ les transmito mi más sincero agradecimiento por haber confiado en mı́ desde el mismo dı́a en que decidı́ retomar mis estudios. Aunque de aquello hace ya muchos años, a dı́a de hoy no he dejado de sentir su apoyo continuo e incondicional en ningún momento. Como no, también agradezco a mi hermano Llorenç que haya estado a mi lado siempre que lo he necesitado. Espero que sigamos teniendo esas discusiones sobre matemáticas y/o ingenierı́a con las que tanto disfrutamos. Además, a él y a mi cuñada Sara les agradezco que hayan traı́do al mundo a esa pequeña preciosidad llamada Júlia que tantas alegrı́as nos ha dado este último año. Ya por último, y con mención especial, no tengo suficientes palabras de agradecimiento para mi novia (y futura esposa) Azu, por toda la paciencia y comprensión que ha mostrado en estos cuatro años de doctorado. Primero eran las clases, luego los apuntes, los congresos, la tesis, etc. Siempre he tenido algo urgente que hacer hasta horas intempestivas. Sin embargo, nada de ello es tan importante para mı́ como haber compartido con ella todos estos años en Madrid. Miro hacia adelante y me gustarı́a seguir viéndola a mi lado. El 13 de marzo es un dı́a importantı́simo para mı́. Pero el 19 de septiembre aún lo es más.. iv.
(13) Resumen El comportamiento mecánico de muchos materiales biológicos y poliméricos en grandes deformaciones se puede describir adecuadamente mediante formulaciones isocóricas hiperelásticas y viscoelásticas. Las ecuaciones de comportamiento elástico y viscoelástico y las formulaciones computacionales para materiales incompresibles isótropos en deformaciones finitas están ampliamente desarrolladas en la actualidad. Sin embargo, el desarrollo de modelos anisótropos no lineales y de sus correspondientes formulaciones computacionales sigue siendo un tema de investigación de gran interés. Cuando se consideran grandes deformaciones, existen muchas medidas de deformación disponibles con las que poder formular las ecuaciones de comportamiento. Los modelos en deformaciones cuadráticas facilitan la implementación en códigos de elementos finitos, ya que estas medidas surgen de forma natural en la formulación. No obstante, pueden dificultar la interpretación de los modelos y llevar a resultados pocos realistas. El uso de deformaciones logarı́tmicas permite el desarrollo de modelos más simples e intuitivos, aunque su formulación computacional debe ser adaptada a las exigencias del programa. Como punto de partida, en esta tesis se demuestra que las deformaciones logarı́tmicas representan la extensión natural de las deformaciones infinitesimales, tanto axiales como angulares, al campo de las grandes deformaciones. Este hecho permite explicar la simplicidad de las ecuaciones resultantes. Los modelos hiperelásticos predominantes en la actualidad están formulados en invariantes de deformaciones cuadráticas. Estos modelos, ya sean continuos o microestructurales, se caracterizan por tener una forma analı́tica predefinida. Su expresión definitiva se calcula mediante un ajuste de curvas a datos experimentales. Un modelo que no sigue esta metodologı́a fue desarrollado por Sussman y Bathe. El modelo es sólo válido para isotropı́a y queda definido por una función de energı́a interpolada con splines, la cual reproduce los datos experimentales de forma exacta. En esta tesis se presenta su extensión a materiales transversalmente isótropos y ortótropos utilizando deformaciones logarı́tmicas. Asimismo, se define una nueva propiedad que las funciones de energı́a anisótropas deben satisfacer para que su convergencia al caso isótropo sea correcta. v.
(14) RESUMEN En visco-hiperelasticidad, aparte de las distintas funciones de energı́a disponibles, hay dos aproximaciones computacionales tı́picas basadas en variables internas. El modelo original de Simó está formulado en tensiones y es válido para materiales anisótropos, aunque sólo es adecuado para pequeñas desviaciones con respecto al equilibrio termodinámico. En cambio, el modelo basado en deformaciones de Reese y Govindjee permite grandes deformaciones no equilibradas pero es, en esencia, isótropo. Las formulaciones anisótropas en este último contexto son microestructurales y emplean el modelo isótropo para cada uno de los constituyentes. En esta tesis se presentan dos formulaciones fenomenológicas viscoelásticas definidas mediante funciones hiperelásticas anisótropas y válidas para grandes desviaciones con respecto al equilibrio termodinámico. El primero de los modelos está basado en la descomposición multiplicativa de Sidoroff y requiere un comportamiento viscoso isótropo. La formulación converge al modelo de Reese y Govindjee en el caso especial de isotropı́a elástica. El segundo modelo se define a partir de una descomposición multiplicativa inversa. Esta formulación está basada en una descripción co-rotacional del problema, es sustancialmente más compleja y puede dar lugar a tensores constitutivos ligeramente no simétricos. Sin embargo, su rango de aplicación es mucho mayor ya que permite un comportamiento anisótropo tanto elástico como viscoso. Varias simulaciones de elementos finitos muestran la gran versatilidad de estos modelos cuando se combinan con funciones hiperelásticas formadas por splines.. vi.
(15) Abstract The mechanical behavior of many polymeric and biological materials may be properly modelled be means of isochoric hyperelastic and viscoelastic formulations. These materials may sustain large strains. The viscoelastic computational formulations for isotropic incompressible materials at large strains may be considered well established; for example Ogden’s hyperelastic function and the visco-hyperelastic model of Reese and Govindjee are well known models for isotropy. However, anisotropic models and computational procedures both for hyperelasticity and viscohyperelasticity are still under substantial research. Anisotropic hyperelastic models are typically based on structural invariants obtained from quadratic strain measures. These models may be microstructurallybased or phenomenological continuum formulations, and are characterized by a predefined analytical shape of the stored energy. The actual final expression of the stored energy depends on some material parameters which are obtained from an optimization algorithm, typically the Levenberg-Marquardt algorithm. We present in this work anisotropic spline-based hyperelastic stored energies in which the shape of the stored energy is obtained as part of the procedure and which (exactly in practice) replicates the experimental data. These stored energies are based on invariants obtained from logarithmic strain measures. These strain measures preserve the metric and the physical meaning of the trace and deviator operators and, hence, are interesting and meaningful for anisotropic formulations. Furthermore, the proposed stored energies may be formulated in order to have material-symmetries congruency both from a theoretical and from a numerical point of view, which are new properties that we define in this work. On the other hand, visco-hyperelastic formulations for anisotropic materials are typically based on internal stress-like variables following a procedure used by Simó. However, it can be shown that this procedure is not adequate for large deviations from thermodynamic equilibrium. In contrast, a formulation given by Reese and Govindjee is valid for arbitrarily large deviations from thermodynamic equilibrium but not for anisotropic stored energy functions. In this work we present two formulations for visco-hyperelasticity valid for anisotropic stored energies and large deviations from thermodynamic equilibrium. One of the formulations vii.
(16) ABSTRACT is based on the Sidoroff multiplicative decomposition and converges to the Reese and Govindjee formulation for the case of isotropy. However, the formulation is restricted to isotropy for the viscous component. The second formulation is based on a reversed multiplicative decomposition. This last formulation is substantially more complex and based on a corotational description of the problem. It can also result in a slightly nonsymmetric tangent. However, the formulation allows for anisotropy not only in the equilibrated and non-equilibrated stored energies, but also in the viscous behavior. Some examples show finite element implementation, versatility and interesting characteristics of the models.. viii.
(17) Capı́tulo 1 INTRODUCCIÓN 1.1.. Modelado fenomenológico y microestructural. El estudio de ecuaciones de comportamiento constituye una de las áreas fundamentales en Mecánica de Medios Continuos. Básicamente, una ecuación constitutiva relaciona ciertas variables mecánicas o termodinámicas, como por ejemplo, el estado de tensión existente en cualquier punto del medio continuo, con variables cinemáticas que describen su estado de deformación. Las ecuaciones de comportamiento, unidas a las de compatibilidad y equilibrio forman un sistema de ecuaciones diferenciales a resolver bajo las correspondientes condiciones iniciales y de contorno, tal y como se muestra esquemáticamente en la Figura 1.1. En mecánica computacional de sólidos, estas ecuaciones se resuelven empleando técnicas de aproximación numérica, como en el método de los elementos finitos [1]. La tarea de modelado del comportamiento del sólido se puede abordar siguiendo un enfoque micromecánico o macromecánico. En las teorı́as micromecánicas el material se modela mediante ecuaciones constitutivas que relacionan los componentes del mismo a distintas escalas. Las relaciones entre partı́culas, moléculas, cristales, fibras o elementos microestructurales similares se establecen a través de ecuaciones basadas en leyes fı́sicas conocidas, frecuentemente más simples que las macroscópicas. Posteriormente, se intenta correlacionar el comportamiento medio obtenido en los distintos componentes con las propiedades macroscópicas del sólido. Tanto los materiales isótropos como los anisótropos se pueden estudiar desde un punto de vista micromécanico. En el caso de materiales anisótropos, especialmente los materiales compuestos, el tratamiento microestructural facilita el establecimiento de ecuaciones constitutivas para el conjunto macroscópico. Por otro lado, las ecuaciones constitutivas se pueden formular siguiendo una vı́a puramente fenomenológica sin tener en cuenta la estructura interna del sólido en las distintas escalas existentes. Ası́, por ejemplo, según este enfoque las pro1.
(18) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN. Fuerzas. - concentradas F - repartidas q. -en el contorno. Ecuaciones de comportamiento (global). Desplazamientos u. Contorno donde se especifican desplazamientos ∂Ωu. Ecuaciones de equilibrio. Contorno donde se especifican fuerzas ∂Ωf. f. q. Dominio Ω. u. F. Ecuaciones de compatibilidad. -en el dominio f. Ecuaciones de comportamiento (local) Tensiones σ. Deformaciones ε. Figura 1.1: El problema de contorno en Mecánica de Sólidos.. piedades mecánicas asociadas a distintas direcciones en un material anisótropo se describen considerando el sólido como un medio continuo, sin necesidad de considerar la naturaleza de los componentes que originan la anisotropı́a y las posibles interacciones entre los mismos. El modelado micromecánico es importante ya que permite relacionar la respuesta mecánica del sólido con los distintos mecanismos fı́sicos existentes en el medio continuo. Sin embargo, la difı́cil tarea de modelar todas las interacciones existentes entre los distintos elementos hace que las predicciones macromecánicas obtenidas mediante estas teorı́as no sean del todo satisfactorias, en general. La aproximación fenomenológica no permite analizar directamente la influencia de los distintos componentes (sólo indirectamente) pero, a cambio, permite predecir el comportamiento mecánico macroscópico del material de una forma más completa. Debido a su utilidad en simulaciones y análisis en ingenierı́a, esta última ha sido la metodologı́a predominante en la formulación de teorı́as constitutivas en el campo de la mecánica de sólidos, sobre todo en el estudio de los materiales compuestos. Todas las ecuaciones constitutivas y algoritmos computacionales desarrollados en esta tesis están formulados desde un enfoque continuo o fenomenológico. 2.
(19) 1.2. GRANDES DEFORMACIONES. 1.2.. Grandes deformaciones. Los materiales con comportamiento hiperelástico y visco-hiperelástico que se van a estudiar en esta tesis pueden experimentar desplazamientos y deformaciones del mismo orden que sus dimensiones caracterı́sticas. La teorı́a de deformaciones infinitesimales, basada en la hipótesis fundamental de pequeños desplazamientos, no es aplicable en este contexto, por lo que debe extenderse al caso general de deformaciones finitas. En la Figura 1.2 se muestra la deformación sufrida por un sólido entre un instante inicial t = 0 y un instante genérico t. Las coordenadas de un punto en la configuración inicial, de referencia o no deformada, quedan definidas por el vector de posición material o lagrangiano 0 x. Las coordenadas de un punto en la configuración final, actual o deformada, quedan definidas por el vector de posición espacial o euleriano t x. El vector desplazamiento t u describe el desplazamiento experimentado por un punto del sólido entre los instantes inicial y final, de tal forma que t x 0x = 0x + tu 0x (1.1). la cual representa la transformación cinemática básica del sólido en estudio. En la expresión (material) anterior, se dice que t x ( 0 x) es el empuje de 0 x desde la configuración inicial a la final. La expresión (espacial) inversa 0 x ( t x) representa el tiro de t x desde la configuración final a la inicial. Las ecuaciones y formulaciones computacionales en Mecánica de Sólidos se pueden plantear usando variables materiales o espaciales. Como particularidad, todas las formulaciones incluidas en esta tesis están ı́ntegramente desarrolladas siguiendo una descripción material o lagrangiana del problema. La deformación sufrida por el sólido en un entorno del punto material 0 x se puede describir mediante el gradiente de la transformación cinemática de la Ec. (1.1). Como resultado se obtiene el siguiente gradiente material de coordenadas —conocido normalmente como gradiente de deformaciones ∂ t x ( 0 x) (1.2) ∂ 0x Considérense dos puntos infinitamente próximos en la configuración de referencia 0 x e 0 y cuyos empujes son t x e t y, respectivamente, tal y como se muestra en la Figura 1.3. Desarrollando en serie de Taylor las coordenadas espaciales t y en un entorno del punto material 0 x se obtiene ∂ t x ( 0 x) 0 t y 0y = tx 0x + · y − 0 x + ... (1.3) 0 ∂ x Si se considera únicamente el primer término del desarrollo, la expresión anterior se reduce a d t x = t0 X · d 0 x (1.4) t 0X. =. 3.
(20) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN. z. 0. x t. u x t. x. y. Figura 1.2: Configuraciones no deformada y deformada de un sólido. Definición de las coordenadas materiales 0 x, espaciales t x y del vector desplazamiento t u asociados a un mismo punto del sólido.. donde d 0 x = 0 y − 0 x es el vector infinitesimal que une los puntos en la configuración de referencia y d t x = t y − t x es el correspondiente vector infinitesimal deformado. Ası́ pues, el tensor de segundo orden t0 X describe, en primera aproximación, la transformación de elementos infinitesimales de lı́nea entre ambas configuraciones. En el siguiente capı́tulo se verá que el gradiente material de coordenadas t0 X representa la variable básica a partir de la cual se pueden definir distintas medidas de deformación en un contexto de grandes desplazamientos y grandes deformaciones.. t. d 0x. t. 0. x. d tx. x. y. 0. y. Figura 1.3: Transformación del vector material infinitesimal d 0 x en el vector espacial infinitesimal d t x. 4.
(21) 1.3. HIPERELASTICIDAD. 1.3.. Hiperelasticidad. Por simplicidad expositiva, representemos de momento el estado de deformación de un sólido mediante el tensor de segundo orden ε y su estado tensional mediante el tensor de segundo orden σ. Diremos que un material es elástico si su estado tensional en cada instante depende únicamente de su estado de deformación en ese instante σ = σ (ε) (1.5) El material es hiperelástico o puramente elástico si su estado tensional, además, deriva de una función de energı́a elástica (o de energı́a almacenada o de energı́a de deformación) W (ε) definida por unidad de volumen σ = σ (ε) =. ∂W (ε) ∂ε. (1.6). Las teorı́as de elasticidad de Cauchy y de Green describen el comportamiento mecánico de estos materiales, respectivamente. El trabajo mecánico interno desarrollado por las tensiones en un sólido hiperelástico de volumen unidad al pasar de un estado de deformación ε1 a un estado de deformación ε2 es Z t2 Z t2 Z t2 ∂W (ε) : dε = dW (ε) = W (ε2 ) − W (ε1 ) (1.7) σ (ε) : ε̇dt = ∂ε t1 t1 t1 el cual sólo depende de los estados de deformación inicial y final y no del camino seguido entre ellos. Este último enunciado se suele tomar también como la propia definición del concepto de hiperelasticidad, cuya estructura es completamente conservativa. Nótese que este hecho no se puede asegurar en un sólido elástico de Cauchy, en general, lo cual representa la diferencia fundamental entre ambas descripciones [2]. De hecho, la conservación de la energı́a asociada a ecuaciones del tipo (1.5) requiere el cumplimiento de ciertas condiciones de compatibilidad o integrabilidad adicionales. En la Figura 1.4 se muestra una curva representativa del comportamiento de un sólido hiperelástico en un ensayo de tracción simple. Las deformaciones axiales ε pueden ser finitas y el comportamiento σ(ε) altamente no lineal. La carga y descarga describen siempre la misma curva. Como ejemplos de materiales hiperelásticos (o cuyo comportamiento se puede aproximar mediante modelos hiperelásticos) se encuentran los materiales poliméricos, los cuales han sido tradicionalmente los más representativos de este comportamiento. Estos materiales están formados por largas cadenas de moléculas, las cuales, a su vez, pueden presentar ramificaciones y entrecruzamientos (enlaces) entre ellas, formando redes tridimensionales muy estables. Las diferentes estructuras que definen a cada polı́mero otorgan diferentes propiedades de rigidez y 5.
(22) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN. σ. ε Figura 1.4: Curva de comportamiento de un material hiperelástico tı́pico en un ensayo de tracción simple incluyendo carga y descarga bajo deformaciones finitas. resistencia a los mismos. Sin embargo, como caracterı́stica común derivada de su especı́fica estructura interna, muchos de estos materiales conservan un comportamiento puramente elástico hasta niveles muy altos de deformación. Asimismo, en muchos casos, estos materiales soportan deformaciones finitas sin mostrar una variación apreciable de volumen, por lo que se pueden considerar incompresibles. La hipótesis de comportamiento incompresible se acepta en su totalidad en esta tesis, aunque las formulaciones desarrolladas siguen siendo válidas para comportamientos ligeramente compresibles. De hecho, la implementación práctica de la condición de incompresibilidad se realizará a través de funciones de penalización, resultando en formulaciones conocidas como cuasi-incompresibles. Las gomas, ampliamente usadas en aplicaciones de ingenierı́a, son un claro ejemplo de sólidos poliméricos. El caucho vulcanizado1 , reforzado mediante partı́culas de carbono o de sı́lice o mediante fibras de acero, es utilizado en la fabricación de neumáticos y otros muchos elementos en el campo de la automoción. Este último material presenta un comportamiento altamente no lineal y prácticamente incompresible. Se han desarrollado muchos modelos hiperelásticos para representar el comportamiento mecánico de este tipo de materiales [3]. Otras aplicaciones en ingenierı́a que se sirven del comportamiento elástico finito de los materiales poliméricos, tanto isótropos como anisótropos, son tubos sometidos a altas presiones [4] y ciertos componentes electrónicos [5]. Los globos meteorológicos para realizar mediciones de gran altitud son fabricados mediante membranas de material hiperelástico. Los modelos hiperelásticos han permitido, por ejemplo, 1. descubierto de manera fortuita por Charles Goodyear en 1839 al volcar un recipiente de azufre sobre caucho natural caliente.. 6.
(23) 1.4. VISCOELASTICIDAD el estudio de la estabilidad de membranas esféricas elásticas de este tipo ante variaciones de su presión interna [6]. Como aplicaciones médicas encontramos los catéteres para tratamientos clı́nicos [7] e implantes biomecánicos [8]. El análisis no lineal anisótropo en grandes deformaciones de materiales compuestos de tipo fibra/matriz o “composites”, ampliamente usados en el sector aeronáutico y espacial (entre otros tantos), constituye un tema de investigación de gran interés en la actualidad [9]. Algunos biomateriales, como los tejidos biológicos, también pueden sufrir deformaciones finitas conservativas. De hecho, estos materiales son también polı́meros, en este caso biológicos, los cuales están formados por cadenas de colágeno que les transfieren gran flexibilidad y resistencia. En el campo de la biomecánica, el comportamiento de paredes arteriales, ventrı́culos del corazón o la piel, por citar algunos ejemplos, son tratados tanto analı́ticamente como numéricamente mediante formulaciones hiperelásticas [10], [11]. En este caso, las fibras de colágeno se orientan según ciertas direcciones preferentes. Como resultado, estos biomateriales compuestos presentan un comportamiento marcadamente anisótropo. Dicho comportamiento requiere el uso de funciones de energı́a anisótropas para su correcta modelización. La naturaleza polimérica de estos materiales, unido a su gran contenido en agua, provoca que sean prácticamente incompresibles. Es por ello que la hipótesis de incompresibilidad constituye una idealización ampliamente aceptada y empleada también en el campo de la biomecánica computacional [12], [13]. Por todo lo que antecede, es evidente que la mecánica de medios continuos no lineal se erige como la base fundamental para el correcto tratamiento analı́tico y computacional de estos materiales poliméricos y biológicos. Lo mismo se puede afirmar sobre los materiales presentados en el siguiente apartado.. 1.4.. Viscoelasticidad. El estado tensional de un material viscoelástico depende no sólo de su estado de deformación, sino también de la velocidad con la que dicha deformación está teniendo lugar, ası́ como de los estados de deformación y velocidad precedentes. Conceptualmente, para un material viscoelástico podemos escribir σ = σ (ε, ε̇, historia). (1.8). En el Capı́tulo 4 veremos que el estado tensional en los conocidos como materiales viscoelásticos simples se puede descomponer en una suma de una tensión, que denominaremos equilibrada, y otra tensión adicional (“over-stress”, en inglés), que denominaremos no equilibrada. Diremos que el material es visco-hiperelástico 2 si 2. Aun sabiendo que existe una sutil diferencia entre los términos viscoelasticidad y viscohiperelasticidad en el caso más general posible, en esta tesis emplearemos ambos términos para. 7.
(24) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN dichas tensiones derivan de sendos potenciales elásticos Weq y Wneq , respectivamente. Desde un punto de vista termodinámico, la principal diferencia entre los materiales hiperelásticos y visco-hiperelásticos es que los segundos disipan energı́a mediante mecanismos viscosos, la cual ya no es recuperable mecánicamente. Esto significa que el trabajo interno realizado por las tensiones en un sólido viscoelástico al pasar de un estado de deformación ε1 a otro estado ε2 depende tanto del camino seguido como de la velocidad de deformación aplicada a lo largo del proceso —compárese con la Ec. (1.7). En terminologı́a anglosajona diremos que estos materiales son “path dependent” o “history dependent”. Otra diferencia fácilmente apreciable entre los materiales elásticos y viscoelásticos es que, en estos últimos, el paso entre distintos estados de equilibrio no se produce de manera instantánea, sino mediante procesos de relajación de cierta duración. Los fenómenos asociados a una relajación de tensiones (denominado, simplemente, relajación) o de deformaciones (fluencia o “creep”) son de gran interés en ingenierı́a y han sido ampliamente estudiados utilizando la mecánica de medios continuos. En la Figura 1.5 se muestran varias curvas representativas del comportamiento de un sólido viscoelástico para distintas velocidades de deformación en un ensayo de tracción simple. La curva asociada a velocidad de deformación infinita σ (ε, ∞) se denomina curva de carga instantánea. La curva de carga lenta (o infinitamente lenta) es obtenida en el lı́mite de velocidad nula σ (ε, 0) y representa el comportamiento al que tiende el sólido en situación de equilibrio estático para cada valor (fijo) de ε. En este caso, las correspondientes cargas y descargas no describen necesariamente las mismas curvas de comportamiento. Los materiales viscoelásticos se distinguen por presentar caracterı́sticas propias de los sólidos (elasticidad) y de los fluidos (viscosidad). De hecho, los materiales biológicos también pueden comportarse de manera viscoelástica [14], [15]. En ellos, el comportamiento hiperelástico anisótropo se asocia con su estructura interna formada por fibras (colágeno) embebidas en una matriz (elastina), mientas que su posible comportamiento viscoso es fundamentalmente originado por su contenido en agua. También se han observado fenómenos de relajación y “creep” en ciertos tipos de gomas y otros polı́meros sintéticos y naturales [16].. referirnos a un comportamiento visco-hiperelástico puro.. 8.
(25) 1.5. DULCINEA. ε=∞. σ ε. ε=0. ε Figura 1.5: Curvas de comportamiento de un material visco-hiperelástico tı́pico para distintas velocidades de deformación durante el proceso de carga en un ensayo de tracción simple. Las deformaciones pueden ser finitas.. 1.5.. DULCINEA3. Los modelos computacionales y algoritmos numéricos desarrollados en esta tesis se han implementado en un código propio de elementos finitos denominado DULCINEA4 , programado en Fortran 90. En el programa DULCINEA se realizan las etapas de preproceso y cálculo. Las etapas de postproceso y visualización de resultados se llevan a cabo en un postprocesador implementado a tal efecto en MATLAB c . El programa DULCINEA permite una gran flexibilidad a la hora de incorporar nuevas subrutinas, ya sean nuevos elementos, modelos de material o cualquier otro procedimiento, integrándose fácilmente en la estructura principal del programa. Asimismo, es especialmente útil para el investigador, ya que permite un control exhaustivo de todos los procedimientos de cálculo. El programa DULCINEA permite la realización de análisis lineales y no lineales, tanto estáticos como dinámicos. Se incorporan distintos tipos de métodos de resolución del sistema de ecuaciones (LU, Gradiente conjugado, LDU y BiCGSTAB ) dependiendo de las caracterı́sticas del problema (matrices simétricas/no simétricas, dimensión del sistema de ecuaciones, etc.). Para el caso no lineal, se 3. Este apartado ha sido extraı́do y actualizado a partir del correspondiente apartado de la Tesis Doctoral “Elastoplasticidad anisótropa de metales en grandes deformaciones”, realizada por Miguel Ángel Caminero Torija, miembro del presente tribunal, y dirigida también por Francisco Javier Montáns Leal. 4 Programa creado por Francisco Javier Montáns Leal. El nombre DULCINFA es el acróni¯ mo de “Dynamic Updated/total Lagrangean Code for Incremental Nonlinear Finite Element Analysis”.. 9.
(26) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN incorpora el método de Newton-Raphson, que es un método implı́cito que resuelve el sistema de ecuaciones de forma iterativa. Por otra parte, también se incorporan búsquedas lineales (“line searches”), las cuales pueden activarse al detectarse una divergencia durante las iteraciones globales. Además, se ha implementado un procedimiento automático de subdivisión de paso de carga (“automatic time stepping”), que también se activa en casos de falta de convergencia de la solución. Se espera incorporar un control mixto fuerza-desplazamiento, como el método de longitud de arco (“arc-length”), como otra herramienta para intentar evitar la divergencia de la solución ante la presencia de inestabilidades. En este código de elementos finitos se pueden abordar análisis no lineales de varios tipos, ya sean no linealidades del material (plasticidad, viscoplasticidad, etc.) o no linealidades geométricas (hiperelasticidad, formulación en grandes deformaciones). En el programa están implementadas diversas subrutinas de material, tanto de materiales elásticos lineales, como materiales hiperelásticos isótropos (Neo-Hookean, Ogden, Mooney-Rivlin, etc.) o modelos isótropos y anisótropos de plasticidad con endurecimiento mixto en grandes deformaciones. Además, se incorpora la hipótesis cinemática de pequeñas deformaciones y la formulación general de grandes deformaciones, ésta última implementada en dos formulaciones lagrangianas: Updated Lagrangean (UL) y Total Lagrangean (TL). En la formulación de grandes deformaciones, se incorporan medidas de deformación materiales y espaciales (deformación de Green, Almansi o Hencky) y de tensión (tensiones de Cauchy, de Piola–Kirchhoff o generalizadas de Kirchhoff). DULCINEA incorpora elementos bidimensionales, denominados QUAD, bajo las hipótesis de tensión plana, deformación plana y formulación axisimétrica, ası́ como elementos tridimensiones, denominados BRCK. Estos elementos contemplan las opciones de un número variable de nudos y de puntos de integración. Por otro lado, se incorporan elementos para formulación mixta en grandes deformaciones (formulación u/p) bidimensionales, denominados QMIX, y tridimensionales, denominados BMIX, que se utilizan en problemas con un alto grado de incompresibilidad. El programa incluye elementos que permiten distintas combinaciones de nudos de desplazamientos y de presión, con un número también variable de puntos de integración. También contiene elementos mixtos basados en modos incompatibles en grandes deformaciones BINC y BENH. Desde el punto de vista del usuario, el preproceso se realiza a través de un archivo de entrada que está compuesto por una serie de comandos ordenados secuencialmente. Este archivo de entrada permite la definición de parámetros, bucles, condicionales y operaciones básicas entre variables, lo cual otorga cierta flexibilidad a la hora de automatizar la definición e implementación de mallas de elementos, condiciones de contorno y definición de cargas. Los resultados obtenidos en DULCINEA se exportan en archivos de texto y 10.
(27) 1.6. ESTRUCTURA DE LA TESIS se visualizan en un programa implementado en MATLAB c que actúa como postprocesador. Este postprocesador consta de un menú principal interactivo, implementado en formato de ventanas, en el cual se tiene acceso a todas las tareas implementadas. Entre las funcionalidades del postprocesador se pueden destacar las siguientes: visualización de elementos y su numeración, nodos y su numeración, condiciones de contorno y cargas aplicadas, configuraciones deformadas, distribución (“band plots”) de medidas de tensión y deformación personalizadas, creación de simetrı́as y reflexiones de la malla de elementos inicial, cambio del mapa de colores y creación de secuencias y vı́deos. Una de las tareas realizadas en este trabajo ha sido la revisión del programa DULCINEA (varias subrutinas han sido modificadas y mejoradas) y la ampliación de las funcionalidades del mismo. Se han incorporando elementos de contacto bidimensionales (TACT ) y tridimensionales (T3CT )5 , lo cual amplı́a el número de ejemplos que se pueden simular mediante este código de elementos finitos. Se han implementado las respectivas subrutinas de material para el tratamiento numérico de los materiales hiperelásticos y visco-hiperelásticos isótropos, transversalmente isótropos y ortótropos presentados en esta tesis. Asimismo, todas las tareas necesarias para el correcto tratamiento de los modelos basados en splines también han sido programadas. Adicionalmente, las subrutinas de comportamiento hiperelástico citadas han sido implementadas en el programa comercial de elementos finitos ADINA c mediante la incorporación de subrutinas de usuario6 . Por otro lado, se han ampliado las funcionalidades del postprocesador implementado en MATLAB c , incorporando la visualización de elementos de contacto. Finalmente, con el fin de llevar un control sobre las distintas tareas que se van implementando en el programa DULCINEA, se ha iniciado un seguimiento de las sucesivas versiones del programa que se han ido generando.. 1.6.. Estructura de la tesis. En los capı́tulos siguientes se presenta, primero, un tratamiento formal de distintas medidas de deformación y tensión existentes en un contexto de grandes 5. Las subrutinas de elementos de contacto 2D sin fricción han sido programadas en DULCINEA por el presente autor. Las tareas de extensión al caso 3D sin fricción, ası́ como de la incorporación de un modelo de fricción 2D, han sido llevadas a cabo por el alumno Daniel Rodrı́guez Galán (Trabajo Fin de Máster; Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales, UPM) bajo la supervisión del presente autor. 6 La implementación en ADINA c de los modelos hiperelásticos ha sido llevada a cabo por Luis López de Vega (caso isótropo; Beca de Colaboración del Ministerio de Educación, Cultura y Deporte) y Xabier Romero Sáenz (casos anisótropos; Trabajo Fin de Grado), alumnos del Grado en Ingenierı́a Aeroespacial de la Escuela Técnica Superior de Ingenierı́a Aeronáutica y del Espacio de la UPM. Los trabajos han sido supervisados por el presente autor.. 11.
(28) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN deformaciones, ası́ como de las correspondientes relaciones de transformación existentes entre ellas. En segundo lugar se presenta una descripción detallada del tensor de deformaciones logarı́tmicas, tanto de sus útiles propiedades para el modelado constitutivo como de la interpretación de sus componentes. Se incluye una discusión de ámbito académico que originó esta publicación, suscitada por el Dr. Fiala. Posteriormente, se presentan dos modelos constitutivos y formulaciones computacionales para materiales hiperelásticos incompresibles anisótropos. Los modelos constituyen la extensión del modelo isótropo basado en splines de Sussman y Bathe [17] a materiales transversalmente isótropos y ortótropos, respectivamente. Asimismo, se describe una nueva propiedad (“consistencia de simetrı́as en el material”) que todo modelo hiperelástico anisótropo debe poseer para asegurar su convergencia al caso isótropo, tanto de la formulación analı́tica como de la implementación práctica, cuando el material analizado presenta cuasi-isotropı́a. Finalmente, se presentan dos modelos para visco-hiperelasticidad anisótropa completamente no lineales (válidos para grandes desviaciones con respecto al equilibrio termodinámico) junto con los correspondientes algoritmos numéricos para códigos de elementos finitos. El primero de ellos constituye la extensión formal del modelo isótropo de Reese y Govindjee [18] al caso de anisotropı́a elástica. El segundo modelo, basado en una hipótesis cinemática distinta (inversa), permite la consideración adicional de un comportamiento viscoso también anisótropo. Todos los modelos incluidos en esta tesis son fenomenológicos y están formulados en deformaciones materiales logarı́tmicas. En todos los casos se acepta la hipótesis de (cuasi-)incompresibilidad. El contenido fundamental se presenta a través de los distintos trabajos (ya publicados o en proceso de revisión) a los que ha dado lugar esta tesis.. 12.
(29) Capı́tulo 2 MEDIDAS DE TENSIÓN Y DEFORMACIÓN 2.1.. Introducción. En un contexto de grandes deformaciones como el que se ha introducido en el Apartado 1.2 se pueden definir diversas medidas con las que evaluar el nivel de deformación local de un sólido. Considérese, por ejemplo, la elongación uniforme de un elemento unidimensional de longitud inicial 0 l y longitud final t l. Una posible medida de deformación, referida a la longitud inicial del sólido, es l − 0l = t0 λ − 1 (2.1) 0l donde t0 λ := t l/ 0 l es el alargamiento unitario. Las medidas de deformación de este tipo, referidas a la configuración no deformada o de referencia, se denominan deformaciones lagrangianas o materiales. La medida proporcionada en la Ec. (2.1) se corresponde exactamente con la deformación axial ingenieril t0 ε, esto es t (1) 0E. t. =. t (1) 0E. t 0 ∆l 0l. =. = t0 ε. (2.2). Obviamente, la deformación sufrida por el sólido también se puede calcular con respecto a su longitud final, dando lugar a medidas de deformación eulerianas o espaciales. Por ejemplo, una opción es t (1) 0e. t. =. t l − 0l 0λ − 1 = t tl 0λ. (2.3). La medida de deformación t0 e(1) expresada como función de t0 ε es t (1) 0e. =. 1. 13. t 0ε + t0 ε. (2.4).
(30) CAPÍTULO 2. MEDIDAS DE TENSIÓN Y DEFORMACIÓN la cual, a diferencia de t0 E (1) , resulta ser no lineal en términos de t0 ε. Las medidas de deformación anteriores se pueden generalizar mediante las siguientes expresiones —n es un número real tal que n ≥ 0 t (n) 0E. 1 1 t ln − 0 ln = 0 n n l n. =. 1 t ln − 0 ln 1 t0 λn − 1 = t ln n n t0 λn. t n 0λ. y t (n) 0e. −1. =. (2.5). (2.6). las cuales son conocidas como deformaciones unidimensionales de Seth–Hill [19]. Por ejemplo, las deformaciones de Green–Lagrange ( t0 A) y Almansi ( t0 a) se obtienen particularizando las Ecs. (2.5) y (2.6), respectivamente, para n = 2. Las descripciones lagrangiana y euleriana de la deformación logarı́tmica (estudiada con más detalle en el Apartado 2.3) se corresponden con el valor lı́mite n = 0 en sendas expresiones. Claramente, ninguna de las expresiones anteriores es lineal en términos de t t t (1) ε = . En la Figura 2.1 se representan varias medidas de 0 0 λ − 1, excepto 0 E Seth-Hill en función de la deformación ingenieril t0 ε. Se puede apreciar que cada medida de deformación alcanza un valor numérico distinto para cada valor de t0 ε. Sin embargo, es importante entender que aunque dichas medidas tomen valores numéricos distintos, todas ellas están representando realmente el mismo estado de deformación, el cual queda únicamente determinado por la longitud final t l del sólido unidimensional. Es evidente que si se conoce una medida de deformación en un determinado instante, el resto de medidas quedan determinadas automáticamente. A las expresiones que relacionan una medida de deformación con cualquier otra medida las llamaremos relaciones de transformación. Finalmente, en la Figura 2.1 se aprecia que en el caso infinitesimal, esto es para | t0 ε| 1, todas las medidas de deformación convergen a la misma recta t0 E = t0 ε —se llega al mismo resultado desarrollando las Ecs. (2.5) y (2.6) en serie de Taylor con origen en t0 ε = 0 y despreciando los términos no lineales t (n) 0E. ' t0 ε ' t0 e(n). (2.7). Ası́ pues, en un contexto de pequeñas deformaciones, todas las medidas de deformación son equivalentes, por lo que se define una única medida de deformación, esto es, la deformación ingenieril t0 ε. Asimismo, cabe resaltar que en el caso infinitesimal la (única) medida de deformación t0 ε se refiere indistintamente a la configuración inicial o a la final. 14.
(31) 2.2. TENSIONES Y DEFORMACIONES CONJUGADAS DE TRABAJO. medidas de Seth−Hill E(n) y e(n). 1. 0.5. 0 E(2) E(1). −0.5. (0). (0). E ≡e e(1). −1. −1.5 −0.5. e(2). −0.25. 0. 0.25. deformación ingenieril ε. 0.5. Figura 2.1: Medidas de deformación unidimensionales de Seth–Hill. Medidas lagrangianas E (n) y eulerianas e(n) . Casos n = 0, 1, 2.. 2.2.. Tensiones y deformaciones conjugadas de trabajo. En Mecánica de Sólidos estamos interesados en conocer el estado tensional en cada punto del sólido deformado. Al igual que ocurre en el campo de las deformaciones finitas, existen diversas medidas de tensión con las que evaluar el estado tensional del sólido. De hecho, veremos que cada medida de deformación tiene asociada su correspondiente medida de tensión. En el sólido unidimensional en estudio, la potencia mecánica interna por unidad de “volumen” deformado se obtiene a partir del producto de la tensión axial de Cauchy por el gradiente espacial de velocidades, esto es t 0 t 0 t t ∂ ∂ x ∂ x ∂ x ∂ x t t ∂ t 0 λ̇ t ∂ v = σ = σ (2.8) σ t = σ 0 t ∂ x ∂ x ∂t ∂ t x ∂t ∂ 0 x ∂ t x 0λ donde el alargamiento unitario se ha calculado a partir del gradiente material local t 0λ. :=. t ∂ tx l ≡ 0 0 ∂ x l. (2.9). La relación entre los volúmenes final e inicial (o jacobiano J) viene dada por = t V / 0 V . La potencia mecánica interna por unidad de volumen de referencia. t 0J. 15.
(32) CAPÍTULO 2. MEDIDAS DE TENSIÓN Y DEFORMACIÓN resulta entonces. t t t 0 λ̇ J σ 0 t 0λ. = tτ. t 0 λ̇ t 0λ. (2.10). donde t τ := t0 J t σ es la tensión (axial) de Kirchhoff. Sabiendo que, por ejemplo, t0 E (0) = ln( t0 λ) y t0 E (2) = ( t0 λ2 − 1)/2, la potencia (2.10) se puede expresar como ! t0 λ̇ t = t T (0) t0 Ė (0) τ (2.11) t 0λ o también como. . t. τ t 2 0λ. . t t 0 λ 0 λ̇. . = t T (2) t0 Ė (2). (2.12). Ya que ambas expresiones proporcionan el mismo valor de potencia mecánica, diremos que la medida de tensión t T (0) = t τ es conjugada de trabajo de t0 E (0) y que la medida de tensión t T (2) = t τ / t0 λ2 es conjugada de trabajo de t0 E (2) . Asimismo, ya que las deformaciones t0 E (0) y t0 E (2) son medidas materiales, diremos que las tensiones t T (0) y t T (2) son también medidas materiales. De igual manera, se pueden definir medidas eulerianas de tensión conjugadas de trabajo de las correspondientes medidas eulerianas de deformación. De forma similar a lo que ocurre con las distintas medidas de deformación, ya que el estado tensional es único en cada instante, si se conoce el valor t T (0) (o cualquier otro) asociado a un estado de deformación, entonces se puede calcular el valor de la medida t T (2) (o cualquier otra) a través de la relación de transformación correspondiente. En este caso t. T (2) =. t. T (0) t 2 0λ. (2.13). Las respectivas velocidades de deformación lagrangianas se relacionan a través de la transformación inversa t (2) = t0 λ2 t0 Ė (0) (2.14) 0 Ė Es fácil comprobar que en el lı́mite de pequeñas deformaciones, todas las medidas materiales y espaciales de tensión coinciden numéricamente (cuando se desprecian los términos no lineales en t0 ε). Como consecuencia, en estos casos se define una única medida de tensión, esto es, la tensión ingenieril (de Cauchy) t σ. En el siguiente artı́culo1 se extienden todos los resultados anteriores al caso tridimensional. Además: 1. Stress and strain mapping tensors and general work-conjugacy in large strain continuum mechanics. M. Latorre, F.J. Montáns. Enviado a la revista “Applied Mathematical Modelling”. Actualmente en proceso de revisión.. 16.
(33) 2.2. TENSIONES Y DEFORMACIONES CONJUGADAS DE TRABAJO Se introduce un procedimiento sistemático útil para desarrollar ecuaciones constitutivas en grandes deformaciones usando medidas de deformación y tensión arbitrarias. Las relaciones de transformación entre distintos pares de medidas conjugadas de trabajo se presentan a través de sus descomposiciones espectrales. Se proporcionan expresiones explı́citas de las transformaciones existentes entre los tensores de tensión y deformación usados habitualmente en ecuaciones constitutivas. El procedimiento desarrollado puede ser empleado para establecer ecuaciones constitutivas usando el par de deformaciones-tensiones más conveniente (por simplicidad) para luego convertir los resultados a cualquier otro par (por exigencias del programa de cálculo usado, por ejemplo). El procedimiento desarrollado es válido independientemente del tipo de ecuación constitutiva y de las simetrı́as del material. Este procedimiento es utilizado en la implementación numérica de los modelos hiperelásticos y visco-hiperelásticos desarrollados en esta tesis.. 17.
(34) CAPÍTULO 2. MEDIDAS DE TENSIÓN Y DEFORMACIÓN. 18.
(35) Applied Mathematical Modelling Received: 10 February 2015. Stress and strain mapping tensors and general work-conjugacy in large strain continuum mechanics Marcos Latorre · Francisco Javier Montáns. Abstract In this paper we show that mapping tensors may be constructed to transform any arbitrary strain measure in any other strain measure. We present the mapping tensors for many usual strain measures in the Seth-Hill family and also for general, user-defined ones. These mapping tensors may also be used to transform their work-conjugate stress measures. These transformations are merely geometric transformations obtained from the deformation gradient and, hence, are valid regardless of any constitutive equation employed for the solid. Then, advantage of this fact may be taken in order to simplify the form of constitutive equations and their numerical implementation and thereafter, perform the proper geometric mappings to convert the results to usually employed measures. Examples are the transformation of small strains formulations and algorithms to large deformations using logarithmic strains. Keywords Logarithmic strains · Work-conjugacy · Mapping tensors · Hyperelasticity · Plasticity · Viscoelasticity 1 Introduction Whereas in small strain continuum mechanics there is no debate about which ones are the stress and strain measures to be used in constitutive equations, at large strains the options are multiple. Regarding large strains, the Seth-Hill [1, 2] family of strain measures (see also the previous work [3]) are typically used, although some other deformation measures are being proposed [4]. Different authors have different preferences over the strain measures. For example, in large strain hyperelasticity it is typical to use the Cauchy-Green deformation tensor (see for example [5–7]), Marcos Latorre Escuela Técnica Superior de Ingeniera Aeronáutica y del Espacio, Universidad Politécnica de Madrid Pza.Cardenal Cisneros, 28040-Madrid, Spain E-mail: [email protected] Francisco Javier Montáns ( ) Escuela Técnica Superior de Ingeniera Aeronáutica y del Espacio, Universidad Politécnica de Madrid Pza.Cardenal Cisneros, 28040-Madrid, Spain Tel.: +34 637908304 E-mail: [email protected]. 19.
(36) Stress and strain mapping tensors and general work-conjugacy in large strain continuum mechanics. or alternatively the Green-Lagrange strain tensor. Deformation invariants used in anisotropic hyperelasticity are almost always defined from the Cauchy-Green deformation tensor [5]. The reason for this choice is that the Cauchy-Green deformation tensor and the Green-Lagrange strain tensor are directly obtained from the deformation gradient and the latter from the gradient of the displacements. Hence, they are naturally included in the Updated Lagrangian and Total Lagrangian formulations in finite element codes [8, 9]. Logarithmic strains are also a good choice not only for hyperelasticity [10–12] and visco-hyperelasticity [13–15], but specially for plasticity [16–22]. It has been shown that a linear relation between logarithmic strains and Kirchhoff stresses yield a rather accurate prediction of the behavior of some metals and polymers [23, 24]. Furthermore, the use of a quadratic hyperelastic energy function of the logarithmic strains and an exponential integration allows for simple, yet accurate stress integration algorithms in large strain elastoplasticity, where a small strain integration is employed teamed with geometric preand postprocessors [17, 21, 22]. Logarithmic strains have arguably also for a more intuitive and meaningful interpretation, not only for uniaxial loading but also for shear terms [25, 26]. However, one of the issues usually not well treated in the literature and, hence, which yield some misunderstandings is the fact that the choice of one strain measure over another is essentially a matter of tradition and can be also a matter of convenience. One of the purposes of this paper is to show that any strain measure may be directly related to any other strain measure and then, the proper work-conjugate stress measure must be employed. Furthermore, generalized strain measures, not only the Seth-Hill bundle [1,2], may be used if they are more convenient for the purpose, for example in order to possibly establish linear constitutive relations between stresses and strains as, for example in [16–22] and in [4] in a more general context. Then, the transformation from any strain measure (for example the deformation gradient or the Green-Lagrange one) to the generalized one is simply performed using the proper mapping tensor which we also introduce. In a similar way, the transformation of the resulting generalized stress measure to Cauchy or Piola stresses, or the resulting constitutive tangent, may also be performed using similar mapping tensors. An important point is that these transformations are valid regardless of the constitutive equations for the material and of the material symmetries. In fact, we remark that no constitutive equation will be used throughout the paper except in the given example. In essence, they can be considered as deformation measures in locally transformed bodies. Invariants for constitutive equations may also be defined using these generalized strain measures. In the following section of the paper we depart from the stress power to establish power conjugacy from scratch. Then we introduce the stress and strain mapping tensors for most of the typically used strain and their work-conjugate stress measures. Finally we introduce generalized strain measures, their work-conjugate stress 20.
(37) Marcos Latorre, Francisco Javier Montáns. measures and the mapping between two arbitrary sets. We will assume a Cartesian representation to simplify the exposition, but of course the results are valid regardless the system of representation employed. 2 The stress power and work-conjugacy Assume we have a body with an original volume 0 V and a deformed volume t V , surrounded respectively by 0 S and t S. A point representing an infinitesimal volume is denoted in the reference volume by 0 x, and in the current volume by t. x = 0x + tu. (1). where t u are the displacements. The body forces per unit current volume at time t are b and the surface ones (per unit current surface) are t. Then by equilibrium of forces Z Z t t d tS = 0 (2) bd V + tS. tV. By definition of the Cauchy stress tensor σ —Cauchy’s tetrahedron t t x, n = σ( t x) · n = n · σ( t x). (3). where n is the unit vector normal to the plane related to the stress vector t and where the dot implies an index contraction, i.e. a scalar product in the case of vectors. The second identity holds because of equilibrium of angular moments. Then Z Z t n · σ d tS = 0 (4) bd V + tS. tV. and by the Generalized Gauss Theorem —see Eq. (5.1.5) of Reference [27] Z (b + ∇ · σ) d t V = 0. (5). tV. where ∇ · σ is the divergence of the Cauchy stress tensor respect to the current coordinates. By the Localization Theorem the well known local equilibrium equation is obtained —c.f. Eq. (5.3.5) of Reference [27] ∇·σ+b = 0. (6). Aside, if v is the velocity field at time t, such that v = t ẋ = t u̇ the Mechanical Power is P=. Z. t. tV. b·v d V + 21. Z. tS. (7). t · v d tS. (8).
(38) Stress and strain mapping tensors and general work-conjugacy in large strain continuum mechanics. Then using again Eq. (3) and the Generalized Gauss Theorem Z Z t n · σ · v d tS b·v d V + P= tS tV Z Z t ∇ · (σ · v) d t V b·v d V + =. (9) (10). tV. tV. Using for example index notation, the integrand of the second addend is ∂ (σik vk ) = σik,i vk + σik vk,i ∂ t xi = (∇ · σ) · v + σ : ∇v. ∇ · (σ · v) =. (11) (12). where the double-dot implies a double index contraction and we have used the symmetry of σ. Then Eq. (10) results in Z σ : ∇v d t V (13) P= tV. where Eq. (6) has been used. The deformation gradient is defined by —note that frequently this tensor is denoted by F but we use the notation of Reference [8] ∂ tx ∂ 0x so ∂ 0x ∂v ∂ 0 x ∂ ∂ tx −1 ∂v : t = ẊX ∇v = t = 0 : t = 0 ∂ x ∂ x ∂ x ∂t ∂ x ∂ x We note that since σ is a symmetric tensor, the integrand in Eq. (13) is X=. σ : ∇v = σ : sym (∇v) = σ : d where we defined the spatial deformation rate tensor by i 1h −1 T −T d := sym (∇v) = ẊX + X Ẋ 2 By Euler’s formula —see for example Eq. (4.5.24) of Reference [27] d tV = J d 0 V. (14) (15). (16). (17). (18). where J := det X. Then, the stress power Eq. (13) may be written in the reference volume as Z Z t τ : d d 0V (19) σ:dd V = P= 0V. tV. where τ := Jσ is the spatial Kirchhoff stress tensor. Now consider the material Green-Lagrange strain tensor 1 XT X − I A= 2 22. (20).
(39) Marcos Latorre, Francisco Javier Montáns. Then, its objective time derivative, performed in the reference configuration, is 1 T Ẋ X + X T Ẋ (21) Ȧ = 2. The (covariant) push-forward to the spatial configuration of the Green-Lagrange strain tensor is the Almansi strain tensor 1 a = X −T AX −1 = I − X −T X −1 (22) 2. and the (covariant) push-forward to the spatial configuration of the Green-Lagrange strain rate tensor is the deformation rate tensor −1 −1 1 −T T X Ẋ + ẊX ≡d (23) X −T ȦX = 2. which means that d is the Lie derivative along v of the Almansi strain tensor a. In index notation these last two Equations can be written as −T −T aij = Xik Akl Xlj−1 = Xik Xjl−T Akl. −T and dij = Xik Xjl−T Ȧkl. (24). Here we note that these are merely kinematic relations which existence should be obvious from physical grounds. 3 Stress and Strain mapping tensors According to the preceding kinematic relations, we can define a fourth-order mapping tensor (a merely geometric tensor completely defined from the deformation gradient) with components —to shorten this exposition we omit symmetrization issues −T (MaA )ijkl = (MdȦ )ijkl := (X −T ⊙ X −T )ijkl := Xik Xjl−T (25) so MaA : A = a and MdȦ : Ȧ = d. (26). Also note that a geometric mapping tensor may be established between Ẋ and d, i.e. 1 1 (MdẊ )ijkl := (X −T ⊡ I + I ⊙ X −T )ijkl := (Xil−T δjk + δik Xjl−T ) (27) 2 2 such that d = MdẊ : Ẋ (28) and so on. Now consider the following identities τ : d = τ : X −T ȦX. −1. = X −1 τ X −T : Ȧ = S : Ȧ 23. (29).
(40) Stress and strain mapping tensors and general work-conjugacy in large strain continuum mechanics. where we identify the Second Piola-Kirchhoff stress tensor S := X −1 τ X −T . The following geometric mapping tensor defines the associated (contravariant) pullback operation −1 −1 (MSτ )ijkl := (X −1 ⊙ X −1 )ijkl = Xik Xjl (30) so. S = MSτ : τ. (31). Alternatively we can use the transpose −1 −1 (M̄Sτ )ijkl := (X −T ⊙ X −T )ijkl = Xki Xlj = (MSτ )klij. (32). S = τ : M̄Sτ. (33). τ : d = τ : (MdȦ : Ȧ) = (τ : MdȦ ) : Ȧ. (34). S = τ : MdȦ. (35). so Also note that so which provides the relation (compare to Eq. (33)) M̄Sτ = MdȦ. (36). In a similar way as before τ : ∇v = τ : ẊX. −1. = τ X −T : Ẋ = P : Ẋ. (37). where P := τ X −T is the First Piola-Kirchhoff stress tensor (transpose of the so-called Nominal stress tensor). Hence, another relation is obtained through the mapping tensor of Eq. (27) τ : d = (τ : MdẊ ) : Ẋ =⇒ P = τ : MdẊ. (38). and so on. Consider also the Right Polar Decomposition of the deformation gradient X = RU. (39). where R is the rotation tensor and U is the material stretch tensor. Then P : Ẋ = P : RU̇ + ṘU T. = P : RU̇ + P : ṘR RU. T. = RT P : U̇ + τ X −T : (ṘR )X T. (40) (41) (42). = sym(RT P ) : U̇ + τ : (ṘR ). (43). = β : U̇. (44) 24.
(41) Marcos Latorre, Francisco Javier Montáns T. T. where (ṘR ) is a skew-symmetric tensor, τ : (ṘR ) = 0 due to symmetry considerations and we recognize β := sym(RT P ) = 21 (RT P + P T R) as the Biot stress tensor. Of course, the identities hold if power-conjugate tensors are consistently rotated by any rotation tensor, in particular by R τ : d = RT τ R : RT dR = τ̄ : d¯ (45) −1. where d¯ := RT dR = sym(U̇ U ) is the rotated deformation rate tensor and τ̄ := RT τ R is the rotated Kirchhoff stress tensor. Then we note that a mapping tensor that preserves the metric during the transformation and that may be used for both covariant and contravariant tensors may be also defined in this case (MR )ijkl := (R ⊙ R)ijkl = Rik Rjl. (46). so d = MR : d¯ and τ = MR : τ̄ .. 4 Generalized stress and strain measures In general, we can define a Generalized Material Strain Measure E ∗ as a function of the Stretch tensor U E ∗ = f∗ (U ) (47) Of course a basic requirement for a strain measure to be valid is that there exist a one-to-one tensorial relation (not necessarily component-to-component) between U and E ∗ [25]. Examples are the Green-Lagrange strain tensor A = 12 (U 2 − I), the Biot strain tensor (U − I) and the material logarithmic strains E = ln U . Several requirements need to be fulfilled for general strain and stress measures so the transformation is uniquely defined and is valid for the complete range of deformations; we refer to the work of Curnier and Zysset [4] for further details. We consider herein isotropic transformations of the stretch tensor. Hence, the spectral decomposition of the Stretch tensor is U=. 3 X i=1. λ i ni ⊗ ni. (48). where λi are the principal stretches and ni are the principal strain directions in the reference configuration. Then U̇ =. 3 X i=1. λ̇i ni ⊗ ni +. 3 X i=1. 3. λi. X dni dni ⊗ ni + λ i ni ⊗ dt dt i=1. (49). but since ni is a unit vector, its derivative may be written as (see Reference [8], Section 6.2.2, for an alternative derivation) dni = Ω · ni dt 25. (50).
(42) Stress and strain mapping tensors and general work-conjugacy in large strain continuum mechanics. where Ω=. 3 X 3 X i=1 j=1. Ωij ni ⊗ nj =. 3 X X i=1 j6=i. Ωij ni ⊗ nj. (51). is the spin of the material principal directions (a skew-symmetric tensor) projected in that basis, so ! 3 X X dni = Ω · ni = Ωjk nj ⊗ nk · ni (52) dt j=1 k6=j =. 3 X X. Ωjk nj δki =. j=1 k6=j. U̇ =. i=1. =. 3 X i=1. λ̇i ni ⊗ ni + λ̇i ni ⊗ ni +. 3 X X i=1 j6=i. 3 X X i=1 j6=i. Ωji nj. (53). j=1 i6=j. Then Eq. (49) can be written as 3 X. 3 X X. λi Ωji nj ⊗ ni +. 3 X X i=1 j6=i. λi ni ⊗ Ωji nj. (λj − λi ) Ωij ni ⊗ nj. (54). (55). where the antisymmetry property Ωij = −Ωji has been used. The spectral decomposition of the Generalized Strain Measure is of the form ∗. E =. 3 X i=1. f ∗ (λi ) ni ⊗ ni. (56). so following similar algebra, the rate of that measure is ∗. Ė =. 3 X df ∗ (λi ) i=1. dλi. λ̇i ni ⊗ ni +. 3 X X i=1 j6=i. [f ∗ (λj ) − f ∗ (λi )] Ωij ni ⊗ nj. (57). By inspection of the previous expressions we can establish a geometric mapping tensor such that ∗ ∗ Ė = MU̇Ė : U̇ (58) which is given in the principal deformation basis as 3. ∗ MĖ U̇. 3. X X f ∗ (λj ) − f ∗ (λi ) ∂E ∗ X df ∗(λi ) ≡ = Mi ⊗ Mi + M Sij ⊗ M Sij (59) ∂U dλi λj − λi i=1 i=1 j6=i. where we use the (full-symmetric) basis tensors 1 M Sij = (ni ⊗ nj + nj ⊗ ni ) 2 M i = M Sii = ni ⊗ ni (no sum on i) 26. (60) (61).
(43) Marcos Latorre, Francisco Javier Montáns. Moreover, if E † is another general strain measure E† =. 3 X i=1. f † (λi ) ni ⊗ ni. (62). a similar mapping tensor may be established between both general strain measures such that ∗ † ∗ Ė = MĖ : Ė (63) Ė † 3. ∗. Ė MĖ † ≡. ∂E ∗ X df ∗ (λi )/dλi Mi ⊗ Mi = † (λ )/dλ df ∂E † i i i=1 +. 3 X ∗ X f (λj ) − f ∗ (λi ) i=1 j6=i. f † (λ. j). −. f † (λ. i). M Sij ⊗ M Sij. (64). which existence should be obvious from physical grounds since the state of deformation of the medium is unique and we required a one-to-one relation between them and the stretch tensor. We can in general write ∗. ) : Ė = T ∗ : Ė S : Ȧ = (S : MȦ Ė ∗. ∗. (65). where we have defined the Generalized Stress Measure by the following purely geometric relation ∂A (66) =S: T ∗ := S : MȦ Ė ∗ ∂E ∗ For example, for the particular case of the material Logarithmic Strain tensor E we can write ∂A =S: T := S : MȦ (67) Ė ∂E with MȦ Ė. 3 3 X X λ2j − λ2i ∂A X 2 = λi M i ⊗ M i + M Sij ⊗ M Sij ≡ ∂E 2(ln λ − ln λ ) j i i=1 i=1 j6=i. (68). relating the Second Piola-Kirchhoff stress tensor S (work conjugate of A) to the Generalized Kirchhoff stress tensor T (work conjugate of E). Hence τ : d = τ̄ : d¯ = S : Ȧ = T : Ė. (69). To understand why we call the tensor T Generalized Kirchhoff stress tensor, we show now the relation between this stress tensor and the rotated Kirchhoff stress tensor τ̄ . Note that −1 ¯ d¯ = RT dR = U −1 ȦU = (U −1 ⊙ U −1 ) : Ȧ = MdȦ : Ȧ. 27. (70).
(44) Stress and strain mapping tensors and general work-conjugacy in large strain continuum mechanics. so ¯ τ̄ : d¯ = τ̄ : MdȦ : Ȧ. = τ̄ : = τ̄ :. (71). ¯ (MdȦ : MȦ Ė d¯ MĖ : Ė. ) : Ė : MȦ Ė. (72) (73). = T : Ė. (74). and we obtain the desired relationship ¯. T = τ̄ : MdĖ. (75). ¯. where the geometric mapping tensor MdĖ is ¯. ¯. MdĖ = MdȦ : MȦ Ė. (76). ¯. The tensor MdȦ = U −1 ⊙ U −1 projected in principal Lagrangian axes is U −1 ⊙ U −1 = =. 3 3 X X i=1 j=1. 3 X 3 X i=1 j=1. −1 Uii−1 Ujj ni ⊗ nj ⊗ ni ⊗ nj. (77). −1 λ−1 i λ j ni ⊗ nj ⊗ ni ⊗ nj. (78). which is clearly a fourth-order “diagonal” (in matrix notation) tensor. Thus, using this last result and Equation (68), Equation (76) can be rewritten as ¯ MdĖ. =. 3 X i=1. Mi ⊗ Mi +. 3 X X i=1 j6=i. λ2j − λ2i M S ⊗ M Sij 2λi λj (ln λj − ln λi ) ij. (79). Projecting now T and τ̄ in the material principal strain directions and using ¯ Equation (75) and the previous expression for MdĖ , we get T =. 3 X 3 X i=1 j=1. τ̄ =. 3 3 X X i=1 j=1. Tij ni ⊗ nj. (80). τ̄ij ni ⊗ nj. (81). with components Tij = τ̄ij. if i = j λ2j − λ2i Tij = τ̄ij 2λi λj (ln λj − ln λi ) 28. (82) if i 6= j. (83).
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