Ejemplo 6
Una suma de términos con senos y cosenos
Exprese 3 sen x
4 cos x en la forma k sen 1x f2.
Solución
De acuerdo con el teorema anterior,
.
El ángulo f tiene la propiedad de que
y
. Mediante una
calcu-ladora encontramos que f
53.1. Por lo tanto,
■
Ejemplo 7
Gráfica de una función trigonométrica
Escriba la función
en la forma k sen12x f2 y utilice
la nueva forma para graficar la función.
Solución
Puesto que A
1 y
, tenemos entonces
. El ángulo f satisface y
. De acuerdo con los signos de estas cantidades concluimos que
f está en el cuadrante II. Por lo tanto, f
2p/3. De acuerdo con el teorema
precedente podemos escribir
Usando la forma
vemos que la gráfica es una curva seno cuya amplitud es 2, el periodo es 2p
/2 p
y el desplazamiento de fase es
p/3. La gráfica se muestra en la figura 3.
■7.2
Ejercicios
f
1x2 2 sen 2 a x
p
3
b
f
1x2 sen 2x 13 cos 2x 2 sen a 2x
2p
3
b
sen f
13/2
cos f
12
k
2A
2B
211 3 2
B
13
f
1x2 sen 2x 13 cos 2x
3 sen x
4 cos x 5 sen1x 53.1°2
cos f
35sen f
45k
2A
2B
223
24
25
π _π _2 2 π 2 _ π2 π 3 _ y=2 sen 2 ! x+ @π3 y x 0 Figura 31–12 ■ Aplique la fórmula de la adición o de la sustracción
para calcular el valor exacto de la expresión, según se demostró en el ejemplo 1. 1. sen 75 2. sen 15 3. cos 105 4. cos 195 5. tan 15 6. tan 165 7. 8. 9. 10. 11. 12.
13–18 ■ Mediante la fórmula de la adición o de la sustracción para plantear la expresión como una función trigonométrica de un número, y después determinar su valor exacto.
13. sen 18 cos 27 cos 18 sen 27 14. cos 10 cos 80 sen 10 sen 80
tan 7p 12 cos 11p 12 sena5p 12b tanap 12b cos 17p 12 sen19p 12 15. 16. 17. 18.
19–22 ■ Demuestre la identidad de la cofunción usando las fórmulas de adición y sustracción.
19. 20. 21. 22. cscap 2 u b sec u secap 2 u b csc u cotap 2 u b tan u tanap 2 u b cot u cos 13p 15 cosa p 5b sen 13p 15 sena p 5b tan 73° tan 13° 1 tan 73°tan 13° tan p 18 tan p 9 1 tan p 18 tan p 9 cos 3p 7 cos 2p 21 sen 3p 7 sen 2p 21
23–40 ■ Demuestre la identidad. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40.
41–44 ■ Escriba la función sólo en términos de seno.
41. 42. sen x cos x 43. 51sen 2x cos 2x2 44.
45–46 ■ a) Exprese la función sólo en términos del seno. b) Grafique la función.
45. f1x2 sen x cos x 46.
47. Demuestre que si b a p/2, entonces
sen1x a2 cos1x b2 0
g1x2 cos 2x 13 sen 2x
3 sen px 313 cos px
13 sen x cos x
tan1x y2 tan1y z2 tan1z x2
tan1x y2 tan1y z2 tan1z x2
cos x cos y sen z sen x sen y sen z
sen1x y z2 sen x cos y cos z cos x sen y cos z
cos1x y2 cos1x y2 cos2x sen2y
sen1x y2 sen1x y2
cos1x y2 cos1x y2 tan y
1 tan x tan y cos1x y2
cos x cos y
tan x tan y sen1x y2
cos x cos y
cot1x y2 cot x cot y 1
cot x cot y
cot1x y2 cot x cot y 1
cot y cot x
cos1x y2 cos1x y2 2 cos x cos y
sen1x y2 sen1x y2 2 cos x sen y
tana x p 4b tan x 1 tan x 1 cosa x p 6b sen a x p 3b 0 senap 2 x b sen a p 2 x b tan1x p2 tan x cos1x p2 cos x sen1x p2 sen x cosa x p 2b sen x sena x p 2b cos x
48. Sea g1x2 cos x. Demuestre que
49. Refiérase a la figura. Demuestre que a b g, y calcule
tan g.
50. a) Si L es una recta en el plano y u es el ángulo que forma
la recta y el eje x como se muestra en la figura, demues-tre que la pendiente m de la recta está dada por
m tan u
b) Sea L1y L2dos rectas no paralelas en el plano con
pen-dientes m1y m2, respectivamente. Sea c el ángulo agudo
que forman las dos rectas (véase la figura). Demuestre que
c) Calcule el ángulo agudo que forman las dos rectas
d) Demuestre que si dos rectas son perpendiculares,
enton-ces la pendiente de una es el recíproco negativo de la pendiente de la otra. [Sugerencia: primero encuentre una expresión para cot c.]
y13x 1 y y 1 2x 3 y x 0 L⁄ L¤ ¨¤ ¨⁄ ψ=¨¤-¨⁄ tan c m2 m1 1 m1m2 y x 0 L ¨ © 4 6 å 3 ∫ 4 g1x h2 g1x2 h cos x a 1 cos h h b sen x a sen h h b
51–52 ■ a) Grafique la función y plantee una conjetura, luego, b) demuestre que su conjetura es cierta.
51. 52.
53. Calcule ⬔A ⬔B ⬔C de la figura. [Sugerencia: primero
aplique una fórmula de adición para encontrar tan1A B2.]
Aplicaciones
54. Adición de un eco Un dispositivo digital de retardo
for-ma eco de una señal de entrada repitiéndola un tiempo fijo después de que la recibe. Si tal dispositivo recibe la nota pura
f11t2 5 sen t y repite la nota pura f21t2 5 cos t, entonces
el sonido combinado f1t2 f11t2 f21t2.
a) Grafique y f1t2 y observe que la gráfica tiene la forma
de una curva seno, y k sen1t f2.
b) Calcule k y f.
55. Interferencia Dos diapasones idénticos se pulsan: uno a
una fracción de segundo después que el otro. Los sonidos
generados son modelados mediante f11t2 C sen vt y
f21t2 C sen1vt a2. Las dos ondas sonoras interfieren
para producir un solo sonido modelado por la suma de estas funciones.
f1t2 C sen vt C sen1vt a2
a) Use la fórmula de la adición para el seno con el fin
de demostrar que f se puede expresar en la forma
f1t2 A sen vt B cos vt, donde A y B son constantes
que dependen de a. 1 1 1 1 A B C y 123cos1x p2 cos1x p2 4 y sen2a x p 4b sen 2a x p 4b
b) Suponga que C 10 y a p/3. Calcule constantes k y
f para que f1t2 k sen1vt f2.
Descubrimiento • Debate
56. Fórmula de adición para el caso del seno En el texto demostramos sólo las fórmulas de adición y sustracción para el coseno. Aplique estas fórmulas y las identidades de las cofunciones
para demostrar la fórmula de adición para el caso del seno. [Sugerencia: para empezar use la primera identidad de las cofunciones para escribir
y aplique la fórmula de la sustracción para el coseno.]
57. Fórmula de la adición para la tangente Aplique las fórmulas de la adición para el coseno y el seno con el objeto de demostrar la fórmula de la adición para la tangente. [Sugerencia: use
y divida tanto el numerador como el denominador entre cos s cos t.] tan1s t2 sen1s t2 cos1s t2 cos aap 2 s b t b sen1s t2 cos ap 2 1s t2b cos x sen ap 2 x b sen x cos ap 2 x b
7.3
Fórmulas para el ángulo doble, mitad
de ángulo o semiángulo y producto-a-suma
Las identidades que estudiamos en esta sección son consecuencias de las fórmulas de
adición. Las fórmulas para el ángulo doble permiten calcular valores de las funciones
trigonométricas en 2x a partir de los valores en x. Las fórmulas de la mitad de
ángulo o semiángulo relacionan valores de las funciones trigonométricas en
con
sus valores en x. Las fórmulas del producto-a-suma relacionan productos de senos
y cosenos con sumas de senos y cosenos.
Fórmulas para el ángulo doble
Las fórmulas en el recuadro siguiente son consecuencias inmediatas de las fórmulas
de adición, que demostramos en la sección anterior.
1 2
x
1–8 ■ Determinar sen 2x, cos 2x y tan 2x a partir de la informa-ción proporcionada. 1. , x en el cuadrante I 2. , x en el cuadrante II 3. , csc x 0 4. csc x 4, tan x 0 5. , x en el cuadrante III 6. sec x 2, x en el cuadrante IV 7. , cos x 0 8. , sen x 0
9–14 ■ Aplique las fórmulas para reducir la potencia y poder
volver a escribir la expresión en términos de la primera potencia del coseno, como en el ejemplo 4.
9. sen4x 10. cos4x 11. cos2x sen4x 12. cos4x sen2x 13. cos4x sen4x 14. cos6x
15–26 ■ Utilice una fórmula apropiada de mitad de ángulo o semiángulo para determinar el valor exacto de la expresión.
15. sen 15 16. tan 15 17. tan 22.5 18. sen 75 19. cos 165 20. cos 112.5 21. 22. 23. 24. 25. 26.
27–32 ■ Simplifique la expresión mediante la aplicación de una fórmula del ángulo doble o una fórmula del semiángulo.
27. a) 2 sen 18 cos 18 b) 2 sen 3u cos 3u
28. a) b)
29. a) cos2 34 sen2 34 b) cos2 5u sen2 5u
30. a) b) 31. a) b) 32. a) b) B1 cos 8u 2 B 1 cos 30° 2 1 cos 4u sen 4u sen 8° 1 cos 8° 2 sen u 2 cos u 2 cos2u 2 sen 2u 2 2 tan 7u 1 tan2 7u 2 tan 7° 1 tan2 7° sen 11p 12 sen 9p 8 tan 5p 12 cos p 12 cos 3p 8 tan p 8 cot x23 tan x 13 sen x 35 cos x45 tan x 43 sen x135
33. Utilice la fórmula de la adición para el caso del seno con el
fin de demostrar la fórmula del ángulo doble para el caso del seno.
34. Aplique la fórmula de la adición para la tangente con el fin
de demostrar la fórmula del ángulo doble para la tangente.
35–40 ■ Calcule , y a partir de la información proporcionada. 35. , 0 x 90 36. , 180 x 270 37. csc x 3, 90 x 180 38. tan x 1, 0 x 90 39. , 270 x 360 40. cot x 5, 180 x 270
41–46 ■ Exprese el producto en la forma de una suma
41. sen 2x cos 3x 42. sen x sen 5x 43. cos x sen 4x 44. cos 5x cos 3x 45. 3 cos 4x cos 7x 46.
47–52 ■ Escriba la suma como un producto
47. sen 5x sen 3x 48. sen x sen 4x 49. cos 4x cos 6x 50. cos 9x cos 2x 51. sen 2x sen 7x 52. sen 3x sen 4x 53–58 ■ Calcule el valor del producto o suma.
53. 2 sen 52.5 sen 97.5 54. 3 cos 37.5 cos 7.5 55. cos 37.5 sen 7.5 56. sen 75 sen 15 57. cos 255 cos 195 58.
59–76 ■ Demuestre la identidad.
59. cos2 5x sen2 5x cos 10x 60. sen 8x 2 sen 4x cos 4x 61. 62. 63. 64. 65. 66. cot 2 x1 tan 2x 2 tan x 21tan x cot x2
tan2x cot2x sen 2x
1 sen 2x
sen 2x 1
1
2 sec x csc x
sen 4x
sen x 4 cos x cos 2x
2 tan x
1 tan2x sen 2x
1sen x cos x22 1 sen 2x
cos p 12 cos 5p 12 11 sen x 2 cos x 4 sec x32 cos x 45 sen x35 tan x 2 cos x 2 sen x 2
7.3
Ejercicios
67. 68.
69. cos4x sen4x cos 2x
70. 71. 72. 73. 74. 75. 76.
77. Demuestre que sen 130 sen 110 sen 10. 78. Demuestre que cos 100 cos 200 sen 50. 79. Demuestre que sen 45 sen 15 sen 75. 80. Demuestre que cos 87 cos 33 sen 63. 81. Demuestre la identidad.
82. Aplique la identidad
n veces para demostrar que
83. a) Grafique y plantee una conjetura.
b) Demuestre la conjetura que planteó en el inciso a). 84. a) Grafique y haga una conjetura.
b) Demuestre la conjetura que formuló en el inciso a). 85. Sea .
a) Grafique .
b) Verifique que .
c) Grafique y , junto con la gráfica del inciso a) en el mismo rectángulo de visión. ¿Cuál es la relación entre estas gráficas y la gráfica de f?
86. Sea 3x p/3 y y cos x. Utilice el resultado del ejemplo 2
para mostrar que y cumple con la ecuación
8y3 6y 1 0 y 2 cos 12x y 2 cos 12 x f1x2 2 cos 1 2x sen 13 2x y f1x2 f1x2 sen 6x sen 7x f1x2 cos 2x 2 sen2x f1x2 sen 3x sen x cos 3x cos x
sen12nx2 2n sen x cos x cos 2 x cos 4x . . . cos 2n1x
sen 2x 2 sen x cos x
sen x sen 2x sen 3x sen 4x sen 5x
cos x cos 2x cos 3x cos 4x cos 5x tan 3x
tan ysen1x y2 sen1x y2
cos1x y2 cos1x y2
sen x sen y
cos x cos y tan a
x y
2 b
sen x sen 3x sen 5x
cos x cos 3x cos 5x tan 3x
sen 10x
sen 9x sen x
cos 5x cos 4x
sen 3x sen 7x
cos 3x cos 7x cot 2x
sen x sen 5x
cos x cos 5x tan 3x
tan2ax 2 p 4b 1 sen x 1 sen x
41sen6x cos6x2 4 3 sen2 2x
tan 3x3 tan x tan
3x
1 3 tan2x
NOTA Esta ecuación tiene raíces de cierta clase que se
utilizan para demostrar que el ángulo p/3 no se puede
trise-car usando sólo una regla y compás.
87. a) Demuestre que hay un polinomio P1t2 de cuarto grado tal
que cos 4x P1cos x2 (véase ejemplo 2).
b) Demuestre que hay un polinomio Q1t2 de quinto grado tal
que cos 5x Q1cos x2.
NOTA En general, hay un polinomio de grado n tal
que . Estos polinomios se denominan
polinomios de Tchebycheff, en honor al matemático ruso P. L.
Tchebycheff (1821-1894).
88. En el triángulo ABC (véase la figura) el segmento de recta s
biseca el ángulo C. Demuestre que la longitud de s se deter-mina mediante
[Sugerencia: aplique la ley de los senos.]
89. Si A, B y C son los ángulos de un triángulo, demuestre que
90. Se desea inscribir un rectángulo en un semicírculo de radio
igual a 5 cm, según se muestra en la figura.
a) Demuestre que el área del rectángulo está modelada por
la función
A1u2 25 sen 2u
b) Encuentre el área más grande posible para tal rectángulo
inscrito.
c) Calcule las dimensiones del rectángulo inscrito con el
área más grande posible.
Aplicaciones
91. Corte de una viga de madera Se desea cortar una viga
de sección rectangular de un madero cilíndrico de 20 pulg de diámetro.
a) Demuestre que el área de la sección transversal de la
viga está modelada por la función
donde u es como se ilustra en la figura de la página siguiente.
A1u2 200 sen 2u
¨ 5 cm
sen 2A sen 2B sen 2C 4 sen A sen B sen C
C B A a b s x x s2ab cos x a b cos nx Pn1cos x2 Pn1t2
b) Muestre que el área máxima de sección transversal de
la viga es 200 in2. [Sugerencia: aplique el hecho
de que sen u alcanza su valor máximo en u p/2.]
92. Longitud del doblez La esquina inferior derecha de una
pieza de papel de 6 pulg de ancho se dobla a la izquierda como se muestra. La longitud L del doblez depende del ángulo u. Demuestre que
93. Mezcla de sonidos Cuando se tocan juntas dos notas
puras cuyas frecuencias son muy cercanas, sus sonidos in-terfieren para producir batimientos; es decir, la intensidad o amplitud del sonido aumenta y disminuye en forma alterna. Si las dos notas son
f11t2 cos 11t y f21t2 cos 13t
el sonido resultante es f1t2 f11t2 f21t2.
a) Grafique la función y f1t2. b) Verifique que f1t2 2 cos t cos 12t.
c) Grafique y 2 cos t y y 2 cos t, junto con la
gráfica del inciso a), en el mismo rectángulo de visión. ¿Describen estas gráficas la variación en la intensidad del sonido? L ¨ 6 pulg L 3 sen u cos2u 20 pulg ¨ 20 pulg ¨
94. Teléfonos por tonos Cuando se presiona una tecla en
un teléfono por tonos, se generan dos tonos puros, los cuales se combinan para producir un sonido que identifica exclusi-vamente a esa tecla. En la figura se muestra la frecuencia
baja f1y la frecuencia alta f2asociadas con cada una de
las teclas. Al presionar una tecla se produce la onda sonora .
a) Determine la función que modela el sonido generado
cuando se presiona la tecla 4.
b) Aplique la fórmula de suma-a-producto para expresar el
sonido que produce la tecla 4 como un producto de una función seno y una función coseno.
c) Grafique la onda sonora generada por la tecla 4 desde
t 0 a t 0.006 s.
Descubrimiento • Debate
95. Demostración geométrica de una fórmula para el ángulo doble Use la figura para demostrar que
sen 2u 2 sen u cos u.
Sugerencia: calcule el área del triángulo ABC de dos
ma-neras distintas. Son necesarios los hechos siguientes de la geometría:
Un ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto,
de modo que ⬔ACB es un ángulo recto.
El ángulo central que subtiende la cuerda de un círculo es el doble del ángulo que subtiende la cuerda en el círculo,
de modo que ⬔BOC es 2u.
C B A ¨1 O 1 Baja frecuencia f1 1209 Alta frecuencia f2 1336 1477 Hz 697 Hz 1 770 Hz 4 852 Hz 7 941 Hz * 2 5 8 0 3 6 9 # y sen12pf1t2 sen12pf2t2