Exprese 3 sen x 4 cos x en la forma k sen 1x f2. Solución De acuerdo con el teorema anterior, k 2A 2 B

Texto completo

(1)

Ejemplo 6

Una suma de términos con senos y cosenos

Exprese 3 sen x

 4 cos x en la forma k sen 1x  f2.

Solución

De acuerdo con el teorema anterior,

.

El ángulo f tiene la propiedad de que

y

. Mediante una

calcu-ladora encontramos que f

 53.1. Por lo tanto,

Ejemplo 7

Gráfica de una función trigonométrica

Escriba la función

en la forma k sen12x  f2 y utilice

la nueva forma para graficar la función.

Solución

Puesto que A

 1 y

, tenemos entonces

. El ángulo f satisface y

. De acuerdo con los signos de estas cantidades concluimos que

f está en el cuadrante II. Por lo tanto, f

 2p/3. De acuerdo con el teorema

precedente podemos escribir

Usando la forma

vemos que la gráfica es una curva seno cuya amplitud es 2, el periodo es 2p

/2  p

y el desplazamiento de fase es

p/3. La gráfica se muestra en la figura 3.

7.2

Ejercicios

f

1x2  2 sen 2 a x 

p

3

b

f

1x2  sen 2x  13 cos 2x  2 sen a 2x 

2p

3

b

sen f

 13/2

cos f

 

12

k

 2A

2

 B

2

 11  3  2

B

 13

f

1x2  sen 2x  13 cos 2x

3 sen x

 4 cos x  5 sen1x  53.1°2

cos f



35

sen f



45

k

 2A

2

 B

2

 23

2

 4

2

 5

π _π _2 2 π 2 _ π2 π 3 _ y=2 sen 2 ! x+ @π3 y x 0 Figura 3

1–12 ■ Aplique la fórmula de la adición o de la sustracción

para calcular el valor exacto de la expresión, según se demostró en el ejemplo 1. 1. sen 75 2. sen 15 3. cos 105 4. cos 195 5. tan 15 6. tan 165 7. 8. 9. 10. 11. 12.

13–18 ■ Mediante la fórmula de la adición o de la sustracción para plantear la expresión como una función trigonométrica de un número, y después determinar su valor exacto.

13. sen 18 cos 27  cos 18 sen 27 14. cos 10 cos 80  sen 10 sen 80

tan 7p 12 cos 11p 12 sena5p 12b tanap 12b cos 17p 12 sen19p 12 15. 16. 17. 18.

19–22 ■ Demuestre la identidad de la cofunción usando las fórmulas de adición y sustracción.

19. 20. 21. 22. cscap 2  u b  sec u secap 2  u b  csc u cotap 2  u b  tan u tanap 2  u b  cot u cos 13p 15 cosa p 5b  sen 13p 15 sena p 5b tan 73° tan 13° 1 tan 73°tan 13° tan p 18  tan p 9 1 tan p 18 tan p 9 cos 3p 7 cos 2p 21  sen 3p 7 sen 2p 21

(2)

23–40 ■ Demuestre la identidad. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40.

41–44 ■ Escriba la función sólo en términos de seno.

41. 42. sen x cos x 43. 51sen 2x  cos 2x2 44.

45–46a) Exprese la función sólo en términos del seno. b) Grafique la función.

45. f1x2  sen x  cos x 46.

47. Demuestre que si b a  p/2, entonces

sen1x  a2  cos1x  b2  0

g1x2  cos 2x  13 sen 2x

3 sen px 313 cos px

13 sen x  cos x

 tan1x  y2 tan1y  z2 tan1z  x2

tan1x  y2  tan1y  z2  tan1z  x2

 cos x cos y sen z  sen x sen y sen z

sen1x  y  z2  sen x cos y cos z  cos x sen y cos z

cos1x  y2 cos1x  y2  cos2x sen2y

sen1x  y2  sen1x  y2

cos1x  y2  cos1x  y2  tan y

1 tan x tan y  cos1x  y2

cos x cos y

tan x tan y  sen1x  y2

cos x cos y

cot1x  y2  cot x cot y 1

cot x cot y

cot1x  y2  cot x cot y 1

cot y cot x

cos1x  y2  cos1x  y2  2 cos x cos y

sen1x  y2  sen1x  y2  2 cos x sen y

tana x p 4b  tan x 1 tan x 1 cosa x p 6b  sen a x  p 3b  0 senap 2  x b  sen a p 2 x b tan1x  p2  tan x cos1x  p2  cos x sen1x  p2  sen x cosa x p 2b  sen x sena x p 2b  cos x

48. Sea g1x2  cos x. Demuestre que

49. Refiérase a la figura. Demuestre que a b  g, y calcule

tan g.

50. a) Si L es una recta en el plano y u es el ángulo que forma

la recta y el eje x como se muestra en la figura, demues-tre que la pendiente m de la recta está dada por

m tan u

b) Sea L1y L2dos rectas no paralelas en el plano con

pen-dientes m1y m2, respectivamente. Sea c el ángulo agudo

que forman las dos rectas (véase la figura). Demuestre que

c) Calcule el ángulo agudo que forman las dos rectas

d) Demuestre que si dos rectas son perpendiculares,

enton-ces la pendiente de una es el recíproco negativo de la pendiente de la otra. [Sugerencia: primero encuentre una expresión para cot c.]

y13x 1 y y   1 2x 3 y x 0 L⁄ L¤ ¨¤ ¨⁄ ψ=¨¤-¨⁄ tan c m2 m1 1 m1m2 y x 0 L ¨ © 4 6 å 3 ∫ 4 g1x  h2  g1x2 h  cos x a 1 cos h h b  sen x a sen h h b

(3)

51–52a) Grafique la función y plantee una conjetura, luego, b) demuestre que su conjetura es cierta.

51. 52.

53. Calcule ⬔A  ⬔B  ⬔C de la figura. [Sugerencia: primero

aplique una fórmula de adición para encontrar tan1A  B2.]

Aplicaciones

54. Adición de un eco Un dispositivo digital de retardo

for-ma eco de una señal de entrada repitiéndola un tiempo fijo después de que la recibe. Si tal dispositivo recibe la nota pura

f11t2  5 sen t y repite la nota pura f21t2  5 cos t, entonces

el sonido combinado f1t2  f11t2  f21t2.

a) Grafique y f1t2 y observe que la gráfica tiene la forma

de una curva seno, y k sen1t  f2.

b) Calcule k y f.

55. Interferencia Dos diapasones idénticos se pulsan: uno a

una fracción de segundo después que el otro. Los sonidos

generados son modelados mediante f11t2  C sen vt y

f21t2  C sen1vt  a2. Las dos ondas sonoras interfieren

para producir un solo sonido modelado por la suma de estas funciones.

f1t2  C sen vt  C sen1vt  a2

a) Use la fórmula de la adición para el seno con el fin

de demostrar que f se puede expresar en la forma

f1t2  A sen vt  B cos vt, donde A y B son constantes

que dependen de a. 1 1 1 1 A B C y 123cos1x  p2  cos1x  p2 4 y sen2a x p 4b  sen 2a x p 4b

b) Suponga que C 10 y a  p/3. Calcule constantes k y

f para que f1t2  k sen1vt  f2.

Descubrimiento • Debate

56. Fórmula de adición para el caso del seno En el texto demostramos sólo las fórmulas de adición y sustracción para el coseno. Aplique estas fórmulas y las identidades de las cofunciones

para demostrar la fórmula de adición para el caso del seno. [Sugerencia: para empezar use la primera identidad de las cofunciones para escribir

y aplique la fórmula de la sustracción para el coseno.]

57. Fórmula de la adición para la tangente Aplique las fórmulas de la adición para el coseno y el seno con el objeto de demostrar la fórmula de la adición para la tangente. [Sugerencia: use

y divida tanto el numerador como el denominador entre cos s cos t.] tan1s  t2 sen1s  t2 cos1s  t2  cos aap 2  s b  t b sen1s  t2  cos ap 2 1s  t2b cos x sen ap 2  x b sen x cos ap 2  x b

7.3

Fórmulas para el ángulo doble, mitad

de ángulo o semiángulo y producto-a-suma

Las identidades que estudiamos en esta sección son consecuencias de las fórmulas de

adición. Las fórmulas para el ángulo doble permiten calcular valores de las funciones

trigonométricas en 2x a partir de los valores en x. Las fórmulas de la mitad de

ángulo o semiángulo relacionan valores de las funciones trigonométricas en

con

sus valores en x. Las fórmulas del producto-a-suma relacionan productos de senos

y cosenos con sumas de senos y cosenos.

Fórmulas para el ángulo doble

Las fórmulas en el recuadro siguiente son consecuencias inmediatas de las fórmulas

de adición, que demostramos en la sección anterior.

1 2

x

(4)

1–8Determinar sen 2x, cos 2x y tan 2x a partir de la informa-ción proporcionada. 1. , x en el cuadrante I 2. , x en el cuadrante II 3. , csc x 0 4. csc x 4, tan x  0 5. , x en el cuadrante III 6. sec x 2, x en el cuadrante IV 7. , cos x 0 8. , sen x 0

9–14 ■ Aplique las fórmulas para reducir la potencia y poder

volver a escribir la expresión en términos de la primera potencia del coseno, como en el ejemplo 4.

9. sen4x 10. cos4x 11. cos2x sen4x 12. cos4x sen2x 13. cos4x sen4x 14. cos6x

15–26 ■ Utilice una fórmula apropiada de mitad de ángulo o semiángulo para determinar el valor exacto de la expresión.

15. sen 15 16. tan 15 17. tan 22.5 18. sen 75 19. cos 165 20. cos 112.5 21. 22. 23. 24. 25. 26.

27–32 ■ Simplifique la expresión mediante la aplicación de una fórmula del ángulo doble o una fórmula del semiángulo.

27. a) 2 sen 18 cos 18 b) 2 sen 3u cos 3u

28. a) b)

29. a) cos2 34  sen2 34 b) cos2 5u sen2 5u

30. a) b) 31. a) b) 32. a) b) B1 cos 8u 2 B 1 cos 30° 2 1 cos 4u sen 4u sen 8° 1 cos 8° 2 sen u 2 cos u 2 cos2u 2 sen 2u 2 2 tan 7u 1 tan2 7u 2 tan 7° 1 tan2 7° sen 11p 12 sen 9p 8 tan 5p 12 cos p 12 cos 3p 8 tan p 8 cot x23 tan x 13 sen x 35 cos x45 tan x 43 sen x135

33. Utilice la fórmula de la adición para el caso del seno con el

fin de demostrar la fórmula del ángulo doble para el caso del seno.

34. Aplique la fórmula de la adición para la tangente con el fin

de demostrar la fórmula del ángulo doble para la tangente.

35–40 ■ Calcule , y a partir de la información proporcionada. 35. , 0  x  90 36. , 180  x  270 37. csc x 3, 90  x  180 38. tan x 1, 0  x  90 39. , 270  x  360 40. cot x 5, 180  x  270

41–46 ■ Exprese el producto en la forma de una suma

41. sen 2x cos 3x 42. sen x sen 5x 43. cos x sen 4x 44. cos 5x cos 3x 45. 3 cos 4x cos 7x 46.

47–52 ■ Escriba la suma como un producto

47. sen 5x sen 3x 48. sen x sen 4x 49. cos 4x cos 6x 50. cos 9x cos 2x 51. sen 2x sen 7x 52. sen 3x sen 4x 53–58 ■ Calcule el valor del producto o suma.

53. 2 sen 52.5 sen 97.5 54. 3 cos 37.5 cos 7.5 55. cos 37.5 sen 7.5 56. sen 75  sen 15 57. cos 255  cos 195 58.

59–76 ■ Demuestre la identidad.

59. cos2 5x sen2 5x cos 10x 60. sen 8x 2 sen 4x cos 4x 61. 62. 63. 64. 65. 66. cot 2 x1 tan 2x 2 tan x 21tan x  cot x2

tan2x cot2x  sen 2x

1 sen 2x

sen 2x  1 

1

2 sec x csc x

sen 4x

sen x  4 cos x cos 2x

2 tan x

1 tan2x sen 2x

1sen x  cos x22 1  sen 2x

cos p 12 cos 5p 12 11 sen x 2 cos x 4 sec x32 cos x 45 sen x35 tan x 2 cos x 2 sen x 2

7.3

Ejercicios

(5)

67. 68.

69. cos4x sen4x cos 2x

70. 71. 72. 73. 74. 75. 76.

77. Demuestre que sen 130  sen 110  sen 10. 78. Demuestre que cos 100  cos 200  sen 50. 79. Demuestre que sen 45  sen 15  sen 75. 80. Demuestre que cos 87  cos 33  sen 63. 81. Demuestre la identidad.

82. Aplique la identidad

n veces para demostrar que

83. a) Grafique y plantee una conjetura.

b) Demuestre la conjetura que planteó en el inciso a). 84. a) Grafique y haga una conjetura.

b) Demuestre la conjetura que formuló en el inciso a). 85. Sea .

a) Grafique .

b) Verifique que .

c) Grafique y , junto con la gráfica del inciso a) en el mismo rectángulo de visión. ¿Cuál es la relación entre estas gráficas y la gráfica de f?

86. Sea 3x p/3 y y  cos x. Utilice el resultado del ejemplo 2

para mostrar que y cumple con la ecuación

8y3 6y  1  0 y 2 cos 12x y 2 cos 12 x f1x2  2 cos 1 2x sen 13 2x y f1x2 f1x2  sen 6x  sen 7x f1x2  cos 2x  2 sen2x f1x2 sen 3x sen x  cos 3x cos x

sen12nx2  2n sen x cos x cos 2 x cos 4x . . . cos 2n1x

sen 2x 2 sen x cos x

sen x sen 2x  sen 3x  sen 4x  sen 5x

cos x cos 2x  cos 3x  cos 4x  cos 5x tan 3x

tan ysen1x  y2  sen1x  y2

cos1x  y2  cos1x  y2

sen x sen y

cos x cos y tan a

x y

2 b

sen x sen 3x  sen 5x

cos x cos 3x  cos 5x tan 3x

sen 10x

sen 9x sen x

cos 5x cos 4x

sen 3x sen 7x

cos 3x cos 7x cot 2x

sen x sen 5x

cos x cos 5x tan 3x

tan2ax 2 p 4b  1 sen x 1 sen x

41sen6x cos6x2  4  3 sen2 2x

tan 3x3 tan x tan

3x

1 3 tan2x

NOTA Esta ecuación tiene raíces de cierta clase que se

utilizan para demostrar que el ángulo p/3 no se puede

trise-car usando sólo una regla y compás.

87. a) Demuestre que hay un polinomio P1t2 de cuarto grado tal

que cos 4x P1cos x2 (véase ejemplo 2).

b) Demuestre que hay un polinomio Q1t2 de quinto grado tal

que cos 5x Q1cos x2.

NOTA En general, hay un polinomio de grado n tal

que . Estos polinomios se denominan

polinomios de Tchebycheff, en honor al matemático ruso P. L.

Tchebycheff (1821-1894).

88. En el triángulo ABC (véase la figura) el segmento de recta s

biseca el ángulo C. Demuestre que la longitud de s se deter-mina mediante

[Sugerencia: aplique la ley de los senos.]

89. Si A, B y C son los ángulos de un triángulo, demuestre que

90. Se desea inscribir un rectángulo en un semicírculo de radio

igual a 5 cm, según se muestra en la figura.

a) Demuestre que el área del rectángulo está modelada por

la función

A1u2  25 sen 2u

b) Encuentre el área más grande posible para tal rectángulo

inscrito.

c) Calcule las dimensiones del rectángulo inscrito con el

área más grande posible.

Aplicaciones

91. Corte de una viga de madera Se desea cortar una viga

de sección rectangular de un madero cilíndrico de 20 pulg de diámetro.

a) Demuestre que el área de la sección transversal de la

viga está modelada por la función

donde u es como se ilustra en la figura de la página siguiente.

A1u2  200 sen 2u

¨ 5 cm

sen 2A sen 2B  sen 2C  4 sen A sen B sen C

C B A a b s x x s2ab cos x a b cos nx Pn1cos x2 Pn1t2

(6)

b) Muestre que el área máxima de sección transversal de

la viga es 200 in2. [Sugerencia: aplique el hecho

de que sen u alcanza su valor máximo en u p/2.]

92. Longitud del doblez La esquina inferior derecha de una

pieza de papel de 6 pulg de ancho se dobla a la izquierda como se muestra. La longitud L del doblez depende del ángulo u. Demuestre que

93. Mezcla de sonidos Cuando se tocan juntas dos notas

puras cuyas frecuencias son muy cercanas, sus sonidos in-terfieren para producir batimientos; es decir, la intensidad o amplitud del sonido aumenta y disminuye en forma alterna. Si las dos notas son

f11t2  cos 11t y f21t2  cos 13t

el sonido resultante es f1t2  f11t2  f21t2.

a) Grafique la función y f1t2. b) Verifique que f1t2  2 cos t cos 12t.

c) Grafique y 2 cos t y y  2 cos t, junto con la

gráfica del inciso a), en el mismo rectángulo de visión. ¿Describen estas gráficas la variación en la intensidad del sonido? L ¨ 6 pulg L 3 sen u cos2u 20 pulg ¨ 20 pulg ¨

94. Teléfonos por tonos Cuando se presiona una tecla en

un teléfono por tonos, se generan dos tonos puros, los cuales se combinan para producir un sonido que identifica exclusi-vamente a esa tecla. En la figura se muestra la frecuencia

baja f1y la frecuencia alta f2asociadas con cada una de

las teclas. Al presionar una tecla se produce la onda sonora .

a) Determine la función que modela el sonido generado

cuando se presiona la tecla 4.

b) Aplique la fórmula de suma-a-producto para expresar el

sonido que produce la tecla 4 como un producto de una función seno y una función coseno.

c) Grafique la onda sonora generada por la tecla 4 desde

t 0 a t  0.006 s.

Descubrimiento • Debate

95. Demostración geométrica de una fórmula para el ángulo doble Use la figura para demostrar que

sen 2u 2 sen u cos u.

Sugerencia: calcule el área del triángulo ABC de dos

ma-neras distintas. Son necesarios los hechos siguientes de la geometría:

Un ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto,

de modo que ⬔ACB es un ángulo recto.

El ángulo central que subtiende la cuerda de un círculo es el doble del ángulo que subtiende la cuerda en el círculo,

de modo que ⬔BOC es 2u.

C B A ¨1 O 1 Baja frecuencia f1 1209 Alta frecuencia f2 1336 1477 Hz 697 Hz 1 770 Hz 4 852 Hz 7 941 Hz * 2 5 8 0 3 6 9 # y sen12pf1t2  sen12pf2t2

7.4

Funciones trigonométricas inversas

Si f es una función uno a uno o biunívoca con dominio A y rango B, entonces su

in-versa f

1

es la función con dominio B y rango A definida por

Figure

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