APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Notación Sigma
Definición
𝑆𝑒𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓 𝑦 𝑚, 𝑛 𝑦 𝑘 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑡𝑎𝑙 𝑚 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 𝑦 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑓 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑛𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜: 𝑘=𝑚 𝑛 𝑓 𝑘 = 𝑓 𝑚 + 𝑓 𝑛 + 1 + ⋯ + 𝑓 𝑛 + 1 + 𝑓(𝑛) 𝑘 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎 í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑚 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑛 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝟏)
𝒊=𝟏 𝒏𝒌𝒂
𝒊= 𝒌
𝒊=𝟏 𝒏𝒂
𝒊𝟐)
𝒊=𝟏 𝒏𝒂
𝒊± 𝒃𝒊 =
𝒊=𝟏 𝒏𝒂
𝒊±
𝒊=𝟏 𝒏𝒃
𝒊Notación Sigma
Propiedades
𝟏) 𝒊=𝟏 𝒏 𝒄 = 𝒄𝒏 𝟐) 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊 = 𝒏(𝒏 + 𝟏) 𝟐 𝟑) 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊𝟐 = 𝒏(𝒏 + 𝟏)(𝟐𝒏 + 𝟏) 𝟔 = 𝒏(𝟐𝒏𝟐 + 𝟑𝒏 + 𝟏) 𝟔 𝟒) 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊𝟑 = 𝒏 𝟐 𝒏 + 𝟏 𝟐 𝟒
Formulas de suma
Georg Friedrich Bernhard Riemann
DEFINICIÓN DE INTEGRAL DEFINIDA
𝑆𝑖 𝑓 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑎, 𝑏 𝑒𝑛 𝑛 𝑠𝑢𝑏𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 Δ𝑥 = 𝑏−𝑎 𝑛 𝑆𝑒𝑎𝑛 𝑥0 𝑥 = 𝑎 , 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛 𝑥 = 𝑏 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑠𝑢𝑏𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 𝑦 𝑠𝑒𝑎𝑛 𝑥1∗, 𝑥2∗, ⋯ , 𝑥𝑛∗ 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑠𝑢𝑏𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠, 𝑦 𝑥𝑖∗ 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑠𝑢𝑏𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑓 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑎 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑏 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜:න
𝒂 𝒃𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒊=𝟏 ∞𝒇 𝒙
𝒊∗𝜟
𝒙 𝑆𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒, 𝑑𝑒 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑖𝑟 𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 [𝑎, 𝑏]Aplicación 1
ÁREA de una sección curva. Pasos
1. 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ó𝑛 𝑅 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠, 𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑡𝑜𝑚𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎 𝑅 y 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑝𝑜𝑙í𝑔𝑜𝑛𝑜 𝐶𝐼𝑅𝐶𝑈𝑁𝑆𝐶𝑅𝐼𝑇𝑂 𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡é𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑅 𝑦 𝑔𝑒𝑛𝑟𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑝𝑜𝑙í𝑔𝑜𝑛𝑜 𝐼𝑁𝑆𝐶𝑅𝐼𝑇𝑂, 2. 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑢𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 3 𝑆𝑢𝑚𝑎𝑟 𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 4. 𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑟
lim
𝑛→∞ 𝑛
ÁREA 0,2 0,04 0,1 0,3 0,09 0,1 0,4 0,16 0,1 0,5 0,25 0,1 0,6 0,36 0,1 0,7 0,49 0,1 0,8 0,64 0,1 0,9 0,81 0,1 1,0 1,00 0,1 1,1 1,21 0,1 𝒇 𝒙𝒏 ∆ 𝑥
𝑥
𝑛𝑨 = 𝟎, 𝟓𝟎𝟓 𝑼
𝟐Suma Inferior
ÁREA 0,3 0,09 0,1 0,4 0,16 0,1 0,5 0,25 0,1 0,6 0,36 0,1 0,7 0,49 0,1 0,8 0,64 0,1 0,9 0,81 0,1 1,0 1,00 0,1 1,1 1,21 0,1 1,2 1,44 0,1
𝑥
𝑛 𝒇 𝒙𝒏 ∆ 𝑥𝑨 = 𝟎, 𝟔𝟒𝟓 𝑼
𝟐Suma superior
𝑨 = 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ 𝒊=𝟏 𝒏 𝒇 𝒂 + 𝒊 𝒃 − 𝒂 𝒏 𝒃 − 𝒂 𝒏 𝑨 = 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ 𝒊=𝟏 𝒏 𝒇 𝒙𝒊 ∆𝒙
𝒙
𝒊= 𝒂 + 𝒊∆𝒙
∆𝒙 = 𝒃 − 𝒂 𝒏
𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐
Área_ Sumas de RIEMANN
∆𝒙 = 𝒃 − 𝒂 𝒏
𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐
𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐
Área_ Sumas de RIEMANN
𝑨 = 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ 𝒊=𝟏 𝒏 𝒇 𝒙𝒊 ∆𝒙
𝒙
𝒊= 𝒂 + 𝒊∆𝒙
Á𝒓𝒆𝒂 𝒍𝒊𝒎𝒊𝒕𝒂𝒅𝒂 𝒑𝒐𝒓: 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 𝒙 = 𝟎 𝒙 = 𝟐 𝑬𝒋𝒆 𝒙𝑨 = 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ 𝒊=𝟏 𝒏 𝒇 𝒙𝒊 ∆𝒙
𝒙
𝒊= 𝒂 + 𝒊∆𝒙
𝒇 𝒙 = (𝒙 − 𝟏)𝟐+𝟐 𝒙 = −𝟏 𝒙 = 𝟐 𝑬𝒋𝒆 𝒙 Á𝒓𝒆𝒂 𝒍𝒊𝒎𝒊𝒕𝒂𝒅𝒂 𝒑𝒐𝒓:𝑨 = 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ 𝒊=𝟏 𝒏 𝒇 𝒙𝒊 ∆𝒙
𝒙
𝒊= 𝒂 + 𝒊∆𝒙
𝒇 𝒙 = 𝟐(𝒙 + 𝟐)𝟑 𝒙 = −𝟐 𝒙 = 𝟎 𝑬𝒋𝒆 𝒙 Á𝒓𝒆𝒂 𝒍𝒊𝒎𝒊𝒕𝒂𝒅𝒂 𝒑𝒐𝒓:Área_ Sumas de RIEMANN
Área de una región
Á𝒓𝒆𝒂 = න
𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 𝒅𝒙
න
𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = න
𝒂
𝒄
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 + න
𝒄
𝒃
𝒇 𝒙 𝒅𝒙
Área bajo la curva
𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒓 𝒆𝒍 á𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒈𝒓𝒂𝒇𝒊𝒄𝒂 𝒅𝒆 𝒚 = 𝒇 𝒙 : 𝟏. 𝑺𝒖𝒃𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒊𝒓 𝒂, 𝒃 𝒆𝒏 𝒍𝒐𝒔 𝒄𝒆𝒓𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒇 2. 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒓 𝒇 𝒆𝒏 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝒔𝒖𝒃𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐 𝟑. 𝑺𝒖𝒎𝒂𝒓 𝒍𝒐𝒔 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒂𝒃𝒔𝒐𝒍𝒖𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍Área bajo la curva. Aplicación 1
Área bajo la curva. Aplicación 2
Área bajo la curva. Aplicación 3
𝒚 =
𝒙
𝟐
Área bajo la curva. Aplicación 4
Área bajo la curva. Aplicación 5
න
−𝟓
𝟑
𝟐
𝒙
𝟑
𝒆
𝒙−𝟏
𝒅𝒙
ÁREA entre curvas
Á𝑟𝑒𝑎 = න
𝑎 𝑏
ÁREA entre curvas. Aplicación 1
ÁREA entre curvas. Aplicación 2
ÁREA entre curvas. Aplicación 3
𝒚 = −𝒙
𝟐+ 𝟏𝟎;
𝒚 =
𝟗
𝒙
𝟐ÁREA entre curvas. Aplicación 4
ÁREA entre curvas. Aplicación 5
Aplicación 2
Un sólido de revolución está generado por la rotación de un área plana alrededor de una recta del plano o eje de revolución. El volumen de un solido de revolución se puede hallar por uno de los siguientes procedimientos:
𝑴é𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒅𝒊𝒔𝒄𝒐
A) 𝑬𝒍 𝒆𝒋𝒆 𝒅𝒆 𝒓𝒐𝒕𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒆 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒐𝒓𝒏𝒐 𝒅𝒆𝒍 á𝒓𝒆𝒂 𝒑𝒍𝒂𝒏𝒂
1. Se traza un diagrama indicando el área generatriz, una franja representativa perpendicular al eje de rotación , y su rectángulo genérico.
2. Se halla el volumen del disco producido en la rotación del rectángulo genérico alrededor del eje de rotación y la suma de los n rectángulos.
3. Se aplica la regla de Barrow o teorema fundamental del cálculo integral suponiendo que el número de rectángulos crece indefinidamente.
𝑴é𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒅𝒊𝒔𝒄𝒐
𝑩) 𝑬𝒍 𝒆𝒋𝒆 𝒅𝒆 𝒓𝒐𝒕𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒏𝒐 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒆 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒐𝒓𝒏𝒐 𝒅𝒆𝒍 á𝒓𝒆𝒂 𝒑𝒍𝒂𝒏𝒂
1. Se traza un diagrama indicando el área generatriz, una franja representativa perpendicular al eje de rotación , y su rectángulo genérico. 2. Se prolongan los lados del rectángulo genérico ABCD, hasta que corten el
eje de rotación. Cuando este rectángulo gire alrededor del eje de rotación se produce un cilindro cuyo volumen es igual a la diferencia entre los volúmenes generados por los rectángulos EABF y ECDF al girar con respecto al mismo eje. Se halla la diferencia de los dos volúmenes .
3. Se aplica la regla de Barrow o teorema fundamental del cálculo integral suponiendo que el número de rectángulos crece indefinidamente.
𝑬𝒋𝒆 𝒉𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒗𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏
𝑬𝒋𝒆 𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒗𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 = 𝑽 = 𝝅 න
𝒂 𝒃𝑹(𝒙)
𝟐𝒅𝒙
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 = 𝑽 = 𝝅 න
𝒄 𝒅𝑹(𝒚)
𝟐𝒅𝒚
Volumen conocido. Cono
El cono puede ser visto como el sólido que se produce al hacer girar, alrededor del eje y, la región triangular cuyos vértices son (0,0), (r,0) y (0,h), donde h y r son números reales positivos.
Volumen conocido. Aplicación 3
Método de los discos. Aplicación 3
𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒆𝒍 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝒔ó𝒍𝒊𝒅𝒐 𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒂𝒍 𝒉𝒂𝒄𝒆𝒓 𝒈𝒊𝒓𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒈𝒊ó𝒏 𝒍𝒊𝒎𝒊𝒕𝒂𝒅𝒂 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒂 𝒈𝒓𝒂𝒇𝒊𝒄𝒂 𝒅𝒆
Método de los discos. Aplicación 4
𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒆𝒍 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝒔ó𝒍𝒊𝒅𝒐 𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒂𝒍 𝒉𝒂𝒄𝒆𝒓 𝒈𝒊𝒓𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒈𝒊ó𝒏 𝒍𝒊𝒎𝒊𝒕𝒂𝒅𝒂 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒂 𝒈𝒓𝒂𝒇𝒊𝒄𝒂 𝒅𝒆
Método de las arandelas
𝑴é𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒂𝒏𝒊𝒍𝒍𝒐 𝒐 𝒂𝒓𝒂𝒏𝒅𝒆𝒍𝒂
1. Se dibuja en un diagrama, el área generatriz, una franja representativa paralela al eje de rotación y su rectángulo correspondiente.
2. Se halla el volumen (=circunferencia media x altura x espesor) del anillo cilíndrico producido en la rotación del rectángulo genérico con respecto al eje de giro y se halla la correspondiente suma de los n rectángulos .
3. Se aplica la regla de Barrow o teorema fundamental del cálculo integral suponiendo que el número de rectángulos crece indefinidamente.
Método de las arandelas
Método de las arandelas. Aplicación 1
𝑯𝒂𝒍𝒍𝒂𝒓 𝒆𝒍 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝒔ó𝒍𝒊𝒅𝒐 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒅𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒆𝒍 𝒈𝒊𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒈𝒓𝒂𝒇𝒊𝒄𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒚 = 𝒙 𝒆 𝒚 = 𝒙𝟐:
Método de las arandelas. Aplicación 2
𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒆𝒍 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝒔ó𝒍𝒊𝒅𝒐 𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒂𝒍 𝒉𝒂𝒄𝒆𝒓 𝒈𝒊𝒓𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒈𝒊ó𝒏 𝒍𝒊𝒎𝒊𝒕𝒂𝒅𝒂 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒂 𝒑𝒂𝒓á𝒃𝒐𝒍𝒂
𝒙 = 𝒚𝟐 + 𝟏 𝒚 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂 𝒙 = 𝟑 𝒆𝒏 𝒕𝒐𝒓𝒏𝒐 𝒂 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂 𝒙 = 𝟑
Método de las arandelas. Aplicación 3
𝑹𝒂𝒅𝒊𝒐 𝒆𝒙𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 = 𝟐 − 𝒚
𝟐𝑹𝒂𝒅𝒊𝒐 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 = 𝟐 − 𝒚
𝑬𝒋𝒆 𝒅𝒆 𝒓𝒐𝒕𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍
Método de las arandelas. Aplicación 4
𝑬𝒋𝒆 𝒅𝒆 𝒓𝒐𝒕𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒉𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍
𝑹𝒂𝒅𝒊𝒐 𝒆𝒙𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 = 𝟒 − 𝒙
𝟐+ 𝟐𝒙
𝑹𝒂𝒅𝒊𝒐 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 = 𝟒 − 𝒙
Método de los casquetes cilíndricos
La aproximación al
volumen del sólido será
mejor entre más grande
sea
n
, el número de
casquetes cilíndricos.
Se puede mostrar que:
1
lim
(2
*)
(
*)
2
( )
n b i i n a iV
x
f x
x
x f x dx
→ ==
=
Método de los casquetes cilíndricos
3 0 3 3 2 0 3 4 3 2 0 3 5 2 4 3 0 2 ( ) 2 ( 4 3 1) 2 ( 4 3 ) 99 2 5 2 5 x f x dx x x x x dx x x x x dx x x x x = = − + − + = − + − + = − + − + =
Volumen de área limitada por dos
funciones
En este caso, a diferencia de los ejemplos anteriores, hay dos funciones
involucradas que son:
3 2 2
( )
6
12
5
( )
4
3
g x
x
x
x
f x
x
x
=
−
+
−
= −
+
−
Consideremos que este sólido
está formado por una serie de
casquetes cilíndricos
incrustados los unos dentro de
los otros.
Volumen de área limitada por dos
funciones
Esta vez, los casquetes no sólo
varían en cuanto a su radio y a su
altura, sino que varían además en
cuanto a su ubicación respecto del
eje
x:
Arriba:
y
=
x
3− 6
x
2+ 12
x
− 5
Abajo:
y
= −
x
2+ 4
x
− 3
Volumen de área limitada por dos
funciones
En este caso, un casquete
cilíndrico de radio
x
tiene
como altura:
3 2 2 3 2 ( ) ( ) ( 6 12 5) ( 4 3) 5 8 2. g x f x x x x x x x x x − = − + − − − + − = − + −Volumen de área limitada por dos
funciones
(
)
(
)
(
)
3 3 3 2 1 1 3 5 4 3 3 4 3 2 2 1 1 3 5 4 3 2 12
( )
( )
2
5
8
2
5
8
2
5
8
2
2
5
4
3
292
12
75
160
60
.
30
15
x g x
f x
dx
x x
x
x
dx
x
x
x
x
x
x
x dx
x
x
x
x
x
−
=
−
+
−
=
−
+
−
=
−
+
−
=
−
+
−
=
◙
Región que gira alrededor de una
2 ( ) 2 2 . f x = − x − x 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑒 𝑎𝑙 ℎ𝑎𝑐𝑒𝑟 𝑔𝑖𝑟𝑎𝑟 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑥 = 1, 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ó𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡á 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥, 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑦 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑥 = 2, 𝑥 = 3, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒
Región que gira alrededor de una
El radio de un casquete cilíndrico
cualquiera, que tiene como altura
f
(
x
), es
x
− 1, y no
x
como en los
casos anteriores, porque el sólido
tiene como eje de rotación a la
recta
x
= 1.
Región que gira alrededor de una
En este caso, la integral del
volumen es:
(
)
3 2 22 (
1) 2
2
V
=
x
−
−
x
−
x dx
Región que gira alrededor de una
(
)
3 2 2 3 3 2 2 22 (
1) 2
2
4
(
1)
2
(
1)
2
V
x
x
x dx
x
dx
x
x
x dx
=
−
−
−
=
−
−
−
−
La primera integral no tiene problema. Para evaluar la segunda
podemos hacer la sustitución
u
=
x
2− 2
x
.
Por lo tanto,
du
= 2(
x
− 1)
dx
.
Los límites de integración: si
x
= 2, entonces
u
= 0 y si
x
= 3,
entonces
u
= 3. Así:
Región que gira alrededor de una
3 3 1 2 2 0 3 3 2 3 2 0 2
4
(
1)
2
4
6
2 3
2
3
V
x
dx
u
du
x
x
u
=
−
−
=
−
−
=
−
◙
Región que gira alrededor de una
Los casquetes cercanos al centro son altos y su radio es pequeño, mientras que los que se sitúan más al exterior tienen un radio amplio pero su altura es pequeña.
La altura de los casquetes
cilíndricos está dada por la
recta
y
= ( −
h
/
r
)
x
+
h
.
(
)
0 0 2 3 2 0 0 2 3 2 2 (2 ) ( ) 2 ( ) 1 2 2 2 3 1 1 2 2 2 3 6 3 r r r r V x f x dx x h r x h dx x x h x x dx h r r r r h r h r h r = = − + = − = − = − = =
Aplicación 3
Longitud de una curva
Si una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) tiene una primera derivada continua sobre un intervalo
[𝑎, 𝑏], entonces se dice que la gráfica es suave y 𝑓 se denomina función suave. Como el nombre lo implica, una gráfica suave carece de picos. En el análisis que sigue se establece una fórmula formal de la longitud 𝐿, o longitud de arco, de una gráfica suave sobre un intervalo [𝑎, 𝑏].
𝐿 = න
𝑎 𝑏1 + 𝑓
′(𝑥)
2𝑑𝑥
𝐿 = න
𝑎 𝑏1 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2𝑑𝑥
Longitud de una curva
Longitud de una curva
𝑦 =
𝑥
55
+
1
12𝑥
31
2
,
3
2
Longitud de una curva
𝑦 =
34 −
3𝑥
2 2−1,
5
2
Aplicación 4
Trabajo
En física, cuando una fuerza constante 𝐹 mueve un objeto a una distancia 𝑑 en la misma dirección de la fuerza, el trabajo realizado se define como el producto:
𝑊 = 𝐹𝑑
𝑊 = න
𝑎 𝑏
FUERZA CONSTANTE. El trabajo 𝒘 realizado por una fuerza constante 𝑭 a lo largo de un espacio 𝒔 en línea recta, es 𝑭 ∗ 𝒔 unidades.
FUERZA VARIABLE. Si consideramos una fuerza que varíe constantemente a lo largo de un espacio rectilíneo. Llamando 𝒙 a la distancia realizado por una fuerza constante 𝑭 a lo largo de un espacio del punto de aplicación de la fuerza a un punto fijo de la recta, la fuerza vendrá dada por una función 𝑭 𝒙 , de 𝒙.
Trabajo
La ley de Hooke establece que cuando un resorte se estira (o comprime) más allá de su longitud natural, la fuerza de reconstitución ejercida por el resorte es directamente
proporcional a la cantidad de elongación (o compresión) x.
Así, para estirar un resorte 𝑥 unidades más allá de su longitud natural es necesario aplicar la fuerza
𝐹 𝑥 = 𝑘𝑥
Para hallar el trabajo realizado cuando el punto de aplicación se desplaza desde
𝒙 = 𝒂 hasta 𝒙 = 𝒃.
Se divide el intervalo 𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃 en 𝒏 subintervalos de longitud ∆𝒌𝒙 y sea 𝒙𝒌
un punto cualquiera del 𝒌 − é𝒔𝒊𝒎𝒐 subintervalo.
Se supone que durante el desplazamiento a lo largo del 𝒌 − é𝒔𝒊𝒎𝒐
subintervalo la fuerza es constante e igual a 𝒌(𝒙𝒌); el trabajo realizado es igual a 𝒌(𝒙𝒌)∆𝒌𝒙,y el trabajo total debido al conjunto de las 𝒏 fuerzas vendrá dado por:
𝒌=𝟏 𝒏
𝒌(𝒙𝒌)∆𝒌𝒙
Se aplica la regla de Barrow o teorema fundamental del cálculo:
𝒘 = 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒌=𝟏 𝒏𝑭 𝒙
𝒌∆
𝒌𝒙 = න
𝒂 𝒃𝑭 𝒙 𝒅𝒙
Trabajo Mecánico
La fuerza 𝑓(𝑥) necesaria para estirar o comprimir un resorte 𝑥 unidades a partir de su longitud natural está dada por
𝑓 𝑥 = 𝑘𝑥
Donde 𝑘 es una constante del resorte denominada constante de rigidez del resorte
O O X
La constante de rigidez de un resorte vale 400000 kg fuerza
por metro. Hallar el trabajo necesario para comprimirlo un
centímetro.
O O
5 cm
Determinar el trabajo realizado para estirar un resorte cuya longitud natural es de 5 cm, se sabe que para estirarlo hasta 10 cm mantenerlo en esa posición se requiere de una F=20 N. El trabajo a calcular es cuando el resorte se estira hasta 15 cm y luego hasta25 cm.
10 cm 15 cm 20 cm
𝒘 = න
𝟎.𝟎𝟓 𝟎.𝟏
𝟒𝟎𝟎𝒙𝒅𝒙
Se requiere de una fuerza de 4 kg para estirar un resorte de su longitud natural de 15 cm hasta 20 cm.
1. Encontrar el trabajo realizado para estirar el resorte desde su longitud natural hasta una longitud de 25 cm.
2. Encontrar el trabajo realizado para estirar el resorte desde una longitud de 17.5 cm hasta una longitud de 22.5 cm
15 cm 17.5 cm 20 cm 22.5 cm
Trabajo
Presión y fuerza del fluido
Todo el mundo ha experimentado que se le “tapan los oídos” e incluso dolor en los oídos cuando desciende en avión (o en un elevador), o cuando bucea hacia el fondo de una piscina. Estas sensaciones molestas en los oídos se deben a un incremento en la presión ejercida por el aire o el agua sobre mecanismos en el oído medio. El aire y el agua son ejemplos de fluidos.
