ULPGC
INVESTIGACIÓN OPERATIVA
CURSO 2003-2004
PROGRAMACIÓN ENTERA
PROGRAMACIÓN ENTERA
Hillier
Hillier
y
y
Lieberman
Lieberman
,
,
cap
cap
.13
.13
Introducción
l
Programación lineal (método del
simplex) variables continuas
l
Programación entera: restricción
adicional: variables han de ser enteras
Caso particular: programación entera binaria
(0/1)
Programación entera mixta: algunas
variables han de ser enteras, otras no
Como formular problemas de PEB
l
Alternativas mutuamente excluyentes
lX1+X2=1
l
X1+X2<=1
l
Decisiones contingentes
lX3-X1<=0
Como formular problemas de PEB (2)
Uso de variables binarias auxiliares
l
Restricciones de una u otra
l3X1+2X2<=18+yM
l
X1+4X2<=16+(1-y)M
lM muy grande
l
Deben cumplirse K de M restricciones
Como formular problemas de PEB (3) Problema de cargo fijo
l
Ver Hillier y Lieberman cap 13
Como formular problemas de PEB (4)
Reescribiendo variables enteras como funciones lineales de variables binarias
l
Una variable X tiene la restricción 0<=X<=u
donde 2
N-1<u<=2
Nl
Cada valor factible de X se puede expresar
de forma única como la suma de N+1
variables binarias auxiliares y
l
Donde las y son variables binarias
∑
==
N i i iy
X
02
Resolución de problemas de
programación entera
l
Enumeración exhaustiva
l
Relajación lineal (LP relaxation)
l
Branch and bound (Ramificar y acotar)
l
Método de los planos de corte (Gomory)
Enumeración exhaustiva
No es viable, debido a que las soluciones crecen de forma exponencial
Relajación lineal (I)
Consiste en resolver el mismo problema sin las condiciones de variables enteras
Si el óptimo cumple las condiciones de las variables enteras, entonces es óptimo del problema entero
0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 Politopo entero:
Todos los ptos extremos son enteros
Branch and bound
Método de enumeración implícita:
divide en problemas menores: ramificación y descarta algunos de ellos: acotación A veces puede usarse como heurístico, si no se exploran todos los nodos. Si se exploran todos sí se garantiza el óptimo.
Ejemplo 1
l
Ver Hillier y Lieberman, 13.4
Algoritmo Branch & Bound
0. Resolver el problema lineal relajado asociado - si la solución es entera: solución óptima - si no es entera, ir al paso 1. Inicializar la cota
1. Ramificación: Crear dos subproblemas ramificando una variable (en 0-1 o en x≤K y x≥K)
2. Acotación: Para cada subproblema, determinar una cota (superior o inferior) para la función objetivo
3. Sondeo: Se deja de desarrollar una rama si:
- la solución es entera. En ese caso, y si la f.obj. es mejor que la cota actual, se guarda como nueva cota
- la función objetivo es peor que la cota - la solución es no factible
4. Si se ha llegado al final de todas las ramas, parar y escoger como óptima la solución con mejor función objetivo.
Variantes del algoritmo
Para la ramificación:
- escoger el último nodo generado (fácil reoptimizar) - escoger el nodo más prometedor (mejor cota)
Planos de corte
Se llama plano de corte a toda restricción válida deducida de las restricciones lineales
Se trata de que todas las soluciones enteras lo
verifiquen, pero que aísle las soluciones obtenidas por relajación lineal, hasta llegar a una solución entera El algoritmo converge pero es bastante lento Algoritmo de plano secante de Gomory
Corte fraccional de Gomory
Sea una variable xk no entera. Su fila del Simplex será:
∑
∈−
=
N j j kj k kx
y
x
x
Y fk y fjk son las partes fraccionales de xke ykj Entonces, el plano de corte correspondiente es:
∑
∈ ≤ − N j j k j k f x f 0y la variable de holgura será entera
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INVESTIGACIÓN OPERATIVA
CURSO 2002-2003
MEDIDAS DE EFICIENCIA MEDIANTE
MEDIDAS DE EFICIENCIA MEDIANTE
MODELOS DEA
MODELOS DEA
Aplicaciones prácticas de los
Aplicaciones prácticas de los
métodos de programación entera
Productividad y eficiencia
l
Productividad=outputs/inputs
l
Eficiencia: compara valores observados con
valores óptimos (de outputs o inputs)
l
?
Productividad=f(
?
eficiencia, tecnología,
entorno)
Interés en aislar el efecto de la eficiencia:
Para compararse con los “mejores” (BENCHMARKING”) como indicador de “éxito”
para explorar fuentes de la ineficiencia
Tipos de eficiencia productiva
l
Eficiencia técnica
l Definición de Koopmans (1951): “El crecimiento de cualquier output requiere al menos(…)Y la reducción de cualquier input requiere al menos (…)
l Medidas:
l Orientación a inputs
l Orientación a outputs l
Eficiencia económica
l Grado de cumplimiento de un objetivo económico. Ejemplo, min. Costes
LA FRONTERA EFICIENTE
l Las UTD (Unidades de Toma de Decisiones) técnicamente eficientes operan sobre la frontera de producción
l La eficiencia técnica de una empresa que produce un solo output se puede medir mediante el ratio entre output observado y output potencial (máximo posible). l La eficiencia asignativa refleja comparaciones a lo
largo de una isocuanta.
l Una UTD es eficiente asignativamente si utiliza la combinación de factores de producción de mínimo coste.
l El nivel de eficiencia asignativa depende de los precios relativos de los inputs y de sus respectivas productividades marginales.
LA FRONTERA EFICIENTE
l
OBJETIVO DE LOS MÉTODOS DE
FRONTERA: estimar la función frontera de
producción o de costes y medir de
desviaciones individuales respecto a la
frontera
LA FRONTERA DE PRODUCCIÓN
l La frontera de producción expresa, en unidades físicas, la máxima cantidad de output (y*) obtenible a partir de unas cantidades dadas de inputs(X).
l El output efectivamente producido (y) puede ser inferior a su frontera, siendo la diferencia (u) la ineficiencia técnica absoluta en que se incurre (u>=0).
l Z: variables de entorno; v: error aleatorio
0 u con u -v + ) Z , X Y( = u -Y = ) y ( i i i i i i * i i Ln Ln ≥ Ln [1]
La frontera de costes
lEscribela!
MODELOS DE FRONTERA
Métodos paramétricos Métodos no paramétricos
Modelos de frontera determinista Modelos econométricos de frontera estocástica
DEA
Dos enfoques metodológicos para
medir la eficiencia de UTD (1)
l
Determinista
lOrientado a la toma
de decisiones para
la gestión. Origen en
M
anagement
Science
lCálculos: resolución
de problemas de
programación lineal
lEstocástico
lFuerte orientación
política desde su
origen. Bases
teóricas en la
Economía
lCálculos basados en
inferencia estadística
DEA MODELOS ECONOMÉTRICOS DE
Dos enfoques metodológicos para
medir la eficiencia de UTD (1)
l
Generalmente,
construye fronteras
de producción para
medir eficiencia
técnica
lEstima fronteras de
producción o costes,
para medir la
eficiencia técnica,
asignativa o ambas
DEA MODELOS ECONOMÉTRICOS DE
FRONTERA ESTOCÁSTICA
Dos enfoques metodológicos para
medir la eficiencia de UTD (1)
l No requiere especificar una determinada forma funcional de la función de producción. Muy flexible, vale para
culaquier 'tecnología' de transformación de inputs en outputs
l Diseñado para evaluar UTD que producen
l Requiere especificar una determinada forma funcional de la función de producción o costes en su caso (Cobb-Douglas, Elasticidad de Sustitución constante, translog,...).
DEA MODELOS ECONOMÉTRICOS DE
Dos enfoques metodológicos para
medir la eficiencia de UTD (1)
l Solo requiere datos de cantidades de inputs y outputs.
l Especialmente útil para evaluar servicios
públicos que operan sin mercado o cuyos
precios unitarios de inputs se desconocen
l La frontera de
producción no acomoda con facilidad múltiples outputs. Sí lo hace la frontera de costes l Para estimar la frontera
de costes se necesitan datos de cantidades y precios de los inputs
DEA MODELOS ECONOMÉTRICOS DE
FRONTERA ESTOCÁSTICA
Dos enfoques metodológicos para
medir la eficiencia de UTD (1)
l Para cada UTD, se construye una frontera 'de la mejor práctica', formada por otras UTD eficientes a las que 'imitar‘
l Tratamiento flexible de los efectos de la escala de operación. Admite que cada UTD tenga su tamaño 'más productivo'
l . La frontera estimada, de la que forman parte las UTD eficientes, es única para toda la muestra
l . Tratamiento más rígido de los efectos escala de operación: se estima UN tamaño de operación óptimo común (el promedio muestral)
DEA MODELOS ECONOMÉTRICOS DE
Dos enfoques metodológicos para
medir la eficiencia de UTD (1)
l Confunde ruído estadístico con ineficiencia (fronteras deterministas). Los
resultados pueden ser muy sensibles a los outliers positivos (UTD atípicamente productivas)
l Considera elementos de buena o mala suerte en los logros, separándolos de la medida de eficiencia, pero requiere suponer unas determinadas distribuciones de probabilidad para ambos componentes aleatorios del modelo. Los resultados pueden ser sensibles a estas hipótesis
DEA MODELOS ECONOMÉTRICOS DE
FRONTERA ESTOCÁSTICA
Las medidas radiales de eficiencia
técnica (Farrell, 1957)
l
Son medidas radiales de distancia
lOrientada a inputs
La medida radial de eficiencia
técnica de Farrell orientada a inputs
l La distancia de Farrell orientada a inputs, DFI, es la unidad menos la máxima reducción
equiproporcional de inputs requerida para obtener un output dado (y)
l La isocuanta L(y) es el conjunto de puntos en el espacio de factores tales que la eficiencia de Farrell orientada a inputs es la unidad.
l Propiedades:
l Homogénea de grado -1 en inputs
l Monótona decreciente en inputs (monótona débil)
l Invariante frente a cambios en la unidad de medida.
l Inconveniente:
l Es sólo una condición necesaria para la eficiencia técnica de Kooprmans
l
En el espacio de los productos y de
forma similar se define la medida de
Farrell orientada a outputs
l
El análisis de la eficiencia técnica admite
dos orientaciones, a inputs y a outputs
l
Una UTD es técnicamente eficiente, en
el sentido de Koopmans, si ambos
La eficiencia radial de Farrel
orientada a inputs
Supongamos que se utilizan dos inputs (x1y x2) en la producción de un único output (Y), SS’ representa la isocuanta de eficiencia máxima, y AA’ el ratio de precios de los inputs. P punto en el que se encuentra una empresa ineficiente
Generalmente la isocuanta no es conocida. ¿Cómo construirla a partir de una muestra de datos?
La eficiencia radial de Farrel
orientada a outputs
Cambiando a un entorno de dos outputs y un solo input. Podemos frontera de posibilidades de producción dada por ZZ’ y DD’ recta de isobeneficios. El punto A se corresponde con una firma ineficiente
Los modelos DEA (1)
l
El análisis envolvente de datos DEA surge en
1978 con Charnes, Cooper y Rhodes (1978)
l
Como una nueva técnica de medida que
permite evaluar la
eficiencia técnica
de las
distintas unidades de decisión en las
organizaciones (UTD)
l
El análisis DEA utiliza métodos de
programación lineal con el objeto de construir
una frontera no-paramétrica de producción
empírica, que permite calcular la eficiencia
relativa de cada UTD ineficiente y detectar
cuáles son las UTD eficientes
Los modelos DEA
l
Los modelos DEA (Data Envelopment
Analysis) son modelos deterministas que
estiman la frontera de producción (isocuanta)
a partir de una muestra (“frontera de la mejor
práctica”)
l
Muy utilizados para medir eficiencia técnica en
caso de producción de varios outputs y bienes
y servicios no comercializables (no hay
precios de mercado)
Formulación del modelo DEA
orientado a outputs (CCR)
l El modelo CCR original orientado a outputs se formula
como uno de programación fraccional cuya función objetivo es maximizar la eficiencia técnica, definida mediante el cociente entre la suma ponderada de los outputs y la suma ponderada de los inputs de la UTD.
l Supongamos que intervienen m inputs xj(j=1,...,m) y se
producen k outputs yr (r=1,...,k).
l El objetivo del modelo es calcular los pesos óptimos vj y ur
de los inputs y outputs respectivamente para cada UTD.
l Los pesos, llamados algunas veces “multiplicadores
virtuales” varían entre UTD, se supone que respondiendo a sus diferentes sistemas de valores. Para cada una de las n UTD de la muestra (i=1,...,n) se resuelve el siguiente problema: n 1,2,..., = i 1, x v y u : a sujeto x v y u = h ji j m 1 = j ri r k 1 = r ji j m 1 = j ri r k 1 = r 0 0 0 ≤
∑
∑
∑
∑
Max n UTD K outputs (y) m inputs (x) EL MODELO CCR ORIGINAL ORIENTADO A OUTPUTS La función objetivo maximiza la eficiencia de la UTD i0, restringida a que cada UTD en la muestra tiene, como máximo, eficiencia unidad, y que los pesos han de ser no negativos.j r, 0, v , u n 1,2,..., = i 1, x v y u : a sujeto x v y u = h j r ji j m 1 = j ri r k 1 = r ji j m 1 = j ri r k 1 = r 0 0 0 ∀ ≥ ≤
∑
∑
∑
∑
Max n UTD K outputs (y) m inputs (x) EL MODELO CCR ORIGINAL ORIENTADO A OUTPUTSLa solución de los n modelos de programación lineal calcula la eficiencia relativa de las n UTD. Son eficientes las UTD con valor óptimo de la función objetivo = 1 Para cada UTD ineficiente, la solución del dual (las restricciones con holgura) identifica el
subconjunto de unidades eficientes de referencia, o unidades
envolventes, que tienen sus mismos pesos ur y vj. n UTD K outputs (y) m inputs (x) EL MODELO CCR ORIGINAL ORIENTADO A OUTPUTS
El problema primal se puede reescribir en la forma estandar de PL, haciendo la suma del valor de los inputs igual a 1
j
r,
0
v
,
u
1,...n
=
i
0,
x
v
-y
u
1
=
x
v
:
a
Sujeto
y
u
=
h
ji j m 1 = j ri r k 1 = r ji j m 1 = j ri r k 1 = r 0 0 0∀
≥
≤
∑
∑
∑
∑
Max
n UTD K outputs (y) m inputs (x) EL MODELO BCC CON RENDIMIENTOS A ESCALA NO CONSTANTES
El modelo conocido por BCC y formulado en 1984 por Banker, Charnes y Cooper admite que cada UTD puede operar con rendimientos a escala no constantes y permite evaluar la escala óptima de operación de cada UTD de la muestra, así como separar la parte de la ineficiencia debida estrictamente a problemas de gestión de la que se podría achacar a los problemas de dimensión.
Los rendimientos a escala resultantes de un análisis de envolvimiento de datos son locales en un punto de la superficie eficiente de
producción
Software DEA
l
